函数的零点教案范文
函数零点的教案范文
函数零点的教案范文教案：介绍函数零点的概念和求解方法教学目标：1.了解函数零点的定义和性质；2.掌握求解函数零点的方法；3.能够应用所学知识解决实际问题。
教学步骤：导入：教师可先出示一个函数的图像，让学生观察并描述该函数图像的特点。
然后引导学生思考：在函数图像上，哪些点的纵坐标为0？导入部分旨在激发学生对函数零点的兴趣，并引导学生思考函数零点的概念以及与函数图像的关系。
1.函数零点的定义通过引导学生观察上面所出示的函数图像，让学生总结函数零点的概念并给出一个准确的定义。
函数零点是指函数图像与x轴相交的点，即函数在该点的纵坐标为0。
2.函数零点的性质通过带入函数的定义，让学生发现函数的零点一定是函数图像与x轴相交的点，即函数的图像在零点处与x轴相切。
同时，函数的零点可能有多个，也可能没有零点。
3.求解函数零点的方法3.1图像法通过观察函数的图像，通过估计的方式找出函数的零点的大致位置。
然后可以使用迭代的方法，逐步逼近零点的精确值。
教师可通过实例演示这一方法，并让学生尝试解决一个自己设计的例子。
3.2代数法对于一次函数，例如$f(x)=ax+b$，很容易通过解一元一次方程的方法求得零点。
而对于二次函数，可以通过配方法、求根公式或因式分解等方法求解零点。
对于高次函数，可以使用数值法（二进制逼近等方法）或计算机求解。
4.应用实例通过出示一些实际问题，引导学生将问题抽象成函数，再求解函数的零点。
例如，已知一物体由静止开始自由落体，确定物体从落下到落地花费的时间。
巩固与拓展：学生通过上面的学习，已经初步掌握了求解函数零点的方法。
在巩固部分，教师可设计一些练习题，在课堂上适当给予时间让学生独立解答，并批改作业。
在拓展部分，教师可给学生提供一些更复杂的函数，让学生应用所学知识求解其零点，并引导学生思考函数零点的应用领域。
小结与归纳：教师通过对本节课的内容进行小结和归纳，再次强调函数零点的定义和求解方法，并与学生共同总结函数零点的概念、性质以及求解方法。
2022年 《函数的零点》教学优秀教案2
函数的零点本节课选自?普通高中课程标准实验教课书数学I必修本〔B版〕?第70-72页的第二章函数的的零点．本节是课标教材新增的教学内容，通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．给出函数零点概念的目的是要用函数的观点统摄中学代数知识，把所有的中学代数问题都统一到函数的思想指导之下．函数的零点是“函数与方程〞这一单元的第一节内容，因此应该用适当的方式来说明函数与方程的关系，以突出用方程来研究函数的性质，用函数来研究解决方程的相关问题．但是教材中只表达了函数的零点与方程的解的关系，没有对函数与方程的联系与区别这方面的内容加以阐述．教学实践证明，学生在学习了“函数的零点〞这一内容之后，仍然对函数与方程的关系没有较明确的认识．因此，本人认为应该利用一次函数与一元一次方程和二次函数与一元二次方程的关系来说明函数与方程的关系，让学生对函数与方程的关系有一个初步的感知，进而使学生体会学习函数零点的意义．因此在教学中我结合两点思考，将教学设计分为四个阶段．一、对函数零点定义的思考第一阶段：研究方程的根与函数的零点例题1：问题1：解方程①6－1=0 ；②32＋6－1=0 ③④33＋6－1=0第一、二两题学生容易答复．第三题和第四题学生无法解答，产生疑惑引入课题．事实上，学生大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法求方程的根．如果带着这样的疑虑学习，必然会降低其求知欲，从而影响学习的效果．所以，教学时可首先考虑解决这一问题．通过举例让学生知道，有些方程不能用公式法求解，为了研究更多方程的根，就有必要学习函数的零点．这样做，还为接下来学习二分法埋下了伏笔．问题2：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图①方程与函数②方程与函数③方程与函数教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数引出零点概念．零点概念：对于函数＝f〔〕〔∈D〕，把使f〔〕＝0成立的实数叫做函数＝f〔〕〔∈D〕的．同时，让学生填表格根据概念，让学生理解函数＝f〔〕的零点与函数＝f〔〕的图象与轴交点有什么关系，概括总结两个结论〔请学生总结〕．1〕概念：函数的零点并不是“点〞，它不是以坐标的形式出现,而是实数．例如函数的零点为=-1,3 2〕函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．3〕方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．再提出问题：如何并根据函数零点的意义求零点？可以解方程而得到〔代数法〕；可以利用函数的图象找出零点．〔几何法〕问题2一方面让学生理解函数零点的含义，另一方面通过比照让学生再次加深对二者关系的认识，使函数图象与轴交点的横坐标到函数零点的概念转变变得更自然、更易懂．通过比照教学揭示知识点之间的密切关系．人教版B版必修1第70页，知识的引入以二次函数和相应的一元二次方程为例来建立函数的零点与方程根的联系，这样的考虑是基于学生的认知水平，由于学生对二次函数和一元二次方程都具有较好的认知根底，并且一元二次方程的根的存在性又有多种情况，所以从二次函数和相应的一元二次方程出发，不仅可以较容易地建立起它们之间的关系，而且方程根的情况具有代表性．这样，由具体到一般，才能自然地使问题得到推广．如果仅选择更简单的函数和方程，如一次函数和一元一次方程，虽然更容易建立起它们之间的关系，但方程根的情况单一不具有代表性，不利于将问题推广；我在例题1的选取中结合了学生两种熟悉的函数和方程，还选择了更为复杂的函数和方程〔如③和④〕，这样既能激发起学生的求知欲，也容易建立起它们之间的关系，有利于将问题推广．问题3：是不是所有的二次函数都有零点？根据函数零点的意义学生探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：看△1〕△＞0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．