中考复习专题之三角函数与几何结合重点

与三角函数有关的几何题

例1、如图3，直线经过⊙O上的点，并且，，⊙O交直线于，连接．

（1）求证：直线是⊙O的切线；

（2）试猜想三者之间的等量关系，并加以证明；

（3）若，⊙O的半径为3，求的长．

析解：（1）证明：如图6，连接．

，，．是⊙O的切线．

（2）BC2=BD×BE．

是直径，．

．

又，，

．

又，．

．∴BC2=BD×BE.

（3），．

，．

设，则．

又BC2=BD×BE，∴（2x）2=x(x+6

解之，得，．，．

．

2、已知：如图，是⊙O的直径，, 切⊙O于点垂足为

交⊙O于点．

（1）求证：;

（2）若, 求的长．

3、如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=，BC=2．

（1）求∠A的度数；

（2）求证：BC是⊙O的切线；

（3）求MD的长度．

分析：（1）根据三角函数的知识即可得出∠A的度数．

（2）要证BC是⊙O的切线，只要证明AB⊥BC即可．

（3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD的长度．

解答：（1）解：∵∠BOE=60°，∴∠A=∠BOE=30°．

（2）证明：在△ABC中，∵cosC=，∴∠C=60°．

又∵∠A=30°，∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC．∴BC是⊙O的切线．

（3）解：∵点M是的中点，∴OM⊥AE．

在Rt△ABC中，∵BC=2，∴AB=BC•tan60°=2×=6．

∴OA==3，∴OD=OA=，∴MD=．

点评：本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

4、如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，∠B=90°．以边AC上的点O为圆心、OA为半径的⊙O 与EC相切，D为切点，AD∥BC．

（1）用尺规确定并标出圆心O；（不写作法和证明，保留作图痕迹）

（2）求证：∠E=∠ACB；

（3）若AD=1，，求BC的长．

分析：（1）若⊙O与EC相切，且切点为D，可过D作EC的垂线，此垂线与AC的交点即为所求的O点．

（2）由（1）知OD⊥EC，则∠ODA、∠E同为∠ADE的余角，因此∠E=∠ODA=∠OAD，而AD∥BC，可得∠OAD=∠ACB，等量代换后即可证得∠E=∠ACB．

（3）由（2）证得∠E=∠ACB，即tan∠E=tan∠DAC=，那么BC=AB；由于

AD∥BC，易证得△EAD∽△EBC，可用AB表示出AE、BC的长，根据相似三角形所得比例线段即可求出AB的长，进而可得到BC的值．

解答：（1）解：（提示：O即为AD中垂线与AC的交点或过D点作EC的垂线与AC的交点等）．

（2）证明：连接OD．∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠EAD=90°．

∴∠E+∠EDA=90°，即∠E=90°﹣∠EDA．

又圆O与EC相切于D点，∴OD⊥EC．

∴∠EDA+∠ODA=90°，即∠ODA=90°﹣∠EDA．

∴∠E=∠ODA；

又OD=OA，∴∠DAC=∠ODA，∴∠DAC=∠E．）

∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠E=∠ACB．

（3）解：Rt△DEA中，tan∠E=，又tan∠E=tan∠DAC=，

∵AD=1，∴EA=． Rt△ABC中，tan∠ACB=，

又∠DAC=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠DAC．

∴=，∴可设AB=，BC=2x，

∵AD∥BC，∴Rt△EAD∽Rt△EBC．

∴=，即．

∴x=1，

∴BC=2x=2．

点评：此题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判断和性质等重要知识，能够准确的判断出O点的位置，是解答此题的关键．

5、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：点D是BC的中点；

（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（3）如果⊙O的直径为9，cosB=，求DE的长．

分析：（1）连接AD，根据等腰三角形的性质易证；

（2）相切．连接OD，证明OD⊥DE即可．根据三角形中位线定理证明；

（3）由已知可求BD，即CD的长；又∠B=∠C，在△CDE中求DE的长．

解答：（1）证明：连接AD．∵AB为直径，∴AD⊥BC．∵AB=AC，

∴D是BC的中点；

（2）DE是⊙O的切线．

证明：连接OD．∵BD=DC，OB=OA，∴OD∥AC．∵AC⊥DE，∴OD⊥DE．

∴DE是⊙O的切线．

（3）解：∵AB=9，cosB=，∴BD=3．∴CD=3．∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∴cosC=．∴在△CDE中，CE=1，DE==．

点评：此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，属基础题，难度不大．

6、如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D 恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E．

（1）求证：DE⊥AC；

（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值．

分析：（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可求出OD∥AC，根据切线的性质可证明DE⊥OD，进而得证．

（2）过O作OF⊥BD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解．

解答：（1）证明：连接OD．∵O为AB中点，D为BC中点，

∴OD∥AC．∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥OD．∴DE⊥AC．

（2）解：过O作OF⊥BD，则BF=FD．在Rt△BFO中，∠B=30°，

∴OF=OB，BF=OB．∵BD=DC，BF=FD，

∴FC=3BF=OB．在Rt△OFC中，

tan∠BCO====．

点评：本题比较复杂，综合考查了三角形中位线定理及切线的性质、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性．