计算方法实验四

浙江大学城市学院实验报告

课程名称计算方法

实验项目名称函数的数值逼近－插值

实验成绩指导老师（签名）日期2015-5-8

一. 实验目的和要求

1．掌握用Matlab计算Lagrange、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析。

2．通过实例学习如何用插值方法解决实际问题。

二. 实验内容和原理

【MATLAB相关函数】

⏹分段线性插值y=interp1(x0,y0,x)

输入值：n个插值节点对应数组0,0

x y，以及m个待求点对应的数组x；

输出值：m个待求点对应的数组y。

⏹三次样条插值y=interp1(x0,y0,x,’spline’)或y=spline(x0,y0,x)

输入值：n个插值节点对应数组0,0

x y，以及m个待求点对应的数组x；

输出值：m个待求点对应的数组y。

2-1分析应用题（自己编写程序，不调用matlab自带程序）

用

1

2

y x

=在0,1,4,9,16

x=产生5个节点

15

,,

P P

。用以下五种不同的节点构造Lagrange

插值公式来计算5

x=处的插值，与精确值比较并进行分析。

1）用

34

,P P构造；

>> x0=[4,9];

>> y0=[2,3];

>> lagrange(x0,y0,5)

ans =

2.2000

2）用234,,P P P 构造； >> x0=[1,4,9]; >> y0=[1,2,3];

>> lagrange(x0,y0,5)

ans =

2.2667

3）用2345,,,P P P P 构造； >> x0=[1,4,9,16]; >> y0=[1,2,3,4]; >> lagrange(x0,y0,5)

ans =

2.2540 4）用1245,,,P P P P 构造； >> x0=[0,1,9,16]; >> y0=[0,1,3,4]; >> lagrange(x0,y0,5)

ans =

2.9524

5）用全部插值节点12345,,,,P P P P P 构造。, >> x0=[0,1,4,9,16]; >> y0=[0,1,2,3,4]; >> lagrange(x0,y0,5)

ans =

2.0794

从结果分析来看不是用的构造点越多越准确

2-2 分析应用题（样条插值可以用自带程序，Lagrange 插值自编程序）

意大利柑橘的产量变化如下表。使用3次样条插值来估计1962年、1977年和1992年的产量。将这些结果与相对应的实际值进行比较，并说明计算的精度。实际值分别为12380，27403和32059(5

10⨯kg)。再利用Lagrange 插值多项式重新计算。

2-3 分析应用题

在区间[-1,1]上，在21个平均分布的节点上对函数()sin 2f x x π=进行估计。计算Lagrange 插值多项式和3次样条，并在给定的区间上将两个函数的曲线与f 进行比较。使用干扰数据1

4

()(1)10i i f x +-=-来重复计算。注意观察，对于小扰动，Lagrange 插值多项式与3次样条相比，分析哪个更敏感。

2-4分析应用题

计算的近似值。

2-5 分析应用题

利用Matlab 相关函数分析用下列三种不同的插值逼近著名的Runge 函数

2

1

(),[1,1]125f x x x

=

∈-+

1）Lagrange 插值； 2）分段线性插值； 3）三次样条插值。

其中取插值节点为区间[1,1]-上的10等分点，同时列出100等分点上的三种插值结果，比较分析，同时对这三种插值在100等分点上进行作图比较。

2-6 分析应用题 运行程序

figure

set(gcf,'menubar','none') axes('position',[0 0 1 1]) [x,y]=ginput

然后将你的手直接放在弹出窗口中，用鼠 标点击选取需要的插值点，最后回车得到所有插值点的坐标。用三次样条插值函数对手的形状进行插值，并作图。

提示：可用构造“参数曲线”的方法，即在参数区间112[,],()n n t t t t t <<< 上选取n 个插值点，然后用三次样条插值构造逼近函数在m 个点上的值：

(),(),1,2,,i i i i x x t y y t i m === ，最后以这m 个点(,)i i x y 作出图形。

2-7分析应用题

美国的人口普查每10年举行一次，下表列出了从1940年到1990年的人口(按千人计)

1）选择一种插值求在1930年、1965年和2010年人口的近似值。

2）1930年的人口大约是123203千。你认为你得到的1965年和2010年的人口数字精确度如何？

精确度很低

2-8 分析应用题

测得平板表面3*5网格点处的温度分别为：（二维插值应用）

试作出平板表面的温度分布曲面z = f (x, y) 的图形，然后对平面进一步光滑化。

光滑化后：

三. 操作方法与实验步骤（包括实验数据记录和处理）

四. 实验结果与分析