天津市武清区大良中学2013届高三周考(3.9)数学(理)试题
天津市武清区大良中学2013届高三数学 选修4系列专题测试 理
某某市武清区大良中学2013届高三数学 选修4系列专题测试 理3．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t sin50°－1y ＝－t cos50°(t 为参数)，则直线的倾斜角为( )A ．40° B．50° C ．140° D．130° 4．O 的割线PAB 交O 于,A B 两点,割线PCD 经过圆心,已知226,12,3PA PO AB ===,则O 的半径为( ) A .4 B .614-C .614+D .85．已知某条曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12a ＋1a，y ＝12a －1a(其中a 是参数)，则该曲线是( )A ．线段B ．圆C ．双曲线的一部分D ．圆的一部分 6．不等式|5||3|10x x -++≥的解集是A ．[-5，7]B ．[-4，6] C.(,5][7,)-∞-+∞ D.(,4][6,)-∞-∞7．在ABC ∆中,,D E 分别为,AB AC 上的点,且//DE BC ,ADE ∆的面积是22cm ,梯形DBCE 的面积为26cm ,则:DE BC 的值为( )A .3B .1:2C .1:3D .1:48．若不等式|ax ＋2|<4的解集为(－1,3)，则实数a 等于( )A ．8B ．2C ．－4D ．－2班级＿＿＿＿＿＿某某＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿成绩＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分．)9．设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝a ＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x －4，若直线l 1与l 2间的距离为10，则正数a 的值为________．10．如图，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A .若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝________；CE ＝________.11．已知221x y +=，则x y -的最大值等于_____________。
天津市武清区大良中学2013届高三数学 集合与命题 练习 理
天津市武清区大良中学2013届高三数学 集合与命题 练习 理2.命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ）A.若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 B.若11<<-x ，则12<x C.若11-<>x x ，或，则12>x D.若11-≤≥x x ，或，则12≥x 3.设R x ∈,如果)73lg(++-<x x a 恒成立，那么( )A.1≥a DB. 1>aC. 10≤<aD. 1<a4.设命题p ：41≥m ，命题q ：一元二次方程02=++m x x 有实数解．则p ⌝是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.设命题:p 函数()(0)a f x a x=>在区间（1，2）上单调递增；命题:q 不等式124x x a --+<对任意x R ∈都成立，若p q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是 （ ）A ． 143<<aB ．43>aC ． 430<<aD ．41>a 6. 下列命题：①命题“∈∃x R ，012=++x x ”的否定是“∈∃x R ，210x x ++≠”；②命题“若1≠x ，则0232≠+-x x ”的逆否命题是“若0232=+-x x ，则1=x ”③函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>是偶函数的充要条件是2ππ+=k ϕ（∈k Z ）； ④“2>x ”是“0232>+-x x ”的必要不充分条件。
其中正确命题的序号有 .7.已知1:2123x p --≤-≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是选修4系列内容1. 在极坐标系(,)ρθ(02)θ<≤π中，曲线(cos sin )2ρθθ+=与(sin cos )2ρθθ-=的交点的极坐标为 2.已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，直线l 的参数方程是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==t y t x 2222 为参数）t (则直线截圆所得的弦长为3.已知直线⎩⎨⎧+=--=t y t x 4221（t 为参数）与曲线1)2(22=--x y 相交于A ，B 两点，则点M (1,2)-到弦AB 的中点的距离为 ；4.直线l 的参数方程是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 225225 为参数）t (则曲线4422=+y x 上的点到直线l 距离的最小值为5.若不等式121x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________ 6.如图所示，PA 为⊙O 的切线,A 为切点,PBC 是过点O 的割线,10=PA ,5=PB ,BAC ∠的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E .则AE AD ⋅的值为。
天津市武清区大良中学2013届高三数学 周测(2012.9.22) 理
