高考数学数列放缩法技巧全总结

高考数学备考之 放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n

k k

1

2

142

的值; (2)求证:351

12

<

∑=n

k k

.

解析:(1)因为121121)12)(12(21

42

2

+--=+-=

-n n n n n

,所以122121114212

+=+-=-∑=n n n k n k

(2)因为?

?

? ??+--=-=

-

<121121

2144

4

11

1

2

22

n n n n n ,所以

353211211215

1

31211

1

2

=

+

n

k Λ

奇巧积累:(1)??

? ??+--=-<=121121

2144441222n n n n n (2)

)

1(1

)1(1)1()1(212

11

+--=-+=+n n n n n n n C C n n

(3)

)2(1

11)1(1!11)!(!!11≥--=-<

=+r r r r r r n r n r n n C T r r

r

n r

(4)25

)1(123112111)11(<

-++?+?++<+n n n

n Λ (5)n

n n

n

2

1

121)12(21--=- (6)

n n n -+<+221

(7)

)

1(21)1(2--<<

-+n n n

n n (8)

n n n n n n n 2)32(12)12(12

13211221

?+-?+=???? ??+-+-

(9)

?

??

??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !

)1(1

!1!)1(+-

=+n n n n (11)

2

12121

21222)1212(21

-++

=

-++=

--+

(11) )2(121

121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211

12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n

(12) 1

11)1(1)1(1)1)(1(1112

3

--+????? ??+-

-=+-<

?=n n n n n n n n n n n n

1

1

112111111

+--<-++?

??? ??+--=n n n n n n n

(13) 3

212132122)12(332)13(2221n

n n n n n n n n <-?>-?>-?>?-=?=+

(14)

!

)2(1

!)1(1)!2()!1(!2+-

+=+++++k k k k k k (15)

)

2(1)

1(1

≥--<+n n n n n

(15) 1

1

1)

11)((1122222

222<++

++=

++

+--=

-+-+j i j i j i j i j i j i j i

例2.(1)求证:

)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++

n n n Λ

(2)求证:n n 41

214136

1161412-

<++++Λ (3)求证:1

122642)

12(531642531423121-+

(4) 求证：

)

112(213

12

11)11(2-+<+

++

+

<-+n n

n Λ

解析:(1)因为

???

??+--=+->-12112121)12)(12(1)

12(12

n n n n n ,所以

)

1

21

31(211)12131(211)

12(1

12

--+>+-+>-∑=n n i n

i

(2))

1

11(41)1211(414136

116141222n n n -+<+++=++++ΛΛ (3)先运用分式放缩法证明出

1

212642)

12(531+<

????-????n n

n ΛΛ,再结合

n

n n -+<+22

1进行裂项,

最后就可以得到答案

(4)首先

n

n n n n

++=

-+>12)1(21

,所以容易经过裂项得到

n

n 13

12

11)11(2+

++

+

<-+Λ

再证2

12121

2122

2)1212(21

-++

=

-++=

--+

而由均值不等式知道这是显然成立的，

所以)

112(213

12

11-+<+

++

+

n n

Λ

例

3.求证:35

191411)

12)(1(62<

++++≤++n n n n Λ 解析: 一方面: 因为

?

?

? ??+--=-=

-

<121121

2144

4111

2

22

n n n n n ,所以

353211211215

1

31211

12

=

+

n

k Λ

另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++?+?+>++++

n n n n n n ΛΛ

当3≥n 时,

)

12)(1(61++>

+n n n

n n ,当1=n 时,2

1

91411)

12)(1(6n n n n ++++=++Λ,

当2=n 时,2

1

91411)

12)(1(6n n n n ++++<++Λ,

所以综上有35

191411)

12)(1(62<

++++≤++n n n n Λ

例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n

a 满足1

01a <<.1

()

n n a

f a +=.

设1

(1)

b a ∈，，整数

11ln a b

k a b

-≥

.证明:1

k a

b

+>.

解析: 由数学归纳法可以证明{}n

a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b

a m

≥, 则b

a a

k k ≥>+1

,

若)

(k m b a

m

≤<,则由1

01

<<≤

m 知0

ln ln ln 11<<≤b a a a a a

m m m

,

∑=+-=-=k

m m

m k k k k a a a a a a a 111ln ln ,

因为)

ln (ln 11

b a k a a

k

m m m

<∑=,于是b

a b a b a k a a

k =-+≥+>+)(|ln |11111

例5.已知m

m m m m n S x N

m n ++++=->∈+

Λ321,1,,,求证: 1

)1()1(11

-+<+<++m n m n S m n

.

解析:首先可以证明:nx

x n

+≥+1)

1(

∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 1

11111111])1([01)2()1()1(Λ所以要证

1

)1()1(11

-+<+<++m n m n S m n

只要证:

∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--n k m m m m m m m m m n

k m n k m m k k n n n n n k m k k 1

11111111111

1

11]

)1[(2)1()1(1)1()1(])1([Λ

故只要证

∑∑∑=++==++-+<+<--n

k m m n k m n k m m k k k m k k 1

111

1

11]

)1[()1(])1([,

即等价于m

m m m m k k k m k k -+<+<--+++111

)1()1()1(,

即等价于11)1

1(11,)11(11++-<+-+<++

m m k

k m k k m 而正是成立的,所以原命题成立.

