广金微积分7.2多元函数基本概念
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数的微积分是数学中的一个重要分支，涉及到对具有多个变量的函数进行求导和积分的操作。
它在应用数学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用价值。
本文将从多元函数的定义和性质入手，介绍多元函数微积分的基本概念和方法，并通过一些具体的例子来说明其应用。
一、多元函数的定义和性质多元函数是指具有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是实数。
多元函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的取值范围。
多元函数可以表示实际问题中的各种关系，如物体的位置随时间的变化、温度随空间位置的变化等。
多元函数的导数和偏导数是多元函数微积分的基本概念。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其导数是一个向量，表示函数在每个自变量方向上的变化率。
偏导数是多元函数在某个自变量上的导数，其他自变量保持不变。
导数和偏导数的计算方法与一元函数类似，可以通过极限的概念来定义。
二、多元函数的微分和积分多元函数的微分是指函数在某一点附近的线性逼近，可以近似地表示函数在该点的变化。
多元函数的微分可以通过导数和偏导数来计算，具体的计算方法与一元函数类似。
微分在数学和物理中有广泛的应用，如近似计算、优化问题等。
多元函数的积分是对函数在某个区域上的求和操作，可以用来计算函数在该区域上的平均值、总和等。
多元函数的积分可以通过重积分来计算，即将区域分成小块，然后对每个小块进行积分，最后将结果相加。
重积分的计算方法与一元函数的积分类似，可以通过定积分的定义来推导。
三、多元函数微积分的应用多元函数微积分在实际问题中具有广泛的应用价值。
例如，在物理学中，可以利用多元函数微积分来描述物体的运动和力学性质；在经济学中，可以利用多元函数微积分来描述供需关系和最优化问题；在工程学中，可以利用多元函数微积分来解决工程设计和优化问题等。
例如，考虑一个二维平面上的函数f(x, y)，表示某个物体的高度。
多元函数的基本概念52079
例如
z
x2 x y 1 y2
z sin(x y) z ln(1 x y)
等都是二元初等函数
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
一般地，求 lim f (P)时，如果 f (P) 是初等函
P P0
数，且 P0 是 f (P) 的定义域的内点，则 f (P) 在 点 P0 处连续，于是 lim f (P) f (P0 ).
与点 P0( x0 , y0 )距离小于 的点 P( x, y)的全体，称为点 P0的 邻域，记为U (P0 , )，
U(P0 , ) P | PP0 |
( x, y) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成
D 称为该函数的定义域，x, y 称为自变量，z 称为因变量
数集 W z z f ( x, y), ( x, y) D 称为函数的值域
z f ( x, y) 在 ( x0, y0 ) 点的值记为
z
x x0 或
y y0
f
( x0,
y0 )
例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) x y2
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上至少取
得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得
两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任 何值至少一次．
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限 次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示 的多元函数叫多元初等函数
多元微积分的基本概念
微积分是数学中的一个重要分支，用来研究函数的变化与变化率。
在常规的微积分中，我们主要研究的是一元函数，也就是只含有一个自变量的函数。
但是在实际生活中，我们经常会遇到含有多个变量的函数，比如二维平面上的曲线、平面上的曲面以及物理、经济等领域的实际问题。
为了更好地处理这些问题，多元微积分应运而生。
多元微积分主要研究的是多元函数，也就是含有多个自变量的函数。
在多元微积分中，我们不再关注函数在一条曲线上的变化情况，而是考虑函数在一个区域上的整体性质。
因此，多元微积分包含了很多新的概念和技巧。
首先，我们需要了解多元函数的定义。
一个二元函数定义为 f(x, y)，其中 x 和 y 是自变量，并且函数的取值是一个实数。
类似地，一个三元函数定义为f(x, y, z)，其中 x、y 和 z 是自变量。
需要注意的是，多元函数的自变量可以有多个，但输出只有一个。
接下来，我们来了解多元函数的极限。
多元函数的极限和一元函数的极限有些不同。
对于一个二元函数 f(x, y) ，当 (x, y) 的一对自变量趋于某个点 (a, b) 时，如果 f(x, y) 的取值趋于一个确定的值 L，那么我们说 f(x, y) 在点(a, b) 处存在极限 L。
同理，我们可以定义多元函数的一致收敛、偏微分等概念。
接下来是多元函数的导数。
对于一元函数 f(x)，导数可以用于刻画函数在某点上的斜率。
而对于多元函数 f(x, y)，导数则是刻画函数在某一点上在各个方向上的变化率。
具体地，对于二元函数 f(x, y)，我们可以定义 f(x, y) 对 x 的偏导数和 y 的偏导数。
这些偏导数可以帮助我们理解函数的斜率和曲率，从而解决一些实际应用问题。
另外，多元函数还有一个重要的概念是二重积分。
二重积分是用来求解平面上的某一区域上函数 f(x, y) 的面积。
通过将区域划分为无数个小矩形，然后计算每个小矩形的面积，并将其累加起来，即可得到整个区域上的面积。
《多元函数的微积分》课件
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
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多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件
多元函数的基本概念
记作
( x , y )→ ( x0 , y0 )
lim
f ( x , y ) = A 或 lim f ( p ) = A
p → p0
严格定义： 严格定义：
设函数 z = f ( x , y )的定义域为 D，P0 ( x0 , y0 )是其 聚点. 如果对于任意给定的正 数ε，总存在相应 的正数 δ，当0 <| PP0 |= ( x − x0 ) + ( y − y0 ) < δ
n n维空间的记号为 R ; 维空间的记号为
n维空间中两点间的距离 设两点为 P ( x1 , x2 ,L, xn ), Q( y1 , y2 ,L, yn ),
| PQ |= ( y1 − x1 )2 + ( y2 − x2 )2 + L + ( yn − xn )2 .