天津市武清区大良中学2013届高三数学 周测(2012.9.22) 理2.集合}032|{2<--=x x x M ，}|{a x x N >=，若N M ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),3[+∞B ．),3(+∞C ．]1,(--∞D ．)1,(--∞3.下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0，＋∞)上是减函数；(3)是偶函数.这样的函数是 ( )A.y ＝x 3＋1B.y ＝log 2(|x |＋2)C.y ＝(12)|x | D.y ＝2|x |4.点A 在曲线()R y x ∈⎩⎨⎧==θθθ22sin 2cos 2上，点B 在曲线()⎩⎨⎧∈==R y x θθθsin cos 上，则AB 的最大值为 （ ）A ． 12-B ． 1C ． 12+D ． 35.已知f (x )＝a x，g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (3)·g (3)<0，那么f (x )与g (x )在同一坐标系内的图象可能是 ( )6.()f x 在R 上是奇函数且)()2(x f x f -=+.2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f xx f x x f +=∈==当时，则( ) A.-2 B.2 C.-98 D.987.已知函数⎩⎨⎧≤->-=)0(1)0(log )(22x x x x x f ，则不等式0)(>x f 的解集为（ ）A.}10|{<<x x B }01|{≤<-x x C. }11|{<<-x x D. }1|{->x x 8.已知函数)3(log )(25.0a ax x x f +-=在),2[+∞单调递减，则a 的取值范围( ) A.]4,(-∞B.),4[+∞C. ]4,4[-D. ]4,4(- 二、填空9.有下面四个判断：其中正确的命题的序号为①命题：“设a 、b R ∈，若6a b +≠，则33a b ≠≠或”是一个真命题 ②若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题③命题“a ∀、22,2(1)b R a b a b ∈+≥--”的否定是：“a ∃、22,2(1)b R a b a b ∈+≤--” A.0 B.1 C.2 D.310.函数y ＝log 3(9－x 2)的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝ . 11.在极坐标系中，已知两点⎪⎭⎫⎝⎛5⎪⎭⎫ ⎝⎛12,8,12,5ππB A ，则这两点的距离为 . 12.如图,以4AB =为直径的圆与△ABC 的两边分别交于,E F 两点，60ACB ∠=，则EF = .13.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80) 三者从大到小的顺序为14.设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的取值范围是三、解答题15.已知函数22(2),0,()4,0,(2),0.x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩ (1)写出f (x )的单调区间；(2)若f (x )＝16，求相应x 的值.CAEF16.已知集合{}2560,A x x x x R =++≤∈,{B y y ==,{}1,C x a x a x R =<<+∈,求实数a 的取值范围,使得()A B C =∅成立.17. 设0a >,()22x x af x a =+是R 上的偶函数. (Ⅰ) 求a 的值; (Ⅱ) 利用单调性定义证明:()f x 在()0,+∞上是增函数.18.在直角坐标系中，圆4:221=+y x C ，圆4)2(:222=+-y x C（1）在以O 为极点，x 轴为极轴的极坐标系中，分别写出两圆的极坐标方程，并求出两圆交点的坐标（用极坐标表示）；（2）写出两圆的公共弦的参数方程19. 如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线 交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P ．（1）求证：2PM PA PC =⋅； （2）若⊙O的半径为，OA，求MN 的长．20.设函数()y f x =是定义在(0,)+∞上的减函数，并且满足，()()()f xy f x f y =+1()13f =（1）求1(1),(),(9)9f f f 的值，（2）如果()(2)2f x f x +-<，求x 的取值范围。
2013年天津高考数学理试题（含答案）
2013年(天津卷)理 科 数 学第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么那么)()()(B P A P A P B È=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R p = 其中R 表示球的半径. 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B Ç=(A) (,2]-¥ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ³--£+-ì-£ïíïî则目标函数z = y －2x 的最小值为的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 (3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等②若两组数据的平均数相等, , , 则它们的标准差也相等则它们的标准差也相等则它们的标准差也相等; ;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③①②③ (B) ①②①②(C) ②③②③ (D) ②③②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p = 2,p 1010310515-13,0-1513+-51ö- = . x 的二项展开式中的常数项为的二项展开式中的常数项为 . | = . 的长为的长为 . 的长为的长为 . = 时2sin23 2243。
2013年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷(理)含解析
P ( AB ) P ( A) P ( B ) .
·球的体积公式 V
4 3 R . 3
其中 R 表示球的半径.