例6.已知n

n n a 24-=,

n

n

n a a a T +++=

Λ212,求证:

2

3321<

++++n T T T T Λ.

解析:)

21(2)14(3

421)21(241)41(4)222(44442

1

3

2

1

n n

n n n

n

n T -+-=-----=+++-++++=ΛΛ

所以

1

23)2(222322342323

23422234342)21(2)14(3

422

111111

+?-??=+?-?=-+=-+-=

-+-=

++++++n n n

n n n n n n n n n n n

n

n T

??

?

??---=--??=

+12112123)12)(122(2231n n n

n n

从而2

3

1211217131311231321<

??? ??---++-+-=

+++++n n n T T T T ΛΛ

例7.已知1

1=x ,

??

?∈=-∈-==)

,2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证:

*)

)(11(21

1

1

4

1

224

5

44

3

2N n n x x x x x x n n ∈-+>+

+?+

?+Λ

证明:

n

n

n n n n x x n n 222141

141

)

12)(12(114

2

4

24

4

1

22=

?=

>

-=

+-=

+,

因为 1

2++

)

1(21

2221

4

1

22n n n n n

x x n n -+=++>

>

+

所以

*)

)(11(21

1

14

1

224

5

44

3

2N n n x x x x x x n n ∈-+>+

+?+

?+Λ

二、函数放缩 例

8.求证：)

(66

5333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++Λ.

解析:先构造函数有x

x x x x 1

1ln 1ln -≤?

-≤,从而

)3

1

3121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++ΛΛ

cause

??? ??++++++??? ??++++++??? ??+=+++n n n n 311212

1

9181716151413121313121ΛΛΛ6533323279189936365111n

n n n n =???? ??+?++??? ??++??? ??++>---Λ

所以66

53651333ln 4

4ln 33ln 22ln +-

=--<++++n n n n n n Λ 例

9.求证:(1))

2()1(21

2ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n αααααααΛ

解析:构造函数x

x

x f ln )(=

,得到

2

2

ln ln n

n

n n ≤αα,再进行裂项

)1(1

111ln 22

2+-<-≤n n n

n n ,求和后可以得到

答案

函数构造形式: 1ln -≤x x ,)

2(1ln ≥-≤ααα

n n

例

10.求证:n n n 1

211)1ln(113

121+

++<+<++++ΛΛ 解析:提示:

2ln 1ln 1ln 1211ln

)1ln(++-++=??-?+=+ΛΛn n

n n n n n n n

函数构造形式:

x

x x x 1

1ln ,ln -

><

当然本题的证明还可以运用积分放缩

如图,取函数x

x f 1

)(=

,

首先:

?-

i

n ABCF

x S 1,从而,

)ln(ln |ln 1

1i n n x x i n n i n n

i

n --==

取1=i 有,)1ln(ln 1

--

,

所以有

2ln 2

1

<,2ln 3ln 31-<,…,)1ln(ln 1--

)1ln(1

13121+<++++n n Λ 另一方面?->n

i n ABDE

x S 1

,从而有

)ln(ln |ln 1

1i n n x x

i i n n i n n

i n --==>?---?

取1=i 有,)1ln(ln 1

1

-->-n n n ,

所以有n

n 1211)1ln(+++

<+Λ,所以综上有

n

n n 1

211)1ln(113121+++<+<++++ΛΛ

例11.求证:e n <+??++

)!

1

1()!311)(!211(Λ和

e

n <+??++)3

1

1()8111)(911(2Λ.解析:构造函数后即可证明

例

12.求证:32)]1(1[)321()211(->++???+??+n e n n Λ 解析:

1)1(3

2]1)1(ln[++-

>++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:)0(1

3

)1ln(1)0(132)1ln(>+>++?>+-

>+x x x x x x x (加强命题)

例13.证明:

)1*,(4

)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n Λ

解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:

1

2111)('--=--=

x x x x f ,令0)('>x f 有21<

x ,

所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12

+=n x 有,1ln 22-≤n n

所以2

1

1ln -≤+n n n ,所以

)1*,(4

)

1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n Λ

例14. 已知112

11

1,(1).2

n n n a a a n n +==+

++证明2

n

a

e <.

解析:

n

n n n n a n n a n n a )2

1

)1(11(21))1(11(1+++<+++

=+,

然后两边取自然对数,可以得到

n

n n a n n a ln )2

1

)1(11ln(ln 1++++

<+

然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：

?+++

≤+n n

n a n n a )21

11(2

1?++++

≤+n n n a n n a ln )2

1

11ln(ln 2

1

n

n n n a 2

1

1ln 2

+++

≤。于是

n

n n n n a a 21

1ln ln 21++≤

-+，

.

221122

11)21

(111ln ln )211()ln (ln 1

1211

111

<--=--+

-≤-?++≤---=+-=∑

∑n n n i

n i i i n i n n a a i i a a

即.2ln ln 2

1

e a a a n

n

注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n

来放缩：

?-+-+

≤+)

1(1

))1(11(1n n a n n a n n ?

