正定二次型的几个应用案例
二次型的正定性及其应用
毕业论文题目：二次型的正定性及其应用学生姓名：孙云云学生学号：0805010236系别：数学与计算科学系专业：数学与应用数学届别：2012 届指导教师：李远华目录摘要 (1)前言 (2)1 二次型的概念 (2)1.1 二次型的矩阵形式 (3)1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)2 二次型的正定性一些判别方法及其性质 (4)3 二次型的应用 (9)3.1 多元函数极值 (9)3.2 线性最小二乘法 (13)3.3 证明不等式 (15)3.4 二次曲线 (18)结论 (18)致谢 (19)参考文献 (19)二次型的正定性及其应用学生：孙云云指导老师：李远华淮南师范学院数学与计算科学系摘要：二次型与其矩阵具有一一对应关系，本文主要通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用。
通过研究二次型的性质并利用正（负）定矩阵判断多元函数的极值、证明不等式，由矩阵的特征值求多元函数的最值，再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形状。
关键词：二次型；矩阵；正定性；应用The second type of positive definite matrixand its applicationsStudent: Sun YunYunInstructor: Li YuanHuaDepartment of mathematics and Computational Science, HuainanNormal UniversityAbstract: Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, this paper mainly through the study of the matrix is qualitative to study the second type is qualitative and its application. Through the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix function of many extreme value, to testify inequality, the characteristic value of the matrix for the most value of a function of many, then the degradation by linear replace judgment of the shape of the quadratic curves.Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application前言二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。
二次型的正定性
05
二次型的正定性的扩展
向量空间中的二次型
01
二次型是向量空间中一种重要的数学工具，它通过二次方程式来定义和描述空 间中的形状和结构。
02
向量空间中的二次型可以用来描述和度量向量的长度、夹角和距离等几何属性 ，以及表达和计算向量的数量积、向量积和混合积等重要概念。
03
二次型的正定性是向量空间中二次型的一个重要属性，它与矩阵的正定性密切 相关。
02
二次型的正定性的判定
判定方法一：顺序主子式
总结词
顺序主子式是判断二次型是否为正定的一个重要方法，当二次型的顺序主子式均 为正时，二次型为正定。
详细描述
对于给定的二次型，可以通过将矩阵进行初等行变换和列变换，将其化为上三角 矩阵，然后查看其主子式是否均为正，若均为正，则该二次型为正定。
判定方法二：特征值法
应用三：二次型的数值稳定性分析
总结词
通过二次型的正定性可以分析数值稳定性。
详细描述
在数值分析中，数值稳定性是一个重要的问题。当进行 数值计算时，如果计算过程中产生的误差会随着计算的 进行而逐渐放大，那么就说这个计算过程是不稳定的。 通过分析二次型的正定性，可以判断数值计算过程是否 稳定。具体来说，如果二次型是正定的，那么该数值计 算过程就是稳定的；如果二次型是非正定的，那么该数 值计算过程就可能是不稳定的。
正定二次型是一种特殊的二次型，其对应的矩阵具有正定的特征值。这意味 着所有的特征值都是大于零的，因此正定二次型的特征值一定大于零。
性质三
总结词
对于任何一个正定二次型，其行列式值与矩阵范数之间存在一定的关系。
详细描述
矩阵的范数是一个衡量矩阵大小的量度，它与矩阵的行列式值之间存在一定的关系。对于正定二次型而言，其 行列式值与矩阵范数之间存在一种特定的关系，这种关系可以通过数学公式进行描述。
关于二次型理论的若干应用
（ ｘ） ｄｘ） ２≤
ｂ２
∫φ（ ｘ） ｄｘ·
ｂ２
∫ψ（ ｘ） ｄｘ等 号 仅 当
φ（ ｘ）
（或
ψ（ ｘ）
）≡
ａ
ａ
ψ（ ｘ） φ（ ｘ）
常数时成立。
ｂ
２
证 明 ： 取ｆ（ｔ）＝ ∫［ ｔφ（ ｘ） ＋ψ（ ｘ） ］ ｄｘ， 则ｆ（ｔ）对 任 意 ｔ都 是 非 负
ａ
２ｂ ２
ｂ
的。即ｆ（ｔ）是半正定二次型。由ｆ（ｔ）＝ｔ ∫φ（ ｘ） ｄｘ＋２ｔ ∫φ（ ｘ） ψ（ ｘ）
所满足的条件恰为所要证明的不等式。
例２ 证明
ｎ
ｎ
∑ ∑ ２
２
ｎ Ｘｉ ≥（ Ｘｉ） 。
ｉ＝１
ｉ＝１
ｎ
ｎ
∑ ∑ ２
２
证明 令ｆ＝ｎ Ｘｉ － （ Ｘｉ）
ｉ＝１
ｉ＝１
则ｆ为二次型， 其矩阵为
&ｎ－ １ － １ Λ － １ )
Ａ＝’’－Ｍ１
ｎ－ １ Ｍ
Λ Ｏ
－１ * －１ *
(－ １ － １ Λ ｎ－ １+ｎ×ｎ
二次型是线性代数的基本内容， 其用途十分广泛， 下面我
们 介 绍 它 在 证 明 不 等 式 、化 二 次 曲 面 方 程 为 标 准 型 、求 多 元 函
数极值三个方面的应用。
一 、利 用 二 次 型 的 正 定 性 证 明 不 等 式
ｂ
例 １ 设 ａ＜ｂ，φ（ ｘ） 与 ψ（ ｘ） 在 ［ ａ，ｂ］ 上 连 续 ， 证 明 （ ∫φ（ ｘ） ψ ａ
ΘＡ的 顺 序 主 子 式 大 于 或 等 于 零
∴Ａ是 半 正 定 的
∴二 次 型 ｆ是 半 正 定 的
线性代数 正定二次型
标准形 f x 1 , L , x n d 1 y 1 2 d 2 y 2 2 L d n y n 2
因P可逆，X0,YP1X0
n
fx 1 ,L ,x n d iy i2 0 d i 0(i 1 ,L ,n )
1
O
1 1 O
1 0 O
, 即PT AP 0
二、正定二次型
定义：设n元实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X ，若对任意的
X0 XR n，均有 fx 1 ,L ,x n X T A X 0 ,则称
A1 1 0
A A3 2 t1tt 2t 2 2t t1 2 00
1 t 0
A共有n个顺序主子阵，且均为实对称矩阵.