h 表示棱柱的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合 A x R | x | 2 ， B x R x 1 ，则 A B （ （A） , 2 （B） 1,2 （C） 2,2 （D） 2,1
取 a 1 ， f ( x) x x x ， 因为 f ( x a ) f ( x) ，所以 ( x 1) x 1 1 x x （1） x 1 时，解得 x 0 ，矛盾； （2） 1 x 0 时，解得 x 0 ，矛盾； （3） x 0 时，解得 x 1 ，矛盾。 综上 a 1 时， A ，不符合题意，排除 C。 【解析 2】显然 a 0 且 f ( x ) 是奇函数。 当 a 0 时， f ( x ) 在 R 上单调递增，所以 f ( x a ) f ( x ) 与已知矛盾。 当 a 0 时，由 f ( x a ) f ( x) 得 x x 1 x a ( x a ) 因为 , A ，所以 x 时，不等式成立，解得 2 2 2
， AB 2 ， BC 3 ，则 sin BAC （ 4
（C）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
）
（A）
10 10
（B）
10 5
3 10 10
（D）
5 5
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试题解析
天津市武清区大良中学
杨凤国
【命题立意】本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用。 【思路分析】由余弦定理求出 AC 边后利用正弦定理求 sin BAC 。 【解析 1】选 C 由余弦定理得 AC BA BC 2 BA BC cos BAC 5 ，所以 AC
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(天津卷,含答案)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞ 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x ⎛ ⎝的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE = , 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。
天津市武清区高三数学 三角函数作业(3)
天津市武清区大良中学2013届高三数学（理）三角函数作业（3）Word 版无答案知1. 函数()16sin cos 4-⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x x f .（Ⅰ）求()x f 的最小正周期； （Ⅱ）求()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值.2.已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--,x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.4.已知向量m =(sin A ,cos A ),n =(3,1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.5.已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (Ⅰ)求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[0,]12x π∈，求()f x 的最值.6.设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． （Ⅰ）求ω的最小正周期．（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间．7.设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x.(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=31，1()24c f =-，且C 为锐角，求sinA.8.设ABC ∆的内角A 、B 、C 、所对的边分别为a 、b 、c ，已知41cos ,2,1===C b a （Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求()C A -cos 的值.9.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,5A b ==。
天津市武清区大良中学高三数学第二次模拟考试试题 理 (扫描版)
天津市武清区大良中学2012届高三第二次模拟考试数学（理）试题扫描版高三数学(理科)参考答案一．选择题 1．A 2．C 3．A 4．B 5．B 6．D 7．B 8．C二．填空题 9．1 10．ab π 11．4 12．)1017,101(- 13． 6 14．21≤a 15．（1）由已知 =⋅n m)sin ,(cos A A )sin ,(cos C C -⋅ C A C A sin sin cos cos -=B B C A cos )cos()cos(-=-=+=π ………………………2分∵ 21-=⋅n m ∴ 21cos =B ∵ π<<B 0 ∴3π=B …………………………………3分∵Bb A a sin sin = …………………………………………………………………………………4分∴ 222362sin sin =⨯==b B a A ∵ π<<A 0 ∴ 434ππ==A A 或 ………………5分 当43π=A 时，ππ>=+1213B A ，不合题意，应舍去 ∴ 4π=A ………………………6分 （2）2sin 2sin 22C A +）cosC (cos 2112cos 12cos 1+-=-+-=A C A …………………………7分 由（1）可知32ππ=-=+B C A ∴ 2sin 2sin 22C A +)]32cos([cos 211A A -+-=π)6sin(211)]sin 23cos 21([cos 211π+-=+-+-=A A A A ………………………………9分 ∵ 320π<<A , ∴ 6566πππ<+<A ∴1)6sin(21≤+<πA ………………………11分 ∴ 41)6sin(2121-<+-≤-πA ∴ 43)6sin(21121<+-≤πA ∴ 2sin 2sin 22C A +的取值范围是)43,21[ ………………………………………………………13分 16．（1）由已知选手答错每个题的概率为31321=- ……………………………………………1分 记该选手前三个题中恰好答对一个题的事件为A ，则=)(A P 213)31(32⨯⨯C ……………2分 记该选手答对第四个题的事件为B ，则32)(=B P …………………………………………3分 ∵ 事件B A ,彼此独立，∴ ==)()()(B P A P AB P 213)31(32⨯⨯C 32⨯274= ∴ 这个选手恰好答满4道题且获得一等奖的概率274 ………………………………………5分 （2）依题意ξ的可能值为2、3、4 ………………………………………………………………7分 9432)2(2===）（ξP ，278323132312=⨯⨯⨯==C P ）（ξ27731313243213=+⨯⨯==）（）（）（C P ξ …………………………………………………10分 ∴ ξ的分布列为 11分∴277627742783942=⨯+⨯+⨯=ξE ………………………………………………………13分 注：直接写出正确的分布列不扣分17．