+-+

≤++)1)()

1(1

1(11n n a n n a

.

)

1(1

))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+≤+-++n n n n a a n n

11

1)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21

2

11

2

<-<+-+?-<+-+?∑

∑-=+-=n

a a i i a a n n i i i n i ，

即.133ln 1)1ln(2

e

e a a

n n

<-

例

16.(2008年福州市质检

)已知函数

.

ln )(x x x f =若

).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明 解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =+->

()ln ,()ln ()ln(),0.()ln 1ln()1ln

,2()0,10.2f x x x g x x x k x k x x x k g x x k x k x

x x k k g x x k k x k x =∴=+--'∴<<=+---=--'>>?>?<<--Q Q 令则有

∴函数k k x g ,2[)(在）上单调递增，在]

2,0(k 上单调递减.∴)(x g 的最小值为)2(k g ，即总

有

).

2()(k

g x g ≥

而,

2ln )()2ln (ln 2ln )2()2()2(k k f k k k

k k k f k f k g -=-==-+=

,2ln )()(k k f x g -≥∴

即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥

-+

令,,b x k a x =-=则.b a k +=

.2ln )()()()(b a b a f b f a f +-+≥+∴

).()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++∴

例15.(2008年厦门市质检) 已知函数

)

(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若

)

()('x f x f x >?在0>x 上恒成立.

(I)求证：函数),0()

()(+∞=

在x

x f x g 上是增函数；

(II)当)

()()(:,0,0212121

x x f x f x f x x

+<+>>证明时；

(III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立， 求证：

).

()2)(1(2)1ln()

1(14ln 413ln 312ln 21*22

222222N n n n n n n ∈++>++++++Λ

解析:(I)

)

()(')('2

>-=

x x f x x f x g ,所以函数),0()

()(+∞=

在x

x f x g 上是增函数

(II)因为),0()

()(+∞=在x

x f x g 上是增函数,所以

)()()()(212

11

1212111x x f x x x x f x x x x f x x f +?+

)()()()(212

122212122x x f x x x x f x x x x f x x f +?+

两式相加后可以得到)()()(21

2

1

x x

f x f x f +<+

(3)

)()()()(21211

1212111n n

n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++

)()()()(212122212122n n

n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++

n

n n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++

()()()(212

1

n n x x x f x f x

f x f +++<+++ΛΛ

所以)

ln()(ln ln ln ln 2121332211

n n n n x x x x x x x x x x x x x x ++++++<++++ΛΛΛ

令

2

)1(1n x n +=

,有

? ??++++????? ??+++++2222222)1(13121ln )1(1413121n n ΛΛ

????

?

?+++?+?????? ??++++

+-

所以).

()2)(1(2)1ln()

1(14ln 413ln 312ln 21*22

222222N n n n n

n n ∈++>++++++Λ

(方法二)

??

? ??+-+=++≥+++>++2111

4ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(22

2n n n n n n n n n

所以)

2(24ln 2121

4ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2122222222+=??? ??+->++++++n n n n n Λ

又1

1

14ln +>

>n ,所以

).

()2)(1(2)1ln()

1(14ln 413ln 312ln 21*22

222222N n n n n n n ∈++>++++++Λ

三、分式放缩

姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m

b a b 和)0,0(>>>++

记忆口诀”小者小,大者大”

解释:看b,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:1

2)1

211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ和

1

21)21

1()611)(411)(211(+<

+---n n

Λ也可以表

示成为

1

2)

12(5312642+>-???????n n n

ΛΛ和

1

212642)

12(531+<

????-????n n

n ΛΛ

解析: 利用假分数的一个性质

)0,0(>>>++>m a b m

a m

b a b 可得

>-??122563412n n Λ=+??n n 212674523Λ)12(21

26

54321+?-??n n

n Λ

?12)1

22563412(2+>-??n n n Λ即.

12)121

1()511)(311)(11(+>-++++n n Λ

例

20.证明:.

13)231

1()711)(411)(11(3+>-++++n n Λ

解析: 运用两次次分式放缩:

1

338956.232313784512-????>--????n n

n n ΛΛ (加1)

n

n n n 31

391067.342313784512+????>--????ΛΛ (加2)

相乘,可以得到:

)13(1323875421131381057.2423137

8

45122

+?--????=-+?

???>??? ??--????n n n n n n n ΛΛΛ

所以有

.

13)2

31

1()711)(411)(11(3+>-++++n n Λ

四、分类放缩 例21.求证:2

12131211n

n >-++++

Λ

解析:

+++++++++>-++++

ΛΛ)21212121()4141(211121312113333n

2)211(221)212121(

n

n n

n n n n >

-+=-+++Λ 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系xoy 中, y 轴正半

轴上的点列{}n

A 与曲线x y 2=（x ≥0）上的点列{}n

B 满足n OB OA n n

1

==，直线n n B A 在x

轴上的截距为n a .点n B 的横坐标为n b ,*

∈N n .

(1)证明n a >1

+n a >4，*

∈N n ; (2)证明有*

∈N

n

，使得对0

n n >?都有

n

n n n b b b b b b b b 1123

12+-++++Λ<2008-n .

