zs9a2-11一元二次方程
初三代数《一元二次方程》测试题
（试卷满分：100分，完卷时间：90分钟）
班级 座号 姓名 成绩 .
一、填空题：（每空2分，共40分）
1、方程(x –1)(2x +1)=2化成一般形式是 ，它的二次项系数是 .
2、关于x 的方程是(m 2–1)x 2+(m –1)x –2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程； 当m 时，方程为一元一次方程.
3、方程0322
=+x x 的根是 .
4、当k = 时，方程0)1(2=+++k x k x 有一根是0.
5、若方程kx 2–6x +1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 .
6、设x 1、x 2是方程3x 2+4x –5=0的两根，则
=+2
11
1x x .x 12+x 22= . 7、关于x 的方程2x 2+(m 2–9)x +m +1=0，当m = 时，两根互为倒数； 当m = 时，两根互为相反数.
8、若x 1 =23-是二次方程x 2+ax +1=0的一个根，则a = ， 该方程的另一个根x 2 = .
9、方程x 2+2x +a –1=0有两个负根，则a 的取值范围是 . 10、若p 2–3p –5=0，q 2－3q –5=0，且p ≠q ，则
=+2211p
q . 11、分解因式：122
--x x = ，2
232y xy x --= .
12、请写出一个一元二次方程使它有一个根为3 ， . 13、如果把一元二次方程 x 2–3x –1=0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根，
那么这个新一元二次方程是 .
14、已知方程0)1(2
=+++k x k x 的两根平方和是5，则k = .
二、选择题：（每小题2分，共12分）
1、方程012
=--kx x 的根的情况是（ ）
（A ）方程有两个不相等的实数根 （B ）方程有两个相等的实数根
（C ）方程没有实数根 （D ）方程的根的情况与k 的取值有关 2、已知方程22
=+x x ，则下列说中，正确的是（ ）
（A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2
（C ）方程两根和是－1 （D ）方程两根积是两根和的2倍 3、已知方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值可以是（ ）
（A ）—1 （B ）1 （C ）5 （D ）以上三个中的任何一个
4、若一元二次方程 2x （kx －4）－x 2
＋6 ＝ 0 无实数根，则k 的最小整数值是（ ）
（A ）－1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
5、若c 为实数，方程x 2－3x ＋c ＝0的一个根的相反数是方程x 2
＋3x －3＝0的一个根，
那么方程x 2
－3x ＋c ＝0的根是（ ）
（A ）1，2 （B ）－1，－2 （C ）0，3 （D ）0，－3
6、若一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝ 0 （a ≠0） 的两根之比为2：3， 那么a 、b 、c 间的关系应当是( ）
（A ）3b 2
＝8ac （B ）a c a
b 232592
2= （C ）6b 2
＝25ac （D ）不能确定 三、解下列方程：(每小题5分，共20分)
（1）9)12(2=-x （2）42)2)(1(+=++x x x
(3) 3x 2–4x –1=0 (4)4x 2–8x +1=0（用配方法）
四、（本题6分）
求证：不论k取什么实数，方程x2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根.
五、（本题6分）
若方程x2＋mx－15 ＝ 0 的两根之差的绝对值是8，求ｍ的值.
六、（本题8分）
某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，，求月平均增长率.
七、（本题8分）
已知a、b、c为三角形三边长，且方程b (x2-1)-2ax+c (x2+1)=0有两个相等的实数根.
试判断此三角形形状，说明理由.
1、甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇，求东西两地的距离是多少千米？
2、甲乙两辆汽车同时从东站开往西站。甲车每小时比乙车多行12千米，甲车行驶四个半小时到达西站后，没有停留，立即从原路返回，在距离西站31.5千米的地方和乙车相遇，甲车每小时行多少千米？
3、两人骑自行车沿着900米长的环形跑道行驶，他们从同一地点反向而行，那么经过18分钟后就相遇一次，若他们同向而行，那经过180分钟后快车追上慢车一次，求两人骑自行车的速度？
4、兄妹两人同时离家去上学。哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门时，发现忘带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校多远？
5、马路上有一辆车身为15米的公共汽车，由东向西行驶，车速为每小时18千米，马路一旁的人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑。某一时刻，汽车追上了甲，6秒钟之后汽车离开了甲；半分钟之后，汽车遇到了迎面跑来的乙；又过了2秒钟，汽车离开了乙。问再过多少秒后，甲、乙两人相遇？
6、甲、乙两地相距360千米，客车和货车同时从甲地出发驶向乙地。货车速度每小时60千米，客车每小时40千米，货车到达乙地后停留0.5小时，又以原速返回甲地，问从甲地出发后几小时两车相遇？
7、车与慢车同时从甲、乙两地相对开出，经过12小时相遇。相遇后快车又行了8小时到达乙地。慢车还要行多少小时到达甲地？
8、两地相距380千米。有两辆汽车从两地同时相向开出。原计划甲汽车每小时行36千米，乙汽车每小时行40千米，但开车时甲汽车改变了速度，以每小时40千米的速度开出，问在相遇时，乙汽车比原计划少行了多少千米？
9、东、西两镇相距240千米，一辆客车在上午8时从东镇开往西镇，一辆货车在上午9时从西镇开往东镇，到正午12时，两车恰好在两镇间的中点相遇。如果两车都从上午8时由两镇相向开行，速度不变，到上午10时，两车还相距多少千米？
10、客车和货车同时从甲乙两站相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到乙站后立即返回，货车到甲站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行216千米。求甲乙两站间的路程是多少千米？
11、“八一”节那天，某少先队以每小时4千米的速度从学校往相距17千米的解放军营房去慰问，出发0.5小时后，解放军闻讯前往迎接，每小时比少先队员快2千米，再过几小时，他们在途中相遇？