（1）∵ ⊥DA 平面PAB ，⊂BA 平面PAB ，⊂PA 平面PAB∴⊥DA BA ,PA DA ⊥ ………………………………………………………………………1分 ∵ 平面⊥PAD 平面ABCD ,平面 PAD 平面ABCD DA =,⊂BA 平面ABCD∴ ⊥BA 平面PAD ……………………………………………………………………………2分∵ ⊂PA 平面PAD∴ PA BA ⊥ …………………………………………………………3分（2）方法一（i ）由（1）知， AB AD AP ,,两两垂直，以A 为坐标原点，AP AD AB ,,的方向分别为z y x ,,轴的正方向，建立空间直角坐标系 ……………………………………4分在BDC R ABD R t t ∆∆,中，∵3π=∠=∠CBD ABD ,2π=∠BDC ,1=AB ，∴32,4,2,3====CD BC BD AD ……………………………………………………5分∴)0,3,0(),0,0,1(),2,0,0(D B P ∴)2,3,0(),2,0,1(-=-=PB …………………6分设平面PBD 的法向量),,(z y x m = ，∵ PD m PB m ⊥⊥, ∴ 02=-z x 且023=-z y ，令3=z ，则2,32==y x∴)3,2,32(=m……………………………………………………7分易知平面ABD 的法向量为)2,0,0(=AP ……………………………………………………8分∴19573412232,cos =++=>=<AP m……………………………………9分∴结合具体图形二面角A BD P --的余弦值为1957………………………………………10分 （ii ）点C 的坐标为（3，32,0），)2,32,3(-=PC ……………………………………11分∴ 点C 到平面PBD 的距离为||||m PC m⋅ ……………………………………………………12分 即195783412|323436|=++-+为所求 …………………………………………………13分（2）方法二（i ）作BD AE ⊥,E 为垂足，连PE ，由（1）知，AB AD AP ,,两两垂直 易得⊥PA 平面ABCD ，∵ ⊂BD 平面ABCD ∴ BD PA ⊥∵ AE PA ,是平面PAE 内的两条相交直线 ∴ ⊥BD 平面PAE∵ ⊂PE 平面PAE ∴ PE BD ⊥∴ PEA ∠是二面角A BD P --的平面角 …………………………………………………5分∵3π=∠=∠CBD ABD ,2π=∠BDC ,1=AB ，∴32,2,3===CD BD AD ……………………………………………………………6分∵ 在AED R t ∆中， 232==AD AE ， ∴ 在PAE R t ∆中，21922=+=PA AE PE ∴ 1957cos ==∠PE AE PEA 即为所求 ………………………………………………………9分（ii ）设点C 到平面PBD 的距离为d ，∵ PBD C BCD P V V --=三棱锥三棱锥 …………………10 ∴ d S PA S PBD BCD ⨯⨯=⨯⨯∆∆3131 …………………………………………………………11分 ∴d PE BD PA BD CD ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯2121 ∴ d PE PA CD ⨯=⨯ ∴ d ⨯=⨯219232 ∴ 19578=d ………………………13分18．（1）抛物线M ：x y 42=的焦点为（1,0） …………………………………………………1分由已知001=-+b ∴ 1=b ………………………………………………………………2分抛物线M ：x y 42=的准线为1-=x …………………………………………………………3分将1-=x ，1=b 代入)0(12222>>=+b a b y a x ，得2211ay -=∵ 21|)|21(22==AB y 21112=-a∴ 22=a ∴ 椭圆N 的方程为11222=+y x ……………………………………………………………5分（2）设动点T 的坐标为),(y x ,若0≠PT ，则Q F F ,,21三点不共线∵ a Q F 2||1= ∴ a PQ P F 2||||1=+，∵ a PF P F 2||||21=+ ∴||||2PF PQ = …………………………………………………………………………………6分∵ 02=⋅Q F PT ∴ Q F PT 2⊥ ∴ 点T 是线段Q F 2的中点 ……………………………7分设椭圆N 的中心为O ∵ 点O 是21F F 的中点， ∴OT是QF F 12∆的中位线 ∴2||21||1===a Q F OT …………………………………8分 ∴ 动点T 的轨迹方程为222=+y x ……………………………………………………………10分若0=PT ，则Q F F ,,21三点共线，且点T P ,重合于椭圆N 的顶点，………………………11分 动点T 的坐标为)0,2(-或)0,2(，显然满足方程222=+y x ……………………………12分综上，动点T 的轨迹方程为222=+y x ………………………………………………………13分19．（1）∵ )2(2)(+=x f x f ∴)1(4)21(4)1(2)23(2)3(f f f f f =+-=-=+-=- (2)分∵ )2,0(∈x 时，)21(ln )(-<+=a ax x x f ，)2,1(1∈ ∴a a f 4)11(ln 4)3(=⨯+=- …………………………………………………………………3分(2) ∵ )2(2)(+=x f x f ∴ )4(2)22(2)2(+=++=+x f x f x f ∴ )4(4)(+=x f x f ∵ )2,0(∈x 时，)21(ln )(-<+=a ax x x f ， 设∈x )2,4(--，则)2,0(4∈+x ，∴ )4()4ln()4(+++=+x a x x f∴ ∈x )2,4(--时，)21)(4(4)4ln(4)(-<+++=a x a x x f ……………………………5分在区间)2,4(--内，)]41([44444)(---+=++='a x x a a x x f ， ………………………6分考虑到∈x )2,4(--，21-<a ∴ 2414-<--<-a………………………………7分∴ 在)41,4(---a 上0)(>'x f ，即在)41,4(---a 上)(x f 是增函数； 在)2,41(---a 上0)(<'x f ，即在)2,41(---a上)(x f 是减函数.∴ 4)1(4)1ln(4)41()(max -=-+-=--=aa a a f x f ，∴ 1-=a ……………………9分（3）设函数)(x f 的值域为A ，函数)(x g 的值域为B ，∵ 对任意的)2,1(1∈x ，总存在)2,1(2∈x ，使得)()(21x g x f =，∴B A ⊆ ………………………………………10分由（1）知1-=a ，当)2,1(∈x 时，x x x f -=ln )(，xxx f -='1)( ∵ )2,1(∈x ∴ 0)(<'x f ∴ )(x f 在区间)2,1(上减函数∴ )1,22(ln --=A …………………………………………………………………………11分∵ )1)(1()(2+-=-='x x b b bx x g∵ 0<b ，∴ 在区间)2,1(上0)(<'x g ，∴ )(x g 在区间)2,1(上是减函数 ∴ )32,32())1(),2((b b g g B -== …………………………………………………………12分∵ B A ⊆ ∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≥-03213222ln b b b ……………………………………………………………13分∴ 32ln 23-≤b , 即所求实数b 的取值范围是)32ln 23,(--∞ ………………………14分20．