解析:(1)

依题设有：(()10,,,0n n n n A B b b n ??

> ???

，由

1n OB n

=

得：

2*212,1,n n n b b b n N n +=

∴∈,又直线n

n

A B 在x 轴上的截距为n a 满足

(

)()11000n n a b n n ???

-=--? ????

n a 2222

1

210,2n n n n

n b n b b n b =->+=

Q

212n n n n a b n b ∴==+

1n a 显然，对于11

01

n n >>+，有*

14,n

n a

a n N +>>∈

(2)证明：设

*1

1,n n n

b c n N b +=-

∈，则

(

)

()()

22222

11121121

2121n c n n n n n n n ?- +??? ?++ > ++ ? ()()()2

*

1

212210,,2n n n n n c n N n ++-+=>∴>

∈+Q

设

*

12,n n S c c c n N =+++∈L ，则当

()

*221k n k N =->∈时，

23111111111113421234212212n k k k k S -??????

>++++=+++++++ ? ? ?

-++??????L L L 212311112222222k k k -->?

+?++?=L 。

所以，取40090

22

n

=-，对0

n n ?>都有：

200821

4017111012312=->>=???? ??-++???? ??-+???? ??-+n n n n S S b b b b b b Λ

故有

n

n n n b b b b b b b b 1123

12+-++++Λ<2008-n 成立。

例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数),1()(2

R c b c bx x x f ∈≥++=，若)(x f 的定义域

为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列

}

{n b 满足

)()

(*3N n n

n f b n ∈=

，记数列}{n

b 的前n 项

和为n T ，问是否存在正常数A ，使得对于任意正整数n 都有A

T n

<？并证明你的结论。

解析:首先求出x

x

x f 2)(2

+=,∵

n

n n n n n f b n 1

2)(323>+==

∴

n b b b b T n n 131211321++++

>++++=ΛΛ,∵214124131=?>+,218148

1716151=?>+++, (2121221221121)

1

11=?>++++

+---k k k k k Λ,故当k n 2>时,12+>k T n

,

因此，对任何常数A ，设m 是不小于A 的最小正整数， 则当2

22

->m n 时,必有

A m m T n >=+->

12

2

2.

故不存在常数A 使A

T

n

<对所有2≥n 的正整数恒成立.

例24.(2008年中学教学参考)设不等式组???

??+-≤>>n nx y y x 3,

0,0表示的平面区域为n

D ,

设n

D 内整数坐标点的个数为n a .设

n

n n n a a a S 22

1

111+

++=

++Λ, 当2≥n 时,求

证:

36

11711112321+≥++++n a a a a n Λ.

解析:容易得到n

a

n

3=,所以,要证36

11

711112321+≥++++n a a a a n Λ只要证

1211

721312112+≥++++

=n S n n Λ,因为

n n n n S 2

1

221121()81716151()4131(211112++++++++++++++

=--ΛΛ12117)1(12723211121222+=

-+≥+++++=-n n T T T n Λ,所以原命题

得证

五、迭代放缩 例25. 已知

1,1

4

11=++=

+x x x x n n n ,求证:当2≥n 时,

n

n

i i

x

-=-≤-∑11

22|2|

解析:通过迭代的方法得到1

212-≤

-n n x ,然后相加就可以得到结论

例26. 设n n n S 2

!

sin 2!2sin 2!1sin 21+++=

Λ,求证:对任意的正整数k,若k≥n 恒有:|S n+k －S n |<1

n

解析:

|2)

sin(2)!2sin(2)!1sin(|

||21k

n n n n k n k n n n S S ++++++++++=-Λ

k

n n n k n n n k n n n +++++++++≤++++++≤2

12121|2)sin(||2)!2sin(||2)!1sin(|

2121ΛΛ

n k n k n

2

1)211(21)212121(212<-?=+++=

Λ

又n

C C C n

n n n n n >+++=+=Λ10)11(2 所以

n

S S n n k n 1

21||<<

-+

六、借助数列递推关系 例27.求证:1222642)

12(531642531423121-+

n ΛΛΛ

解析: 设

n

n a n 2642)12(531????-????=

ΛΛ则

n

n n n n a na a n a n n a +=+?++=

++2)1(2)

1(21

211,从而

n

n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到

1

2

21)22(13

21)1(22)1(21121-+?

+<-+?

+<-+=++++n n n n a a n a a a n n Λ

所以

1222642)12(531642531423121-+

n ΛΛΛ

例28. 求证:1122642)12(531642531423121-+

n ΛΛΛ

解析: 设

n

n a n 2642)12(531????-????=

ΛΛ则

1

11)12(]1)1(2[)

1(21

2+++++=++?++=

n n n n n a a n a n a n n a ,从而

n

n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,相加后就可以得到

1122

3

1

21)12(3)12(1121-+<-

+?

+<-+=++++n n n a a n a a a n n Λ

例29. 若1

,111+=?=+n a a a n n ,求证:

)11(211121-+≥+++n a a a n

Λ

解析:

n

n n n n n n a a a a a n a a -=?+?=+=?+++++21

112112

所以就有21221

111211211

21-+=-≥--++=+++++n a a a a a a a a a a a n n n n n Λ

七、分类讨论 例30.已知数列

}

{n a 的前n

项和n S 满足

.

