新高考数学模拟试题(附答案)
2024届新高考数学模拟卷(一)及答案
2024届新高考数学模拟卷(一)及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 设集合A={x|0＜x＜1}，B={x|x＜-1或x＞2}，则A∪B=（）A. {x|x＜1或x＞2}B. {x|0＜x＜1或x＞2}C. {x|x＜-1或x＞0}D. {x|x＜-1或x＜1或x＞2}2. 函数f(x)=x²-2x+3的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知函数f(x)=log₂(x-1)，则f(3)的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，S10=30，则该数列的公差d=（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知函数f(x)=x³-3x+1，则f'(x)的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 36. 已知f(x)=x²+2x+1，g(x)=x²-4，则f(x)·g(x)的图像是（）A. 开口向上的抛物线B. 开口向下的抛物线C. 没有对称轴的抛物线D. 有对称轴的抛物线7. 一个正方体长宽高分别为2、3、4，则它的对角线长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 88. 已知函数f(x)=x²-4x+4，g(x)=x²-6x+9，则f(x)-g(x)的图像是（）A. 开口向上的抛物线B. 开口向下的抛物线C. 没有对称轴的抛物线D. 有对称轴的抛物线二、填空题（每题5分，共30分）9. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，S6=21，则该数列的首项a1=______。
10. 若函数f(x)=2x-3的图像上有一点P(m,n)，则点P的坐标为______。
11. 已知函数f(x)=x²+2x+1，则f(x)在区间（-∞，+∞）上的单调递增区间为______。
12. 若直线y=2x+3与抛物线y=x²-4x+4相交于A、B两点，则AB的长度为______。
新高考数学模拟卷(附答案)
新高考数学模拟卷（考试时长120分钟，总分150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若1i z =+，则2|2|z z -=A ．0B ．1CD ．22.已知集合{}31|3,|log 02A x x B x x ⎧⎫=<<=<⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=( )A.122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ B.112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ C.{13}xx <<∣ D.1123xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 3. 已知a ，b 是单位向量，c ＝a ＋2b ，若a ⊥c ，则|c |＝A.34.已知,,a b ∈R 则“||1a ”是“||||1a b b -+”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 将函数2log (22)y x =+的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x = A.2log (21)1x +- B.2log (21)1x ++ C.2log 1x - D.2log x6. 某中学举行“十八而志,青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A 和歌唱类节目B 至少有一个被选中的不同选法种数是 A.15 B.45 C.60D.757.已知拋物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与拋物线交于M ，N 两点，若3,PF MF =则||MN =( )A.163B.83C.2 8. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过点,E F 的平面分别与棱1BB ，1DD 交于点G ，H ，给出以下四个命题：①平面EGFH 与平面ABCD 所成角的最大值为45°； ②四边形EGFH 的面积的最小值为1；③四棱锥1C EGFH -的体积为定值16；④点1B 到平面EGFH. 其中正确命题的序号为（ ） A ．②③ B ．①④C ．①③④D ．②③④二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若函数2(),f x x =设155151log 4,log ,2,3a b c ===则(),(),()f a f b f c 的大小关系不正确的是( )A.()()()f a f b f c >>B.()()()f b f c f a >>C.()()()f c f b f a >>D.()()()f c f a f b >>10.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是( )A.若m α⊂，则m β⊥B.若,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥C.若,m m αβ⊂⊥/，则//m αD.若,m n m αβ⋂=⊥，则n α⊥11.已知函数()2sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，ππ082f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在(0,π)上单调.下列说法不正确的是( ) A.12ω=B.π6282f -⎛⎫-= ⎪⎝⎭C.函数()f x 在ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D.函数()y f x =的图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称 12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e (1)x f x x -=-.下列命题正确的是( ) A.当0x <时，()e (1)x f x x =+ B.函数()f x 有5个零点C.若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的范围是[(2),(2)]f f -D.对()()1221,,2x x f x f x ∀∈-<R 恒成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在6211(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为____________.（用数字作答）.14.已知圆22(2)(1)2x y -+-=关于直线1(0,0)ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为_______. 15.巳知球O 为正四面体ABCD 的内切球，E 为棱BD 的中点，2AB =,则平面ACE 截球O 所得截面圆的面积为____________.16. 对平面直角坐标系xOy 中的两组点，如果存在一条直线ax ＋by ＋c ＝0使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”，对于一条分类直线l ，记所有的点词l 的距离的最小值为d ，约定：d 1越大，分类直线l 的分类效果越好，某学校高三（2）出的7位同学在2020年期间网购文具的费用x （单位：百元）和网购图书的费用y （单位：百元）的情况如图所示，现将P 1，P 2，P 3和P 4归为第I 组点，樽Q 1，Q 2，和Q 3归为第II 组点，在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为L 给出下列四个结论：①直线x ＝2.5比直线3x －y －5＝0的分类效果好； ②分类直线L 的斜率为2；③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II组点位于L的同侧；④如果从第I组点中去掉点P1，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是L。
2024年高考第二次模拟考试数学(新高考专用01)含答案
2024年高考第二次模拟考试高三数学（答案在最后）全解全析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．B ． C.1x x ≤-,或3x >D ．【答案】B【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可，【详解】由题意得{}3A x x =>，{}1B x x =≤-，又{}1B x x =>-R ð则(){}1A B x x ⋃=>-R ð，故选：B.【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.【详解】因为i z a b =+，所以()2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，又因为2z 为纯虚数，所以22020a b ab ⎧-=⎨≠⎩，即0a b =≠（舍）或0a b =-≠，所以i z a a =-，所以i z a a =+，所以2i 1i (1i)i i 1i (1i)(1i)z a a a a z ---====-+++-.故选：D3.已知向量()2,4a =- ，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（）A.jB.j -C.2jD.2j- 【答案】C 【解析】【分析】根据a 与b 共线，可得240t --=，求得2t =-，再利用向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为()a b jjjj+⋅⋅ ，计算即可得解.【详解】由向量()2,4a =-，()1,b t = ，若a与b共线，则240t --=，所以2t =-，(1,2)a b +=-，所以向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为：()(1,2)(0,1)21a b jj j j jj+⋅-⋅⋅=⋅=，故选：C4.“1ab >”是“10b a>>”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当0a >时，由1ab >，可得10b a>>，当a<0时，由1ab >，得10b a<<；所以“1ab >”不是“10b a>>”的充分条件.因为01010a b ab a a>⎧⎪>>⇔-⎨>⎪⎩，所以1ab >，所以“1ab >”是“10b a>>”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（）A.60B.114C.278D.336【答案】D【解析】命题意图本题考查排列与组合的应用.录用3人，有353360C A =种情况；录用4人，有4232354333162C C A C A -=种情况；录用5人，有12323331345333333225)4(C C A C A (C A C A )11A -+-=种情况.所以共有336种.6.已知D ：222210x y ax a +---=，点()3,0P -，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（）A.