定理（Sylvester定理）：实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X
正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于零.
三、应用举例
1 t
例：t
取何值？
A
t2Biblioteka 1 0提示：由Sylvester定理，
1
0
是正定的
1 t
一、惯性定理
任一二次型均可通过非退化的线性变换化为标准形，但 线性变换选择的不同会导致标准形的不同，即：二次型
的标准形不唯一。但由惯性定理可知，标准形中的正平 方项的个数与负平方项的个数却是唯一确定的。 定理（惯性定理） 实二次型 f(x 1 ,x 2 ,L ,x n ) X T A X 经过非退化的线性 变换化为标准形时，其标准形中正、负项的项数是唯一 确定的，二者的和等于矩阵A的秩. 定义：实二次型标准形中的正平方项的项数p称为二次型 的正惯性指数，负平方项的项数q称为二次型的负惯性指 数，二者的差(p-q)=p-(r-p)=2p-r称为二次型的符号差.
正定二次型的矩阵
正定二次型的矩阵
正定二次型是指当输入向量不为零时，二次型的值始终大于零。
这意味着它所对应的矩阵的特征值都是正的。
在线性代数中，正定二次型矩阵具有重要的应用，例如用于等式约束和规划问题的求解。
以下是关于正定二次型矩阵的一些基本性质和应用：
性质：
1.正定二次型矩阵的秩等于其阶数。
2.正定二次型矩阵的行列式始终大于零。
3.正定二次型矩阵可以被用于求解优化问题，例如可以用于最小化某个目标函数的约束问题。
4.正定二次型矩阵可以通过进行主元素的分解来求出其特征值和特征向量。
应用：
1.正定二次型矩阵在机器学习领域中被广泛应用，例如用于支持向量机算法的求解。
2.正定二次型矩阵也可以被用于求解一些非线性规划问题，例如广义最小二乘问题和拟牛顿法。
3.正定二次型矩阵也可以被用于计算图像处理和数字信号处理中的优化算法。
总之，正定二次型矩阵是线性代数中非常重要的概念。
它与许多优化算法和规划问题有着密切的关系。
通过深入研究正定二次型矩阵，我们可以更好地理解这些领域中的问题，并提出更有效的算法和解决方案。
数学学年论文毕业论文正定二次型的判断及应用
数学学年论文毕业论文正定二次型的判断及应用正定二次型的判断及应用摘要：在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文总结了正定二次型的一些判断方法及其在证明不等式与极值问题中的应用。
关键词：正定二次型正定阵顺序主子式一、正定二次型的判断: 定理1、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于n证明:设实二次型AXX x x x f n '=),,,(21 经线形替换X=PY 化为标准形222211nn y d y d y d f +++=)1(其中.,,2,1,n i R d i=∈由于p为可逆矩阵,所以n x x x ,,,21 不全为零时ny y y ,,,21 也不全为零,反之亦然.)(?如果f是正定二次型,那么当n x x x ,,,21 不全为零,即n y y y ,,,21 不全为零时,有2222211>+++=n n y d y d y d f)2(若有某个),1(n i d i ≤≤比方说.0≤n d 则对1,0121=====-n n y y y y 这组不全为零的数,代入)1(式后得.0≤=n d f 这与f是正定二次型矛盾.因此,必有),,2,1.(0n i d i =>即f的正惯性指数等于n )(?如果f的正惯性指数等于,n 则),,2,1(,0n i d i=>于是当n x x x ,,,21 不全为零,即当n y y y ,,,21 不全为零时)2(式成立,从而f是正定型定理2、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是对任何n 维实的非零列向量X 必有0>'A X X证明：)(?由假设f是正定二次型,故存在实的非退化的线形替换,QY X=使22221ny y y AX X +++=')1(对,0≠X因Q 非奇异,故,0≠Y 于是由)1(可知0>'A X X)(?设AX X '的秩与正惯性指数分别为r 与,p 先证,p r =如,r p <则由惯性定理,存在非退化的线形替换,QY X=使得221221'rp p y y y y AX X ---++=+)2(由假设,对任何,0,0>'≠AX X X 但对列向量)0,,0,1,0,,0(≠'= Q X（因Q 是非奇异阵,1是X 的第1+p 个分量）却有1<-='A X X 这与假设矛盾.故pr =.再证nr=.如果,n r<则)2(式应化为nr y y y AX X r <+++=,22221')3(于是取 0)1,0,,0(≠'= Q X由)3(即得,0='A X X又与假设矛盾,故,p n r ==即f是正定二次型定理3、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是f的规范形为2222121),,,(nn y y y x x x f +++=证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理1可知f 的正惯性指数为n ，则二次型AXX x x x f n '=),,,(21 可经过非退化实线形替换成2222121),,,(nn y y y x x x f +++=)(?f的规范形为2222121),,,(n n y y y x x x f +++= ,则f的正惯性指数为,n 由定理1可知f为正定二次型定理4、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 与单位矩阵合同证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理3,可知f的规范形为2222121),,,(nn y y y x x x f +++=此即存在非退化线形替换(CY X=其中C 可逆),使得2222121)()(),,,(nn y y y ACYC Y CY A CY AXX x x x f +++=''='='=所以,E ACC ='因此矩阵A 单位矩阵合同)(?矩阵A 单位矩阵合同,则存在可逆矩阵,C 使得EACC ='，令CYX=则2222121)()(),,,(nn y y y ACYC Y CY A CY AX X x x x f +++=''='='=因此,由证明4,可知f是正定二次型定理5、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的主子式全大于零证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,以kA 表示A的左上角k 阶矩阵,下证),,,2,1(,0n k A k =>考虑以k A 为矩阵的二次型jki kj i ij k xx a x x x g ∑∑===1121),,,(由于)0,,0,,,,(),,,(2121 k k x x x f x x x g =所以当k x x x ,,,21 不全为零时,由f 正定二次型可知,0>g从而g 为正定二次型,固.0>k A)(?对二次型的元数n 作数学归纳法当1=n时,,)(21111x a x f =因为,011>a 所以f 正定,假设,1>n 且对1-n 元实二次型结论成立由于,01111>=a a 用111a a i -乘A 的第1列到第i 列,再用111a a i -乘第A 的第1行到第i 行),,,3,2(n i=经此合同变换后A ,可变为以下的一个矩阵000111A aB =因为矩阵A 与B 合同,所以B 是一个n 阶对称矩阵.从而1A也是对称矩阵.上述的变换不改变A 的主子式的值,因此B ,的主子式也全大于零,而B 的)2(n k k ≤≤阶主子式等于1A 的1-k 阶主子式乘以,11a 并且011>a 于是1A 的主子式全大于零,由归纳假设,1A 与1-n I 合同,所以A 与单位矩阵合同,此即f 是正定二次型定理6、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的顺序主子式全都大于零证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理5可知A 的主子式全大于零,所以A 的顺序主子式也全大于零.)(?对二次型的元数n作数学归纳法当1=n时,,)(21111x a x f =由条件知,011>a 所以)(1x f 是正定的.假设充分性的判断对于1-n 元的二次型已经成立,现在来证n 元的情形.令1A =?----1,11,11,111n n n n a a a a=-nn n a a ,11α于是矩阵A 可以分块写成：A ='nna A αα1则1A 的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定,1A 是正定矩阵则存在可逆的1-n 阶矩阵,G 使得1-='n E AG G令1C =100G于是''=???? ?????? ??'???? ??'='-nn n nn a G G E Ga A G ACC αααα111110010再令2C =--10'1a G E n则有?''