1,)1(2≥-+=n a S n n n 证明：对任意的整数4>m ，有

8

7

11154<+++m a a a Λ

解析:容易得到

[]

.)1(23

212

---+=

n n n a ,

由于通项中含有n

)1(-，很难直接放缩，考虑分项讨论：

当3≥n 且n 为奇数时1

2222223)121121(231121321

2121--++?=-++=+-------+n n n n n n n n n a a

)2

121(2322

223123

21

2

-----+?=

+?<

n n n n n （减项放缩），于是

①当4>m 且m 为偶数时

=+++m a a a 11154Λ)11()11(11654m

m a a a a a +++++-Λ

.87

8321)2

11(412321)212121(23214243=+<-??+=++++<

--m m Λ

②当4>m 且m 为奇数时

<+++m a a a 1

1154Λ1

541111+++++m m a a a a Λ（添项放缩）由①知.8

7

11111

5

4

<++

+++m m

a a a

a Λ由①②得证。

八、线性规划型放缩 例31. 设函数221()2

x f x x +=

+.若对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤，求a b -的最大值。

解析:由

22

22

1(2)(1)(())((1)1)22(2)x x f x f x -+-+-=

+知

1

(())((1)1)0

2

f x f +-≤ 即

1

()12

f x -≤≤

由此再由

()

f x 的单调性可以知道

()f x 的最小值为1

2-，最大值为1

因此对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤的充要条件是，

133

233a b a b ?

-≤-+≤??

?-≤+≤?

即a ，b 满足约束条

件

331

321

32

a b a b a b a b +≥-??+≤???-+≥-??-+≤??，

由线性规划得，a b -的最大值为5．

九、均值不等式放缩 例32.设.

)1(3221+++?+?=n n S

n

Λ求证

.2

)1(2)1(2

+<<+n S n n n

解析: 此数列的通项为.

,,2,1,)1(n k k k a

k

Λ=+=

2

1

21)1(+=++<

+

)

21

(1

1∑∑==+<<∴n

k n n k k S k ，

即.2

)

1(22)1(2)1(2

+<++<<+n n n n S n n n

注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2

b

a a

b +≤

，

若放成1)1(+<+k k k 则得2

)

1(2)3)(1()1(2

1

+>

++=

+<∑=n n n k S n

k n ，就放过“度”了！

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

n

a a n a a a a a a n

n

n

n n n

2

211111

1++≤++≤

≤++ΛΛΛΛ

其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

例33.已知函数

bx

a x f 211)(?+=

，若

5

4)1(=

f ，且

)(x f 在[0，1]上的最小值为2

1

，求证：

.2

12

1)()2()1(1

-+

>++++n n n f f f Λ

解析:

)221

1()()1()0(2

2114111414)(?->++?≠?->+-=+=

n f f x x f x

x x x Λ

.

21

21)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=?-++?-

++-n n n n n ΛΛ

例34.已知b a ,为正数，且1

1

1=+b a ，试证：对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a .

解析: 由

111=+b

a 得

b a ab +=，又4

2)11)((≥++=++a b

b a b a b a ，故4≥+=b a ab ，而

n

n n r r n r n n n n n n b

C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110)(，

令n n

n b a b a n f --+=)()(，则

)(n f =1111----++++n n n r r n r n n n

ab C b a C b a C ΛΛ，因为i n n i n C C -=，倒序相

加得)(2n f =)

()()(111

11

1b a ab C b a b a C ab b a

C n n n n r n r r r n r n n n n

-------+++++++ΛΛ，

而12

1

1

1

1

2422+------=?≥≥+==+==+n n

n

n n n r

n r r r

n n n b a b a

ab

b

a b a

ab

b a

ΛΛ，

则)(2n f =

))(22())((11r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++ΛΛ?

-≥)22(n 1

2+n ，所以

)(n f ?-≥)22(n n

2，即对每一个*∈N n ，1222)

(+-≥--+n n n n n

b a b a .

例35.求证),1(2

2

1321N n n n C C C C

n n n

n n n

∈>?>++++-Λ

解析: 不等式左=++++n n n n n C C C C Λ32112222112-++++=-n n Λn n n 122221-?????>Λ=

2

12

-?n n ，

原结论成立.

例36.已知x

x

e

e x

f -+=)(,求证:2

1

)

1()()3()2()1(n n e

n f f f f +>????+Λ

解析:

11)1()1()()(212112212

1221121+>?+++=+?+

=?++x x x x x x x x x x x x x x e e

e e e e e e e e e e x

f x f

经过倒序相乘,就可以得到2

1

)

1()()3()2()1(n n e n f f f f +>????+Λ

例37.已知x

x x f 1)(+

=,求证:n

n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>????Λ

解析:

2

)12(2)

12(11212)12()12112)(1(+-+>-++-++-++-+=-++-++k n k n k k k n k n k k n k k n k n k k

其中:n k 2,,3,2,1Λ=,因为n k n k k n k n k k n k 2)12(0)2)(1(2)1(2≥-+?≥--=--+? 所以

2

2)121

12)(1(+≥-++-++n k

n k n k k

从而n n n f f f f 22

)22()]2()3()2()1([+>????Λ,所以n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>????Λ.