()5,11,3⎡⎫--⋃-+∞⎪⎢⎣⎭ B.[)5,1,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦C.(][) ,21,-∞-⋃+∞D.[)()2,11,---+∞ 【答案】B 【解析】【分析】D 的圆心坐标为(),0D a ，半径为1r a =+,要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=︒,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，故sin sin 30rMPD PD∠=≥︒，由此可求解.【详解】D 的标准方程为()()2221x a y a -+=+，圆心坐标为(),0D a ，半径为1r a =+.因为,PM PN MD ND ==，所以PMD PND ≅△△.所以30MPD NPD ∠=∠=︒.要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=︒,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，此时30MPD ∠≥︒，故1sin sin 302r MPD PD ∠=≥︒=，即()1132a a +≥+，整理得23250a a +-≥，解得[)5,1,3a ⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选:B.7.已知ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC 所成角的正弦值的最大值为3，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（）A.4πB.6πC.8πD.9π【答案】B 【解析】【分析】根据题意得PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，则∠ACB ＝90°，结合图形找出△ABC 的外接圆圆心与三棱锥-P ABC 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．【详解】三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，设直线PQ 与平面ABC 所成角为θ，∵sin θ的最大值是63，∴sin 3PA PQ PQ θ==≤，解得PQ ≥即PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，直角三角形△ABQ 中，AB ＝2，所以∠BAQ =60°,又∠BAC ＝60°，所以,A Q 重合，则∠ACB ＝90°，则△ABC 的外接圆圆心M 为AB 的中点，又PA ⊥平面ABC ，从而外接球的球心O 为PB 的中点，外接球的半径2R OB =====，∴三棱锥-P ABC 的外接球的表面积2264π4π6π2S R ⎛==⨯= ⎝⎭．故选：B ．B．椭圆M的蒙日圆方程为D．长方形G的面积的最大值为【分析】由椭圆标准方程求得,a b后再求得c，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．【详解】由椭圆方程知a2b=，则c==e==A正确；当长方形G的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为4，=因此蒙2210x y+=，B正确；设矩形的边长分别为,m n，因此22402m n mn+=≥，即20mn≤，当且仅当m n=时取等号，所以长方形G的面积的最大值是20，此时该长方形G为正方形，边长为C正确，D错误．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【分析】A，根据12||=MN x x p++结合基本不等式即可判断；B，由抛物线定义知当,,P M A三点共线时MF MP+；C，D，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.【详解】对A，设112212(,),(,),(,0)M x y N x y x x>，因为这些MN倾斜角不为0，则设直线MN的方程为32x ky=+，联立抛物线得2690y ky--=，则12126,9y y k y y+=⋅=-，所以()()221212121212399363,244k x x k y y k x x k y y y y ∴+=++=+=+++=，则212||=3666MN x x k ++=+≥（当且仅当0k =时等号成立），A 正确；对B ，如图MA ⊥抛物线准线，MF MP MA MP +=+要使其最小，即,,P M A 三点共线时取得最小值，即53||422MF MP MA MP PA +=+==+=，B 正确；对C ，由()121212311||||239||||||||324x x NF MF MF NF MF NF x x x x ++++===+++，C 错误；对D ，1212123339(()()2224MF NF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++2293993(63)(63)1842422k k =+++=++=，解得1k =±,D 正确故选：ABD.10.已知双曲线()222:102x y E a a -=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（）A.若E的两条渐近线相互垂直，则a =B.若EE 的实轴长为1C.若1290F PF ∠=︒，则124PF PF ⋅=D.当a 变化时，1F PQ周长的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，b =，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,ba b a===A 正确；B 选项，若E的离心率为c e a =====，解得1a =，所以实轴长22a =，故B 错误；C 选项，若1290F PF ∠=︒，则122221224PF PF aPF PF c⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，整理得222121224448,4PF PF c a b PF PF ⋅=-==⋅=，故C 正确；D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PF PF aQF QF a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，两式相加得11114,4PF QF PQ a PF QF a PQ +-=+=+，所以1F PQ 周长为42a PQ +，当12PQ F F ⊥时，PQ 取得最小值224b a a=，所以8424a PQ a a +≥+≥=，当且仅当84a a=，即a =所以1F PQ周长的最小值为D 正确.故选：ACD【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P ⎛⎫⎪⎝⎭，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =- ，根据数量积为0得到BC m ⊥，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =-=- ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误；B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z ----=，即224222x xy y z z=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a b c mAB a b c a c ⎧⎛⎫⋅=⋅=++= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩ ，令1a =，则0,1b c ==-，则()1,0,1m =-，因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=-= ，故BC m ⊥，BC //平面1APB ，故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =r，故1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值为1113A F n A F n ⋅==⋅，则1A F 与平面1B EBC 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⎧⋅=⋅-=+-=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩ ，令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则点1B 到平面1A EF的距离为111141717A B n n ⋅=，D 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式2nx x ⎛+ ⎝的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为【答案】240【解析】【详解】因为二项式2nx x ⎛+ ⎝的展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以二项式为6x x ⎛+ ⎝，则二项式展开式的通项3662166C (C 2r r rr r rr T xx x--+==，令第1r +项的系数最大，则11661166C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧≥⎨≥⎩，解得111433r ≤≤，因为N r ∈，所以4r =，则二项展开式中系数最大的项为36444256C 2240T x-⨯==，所以填24013.若函数()sin f x ax x =+的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.【答案】0【解析】【详解】注意到，()cos f x a x =+'.若函数()f x 上存在两条切线垂直，则存在1x 、2x R ∈，使得()()()()12121cos cos 1f x f x a x a x ''=-⇔++=-()21212cos cos cos cos 10a a x x x x ⇔+++⋅+=221212cos cos cos cos 1022x x x x a +-⎛⎫⎛⎫⇔++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos cos 1,0x x a ⇔=-=±=.故答案为014.若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +-=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.【答案】2+【解析】【分析】根据抛物线的定义求得求出11,22A D AB y CD y =+=+，当l y ⊥轴时，则1D A y y ==，可求3AB CD +的值；当直线方程为()1x n y =-时，代入抛物线方程，根据韦达定理结合基本不等式求得此时3AB CD +的最小值，即可得结论．【详解】解：如图，其中抛物线214y x =的焦点坐标为()0,1F ，抛物线的准线方程为：1y =-，圆()22114x y +-=的半径12r =又抛物线的定义可得：1,1A D AF y DF y =+=+，又11,22A D AB AF BF y CD DF CF y =-=+=-=+，当l y ⊥轴时，则1A D y y ==，所以113131622AB CD ⎛⎫+=+++= ⎪⎝⎭；当l 不垂直于y 轴时，设l 的方程为：()1x n y =-，代入抛物线方程得：()2222240n y n y n -++=，所以2224,1A D A D n y y y y n++=⋅=。