-=''-ααG G a E C AC C C nn n 012112 令21C C C =dG G a nn =''-αα就有='d AC C11两边取行列式,dA C=2,则由条件,0>A 因此0>d.=??????? ?d d d 111111111所以矩阵A 与单位矩阵合同,因此A 是正定矩阵即f是正定二次型定理7、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵TT T A('=是实可逆矩阵)证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理4可知存在可逆矩阵,C 使得EAC C ='则 1111)()(----'='=CCCC A令1-=CT,则T T A '=)(?若,T T A '=则 )()(),,,(21TX TX TX T X AX X AX X x x x f n '=''='='=令TXY=则 2222121),,,(nn y y y Y Y x x x f +++='=所以f 为正定二次型.定理8、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是ATT '正定矩阵(其中T 是实可逆矩阵) 证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则A是正定阵, 令(1Y X T=-其中T 可逆)则 A T Y T Y TY A TY x x x f n ''='=)()(),,,(21又因非退化线性替换不改变正定性,则ATYT Y x x x f n ''=),,,(21是正定二次型,所以AT T '是正定阵)(?ATT '是正定阵,令ATYT Y y y y g n ''=),,,(21 ,则),,,(21n y y y g 是正定二次型令TYX=则),,,(21n y y y g AXX x x x f n '==),,,(21 是正定二次型定理9、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的全部特征值都是正的证明:)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则A是正定阵,又对于任意一个n 阶实对称矩阵,A 都存在一个n 阶正交矩阵,T 使得ATTAT T 1'-=成为对角形令AT T AT T 1'-==n λλ1则),,2,1(,0n i i =>λ否则与f为正定二次型相矛盾，则ATT1-特征值为n λλλ,,,21 均大于零,即为正的.又相似矩阵有相同特征值，则A 的特征值也均为正)(? A的全部特征值均为正的,则存在一个n 阶正交矩阵,T 使得AT T AT T 1'-==n λλ1其中),,2,1(n i i =λ为A 的特征值,此由相似矩阵有相同的特征值得到. 令,TY X=则222221121),,,(nn n y y y A T Y T Y AXX x x x f λλλ+++=''='=所以f为正定二次型定理10、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 是正定阵证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由正定阵的定义可知A 是正定阵.)(? A 是正定阵,则A 的顺序主子式全都大于零.由定理6可知f是正定二次型.二、实二次型的正定性证明不等式例1 设)(ij t T=是一个n 阶实非退化矩阵,求证:≤2T)(222121ni i ni i t t t +++∏=证明：若A 是正定矩阵,必有nna a a A 2211≤, 其中nn a a a ,,,2211 是A 的主对角线上的元素因为T 是实非退化矩阵,所以=nn n n n n nnnnn n t t t t t t t t t t t t t t t t t t T T 212222111211212221212111'=∑∑∑===nk knnk k nk k t t t 12122121是正定矩阵,由上述定理得)(112'∏∑==≤ni nk ki t T T =)(222121ni i ni i t t t +++∏=此即,≤2T)(222121ni i ni i t t t +++∏=三、实二次型的正定性在极值问题中的应用例1、求三元函数y y x zyxz y x f u642),,(222-++++==的极值解：先求三个一阶偏导数,令它们为0,解方程组得驻点,再求二阶偏导数得二次型的相应矩阵,A 由A 的正定性确定极值=-==+=??=+=??062042022z zU y y U x x U=-=-=321z y x得驻点)3,2,1(0--p222=??xU2=yx U2=zx U2=xy U222=??y U2=zy U2=xz U2=yz U222=??zU所以A =200020002 因为A 为正定阵,所以得极小值143*6)2(*4)1(*23)2()1()3,2,1(2220-=--+-++-+-=--=f p U参考文献：[1] 王向东《高等代数常用方法》科学出版社[2] 霍元极《高等代数》北京师范大学出版社 [3] 屠伯埙《高等代数》上海科技出版社 [4] 张盛祝《高等代数典型方法》信阳师范学院数学系Is deciding two times of judgments and the applicationAbstract: In two center, was deciding two time holds the special status, this article summarizes has been deciding in two times of so judgments methods and its in the proof inequality and the minimum problem application.Key words: Is deciding two time Is deciding The smooth principal minor。
正定二次型的性质与应用论文
河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章本科生毕业论文设计正定二次型的性质与应用作者姓名：指导教师：所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学班级（届）：2013届数学B班二〇一三年四月二十八日目录中文摘要、关键字 (2)1 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)1.1 二次型的概念 (3)1.2 二次型的矩阵形式 (3)1.3 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)2 实正定矩阵的判定方法及证明 (4)2.1 利用定义判定 (4)2.2 利用标准型判定 (4)2.3 利用主子式判定 (8)2.4 其他常用判定 (11)3 实正定矩阵的应用 (15)3.1 用正定矩阵的定义来证明一些结论 (15)3.2 正定矩阵在数学分析上的应用 (17)3.2.1 多元函数的极值问题 (17)3.2.2 正定矩阵在积分中的应用 (19)3.3 正定矩阵在运筹中的应用 (19)3.3.1 具有约束方程的最优化问题 (19)3.4 用正定矩阵来证明不等式 (20)3.5 正定矩阵在几何中的应用 (21)3.5.1二次曲面的标准型 (21)参考文献 (23)英文摘要、关键字 (24)正定二次型的性质及应用数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师高锁刚作者王敬摘要：本文以矩阵和向量为工具,研究了一种特殊的函数,即二次型。
然而在它的实际应用中许多二次型都是实二次型,其中最重要的一类是正定二次型。
本文主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用,文中给出了实对称正定矩阵的多个判定定理和重要结论,从而使人们能够更好地使用正定矩阵这个工具。
全文共分三章,第一章主要叙述二次型及正定二次型、正定矩阵的定义；第二章主要列举说明正定性矩阵的几个判别方法；第三章简单地罗列一些实例来阐述实矩阵正定性的应用。
