含有绝对值函数的取值范围问题
含绝对值的一元三次方程解法
含绝对值的一元三次方程解法1. 引言一元三次方程是数学中常见的方程形式之一。
当方程中含有绝对值时，解方程的方法可能会有所不同。
本文将介绍含有绝对值的一元三次方程的解法。
2. 解法步骤解含有绝对值的一元三次方程可以按照以下步骤进行：步骤一：确定绝对值的取值范围首先需要确定方程中绝对值的取值范围。
可以通过观察方程的系数和常数项来得到。
步骤二：分情况讨论根据绝对值的取值范围，我们将方程分为不同的情况进行讨论。
- 当绝对值的取值范围满足某个条件时，将绝对值去掉并恢复原方程形式。
- 当绝对值的取值范围不满足某个条件时，将绝对值去掉并取反，得到一个新的方程。
步骤三：解方程根据分情况讨论的结果，我们可以得到新的一元三次方程。
然后，可以采用通常的解方程的方法来求解。
步骤四：检验解的合法性在得到方程的解后，需要对解进行检验，确保解是符合原方程的。
3. 实例演示下面以一个具体的例子来演示含有绝对值的一元三次方程的解法：假设我们要解方程：|x|³ + 2x = 9步骤一：确定绝对值的取值范围。
由于绝对值函数的结果始终为正数，所以我们可以得出绝对值的取值范围为x ≥ 0。
步骤二：分情况讨论。
- 当x ≥ 0 时，绝对值去掉并恢复原方程形式。
得到方程 x³ + 2x = 9。
- 当 x < 0 时，绝对值取反。
得到方程 -x³ + 2x = 9。
步骤三：解方程。
- 对于第一种情况，我们可以采用传统的解一元三次方程的方法求解。
得到解 x = 2。
- 对于第二种情况，我们同样可以采用传统的解一元三次方程的方法求解。
得到解 x = -1。
步骤四：检验解的合法性。
将求解得到的解代入原方程，检验两边是否相等。
在这个例子中，将 x = 2 和 x = -1 代入方程均可以得到等式成立。
4. 总结含有绝对值的一元三次方程的解法可以通过分情况讨论和传统的解方程的方法来求解。
在解方程后，需要对得到的解进行检验，确保解是符合原方程的。
求函数的取值范围方法
求函数的取值范围方法1. 引言函数是数学中的重要概念，而求函数的取值范围更是解决数学问题中的关键步骤之一。
本文将详细探讨求函数的取值范围的方法和技巧，帮助读者更好地解决相关问题。
2. 求简单函数的取值范围对于简单的函数，求取其取值范围相对容易。
以下是几种常见的简单函数及其求解方法。
2.1. 线性函数线性函数的一般形式为y=kx+c，其中k和c是常数。
可以通过观察常数项c的正负来判断函数的取值范围。
如果c为正，则函数的取值范围为(−∞,+∞)；如果c为负，则函数的取值范围为(−∞,c]或[c,+∞)，具体取决于k的正负。
2.2. 幂函数幂函数的一般形式为y=x n，其中n是正整数。
对于幂函数，如果n是偶数，则函数的取值范围为[0,+∞)；如果n是奇数，则函数的取值范围为(−∞,+∞)。
2.3. 指数函数指数函数的一般形式为y=a x，其中a是正实数且不等于 1。
对于指数函数，如果0<a<1，则函数的取值范围为(0,+∞)；如果a>1，则函数的取值范围为(0,+∞)或(−∞,0)，具体取决于指数的奇偶性。
3. 求复合函数的取值范围复合函数由多个简单函数组成，求取其取值范围相对复杂一些。
以下是求解复合函数取值范围的一般方法。
3.1. 确定函数的定义域首先，需要确定复合函数的定义域，即每个简单函数的定义域的交集。
对于每个简单函数，需要排除可能导致函数无定义的情况，例如分母为零的情况。
3.2. 求取每个简单函数的取值范围对于每个简单函数，可以使用前文提到的方法求取其取值范围。
注意，对于基于其他函数的简单函数，需要考虑到其定义域的限制。
3.3. 确定复合函数的取值范围最后，将每个简单函数的取值范围组合起来，通过考虑每个简单函数的正负、定义域的限制以及复合函数的运算关系，可以得到复合函数的取值范围。
4. 求特殊函数的取值范围除了常见的简单函数和复合函数，还存在一些特殊函数，求取其取值范围需要特殊的方法和技巧。
含有绝对值函数的性质及其应用