便为数轴、平面、 特别的当 n = 1, 2, 3 时，便为数轴、平面、 空间两点间的距离． 空间两点间的距离． n维空间中邻域、区域等概念 维空间中邻域、 邻域： U ( P0 , δ ) = P | PP0 |< δ , P ∈ R n 邻域：
直观定义： 直观定义：
设函数 z = f ( x , y )的定义域为 D， P0 ( x 0 , y 0 )是 其聚点 . 如果当点 P ( x , y )无限接近 P0时，对应 的函数值 f ( x , y )无限接近于某个常数 A，则称 A是函数 f ( x , y )当( x , y ) → ( x 0 , y0 )时的极限 .
对于 D中的每一个点 ( x , y )，都有唯一的 z与之 对应 . 作点 M ( x , y , z )，所有这样点的集合即 {( x , y , z ) z = f ( x , y ), ( x , y ) ∈ D } 称为 z = f ( x , y )的图形 .
多元函数的基本概念-
第9页
r h
三角形面积的海伦公式
(pabc) 2
b
a
S p ( p a )p ( b )p ( c )
c
( a , b , c ) a 0 , b 0 , c 0 , a b c
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第七章 多元函数微分学
第10页
定义1. 设非空点集DRn, 映射 f :DR称为定义
若点集 E E , 则称 E 为闭集；
若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,
则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
D 。。
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第七章 多元函数微分学
例如，在平面上
(x ,y )x y 0 开区域 (x ,y )1 x 2 y 2 4
的外点 , 则 , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
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第七章 多元函数微分学
第6页
(3) . 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
在 (x 0 ,y 0 )处(间 不)断 连 . 续
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第七章 多元函数微分学
第21页
例如, 函数 f(x,y)x2xyy2, 0 ,
x2y20 x2y20
在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.
又如, 函数 f(x,y)x21y21
1
x0 xy( xy11) x0 xy 11 2
多元函数的基本概念
| f ( x, y) A |
成立，则称常数A为二元函数f (x, y)当PP0 (或xx0, yy0)时的极限，记作
P P0
lim f ( P) A或 lim f ( x, y ) A
x x0 y y0
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注1：二元函数的极限称为二重极限；
二重极限存在是指点P(x, y)以任何方式趋于
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3. 多元初等函数 (1) 二元基本初等函数 考虑一个变量x或y的基本初等数，将它们当成 二元函数. 如：C, x , y , sinx, siny，…… 称为二元基本初等函数.
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(2) 二元初等函数 将二元基本初等函数经有限次四则运算与复合 所组成的函数，称为二元初等函数.
U(P) E
则称点P为点集E的内点.
o
P
E
x y o
1 x
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注: 若点集E的点都是内点, 则称E为开集.
例如: 点集 E1= {(x,y)| x2 + y2 < 1}是开集.
点集 E2= {(x,y)| x2 + y2 1}不是开集.
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(2) 边界点: 设E为一平面点集, P1为一点, 不论P1点 是否属于 E, 如果 P1 的任何邻域内 , 既 有属于E的点, 也有不属于E的点, 则称 点P1为点集E的边界点.y P1 注: 点集E的全体边界点
所成的点集, 称为点 集E的边界. 例如: 点集 E= {(x, y)| 1 x2 + y2 < 4} 的边界点是圆 x2 + y2 = 1和 x2 + y2 = 4 .