关键字：正定矩阵正定二次型特征值实对称矩阵1 正定二次型与正定矩阵的概念1.1[1] 二次型的概念设P 是一个数域,ij a ∈P, n 个文字1x ,2x ,…,n x 的二次齐次多项式()n n n x x a x x a x x a x a x x x f 11311321122111212...22,...,,++++=n n x x a x x a x a 22322322222...2++++......+2n nn x a +=∑∑==n i nj jiij xx a 11()n j i a a ji ij ,...2,1,,==称为数域P 上的一个n 元二次型,简称二次型.当ij a 为实数时, f 称为实二次型.当ij a 为复数时,称f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项,即),,,(21n x x x f =2221112...n n d x d x d x +++则称f 为标准型. 1.2 二次型的矩阵形式二次型),,,(21n x x x f 可唯一表示成),,,(21n x x x f =T x Ax ,其中12(,,...,)T n x x x x =,()ij n n A a ⨯=为对称矩阵,称上式为二次型的矩阵形式,称A 为二次型的矩阵（A 必是对称矩阵）,称A 的秩为二次型f 的秩.1.3 正定二次型与正定矩阵的概念设),,,(21n x x x f =Tx Ax 是n 元实二次型（A 为实对称矩阵）,如果对任意不全为零的实数12,,...,n c c c 都有12(,,...)0n f c c c >,则称f 为正定二次型,称A 为正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c ≥,则称f 为半正定二次型,称A 为半正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c <,则称f 为负定二次型,称A 为负定矩阵；如果0),,,(21≤n c c c f ,称f 为半负定二次型,称A 为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型,称A 为不定矩阵.2 实正定矩阵的判定方法及证明2.1 利用定义判定定理1 实对称矩阵A ∈n n R ⨯是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的n 维非零列向量x , 即n R x ∈≠0,使0>Ax x T .定理2[2] 实对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n d d 1是正定矩阵的充分而且必要条件是0>i d , n i ,2,1=.证明：实对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n d d 1是正定的充要条件是对任意的n 维非零列向量x , 即n R x ∈≠0,有T x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n d d 10>x , 令T x )0,,0,1( =,则得01>d ,同理,分别令x 为所有的单位列向量,则可得0>i d ,n i ,,2,1 =,所以定理可证.定理3 实对称矩阵n n R A ⨯∈是正定矩阵的充分而且必要条件是对任意的n R x ∈≠0,使二次型Ax x T 的秩和符号差均等于n .证明：因为实对称矩阵A 是正定矩阵,所以存在二次型Ax x T 为正定二次型,其规范形为22221n y y y +++ ,所以正惯性指数为n ,即得二次型Ax x T 的秩和符号差均等于n .所以A 是正定矩阵.2.2 利用标准型判定定理 4 [2] 实对称矩阵n n R A ⨯∈是正定矩阵的充分而且必要条件是A 与单位矩阵E合同，即存在实非奇异矩阵C ，使E AC C T =.证明：必要性,因为实对称矩阵A 是正定矩阵,所以矩阵A 对应的二次型Ax x T为正定二次型,可经过一适当的非退化线性替换TY X =化为规范形22221ny y y +++ ,对应的矩阵为单位矩阵E . 即()()TY A TY T EY Y T =,所以()EY Y Y AT T Y T T T =,故可证得A 合同于单位矩阵E . 充分性, 若A 合同于矩阵E ,则存在可逆矩阵B ,使得A =T B EB .任意取X≠0, BX Y ==()12,,T n y y y ,则有Y ≠0.于是有Y Y EBX B X AX X T T T T ===22212n y y y ++ >0,定理可以得证.定理5 实对称矩阵n n R A ⨯∈是正定矩阵的充分而且必要条件是A 的所有特征根都大于零.证明：必要性, A 为正定矩阵,若A 的全部特征值n λλλ,,,21 不全大于0,不妨设01≤λ. 则存在正交矩阵P 使得有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n TAP P λλλ21成立. 令(),,,,21n P ααα = 则有i i i A αλα=()n i ,,2,1 =,即i α为A 的属于特征值i λ的特征向量.特别的,取单位特征向量01≠β,即111βλβ=A .于是11111βλβββT T A =01≤=λ,而这与A 为正定矩阵相矛盾,所以A 的全部特征值n λλλ,,,21 都大于0.充分性,A 的特征值为n λλλ,,,21 ,则存在正交矩阵T ,使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-n T AT T AT T λλλ 211则有121-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=T T A n λλλ. 任意取0≠X ,则有Y Y X T TX AX X n T T n T T ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλ2121, 其中T X Y T T =()0,,,21≠=n y y y ,于是得AX X T 02222211>+++=n n y y y λλλ ,即有A 为正定矩.定理6[3] 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 是半正定矩阵且0≠A . 证明：必要性, 因为A 是正定矩阵,则A 一定是半正定矩阵,且0≠A .充分性, 设A 的特征值为n λλλ,,,21 ，由于A 是半正定矩阵可知，i λ()n i ,,2,10 =≥，又021≠⋅⋅⋅=n A λλλ ,故()n i i ,,2,10 =>λ，所以A 是正定矩阵.定理7 实对称矩阵n n R A ⨯∈ 是正定矩阵的充分而且必要条件是存在实可逆矩阵C ,使得C C A T=.证明：必要性,若A 是实对称正定矩阵,则存在实可逆矩阵C 使得EC C A T =C C T =,其中E 为n 阶单位矩阵.充分性,因为存在实可逆矩阵C ,使得C C A T =,并且有C C A T =EC C T=,其中E 为n 阶单位矩阵.即实对称矩阵A 合同于E ,所以可得A 为正定矩阵.定理8 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充分而且必要条件是存在实列满秩矩阵n m P ⨯, 使P P A T =.证明：必要性, 因为A 为正定矩阵, 则存在n 阶实可逆矩阵C , 使得C C A T =()()n m n TnnC -⨯⨯=0()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯n n m n n C 0. 令 =P ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯n n m n n C 0,则 P P A T =, 其中P 为n m ⨯列满秩矩阵. 充分性,n m P ⨯为实列满秩矩阵,则P P T 为n 阶可逆矩阵, 故对任意的n R X ∈,0≠X , 则由秩m C =, 知,0≠CX 并且有0)(>==PX PX PX P X AX X T T T T ，即A 为正定矩阵.定理9[4] 对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是对任意的实n 阶可逆方阵C ,使得AC C T 都是正定的.证明：必要性,首先()TT AC C AC C T =,对任意n R X ∈,0≠X ,由秩n C =,知,0≠CX 由于A为正定矩阵,故()()(),0>=CX A CX X AC C X TT T即AC C T 为正定矩阵.充分性,AC C T 正定,则对任意的n R X ∈,0≠X ,由秩C n =,知,0≠TX 并且()()CX A CX T =()0>X AC C X T T ,即可得A 为正定矩阵.定理10 实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是存在实可逆上三角矩阵R ,使R R A T =.证明：必要性,由于A 是实对称正定矩阵,所以存在实可逆矩阵P ,使得P P A T =.且存在矩阵Q 和R 使得QR P =,其中Q 为n 阶正交矩阵，R 为n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵，从而有P P A T =QR Q R T T =R R T =.充分性,因为存在n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵R ,使得R R A T =. 则显然矩阵R 可逆, 即可证得A 是正定矩阵.定理11 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充分而且必要条件是存在n 阶主对角元素都大于零的下三角矩阵U ,使得U U A T =.（证明同上）2.3 利用主子式判定定理12 实对称矩阵nn R A ⨯∈ 是正定矩阵的充分而且必要条件是A 的各阶顺序主子式都大于零.证明：必要性, 因为A 是实对称正定矩阵,所以存在二次型()n x x x f ,,,21 ∑∑===ni nj j i ij x x a 11是正定的.且对于每个k ,n k ≤≤1令()k k x x f ,,1 ∑∑===ki kj j i ij x x a 11.