2025年新高考数学模拟试题一带解析
2025年新高考数学模拟试题（卷一）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．某车间有两条生产线分别生产5号和7号两种型号的电池，总产量为8000个．质检人员采用分层抽样的方法随机抽取了一个样本容量为60的样本进行质量检测，已知样本中5号电池有45个，则估计7号电池的产量为（）A ．6000个B ．5000个C ．3000个D ．2000个2．如图所示，四边形ABCD 是正方形，,M N 分别BC ，DC 的中点，若,,AB AM AN λμλμ=+∈R，则2λμ-的值为（）A ．43B ．52C ．23-D ．1033．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4920224a a a ++=，则20S =（）A ．60B ．120C ．180D ．2404．设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列命题为假命题的是（）A ．若,m m n α⊥⊥，则n α或n ⊂αB ．若,,⊥⊥⊥m n αβαβ，则m n ⊥C ．若,,m l n αββγαγ⋂=⋂=⋂=，且n β，则//l mD ．若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥5．第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（）A ．48B ．24C ．12D ．66．已知函数1()e 2x f x x a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）A ．1,ee ⎛⎫⎪⎝⎭B ．(4e,)⎛∞ ⎝U C ．2e ⎫⎪⎭D ．(2e,)⎛∞ ⎝U7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点()3,4A -的直线l 的一个法向量为()1,2-，则直线l 的点法式方程为：()()()13240x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3M 的平面的一个法向量为()1,4,2m =-，则该平面的方程为（）A ．4210x y z -++=B ．4210x y z --+=C ．4210x y z +-+=D ．4210x y z +--=8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与双曲线C 分别在第一、二象限交于,A B 两点，2ABF △内切圆的半径为r ，若1||2BF a =，r =，则双曲线C 的离心率为（）AB．2CD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()sin 0,0,22f x A x A ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()f x 的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度可得函数()sin 2g x x =的图象D ．将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称10．已知12,z z 是两个虚数，则下列结论中正确的是（）A ．若12z z =，则12z z +与12z z 均为实数B ．若12z z +与12z z 均为实数，则12z z =C ．若12,z z 均为纯虚数，则12z z 为实数D ．若12z z 为实数，则12,z z 均为纯虚数11．已知函数()y f x =在R 上可导且(0)2f =-，其导函数()f x '满足：22()21()exf x f x x -=-'，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 有且仅有两个零点B ．函数2()()2e g x f x =+有且仅有三个零点C ．当02x ≤≤时，不等式4()3e (2)f x x ≥-恒成立D ．()f x 在[1,2]上的值域为22e ,0⎡⎤-⎣⎦第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合{}{}2,0,2,4,3A B x x m =-=-≤，若A B A = ，则m 的最小值为．13．已知M ，N 是抛物线()2:20C x py p =>上两点，焦点为F ，抛物线上一点(),1P t 到焦点F 的距离为32，下列说法正确的是．（把所有正确结论的编号都填上）①1p =；②若OM ON ⊥，则直线MN 恒过定点()0,1；③若MOF △的外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆的半径为12；④若2MF FN = ，则直线MN 的斜率为4．14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -，中，M ，N 分别为线段11A D ，1BC 上的动点.给出下列四个结论:①存在点M ，存在点N ，满足MN ∥平面11ABB A ；②任意点M ，存在点N ，满足MN ∥平面11ABB A ；③任意点M ，存在点N ，满足1MN BC ⊥；④任意点N ，存在点M ，满足1MN BC ⊥.其中所有正确结论的序号是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数31()ln 222f x ax x x x=--+.(1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)对[1,)x ∀∈+∞，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.16．（15分）我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题．2015年10月，中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育基本国策，积极开展应对人口老龄化行动，实施全面二孩政策．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．非一线一线总计愿生40y60不愿生x2240总计5842100(1)求x和y的值．(2)分析调查数据，是否有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”？(3)在以上二孩生育意愿中按分层抽样的方法，抽取6名育龄妇女，再选取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市的概率．参考公式：22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，()2P kχ≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82817．（15分）在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，22BC AD AB ===90ABC ∠=︒，如图（1）．把ABD △沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ．(1)求证：CD AB ⊥；(2)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BNBC的值；若不存在，说明理由．18．（17分）已知椭圆22:143x y C +=的左右焦点分别为12,F F ，点()00,P x y 为椭圆C 上异于顶点的一动点，12F PF ∠的角平分线分别交x 轴、y 轴于点M N 、．(1)若012x =，求1PF ；(2)求证：PM PN为定值；(3)当1F N P 面积取到最大值时，求点P 的横坐标0x ．19．（17分）已知数列12:,,,n A a a a L 为有穷正整数数列.若数列A 满足如下两个性质，则称数列A 为m 的k 减数列：①12n a a a m +++= ；②对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(,)i j 有k 个.(1)写出所有4的1减数列；(2)若存在m 的6减数列，证明：6m >；(3)若存在2024的k 减数列，求k 的最大值.2025年新高考数学模拟试题（卷一）(解析版)第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
2024高考数学模拟试卷附答案
2024高考数学模拟试卷附答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 已知函数f(x) = x² - 2x + 1，则函数f(x)的对称轴方程是（）A. x = 1B. x = -1C. x = 0D. x = 22. 已知函数f(x) = |x - 2| - |x + 1|，则f(x)在区间（-∞，0）上是（）A. 递增函数B. 递减函数C. 先递增后递减的函数D. 先递减后递增的函数3. 若函数f(x) = (x - 1)² + k在区间（1，+∞）上是减函数，则实数k的取值范围是（）A. k ≤ 0B. k ≤ 1D. k ≥ 14. 已知a = 3 + √5，b = 3 - √5，则a² - b²的值为（）A. 4B. 6C. 8D. 105. 若函数f(x) = x² + bx + c在x = 1处取得极小值，且f(0) = 4，则b的值为（）A. -2B. 2C. -4D. 46. 已知函数f(x) = x³ - 3x² + 3x - 1，则f(x)的极值点是（）A. x = 0B. x = 1D. x = 37. 已知函数f(x) = x² + 2x + 3，则函数f(x)的图像与x轴的交点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 无法确定8. 若函数f(x) = x² + k在区间（0，1）上是减函数，则实数k的取值范围是（）A. k ≤ 0B. k ≤ 1C. k ≥ 0D. k ≥ 1二、填空题（每题5分，共30分）9. 若a = √3，b = √2，则a² - b²的值为__________。
10. 若函数f(x) = x² - 2x + 1的图像与x轴相切，则切点坐标为__________。
11. 若函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|的最小值为3，则实数x的取值范围是__________。
全国新高考一卷地区2024届普通高等学校招生模拟考试数学试题及答案