2〕△＝0，方程有两相等实根〔二重根〕，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．3〕△＜0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．第一阶段设计意图：产生疑问困惑，引起兴趣，引出课题．第一阶段一直以学生熟悉的函数作为模本研究，从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路．进而培养学生归纳总结能力．提出的问题：如何并根据函数零点的意义求零点？可以解方程而得到〔代数法〕；可以利用函数的图象找出零点．〔几何法〕为后面的教学埋下伏笔．第二阶段：函数的零点存在性的探索例题2：问题1:函数f〔〕= －35－6＋1有如下对应值表：函数＝f〔〕在哪几个区间内必有零点？为什么？问题2：观察下面函数f〔〕＝0的图象〔图1〕并答复图1①区间[a，b]上______有/无零点；f〔a〕·f〔b〕_____0〔＜或＞〕．②区间[b，c]上______有/无零点；f〔b〕·f〔c〕_____0〔＜或＞〕．③区间[c，d]上______有/无零点；f〔c〕·f〔d〕_____0〔＜或＞〕．教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析总结概括形成结论．一般地，我们有：如果函数＝f〔〕在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f〔a〕·f 〔b〕0时，函数在区间〔a，b〕内没有零点吗探求2：如果函数＝f〔〕在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f〔a〕·f〔b〕<0时，函数在区间〔a，b〕内有零点，但是否只一个零点？探求3：如果函数＝f〔〕在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间〔a，b〕内有零点时一定有f〔a〕·f〔b〕<0 ？探求4：如果函数＝f〔〕在区间[a，b]上的图象不是一条连续不断的曲线，函数在区间〔a，b〕内有零点时一定有f〔a〕·f〔b〕<0 ？图1〔反例〕总结两个条件：1〕函数＝f〔〕在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线2〕在区间[a，b]上有f〔a〕·f〔b〕<0一个结论：函数＝f〔〕在区间[a，b]内单调那么函数在这个区间内有且只有一个零点补充：什么时候只有一个零点？〔观察得出〕函数＝f〔〕在区间[a，b]内单调时只有一个零点二、对函数与方程关系的思考第三阶段：研究方程的根与函数图像交点的关系在平面直角坐标系内画函数的图象，该图象是一条直线，学生很容易“看见〞函数的零点，但假设将题目改成求函=2-1-3的零点，学生会用解方程的方法求出零点，为了引出例题1的③和④题解法，我进行了如下设计．例题3问题1：分析求函数=2-1-3的零点的过程，有何结论学生在求零点的第一步几乎都是令=0，得到2-1-3=0，然后解出的值．我引导学生分析由2-1-3=0，在同一坐标系中画出两个函数图象，有2-1-3=0，即2-1=3，从函数图像的角度，构造两个函数与，显然直线与直线有交点，如图2所示．交点的纵坐标是2，而横坐标那么是方程的解．即2就是函数函数=2-1-3的零点．图2类似地，让学生探究：在平面直角坐标系内画函数的图象，该图象是一条抛物线，显然直线与抛物线有两个不同交点，如图3所示．交点的纵坐标为4，而横坐标那么分别是方程的两个实数根．图3问题2：再回到引入的例题1：求方程的根的范围．〔提问：还可以换成一种什么问法-- 求函数=的零点〕学生就很容易理解只需在同一坐标系画出=n 与=6-2的图象〔图４〕，由图可知两图象只有一个交点,故函数=n 2 -6只有一个零点通过图像可以得到零点所在的范围．图4第三阶段设计意图：函数和方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数假设有解析式，那么这个表达式就可看成是一个二元方程；一个二元方程的两个未知数存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数．如是一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，〔只含有一个字母的代数式是这个字母的函数〕方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，方程的一般形式应表示为．因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，也可以利用方程有关知识方法来研究函数的一些性质．第四阶段：进一步体会用方程知识方法研究函数的性质课堂练习：可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整1．利用函数的图象，指出以下函数零点所在的大致区间：〔1〕；〔2〕；2．讨论：方程的一个解的大约范围，看谁找得范围更小？把学生分成小组共同探究，给学生足够的自主学习时间，让学生充分研究，发挥其主观能动性．也可以让各组把这几个题做为小课题来研究，激发学生学习潜能和热情．老师用多媒体演示，直观地演示根的存在性及根存在的区间大小情况．第四阶段设计意图：一是为用二分法求方程的近似解做准备二是小组探究合作学习培养学生的创新能力和探究意识，本组探究题目就是为了培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，根本上可以到达上述目的．本节课借助二次函数的图象与轴是否有交点的事实与一元二次方程的根的关系出发，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形，引入了函数零点的定义，表达了从具体到一般的思维过程．随后，利用函数图像和几个填空题引导探索函数零点的存在，初步得到函数零点存在的判定方法，表达了数形结合的思想方法．为了多角度深刻理解函数零点存在定理的内涵，教师构造了4个探究问题．4个探究问题是本节课亮点，例子设计精巧，层层递进，由此引发了学生积极的思考、探索与交流．教师力图通过教学设计让学生主动参与体验，激发学生探索新知的兴趣，充分展示知识发生、开展的过程，由学生自主建构，在此过程中获得对知识的亲身体验，把教学的主动权交给学生，鼓励学生自主探索、研究性学习，使学生成为真正意义上的学习主人．。