对于任意一组不全为零的实数k b b ,,1 ,有()k k b b f ,,1 ∑∑===k i kj j i ij b b a 11=()0,,0,,,1 k b b f .0>所以()k k x x f ,,1 是正定的. 由正定矩阵的行列式大于零可知,k f 的行列式,01111>kkk k a a a a n k ,,1 =. 所以可证得矩阵A 的一切顺序主子式都大于0.充分性, 对n 作数学归纳法.当1=n 时, ().21111x a x f =由条件中011>a ,显然可得()1x f 是正定的. 假设对于1-n 元二次型成立,现在来证明n 元二次型的情形.令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ,=β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-n n n a a ,11 , 于是矩阵A 可以分块写成A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nn Ta A ββ1. 由于A 的顺序主子式全大于零,所以1A 的顺序主子式也全大于零. 由归纳法假设可以知道,1A 是正定矩阵,即存在可逆的1-n 阶矩阵P 使得11-=n T E P A P ,此处1-n E 可代表1-n 阶单位矩阵.令⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001P C , 则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡100T P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡nn T a A αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡100P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-nn TT n a P P E αα1. 再令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1012αT n P E C , 则有2112C AC C C T T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-101P E T n α⎥⎦⎤⎢⎣⎡-nn T T n a P P E αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--101αT n P E ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-ααT T nn n PP a E 001.最后再令21C C C =, ,ααT T nn PP a a -=则有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a AC C T 11 . 两边同时取行列式,可有a A C =2.因为0>A ,所以0>a . 于是可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 . 所以矩阵A 可与单位矩阵E 合同,并且可以证得矩阵A 是正定矩阵.定理13 实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是A 的一切主子式均大于零.证明：必要性, (利用反证法)设A =()ij n n a ⨯是正定矩阵,假如可存在k 阶主子矩阵111212122212,0k k k k k k k ki i i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a a a a A A a a a =<则可根据k i A 是k 阶实对称矩阵,并由引理知可存在k 阶正交矩阵P ,使得P P A k T i k ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=βββ21 此处k βββ,,,21 为k i A 的特征值.由于k i A <0,且k i A =k βββ 21可知k i A 的特征值k βββ,,,21 中至少有一个小于0.推至一般性,设1β<0,令T Y =()1,0,,0 ,则可有Y ≠0并且k T i Y A Y =1u <0,再令T X =12(,,,)n x x x ,则有当{}12,,,k i i i i ∈ 时,可得i i x y =；当i 为其他时,得0i x =.则有X ≠0,且T X AX =k T i Y A Y =1u <0,而这与A 为正定矩阵的假设相矛盾.充分性, 假设k i A 是A 的一个k 阶主子矩阵, 则由于k i A 任意的一个顺序主子式均是A 的一个主子式,所以可知它们都大于0.所以可得k i A 为正定矩阵.定理可以得证.定理14[5] 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充分而且必要条件是A 的一切主子矩阵均为正定矩阵.证明：必要性,A 正定, 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A 1111,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111, 其中 k A 为A 的主子矩阵, n i i k ≤<<≤ 11()n k ,,2,1 =.显然 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111()n k ,,2,1 =也是实对称矩阵.由于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111的k 个顺序主子式均为A 的k 个主子式,所以k 个主子式都大于零, 从而有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111()n k ,,2,1 =为正定矩阵.充分性,若实对称矩阵A 的一切主子矩阵均是正定矩阵,则矩阵A 的一切主子式全都大于零,即可证得A 是正定矩阵.2.4 其他常用判定定理15 若A 是实对称正定矩阵，则1-A 也是实对称正定矩阵. 证明：由于A 是实对称正定矩阵,则0>A ,所以A 可逆.又因()(),111---==A A A T T所以可得1-A 也是实对称矩阵.设A 的特征值为n λλλ,,,21 ，由A 正定有()n i i ,,2,10 =>λ，1-A 的全部特征值为01>iλ()n i ,,2,1 =，即可得1-A 为正定矩阵.定理16 若A 是实对称正定矩阵，则对于任意的整数m ，m A 都是正定矩阵. 证明：I 当0=m 时，显然是正定矩阵.II 当0<m 时，由于m m -=，则有()mm A A 1-=，且1-A 也是正定矩阵，故只需假定m 为正整数即可.（i ）当m 为偶数时，由于A A T =，并且⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22m Tm m A A A ，所以可得m A 是正定的； （ii ）当m 为奇数时，由于A 是正定矩阵，所以存在实可逆矩阵C ，使得C C A T=; 由此可得：2121212122----==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m m m m CA C A AA A A A A A Tm m Tm m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--2121m m CA CA T从而m A 是正定矩阵.定理17 若A 是n 阶实对称正定矩阵，则有*A 也是正定矩阵（其中*A 表示A 的伴随矩阵）.证明：已知*A =,1n n R A A ⨯-∈且()(),***==A A A T T又由于A 是正定矩阵，所以0>A .设A 的特征值为n λλλ,,,21 ，则由A 是正定矩阵有()n i i ,,2,10 =>λ,于是有*A 的n 个特征值11211,,,---n A A A λλλ 也都大于零，即可证得*A 也是正定矩阵.定理18 实对称正定矩阵的合同矩阵一定是正定矩阵. 证明：设实对称矩阵A 是正定矩阵，矩阵B 与矩阵A 合同，即存在可逆矩阵P ，使有AP P B T =成立，由于A 是正定矩阵，可知对于任意的n 维非零列向量X , 即nR X ∈≠0,有0>AX X T ,所以令PX Y =，则有0≠PX ，有0)()(>=CX A CX BY Y T T ，所以矩阵B 是正定矩阵，所以定理可得证.定理19 任意两个同阶实对称正定矩阵的和还是正定矩阵,更一般地,正定矩阵的正线性组合也是正定矩阵.证明：设A 、B n n R ⨯∈ 都是正定矩阵,同时又可设0,>b a , 因而对于任意的n R x ∈≠0, 可有0)(>+=+Bx bx Ax ax x bB aA x T T T .所以对于任意的两个同阶的正定矩阵的和仍是正定矩阵.而多于两个矩阵时，可以按照相同的方式进行处理, 并且可以利用数学归纳法给出具体的证明：（1）当2=n 时，由上可知命题结论成立；（2）假设当1+<k n 时有命题结论成立,以下可以证明1+=k n 时命题结论仍成立. 设121,,,+k k A A A A 是同阶的正定矩阵,并且有0,,,,121>+k k b b b b .