人教版高中数学选修2-2第二章推理与证明 同步教案

例2. 在ABC ?中,若090=∠C ,则1cos cos 22=+B A ,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想.

例3. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文d c b a ,,,对应密文d d c c b b a 4,32,2,2+++，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当接受方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ）． A ． 4，6，1，7 B ． 7，6，1，4

C ． 6，4，1，7

D ． 1，6，4，7 【方法技巧】

1.归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）.

2.类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等.做题时应注意：

（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间角等等；（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等. 3.掌握利用“三段论”进行推理.

巩固训练

1. 图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --= ．

（答案用数字或n 的解析式表示）

2. 已知ABC ?的三边长为c b a ,,，内切圆半径为r （用的面积表示ABC S ABC ??），则ABC S ?)(2

1

c b a r ++=

；类比这一结论有：若三棱锥BCD A -的内切球半径为R ，则三棱锥体积=-BCD A V .

3. 对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；运算“?”为：

(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ?=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,p q R ∈，若(1,2)(,)(5,0)p q ?=，则(1,2)(,)p q ⊕=………（ ）

A ．(4,0)

B ．(2,0)

C ．(0,2)

D ．(0,4)-

（1）写出,,21a a 3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式

【方法技巧】

1.用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由

到

时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.

2.在证明过程中，（I ）考虑“n 取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值代入通项，考察命题的真假，（II ）步骤②在由到

的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就

不是数学归纳法.

3. “归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式.

巩固训练

1.用数学归纳法证明：

2

333112(1)()2n n n n N *??

++???+=+∈????

2.已知数列1111

,,,,,122334n(1)

n ?????????+，计算1234,,,S S S S ，由此推测计算n S 的公式，并用数学归纳法证明.

课后作业

1.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是

（ ）

A

．使用了归纳推理 B ．使用了类比推理 C ．使用了“三段论”，但大前提错误 D ．使用了“三段论”，但小前提错误 2.用反证法证明命题：“三角形内角和至少有一个不大于060”时，应假设（ ） A. 三个内角都不大于060 B. 三个内角都大于060 C. 三个内角至多有一个大于060 D. 三个内角至多有两个大于060

3.若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ） A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定

4.如图第n 个图形是由正2n +边形“扩展”而来(1,2,3)n =???，则第n 2-个图形中共有 个顶点.

5.对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式： 2213=+ 23135=++ 241357=+++

3235=+ 337911=++ 3413151719=+++

根据上述分解规律，则2513579=++++, 若3*

()m m N ∈的分解中最小的数是73，则m 的值为_ __ . 6.在平面直角坐标系中，直线一般方程为0=++C By Ax ，圆心在),(00y x 的圆的一般方程

为2

2020)()(r y y x x =-+-；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心

在),,(000z y x 的球的一般方程为_______________________.

7.如果函数)(x f 在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x ，

都有)()()()(2121n

x x x f n x f x f x f n

n +++≤+++ΛΛ.若x y sin =在区间(0,)π上是凸函数，那么在

ABC ?中，C B A sin sin sin ++的最大值是________________.

8.设P 是ABC ?内一点，ABC ?三边上的高分别为A h 、B h 、C h ，P 到三边的距离依次为a l 、b l 、c l ，则有a b c A B C

l l l

h h h ++=______________；类比到空间，设P 是四面体ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分别是A h 、B h 、C h 、D h ，P 到这四个面的距离依次是a l 、b l 、c l 、d l ，则有_________________。

9.已知函数||1y x =+，222y x x t =

-++，11()2t

y x x

-=+

(0)x > 的最小值恰好是方程320x ax bx c +++=的三个根，其中01t <<．求证：223a b =+；