12、甲、乙两站相距440千米，一辆大车和一辆小车从两站相对开出，大车每小时行35千米，小车每小时行45千米。一只燕子以每小时50千米的速度和大车同时出发，向小车飞去，遇到小车后又折回向大车飞去，遇到大车又往回飞向小车，这样一直飞下去，燕子飞了多少千米，两车才能相遇？
13、两地的距离是1120千米，有两列火车同时相向开出。第一列火车每小时行60千米，第二列火车每小时行48千米。在第二列火车出发时，从里面飞出一只鸽子，以每小时80
千米的速度向第一列火车飞去，在鸽子碰到第一列火车时，第二列火车距目的地多远？
14、两辆汽车上午8点整分别从相距210千米的甲、乙两地相向而行。第一辆在途中修车停了45分钟，第二辆因加油停了半小时，结果在当天上午11点整相遇。如果第一辆汽车以每小时行40千米，那么第二辆汽车每小时行多少千米？
15、小刚和小勇两人骑自行车同时从两地相对出发，小刚跑完全程的5/8时与小勇相遇。小勇继续以每小时10千米的速度前进，用2.5小时跑完余下的路程，求小刚的速度？
16、甲、乙两人在相距90千米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒钟跑3米，乙的速度是每秒钟跑2米。如果他们同时分别在直路两端出发，当他们跑了10分钟，那么在这段时间内共相遇了多少次？
17、男、女两名运动员在长110米的斜坡上练习跑步（坡顶为A，坡底为B）。两人同时从A点出发，在A、B之间不停地往返奔跑。如果男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度每秒5米；女运动员上坡速度每秒2米，下坡速度每秒3米，那么两人第二次迎面相遇的地点离A点多少米？
行程问题应用题分类复习题集
1、一慢车以45千米/时的速度从长春开往大连，5小时后，快车以70千米/的速度也从长春开往大连，它要经过多少时间可以追上慢车？
2、早上，小丹与小明练习跑步，若小明让小丹先跑30米，则小明10秒可追上小丹，若小明让小丹先跑3秒，则小明6秒可以追上小丹。小丹和小明的速度各是多少？
3、甲、乙两车分别以不同的速度从A、B两地同时相向而行，在距A地90千米处相遇。相遇后两车以原速前进，在各自到达对方车站后立即返回，途中又在距B地70千米处相遇。已知第一次与第二次相遇恰好间隔4小时，甲、乙两车的速度各是多少米？
4、火车通过82米长的铁桥用了22秒，如果米火车的速度加快1倍，它通过162米长的铁桥就用15秒，求火车原来的度和它的长度。
5、某校606人排成两路纵队去参观教育展，队伍行进的速度为23米/分，前后两人都相距1米，现在队伍要通过一座长为664米的桥，整个队伍从上桥到离桥共需多少分？
6、东风大街两旁每隔100米竖着一根电线杆，骑自行车从第一根电线杆到第7根电线杆，小丹用了1分，小林用50秒，两人都从第1根电线杆处为起点，当小丹骑到第11根电线杆时，小林开始追赶，小林多少分后能追上小丹？
7、张丹、王明、李林三人同时从净月潭潭边同一地点出发，绕潭行走。张丹的速度是5.4千米/时，王明的速度为4.2千米/时，他们二人同方向行走。李林与他们反方向行走，40分后张丹与李林相遇，再经过5分，王明杨李林相遇。绕潭一周的行程是多少千米？
8、有快、慢两车同时从A、B两地相向而行。快车每小时45千米，慢车每小时行20千米。两车不断往返于A、B两地，当两车第三次相遇后，快车又行了450千米与慢车相遇。A、B两地相距多少千米？
9、甲、乙两人同时从A、B两地骑自行车相向而行，甲的速度是26千米/时，乙的速度是22千米/时，两人相遇时距中点5千米，那么A、B两地相距多少千米？
10、两列火车相向而行，甲车的速度为43.2千米/时，乙车的速度为54千米/时，两车错车时，甲车上一乘客发现，从乙车车头经过他的车窗开始到乙车车尾经过他的车窗共用14秒，乙车的车长为多少米？
11、解放小学校内有一条长400米的环形跑道，小袁和小李同时从起点跑线起跑，小袁每秒跑8米，小李每秒跑6米。小袁第一次追上小李时，两人各跑了多少米？小袁第二次追上小李时，两人各跑了几圈？
12、人民大街（平行的路）上，有一行人与一骑车人同时向南行进，行人的速度为1米/秒，骑车人的速度为3米/秒，这时有开列火车从他们后方开过来，火车通过行人用22秒，通骑车人用26秒，那么该列车的车身长为多少米？
13、姐弟两人同时离家去上学，姐姐每分走100米，弟弟每分走70米。姐姐到校门口时发现忘带数学书，立即沿原路回家去拿，行到离学校180米处与弟弟相遇，姐弟两人家离学
校有多少米？
14、王丹和刘安两人从相距60千米的两地同时相向出发，5小时后相遇，如果他们从同一地点同时同向出发，则2小时后王丹在刘安前面5千米处。他俩的速度各为多少？
15、小李和小王两人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，小李28分赶上小王，如果两人相向而行，7分可相遇，又知小王的速度为60米/分，A、B的距离为多少米？
16、有一条河流过甲、乙、丙三村。甲、乙两村有汽船来往，汽船在静水中的船速为11千米/时，乙、丙两村之间有木船摆渡，木船在静水中速度为3.5千米/时。已知甲、丙两村水路相距60千米，水流速度为1.5千米/时，小刚从甲村上船顺流而下到乙村，吃午饭用去1小时，接着乘木船顺流而下到丙村，共用8小时。求甲、乙两村的距离。
17、小学五、六年级学生528人排成三路纵队去参观教育展，行进的速度是25米/分，队伍前后两人相距1米，现在队伍要过一座桥，且整个队伍从上桥到离桥共需16分，这座桥长多少米？
18、小明在A、B两地间跑步，从A地出发，如果每分钟跑150米，就比计划时间晚2
分钟到达B地，如果每分钟跑180米，就比计划时间提前3分钟到达B地。A、B两地相距多少米？
19、一只船工从甲港到乙港，顺水13小时到达，从乙港到甲港，逆水17小时到达。已知甲乙两港间的水路长221千米，求船在静水中的速度和水流速度。
20、某校开运动会，有一个班统计参加比赛项目的人数如下：参加田赛的有26人，参加径赛的有30人，其中既参加田赛又参加径赛的有12人，田径赛项目都没参加的有4人，这个班字生一共有多少人？
21、甲乙两河港的水路长1105千米，一艘轮船从甲港顺水驰往乙港，水流速度为2千米/时，船在静水中速度为15千米/时，到达乙港御货2小时后立即返回甲港。这艘轮船从甲港开出到回港用了多少小时？
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2011-07-13 13:43塔洋镇中心学校王夏[博客]2903 字, 阅读315, 评论8
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1、一慢车以45千米/时的速度从长春开往大连，5小时后，快车以70千米/的速度也从长春开往大连，它要经过多少时间可以追上慢车？
2、早上，小丹与小明练习跑步，若小明让小丹先跑30米，则小明10秒可追上小丹，若小明让小丹先跑3秒，则小明6秒可以追上小丹。小丹和小明的速度各是多少？
