计算方法实验题

1． (1)在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间关系如下表，利用最小二乘法拟
合浓度Y 与时间t 的关系，（5分）
t 1 2 3 4 5 6 7 8 Y 4.00 6.40 8.00 8.80 9.22 9.50 9.70 9.86 t 9 10 11 12 13 14 15 16 Y
10.00
10.20
10.32
10.42
10.50
10.55
10.58
10.60
2．（1）课本第275页实验八：用Euler 方法和四阶经典Runge-Kutta 方法编写求解常微分方
程的初值问题的实验程序，并结合具体的常微分方程求出其满足给定初值的数值解。

（6分）
（2）结合自己所学的常微分方程初值问题的数值解，给出Lorenz 系统和Chen 系统的相平面图形。

（4分）
1.(1)在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间关系如下表，利用最小二乘法拟合浓度Y 与时间t 的关系，（5分）
t 1 2 3 4 5 6 7 8 Y 4.00 6.40 8.00 8.80 9.22 9.50 9.70 9.86 t 9 10 11 12 13 14 15 16 Y
10.00
10.20
10.32
10.42
10.50
10.55
10.58
10.60
观察表中数据，总结出y 与t 的的关系，有如下的特征： 1.y 是t 的增函数; 2.当t -> 0+时，y = 0;
3.t -> ∞时，y 趋于一个定值。

根据这些条件，设想y = F( t )是双曲线型的函数：
t
b a y +=1 为了确定a,b ，令
t
x y y 1
,10==
于是可以用x 的线性函数bx a x S +=)(来拟合：拟合数据),(0i i y x 可以由原始数据),(i i y t （i = 1,2...16）计算得出。

这里x x x ==)(,1)(10ϕϕ
可求得1,0,),,(),,(0=k j y j j k ϕϕϕ代入法方程得：
实验题：（共15分）
3
3
10
52886.058435.138073.3108372.138073.316⨯=+⨯=+b a b a 解得
a = 80.6621,
b = 161.6822 从而6822
.1616621.80+=
t t
y
均方误差为：
31
2
1019.1)
(-=⨯=∑m
i i
δ
2．（1）课本第275页实验八：用Euler 方法和四阶经典Runge-Kutta 方法编写求解常微分方
程的初值问题的实验程序，并结合具体的常微分方程求出其满足给定初值的数值解。

（6分）
欧拉方法 1、 实验程序
实现欧拉方法MATLAB 函数文件agui_euler.m
在MA TLAB 命令窗口输入及实验结果及操作界面
四阶经典龙格-库塔方法
1、实验程序
实现四阶经典龙格-库塔方法的MATLAB函数文件agui_RK.m
在MA TLAB命令窗口输入及实验结果及操作界面
结果分析
从上面对欧拉方法、四阶经典龙格—库塔方法的对比分析，可综合得如下表格，以分析其各法的优劣：
n x 欧拉方法n y
四阶经典龙格-库塔方
法n y
精确解
321x y +=
0.0 1 1
1
0.1
1
1.00332229271957 1.00332228354209 0.2 1.00666666666667 1.01315943820070 1.01315940382018 0.3 1.01982398432817 1.02914253543912 1.02914246657151 0.4 1.03905399621061 1.05071767902190 1.05071757449858 0.5 1.06375374284006 1.07721747999927 1.07721734501594 0.6 1.09321128737539 1.10793180836887 1.10793165135089 0.7 1.12668098409497 1.14216492938416 1.14216475918538 0.8 1.16344346839796 1.17927388378047 1.17927370799407 0.9 1.20284455113197 1.21868908341046 1.21868890774198 1.0 1.24431437969683 1.25992122158209
1.25992104989487
误差 0.01561
1.72E-07
从上表比较可知，在计算精度上，四阶经典龙格-库塔方法的误差最小欧拉方法误差则比较大，所以四阶经典龙格-库塔方法得到最佳的精度。

而在计算量上面，相应地，很明显的四阶经典龙格-库塔方法计算量大，欧拉方法计算量小。

我们在实际运用与操作中，可以根据实际情况，选择这2种方法中的其中一种最适合的，追求精度的话，可以使用四阶经典龙格-库塔方法；而欧拉方法更主要的是适用于对的估计上，相应的，精度则有所欠缺。

以上的选择，都取决于具体的情况。

（2）结合自己所学的常微分方程初值问题的数值解，给出Lorenz 系统和Chen 系统的相平面图形。

（4分）
Lorenz 系统模型可以用如下微分方程组描述：
)()()()
()()()()()
())()(()
(t bz t y t x dt
t dz t z t x t y t rx dt t dy t y t x a dt t dx -=--=--= 该方程的初始条件为：
000)0(,)0(,)0(z t z y t y x t x ======
Matlab 程序如下： clear
y = [5;5;10]; t = 6000; h = 0.01; for i = 1:t
a = [-10100; 28 -1 - y[1,t]- 8/3]; f( ; , i) = a* y( ; , i );
y(; , i+1) = y( ; , i) + h * f(; , i);
end;
figure(1)
plot3(y(1, ; ), y(2, ; ),y(3, ; )) view( [1,0,0] )。