含有绝对值函数的性质及其应用作者：李俊来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2011年第11期摘要：本文主要探究了含有绝对值的函数的几种重要形式向分段函数的转化，并对绝对值函数的最值、值域、自变量取值范围、参数取值范围等问题进行了讨论.关键词：绝对值函数；分段函数函数是高中阶段数学的核心内容，贯穿于整个高中数学的教学过程.含有绝对值的函数是一类常见的函数类型，这类函数看起来是由一次函数、二次函数等基本函数组成的，但又与它们有很大差异，并且通常与函数的值域（最值）、不等式、方程等知识联系在一起，综合性比较强. 学生在处理这类问题时，往往由于考虑不严密而引起种种错误，如何解决这类问题呢？分段讨论是基本的策略，逐段处理，将问题转化为基本函数后，再各个击破，最后归纳总结.这一过程包含着分类、转化、数形结合等多种数学思想的综合运用.下面就其常见类型及解题策略举例说明.■与一次函数有关的绝对值函数1. 函数y=ax－k+h的性质及应用函数y=|x|的图象是由第一、二象限的角平分线构成的V字形（如图1），而函数y=ax－k+h是由函数y=x的图象经过平移翻折等图形变换得到的，其中a的符号决定V字开口方向：当a>0时，V字开口向上；当a1，则张口角度为锐角；则a0）平移k个单位，再沿着y轴向上（h>0）或向下（h例1（07安徽）图3中的图象所表示的函数的解析式为（）■图3A. y=■x－1（0≤x≤2）B. y=■－■x－1（0≤x≤2）C．y=■－x－1（0≤x≤2）D. y=1－x－1（0≤x≤2）分析与解：由上述性质容易得到应选B.例2 已知不等式x2分析与解：原不等式等价于“－x2+2>x－t”， y=x－t表示顶点在x轴上的V字，如图4. 从图象上来看，要使该不等式有负数解，则在左半平面抛物线y=－x2+2上至少有一点在V字形的上方，所以当V字顶点在线段AB之间时，原不等式有负数解，对应t的取值范围是－■，2.■图42. 形如y=■aix－ki的函数对于含有多个绝对值的形如y=■aix－ki的函数，一般是先根据n个分界点ki将函数分成n+1段，去掉绝对值符号写出分段函数形式，然后根据一次函数的性质或由图象（折线）解答问题.例3?摇（09重庆）设函数f（x）=x+3－ x－1，若不等式f（x）≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A. （－∞，－1］∪［4，+∞）B. （－∞，－2］∪［5，+∞）C. ［1，2］D. （－∞，1］∪［2，+∞）解析：由图象（图5）可知，当x≥1时，函数fmax（x）=4. 所以有a2－3a≥4，解得a≤－1或a≥4. 故本题选A.例4?摇（08山东）设函数f（x）=x+1+ x－a的图象关于直线x=1对称，则a=_______.解：因为分界点x=－1和x=a关于直线x=1对称，所以a=3.例5 （08宁夏）已知函数f（x）=2x－1－x－4.（1）解不等式f（x）>2.（2）求函数y=f（x）的最小值.解：（1）原函数可化为f（x）=－x－5，x≤－■，?摇3x－3，－■2的解集是（－∞，－7）∪■，+∞.?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇（2）由函数y=f（x）的图象可知，当x=－■时，函数取得最小值－■.■与二次函数有关的含有绝对值的函数1. 形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是由函数y=ax2+bx+c位于x轴下方的图象沿x轴向上翻折后与其上方的部分组成.例6设a>0，a≠1，函数f（x）=logaax2－x在［3，4］上是增函数，求实数a的取值范围.■图6解：令g（x）=ax2－x（如图6）. 若a>1，由［3，4］?哿■，+∞，则g（x）在［3，4］上是增函数，所以f（x）在［3，4］上是增函数. 若a1或■≤a例7（08浙江）已知t为常数，函数y=x2－2x－t在区间［0，2］上的最大值为2，求t.解：因为函数y=x2－2x－t在［0，2］上只有在x=0，1，2处才有可能取得最大值. 若在x=0或2处取得最大值2，解得t=±2，其中t=2不合题意，舍去；若在x=1处取得最大值2，解得t=1或－3，其中t=－3不合题意，舍去. 所以t=－2或1.2. 形如y=f（x）+a（x+b1）x+b2（a≠0，f（x）至多为二次函数）先由分界点－b2去掉绝对值符号，把函数写成分段形式后逐段讨论，最后再归纳总结.例8 （09江苏）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x－a）x－a.（1）若f（0）≥1，求a的取值范围;（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），直接写出（不需给出演算步骤）不等式h （x）≥1的解集.