3、甲、乙两车分别以不同的速度从A、B两地同时相向而行，在距A地90千米处相遇。相遇后两车以原速前进，在各自到达对方车站后立即返回，途中又在距B地70千米处相遇。已知第一次与第二次相遇恰好间隔4小时，甲、乙两车的速度各是多少米？
4、火车通过82米长的铁桥用了22秒，如果米火车的速度加快1倍，它通过162米长的铁桥就用15秒，求火车原来的度和它的长度。
5、某校606人排成两路纵队去参观教育展，队伍行进的速度为23米/分，前后两人都相距1米，现在队伍要通过一座长为664米的桥，整个队伍从上桥到离桥共需多少分？
6、东风大街两旁每隔100米竖着一根电线杆，骑自行车从第一根电线杆到第7根电线杆，小丹用了1分，小林用50秒，两人都从第1根电线杆处为起点，当小丹骑到第11根电线杆时，小林开始追赶，小林多少分后能追上小丹？
7、张丹、王明、李林三人同时从净月潭潭边同一地点出发，绕潭行走。张丹的速度是5.4千米/时，王明的速度为4.2千米/时，他们二人同
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2011-07-13 13:43塔洋镇中心学校王夏[博客]2903 字, 阅读315, 评论8
本文收录在601065: 数学62910170)608333: 数学科组(sxkz)9269: 教学随笔（1022）行程问题应用题分类复习题集1、一慢车以45千米/时的速度从长春开往大连，5小时后，快车以70千米/的速度也从长春开往大连，它要经过多少时间可以追上慢车？
2、早上，小丹与小明练习跑步，若小明让小丹先跑30米，则小明10秒可追上小丹，若小明让小丹先跑3秒，则小明6秒可以追上小丹。小丹和小明的速度各是多少？
3、甲、乙两车分别以不同的速度从A、B两地同时相向而行，在距A地90千米处相遇。相遇后两车以原速前进，在各自到达对方车站后立即返回，途中又在距B地70千米处相遇。已知第一次与第二次相遇恰好间隔4小时，甲、乙两车的速度各是多少米？
4、火车通过82米长的铁桥用了22秒，如果米火车的速度加快1倍，它通过162米长的铁桥就用15秒，求火车原来的度和它的长度。
5、某校606人排成两路纵队去参观教育展，队伍行进的速度为23米/分，前后两人都相距1米，现在队伍要通过一座长为664米的桥，整个队伍从上桥到离桥共需多少分？
6、东风大街两旁每隔100米竖着一根电线杆，骑自行车从第一根电线杆到第7根电线杆，小丹用了1分，小林用50秒，两人都从第1根电线杆处为起点，当小丹骑到第11根电线杆时，小林开始追赶，小林多少分后能追上小丹？
7、张丹、王明、李林三人同时从净月潭潭边同一地点出发，绕潭行走。张丹的速度是5.4千米/时，王明的速度为4.2千米/时，他们二人同
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2011-07-13 13:43塔洋镇中心学校王夏[博客]2903 字, 阅读314, 评论2
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1、一慢车以45千米/时的速度从长春开往大连，5小时后，快车以70千米/的速度也从长春开往大连，它要经过多少时间可以追上慢车？
2、早上，小丹与小明练习跑步，若小明让小丹先跑30米，则小明10秒可追上小丹，若小明让小丹先跑3秒，则小明6秒可以追上小丹。小丹和小明的速度各是多少？
3、甲、乙两车分别以不同的速度从A、B两地同时相向而行，在距A地90千米处相遇。相遇后两车以原速前进，在各自到达对方车站后立即返回，途中又在距B地70千米处相遇。已知第一次与第二次相遇恰好间隔4小时，甲、乙两车的速度各是多少米？
4、火车通过82米长的铁桥用了22秒，如果米火车的速度加快1倍，它通过162米长的铁桥就用15秒，求火车原来的度和它的长度。
5、某校606人排成两路纵队去参观教育展，队伍行进的速度为23米/分，前后两人都相距1米，现在队伍要通过一座长为664米的桥，整个队伍从上桥到离桥共需多少分？
6、东风大街两旁每隔100米竖着一根电线杆，骑自行车从第一根电线杆到第7根电线杆，小丹用了1分，小林用50秒，两人都从第1根电线杆处为起点，当小丹骑到第11根电线杆时，小林开始追赶，小林多少分后能追上小丹？
解实系数一元二次方程
课题解实系数一元二次方程 教学目标: 1．掌握在复数集内解一元二次方程和解二项方程的方法；使学生掌握含有未知数 的解法． 2．教学过程中，渗透数学转化思想及方程的思想，提高学生灵活运用数学知识解题的能力；培养学生严谨的逻辑思维． 3．通过对实系数一元二次方程在实数范围内求解和在复数范围内求解的比较，认识到任何事物都是相对的，而不是绝对的这一辩证唯物主义的观点． 教学重点与难点: 个复数相等的充分必要条件的运用． 教学过程: 一、引入新课 问题一：方程x2+1=0在复数范围内有没有解，解集是什么？ 因为-1=i2，则原方程化为x2-i2=0，即（x+i）（x-i）=0．所以原方程解集为{i，-i}．问题二：方程ax2＋bx＋c=0（a，b，c是实数）在复数范围内解集是什么？ 当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，解集为 二、讲授新课 引导思考：方程x2＋1=0中，Δ=-4＜0，上述结论对吗？ 解为： 无意义．此时方程的解集为 1、实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0在复数范围内解的情况为： 当Δ≥0时有实根； 当Δ＜0时，有一对共轭的虚根． 例1 、在复数集上解方程x2-4x+5=0
i i x ac b ±=±=<-=-2244,0442所以 解： 例2 已知实系数一元二次方程2x 2＋ax ＋b=0的一个根为2i-3，求a ，b 的值． 解：2x 2＋ax ＋b=0一根为2i-3，另一根为-3-2i ．由韦达定理知： b=（2i-3）（-2i-3）=9＋16=25， a=2i-3+（-2i-3）=-6． 我们上面解决了实系数一元二次方程求解问题．对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程应该如何解？ 例3 求方程x 2-2ix-5=0的解． 解：将方程左端配方，得（x-i ）2-4=0，即（x-i ）2=4．解得x-i=±2，即x 1=2+i ，x 2=-2+i ． 练习P22 1、2、3 2、二项方程：形如),0,,,0(N n a C b a b ax n ∈≠∈=+的方程，任何一个二项方程都可以化为)(C c c x n ∈=的形式，都可以用复数的开方来求根. 例4、在复数集上解方程x 5=32. ??? ??+=+===+=+=54sin 54cos 2)5 2sin 52(cos 22 4,3,2,1,0),5 2sin 52(cos 2) 0sin 0(cos 323215ππππππi x i x x k k i k x i x 即：所以解：原方程就是 ??? ??+=+=58sin 58cos 2)56sin 56(cos 254ππππi x i x 这个方程的根的几何意义是复平面内的五个点，这些点均匀分布在以原点为圆心，以2为半径的圆上.