函数的零点教案
函数的零点教案教案标题：函数的零点教案教案目标：1. 理解函数的零点的概念和意义；2. 能够通过图像、方程和计算等方式确定函数的零点；3. 掌握求解函数零点的方法和技巧；4. 运用函数的零点解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：计算器、白板、彩色粉笔、投影仪；2. 学生准备：笔、纸。
教学过程：步骤一：引入1. 教师通过提问和展示实际问题的图像，引发学生对函数零点的思考，例如：什么是函数的零点？为什么函数的零点在图像上表现为与x轴交点？2. 教师解释函数的零点是使得函数值等于零的x值，即f(x) = 0。
步骤二：图像法确定函数的零点1. 教师通过投影仪展示一些函数图像，并指导学生观察图像上与x轴交点的位置，解释这些点是函数的零点。
2. 学生在纸上绘制给定函数的图像，并标出零点。
步骤三：方程法确定函数的零点1. 教师解释通过方程来确定函数的零点的方法，即将函数f(x) = 0转化为一个方程，然后解方程得到零点。
2. 教师通过例题演示如何通过方程法求解函数的零点，并引导学生进行练习。
步骤四：计算法确定函数的零点1. 教师解释通过计算法确定函数的零点的方法，即将函数的表达式代入到计算器或手算中，求解函数值为零的x值。
2. 教师通过例题演示如何通过计算法求解函数的零点，并引导学生进行练习。
步骤五：应用实际问题1. 教师提供一些与函数的零点相关的实际问题，并引导学生运用所学的方法解决这些问题。
2. 学生个别或小组合作解决实际问题，并将解决过程和结果进行展示和讨论。
步骤六：总结1. 教师对本节课所学的内容进行总结回顾，强调函数的零点的概念和求解方法。
2. 学生进行课堂小结，回答教师提出的问题或总结要点。
作业布置：1. 预习下一节课的内容；2. 完成课堂练习题。
教学延伸：1. 学生可以进一步研究函数的零点在图像上的性质和变化规律；2. 学生可以探究更复杂的函数零点的求解方法，如二次函数、三次函数等。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和学习态度；2. 教师检查学生课堂练习的完成情况；3. 学生通过解决实际问题展示对函数零点的理解和应用能力。
函数的零点教案及反思
《函数的零点》教案及反思兴化市第一中学张俊1 教材目标知识与技能：1、了解函数零点的概念，能够结合具体方程，说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系．2、理解函数零点存在性定理，了解图象不间断的意义及作用．过程与方法：1、经历“类比—归纳—应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力．2、初步体会函数方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题．情感、态度与价值观：1、体会函数与方程的“形”与“数”、“动”与“静”、“整体”与“局部”的内在联系．2、体验规律发现的快乐．2 教材分析本节内容为苏教版《普通高中课程标准实验教科书》必修1第2章《函数与方程》的2.5.1，主要内容为函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课．函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带．因此函数与方程在高一乃至整个高中数学教学中占有非常重要的地位．本节课不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础．3 教学重点函数零点与方程根之间的关系；函数在某区间上存在零点的判定方法．4 教学难点发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法．5 教学结构设计（一）创设情境，以旧带新1、你会解吗？（1）；（2）．意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情．2、请你填空，探索一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系．方程x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0根函数图象图象与x轴的交点问题1：从该表你可以得出什么结论？意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.（二）启发引导，形成概念．问题2：方程的根与函数图象与x轴交点的横坐标之间有什么关系？意图：为引出函数零点的概念做准备．问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例．师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场用几何画板展示类似如下函数的图象：，，，．比较函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论：方程f(x)＝0有几个根，y＝f(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．引导学生给出函数零点的定义，并引导学生仔细体会这段文字，感悟其中的思想方法．概念：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．问题4：你能说说方程的根、函数图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？