解：（1）若f（0）≥1，则－aa≥1?圯a（2）当x≥a时，f（x）=3x2－2ax+a2，fmin（x）=f（a），a≥0，f■，a即fmin（x）=2a2，a≥0，■a2，a当x≤a时，f（x）=x2+2ax－a2，fmin（x）=f（－a），a≥0，f（a），a综上得fmin（x）=－2a2，a≥0，■a2，a（3）当x∈（a，+∞）时，由h（x）≥1得3x2－2ax+a2－1≥0，Δ=4a2－12（a2－1）=12－8a2.①当a≤－■或a≥■时，Δ≤0. 此时不等式的解集为（a，+∞）；②当－■0，所以有x－■x－■≥0，x>a，当a∈■，■时，原不等式的解集为（a，+∞）；当a∈－■，■时，原不等式的解集为■，+∞；当a∈－■，－■时，原不等式的解集为a，■∪■，+∞.本题第（2）问也可以分a≥0和a■与其他基本函数有关的绝对值函数与指数、对数及三角函数有关的绝对值函数，一般利用数形结合的思想，通过图形解决问题.例9 （08江西）函数y=tanx+sinx－tanx－sinx在区间■，■内的图象是（）.■■解：因为函数y=tanx+sinx－tanx－sinx=2tanx（tanx≤sinx），2sinx（tanx>sinx），所以本题应选D.例10若函数f（x）=log3x，若f（x）>f（3.5），则x的取值范围是___________.解：画出函数f（x）=log■x的图象，由图象可知x的取值范围是0■.。
微分方程中的绝对值
微分方程中的绝对值引言微分方程是数学中重要的一门分支，它描述了自然界中许多现象的变化规律。
在解微分方程的过程中，经常会遇到绝对值函数的出现。
绝对值函数在数学中具有重要的意义，它能够将变量的取值范围限制在非负数上，从而简化问题的求解过程。
本文将介绍微分方程中的绝对值函数的性质和应用。
绝对值函数的定义绝对值函数是一种常见的数学函数，表示为|x|。
它的定义如下：|x|={x,若x≥0−x,若x<0绝对值函数的图像是一条以原点为对称中心的V字形曲线。
当x大于等于零时，|x|的值等于x；当x小于零时，|x|的值等于−x。
绝对值函数的性质绝对值函数具有以下性质：1.非负性：对于任意实数x，|x|的值都是非负数，即|x|≥0。
2.对称性：|x|关于原点对称，即|x|=|−x|。
3.三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。
4.最大最小值：对于任意实数x，|x|的最小值为零，即|x|≥0；当且仅当x=0时，|x|取到最小值零。
绝对值函数在微分方程中的应用在微分方程的求解过程中，绝对值函数经常出现在初始条件的表达式中。
绝对值函数的出现，往往与问题的实际背景密切相关。
以下是几个常见的应用场景。
1. 弹簧振动问题考虑一个简单的弹簧振动系统，设弹簧的伸长量为x，则弹簧的力可以表示为F=−kx，其中k为弹簧的劲度系数。
根据牛顿第二定律，可以得到弹簧振动的微分方程：m d2xdt2=−kx其中m为质量。
如果考虑弹簧振动的初始条件为x(0)=x0和v(0)=v0，其中x0为初始位移，v0为初始速度。
解这个微分方程可以得到弹簧振动的解析解。
但是在实际问题中，初始位移和初始速度可能具有不同的符号，即可能出现x0<0或v0<0的情况。
此时，我们需要使用绝对值函数来表示初始条件，即x(0)=|x0|和v(0)= |v0|。
2. 电路中的电流问题考虑一个电路中的电感器，根据电感器的性质，电感器的电流满足L didt =V，其中L为电感系数，V为电压。
特殊绝对值不等式中参数的确定问题
讨论如下：①当ｂ＞ｌ时，定义域是（一∞，＋ ∞）；②当ｂ＝１时，定义域是（一∞，一１）Ｕ （一１，＋∞）；③当ｂ＜１时，定义域是（一∞，
３・
万方数据
２００９年第３期
河北理科教学研究
Ｉ １＜６＜２
问题讨论
时Ｉ ｌ０９２（戈２＋２＋ｂ）Ｉ．（２ｘ＋１）＜０的解集不
是｛石Ｉ石＜一｛｝；当ｂ＞２时，方程髫２＋２ｘ
Ｕ｛６弓≤６＜２１＝Ｉ
ｂ
ｂ≥７ １．
一般地，若不等式ｌ厂（ｚ）Ｉ．（２算＋１）≤０
ｖ厂ｆｉ，函数Ｙ＝ｌ０９２（戈２＋２ｘ＋６）的定义域
为（一∞，＋∞），且在定义域内有两个零点髫
＝一１
的解集是｛戈Ｉ戈≤一百１｝，其中，（戈）中含有参 数ｂ，则确定ｂ的取值范围时需要考虑：① ｆ（算）的定义域；②厂（戈）的零点；③零点属于 集合｛石Ｉ戈≤一ｉ１｝；若不等式Ｉｆ（工）Ｉ．（２ｚ＋ １）＜０的解集是｛ｘ
ｚ＜一寺｝，试确定