（1）∵ n n a n S )1(3+= ∴ 111)11(33a a S +== ∴ 01=a …………………………2分∵33)13(3a S += ∴ 33214)(3a a a a =++ ∵ 63=a ∴ 22=a …………………4分（2）∵ n n a n S )1(3+= ∴ 113--=n n na S ，两式相减的1)1(3--+=n n n na a n a ∴ 1)2(-=-n n na a n （2≥n ）∴ )3(21≥-=-n n na a n n ………………………………5分 ∴23146352413121564534232-⋅--⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---n n n n a a a a a a a a a a a a a a n n n n n 2)1(nn -= ∴ )3(2≥-=n n n a n …………………………………………………7分∵ 01=a ，22=a 均符合)3(2≥-=n n n a n ∴ n n a n -=2 ………………………8分 （3）||901i ai n-∑==||9012i n n i --∑=|1|2--=n n |2|2--+n n +…+|90|2--n n当902≥-n n 即10≥n 时，原式）9021()(902+++--= n n 2)901(90)902+⨯--=n n （4095)902--=n n （∵ 数列n n a n -=2是递增数列，∴ 当10=n 时，原式取最小值 即最小值为40054095)1010902=--（ …………………………………………………10分当12≤-n n 即1=n 时，原式40959021=+++= ……………………………………11分当9012<-<n n 时，由以上可知即101<<n 时，原式)](90[21012)2()1(222n n n n n n --++++++++--+--=2)](91)][(90[2)](1)[2222n n n n n n n n ----+---= 9145)(91)(222⨯+---=n n n n 9145491]291)[(222⨯+---=n n经验证，当7=n 时，2912与n n -最接近， 此时原式的最小值为20379145)77(91)77(222=⨯+--- …………………………13分综上，原式的最小值为2037 …………………………………………………………………14分。
天津市武清区大良中学2013届高三数学(理)期中模拟试题(2)Word版无答案
期中模拟试题（2）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．关于函数x y 2tan =的下列说法中正确的是（ ）A ．奇函数且最小正周期为πB ．偶函数且最小正周期为πC ．奇函数且最小正周期为2π D ．偶函数且最小正周期为2π 2．点A 极坐标为（65,πa ）（0>a ），则过点A 且与极轴垂直的直线的极坐标方程为（ ） A ．a 23cos =θρ B ．a 23cos -=θρC ．a 21cos =θρ D ．a 21cos -=θρ3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为 （ ） A ．240 B ．60 C ．48 D ．164．已知2log 3a =，3log 2b =，23log (log 2)c =，则（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b a c << 5．方程01ln )21(2=+--x x x 在区间),1(+∞内（ ）A ．没有解B ．只有一个解C ．有两个解D ．有无数个解6．|3||1|+--=x x y 最大值为a ，|5||3|-++=x x y 最小值为b ，则 121l o g 2ba -+值为（ ）A ．61 B ．21 C ．32 D ．65 7．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，8=AB ,5=AC ,7=BC ,则⋅的值为（ ）A ．45B ．42C ．265 D ．2458．定义在R 上的偶函数[)()0,f x +∞在上递增，若1()03f =，则18(log )0f x >的x 范围是（ ）A ．1(0,)(2,)2+∞ B ．(0,)+∞ C ．11(0,)(,2)82 D ．1(0,)2二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．某校高中生共有2000人，其中高一年级560人，高二年级640人，高三年级800人，现采取分层抽样抽取容量为100的样本，那么高二年级应抽取的人数为 人。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题 (理科) word解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利! 注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式: ·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+ ·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷一、选择题1．已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B 等于( )A ．(－∞，2]B ．[1,2]C ．[－2,2]D ．[－2,1] 答案 D解析 A ＝{x ∈R ||x |≤2}＝[－2,2]，B ＝{x ∈R |x ≤1}＝(－∞，1]，∴A ∩B ＝[－2,2]∩(－∞，1]＝[－2,1]，选D.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2答案 A解析 可行域如图阴影部分(含边界)令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过A 点时，z 取得最小值． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得A (5,3)． ∴z 最小＝3－2×5＝－7，选A.3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )A ．64B ．73C ．512D ．585 答案 B解析 第1次运行：S ＝0＋13＝1<50 第2次运行：x ＝2，S ＝1＋23＝9<50 第3次运行：x ＝4，S ＝9＋43＝73>50 ∴输出S ＝73，选B.4．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切，其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③ 答案 C解析 ①正确，②不正确，③正确，选C.