（学生讨论，教师补充归纳）说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根．即兴练习：函数f(x)=x(x2－16)的零点为（）A．(0，0)，(4，0) B．0，4 C．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D．–4，0，4设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解．引导学生归纳：判别式ΔΔ＞0 Δ＝0 Δ＜0方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1 =x2没有实数根函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象函数y=ax2+bx+c (a>0)的无零点零点（二）逐层推进，深化概念．讨论：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？（1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础．练习：求下列函数的零点：（1），（2）．意图：（1）使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根），（2）产生认知冲突，激发学生求知欲．引导学生据练习题（2）提出问题：如何判断函数有没有零点？（三）实例探究，归纳定理．零点存在性定理的探索．问题5：在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a，b]上一定有零点？探究：（1）观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：在区间[-2，1]上有零点______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．（2）观察函数的图象：①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）．②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）．③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）．让学生通过计算、观察、比较得出函数在区间端点处函数值乘积的情况与函数在该区间内是否存在零点之间有什么关系得出不严密的结论：函数在区间端点处函数值乘积小于0，函数在该区间上有零点.练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？（1）f(x)=log2x，x∈[，2]；（2）f(x)=ex-1+4x-4，x∈[0，1]；意图：通过简单的练习适应定理的使用．（3）．意图：由该问题发现刚才结论的不严密性.从而培养学生思维的严谨性．零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是不间断一条曲线，且f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．（四）正反例证，臧息相辅例1 求证：函数在区间上存在零点．意图：巩固函数零点存在定理．思考：判断函数是否有零点?若有在哪里？有几个？例2判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上图象是不间断的，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点．（× ）（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上图象是不间断的，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点．（× ）（3）已知函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点．（× ）请一位学生板书反例，其他学生补充评析，例如：归纳：定理不能确零点的个数；定理中的“图象不间断”是必不可少的条件；不满足定理条件时依然可能有零点．意图：通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，在第一时间加以纠正，从而促进对定理本身的准确理解．（四）课堂小结，作业布置小结：本节课你学到了什么？除此外，你还有什么收获？作业：书第81页题1、2教后反思本节课自始至终都运用了新课标理念，按照创设情境――组织探索――知识应用的基本模式展开教学，整个课堂显得生机勃勃．1、将教学科研融入教学中，改变学生的学习方式探究式创造性思维教学法是新课程理念下的一个科研课题．本节课就是以这一理论为指导，借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习．如，函数零点与方程根之间的关系是这节课的一个重点，为了突破这一重点，在教学中利用多媒体教学，调动了学生学习的积极性，几何画板画图象，准确、直观、易于学生理解，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验知识的形成过程，变静态教学为动态教学．2、渗透数学思想方法重在平时当学生有一天不再学习数学了，我们给他们留下了什么？我想应该是学生遇到具体问题时那种思考问题的方式，和解决问题的方法．本节课始终是注意数学思想方法和数学探索方式的合理渗透，如特殊一般，数形结合，类比归纳等的交叉运用．3、问题设计合理通过层层深入，由浅入深，由特殊到一般的阶梯式问题，有效的降解了本课的难点，帮助学生实现了思维的腾飞．美中不足的是教学重点不是太突出，零点的引入部分可以简化改进，使之更趋合理，零点存在性定理引入部分略显生硬，应该有更艺术的方式．高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，应该是本节课必须承载的重要任务．在这一任务的达成度方面，本课还需更加浓墨重彩的予以突出．另外，课堂上教师怎样引导学生也是值得我深思的一个问题，还有少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向．继续阅读。