Ｉｌ０９２（ｚ２＋２戈＋ｂ）Ｉ．（２ｘ＋１）≤Ｏ的解集是 ｛茗Ｉ
ｘ≤一去｝，试确定ｂ的取值范围．
解：函数Ｙ＝ｌ０９２（戈２＋２算＋ｂ）的定义域
＋∞），且在定义域内有惟一零点ｘ＝一１，集 合｛算Ｉ ｚ＜一ｉ１｝中的ｘ＝一１使不等式 ｌｌ０９２（ｚ２＋２＋６）Ｉ．（２ｘ＋１）＜０不成立，此
ｚ２＋２石＋ｂ
２时，方程无实数根；②当ｂ＝２时，方程有惟 一实根（二重根）膏＝一ｌ；③当ｂ＜２时，方程
Ｉ．（２ｚ＋１）＜０的解集是
Ｉ戈
有两个不等的实根菇：一－２＋，，／．４（２－ｂ）．： 一ｌ±ｖ厂Ｆ１．
对于（１），当６＜１时，集合｛石Ｉ菇＜
Ｉ戈＜一｛且戈≠一１｝，这个集合与｛ｚ
＜一ｉ１｝不相等； ③当△＝４—４ｂ＞０，即ｂ＜ｌ时，方程ｘ２ ＋２茗＋ｂ＝０有两个不等的实根工１，２＝一ｌ ＂４－ｖ厂。『＝１，此时不等式Ｉ戈２＋２石十ｂ Ｊ．（２石＋
初中数学中考函数自变量取值范围的确定方法素材
初中数学中考函数自变量取值范围的确定方法素材在初中数学中，函数是一个非常重要的概念和工具。
在考试中，经常会出现关于函数定义域和值域的问题。
函数的自变量取值范围的确定方法是关键的一部分。
下面就是一些关于函数自变量取值范围的确定方法的素材，供你参考。
一、基本概念1.函数的定义：函数是一个对应关系，它把一个集合的每个元素对应到另一个集合的唯一元素上。
2.定义域：函数中自变量的取值范围。
3.值域：函数中因变量的取值范围。
二、常见函数类型的自变量取值范围确定方法1. 一元一次函数：y = kx + b，自变量取值范围通常为所有实数。
2. 一元二次函数：y = ax^2 + bx + c，自变量取值范围通常为所有实数。
3.绝对值函数：y=，x，自变量取值范围通常为所有实数。
4.平方函数：y=x^2，自变量取值范围通常为所有实数。
5.倒数函数：y=1/x，自变量取值范围通常不能为0。
6. 正比例函数：y = kx，自变量取值范围通常为所有实数。
7.反比例函数：y=k/x，自变量取值范围通常不能为0。
三、常用方法1. 对于给定的函数表达式，通过观察函数的性质来确定自变量的取值范围。
例如，对于一元一次函数y = kx + b，由于直线延伸到无穷远，自变量的取值范围为所有实数。
2.对于一些特定函数，可以通过图像来确定自变量的取值范围。
例如，对于平方函数y=x^2，我们可以观察到图像在x轴左侧和右侧都有延伸，因此自变量的取值范围为所有实数。
3.对于一些函数，可能存在自变量取值的限制条件。
例如，对于正方形的面积函数S=x^2，自变量x的取值范围通常是非负实数，因为面积不可能为负值。
4. 对于一些应用题，需要根据题目的实际情况来确定自变量的取值范围。
例如，对于一个长方形的长和宽分别为x和y，而面积要求为100平方米，那么自变量x和y的取值范围需要满足条件xy=100。
四、常见错误1.将定义域和值域混淆。
定义域是自变量的取值范围，而值域是函数结果的取值范围。
绝对值函数公式
绝对值函数公式绝对值函数是数学中的一种基本函数形式，它常用来描述数的大小或者表示距离。
绝对值函数的定义很简单，即取一个实数作为输入，输出该实数的绝对值。
在数学上，绝对值函数通常表示为 |x|，其中x 是实数。
绝对值函数的形式可以用一个简单的公式来表示，即：| x | = {x, if x ≥ 0,-x, if x < 0.}上述公式说明了绝对值函数在不同取值情况下的计算方法。
当输入x 大于等于零时，绝对值函数的输出等于x；而当输入x 小于零时，绝对值函数的输出等于 x 的相反数，即 -x。
绝对值函数的图像呈现出一条以原点为中心的 V 形曲线，在原点处取得最小值为零。
当 x 值小于零时，绝对值函数的图像位于 x 轴的下方，且与 x 轴关于原点对称；而当 x 值大于等于零时，绝对值函数的图像位于 x 轴的上方。
可以将绝对值函数看作是对输入 x 值进行一种“取正”的操作，即使输入为负数，最终输出仍然是正数。
这种性质使得绝对值函数在数学以及实际应用中具有广泛的运用。
绝对值函数的性质及运算规律也是数学中的基础知识。
以下是一些常见的性质和运算规律：1. 非负性：对于任意实数 x，绝对值函数的值始终大于等于零，即|x| ≥ 0。
2. 对称性：绝对值函数关于原点对称，即 |x| = |-x|。
3. 三角不等式：对于任意实数 x 和 y，有|x + y| ≤ |x| + |y|。
这个不等式表明，两个实数的绝对值之和不会超过它们的绝对值分别相加。