例38.若7>k ,求证:

23

1121111>-++++++=

nk n n n S n Λ.

解析:

)

1

11()3121()2111()111(2n nk nk n nk n nk n S n +-++-+++-+++-+=Λ 因为当0,0>>y x 时,

xy

y x xy y x 2

11,

2≥+≥+,所以4)11)((≥++y x y x ,所以y

x y x +≥

+4

11,

当且仅当y x =时取到等号. 所以1

)

1(414324214142-+-=

-+++-+++-+++-+>

nk n k n nk n nk n nk n nk n S n Λ

所以23

1421)1(211)1(2>+-=+->-+->

k k k n

k k S n 所以

2

31121111>-++++++=

nk n n n S n Λ

例39.已知

))(()(21x x x x a x f --=,求证:16)1()0(2

a f f ≤?.

解析:

16

)]1()][1([)1()0(2

22112

a x x x x a f f ≤

--=?.

例40.已知函数f(x)=x 2－(－1)k ·2lnx(k∈N*).k 是奇数, n∈N*时, 求证: [f’(x)]n －2n －1·f’(x n )≥2n (2n －2). 解析: 由已知得)0(2

2)(>+

='x x

x x f ，

(1)当n=1

时，左式=22(2)(2)0

x x x x +-+=右式=0.∴不等式成立.

(2)2n ≥, 左式=

)

2

2(2)22()(2)]([11n n n n n n n x x x x x f x f +?-+='?-'-- ).

11(22

1

4

2

4221------++++=n n n

n n n

n n n n n x C x C x C x C Λ

令

12242

1

4

2

11n n n n n n n

n

n n S C x C x C C x

x

------=++++L

由倒序相加法得：

)1(

)1()1(222

1

4

42

2

21

-------++++

++

=n n n n n n n n n n x x

C x

x C x

x C S Λ)

22(2)(2121-=+++≥-n n n

n n C C C Λ，

所以).22

(-≥n

S

所以.)22(2)(2)]([1成立-≥'?-'-n n n n n

x f x f 综上，当k 是奇数，N n +

∈时，命题成立

例41. （2007年东北三校）已知函数)

1()(>-=a x a

x f x

（1）求函数)(x f 的最小值，并求最小值小于0时的a 取值范围； （2）令

)

1()2()1()('

1'2'1-+++=-n f C f C f C n S n n n n Λ求证：

)

2

()22()('n

f n S n ?->

e

a a a a a x x x e

a a e

a a a a x f a

a a f x f a a x f a x x f a x a a

a a a x f a a x f 1

min min ''''11

ln ,1ln ln ,0ln ln ln 1,0)(ln ln ln 1)ln log ()(),ln log )ln log ,()(,

ln log ,0)(ln log 1,ln 1

,1ln ,0)(,1ln )()1(<<∴<∴-<<+<+=-=+∞---∞-<<->∴>>∴>>-=的取值范围是则即

若所以上递增；上递减，在（在所以有同理：又即：由

所以不等式成立。

),

2

()22()1ln )(22()

22(ln )22()22(ln )]()()([2

1)

(ln )()1ln ()1ln ()1ln ()()2('2

2

11222111211122111

221n

f a a a a a a a C a a C a a C C C C a a C a C a C a a C a a C a a C n S n n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n -=--=---≥--++++++=+++-+++=-++-+-=---------ΛΛΛΛ

★例42. (2008年江西高考试题)已知函数

(

)f x ()0x ,∈+∞.对任意正数

a ,证明：()12f x <<．

解析:对任意给定的0a >,0x >,

由

()f x ,

若令

8

b ax =

，则 8abx =① ,而

(

)f x

（一）、先证

()1

f x >

1

1x

+

1

1a

+

1

1b +，

又由

28a b x +++≥ ，得 6a b x ++≥．

所以

(

)111

111f x x a b

>+++++32()()

(1)(1)(1)a b x ab ax bx x a b ++++++=

+++

9()()(1)(1)(1)a b x ab ax bx x a b ++++++≥

+++1()()1

(1)(1)(1)a b x ab ax bx abx

x a b +++++++==+++．

（二）、再证()2f x <；由①、②式中关于,,x a b 的对称性，不妨设x a b ≥≥．则02b <≤

（ⅰ）、当7a b +≥，则5a ≥，所以5x a ≥≥，因为

1，

1，此时

(

)2f x <． （ⅱ）、当7a b +<③，由①得 ,8

x ab

=

因为

22

2

11[1]114(1)2(1)

b b b

b b b b <-+=-++++ 所以

12(1)b

b -

+④

12(1)a

a -

+⑤ ，于是

(

)12211a b f x a b ?<-+- ++?⑥

今证明

11a b a b +>++

11a b a b +≥++，

只要证 (1)(1)8ab ab

a b ab >

+++，即 8(1)(1)ab a b +>++，也即 7a b +<，据③，此为

显然．

因此⑦得证．故由⑥得 ()2f x <．

综上所述，对任何正数a,x ，皆有()12f x <<．

例43.求证:

21

3121111<++++++<

n n n Λ

解析:一方面:14

2

214131211312111=+>??? ??++≥++++++n n n Λ

(法二)

??