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法 (直接开平方法、配方法、公式法和分解法) 一元二次方程定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0）。 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数) 交点式：y=a(x-x?)(x-x?) (a≠0) [有交点A（x?，0）和B（x?，0）的抛物线，即b2-4ac≥0] . 直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。 用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=m± 配方法: 1.将此一元二次方程化为ax2+bx+c=0的形式(此一元二次方程满足有实根) 2.将二次项系数化为1 3.将常数项移到等号右侧 4.等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.左右同时开平方 7.整理即可得到原方程的根 公式法： 1.化方程为一般式：ax2+bx+c=0 （a≠0） 2.确定判别式，计算Δ（=b2-4ac）； 3.若Δ>0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x= 若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根:x?=x?= 若Δ<0，该方程在实数域内无实数根 因式分解法： 因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。 用因式分解法解一元二次方程的步骤 1.将方程右边化为0； 2.将方程左边分解为两个一次式的积；
3.令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4.解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)。 (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)。 (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式： y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)。 增减性 当a>0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧则相反，同增同减。 当a<0且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧则相反，大小小大。 常用公式总结： ；
一元二次方程的解法小结
一元二次方程的解法小结 【学习目标】 1.会选择利用适当的方法解一元二次方程； 2.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法． 【前置学习】 一、自主学习（自主探究）： 1.独立思考·解决问题 解下列方程： （1）02)3(212=-+x ； （2）x 2＋2x ＝0； （3）3x （x －2）＝2（x －2） （4）（x ＋3）2＝（2x －5）2； （5）x 2－x ＋1＝0； （6）（x －2）（x ＋3）＝66． 2.合作探究·解决问题 通过对以上方程的解法，你能说出解一元二次方程的基本思路，总结出对于不同特点的一元二次方程选择什么样的方法去解了吗？ 知识汇总 （1）.解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为 ，即 ． （3）.一般考虑选择方法的顺序是： 法、 法、 法或 法 二、疑难摘要： 【学习探究】 一、合作交流，解决困惑： 1.小组交流：（在小组内说说通过自主学习，你学会了什么？你的疑难与困惑是什么？请同伴帮你解决.） 2.班级展示与教师点拨： 展示1：用直接开方法解方程：（1）01362=-x ； （2）4122=+-x x ．
展示2：用因式分解法解方程：（1）02=+x x ； （2）0)25()4(22=---x x ． 展示3：用配方法解方程：（1） 016102=++x x ； （2）05632=-+x x ． 展示4：用公式法解方程：（1）0122=-+x x ； （2）04122=- -x x ． 二、反思与总结：本节课你学会了什么？你有哪些收获与体会？ 【自我检测】 选择适当的方法解下列方程: 1.x 2－3x ＝0； 2.x 2＋2x －8＝0； 3.3x 2＝4x －1； 4.（x －2）（x －3）＝6； 5.（2x －1）2＝4x －2； 6.（3x －1）2＝（x ＋5）2； 7.x 2-7x ＝0； 8.x 2＋12x ＝27； 9.x （x －2）－x ＋2＝0； 10.224x x +-=； 11.43 2412522+-=--x x x x ． 12.(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法总结 ： y=a(x-x?)(x-x?) (a≠0) [有交点A（x?，0）和 B（x?，0）的抛物线，即b- 4ac≥0] 、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)=n(n≥0)的方程，其解为x=m 配方法:1、将此一元二次方程化为ax+bx+c=0的形式(此一元二次方程满足有实根) 2、将二次项系数化为1 3、将常数项移到等号右侧 4、等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5、将等号左边的代数式写成完全平方形式 6、左右同时开平方 7、整理即可得到原方程的根公式法：1、化方程为一般式：ax+bx+c=0 （a≠0）2、确定判别式，计算Δ（=b-4ac）；3、若Δ>0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根:x?=x?=若Δ<0，该方程在实数域内无实数根因式分解法：因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边
因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。用因式分解法解一元二次方程的步骤1、将方程右边化为0；2、将方程左边分解为两个一次式的积；3、令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4、解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解、用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax+bx+c(a≠0)。(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式： y=a(x-h)+k(a≠0)。(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)。增减性当a>0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧则相反，同增同减。当a<0且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧则相反，大小小大。常用公式总结：； 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？ 分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴，解得；∵方程（2）没有实数根∴ ，解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有
一元二次方程的解法教学设计 人教版〔优秀篇〕
《一元二次方程的解法》教案 清江中学钱旭东 【教学目标】 1.知识与技能：能用直接开平方等方法解简单的一元二次方程. 2.过程与方法：经历一元二次方程解法的探究和发现过程，体会转化的思想方法. 3.情感态度与价值观：通过对一元二次方程解法由易到难、由简单到复杂的探究，初步养成对知识的探索精神和严谨的治学态度. 【重点难点】 一元二次方程解法的理解和运用. 【教学模式】 结合本节课的教学内容和学生的认知情况，采用“问题解决”的教学模式. 【辅助手段】 教具准备：多媒体课件. 【教学过程】 一、提出问题 有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进 不去，横着比门框多3尺，竖着比门框多1尺，另一 个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿杆，这个醉汉一试， 不多不少正好进去了。你能知道竹竿有多长吗？ （学生思考） 师：数学来源于生活，生活中也处处有数学。在上面的问题中，如果我们用数学的眼光来看，门可以看成我们熟悉的什么图形？ 生：矩形. 师：那么，醉汉三次摆放的竹竿中存在什么图形？ 生：直角三角形. 师：我们可以把生活问题数学化，将上述醉汉进门的问题转化为我们熟悉的数学问题.