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p 等于( )A ．1 B.32C ．2D ．3答案 C解析 e ＝2，⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝4，∴b a ＝3，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， ∴|AB |＝2·p2tan 60°又S △AOB ＝3，即12·p 2·2·p 2tan 60°＝3，∴p 24＝1，∴p ＝2，选C.6．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010B.105C.31010D.55答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sin π45＝3×225＝31010，选C.7．函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点． 当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1，令f (x )＝0得log 2x ＝⎝⎛⎭⎫12x，由y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.8．已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 答案 A解析 f (x )＝x (1＋a |x |)，f (x ＋a )＝(x ＋a )(1＋a |x ＋a |)， 由f (x ＋a )<f (x )得，x ＋a ＋a (x ＋a )|x ＋a |<x ＋ax |x |， 而a ＋a (x ＋a )|x ＋a |<ax |x |， (1)当a ＝0时，不合题意．(2)当a >0时有1＋(x ＋a )|x ＋a |<x |x |由于当x ＝0时1＋|a |<0无解，故a <0，去掉C. (3)当a <0时，1＋(x ＋a )|x ＋a |>x |x |取a ＝－12，则1＋⎝⎛⎭⎫x －12⎪⎪⎪⎪x －12>x |x |* ①当x ≤0时，由*得－34<x ≤0②当0<x ≤12时，由☆得0<x ≤2＋279>12此时⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A 符合题意，由于－12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0， －12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－52去掉B 、D ，故选A.第Ⅱ卷二、填空题9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 答案 1＋2i解析 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ， ⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. ∴a ＋b i ＝1＋2i.10.⎝⎛⎭⎫x －1x 6的二项展开式中的常数项为________． 答案 15解析 T r ＋1＝C r 6x 6－r(－x －12)r ＝(－1)r C r 6x 6－3r 2(r ＝0,1，…，6)， 由题意得6－3r2＝0，∴r ＝4.故常数项为T 4＋1＝C 46(－1)4＝C 26＝6×52×1＝15.11．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，则|CP |＝________. 答案 2 3解析 由ρ＝4cos θ得：ρ2＝4ρcos θ而x 2＋y 2＝4x ，∴(x －2)2＋y 2＝4，圆心C (2,0)，点P ⎝⎛⎭⎫4，π3的直角坐标为P (2,23)． ∴|CP |＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →， ∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.13．如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为________．答案 83解析 设EB ＝x ，则ED ＝x ＋5，由切割线定理知x (x ＋5)＝62，∴x ＝4.∵AC ∥ED ，∴AB ＝CD ，又AB ＝AC .∴∠2＝∠3＝∠4＝∠5，又∠1＝∠3，∠3＝∠6. ∴∠1＝∠6，∴AE ∥BC ，即EBCA 为平行四边形． ∴AC ＝EB ＝4，BC ＝6，由△AFC ∽△BFD . ∴AC BD ＝CF 6－CF . 即45＝CF 6－CF ，∴CF ＝83.14．设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值．答案 －2解析 ∵a ＋b ＝2，b >0，显然b ≠2(∵a ≠0)， ∴a ＝2－b .①当0<b <2时，a ＝2－b >0，f (b )＝12|a |＋|a |b ＝12(2－b )＋2－b b ＝12(2－b )＋2b－1，f ′(b )＝12(2－b )2－2b2， 令f ′(b )＝0得b ＝43.当b ∈⎝⎛⎭⎫0，43时f ′(b )<0， 当b ∈⎝⎛⎭⎫43，2时f ′(b )>0.故当b ＝43，f (b )最小＝54.②当b >2时，a ＝2－b <0，f (b )＝12(b －2)＋b －2b ＝12(b －2)－2b ＋1，f ′(b )＝－12(b －2)2＋2b2， 令f ′(b )＝0得b ＝4.当2<b <4时，f ′(b )<0， 当b >4时，f ′(b )>0.故当b ＝4时，f (b )最小＝34，此时a ＝2－b ＝－2.三、解答题15．已知函数f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2 x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x＝2sin 2x －2cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π8上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤3π8，π2上是减函数．又f (0)＝－2，f ⎝⎛⎭⎫3π8＝22， f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为22，最小值为－2.16．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)． (1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 解 (1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67. 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望EX ＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.17．