方程的根与函数的零点教案
方程的根与函数的零点教案方程的根与函数的零点教案「篇一」知识与技能1．结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2．结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；3．结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法．过程与方法1．通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；2．通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；3．通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；4．通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力．情感、态度与价值观1．让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；2．培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；3．使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感．教学重点与难点教学重点：零点的概念及零点存在性的判定．教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法．教学的方法与手段授课类型新授课教学方法启发式教学、探究式学习。
方程的根与函数的零点教案「篇二」教学目标：1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
2、理解函数的零点与方程的联系。
3、渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。
教学重点、难点：1、重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。
2、难点：函数零点存在的条件。
教学过程：1、问题引入探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
出示表格，引导学生填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
一元二次方程方程的根二次函数图像与X轴的交点x2-2x-3=0x1=-1，x2=3y=x2-2x-3（-1，0），（3，0）x2-2x+1=0x1=x2=1y=x2-2x+1（1，0）x2-2x+3=0无实数根y=x2-2x+3无交点（图1-1）函数y=x2-2x-3的图像（图1-2）函数y=x2-2x+1的图像（图1-3）函数y=x2-2x+3的图像归纳：（1）如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴没有交点；（2）如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x轴有交点。
函数的零点教案(优秀版)word资料
函数的零点教案（优秀版）word资料§2.4函数与方程2.4.1 函数的零点【学习要求】1.了解函数零点的概念，会求函数的零点；2.会判定二次函数零点的个数；3.熟悉函数零点的性质，理解函数零点与方程根的关系．【学法指导】通过函数零点概念的建立，感知函数与方程的密切联系，进一步加深对函数方程思想的理解，同时体验数学中的转化思想的意义和价值.填一填：知识要点、记下疑难点1.零点的定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即 f(α)＝0 ，则α叫做这个函数的零点，我们也把一个函数的图象与 x轴交点的横坐标叫做这个函数的零点．函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔方程f(x)＝0有实数根．2.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点．当Δ＝b2－4ac>0时，二次函数有_2_个零点；Δ＝b2－4ac＝0时，二次函数有_1_个零点；Δ＝b2－4ac<0时，二次函数有_0_个零点．3.如果函数y＝f(x)在实数集R上有零点a，b (a<b)，当函数的图象通过零点且穿过x轴时，函数值_变号，并在区间(－∞，a)、(a，b)、(b，＋∞)上所有函数值保持同号.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 下图是某地气象局测得当地一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被墨水污染了，有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他做出正确判断吗？探究点一函数零点的定义导引考察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.问题1 你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴的交点坐标吗？答：略问题2“导引”中方程的根与对应函数图象与轴的交点有怎样的关系？答：方程根的个数与对应函数与x轴交点的个数相同，方程的根是函数与x轴交点的横坐标．问题3 在“导引”中，当x的值为－1,3时，函数y＝x2－2x－3的值为0，我们把－1,3叫做函数y＝x2－2x－3的零点，那么如何定义函数f(x)的零点？