全国新高考一卷地区2024届普通高等学校招生模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知i 为虚数单位，且复数2024i 6z =，则下列说法中正确的是（ ）. A ．复数z 为实数 B ．2024i i = C ．复数z 为纯虚数D ．6i z =−2．已知集合{}31,Z A x x k k ==+∈，则下列表示正确的是（ ）. A ．2A −∈ B ．2023A ∉ C ．231k A +∉D ．35A −∉3．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为上，则该球的表面积为（ ） A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π4．若a ，b 都是正数，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．5．神舟十五号飞行任务是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次飞行任务，航天员乘组将在轨工作生活6个月.某校为了培养学生们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含两轮.高三（9）班派出了u 和v 两位同学代表班级参加比赛，每轮竞赛u 和v 两位同学各答1题.已知u 同学每轮答对的概率是45，v 同学每轮答对的概率是34，每轮竞赛中u 和v 两位同学答对与否互不影响，每轮结果亦互不影响，则u 和v 两位同学至少答对3道题的概率为（ ）. A ．39200B ．129200C ．12950D ．39506．椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左顶点为M ，点,A B 均在E 上，且点,A B 关于点y 轴对称，若直线,MA MB 均存在斜率，且斜率之积为18，记E 的离心率为e ，则2e =（ ）.A ．18B 4C ．78D ．147．若直线π4x =是πsin()4y x ω=−(0)>ω的一条对称轴，且在区间π[0,]12上不单调，则ω的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．11D ．38．设函数()f x 在R 上满足()()22f x f x −=+，()()77f x f x −=+，且在区间[]07，上只有()()130f f ==，则方程()0f x =在闭区间[]20232023−，上根的个数为（ ）. A ．806 B ．810 C ．807 D ．811二、多选题9．如图，在下列给出的正方体中，点M N ，为顶点，点O 为下底面的中心，点P 为正方体的棱所在的中点，则OP 与MN 不垂直的是（ ）.A ．B ．C ．D ．10．已知直线2:0l mx ny r +−=与圆222:C x y r +=，点(),P m n ，则下列命题中是假命题的是（ ）.A ．若点P 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离B ．若点P 在圆C 内，则直线l 与圆C相交C ．若点P 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切D ．若点P 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切11．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a ，b ，m （m >0）为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ≡b （mod m ）.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21（mod 6）.若0122222222222222C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅，a ≡b （mod 10），则b 的值可以是（ ）. A ．2019 B ．2023 C ．2029 D ．2033三、填空题12．已知向量a 与b 相互垂直，且3a =，2b =，则()()a b a b +⋅−= . 13．已知符号“lim ”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①0sin lim1x xx→=；②1lim(1)e xx x →+=，则依据两个公式，类比求0sin cos lim x x xx→= ；1sin cos 0lim(1sin 2)x xx x →+= .14．已知函数()2e e e x x xg x x x =−−，若方程()g x k =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .四、解答题15．当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业､创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y （单位：万元）情况，如表所示.(1)根据5月至9月的数据，求y 与t 之间的线性相关系数（精确到0.001），并判断相关性；(2)求出y 关于t 的回归直线方程（结果中b 保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由.附：相关系数公式：()()nniii it t y y t y nt yr−−−==∑∑.0.75r >，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）②一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线方程y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ni ii nii x y nx yb xnx==−=−∑∑，a y bx =−. 2.91≈. 16．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，2n na b n−=. (1)证明：数列{}n b 也为等差数列；(2)若13a d ==，数列{}n c 是以数列{}n b 的公差为首项，2为公比的等比数列，数列{}n n b c 的前n 项和n T ，证明：1n T ≥.17．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值． 条件①：AB MN ⊥； 条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．已知1(2,0)F −，2(2,0)F ，点P 满足122PF PF −=，记点P 的轨迹为E .直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点.(1)无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点(,0)M m ，使MP MQ ⊥恒成立，求实数m 的值；(2)在（1）的条件下，求MPQ 面积的最小值.19．已知当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()πx f x =，()sin g x x =，()h x x =.(1)证明：()()()f x g x h x ＜＜； (2)已知()()()0f x g x h x −−＜，证明：()π()2πh x g x −＞（π可近似于3.14）.参考答案：1．A【分析】借助复数的运算法则计算即可得. 【详解】()()1012101220242i i 11==−=，故6z =，故A 正确，B 、C 、D 错误. 故选：A. 2．A【分析】令31k +分别为选项中不同值，求出k 的值进行判定. 【详解】当1k =−时，2x =−，所以2A −∈，故A 正确； 当674k =时，367412023x =⨯+=，所以2023A ∈，故B 错误； 当1k =或0k =时，23131k k +=+，所以231k A +∈，故C 错误； 当12k =−时，123135x =−⨯+=−，所以35A −∈，故D 错误. 故选：A 3．A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以123432,260sin 60r r ==，即123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =2d =故121d d −=或121d d +=，1=1=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==． 故选：A ．4．A【分析】将1ab =代入，利用基本不等式直接求解即可得出结论． 【详解】若a ，b 都是正数，且1ab =∴11888422222b a a b a b a b a b a b +++=++=+=+++≥， 当且仅当4a b +=时等号成立， 故选：A. 5．D【分析】分别求出答对4道题，答对3道题的概率，再求和事件的概率即可. 【详解】若u 和v 两位同学答对4道题，则其概率为224395425⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若u 和v 两位同学答对3道题，则其概率为22143134212255444550⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故u 和v 两位同学至少答对3道题的概率为92139255050+=. 故选：D. 6．C【分析】根据题意得到,,M A B 的坐标，进而利用两点距离公式与点在椭圆上得到关于,a b 的齐次方程，从而得解.【详解】由题可得(),0M a −，设()()0000,,,A x y B x y −.则20002200018AM BMy y y k k x a a x a x ⋅=⋅==+−−， 又222222000022222118x y y a x b a b b a a −+=⇒=⇒=， 则22222287a b c a b b ==−=,. 则222227788c b e a b ===. 故选：C 7．C【分析】根据给定条件求出ω的关系式，再求出函数πsin()4y x ω=−含0的单调区间即可判断作答.【详解】因直线π4x =是πsin (0)4y x ωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭的一条对称轴，则ππππ,Z 442k k ω−=+∈，即43,Z k k ω=+∈，由πππ242x ω−≤−≤，得π3π44x ωω−≤≤，则πsin()4y x ω=−在π3π[,]44ωω−上单调递增， 而πsin()4y x ω=−在区间π[0,]12上不单调，则3ππ412ω<，解得9ω>， 综上，ω的最小值为11. 故选：C 8．B【分析】先根据条件确定函数周期，然后确定一个周期内的根的个数，进而得到在闭区间[]20232023−，上根的个数. 【详解】因为()()22f x f x −=+，所以()()4f x f x −=+， 又()()77f x f x −=+，所以()()14f x f x −=+， 所以()()414f x f x +=+，即()()10f x f x =+， 所以函数()f x 的周期为10，在区间[]07，上只有()()130f f ==， 所以()0f x =在(]4,7上无解， 则()70f x −=在(]0,3上无解，又()()77f x f x −=+，所以()70f x +=在(]0,3上无解，，即()0f x =在(]7,10上无解， 即一个周期[]0,10内，方程的根只有1,3，闭区间[]20202020−，上含有404个周期，此时有4042808⨯=个根， 在区间(]20202023，内，()()()()202110,202330,f f f f ==== 对于区间[)2023,2020−−，根据周期等价于区间[)7,10，该区间上无解， 故方程()0f x =在闭区间[]20232023−，上根的个数为810. 故选：B. 9．CD【分析】建立适当空间直角坐标系，利用空间向量分析判断即可. 