师：这是我们熟悉的问题，如果我们设竹竿长为x 尺，你能得到相应的数量关系吗？请尝试一下. 学生独立完成. 师：我们请一位同学说一下他的成果. 生1 ：我得到的是(x -1)2+(x -3)2=x 2 . 师：这个结果对不对，这是一元二次方程吗？ 生：对！是一元二次方程. 师：能整理成一般形式吗？试一试. 学生很快完成，得到结果x 2-8x +10=0. 设计说明：以一个古代笑话“醉汉进门”的问题作为本节课的问题情境，生活气息浓厚，趣味性强，学生容易产生兴趣，能够很快进入状态，为后面的学习做好心理上的准备.该情境问题，简单易懂，起点低，且和本课所学内容密切相关，不同学生都可以进行探索，有所收获.师生一起对问题进行探究，将生活问题数学化，进而列出方程，为后面的深入探究打下很好的基础. 二、探究新知 探索一：从简单开始 师：要求出醉汉的竹竿长度，我们必须要求出x 2-8x +10=0的解，这是解决前面问题时出现的新问题. 师：如果解方程x 2-8x +10=0感觉很难的话，我们可以退一步，先从最简单的情况入手.谁能写出一个最简单的一元二次方程？ 生2：x 2=0. 多1尺多3尺1尺多3尺
第二章 一元二次方程单元测试题及答案
4 13=+x x 一元二次方程单元检测 姓名 ___ 一、精心选一选（每题3分，共30分）： 1、下列方程是一元二次方程的是（ ） A 、12=+y x B 、()32122 +=-x x x C 、 D 、022=-x 2、关于x 的一元二次方程02 =+k x 有实数根，则（ ） A 、k ＜0 B 、k ＞0 C 、k ≥0 D 、k ≤0 3、把方程2 830x x -+=化成()2 x m n +=的形式，则m 、n 的值是（ ） A 、4，13 B 、-4，19 C 、-4，13 D 、4，19 4、已知直角三角形的两条边长分别是方程2 14480x x -+=的两个根，则此三角形的第三边是（ ） 108 A B C D 、6或8 、 10或、 或、 5、若关于x 的一元二次方程 ()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（ ） A 、 1 B 、 -1 C 、 1或-1 D 、1 2 6．方程x 2 =3x 的根是（ ） A 、x = 3 B 、x = 0 C 、x 1 =-3, x 2 =0 D 、x 1 =3, x 2 = 0 7、若方程02 =++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ） A 、1，0 B 、-1，0 C 、1，-1 D 、无法确定 8、已知0652 2=+-y xy x ，则x y :等于 （ ） A 、2131或 B 、32或 C 、16 1 或 D 、16或 9、方程x 2 -4│x │+3=0的解是（ ） A 、x=±1或x=±3 B 、x=1和x=3 C 、x=-1或x=-3 D 、无实数根 10、使用墙的一边，再用13m 的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m 2 的长方形，求这个长
复数范围内实系数一元二次方程(19题)答案
复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案） 1 、若实系数一元二次方程的一个根是13+，则这个方程可以是 228039 x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++= 2(x x - 3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ） (A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ?=-≥ (C)1212,b c x x x x a a +=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由； (1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总 有两个根．（ √ ） ） (2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另 一个根是12i -．（ ? ） (3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √） 5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -?=+． 解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+． 由复数相等，有3133x y y x -=??-=?，，解得543.4 x y ?=-????=-??，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z 12 i 7、适合方程2560z z -+=的复数z ； | 若z R ∈，则25602,32,3z z z z z z -+=?==?=±=± 若z 为虚数， 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠ ，则2()60a bi +-= 222226026020a b a b abi ab ??--=-+-=??=?? 2222606056010a b b b b b a ??--=??--=?+-=?=±?=?? 所以，方程的解为2,2,3,3,,i i ---。 8、解方程210x ix i -+-= （1）x R ∈ （2）x C ∈ 解：（1）1x = （2）11x orx i ==-
一元二次方程单元综合测试题(含答案)
第二章 一元二次方程单元综合测试题 一、填空题（每题2分，共20分） 1．方程1 2x （x －3）=5（x －3）的根是_______． 2．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________． （1）2y 2+y －1=0；（2）x （2x －1）=2x 2；（3）21 x －2x=1；（4）ax 2+bx+c=0；（5） 12 x 2 =0． 3．把方程（1－2x ）（1+2x ）=2x 2－1化为一元二次方程的一般形式为________． 4．如果 2 1 x －2x －8=0，则1x 的值是________． 5．关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m －1）x+2m －1=0是一元二次方程的条件是________． 6．关于x 的一元二次方程x 2－x －3m=0?有两个不相等的实数根，则m?的取值范围是定______________． 7．x 2－5│x │+4=0的所有实数根的和是________． 8．方程x 4－5x 2+6=0，设y=x 2，则原方程变形_________ 原方程的根为________． 9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________（写一个即可）． 10．代数式1 2x 2+8x+5的最小值是_________． 二、选择题（每题3分，共18分） 11．若方程（a －b ）x 2+（b －c ）x+（c －a ）=0是关于x 的一元二次方程，则
必有（）． A．a=b=c B．一根为1 C．一根为－1 D．以上都不对 12．若分式 2 2 6 32 x x x x -- -+ 的值为0，则x的值为（）． A．3或－2 B．3 C．－2 D．－3或2 13．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为（）． A．－5或1 B．1 C．5 D．5或－1 14．已知方程x2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x2－px+q可分解为（）．A．（x+2）（x+3）B．（x－2）（x－3） C．（x－2）（x+3）D．（x+2）（x－3） 15已知α，β是方程x2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（）． A．1 B．2 C．3 D．4 16．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x+8=0的解，?则这个三角形的周长是（）． A．8 B．8或10 C．10 D．8和10 三、用适当的方法解方程（每小题4分，共16分） 17．（1）2（x+2）2－8=0；（2）x（x－3）=x；
《一元二次方程》单元教材分析