下证1111+++++k k k k A b A b A b 也为正定矩阵.因而可得对于任意的n R x ∈≠0 有0)(11111111>+++=+++++++x A x b x A x b x A x b x A b A b A b x k T k k T k T k k k k T ,此式中的每一项均为正.所以可以得到当1+=k n 时, 结论成立.综合以上的（1）、（2）可知,对于一切的自然数n ,正定矩阵的正线性组合也仍为正定矩阵.定理20 对于任何的实对称矩阵A ,必存在实数0,0>>βα,使得A E α+与A E +β都是正定矩阵.证明：实对称矩阵A 的所有的特征根都是实数,所以不妨记其中一个绝对值最大的特征根为ολ,只要取οβλ>,则可有A E +β是正定矩阵.假设Q 是正交矩阵,使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n TAQ Q λλ 1则AQ Q EQ Q Q A E Q T T T +=+ββ)(=ββ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ +1n λλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=1n βλβλ+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭由于0i βλ+>()1,2,,i n = ,可得A E +β也是正定矩阵.而当取1αβ=时,则有0α>,()1E A E A αββ+=+也是正定矩阵,于是定理可以得证.定理21 若A 、B 都是实对称矩阵,并且BA AB =,则AB 也必为正定矩阵. 证明：易知AB 的特征根均大于零,且有当AB BA =时,可有AB BA A B AB T T T ===)(,所以AB 又是对称矩阵,从而可得AB 是正定的.定理22 实对称矩阵=A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221A A A A T为正定矩阵的充分而且必要条件是1A 和21123A A A A T --都是正定矩阵.证明：当1A 可逆时,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E A A ET 1120⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221A A A A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E A A E 0211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21123100A A A A A T 必要性, 若A 正定,那么1A 也正定,11-A 存在. 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-E A A E P 0211, 则P 可逆,所以AP P T 也正定.从而⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21123100A A A A A T 为正定矩阵,因此它的主子矩阵1A 和21123A A A A T--都为正定矩阵.充分性,由于1A 和21123A A A A T --都是正定矩阵,且两个正定矩阵的和也是正定矩阵，可知 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--211231A A A A A T 为正定矩阵. 又可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221A A A A A T=()TP 1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2112300A A A A A T 1-P ,即可证得A 为正定矩阵.定理23 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充分而且必要条件是存在正交的向量组n ααα,,,21 使得.2211Tn n T T A αααααα+++=证明：必要性,因为A 是正定矩阵,所以存在正交矩阵Q ,使得Q Q A n T ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ 21,T n Q ),,(21βββ =, 令 i i i βλα=()n i ,,2,1 =为正交向量组, 则可得.2211Tn n T T A αααααα+++=充分性,Tn n T T A αααααα+++= 2211= )(21T n TT ααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n ααα 21 T T T = （T 为正交矩阵）, 显然可证得A 是正定矩阵.3 正定矩阵的应用3.1 用正定矩阵的定义来证明一些结论例 3.1 设A ,B 是n n ⨯实对称矩阵,A 是正定阵,证明：存在实可逆阵T ,使T B A T )(+'为对角阵.证 由于A 是正定阵,从而合同于单位阵E ,即可知存在实可逆阵Q ,使E AQ Q ='. 而BQ Q '仍是实对称矩阵,从而存在正交阵P ,使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=''n P BQ Q P λλ 1)(,其中n λλ,,1 是BQ Q '的特征值,若令QP T =,则可有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=+'n T B A T λλ11)(1 . 例 3.2 设B 为n 阶实对称矩阵,且正定. A 为m n ⨯实矩阵, T A 为A 的转置矩阵.试证：BA A T 为正定矩阵的充分而且必要条件是秩m A =)(.证 充分性 因为BA A BA A T T T =)(.0,1≠∈∀⨯x R x n ,由秩m A =,知()n j i a a ji ij ,...2,1,,==,而A 为正定阵,故0)()()(>=Ax B Ax x BA A x T T T ,此即BA A T 为正定阵.必要性 利用反证法.若秩m A <,则有0=Ax 有非零实数解0x 存在,即00=Ax ,但00≠x ,并且由BA A T 为正定矩阵,可知)()()(00000Ax B Ax x BA A x T T T=< ①另一方面,因为00=Ax ,所以m A =.0)()(00=Ax B Ax T ②由于①、②矛盾,故秩m A =)(.例 3.3 设A 是n 阶正定矩阵,B 是n 阶半正定矩阵,求证: A B A B +≥+,当且仅当0B =或n 1=时等号成立.证 由A 0>可知,存在n 阶的可逆矩阵P ,使得T P BP n E =成立,所以有()T T n P A B P E P BP +=+,且T T n P A B P E P BP +=+又因为T P BP 是半正定矩阵,设T P BP C ==()ij C ,则可有Tn E P BP +=11121212221211nnn n nnc c c c c c c c c ++=12121111n n n n n c c c c ---+++++其中i c 是C 的所有i 阶主子式之和,1,2,,i n = .而又因为0T C P BP =≥,并且它的所有主子式都是非负的,因此可得T n E P BP +≥1n +n c =n E +T P BP =T P AP +T P BP所以T P A B P +≥()TP A B P +由此可得A B A B +≥+当0B =或1n =时，显然有A B A B +≥+成立；当0B ≠且1n >时，易知T P BP C =0n n ⨯≠,于是可得至少有一个ij c ≠0,此时C 的一阶主子式ii c ,jj c 均不能为零,否则00ijijc c =2ij c -0<,这与C 是半正定矩阵矛盾.于是1c 0>,进一步可有T n E P BP +1>n c +,从而得A B A B +≥+成立.3．2 正定矩阵在数学分析上的应用3.2.1 多元函数的极值问题例3.4 求函数321232221321212),,(x x x x x x x x x f ++++=的极值.解 因为2211123x x x f +=∂∂，212212x x x f +=∂∂，2233+=∂∂x x f，令01=∂∂x f ，02=∂∂x f，03=∂∂x f ，得驻点T x )1,0,0(0-=，T x )1,144,24(1--=.又)(x f 的各二阶偏导数为12126x xf =∂∂，12212=∂∂∂x x f ，2312=∂∂∂x x f ，2222=∂∂xf ，0322=∂∂∂x x f ，2232=∂∂xf ，得（黑塞）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122126)(1x x H .在点0x 处，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122120)(0x H ，而)(0x H 的顺序主子式：0det 1=H ,0144212120det 2<-==H ,0296)(det det 03<-==x H H ,因此)(0x H 不定，0x 不是极值点.