【详解】设正方体的棱长为2，对A ：建立如图所示空间直角坐标系，则(2,2,2),(0,2,0),(0,0,1),(1,1,0)M N P O ， 可得(2,0,2),(1,1,1)MN OP =−−=−−，则2020MN OP ⋅=+−=， 所以MN OP ⊥，即MN OP ⊥，故A 错误；对B ：建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,2),(2,0,0),(2,0,1),(1,1,0)M N P O ， 可得(2,0,2),(1,1,1)MN OP =−=−，则2020MN OP ⋅=+−=， 所以MN OP ⊥，即MN OP ⊥，故B 错误；对C ：建立如图所示空间直角坐标系，则(0,2,0),(0,0,2),(2,1,2),(1,1,0)M N P O ， 可得(0,2,2),(1,0,2)MN OP =−=，则0040MN OP ⋅=++≠， 所以MN 与OP 不垂直，即MN 与OP 不垂直，故C 正确；对D ：建立如图所示空间直角坐标系，则(2,0,2),(0,2,2),(0,2,1),(1,1,0)M N P O ， 可得(2,2,0),(1,1,1)MN OP =−=−，则2200MN OP ⋅=++≠， 所以MN 与OP 不垂直，即MN 与OP 不垂直，故D 正确.故选：CD. 10．AB【分析】根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可. 【详解】对于A ，因为点(),P m n 在圆C 外，所以222m n r +>，则圆心()0,0C 到直线l 的距离为d r ==<，所以直线l 与圆C 相交，故命题A 是假命题；对于B ，因为点(),P m n 在圆C 内，所以222m n r +<，则圆心()0,0C 到直线l 的距离为d r ==>，所以直线l 与圆C 相离，故命题B 是假命题； 对于C ，因为点(),P m n 在圆C 上，所以222m n r +=，则圆心()0,0C 到直线l 的距离为d r ===，所以直线l 与圆C 相切，故命题C 是真命题；对于D ，因为点(),P m n 在直线l 上，所以2220m n r +=−，即222m n r +=，则圆心()0,0C 到直线l 的距离为d r ===，所以直线l 与圆C 相切，故命题D 是真命题； 故选：AB. 11．AC【分析】先利用二项式定理化简得223a =；再利用二项式定理将()11221139101==−展开可得到a 除以10所得的余数是9，进而可求解.【详解】因为()22012222222222222222C C 2C 2C 2123a =+⋅+⋅++⋅=+=()()112211011110101101019101111111111111139101C 10C 10C 10C 10C 10C 10C 19==−=⨯−⨯++⨯−=⨯−⨯++−+所以a 除以10所得的余数是9. 又因为a ≡b （mod 10） 所以b 除以10所得的余数是9.而2019201109=⨯+，2023202103=⨯+，2029202109=⨯+，2033203103=⨯+ 故选：AC. 12．5【分析】根据向量的数量积运算法则即可求解.【详解】()()2222325a b a b a a b b a b +⋅−=⋅−⋅=−=−=，故答案为：5 13． 1 2e【分析】根据题意，结合极限的运算法则，准确计算，即可求解.【详解】由极限的定义知：①0sin lim1x xx→=；②10lim(1)e x x x →+=， 因为sin cos sin 22x x x x x =，sin 2t x =，可得sin 2sin 2x tx t=， 则00sin cos sin limlim 1x t x x tx t→→==；又因为12sin cos sin 2(1sin 2)(1sin 2)x x x x x +=+，令sin 2t x =，可得22sin 2(1sin 2)(1)x t x t +=+， 所以12122sin cos 0lim(1sin 2)lim(1)lim (1e [)]x xt t x t t x t t →→→+=+=+=.故答案为：1；2e . 14．()20,5e−【分析】通过求导得出函数的单调性和极值，即可得出有三个实根时实数k 的取值范围. 【详解】由题意，在()2e e e x x x g x x x =−−中，()()2e 2x g x x x '=+−，当()0g x '=时，解得2x =−或1，当()0g x '<即2<<1x −时，()g x 单调递减， 当()0g x '>即<2x −，1x >时，()g x 单调递增，∵()()()2222222e 2e e 5e g −−−−−=−−−−=，()1111e e e e g =−−=−，当()()22,1e 0xx g x x x −=−−，方程()g x k =有三个不同的实根， ∴()02k g <<−即205e k −<<， 故答案为：()20,5e−.【点睛】易错点点点睛：本题考查函数求导，两函数的交点问题，在研究函数的图象时很容易忽略()()22,1e 0xx g x x x −=−−这个条件.15．(1)0.962r ≈−，y 与t 具有很强的线性相关关系(2)0.28 3.12y t =−+，10月收入从预测看不能突破1.5万元，理由见解析【分析】（1）直接套公式求出y 与t 之间的线性相关系数，即可判断； （2）套公式求出系数b 、a ，即可得到回归方程，并求出10月份的收入. 【详解】（1）（1）由5月至9月的数据可知1234535t ++++==，3 2.4 2.22 1.82.285y ++++==，51132 2.43 2.2425 1.831.4i i i t y ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，()5214101410i i t t=−=++++=∑，()522222210.720.120.080.280.480.848ii y y =−=++++=∑，所以所求线性相关系数为550.962i it y t yr −===≈−∑.因为相关系数的绝对值0.9620.9620.75r =−=>， 所以认为y 与t 具有很强的线性相关关系.（2）由题得522222211234555i i t ==++++=∑，51522215 3.1453 2.28 2.80.285553105i ii i i t y t yb t t==−−⨯⨯−====−−⨯−∑∑，所以()2.280.283 3.12a y bt =−=−−⨯=， 所以y 关于t 的回归直线方程为0.28 3.12y t =−+. 当6t =时，0.286 3.12 1.44y =−⨯+=，因为144 15<．．，所以10月收入从预测看不能突破1.5万元. 16．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）通过计算1n n b b +−为定值可证明等差数列；（2）先求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求n T ，根据n T 的结构即可证明不等式.【详解】（1）∵2n na b n−=， ∴2n n b a n =−，∴()()1112122n n n n n n b b a n a n a a +++⎡⎤−=−+−−=−−⎣⎦， 又∵数列{}n a 是公差为d 的等差数列， ∴1n n a a d +−=， ∴12n n b b d +−=−，∴数列{}n b 是以2d −为公差的等差数列； （2）∵13a d ==，∴112321b a =−=−=，2321d −=−=， ∴数列{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列. ∴1(1)1n b n n =+−⨯=，∴数列{}n c 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴11122n n n c −−=⨯=，∴1·2n n n b c n −=， ∴1121112222n n T n −−−=⨯+⨯++⨯①，∴2n T =()21112122n n n n −−⨯+++⨯⨯−②，∴②−①得，11222n n n T n n −=−−−−⨯+⨯()11222n n n n −=−+++⨯+⨯12212n n n −=−+⋅−122n n n =−+⋅()121n n =−+，∵1n ≥且n 为正整数， ∴10n −≥，20n ＞，∴()1211nn T n =−+≥（当1n =时取等）.17．(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，可证平面//MKN 平面11BCC B ，从而可证//MN 平面11BCC B .（2）选①②均可证明1BB ⊥平面ABC ，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.【详解】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ， 由三棱柱111ABC A B C 可得四边形11ABB A 为平行四边形， 而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，而MK ⊄平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故//MK 平面11BCC B ， 而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11BCC B ， 而,,NKMK K NK MK =⊂平面MKN ，故平面//MKN 平面11BCC B ，而MN ⊂平面MKN ，故//MN 平面11BCC B ， （2）因为侧面11BCC B 为正方形，故1CB BB ⊥， 而CB ⊂平面11BCC B ，平面11CBB C ⊥平面11ABB A ， 平面11CBB C ⋂平面111ABB A BB =，故CB ⊥平面11ABB A ， 因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ， 因为AB ⊂平面11ABB A ，故NK AB ⊥， 若选①，则AB MN ⊥，而NK AB ⊥，NKMN N =，故AB ⊥平面MNK ，而MK ⊂平面MNK ，故AB MK ⊥，所以1AB BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ，故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===， 设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =−，则()2,2,1n =−−，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯. 若选②，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，而KM ⊂平面11ABB A ， 故NK KM ⊥，而11,1B M BK NK ===，故1B M NK =， 而12B B MK ==，MB MN =，故1BB M MKN ≅， 所以190BB M MKN ∠=∠=︒，故111A B BB ⊥， 而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ， 故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===， 设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BN n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =−，则()2,2,1n =−−，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n BA θ===⨯.18．(1)1m =−(2)9【分析】（1）由双曲线定义即可得点P 的轨迹方程，设出直线l 方程，联立双曲线方程可得与x 有关韦达定理，借助向量垂直数量积为0可计算出M 点坐标；（2）借助弦长公式与点到直线的距离公式可表示出面积，再借助换元法计算即可得解. 