《一元二次方程》单元教材分析 一. 教学内容： 复习目标：（辅导时各位老师要学生掌握的点，每节课可以视情况巩固两点） ⑴了解一元二次方程的有关概念． ⑵能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、?因式分解法解一元二次方程． ⑶会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况． ⑷知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有关问题． ⑸能运用一元二次方程解决简单的实际问题． ⑹了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想． 二. 基础知识回顾 1. 方程中只含有_______?个未知数，?并且未知数的最高次数是_______，?这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_____ __（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________． 例如：一元二次方程7x－3＝2x2化成一般形式是________?其中二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是________． 2. 解一元二次方程的一般解法有 ⑴_________；⑵________；⑶?_________；?⑷?求根公式法，?求根公式是______________． 3. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，?它没有实数根．例如：不解方程，判断下列方程根的情况： ⑴x（5x＋21）＝20 ⑵x2＋9＝6x ⑶x2－3x＝－5 4. 设一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝_______，x1·x2＝______． 例如：方程x2＋3x－11＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝________；x1·x2＝_______． 5. 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝?_______，?x1·x2＝________． 三. 重点讲解 1. 了解一元二次方程的概念，对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个（强调是三个）特点，即①是整式方程（重点强调）；②化简后只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2． 2. 解一元二次方程时，应根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法． （通过教材课后习题的演练，可以很明显的发现利用十字相乘法解方程时二次项系数时常不是一，而有些学生十字相乘法中对于二次项系数不为一的题目会无所适从，不妨多加练习，但厦门近三年的中考中没有出现过类似的题目） 3 .一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=≠的根的判别式正反都成立．利用其可以 ⑴不解方程判定方程根的情况（有根，有两个根，有两个不同的根分别代表⊿的取值范围）； ⑵根据参系数的性质确定根的范围（有两正根，两负根，一根正一根负，只有一个根大于某常数）； 针对只有一个根大于某一常数的题型举例如下： ⑶解与根有关的证明题（判断三角形的形状，某一恒等式证明）． 举例如下： 4. 一元二次方程根与系数的应用很多：⑴已知方程的一根，不解方程求另一根及参系数；⑵已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；⑶已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 5. 能够列出一元二次方程解应用题．能够发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程．
一元二次方程及解法
课题：复习一元二次方程及其解法 【课前热身】 1．方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 2.一元二次方程 x 2=3x 的根是 . 3．一元二次方程2230x x --=的根是 . 4． 关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实 数 p =（ ） 5．关于x 的方程1 (3)(1)30n n x n x n +++-+=是一元二次方程，则一次项系数是 . 【课标解读】 1了解一元二次方程的有关概念，知道一元二次方程的一般形式； 2会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单系数的一元二次方程，并根据方程的特点，灵活选择方程的解法（重点） 【命题趋向】一元二次方程是中考的重点，一元二次方程的解法以选择题和解答题为主。 【考点精要】 1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。（警告：判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .） 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如 )0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （警告：用直接开平方的方法时要记得取正、负.） （2）配方法：用配方法解一元二次方程 ()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（警告： 用配方法时二次项系数要化1.） （3）公式法：一元二次方程 20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 21,2(40)2b x b ac a -±=-≥.（警告：方程要先化成一般形式.） （4）因式分解法：1提取公因式2运用公式法（平方差公式和完全平方公式）3十字相乘法： 因式分解法的步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（警告：方程要先化成一般形式.） 3、一元二次方程的根的判断式 若 ()02≠=++a o c bx ax , 则
一元二次方程解法练习题(四种方法)
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 一元二次方程解法练习题 姓名 一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2 =-x 3、 ()162812 =-x 二、 用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 3、 9642=-x x 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、 07232=-+x x
三、 用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、2 2 314y y - = 3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、 02322=--x x 四、 用因式分解法解下列一元二次方程。 1、x x 22= 2、0)32()1(22=--+x x 3、 0862=+-x x 4、22)2(25)3(4-=+x x 5、0)21()21(2=--+x x 6、 0)23()32(2=-+-x x 五、用适当的方法解下列一元二次方程。(选用你认为最简单的方法)
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 1、()()513+=-x x x x 2、x x 5322 =- 3、 2260x y -+= 4、01072=+-x x 5、()()623=+-x x 6、 ()()03342 =-+-x x x 7、()02152 =--x 8、0432=-y y 9、 03072=--x x 10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、
《一元二次方程》单元测试题及答案
《一元二次方程》单元测检测试题 班级 姓名 一、选择题 (每题3分) 1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) +bx+c=0 C.(x+3)(x-2)=x+5 23 2057 x +-= 2下列方程中,常数项为零的是( ) +x=1 =12； (x 2-1)=3(x-1) (x 2+1)=x+2 3.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) { A. 23162x ??-= ???; B.2 312416x ? ?-= ???; C. 2 31416x ? ?-= ?? ?; D.以上都不对 4.关于x 的一元二次方程()2 2 110a x x a -++-=的一个根是0，则 a 值为（ ） A 1 B 1- C 1或1- D 1/2 5.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A. 11 B. 17 C. 17或19 D. 19 6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A B 、3 C 、6 D 、9 7.使分式256 1 x x x --+ 的值等于零的x 是( ) 或6 - 8.若关于y 的一元二次方程ky 2-4y-3=3y+4有实根,则k 的取值范围是( ) >-7/4 ≥-7/4 且k ≠0 ≥-7/4 >7/4 且k ≠0 9.已知方程22=+x x ，则下列说中，正确的是（ ） A 方程两根和是1 B 方程两根积是2 C 方程两根和是1- D 方程两根积比两根和大2 10.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) (1+x)2=1000 +200×2x=1000 +200×3x=1000 [1+(1+x)+(1+x)2]=1000 二、填空题:(每小题4分) （ 11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便. 12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为____ ____. 13.22____)(_____3-=+-x x x 14.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.