??????? ??+++++??? ??+++??? ??+++?=++++++11131

312113111211312111n n n n n n n n n ΛΛ

???

? ??+++++++++++?=

)13)(1(2

4)2(324)1)(13(2421n n n n n n n n n Λ

()1)

12()12()12(1

)1()12(1)12(11222222

222=++>???? ??-+++--++-+?+=n n n n n n n n n Λ

另一方面:21

2

21121312111=++<++<++++++n n n n n n n Λ

十、二项放缩 n

n

n n n n

C C C +++=+=Λ10)11(2,1

2

1

0+=+≥n C C n n n

,

2

2

22210++=

++≥n n C C C n

n

n

n

)2)(1(2≥->n n n n

例44. 已知112

11

1,(1).2

n n n a a a n n +==+

++证明2

n

a

e <

解析:

?-+-+

≤+)1(1))1(11(1n n a n n a n n ?

+-+≤++)1)()

1(1

1(11n n a n n a

.

)

1(1

))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+

≤+-++n n n n a a n n

11

1)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([212

11

2

<-<+-+?-<+-+?∑

∑-=+-=n

a a i i a a n n i i i n i ，

即.

133ln 1)1ln(2e e a a n n

<-

例45.设

n

n n

a )1

1(+=，求证：数列}{n

a 单调递增且.4

解析: 引入一个结论：若0>>a b 则)()1(11a b b

n a b n

n n -+<-++（证略）

整理上式得].)1[(1nb a n b a n

n -+>+（?）

以n

b n a 11,111+=++

=代入（?）式得

>++

+1)111(n n .)1

1(n n

+ 即}{n a 单调递增。

以

n

b a 21

1,1+

==代入（?）式得

.4)21

1(21)211(12<+??+

>n n n

n

此式对一切正整数n 都成立，即对一切偶数有4

)

1

1(<+n

n

，又因为数列}

{n a 单调递增，所以对一切正整数n 有

4

)1

1(<+n n

。

注：①上述不等式可加强为.

3)1

1(2<+≤n n 简证如下：

利用二项展开式进行部分放缩：.1111)11(221n

n n n n n n n C n C n C n a ++?+?+=+=Λ

只取前两项有

.21

11

=?

+≥n C a n n 对通项作如下放缩：

.21

2211!111!111-=?≤<+-?-??=k k

k

n

k n k n n n n n k n C ΛΛ 故有.

32/11)

2/1(1212212121111

12<--?+=+++++<--n n n a Λ

②上述数列}{n a 的极限存在，为无理数e ；同时是下述试题的背景：

已知n m i ,,是正整数，且.1n m i <≤<（1）证明i n

i

i m

i

A m A n <；（2）证明.)1()1(m

n n m +>+（01年全国卷理科第20题）

简析 对第（2）问：用n /1代替n 得数列n

n

n

n b

b 1

)1(:}{+=是递减数列；借鉴此

结论可有如下简捷证法：数列}

)1{(1n

n +递减，且

,

1n m i <≤<故

,

)1()1(1

1

n m n m +>+即

m

n

n m )1()1(+>+。

当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文[1]。

例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证：.12n n n

b a -≥+

解析: 因为a+b=1,a>0,b>0,可认为b a ,21,成等差数列，设d

b d a +=-=21,21，

从而n

n

n

n

n

d d b a -≥??

?

??++??? ??-=+122121

例

47.设N n n ∈>,1，求证)2)(1(8)32(++<

n n n .

解析: 观察n )32(的结构，注意到n

n )211()2

3(+=，展开得 86)2)(1(8)1(212121211)211(33221+++=-++≥+?+?+?+=+n n n n n C C C n n n n Λ，即8)2)(1()211(++>

+n n n ，得证.

例

48.求证:n n n

2

ln )211ln(2ln 3ln <

+≤-. 解析:参见上面的方法

例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数**

(),,y f x x y =∈∈N N ，满足： ①对任意*

,,a b a b ∈≠N ，都有)()()()(a bf b af b bf a af +>+； ②对任意*

n ∈N 都有[()]3f f n n =.

（I ）试证明：

)(x f 为*N 上的单调增函数；

（II ）求)28()6()1(f f f ++；

（III ）令*(3),n n a f n =∈N ，试证明：.

121111

424n n n a a a +++<

+L ≤ 解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性:

因为)()()()(a bf b af b bf a af +>+,所以可以得到0)()()()(>---b f b a a f b a ,

也就是0))()()((>--b f a f b a ,不妨设b a >,所以,可以得到)()(b f a f >,也就是说)(x f 为

*N 上的单调增函数.

(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!

首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!