【详解】（1）由12122PF PF F F −=<知，点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线的右支，设轨迹E 的方程为22221(1)x y x a b−=≥，0a >，0b >，2c =，22a =，23b ∴=，故轨迹E 的方程为221(1)3y x x −=≥，当直线l 的斜率存在时，设直线方程为(2)y k x =−，()11,P x y ，()22,Q x y ，与双曲线方程联立2213(2)y x y k x ⎧−=⎪⎨⎪=−⎩，可得()222234430k x k x k −−++=， 有()()24222122212230Δ16434304034303k k k k k x x k k x x k ⎧−≠⎪=−−+>⎪⎪⎪⎨+=>⎪−⎪+⎪⋅=>⎪−⎩，解得23k >， ()()()12121MP MQ x m x m y y x m ⋅=−−+=−.()()()221222x m k x x −+−−()()()22221212124k x x k m x x m k =+−++++()()()222222214342433k k k kmmk k k +++=−++−−2223(45)3m k m k −+=+− ()()222245313m m k m k −−+−=−MP MQ ⊥，0MP MQ ∴⋅=，故得()()22231450m k m m −+−−=对任意的23k >恒成立，2210,450,m m m ⎧−=∴⎨−−=⎩解得1m =−，∴当1m =−时，MP MQ ⊥.当直线l 的斜率不存在时，可得(2,3)P ，则(2,3)Q −， 此时有()()3312121−⋅=−−−−−，即此时结论也成立，综上，当1m =−时，MP MQ ⊥；（2）由（1）知(1,0)M −，当直线l的斜率存在时，()2122613k PQ x k +=−=−，点M 到直线PQ 的距离为d，则d =1||2MPQSPQ d ∴===令23(0)k t t−=>，则MPQS=10t>，9MPQS ∴=>， 当直线l 的斜率不存在时，13692MPQS =⨯⨯=， 综上可知，MPQS的最小值为9.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.19．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）令π()()()sin ,02F x h x g x x x x ⎛⎫=−=−∈ ⎪⎝⎭，，求导得到函数单调性，得到sin x x >，要证()()f x g x ＜，只需证2sin πx x ＜，构造πsin 2()x G x x =−，π(0)2x ∈，，二次求导得到单调性，得到π()02G x G ⎛⎫= ⎪⎝⎭＞，证明出()(),(0)π2f x g x x ∈＜，，证明出不等式；（2）变形得到0ππ(2)sin x x −−<，两边同时除以(2)s πin 0x −<得到：πsin 2πx x −＞，证明出不等式.【详解】（1）令π()()()sin ,02F x h x g x x x x ⎛⎫=−=−∈ ⎪⎝⎭，，∴()1cos 0F x x =−>'在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上恒成立，∴()F x 在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调递增，∴()(0)0F x F =＞， ∴sin x x >，∴π()(),(0)2g x h x x ∈＜，，要证()()f x g x ＜，只需证2sin πxx ＜， ∵π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴只需证2sin πxx＜，令πsin 2()x G x x =−，π(0)2x ∈，，∴2cos sin ()x x x G x x −'=，∴22cos tan cos cos ()(tan )x x x x xG x x x x x−'==−，令()tan M x x x =−，π(0)2x ∈，，∴2221cos 1()1cos cos x M x x x −'=−=， 又∵当π(0)2x ∈，时，20cos 1x ＜＜，∴当π(0)2x ∈，时，()0M x '＜，∴()M x 在(0)π2，上单调递减，∴()(0)0M x M =＜，∴当π(0)2x ∈，时，()0G x '＜，∴()G x 在(0)π2，上单调递减∴π()02G x G ⎛⎫= ⎪⎝⎭＞，∴2sin πx x ＜， ∴()(),(0)π2f xg x x ∈＜，，∴综上所述，当π(0)2x ∈，时，()()()f x g x h x ＜＜，证毕.（2）∵当π(0)2x ∈，时，()()()0f x g x h x −−＜，∴2sin 0πxx x −−＜， ∴2sin 0πππx x x−−＜，∴0ππ2)i π(s n x x−−＜，①将①式两边同时乘以π得到：0ππ(2)sin x x −−<，② ∵20π−＜，但当π(0)2x ∈，时，sin 0x >，∴(2)s πin 0x −<，将②式两边同时除以(2)s πin 0x −<得到：(2)sin 0(2)n ππsi πx xx−−>−，∴0πsin 2πx x −>−， ∴πsin 2πx x −＞， ∴当π(0)2x ∈，时，()π()2πh x g x −＞，证毕. 【点睛】方法点睛:证明不等式或比较两函数大小，需构造函数，并根据导函数得到函数单调性，结合特殊点函数值得到结论.。
广东省大湾区(步升联考)2025届高三年级新高考适应性测试数学试题(含答案)
★启用前注意保密大湾区（步升联考）2025届高三年级新高考适应性测试数学本试卷共4页，20小题，满分150分。
考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知34i z =-，则||z =A B C ．5D ．72．若2()(2)2f x x ax =-+为偶函数，则a =A ．4-B ．2-C ．0D ．23．设集合{|22}S x x =-<<，{|}A x x S =∈，2{|}B x x S =∈，则A B =A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{|02}x x <≤4．已知向量a ，b 不平行，()()λ+-∥a b a b ，则λ=A ．2-B ．1-C ．1D ．25．已知ππsin(cos()136αβ++=，则tan()αβ-=A B ．1C ．0D ．6．已知命题:0p xy >，:||||||q x y x y +=+，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设AB 为圆锥SO 底面的一条直径，P 为底面圆周上异于A ，B 的一点，Q 为SO 中点，且二面角S PA B --与二面角Q PB A --相等．若三棱锥S ABP -的体积为V ，则圆锥的体积为A ．5π3V B ．5π4V C ．23π3V D ．32π4V 8．已知点(0,0)O ，(0,1)A ，(1,1)B ，(1,0)C ，平面上仅在线段OA ，AB ，BC 所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量(1,)m =s (0)m >的方向从线段OC 上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在BC ，AB ，OA 各反射一次后从线段OC 上某点射出，则m 的取值范围是A ．1(,2)3B ．13(,22C ．2(,2)3D ．23(,)32二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。
(2024新题型)备战2024年高考数学模拟卷(新题型地区专用) 及答案
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）黄金卷05（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要【解析】如上图正方体中，设平面1ABB 11D C 为β，CD 为m ，β，//m α，此时//m β，故，因为n α⊥，n β⊥，α、β是不同的平面，则必有正确；，如上图正方体中，设平面ABB【解析】：()222210x y a b a b+=>>的图象，则)0y ，()0,B y ，则(02,AF c x =- )00,c x y --，()1,BF c y =-- ，x a 223F B ，得(223322F F c B A ==- 00332232c x y -，得005332x c y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，1BF 得()()110AF BF c x c ⋅=---+000yy +=即222053032c c y +-=2021=，得2222511639c c a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，又42255090e e -+=，又椭圆离心率15，得55e =.二、多项选择题：本题共3小题，每小题要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得1z ，2z 为复数，则下列说法正确的是（∈R ，则11z z =312⎝⎭A ．4ω=B ．9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．若将函数()f x 的图象沿【答案】ACD【解析】令()(sin f x x ω=+由图可知：π23A x k ωϕ+=+所以1π3C B BC x x ω⎛=-=-+ ⎝所以π12π33BC AB ω⎛=-=- ⎝所以()()sin 4f x x ϕ=+，由所以ππ2π3k ϕ-+=+，k ∈所以4π2π3k =+ϕ，Z k ∈，4π因为(2023)(2025)(3)(1)2f f f f +=+=，(2024)(0)0f f ==，所以B 错误.因为(2022)(2024)(2)(0)2f f f f +=+=，(2023)(3)1f f ==，所以(2022)(2024)2(2023)f f f +=，所以(2023)f 是(2022)f 与(2024)f 的等差中项，故C 正确.因为(1)(2)(3)(4)f f f f +++()(1)(3)(2)(4)f f f f =+++2204=++=，所以20241()506[(1)(2)(3)(4)]50642024i f i f f f f ==+++=⨯=∑，故D 正确.故选：ACD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
新高考数学模拟试卷(含答案)