答：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．在坐标系中表示图象与x轴的公共点的是(α，0)点.问题4函数y＝f(x)有零点可等价于哪些说法？答：函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔方程f(x)＝0有实数根．问题5函数的零点与函数图象上的点有什么区别？答：函数的零点不是点，是函数值为0时对应的自变量的值，也是函数图象与x轴交点的横坐标；函数图象上的点可用有序实数对表示，而函数的零点只用一个实数表示．例1 已知函数y＝ax2＋bx＋c，若ac<0，则函数f(x)的零点个数有 ( ) A．0 B．1 C．2 D．不确定解析：因为ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，即函数f(x)的零点个数为2.小结：求函数的零点或判断零点的个数除了利用零点的定义外，还经常利用其等价结论．跟踪训练1 函数y＝x2－2x－8的零点是 ( )A．(－2,0)，(4,0) B．(－2,0) C．(4,0) D．－2和4解析：函数y＝x2－2x－8对应的方程为x2－2x－8＝0，而方程x2－2x－8＝0有两个实数根，x1＝－2，x2＝4，由于函数零点就是对应方程的根，所以D选项正确．探究点二函数零点的性质问题1 二次函数f(x)＝x2－2x－3的零点是什么，画出函数f(x)的图象观察函数零点把x轴分成哪几部分？函数f(x)在各部分的函数值的符号有什么特点？答：由x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x 2＝3，即函数的零点为－1,3.画出函数f(x)的图象如右图，发现函数 零点把x 轴分成(－∞，－1)，(－1,3)，(3，＋∞)．当x∈(－1,3)时，y<0；当x∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)时，y>0.问题2 观察f(x)＝x 2－2x －3的图象，指出函数值的符号在函数零点附近发生怎样的变化？ 答: 当函数的图象通过零点且穿过x 轴时，函数值变号．问题3 二次函数f(x)＝x 2－2x －3在区间(－2,1)上有零点x ＝－1，而f(－2)>0，f(1)<0，即f(－2)·f(1)<0，在区间(2,4)上有零点x ＝3而f(2)<0，f(4)>0，即f(2)·f(4)<0.由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？答：如果函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0的根． 问题4 如果函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上存在零点，那么f(a)·f(b)<0是否一定成立？ 答: 不一定成立，由下图可知．问题 5 如果函数y ＝f(x)满足了在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0两个条件后，函数的零点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点？答: 函数零点不一定唯一，由下图可知．还需添加函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上单调． 小结: 函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内有零点，但不一定有f(a)·f(b)<0.例2 求函数y ＝x 3－2x 2－x ＋2的零点，并画出它的图象．解 因为x 3－2x 2－x ＋2＝x 2(x －2)－(x －2)＝(x －2)(x 2－1)＝(x －2)(x －1)(x ＋1)， 所以已知函数的零点为－1,1,2. 3个零点把x 轴分成4个区间：(－∞，－1)，(－1,1)，(1,2)，(2，＋∞)．在这4个区间内，取x 的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表(略)，在直角坐标系内描点连线，即得函数图象．如图所示：小结: 由函数的图象不难看出，这一函数图象通过三个零点时，函数值分别改变了符号，并且在每个区间内，函数值保持同号．跟踪训练2 已知a∈R，讨论关于x 的方程|x 2－6x ＋8|＝a 的实数解的个数．解: 令f(x)＝|x 2－6x ＋8|，g(x)＝a ，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，f(x)＝|(x －3)2－1|，下面对a 进行分类讨论，由图象得，当a<0时，原方程无实数解；当a ＝1时，原方程实数解的个数为3；当0<a<1时，原方程实数解的个数为4；当a>1或a ＝0时，原方程实数解的个数为2.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.函数y ＝x 2－4的图象与x 轴的交点坐标及其函数的零点分别是 ( )A ．(0，±2)；±2B ．(±2,0)；±2C ．(0，－2)；－2D ．(－2,0)；2解析: 令x 2－4＝0，得x ＝±2，故交点坐标为(±2,0)，所以函数的零点为±2.2.若函数f(x)在定义域R 上的图象是连续的，图象穿过区间(0,4)，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值 ( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法判断解析: 由题意可知，函数在零点左边和右边的函数值是异号的，所以f(0)·f(4)<0.3.如果二次函数y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，则m 的取值范围是 ( ) A ．(－2,6) B ．[－2,6] C ．(－∞，－2)∪(6，＋∞) D ．