4. 分段函数：绝对值函数可以表示为一个分段函数，即根据 x 的正负情况采取不同的计算方法。
这种分段定义使得绝对值函数具有良好的连续性。
5. 求导性质：绝对值函数在 x = 0 处不可导，但在 x = 0 处的左右导数均存在。
在 x = 0 处的左导数为 -1，右导数为 1。
绝对值函数在各种应用中都有重要的作用。
例如，在几何学中，绝对值函数常用于计算两点之间的距离。
在经济学中，绝对值函数常用于计算价格和成本之间的差异。
如何巧用绝对值三角不等式解题
绝对值三角不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.显然，当且仅当ab ≥0时等号成立.由该不等式可推出定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时等号成立；定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时等号成立.绝对值三角不等式在解答含有绝对值的不等式、函数问题中应用广泛，下面结合实例,来谈一谈如何巧妙运用绝对值三角不等式解题.一、求解绝对值不等式问题绝对值不等式问题有很多种，如解绝对值不等式、证明绝对值不等式、求绝对值不等式中参数的取值范围.解答此类问题，通常需先将不等式进行合理的变形，然后根据绝对值三角不等式将不等式进行放缩，以便使不等式左右两边的式子成为同构式，再利用函数的单调性来解不等式，或将问题转化为函数最值问题，利用函数的性质、图象来解题.例1.若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是_____．解：∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.解答本题,主要利用了绝对值三角不等式.将问题转化为解绝对值不等式，通过解不等式，便可求得参数的取值范围.例2.已知二次函数f ()x =ax 2+bx +c 满足||f ()-1≤1，||f ()0≤2，||f ()1≤1，试证明：当||x ≤1时，不等式||f ()x ≤178成立.证明：由||f ()-1≤1，||f ()0≤2，||f ()1≤1，得ìíîïïf ()-1=a -b +c,f ()0=c,f ()1=a +b +c,即ìíîïïïïa =12f ()1-f ()0+12f ()-1，b =12f ()1-12f ()-1，c =f ()0，因此||f ()x =||ax 2+bx +c =|||éëùû12f ()1-f ()0+12f ()-1x 2|||+éëùû12f ()1-12f ()-1x +f ()0=|||12f ()1()x 2+x +f ()0()1-x 2|||+12f ()-1()x 2-x ≤12||f ()1|x 2+x +||f ()0|1-x 2+12·||f ()-1|x 2-x ≤12||x ||x +1+2||1-x 2+12||x ||x -1=12||x ·()x +1+2()1-x 2+12||x ()1-x =||x +2()1-x 2，当||x ≤1时，||x +2()1-x 2=||x +2()1-||x 2=-2·æèöø||x -142+178，其最大值为178，因此||f ()x ≤178.我们需先通过整体代换，用f ()-1、f ()1、f ()0来表示f ()x ，而||f ()x 中含有多个绝对值，为了证明不等式||f ()x ≤178，需巧妙利用绝对值三角不等式，将目标式进行放缩，从而去掉部分绝对值符号，将问题转化为求||x +2()1-||x 2的最值.二、解答含有绝对值的函数最值问题求解含有绝对值的函数最值问题，可巧用绝对值三角不等式，将含有绝对值的式子进行适当的放缩，使其简化，然后根据绝对值三角不等式取“=”的条件来寻找目标式取得最值时自变量的值.运用绝对值三角不等式，能使含有绝对值的函数最值问题变得简单，可省去许多对绝对值进行分类讨论的过程.例3.求函数y =||x +1+||x +2+…+||x +99的最小值.解：由绝对值三角不等式可得：||x +1+||x +99≥||()x +1-()x +99=98，当且仅当()x +1()x +99≤0时成立，即当-99≤x ≤-1时，“=”成立，因此，当-99≤x ≤-1时，()||x +1+||x +99min=98，当-98≤x ≤-2时，()||x +2+||x +98min =96，当-97≤x ≤-3时，()||x +3+||x +97min =94，⋯，当-51≤x ≤-49时，()||x +49+||x +51min =2，可得当x =-50时，y =||x +1+||x +2+…+||x +99=98+96+…+2+0=2450，即y =||x +1+||x +2+…+||x +99的最小值为2450.