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点． (1)证明B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM 的长．如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．方法一 (1)证明 易得B 1C 1→＝(1,0，－1)，CE →＝(－1,1，－1)，于是B 1C 1→·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE .(2)解 B 1C →＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0.消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)．由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m |·|B 1C 1→|＝－414×2＝－277，从而sin 〈m ，B 1C 1→〉＝217，所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217.(3)解 AE →＝(0,1,0)，EC 1→＝(1,1,1)，设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB →＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →|·|AB →|＝2λλ2＋(λ＋1)2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1，于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13，所以AM ＝ 2.方法二 (1)证明 因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从而B 1E 2＝B 1C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ，又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .(2)解 过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ，连接C 1G .由(1)，B 1C 1⊥CE ，故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E ＝3，CC 1＝2，可得C 1G ＝263.在Rt △B 1C 1G 中，B 1G ＝423，所以sin ∠B 1GC 1＝217，即二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217.(3)解 连接D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连接AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM与平面ADD1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH ＝26x ，AH ＝346x .在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1＝2，得EH ＝2MH ＝13x .在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos 135°，得1718x 2＝1＋19x 2＋23x ，整理得5x 2－22x －6＝0，解得x ＝ 2.所以线段AM 的长为 2.18．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．解 (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.求解可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以 AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.19．已知首项为32的等比数列{a n }不是．．递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎨⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.20．已知函数f (x )＝x 2ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：对任意的t >0，存在唯一的s ，使t ＝f (s )；(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为s ＝g (t )，证明：当t >e 2时，有25<ln g (t )ln t <12.(1)解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞.(2)证明 当0<x ≤1时，f (x )≤0，设t >0，令h (x )＝f (x )－t ，x ∈[1，＋∞)，由(1)知，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增，h (1)＝－t <0，h (e t )＝e 2t ln e t －t ＝t (e 2t －1)>0.故存在唯一的s ∈(1，＋∞)，使得t ＝f (s )成立． (3)证明 因为s ＝g (t )，由(2)知，t ＝f (s )，且s >1，从而 ln g (t )ln t ＝ln s ln f (s )＝ln s ln (s 2ln s )＝ln s 2ln s ＋ln ln s ＝u2u ＋ln u， 其中u ＝ln s ．要使25<ln g (t )ln t <12成立，只需0<ln u <u2，当t >e 2时，若s ＝g (t )≤e ，则由f (s )的单调性，有t ＝f (s )≤f (e)＝e 2，矛盾．所以s >e ，即u >1，从而ln u >0成立．另一方面，令F (u )＝ln u －u 2，u >1.F ′(u )＝1u －12，令F ′(u )＝0，得u ＝2.当1<u <2时，F ′(u )>0；当u >2时，F ′(u )<0.故对u >1，F (u )≤F (2)<0，因此ln u <u2成立．综上，当t >e 2时，有25<ln g (t )ln t <12.。
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一. 选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且
只有一个是正确的）
1．复数2
(
)1i i
-（其中i 为虚数单位）的虚部等于( )
A ．i -
B ． 1-
C ． 1
D ．0
2. :||2p x >是:2q x <-的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
3．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S 的值是（ ） A ．39 B ．21 C ． 81 D ．102 4. 若5
1()ax x
-(0)a >展开式中3
x 的系数为581
-
，则a 的值为（ ）
A.