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多元函数的基本概念课件
曲面积分是计算曲面上的函数值累积的 数学工具，分为第一类曲面积分和第二 类曲面积分。
曲线积分和曲面积分在物理、工程等领 域有广泛应用，如计算力矩、功等物理 量。
06 多元函数的应用
在物理中的应用
热力学
多元函数可以用来描述热力学中的状态方程，如压力、温度和体 积之间的关系。
多元函数的基本概念课件
目录
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限与连续性 • 多元函数的导数与微分 • 多元函数的极值与最值 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01 多元函数的定义与表示
定义与性质
定义
多元函数是指定义在两个或更多 个变量上的数学函数。例如，三 维空间中的函数f(x, y, z)定义了x 、y和z的每一个值对。
多元函数的最值
定义
多元函数的最值是指函数在某个 区域内的最大值和最小值。
求解方法
通过求导数找到可能的极值点， 然后通过比较这些点的函数值来
找到最大值和最小值。
应用
在优化问题中，最值的概念被用 来确定某个目标函数的最大或最
小值。
条件极值与无约束最值问题
定义
条件极值是指在满足某些约束条件下求函数的极值；无约束最值问 题则没有约束条件。
02
二重积分的计算通常通 过直角坐标系或极坐标 系进行。
03
04
二重积分可以应用于面 积、体积、质量等的计 算。
二重积分的计算公式为： ∫∫D f(x,y) dxdy，其中 D是积分区域。
三重积分
01
02
03
04
三重积分是计算三维空间区域 上的函数值累积的数学工具。
多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概 念 2、多元函数的极限lim f(x, y)=A (或 lim f(x,y)=A )的；-' 定义(x,y)「(x °,y o)P「P )掌握判定多元函数极限不存在的方法：(1) 令P(x, y)沿y 二kx 趋向P(x o ,y o )，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在；(2) 找两种不同趋近方式，若 lim f (x, y)存在，但两者不相等，(x,y )Tx o ，y o )此时也可断言极限不存在。
多元函数的极限的运算法则(包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等)与一元类似：例1•用…定义证明(侧0,0)(x 2+y 2)sin 击=02 + 2例2(03年期末考试三、15 分当X>0,y >0时，函数x2；(；2_y)2的极限是否存在？证明你的结论。
xy 2 2 2 2 , x y = 0x y ，讨论 lim f (x, y)是否存在?(x,y )T(0,0)3卫， x 2+ y 2=0(JiH ,。
)f (X,y )是否存在?例 3 设 f (x, y) =2 例4(07年期末考试 一、2，3分)设f(x, y)=Q2 xy2 .4x y2 2小,x y =0 ，讨论x 2y 2二 0x3、多元函数的连续性台(Jim )f (x, y)= f (X o ,y o )(x，y) --- (X 0，y 0 )一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。
4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数 1、二元函数z = f (x, y)关于x, y 的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义)f(X0pX,y 0)— f(X 0,y 0)存在，则有y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。
多元函数的概念
多元函数的概念多元函数是一个多项式表达式，它有若干未知数和若干常量组成，这些未知数是函数所有自变量的函数。
它是对函数中多个变量的定义，也是自变量与因变量之间的关系，例如给定f(x,y)=aｘ+bｙ+c，其中ａ，ｂ，ｃ是常数，而ｘ，ｙ是未知数，则函数f(x,y)为二元多变量函数。
一、定义多元函数是指根据自变量相互之间的关系，把一个或多个未知的实数坐标（称为自变量）替换到实数的定义域使之成为另一个实数坐标（称为因变量）的函数。
二、分类1、一元函数：只有一个未知变量的函数。
其函数式为：y = f(x)，其中，x 是一个未知变量，而 y 是随之变化的量。
2、二元函数：含有两个未知变量的函数，如：f(x, y) = x2 + y23、三元函数：含有三个未知变量的函数，如：f(x,y,z) = x3 + y3 + z34、多元函数：含有三个以上未知变量的函数。
三、性质1、多元函数的性质取决于定义域及其关于所有自变量的函数关系。
2、当自变量取不同的值时，多元函数的结果也会有所不同。
3、多元函数一般都不具有可视化概念，因为它往往有多余于三个自变量，而我们只能通过特定条件来求解。
4、看似相似的多元函数有可能不具有相同的数学性质，要根据自变量的关系，分析其函数的特性以确定其定义域和值域。
四、用途1、多元函数用于研究多维空间概念，工程中描述物理系统中状态变化、解决非线性规划问题等。
2、可以用来描述参数之间的关系，用于求解在工业运筹学和统计学中复杂环境下的数学问题。
3、多元函数可用于预测数据，作为模型量化把客观现象变成形式，并可以计算出函数及其局部极值的原因。
4、多元函数也可以用来解决科学问题，如流体动力学的物理问题、地质作用的地质问题、提高经济效率的经济问题等。