运用绝对值不等式求解含有绝对值的函数最值问题，需充分关注绝对值三角不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |取“=”时的情况.总之，在解答含有绝对值的不等式、函数问题时，同学们要注意将问题与绝对值三角不等式关联起来，灵活运用绝对值三角不等式,将含有绝对值的式子进行放缩，使其简化，再根据绝对值不等式、函数的性质来解题.（作者单位：江苏省南通市海门证大中学）思路探寻45。
2015年高考专用二次含参绝对值函数16个题及参考答案蔡军挺
[高考专用]二次含参绝对值函数16个题及参考答案诸暨里浦中学蔡军挺整理1、设函数f（x）=x|x﹣a|+b．（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0．（2）设常数b＜﹣1，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．（1）证明：充分性：若a2+b2=0，则a=b=0，∴f（x）=x|x|对任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0∴f（x）为奇函数，故充分性成立必要性：若f（x）为奇函数，则对任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，∴f（0）=0，解得b=0，∴f（x）=x|x﹣a|，由f（1）+f（﹣1）=0，即|1﹣a|﹣|a+1|=0，|1﹣a|=|1+a|得：a=0．∴a2+b2=0．故f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0（2）解：由b＜﹣1＜0，当x=0时a取任意实数不等式恒成立当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，也即x+＜a＜x﹣恒成立令g（x）=x+在0＜x≤1上单调递增，∴a＞g（x）max=g（1）=1+b令h（x）=x﹣，则h（x）在（0，]上单调递减，[，+∞）单调递增，当b＜﹣1时h（x）=x﹣在0＜x≤1上单调递减，∴a＜h（x）min=h（1）=1﹣b．∴1+b＜a＜1﹣b2、已知函数f(x)=∣x-a∣-9/x+a,x∈【1,6】，a∈R。
（1).a=1,试判断并证明函数f(x)的单调性；（2).当a∈（1,6）时，求函数f（x)的最大值的表达式M(a).(1)∵函数f(x)=|x-a|-9/x+a, x∈[1，6]，a∈R.令a=1，f(x)=|x-1|-9/x+1当x>=1时，f(x)=x-9/xF’(x)=1+9/x^2>0∴函数f(x)单调递增3、已知函数f（x）=x²+|x-a|+1（x∈R） a是实数，（1）判断f(x)的奇偶性（2）求f（x）最小值。
解：（1）首先看函数定义域，函数定义域为R，因此根据函数奇偶性的定义，只要判断f(-x)与f(x)的关系即可：f(x)=x^2+|x-a|+1f(-x)=x^2+|x+a|+1显然，当a=0时，f(x)=f(-x），函数为偶函数；当a不等于0时，f(x)不等于f(-x）也不等于-f(-x），函数既不是奇函数，也不是偶函数综上：当a=0时，函数为偶函数；当a不等于0时，函数既不是奇函数也不是偶函数。
绝对值最小值的解题技巧_解释说明以及概述
绝对值最小值的解题技巧解释说明以及概述1. 引言1.1 概述在解题过程中，经常会遇到一类问题，即求解绝对值最小值的情况。
绝对值最小值问题在数学和工程领域都具有广泛的应用，掌握相关的解题技巧和策略对于解决这类问题非常重要。
本文旨在介绍绝对值最小值的解题技巧以及其应用。
首先我们将概述绝对值最小值问题的背景和意义，并针对该问题提出一些基础概念和关键点。
接下来，我们将详细介绍常见的解题技巧和策略，以帮助读者更好地理解如何处理这类问题。
1.2 文章结构本文分为五个部分。
除了本引言部分外，第二部分将详细解释什么是绝对值最小值，并讨论它的特性和应用。
第三部分将通过三个具体示例来分析解题过程，展示如何运用所学知识来求解不同类型的绝对值最小值问题。
