高等量子力学

高等量子力学算符1!aAn n n e a A n ∞==∑算符有逆的条件 1、 在A ψϕ=中，对于每一个ϕ，总有ψ存在2、 若12A A ψψ=，则必有12ψψ=多重对易：()[]2,,,A B A A B ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦()01,!i A Ai e BeA B i ∞-=⎡⎤=⎣⎦∑在条件[][],,,0C A B A C B ⎡⎤===⎣⎦时，有如下的结论：/2A B A B C e e e e +-= 厄米算符：†H H =，充要条件为：对于所有定义域中的矢量满足H R ψψ∈幺正算符：†††11,U U UU U U -=== 定理：若{iν为一组基矢，则{}iU ν也为一组基矢证明：1、证明正交归一。

i j i j ij U U ννννδ==2、证明完全性。

任取两个矢量,ψϕ，则有††††ii i i iiiU U U U U U ψννϕψννϕψϕψϕ===∑∑∑态矢和算符的幺正变化：1','U A UAU ψψ-==。

本征值定理一：在有限维空间中，厄米算符的全部本征矢量构成正交完全集。

定理二：当且仅当两个厄米算符互相对易时，它们有一组共同的本征矢量完全集。

表象变换{iν和{αε为不同表象下的基。

则算符的表象变换表示如下：1=ij i j i ji jA A A U A U ααββαβααββαβεεεννννενν-==∑∑重要结论：1、x p ix x ψψ∂=-∂，2、p x ip pψψ∂=∂ 直和与直积直和：11122122111213212223313233000000000000A A A A A L L L L L L L L L L ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⊕= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭直积：11122122A LA L A L A L A L ⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭角动量关于角动量的各种对易关系2,,,,0i j ijkk k i j ijkkki j ijkkki L L i L L X i X L P iP L L εεε⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦∑∑∑位置表象和动量表象ipxx p=则动量波函数和位置波函数之间的变化如下：()()i pxp p p x x dx x e dx ψψψψ+∞+∞--∞-∞===⎰角动量表象2,0J J⎡⎤=⎣⎦取两个算符x yJ J iJ±=±，得到[]2,0,,zJ J J J J±±±⎡⎤==±⎣⎦经计算得到角动量本征方程()21zJ jm j j jmJ jm m jm=+=其中0,1/2,1,3/2,2...,1, (1)j m j j j j==--+-而对于升降算符，有关系)(),1J jm j m±=±自旋表象())()21,1zS sm s s smS sm m smS sm s m±=+==±且有()()11,22x yS S S S S Si+-+-=+=-泡利矩阵01010,,10001222x y ziS S Si-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭一维谐振子222122P H m X m ω=+取升降算符))†A m X iP A m X iP ωω=+=-则可得到坐标和动量算符以及哈密顿算符用升降算符表示的形式))†††12X A A P AA H A A ω=+=-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭重要的对易关系如下[]†††,,,1H A AH A A A A ωω=-⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦ 本征方程为†A A n n n =，能量本征值为12n E n ω⎛⎫=+⎪⎝⎭。

†,1A n A n n n ==+演化算符定义：()()()00,t U t t t ψψ=()()()()()()000000,,,,iU t t t HU t t t ti U t t HU t t t ψψ∂=∂∂=∂解得，()()00,iH t t U t t e--=绘景海森堡绘景中态矢量和算符与薛定谔绘景中态矢量和算符的变换关系()()()()()()11,00,0,0SSHHSU t t At U t A U t ψψψ--===算符运动方程()(),H HiA t H A t t∂⎡⎤=-⎣⎦∂ 态矢运动方程0Hi tψ∂=∂正则方程：()()()(),H H H HdX t dP t H Hdt P t dt X t ∂∂==-∂∂相互作用绘景：系统的哈密顿量可写为两部分，01S S S H H H =+，第一项为主要部分，不含时，第二项为微扰，可含时。