{－2,6}解析: 由题意，得Δ＝m 2－4(m ＋3)>0， 即m 2－4m －12>0，∴m>6或m<－2.4.若函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，则a ＝______，b ＝________.解析: ∵2，－4是函数f(x)的零点，∴f(2)＝0，f(－4)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－4，－4a ＋b ＝－16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－8. 课堂小结：1.函数的零点实质上是函数图象与x 轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根是函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f(x)－g(x)的零点．2.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.必修一方程的根与函数的零点教案教学目标：知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关，掌握零点存在的判定条件．过程与方法零点存在性的判定．情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点：重点零点的概念及存在性的判定．难点零点的确定．教学程序与环节设计：结合二次函数引入课题．教学过程与操作设计：环节教学内容设置师生双边互动创设情境先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：○1方程0322=--xx与函数322--=xxy○2方程0122=+-xx与函数122+-=xxy○3方程0322=+-xx与函数322+-=xxy师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？组织探究函数零点的概念：对于函数))((Dxxfy∈=，把使0)(=xf成立的实数x叫做函数))((Dxxfy∈=的零点．函数零点的意义：函数)(xfy=的零点就是方程0)(=xf实数根，亦即函数)(xfy=的图象与x轴交点的横坐标．即：方程0)(=xf有实数根⇔函数)(xfy=的图象与x轴有交点⇔函数)(xfy=有零点．函数零点的求法：求函数)(xfy=的零点：师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：○1代数法；○2几何法．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=xxxf的图象：○1在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f_______，=)1(f_______,)2(-f·)1(f_____0（＜或＞）．○2在区间]4,2[上有零点______；)2(f·)4(f____0（＜或＞）．（Ⅱ）观察下面函数)(xfy=的图象○1在区间],[b a上______(有/无)零点；)(af·)(bf_____0（＜或＞）．○2在区间],[c b上______(有/无)零点；)(bf·)(cf_____0（＜或＞）．○3在区间],[d c上______(有/无)零点；)(cf·)(df_____0（＜或＞）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．环节教学内容设置师生互动设计例题研例1．求函数62ln)(-+=xxxf的零点个数．师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助函数的零点教学设计数学科学学院杜建设指导老师刘洋一、教材分析：1 函数的零点是新课程中新增的内容，选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A 版必修1第三章第一节。
函数的零点概念教学设计
函数的零点概念教学设计引言：函数是数学中的重要概念，它描述了变量之间的关系。
函数的零点是使函数取值为零的自变量值。
理解函数的零点概念对学生发展数学思维和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍一个针对初中数学的函数的零点概念教学设计。
一、教学目标：1. 理解函数零点的概念；2. 能够找到简单函数的零点；3. 能够解决实际问题中的零点问题。
二、教学内容：1. 引入函数零点的概念，解释函数零点与图像的关系；2. 通过简单的函数图像示例，让学生观察并总结函数零点的特征；3. 教授寻找函数零点的基本方法和技巧；4. 给予学生一些练习，让他们巩固所学的内容，并培养解决实际问题的能力。
三、教学过程：1. 引入概念：(a) 使用简单的例子来引入函数零点的概念，例如：f(x) = x - 3，让学生解释函数的含义和图像；(b) 解释函数零点是使函数取值为零的自变量值，让学生理解零点的含义。
2. 观察总结：(a) 让学生观察并总结函数图像与零点的关系，例如：通过绘制函数图像来观察函数的零点位置和数量；(b) 引导学生发现函数图像和零点的特征，例如：函数图像与x轴交点的纵坐标为零。
3. 寻找零点方法：(a) 介绍寻找函数零点的基本方法和技巧，例如：代入法、图像法等；(b) 通过例子演示如何使用这些方法和技巧来寻找函数的零点，例如：f(x) = 2x - 4，让学生使用代入法来寻找零点。
4. 解决实际问题：(a) 引导学生将函数零点的概念应用到实际问题中，例如：一个汽车从起点处出发，以每小时60公里的速度向北行驶，那么多久后汽车将到达纬度为30°的地方？(b) 让学生分析问题，构建函数模型并使用函数的零点概念来解决问题。
5. 练习与巩固：(a) 给予学生一些练习题，让他们应用所学的内容来寻找函数的零点；(b) 具体练习内容可以包括计算函数的零点、解决实际问题、分析函数图像等。