数学：13.6《实系数一元二次方程》教案(1)(沪教版高二下)
13.6（1）实系数一元二次方程 上海市新中高级中学 陶志诚 一、教学内容分析 本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善. 为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程20a x b x c ++=，当240b ac ?=-<时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题. 二、教学目标设计 理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用. 三、教学重点及难点 在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解. 四、教学用具准备 电脑、实物投影仪 五、教学流程设计
六、教学过程设计 （一）复习引入 1.初中学习了一元二次方程20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠的求根公式，我 们回顾一下： 当240b ac ?=-≥ 时，方程有两个实数根：2b x a =-± 2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是:i ±. 设问①：一元二次方程210x +=在复数范围内有没有解？ 设问②：在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=？ [说明] 设问①学生可以根据“复数的平方根”知，x 即为-1的平方根：i ±；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程. （二）讲授新课 1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况： 设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且. 因为0a ≠，所以原方程可变形为2b c x x a a +=-， 配方得
一元二次方程单元测试题(含答案)
第二章一元二次方程测试题（1） 姓名学号一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列方程属于一元二次方程的是（）． （A）（x2-2）·x=x2（B）ax2+bx+c=0 （C）x+1 x =5 （D）x2=0 2．方程x（x-1）=5（x-1）的解是（）． （A）1 （B）5 （C）1或5 （D）无解 3．已知x=2是关于x的方程3 2 x2-2a=0的一个根，则2a-1的值是（）． （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 4．把方程x2-4x-6=0配方，化为（x+m）2=n的形式应为（）． （A）（x-4）2=6 （B）（x-2）2=4 （C）（x-2）2=0 （D）（x-2）2=10 5．下列方程中，无实数根的是（）． （A）x2+2x+5=0 （B）x2-x-2=0 （C）2x2+x-10=0 （D）2x2-x-1=0 6．当代数式x2+3x+5的值为7时，代数式3x2+9x-2的值是（）． （A）4 （B）0 （C）-2 （D）-4 7．方程（x+1）（x+2）=6的解是（）． （A）x1=-1，x2=-2 （B）x1=1，x2=-4 （C）x1=-1，x2=4 （D）x1=2，x2=3 8．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，?那么这个一元二次方程是（）． （A）x2+3x+4=0 （B）x2-4x+3=0 （C）x2+4x-3=0 （D）x2+3x-4=0 9．某市计划经过两年时间，绿地面积增加44%，?这两年平均每年绿地面积的增长率是（）． （A）19% （B）20% （C）21% （D）22% 10．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶 一条金色纸边，?制成一幅矩形挂图，如图所示．如 果要使整个挂图的面积是5 400cm2，设金色纸边的 宽为xcm，?那么x满足的方程是（）． （A）x2+130x-1 400=0 （B）x2+65x-350=0 （C）x2-130x-1 400=0 （D）x2-65x-350=0 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．方程2x2-x-2=0的二次项系数是________，一次项 系数是________，?常数项是________． 12．若方程ax2+bx+c=0的一个根为-1，则a-b+c=_______． 13．已知x2-2x-3与x+7的值相等，则x的值是________． 14．请写出两根分别为-2，3的一个一元二次方程_________． 15．如果（2a+2b+1）（2a+2b-1）=63，那么a+b的值是________．
1.2《一元二次方程的解法—公式法》教案
§1.2一元二次方程的解法⑶——公式法 班级________姓名__________ 一.学习目标： 1．体验用配方法推导求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0； 2．会用公式法解一元二次方程． 二．学习重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程．学习难点：要记准求根公式；系数和常数为负数时，代入求根公式避免出现符号错误． 三．教学过程 Ⅰ．知识准备 ①用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ ②用配方法解下列方程： ⑴2x2－4x＋5＝0；⑵2x2－4x－2＝0． Ⅱ．活动探究 问题1：如何解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）？ 阅读下面两种不同的解法 解法一：ax2＋bx＝－c移项解法二：4a2x2＋4abx＋4ac＝0 x2＋b a x＝－ c a化14a2x2＋4abx＝－4ac x2＋b a x＋ b2 4a2＝ b2 4a2－ c a配方4a2x2＋4abx＋b2＝
b2－4ac 整理 x＋b 2a＝± b2－4ac 2a开方2 ax＋b＝±b2－4ac x＝－b 2a± b2－4ac 2a＝ －b±b2－4ac 2a x＝ －b±b2－4ac 2a 请思考如下问题： ①此时可以直接开平方吗？需要注意什么？等号右边的值有可能为负吗？ ②如果这题要做下去的话，应该附加什么条件？ ③这两种方法有什么异同？你认为哪种方法好？ ④你有什么感想？ ax2＋bx＋c＝0（a≠0）在≥0时，它的解是． 这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法. 【新知探究】 例1：解下列方程. ⑴2y2＋7y＝4；⑵x2－2x＋1 2 ＝0；⑶m2－2m＋2＝0. 【题后反思】你能否总结一下，能使用公式法解的一元二次方程的形式是怎样的？一般解题步骤又是如何？解的情况有几种？
《一元二次方程》单元测试卷
《一元二次方程》单元测试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 姓名： 分数： 一、选择题（本题满分30分，共10小题，每小题3分） 1、已知a x x =+1 ，则x x 1 +的值为……………………………………………………………( ) A 、22-a B 、2a C 、42-a D 、不确定 2、如果关于x 的方程ax 2+x –1= 0有实数根，则a 的取值范围是……………………………（ ） A ．a ＞–14 B ．a ≥–14 C ．a ≥–14 且a ≠0 D ．a ＞–14 且a ≠0 3、如果一元二次方程()012=+++m x m x 的两个根是互为相反数，那么有…………………（ ） A 、m =0 B 、m =－1 C 、m =1 D 、以上结论都不对 4、不解方程，01322=-+x x 的两个根的符号为………………………………………………（ ） A 、同号 B 、异号 C 、两根都为正 D 、不能确定 5、已知一元二次方程()002≠=+m n mx ，若方程有解，则必须………………………………（ ） A 、0=n 或同号mn B 、0=n C 、的整数倍是m n D 、0=n 或异号mn 6、一元二次方程0624)2(2=-+--m mx x m 有两个相等的实数根，则m 等于……………（ ） A 、6- B 、1 C 、6-或1 D 、2 7、对于任意实数x ，代数式x 2-6x+10的值是一个………………………………………………（ ） A 、非负数 B 、正数 C 、 负数 D 、整数 8、下列说法正确的是………………………………………………………………………………（ ） A 、若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根 B 、方程234x =的常数项是4 C 、方程20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程 D 、当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解 9、下列一定是一元二次方程的有……………………………………………………………………（ ） ; ⑤. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10、已知224250p q p q +--+=，则p ，q 是下列哪个方程的两根……………………………（ ） A 、2320x x -+= B 、220x x --= C 、2230x x +-= D 、220x x +-=