新高考数学模拟试卷(含答案)一、选择题1．如图所示的圆锥的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．2．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ．12B ．13C ．23D ．343．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27B ．11C ．109D ．364．给出下列说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A ．10B ．11C ．12D ．156．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC 7．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量α在基底p =(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m =(-1,1),n =(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0,-2)C ．(-2,0)D ．(0,2)8．下列各组函数是同一函数的是（ ）①()32f x x =-与()2f x x x =-()3f x 2x y x 2x 与=-=-()f x x =与()2g x x =；③()0f x x =与()01g x x=；④()221f x x x =--与()221g t t t =--． A ．① ② B ．① ③C ．③ ④D ．① ④9．已知函数()(3)(2ln 1)xf x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,)e +∞B ．2(,2)e eC ．2(2,)e +∞D ．22(,2)(2,)e e e +∞10．正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF =（ ）A ．1123AB AD - B ．1142AB AD + C ．1132AB DA + D ．1223AB AD -. 11．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则下列结论错误的是（ ）x3 4 5 6 y 2.5t44.5A ．产品的生产能耗与产量呈正相关B ．回归直线一定过4.5,3.5（） C ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨D ．t 的值是3.1512．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03223f f f f ''<-<<二、填空题13．函数()22,026,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．14．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 . 15．若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______.16．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________． 17．已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 19．34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 20．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.三、解答题21．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生10女生20合计已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为． （1）请将上述列联表补充完整；（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率． 下面的临界值表仅供参考： P（K 2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22n(ad bc)K (a b)(c d)(a c)(b d)-=++++，其中n=a+b+c+d ）22．如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =23，∠BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．23．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，3c asinC ccosA =-. (Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆3，求b ，c .24．如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2ADC π∠=，122AB AD CD ===，6PD PB ==，PD BC ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3π？若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由． 25．2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市简称创文”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分，内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；市民对公交站点布局的满意率不低于即可进行验收；用样本的频率代替概率．求被调查者满意或非常满意该项目的频率；若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率； 已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记为群众督查员中老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】 【分析】找到从上往下看所得到的图形即可． 【详解】由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C. 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B ，属于基础题.2．B解析：B 【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题． 从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是246C 种，数学之和为偶数的有13,24++两种，所以所求概率为13，选B ． 考点：古典概型．3．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由秦九韶算法可得()())((())532231? 02311,f x x x x x x x x x x =++++=+++++0ν1∴=1ν=1303⨯+= 2ν33211=⨯+= 3ν113336=⨯+=故答案选D4．A解析：A 【解析】 【分析】①②③根据定义得结论不一定正确.④画图举出反例说明题目是错误的. 【详解】解：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图（1）所示;③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图（2）所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等．故答案为:A【点睛】(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力;(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定; (3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可．5．B解析：B【解析】【分析】【详解】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有246C=个；第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有14C4=个；第三类：与信息0110没有位置上的数字相同有04C1=个，由分类计数原理与信息0110至多有两个数字对应位置相同的共有64111++=个，故选B．6．A解析：A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC=+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.7．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】由已知α=-2p +2q =(-2,2)+(4,2)=(2,4), 设α=λm +μn =λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ), 则由224λμλμ-+=⎧⎨+=⎩解得02λμ=⎧⎨=⎩∴α=0m +2n ,∴α在基底m , n 下的坐标为(0,2).8．C解析：C 【解析】 【分析】定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可. 【详解】①中()f x =的定义域为(),0∞-，()f x =(),0∞-，但()f x ==-与()f x =②中()f x x =与()g x =R ，但()g x x ==与()f x x =对应关系不一致，所以②不是同一函数；③中()0f x x =与()01g x x =定义域都是{}|0x x ≠，且()01f x x ==，()011g x x==对应关系一致，所以③是同一函数；④中()221f x x x =--与()221g t t t =--定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.故选C 【点睛】本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.9．C解析：C 【解析】 【分析】求得函数的导数()(2)()x xe af x x x-'=-⋅，根据函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，转化为0x xe a -=在(1,)+∞上有不等于2的解，令()xg x xe =，利用奥数求得函数的单调性，得到()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，得到()0f x '≥在(1,2)上恒成立，进而得到x a xe ≥在(1,2)上恒成立，借助函数()x g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，求得2(2)2a g e >=，即可得到答案.【详解】由题意，函数()(3)(2ln 1)xf x x e a x x =-+-+，可得2()(3)(1)(2)()(2)()x xxxa xe a f x e x e a x e x x x x-'=+-+-=--=-⋅，又由函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，则()0f x '=，即(2)()0x xe ax x--⋅=在(1,)+∞上有两解，即0x xe a -=在在(1,)+∞上有不等于2的解，令()xg x xe =，则()(1)0,(1)xg x x e x '=+>>，所以函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，则()0f x '≥在(1,2)上恒成立，即(2)()0x xe ax x--⋅≥在(1,2)上恒成立，即0x xe a -≤在(1,2)上恒成立，即x a xe ≥在(1,2)上恒成立，又由函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以2(2)2a g e >=，综上所述，可得实数a 的取值范围是22a e >，即2(2,)a e ∈+∞，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.10．D解析：D 【解析】 【分析】用向量的加法和数乘法则运算。
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(新高考)数学试题及答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（新高考）数学试题及答案一、单选题（20分）请从每题的选项中选择一个最符合题意的答案，并在答题卡上将相应的字母涂黑。