四、教学评估：1. 利用课堂练习来评估学生对函数零点概念的理解和掌握程度；2. 观察学生在解决实际问题时使用函数零点概念的能力；3. 随堂通过小组讨论和提问的形式对学生的理解情况进行评估。
高中数学优秀备课教案“方程的根与函数的零点”优秀教学设计
高中数学优秀备课教案“方程的根与函数的零点”优秀教学设计“方程的根与函数的零点”教学设计(1)绍兴市稽山中学王志江一、内容和内容解析本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备．从教材编写的顺序来看，《方程的根与函数的零点》是必修1第三章《函数的应用》一章的开始，其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系．利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的．方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”，是本章渗透的主要数学思想．从知识的应用价值来看，通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会符号化、模型化的思想，体验从系统的角度去思考局部问题的思想．基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．二、目标和目标解析1．通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，2．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。
而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。
3．通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系．掌握函数零点存在性的判断．4．在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．三、教学问题诊断分析1.零点概念的认识．零点的概念是在分析了众多图象的基础上，由图象与轴的位置关系得到的一个形象的概念，学生可能会设法画出图象找到所有任意函数的可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图象都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍．2.零点存在性的判断．正因为f（a）·f（b）＜0且图象在区间[a，b]上连续不断，是函数f（x）在区间[a，b]上有零点的充分而非必要条件，容易引起思维的混乱就是很自然的事了．3.零点（或零点个数）的确定．学生会作二次函数的图象，但是要作出一般的函数图象（或图象的交点）就比较困难，而在这一节课最重要的恰恰就是利用函数图象来研究函数的零点问题．这样就在零点（或零点个数）的确定上给学生带来一定的困难．基于上述分析，确定本节课的教学难点是：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．四、教学支持条件分析考虑到学生的知识水平和理解能力，教师可借助计算机工具和构建现实生活中的模型，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性．通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．五、教学过程设计（一）引入课题问题引入：求方程3x2＋6 x－1=0的实数根。
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函数的零点教案范文
一、教学目标
1.理解函数的零点的概念及其在数学和实际生活中的意义。
2.掌握求解函数的零点的方法。
3.能够应用所学的知识解决实际问题。
二、教学过程
1.导入新知（10分钟）
向学生介绍函数的零点的概念，告诉学生零点即函数等于零的解，解释零点在数学和实际生活中的意义。
引入实际问题，如求解一个物体自由落体运动的零点位置等，激发学生的兴趣。
2.概念讲解（15分钟）
向学生详细讲解函数零点的定义，并通过几个简单的例子演示如何求解函数的零点。
解释用图像法和代数法求解函数零点的思路和步骤。
3.图像法求解函数的零点（20分钟）
先通过绘制函数的图像，找出函数的零点的大致位置。
然后利用图像和坐标系的性质，进一步确定函数的零点的具体位置。
4.代数法求解函数的零点（20分钟）
通过一系列的代数运算，将函数转化为方程，然后解方程求出函数的零点。
详细解释过程中的每一步骤，并通过实例演示如何应用代数法求解函数的零点。
5.实例讲解（20分钟）
给学生提供一些实际问题，并引导他们分析问题，确定函数的具体形式，然后求解函数的零点。
通过实际问题的解题过程，帮助学生进一步理
解函数的零点的应用。
6.练习与巩固（15分钟）
布置一些练习题，要求学生运用所学的方法求解函数的零点。
鼓励学
生积极思考，并相互讨论解题思路和方法。
在课堂上对一些难题进行讲解，加深学生对函数的零点的理解。
7.总结与拓展（10分钟）
总结本节课的重点内容，复习函数的零点的概念和求解方法。
要求学
生在课后进一步研究函数的零点的应用领域，并写一篇小结。
三、教学方法
1.讲授法：通过讲解引入知识，并结合实例进行讲解和演示，使学生
能够逐步理解和掌握函数的零点的求解方法。
2.实践法：通过实际问题的解决，培养学生的应用能力和解决问题的
能力。
3.合作学习：在教学过程中，鼓励学生相互合作，共同解决问题，提
高学生的学习效果。
四、教学评价
1.学生通过学习和练习能够主动思考，理解函数的零点的概念和求解
方法。
2.学生能够独立运用所学的知识解决实际问题。
3.学生写的小结能够表达对函数的零点的理解和应用。
五、板书设计
1.概念：函数等于零时的解
2.数学意义：方程的解、图像的交点
3.实际应用：物理问题的解
六、教学资源
1.多媒体设备：投影仪、电脑
2.教学材料：课件、教辅资料
3.学生作业：练习题
七、教学延伸。