第四部分将进一步扩展应用范围，介绍多元函数、不等式以及数列与级数中的绝对值最小值问题。
最后，在第五部分中，我们将总结文章的主要观点，并提出一些建议，同时探讨未来可能的研究方向。
1.3 目的本文的目的是帮助读者理解和掌握解决绝对值最小值问题的技巧。
通过详细解释基础概念和关键点，以及提供示例分析和进阶应用，我们希望读者能够在实际问题中灵活运用这些技巧。
同时，我们也希望启发读者对于该领域未来研究的兴趣，并为进一步拓展和深化相关问题提供思路和指导。
2. 解题技巧解释2.1 什么是绝对值最小值在数学中，绝对值最小值指的是一个函数或方程中，当自变量取某个特定值时，其对应的函数值或方程解的绝对值达到了最小。
这意味着该特定值是使得函数或方程解取得最接近零的解。
2.2 绝对值最小值的特性和应用绝对值最小值有一些重要的特性和应用。
首先，绝对值最小值问题通常可以转化为求函数或方程导数为零的点，这些点就是函数或方程在横坐标上使得纵坐标达到绝对值最小的位置。
其次，绝对值最小值问题经常出现在优化问题、极限计算以及不等式证明中。
通过研究和理解绝对值最小值的特性和应用，我们能够更好地解决各种数学问题。
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含有绝对值函数的取值范围问题
在数学高考中，函数问题一直占有较大的分量，而绝对值函数是函数中较为困难的一
例题：已知函数f(x)＝x|x－4|，x∈[0，m]，其中m>0.
(1)当m＝2时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的值域为[0，4]，求实数m的取值范围．
变式1已知函数f(x)＝x|x－a|在[0，2]上的值域为[0，4]，求实数a的取值范围．
变式2设函数f(x)＝x|x－a|，若对于任意的x1，x2∈[2 ，＋∞)，x1≠x2，不等式f（x1）－f（x2）
＞0恒成立，求实数a的取值范围．
x1－x2
串讲1若函数f(x)＝x 2
|x －a|在区间[0，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．
串讲2若不等式|x －2a|≥1
2x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________________．
(2018·南京二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax －1， x ≤0，
x 3－ax ＋|x －2|，x ＞0
的图象恰好经过三个象限，
则实数a 的取值范围是________________．
已知函数f (x )＝e x |x 2
－a |(a ≥0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调减区间；
(2)若方程f (x )＝m 恰好有一正根和一负根，求实数m 的最大值．
答案：(1)f (x )的单调减区间为[－1＋2，1]，[－1－2，－1]；(2)4
e
2.
解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎨⎧e x （x 2
－1），|x |＞1，
e x （1－x 2
），|x |≤1.
当|x |＞1时，f ′(x )＝e x (x 2＋2x －1)，由
f ′(x )≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋ 2.所以f (x )的单调减区间为[－1－2，－1)，3分 当|x |≤1，f ′(x )＝－e x (x 2＋2x －1)，由f ′(x )≤0，解得x ≤－1－2或x ≥－1＋2， 所以f (x )的单调减区间为[－1＋2，1]，4分
综上：f (x )的单调减区间为[－1＋2，1]，[－1－2，－1].6分 (2)当a ＝0时，f (x )＝e x ·x 2，则f ′(x )＝e x ·x 2＋2x ·e x ＝e x x (x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2，
所以f (x )有极大值f (－2)＝4
e 2，极小值
f (0)＝0，当a ＞0时，f (x )＝⎩⎨⎧e x （x 2
－a ），|x |＞a ，e x （a －x 2），|x |≤a .