由(1)可知0))()()((>--b f a f b a ,令)1(,1f a b ==,则可以得到0))1())1(()(1)((>--f f f x f ,又

3))1((=f f ,所以由不等式可以得到3)1(1<

接下来要运用迭代的思想:

因为2)1(=f ,所以3)]1([)2(==f f f ,6)]2([)3(==f f f ,9)]3([)6(==f f f ②

18)]6([)9(==f f f ,27)]9([)18(==f f f ,54)]18([)27(==f f f ,81)]27([)54(==f f f

在此比较有技巧的方法就是:2754275481-==-,所以可以判断55)28(=f ③ 当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论. 所以,综合①②③有)28()6()1(f f f ++=662955=++ (3)在解决}{n

a 的通项公式时也会遇到困难.

n

n n n n n n a a f f f f f f f 3),3(3)]}3([{)3(,3)]3([111=?===+++,所以数列*

(3),n n

a

f n =∈N 的方程为n

n

a

32?=,

从而)311(411112

1n n a a a -=+++Λ,一方面41)311(41<-n ,另一方面1222)21(31

100+=?+?≥+=n C C n n n n 所以2412241)1211(41)311(41+=

+?=+-≥-n n n n n n ,所以,综上有12

1111424n n n a a a +++<+L ≤.

例49. 已知函数f x

的定义域为[0,1]，且满足下列条件：① 对于任意

x ∈[0,1]，总有()3f x ≥，且()14f =；② 若1

2120,0,1,

x

x x x ≥≥+≤则有()()1

2

1

2

() 3.f x x f x f x +≥+-

（Ⅰ）求f 0的值；（Ⅱ）求证：f x ≤4； （Ⅲ）当

1

11

(

,](1,2,3,)33n n x n -∈=???时，试证明：()33f x x <+.

解析:（Ⅰ）解：令120x x ==，由①对于任意x ∈[0,1]，总有()3f x ≥， ∴(0)3f ≥

又由②得(0)2(0)3,f f ≥-即(0)3;f ≤ ∴(0) 3.f =

（Ⅱ）解：任取12,[0,1],x x ∈且设12,x x < 则2

1

21121()[()]()()3,f x f x

x x f x f x x =+-≥+--

因为2

10

x

x ->，所以2

1

()3f x x -≥，即2

1()30,

f x

x --≥ ∴12()()f x f x ≤.

∴当x ∈[0,1]时，()(1)4f x f ≤=. （Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：

1111

(

)3(*)33n n f n N --≤+∈

（1） 当n=1时，

0011

(

)(1)413333

f f ===+=+，不等式成立；

（2） 假设当n=k 时，

1

111

(

)3(*)33

k k f k N --≤+∈ 由1

1111111

(

)[()]()()33333333

k k k k k k k f f f f -=++≥++-

111

(

)()()6333

k k k f f f ≥++-

得

11111

3(

)()69.333

k k k f f --≤+≤+

即当n=k+1时，不等式成立

由（1）、（2）可知，不等式1111(

)333

n n f --≤+对一切正整数都成立.

于是，当

1

11

(

,](1,2,3,)33n n x n -∈=???时，

1111133333()333

n n n x f --+>?

+=+≥，

而x ∈[0,1]，()f x 单调递增 ∴111

(

)()33

n n f f -< 所以，

1

1

()(

)3 3.3n f x f x -<<+

例50. 已知：1

2

1,0

n i a a

a a +++=>L )2,1(n i Λ= 求证：

2222

1

1212231112

n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++>++++L

解析:构造对偶式：令

1

2121

322

22121a a a a a a a a a a a a A n n n n n ++

++++++=--Λ

1

21123223212

2a a a a a a a a a a a a B n n n n ++

++++++=

-Λ

则

1

212

12

21

3223222122

21

a a a a a a a a a a a a a a a

a B A n n n n n

n +-+

+-+++-++-=---Λ＝

B

A a a a a a a a a n n n =∴=-+-++-+--,0)()()()(113221Λ

又Θ

)(2

1

22j i j

i j

i a a a a a a +≥

+- （)2,1,n j i Λ=

12121221322322212

221)(21)(21a a a a a a a a a a a a a a a a B A A n n n n n n +-++-+++-++-=+=

∴--Λ[]2

1)()()()(41113221=

++++++++≥-a a a a a a a a n n n Λ

十一、积分放缩

利用定积分的保号性比大小 保号性是指，定义在[]

,a b 上的可积函数

()()0

f x ≥≤，则()()0

b

a

f x dx ≥≤?

.

例51.求证：e

e π

π

<.

解析: ln ln e

e e e π

π

ππ

πππ????-== ????????21ln e x dx x π-=?，

()

,x e π∈时，

2

1ln 0x

x -<，2

1ln 0e

x

dx x π

-

， ∴

ln ln e

e π

π

<

，e e

π

π<.

利用定积分估计和式的上下界

定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和. 例52.

求证：

)

121

>L ，()1,n n N >∈.

解析: 考虑函数(

)f x [],1i i +()1,2,3,,i n =L 上的定积分.

11i i

+>?-① 对i

求和，

11

1n

n i i i i +==>∑

?11

n +=?

1

1n +?=?

)2

1

=.

例

53. 已知,4n N n ∈≥.求证：11117

123

210n n n n ++++<

+++L . 解析:考虑函数

()1

1f x x

=

+在区间

1,i i n n -??

????

()1,2,3,,i n =L 上的定积分.