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一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】 ＝0(a≠0)， 把方程ax2+c 例：用直接开平方法解方程： 1．9x2-25＝0； ； 2．(3x+2)2-4＝0 4．(2x+3)2＝3(4x+3)． 解：1．9x2-25＝0 25 9x2＝ 2．(3x+2)2-4＝0 (3x+2)2＝4 3x+2＝±2 2±2 3x＝-
∴x1＝x2＝3． 4．(2x+3)2＝3(4x+3) 4x2+12x+9＝12x+9 4x2＝0 ∴x1＝x＝0． 【配方法解一元二次方程】 将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除 + 以二次项系数，使二次项系数为1，如x2 1．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35； 3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0． 解：1．x2-4x-3＝0 x2-4x＝3 x2-4x+4＝3+4 7 (x-2)2＝
3．4x2+4x+1＝ 7 4．2x2-3x-3＝
一元二次方程ax2+bx+c＝ 0(a 广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法 ＝0(a≠0)的求根公式。 例：用公式法解一元二次方程： 2．2x2+7x-4＝0； ． 4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x) 2．2x2+7x-4＝0 ∵a＝2，b＝7，c＝-4． 81 b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝
4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0) x2-3ax+2a2-ab-b2＝0 ∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2 b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2) ＝9a2-8a2-4ab+4b2 ＝a2-4ab+4b2 ＝(a-2b)2 2b≥0)时，得 当(a- 【不完全的一元二次方程的解法】 在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。即b与c至少一个等于零，这类项方程从形式与解法上比一般一元二次方程要简单，因此要研究这类方程最简捷的解法，从规律上看有两种方法：一是因式分解，二是直接开平方法： 例：解下列一元二次方法： ．
一元二次方程及一元二次方程的解法测试题(绝对经典)
第二章一元二次方程单元测验 一、选择题：(每小题3分,共36分) 1. 下列方程中是一元二次方程的是 （ ） （A ）22)1(2-=-x x （B ）01232 =+-x x （C ）042=-x x （D ）023 52 =- x x 2. 方程1)14(2 =-x 的根为（ ） （A ）4121= =x x （B ）2 121==x x （C ）,01=x 212=x （D ）,211-=x 02=x 3. 解方程 7(8x + 3)＝6(8x + 3)2 的最佳方法应选择( ） （A ）因式分解法 （B ）直接开平方法 （C ）配方法 （D ）公式法 4. 下列方程中, 有两个不相等的实数根的方程是（ ） （A ）x 2 –3x + 4＝0 （B ）x 2–x –3＝0 （C ）x 2–12x + 36＝0 （D ）x 2–2x + 3＝0 5、已知ｍ是方程012 =--x x 的一个根，则代数ｍ2 －ｍ的值等于 （ ） A 、１ B 、－１ C 、0 D 、2 6、若方程0152 =--x x 的两根为的值为则 、212111,x x x x +（ ） A 、5 B 、5 1 C 、5- D 、5 1- 7. 以知三角形的两边长分别是2和9, 第三边的长是一元二次方程x 2 –14x + 48＝0的解, 则这个三角形 的周长是（ ）（A ）11 （B ）17 （C ）17或19 （D ）19 8. 下列说法中正确的是 （ ）（A ）方程2 80x -=有两个相等的实数根; （B ）方程252x x =-没有实数根;（C ）如果一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么0?=; （D ）如果a c 、异号，那么方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根. 9. 若一元二次方程(1–2k)x 2 + 12x –10＝0有实数根, 则K 的最大整数值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）–1 （D ）0 10.把方程2x 2 -3x+1=0化为(x+a)2 =b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ??- = ???; B.2312416x ??-= ???; C. 2 31416x ? ?-= ? ? ?; D.以上都不对 11、 若方程02 =++q px x 的两个实根中只有一个根为0，那么 （ ） （A ）0==q p ; （B ）0,0≠=q p ; （C ）0,0=≠q p ; （D ）0,0≠≠q p . 12、下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是 （ ） A ． 若x 2=4，则x ＝2 B ．方程x (2x －1)＝2x －1的解为x ＝1 C ．若x 2 +2x +k =0有一根为2，则8＝－k D ．若分式1 2 32－＋－x x x 值为零，则x ＝1，2 二、填空题：(每小题3分,共30分) 1、方程()()-267-x 5x =+，化为一般形式为 ，其中二次项系数和一次项系数的和为 。 2. 当x =________时，分式1 4 32+--x x x 的值为零。 3. 若关于x 的方程02)1(2 =+--m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是______ 4.若方程042 2 =++m x x ，则m= . 5.已知0822=--x x , 那么=--7632 x x _______________. 6. 若关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax （a ≠0）的两根分别为1，—2，则b a -的值为______. 7. 若2 2 2 (3)25a b +-=，则22 a b +=____ 8.若一元二次方程02 =++c bx ax 中，024=+-c b a ,则此方程必有一根为________. 9、若两个连续整数的积是20，则他们的和是________。 10.某企业前年的销售额为500万元，今年上升到720万元，如果这两年平均每年增长率相同，则去年销售额为 11. 。 13. ____。 14. 。 15.已知关于x 的方程（2k+1）x 2－kx+3=0，当k______时，?方程为一元二次方程，? 当k______时，方程为一元一次方程，其根为______． 16.关于x 方程（m+3）x 27 m -+（m －3）x+2=0是一元二次方程，则m 的值为________．