同(1)讨论得f (x )在(－∞，－a ＋1－1)上单调递增，在(－a ＋1－1，－a )上单调递减， 在(－a ，a ＋1－1)上单调递增，在(a ＋1－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．
且函数y ＝f (x )有两个极大值点，9分
f (－a ＋1－1)＝2e －
a ＋1－1
(a ＋1＋1)＝2e －a ＋1（a ＋1＋1）
e
.f (a ＋1－1)
＝2e
a ＋1－1
(a ＋1－1)＝2e a ＋1（a ＋1－1）
e
.11分
且当x ＝a ＋1时，f (a ＋1)＝e a ＋1
(a 2＋a ＋1)＞e
a ＋1
(a ＋1－1)＞
2e
a ＋1
（a ＋1－1）
e
.
所以若方程f (x )＝m 恰好有正根，则m ＞f (a ＋1－1)(否则至少有两个正根)． 又方程f (x )＝m 恰好有一负根，则m ＝f (－a ＋1－1).13分
令g (x )＝e －
x (x ＋1)，x ≥1，则g ′(x )＝－x e －
x ＜0，所以g (x )＝e －
x (x ＋1)在[1，＋∞)
上单调递减，即g (x )≤g (1)＝2
e
.等号当且仅当x ＝1时取到.14分
所以f (－a ＋1－1)≤⎝⎛⎭⎫
2e 2
，等号当且仅当a ＝0时取到．且此时f (a ＋1－1)＝ 2e
a ＋1－1
(a ＋1－1)＝0，即f (－a ＋1－1)＞f (a ＋1－1)，所以要使方程
f (x )＝m 恰好有一个正根和一个负根，m 的最大值为4
e
2.16分
例题1
答案：(1)[0，4]；(2)[2，2＋22]．
解析：(1)当m ＝2时，f(x)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2
＋4，当x∈[0，2]时，f(x)单调递增，所以f(x)的值域为[0，4]．
(2)由函数f(x)＝x|x －4|图象可知，当x>4时，令x|x －4|＝4，即x 2
－4x －4＝0，解得x ＝2＋22，若函数f(x)的值域为[0，4]，所以实数m 的取值范围是[2，2＋22]．
变式联想
变式1
答案：a ＝0或a ＝4.
解析：(1)当a<0时，f(x)＝x(x －a)，f(2)＝2(2－a)＞4，显然不满足条件；
(2)当a ＝0时，f(x)＝x 2
，在[0，2]上的值域为[0，4]，满足条件；
(3)当a>0时，①当0<a≤2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 24－a 2
2＝a 24≤1，f(x)＝|x 2
－ax|，f(0)＝0，
f(2)＝|4－2a|＝4－2a ＜4，不满足条件；
②当2<a<4时，f(x)＝－x 2
＋ax ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22
＋a 24≤a
2
4
＜4，不满足条件；
③当a ＝4时，f(x)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2
＋4≤4，满足条件；
④当a>4时，f(x)＝－x 2
＋ax ，f(2)＝－4＋2a>4，不满足条件． 综上所述，a ＝0或a ＝4. 变式2
答案：(－∞，2]． 解析：作出函数f(x)＝
⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
－ax ，x ≥a ，－x 2
＋ax ，x ＜a ，的图象，当a 变化时，易得a 的取值范围为(－∞，2]． 说明：变式1和2都是抓住形如y ＝x|x －a|函数的图象特征，抓住图象关键，从而解决问题．
串讲激活
串讲1
答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)．
解析：(1)当a≤0时，f(x)＝x 3－ax 2
，显然在区间[0，2]上是增函数；
(2)当a ＞0时，记g(x)＝x 3－ax 2，令g′(x)＝3x 2
－2ax ＝0，解得x ＝0，x ＝2a 3
，g(x)
在(－∞，0)上单调递增，在⎝
⎛⎭⎪⎫0，
2a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a 3，＋∞上单调递增，又g(0)＝g(a)＝0，所以f(x)＝|g(x)|在(－∞，0)上单调递减，在⎝
⎛
⎭⎪⎫0，
2a 3上单调递增，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a 3，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使f(x)在区间[0，2]上是增函数，只要2a
3≥2，即a≥3.
综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．
串讲2
答案：⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，12. 解析：作出y ＝|x －2a|和y ＝1
2x ＋a －1的简图，依题意知应有2a≤2－2a ，故a 的取
值范围是⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，12.
新题在线
答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)．
解析：因为f(0)＝－1，x →＋∞时，f(x)→＋∞，所以，函数f(x)过第一、三象限，①若a ＜0，显然成立；②若a≥0，只需x ＞0时，f(x)min ＜0即可，即存在x ＞0，使得f(x)＜0分离参数，得⎝
⎛⎭⎪⎫x 2
＋
|x －2|x min ＜a ，易求得⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋|x －2|x min ＝2，所以，此时a ＞2，综上
所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．。