异面直线距离求解方法

浅议异面直线距离求解方法

638404 四川省武胜中心中学校 段 方 建

求异面直线的距离问题，是立体几何中的一个重、难点。在现行教材中占有十分重要的地位，但学生在学习中遇到此类问题时，常感到困难，无所适从。本文就人教版高中数学第二册（下B ）的习题9.8第4题求解方法的分析、探讨。归纳了几种求异面直线的距离问题的常用方法，仅供参考。

题目：已知正方体''''D C B A ABCD -的棱长为1，求直线'DA 与AC 的距离。

一、利用定义求异面直线的距离

利用定义求异面直线的距离，首先应作出异面直线的公垂线段，或转化为线面、面面距离求解，则要求作出线面、面面距，并证明。然后再将其放置于平面几何图形中利用相关策略求解，解答的关键是要找到所求的“线段”，按“作”、“证”、“求”的步骤求解。 解：如图，连结C A ''，则AC ∥面D C A ''，连结D B BD '',分别与C A AC '',交于O O ',连O D C D D A ''',,，过O 作OE ⊥D O '于E

∵C A ''⊥，面D D B B '' ∴C A ''⊥OE

又OE ⊥,D O ' ∴OE ⊥面D C A ''

因此OE 即为直线'DA 与AC 的距离.

在Rt △D O O '中，,O O OD D O OE '•='•可求得.33=OE 二、利用向量方法求异面直线的距离

利用向量方法求异面直线的距离，首先要针对题目要求建立恰当的空间直角坐标系，然后求出两条异面直线的公共法向量，再计算两条异面直线上各取一点连结的线段在公共法向量上的射影长，即应用d =解：如右图所示，建立空间直角坐标系.

可知：)0,1,1(-=)1,1,0(--='A D

设),,1(μλ=n 且0,0='•=•A D n n

即.001=--=+-μλλ且∴),1,1,1(=n 又)0,0,1(=，∴33==d ，

故异面直线'DA 与AC 的距离是3

3. 三、利用等体积法求异面直线的距离

利用等体积法求异面直线的距离，就是说将距离看成几何体体积表示的一个要素，一般是指可以将其看成高线的时候，可以把几何体的体积通过换底换高，用不同的方式表示，进而建立方程的办法求解，其基本思想就是利用体积不变性。

解：因为直线AC ∥平面D C A ''，且⊂'A D 平面D C A ''，所以直线AC 与平面D C A ''之间的距离即为'DA 与AC 的距离.

设A '到平面D C A ''的距离为d ，

连结C D C A ''',.由V V D A A C D C A A '-'''-= 得：()334

3121313122=⨯⨯=''•='''S S D C A D A A D C d

故异面直线'DA 与AC 的距离是33. 四、利用异面直线间距离公式求异面直线的距离

利用异面直线间距离公式求异面直线的距离，关键就是要找准公式中所涉及的相关量，并准确运用θcos 22

22mn d n m l ±--=列方程求解. 解：设EF 是异面直线'DA 与AC 的公垂线段，长为d

设y F A x AE ='=,，

易知：直线'DA 与AC 所成的角为060，

又A A '=1， 3,1=

'=C A CD

由异面直线间距离公式得： 0222260cos 21xy d y x -++=()()(222222221x d y x --+-+-=()()0222260cos 222)3(y x d y x -++-+= 解之得：3

3=d . 所以异面直线'DA 与AC 的距离是

33.

五、利用函数求异面直线间的距离

利用函数求异面直线间的距离，就是在两条异面直线上任取两点连结的线段中，最短的线段就是异面直线间的距离，为此可将两条异面直线上任取两点连结的线段，通过设置变量，表示成函数，通过对函数最小值的探究，解决问题，但这种方法有一定的难度。 解：设E 是AC 上任意一点，作EF ⊥A D '于,F 作FM ⊥AD 于M

由三垂线逆定理可知：ME ⊥AC 设,1,x DM FM x AM -===则 .x AM EM 2

222== 在R t △MEF 中，22EM FM EF += ()3132221222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x ∵10≤≤x ，∴当32=x 时，EF 取得最小值33. 即异面直线'DA 与AC 的距离是

33. 通过上述求解分析我们可以看出，异面直线距离问题的求解，终归还是在于对数学知识的把握，以及在立体几何中化归、转化思想的运用。在解题过程中要注意挖掘题中、图中的隐含条件，多层次审题、多角度识图，在注意向量的工具性的同时要积极提升逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和语言表达能力。

“函数的单调性”课例

一.教材分析

1． 地位及重要性

函数的单调性一节属高中数学第一册(上)的必修内容，在高考的重要考查范围之内。函数的单调性是函数的一个重要性质，也是在研究函数时经常要注意的一个性质，并且在比较几个数的大小、对函数的定性分析以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用。通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握函数单调性的概念和证明函数单调性的

步骤，又可加深对函数的本质认识。也为今后研究具体函数的性质作了充分准备，起到承上启下的作用。

2．教学目标

(1)了解能用文字语言和符号语言正确表述增函数、减函数、单调性、单调区间的概念；

(2)了解能用图形语言正确表述具有单调性的函数的图象特征；

(3)明确掌握利用函数单调性定义证明函数单调性的方法与步骤；并能用定义证明某些简单函数的单调性；

(4)培养学生严密的逻辑思维能力、用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质；同时让学生体验数学的艺术美，养成用辨证唯物主义的观点看问题。

3．教学重难点

重点是对函数单调性的有关概念的本质理解。

难点是利用函数单调性的概念证明或判断具体函数的单调性。

二.教法解析

根据本节课的内容及学生的实际水平，我尝试运用“问题解决”与“多媒体辅助教学”的模式。力图通过提出问题、思考问题、解决问题的过程，让学生主动参与以达到对知识的“发现”与接受，进而完