在点1x 处，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2020212212144)(1x H ，而)(1x H 的顺序主子式：0144det 1>=H ，014421212144det 2>==H ， 0280220212212144det 3>==H ， 故)(1x H 为正定矩阵，T x )1,144,24(1--=为极小值点，极小值为6913)1,144,24()(1-=--=f x f .3.2.2 正定矩阵在积分中的应用例3.5 证明：椭球体331j 11ij i j i a x x ==Ω=∑∑：的体积等于1/24/3,Aπ-其中()33ijA a ⨯=是正定矩阵.证明 A 是正定矩阵，∴∃正交矩阵T ，使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321λλλAT T T，0>i λ，)3,2,1(=i 为A 的特征值 令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---131211λλλB 作变换TBY y y y TB x x x X =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321，则此变换的Jacobi 行列式为2121321)(--=====AB B T TB J λλλ13312321j 13()ij iji x a x xx x x A x x ==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑=Y Y BY B Y ATBY T B Y AX X TTT T T T T =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==321λλλ 1/212312312311T T X AX Y Y dx dx dx dx dx dx Ady dy dy -Ω≤≤∴===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1/24/3Aπ-3.3 正定矩阵在运筹中的应用3.3.1 具有约束方程的最优化问题例 3.6 某地区计划明年修建公路x 百公里和创建工业园区y 百公顷，假设收益函数为xy y x f =),(，受所能提供的资源（包括资金、设备、劳动力等）的限制，x 和y 需要满足约束条件369422≤+y x ，求使),(y x f 达到最大值的计划数x 和y .解 由于约束方程369422=+y x 刻画的不是坐标平面上单位向量的集合，我们需要做变量变换.将这个约束方程写成1)2()3(22=+yx ， 再设31x x =，22yx =，即13x x =，22x y =，则约束方程可以写成 12221=+x x ，而目标函数变成2121216)2)(3()2,3(x x x x x x f ==.现在的问题就成为求216)(x x x F =在1=x x T下的最大值，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21x x x .设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0330A ，则 Ax x x F T =)(，A 的特征值是3±.属于31=λ的单位特征向量是⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121.由此得，当211=x ，212=x 时，)(x F 取得最大值3，即当12.22331≈==x x 百公里，41.1222≈==x y 百公顷时，收益函数),(y x f 去的最大值3.3.4 用正定矩阵来证明不等式例3.7 证明不等式2224222x y z xy xz ++>-（其中,,x y z 是不全为零的实数）证明 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=--++=z y x z y x xz xy z y x f 301051111),,(2235222则有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=301051111P 的各阶顺序主子式为 01>，045111>=--，0731051111>=----， 所以P 是正定矩阵00,0x y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪∴∀≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有0f >故可得原不等式成立.3.5 正定矩阵在几何中的应用3.5.1二次曲面的标准型 例3.8 在3R 中化简二次方程03828322620828102222=-++-+-++-z y x zx yz xy z y x ，并判断其曲面形状.解 二次项相应的对称矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=10410421410141A .A 的特征多项式为)18)(18)(9(+--=-λλλλI A ，特征值为91=λ，182=λ，183=λ，对应的单位特征向量构成的正交矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=12221222131P .令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x P z y x ，方程化为 0938316343222222=-'-'+'-'-'+'z y x z y x ， 配方得1)34(2)31(2)31(222=+'-+'+-'z y x .令31-'=x X ，31+'=y Y ，34+'=z Z ，得122222=-+Z Y X ，故原方程表示的曲面为单叶双曲面.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数（第三版）[M],北京:高等教育出版社,2003.[2] 线性代数/余长安编著.—武汉：武汉大学出版社,2010.1[3] 胡跃进.广义正定矩阵的一个不等式[J],阜阳师范学院学报（自然科学版）,2001.18（1）：10-11.[4] 张禾瑞,郝丙新. 高等代数（第三版）[M],北京:高等教育出版社,1983.[5] 钱吉林.高等代数解题精粹（修订版）[M],北京:中央民族大学出版社,2002.Properties and Applications of positive definite quadratic form Summary: Based on the matrix and vector tool, we study a kind of special function, quadratic form. However many quadratics in practical application are real quadratic form, with one of the most important class being positive definite quadratic form. This paper focuses on the positive definiteness and application of the real matrix. This paper presents several discrimination methods of the real symmetric positive definite matrix and important conclusions, which allow people to make better use of this tool in the positive definite matrix. The paper is divided into three chapters, the first chapter mainly describes the definition of the quadratic, positive definite quadratic form and the positive definite matrix; the second chapter cited several matrix discrimination method of the description positive definiteness; the third chapter simply list some examples to illustrate the application of the positive definiteness of a real matrix.Keyword: positive definite quadratic form positive definite matrixcharacteristic value necessary and sufficient condition real symmetric matrix。
第三节 正定二次型
此时A为正定矩阵，f为正定二次型.