13
B.
19
C.
127
D. 1
5．已知双曲线222
2
1(0,0)x y a b a
b
-
=>>的左右焦点分别为12,F F ，在双曲线右支
上存在一点P 满足12PF PF ⊥且126
P F F π
∠=
，那么双曲线的离心率是（ ）
A C 1 D 1
6. 在A B C ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中120,1A b == ，
且A B C ∆则
sin sin a b A B
+=+( )
3
7. 在平行四边形A B C D 中，2,AE EB C F FB ==
,连接C E 、D F 相交于点M ，
若AM AB AD λμ=+
,则实数λ与μ的乘积为（ ）
A ．
14
B ．
38
C ．
34
D ．
43
8.已知函数2
3
4
2013
()123
4
2013
x
x
x
x
f x x =+-
+
-
++
,
2
3
4
2013
()12
3
4
2013
x
x
x
x
g x x =-+
-
+
--
,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，
且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ． 10 D ． 11
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡的相应的横线上. 9.某工厂生产,,A B C 三种不同型号的产品，三种产品数量之比依次为4:3:2， 现采用分层抽样的方法从中抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号的产品有16件， 那么此样本容量=n ．
10.右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积
大小为 .
11. 已知13
2log a =，06
2b =.，43c =log ，
则,,a b c 的大小关系为 ． 12. 己知集合2
22
{|28},{|240}x
x
A x
B x x mx -=<=+-<，
若{|11},{|43}A B x x A B x x =-<<=-<< ，则实数m 等于 . 13.
直线4,:(),:)12.
4
x a t l t C y t π
ρθ=+⎧=+
⎨=--⎩为参数圆（极轴与x 轴的非负半轴重
合，
且单位长度相同），若直线l 被圆C
5
a 的值为 .
14. 设函数01
1
()(),21
x
f x x A x =+
+为坐标原点，()n A y f x =为函数图象上横坐标为
*
()n n N ∈的点，向量11
,(1,0),n n k k n n k a A A i a i θ-===∑
向量设为向量与向量的夹
角，
满足1
5tan 3
n
k k θ=<
∑的最大整数n 是 .
三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本题满分13分）
已知函数22
()sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求：
(I) 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； (II) 求函数()f x 在区间[,]63
ππ
-上的值域．
16．（本题满分13分）
甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试， 在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是
5
3，乙只能答对其中的3道题．
答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分． （Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．
17.（本题满分13分）
如图在四棱锥P A B C D -中,底面A B C D 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面A B C D ，
且2
PA PD AD ==
,设E 、F 分别为P C 、B D 的中点．
(Ⅰ) 求证：E F //平面PAD ； (Ⅱ) 求证：面P A B ⊥平面P D C ； (Ⅲ) 求二面角B P D C --的正切值．
18．(本题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*
22()n n S a n N =-∈，
数列{}n b 满足11b =，且点*
1(,)()n n P b b n N +∈在直线2y x =+上．
（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n D ； （Ⅲ）设2
2
*
sin cos
()2
2
n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．
19. (本题满分14分) 设椭圆)0(1:
2
22
2>>=+
b a b
y a
x C 的左、右焦点分别为12,F F ，
上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足112BF F F =
，且2AF AB ⊥．
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）D 是过2F B A 、、三点的圆上的点，D 到直线033:=--
y x l 的最大距离等于
椭圆长轴的长，求椭圆C 的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l
与椭圆C 交于N M 、两点，线段M N 的中垂线 与x 轴相交于点)0,(m P ，求实数m 的取值范围．
20． (本题满分14分) 设函数()ln a f x x x x
=+，3
2
()3g x x x =--．
（Ⅰ）讨论函数()()f x h x x
=
的单调性；
（Ⅱ）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数
M ；
（Ⅲ）如果对任意的1
,[,2]2
s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．。