绘景变换关系如下()()()000SSSitH ISiitH tH IS t et A t eA eψψ-==这里演化算符中用的是哈密顿量中的主要部分。

算符运动方程：()()0,I I IiA t H A t t ∂⎡⎤=-⎣⎦∂ 态矢运动方程：()()()1III it H t t tψψ∂=∂密度矩阵纯态：nnnA A A n n n A n n A ntr Aψψψψψψρρ=====∑∑∑其中=ρψψ为纯态的密度矩阵混合态：i i iii i inii i i ninA p A p A n n n p A n n A ntr Aψψψψψψρρ=====∑∑∑∑其中ii i ip ρψψ=∑为混合态的密度矩阵空间平移()()()()()()()()()ˆ'1!1!nn nn nn nn i Pr Dr r r n i P r n er λψλψψλψλλψψ==-==--=⎛⎫=- ⎪⎝⎭=∑∑空间平移算符作用在位置矢量上：()D r r λλ=+()()()()ˆ'r r D Dr r r ψλψλψλψψλ===-=- 位置算符的空间平移变化：()()()()()()()1'R r D RD r D R r r D r r r R rλλλλλλλλλ-==-=--=-=-所以有()()1'R D RDR λλλ-==-动量算符的空间平移变化：(),0P D λ=⎡⎤⎣⎦，所以()()1'P D PDP λλ-==空间反演P r r =-，P p P r r p r r p p ==---=-∑∑位置算符的空间反演：()()PRP r PR r r P r R r =-=--=-，PRP R =- 动量算符的空间反演：()()PPP p PP p p P p P p =-=--=-，PPP P =- 角动量算符的空间反演：PLP PRP PPP L =⨯=空间转动空间转动算符：()in LD n eϕϕ-⋅=空间变换对称性与守恒量薛定谔方程()()it H t tψψ∂=∂在空间变换()D Q 作用下为 ()()()()()()1iD Q t D Q HD Q D Q t tψψ-∂=∂，要想此方程人满足薛定谔方程，而必须满足()()1D Q HDQ H -=，即(),D Q H ⎡⎤⎣⎦时间反演1、 求0T p0T p dr rp r dr r p rdr r r pp*===-=-⎰⎰⎰2、 求证100T PT P -=-()()()()()()()10000T PT t T P dr r t rT i dr r t r i dr r r t P dr r r t P t ψψψψψψ-=-=-∇-=∇=-=-⎰⎰⎰⎰散射理论渐近薛定谔方程：()()222022p r r m mψψ-∇-= ()()220k r ψ∇+= 其解为()(),ikr ikz e r A e f r ψθϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦ 微分散射界面为：()2,d f d σθϕ=Ω总散射截面为：()22sin ,d f d ππσϕθθϕθ=⎰⎰格林函数薛定谔方程：()()()()2222i k r V r r mψψ∇+= 格林函数满足：()()()22220,2i i k G k r r mδ∇+=解得格林函数为：()2021,2ikri m G k r e rπ±±=-李普曼-史温格方程：01p p i k V E H i ψψε±±=+-±格林算符：()001G E E H i ε±=-±，()+0G E 为推迟格林算符，()0G E -为超前格林算符T算符：i i p Tk V ψ±±=摩勒算符：ip k ψ±±Ω=S 算符：()†S -+=ΩΩ含时格林算符：()()()0'0'='it t H iG t t t t eθ--±-±含时全格林算符：()()()''='it t HiGt t t t eθ--±-±二次量子化对称化基矢：121;......!nPn b b bP b b b n αβναβν=∑反对称基矢：()121;...1...!p nPn b b bP b b b n αβναβν=-∑统一写成：121;......!p nPn b b b P b b b n αβναβνε=∑内积定理：()()()'''''';...;...1...!p Pn b b b n b b b P b b b b b b n αβναβνααννννεδδδ=---∑'''''''''''2''''1'''';...; (1)1;...1;...1;...1;...1;...1;......1;...1;...n n b b b n b b b b b n b b b n b b b nb b n b b b n b b b b b n b b b n b b b b b n b b b n b b b αβναβνααβγνβγναββγναγναγβγναβνανβγναβμεεε-=--+--+--++--（）产生算符：()†;...1;...ab n b b b n bb b b αβναβν=+消灭算符：（物理意义：态矢中没有b ，直接为零，态矢中有b ，将其调换到第一个进行湮灭，并且出现因调换而产生的因子）()()()()()21;...1;...+1;...+1;......+1;...]n a b n b b b b b n b b b b b n b b b b b n b b b b b n b b b αβναβγνβαγνγαβνναβμδεδεδεδ-=------+--一些对易关系：()()()()()()()()()()()()()††††††''0''0'''a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b εεεδ-=-=-=-占有数密度算符：()()()†N b a b a b =()(){}{}0,,,...;...;...;...,,, (v)b b b b N b n b b b b b n b b b n b b b b b b b αβγαβγααβγαβγαβγαδ⎧⎫∉⎡⎤⎪⎪=-=⎨⎬⎢⎥⎣⎦∈⎪⎪⎩⎭∑ 粒子数算符：()bN N b =∑，;...;...Nn b b b n n b b b αβγαβγ=()()()()()()()()()()()()††††,'','',','N b a b a b b b N b a b a b b b N a b a b N a b a b δδ⎡⎤=-⎣⎦=--⎡⎤⎣⎦⎡⎤=⎣⎦=-⎡⎤⎣⎦表象变换：()()()()††x db x a b x db x b a b ψψ==⎰⎰算符的二次量子化形式具有多体相互作用的系统算符G 在b 表象下的二次量子化表示为如下形式：()()()()()()()()1' 2'' 12!...a G db db a b bg b a b db db db db a b a b bb g b b a b a b ααααααβαβαβαβαββα=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中()()22''''i ij jijb bg b b b b g b b αβαβαβαβ=。