当 a b 1 时，有 1 0, 3 0
2 2
此时A为不定矩阵，f为不定二次型.
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例6.7 求 的值，使得二次型
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ( x1 x2 x3 ) 2 x1 x2 2 2 x2 x3 2 x3 x1 x4
第三节 正定二次型
1
惯性定理 正(负)定二次型的概念 正(负)定二次型的判别
2
3
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结束
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形 中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也 不变），也就是有如下定理.
构成的k阶子式
a11 a1k ak 1 akk
称为矩阵A的k阶顺序主子式.
令k 1,2,, n 就得到矩阵A的一切顺序主子式．
n阶矩阵只有n个顺序主子式.
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结束
定理6.4
对称矩阵 A为正定的充分必要条件是: A
的各阶顺序主子式为正，即
a11 a12 a11 0, 0, a21 a22
上页 下页 结束
1 a 0 ( 3) f 的矩阵为 A a 1 b 0 b 1 1 a 1 a 2 3 A 1 (a 2 b 2 ) 1 1 2 a 1
当 a b 1 时，有1 0, 2 0, 3 0 ，
假设有 ks 0, 则当y s (单位坐标向量) 时,
5.6正定二次型
设有ks≤0 取Y=es (单位向量), 则X=Pes0 故f=X AX=k1y12+k2y22++knyn2 =ks≤0 与f正定矛盾 ∴ ks>0 (s=1,2,,n) 即f的正惯性指数为n
定理说明实二次型f正定的充要条件是 f的矩阵A与主对角线上的元素全为正数的 对角矩阵相合
判别法3: 用特征值 推论1 实二次型f=X AX正定A的特征值 全为正
§5.6 正定二次型
1.惯性定理 2.正(负)定二次型的概念 3.正(负)定二次型的判别
一、惯性定理
一个实二次型,既可以通过正交变换 化为标准形,也可以通过拉格朗日配方法 化为标准形.其标准形不是唯一的,但标准 形中所含项数是确定的,等于二次型的秩.
且二次型f的标准形中正平方项的个数(称 为f的正惯性指数)和负平方项的个数(称为 负惯性指数)也是不变的,而且二次型f的正 惯性指数与负惯性指数之和等于f的秩
f为负定二次型
A为正定阵 A的特征值均>0 A与E合同 A的各阶顺序主子式>0 存在可逆阵Q,使得A=QQ
判别法4: 用霍尔维茨定理
定理13(霍尔维茨定理) 实二次型f=X AX
正定A的各阶顺序主子式都为正,即
a11
0,
a11 a21
a12
0,
,
a11
a22
an1
a1n 0 ann
实二次型f=X AX负定A的奇数阶顺序主
子式为负,偶数阶主子式为正,即
a11 a1r
(1)r
0 (r 1,2, , n)
从而进一步有A与0相合
1
1
1
0
1
Hale Waihona Puke 00若f的正惯性指数为p,秩为r,则f的规范形为:
第四节 正定二次型
方法 1
方法 2
方法 3
11
例 2 用惯性指数法判断三元二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) x x x x1 x2 x2 x3
2 1 2 2 2 3
是否是正定二次型.
解法 解法 1 1 用配方法
解法 2 用初等变换法 解法 2
12
2. 顺序主子式法 有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个 二次型是否正定， 为此，引入 定义 9 子式
T T
En 1 O
令
. T T ann GG O
C = C1C2 , ann - TGGT = a ,
28
1 T . 就有 C AC 1 a
两边取行列式， | C |2 | A | = a . 由条件 | A | > 0 得 a > 0 . 这就说明，矩阵 A 与单 位矩阵合同，所以，A 是正定矩阵，或者说二次 型
5
(2) 非退化实线性变换保持正定性不变. 证明 (2) 设实二次型 f = XTAX 是正定的. 作非退化线性变换 X = CY 得二次型 f = YT( CTAC )Y . ( 因为如果 对任意的 Y0 0，相应 X0 =CY0 0， X0 = 0，则 Y0 = C-1X0 = 0 ) 于是由 f = XTAX 的正定 性， 即得 f = Y0T( CTAC )Y0 = X0TAX0 > 0 .
i 1 j 1
k
k
f (c1 , c2 , , ck ,0x1 , x2 , , xk )
是正定的.
23
因此，由 “正定矩阵的行列式大于零” fk 的矩阵的行列式
0 , k 1, , n . ak1 akk
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正定二次型的几个应用案例
正定二次型可以用于描述社会、经济等不同领域的现象，其应用案例包括：
1. 生产经济学中的投入产出模型，可以用正定二次型来说明增加投入如何影响产出。
2. 劳动经济学中的薪资曲线，可以用正定二次型来描述工人工资水平与经验积累之间的关系。
3. 市场经济学中的需求曲线，可以用正定二次型来描述消费者对某种商品价格变化的反应以及需求量的变化。
4. 生物学中的植物生长曲线，可以用正定二次型来描述植物在各种环境条件下的生长情况。