1.若函数f(x)在区间[-1,3]上连续，则其必定是 A. 递减函数 B. 倒U型函数 C. 奇函数 D. 偶函数2.已知三角形ABC，AB=AC，角A=40°，则角B的度数等于 A. 40° B. 70° C. 80° D. 100°3.设a,b都是正数，且logₐ1/3=log₃b/2，则a/b的值等于 A. 1/4 B. 1/3 C. 1/2 D. 24.若a,b>0，且a+b=1，则a²+b²的最小值是 A. 1/2 B.1/√2 C. 1/4 D. 15.若直线y=mx+2与曲线y=4x²-3x-1有两个公共点，则m的取值范围是 A. (-∞,1/8) B. (-∞,0)∪(0,1/8) C. (-∞,1/8]∪[0,+∞) D. (-∞,0)二、多选题（20分）请从每题的选项中选择一个或多个最符合题意的答案，并在答题卡上将相应的字母涂黑。
6.设实数x满足条件|x-3| < 2，下列等式成立的是 A.x > 5 B. x < 1 C. x ≠ 3 D. x > 17.在直角坐标系中，下列函数中具有对称中心为(2,-1)的是 A. y=x-1 B. y=-(x-2)²-1 C. y=√(x²-4x+4) D. y=1/x-38.设集合A={a, a², a³}，则以下命题成立的是 A. 若a>1，则a>1/a² B. 若a<0，则a³<0 C. 若a=1, 则A={1} D. 若a=0，则A={0}9.已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c，若它与y=x+3有恰有一个交点，并且这个交点横纵坐标都是正数，则以下命题成立的是 A. a+b = -1 B. a+c = -3 C. a+c > 0 D. a+b+c > 010.设集合A={x | x=x²-2x-3, x∈R}，B={x | x²+x-6=0,x∈R}，则以下命题成立的是A. A⊂B B. A∩B=∅ C. B⊆A D.B∪A=∅三、填空题（20分）请根据题目要求填写空缺，并在答题卡上写出完整的答案。
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新高考数学模拟试题(附答案) 新高考数学模拟试题（附答案）一、选择题1.已知a+2i=b+i，其中i为虚数单位，a,b∈R，则a+b=（）A。
-1B。
1C。
2D。
32.已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)（A>0,ω>0）的图像与直线y=a（a<A）的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f(x)的单调递减区间是（）A。
(0,1)B。
6kπ-3,6kπ，k∈ZC。
[6k,6k+3]，k∈ZD。
(0,2)3.函数f(x)=ln(x+1)-2的一个零点所在的区间是（）A。
(1,2)B。
(0,2)C。
(3,4)D。
(0,2)4.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（）A。
20种B。
30种C。
40种D。
60种5.函数f(x)=x-3x^2+1的单调减区间为（）A。
(2,+∞)B。
(-∞,2)C。
(-∞,0)D。
(0,2)6.△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=3，则c=（）A。
2B。
2√3C。
23D。
17.下列各组函数是同一函数的是（）A。
-2x^3与f(x)=x-2x；f(x)=-2x^3与y=x-2xB。
f(x)=x与g(x)=x^2C。
f(x)=x与g(x)=1/2x^2D。
f(x)=x-2x-1与g(t)=t-2t-18.函数f(x)=xlnx的大致图像为（）A。
B。
C。
D。
9.已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1有公共焦点，则C的方程为（）A。
x^2/9-y^2/16=1B。
x^2/16-y^2/9=1C。
x^2/25-y^2/16=1D。
x^2/16-y^2/25=110.若实数x^2+y^2=1满足约束条件x^2-y^2/3≤1/2，则x+y的最大值是（）A。
1B。
12C。
10D。
1/211.设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0,b>0）的渐近线与抛物线y=x+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A。
3B。
2C。
6D。
512.在[0,2π]内，不等式sinx<-3/2的解集是（）A。
(0,π)B。
C。
D。
解答：1.a+2i=b+i，实部相等，得a=b-1，因此a+b=2b-1，选项B.2.因为a<A，所以Asin(ωx+ϕ)<A，即sin(ωx+ϕ)<1，解得ωx+ϕ∈[2kπ,2kπ+π/2]∪[2kπ+3π/2,2kπ+2π]，其中k∈Z，即x∈[2kπ+ϕ/ω,2kπ+π/2+ϕ/ω]∪[2kπ+3π/2+ϕ/ω,2kπ+2π+ϕ/ω]，其中k∈Z，因此单调递减区间为[6k,6k+3]，其中k∈Z，选项C.3.将f(x)=ln(x+1)-2=0化简得x=e^2-1，因此零点所在的区间为(1,2)，选项A.4.先安排甲，有5种方案，然后安排乙和丙，有4种方案，因此总方案数为5×4=20，选项A.5.f'(x)=1-6x，令f'(x)2/3，因此单调减区间为(2,+∞)，选项A.6.根据正弦定理得c=2a，因此c=2，选项D.7.A、B、D组成的函数不相等，因此选项C.8.因为f(1)=0，f'(1)=1，f''(1)=2，因此图像在x=1处有一个零点，且在x=1处取得极大值，因此大致图像为选项D.9.设C的焦点为F，椭圆的焦点为F1、F2，则F1、F2、F、(0,0)共四点共线，且F1F2=2a，因此F1、F2分别为(-a,0)和(a,0)，设C的中心为O，则OF1=a，因此O为x轴上的点，设O的坐标为(h,0)，则a^2-h^2/b^2=1，因此h=±3，因此C的方程为x^2/9-y^2/16=1，选项A.10.根据约束条件得-1≤y≤1，因此x+y的最大值为2，选项A.11.设该双曲线的焦点为F1、F2，离心率为e，则e=c/a，其中c为焦距，因为渐近线与抛物线相切，所以双曲线的中心在抛物线的对称轴上，设双曲线的中心为O，则O在y=x+1的对称轴上，因此O的坐标为(1,-1)，设焦点F1在y=x+1上，设F1的坐标为(x,x+1)，则F2的坐标为(x+2,x+1)，由双曲线的定义得OF1=OF2=c，其中O的坐标为(1,-1)，因此c=√2，a^2+b^2=c^2，因此a^2+b^2=2，又因为e=c/a，因此e=√2/2，选项B.12.sinx<-3/2的解集为(0,π)，因为sinx是在[0,π]上单调递增的，因此选项A.二、填空题13.S5=1614.1515.|z|=√516.9/417.218.-119.√320.3三、解答题21.1）由于ABCD为矩形，所以AD//BC，又EF//AB，所以EF//AD，故AF垂直于平面ABCD.2）设∠DAPC的余弦值为k，则有cos\angle DAPC=\cos(\angle DAPB+\angleBAPC)=\cos\angle DAPB\cos\angle BAPC-\sin\angleDAPB\sin\angle BAPC$frac{AD}{AP}\cdot\frac{AP}{AC}-\frac{DP}{AP}\cdot\frac{CP}{AC}=\frac{AD\cdot AC-DP\cdot CP}{AP\cdot AC}$frac{2\cdot 1-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}}{AP\cdot 2}=\frac{2-\sqrt{3}}{2AP}$又因为$\cos\angle DAPC=\cos(180^\circ-\angle DAPC)=-\cos\angle PACF=-\frac{PF}{AP}$，所以$\frac{PF}{AP}=\frac{\sqrt{3}-2}{2}$，即PF的长度为$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$.22.1）易知f(x)的最小正周期为2π，因为sin(2π-x)=sinx，cos(2π-x)=cosx，所以f(x)的表达式可化为f(x)=sin(6x-2π)sinx-3cos(2π-x)sin(6x-2π)sinx-3cosxsin6xsinx-cos6xcosx-3cosxsin6xsinx+cos6xcosx)-3cosxcos(6x-x)-3cosx4cos^2x+2cos6x所以f(x)的最大值为2，即f(x)在[0,2π]上的最大值为2.2）当0≤x0，cos(2π-x)>0，所以f(x)<0，即f(x)在[0,π/6)上单调递减；当π/6≤x0，所以sin(6x-2π)>0，sinx>0，cos(2π-x)0，即f(x)在[π/6,π/2)上单调递增；综上所述，f(x)在[π/6,π/2)上单调递增.23.1）根据频率分布直方图，可列出以下表格：类别。
人数。
中点值。
f。
f*mid。
f*mid^20,2)。
9.1.0.18.1.62.1.622,4)。
14.3.0.28.3.92.11.764,6)。
15.5.0.3.4.5.22.56,8)。
7.7.0.14.0.98.6.868,10)。
5.9.0.1.0.5.4.5设50位农民的年收入总和为X，则X=9×1+14×3+15×5+7×7+5×9=232，平均年收入为232/50=4.64万元.2）由于样本容量n=50>30，且样本数据来自正态总体，所以可以使用正态分布进行推断.设该地农民年收入的总体均值为μ，总体标准差为σ，根据中心极限定理，样本均值X的分布近似为正态分布N(μ,σ/√n).根据频率分布直方图可得，样本均值X=4.64，样本标准差S=2.15，代入公式可得样本标准误差SE=S/√n=0.304.根据参考数据和公式①，可得P(μ-SE<X<μ+SE)=0.6827，即P(μ-0.304<4.64<μ+0.304)=0.6827，解得μ在区间[4.336,4.944]内的概率为0.6827.根据参考数据和公式②，可得P(μ-2SE<X<μ+2SE)=0.9545，即P(μ-0.608<4.64<μ+0.608)=0.9545，解得μ在区间[4.032,5.248]内的概率为0.9545.综上所述，该地农民年收入的总体均值μ在区间[4.032,5.248]内的概率为0.9545，可得该地农民年收入的总体均值μ在4.64万元左右，且有95%的置信度认为μ在[4.032,5.248]内.在等腰梯形ABCD中，设AB=CD=a，BC=b，AD=h，由题意可知AC=BD，即a+b)^2+h^2=(2a)^2$化简得$b^2=3a^2-h^2$，又因为$\vec{AB}\cdot\vec{CD}=(a+b)(h-b)=\vec{AD}\cdot\vec{BC}=hb$，所以$(a+b)(h-b)=hb$，化简得$h=\dfrac{4ab}{a+b}$，代入$b^2=3a^2-h^2$中得$b^2=3a^2-\dfrac{16a^2b^2}{(a+b)^2}$，整理得$b=\dfrac{2a\sqrt{5}}{a+\sqrt{5}a}$，故答案为29.考点：平面向量的数量积。
设圆心为O，AB中点为D，取AC中点为M。
由题得，AB=2，BC=1，∠ABC=60°。
首先求出AD和OM的长度，再利用勾股定理求出PM的长度，最后求出PM的最小值。
设AD=x，则ABDC是等腰三角形，有DC=AB=2.又因为AB=2，BC=1，∠ABC=60°，所以可以求出AC的长度为√3.由勾股定理可得：OD=√(AC²/4+AD²)=√(3/4+x²)OM=√(OC²-OD²)=√(3-3/4-x²)=√(9/4-x²)再根据勾股定理可得：PM=√(OM²+OP²)=√(9/4-x²+25)=√(34/4-x²)要使PM最小，就是要使34/4-x²最小，即要使x²最大。
由于x²=AD²，所以x取最大值时，PM取最小值。
又因为AD+DC=AC，所以x+2=√3，解得x=√3-2.代入可得PM的最小值为√(34/4-(√3-2)²)=√(13/2)。
点睛】本题主要考查勾股定理的应用，属于中档题。