赏析自主招生考试中的复数问题
高考复数知识点经典题型
高考复数知识点经典题型高考是每个学生人生道路中的重要里程碑，对于许多学生而言，复习备考是一项艰巨的任务。
在准备期间，学生需要重点关注高考复数知识点，因为这些知识点经常出现在考试中，且占据很大的比重。
在本文中，我将论述一些常见的高考复数知识点，并带你一起解析经典题型。
一、复数的定义和运算法则复数是由实数和虚数构成的数，通常用 a + bi 表示，其中 a 是实部，b 是虚部。
在复数中，虚数单位 i 的平方等于 -1。
对于复数的加法和减法，只需分别对实部和虚部进行运算即可。
而复数的乘法和除法则需要使用分配律和公式 (a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i 进行计算。
经典题型：1. 计算复数 (3 + 2i) + (4 - i) 的结果。
2. 计算复数 (2 - 3i) - (5 + 2i) 的结果。
3. 计算复数 (1 - 2i) * (3 + 4i) 的结果。
4. 计算复数 (2 + i) / (1 - 3i) 的结果。
二、复数的共轭和模在复数中，共轭是指改变虚部的正负号，得到的新复数称为原复数的共轭。
复数的模是指复数到原点的距离，也可以理解为复数的绝对值。
经典题型：1. 计算复数 (4 + 3i) 的共轭。
2. 计算复数 (2 - i) 的共轭。
3. 计算复数 (3 + 4i) 的模。
4. 计算复数 (-1 + 2i) 的模。
三、复数的幂和根复数的幂是指将复数连续乘以自身多次。
复数的根是指满足a^k - z = 0 的复数 a，其中 a 是复数的根数，k 是根的次数。
经典题型：1. 计算复数 (1 + i)^2 的结果。
2. 求复数 (3 + 4i) 的平方根。
3. 求复数 (1 - i) 的立方根。
4. 求复数 (-1 + √3i) 的四次根。
四、复数的三角形式复数可以利用直角坐标系和极坐标系来表示。
在复数的三角形式中，复数 z = a + bi 可以改写为z = r(cosθ + isinθ) 的形式，其中 r 是复数的模，θ 是复数的辐角。
高考复数知识点与题型
高考复数知识点与题型高考是每个学生都必须面对的重要考试，其中涵盖的知识点众多。
在数学这一科目中，复数是一个重要且常见的知识点。
复数在数学中具有广泛的应用，不仅贯穿于高中数学的各个章节中，而且在高考考试的题目中也经常出现。
本文将重点分析与复数相关的知识点和题型。
一、复数的定义与运算复数由实部和虚部组成，一般表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
在运算方面，复数的加减法与实数类似，可以将实部与虚部分别相加减。
复数的乘法中，需要注意虚数单位的性质，即i²=-1。
复数的除法可以通过有理化操作将分母变为实数，然后进行分子分母的分别除以实数的运算。
高考常见的复数题型包括求复数的共轭、复数的乘除法、复数的加减法等。
二、复数的平方根和幂次方复数的平方根是指复数的某个平方等于给定复数的性质。
一般来说，复数的平方根有两个解，其中一个解是正实数根，另一个解是负实数根。
对于n次方的复数运算，可以使用De Moivre公式将复数的n次方转化为它的幅角与辐角的函数。
高考中常见的题型包括求复数的平方根或者幂次方。
三、复数的模与辐角复数的模表示复数的长度，也可以理解为复数到原点的距离。
一般使用竖线表示，也可以用绝对值表示。
复数的辐角指的是复数与正实数轴之间的夹角，通常用θ表示。
复数的模和辐角可以通过公式计算出来，也可以通过坐标系进行几何解释。
高考中常见的题型包括给出复数求模和辐角，或者给出模和辐角求复数。
四、复数的几何意义复数在数学中具有重要的几何意义。
可以将复数看作是平面上的向量，复数的实部和虚部可以分别表示向量在x轴和y轴的投影。
将复数在坐标系中表示出来，可以画出复平面图。
复数的加减法可以理解为向量的相加减，复数的乘法可以理解为放缩和旋转。
通过复平面图，可以直观地理解复数的运算与几何意义。
在高考题目中，经常会利用复数的几何意义进行分析和解答。
五、复数方程与不等式复数方程和不等式是高考中较为复杂的考点之一。
高考数学冲刺复数考点全面解析
高考数学冲刺复数考点全面解析在高考数学的征程中，复数是一个不可或缺的重要考点。
对于即将踏入高考考场的同学们来说，透彻理解和熟练掌握复数相关知识，无疑是取得优异成绩的关键一步。
接下来，让我们一起对高考数学中复数这一考点进行全面而深入的解析。
首先，我们要明确什么是复数。
复数是形如 a ＋ bi 的数，其中 a 和b 均为实数，i 是虚数单位，满足 i²＝－1。
在复数中，a 被称为实部，记作 Re(z)；b 被称为虚部，记作 Im(z)。
复数的四则运算规则是我们必须要掌握的重点。
加法：（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i减法：（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i乘法：（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i除法：（a ＋ bi)÷（c ＋ di) ＝（ac ＋ bd) ／（c²＋ d²) ＋（bc ad) ／（c²＋ d²)i在进行四则运算时，要特别注意 i²＝－1 的运用，以及合并实部和虚部。
复数的几何意义也是一个重要的知识点。
在复平面上，复数可以用点来表示，实部 a 对应横坐标，虚部 b 对应纵坐标。
复数的模长|z| ＝√（a²＋ b²)，表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。
共轭复数同样不容忽视。
对于复数 z ＝ a ＋ bi，其共轭复数为z＝a bi。
共轭复数在复数的运算和性质研究中有着重要的作用。
接下来，我们看看高考中关于复数的常见题型。
一是复数的概念与分类。
会给出一个复数，要求判断它是实数、虚数还是纯虚数。
这就需要我们根据实部和虚部的取值来进行判断。
如果虚部为 0，就是实数；如果实部为 0 且虚部不为 0，就是纯虚数；否则就是虚数。
二是复数的四则运算。
通常会给出两个或多个复数，要求进行加、减、乘、除运算，然后求出结果的实部和虚部。
高中数学复习点拨归纳总结：高考复数考查形式与特点
高考复数考查形式与特点从近几年高考试题看，高考对于复数试题的考查要求较低，试题难度不大，均在“易”或“较易”的层次，相当数量的题源于教材，多为选择或填空题。
复数的代数运算是年年必考，其试题活而不难，主要考查学生灵活运用知识的能力.随着新教材的推广使用，复数在高考中的地位逐渐减弱，一般情况下只考查一个选择题或填空题.1.考查复数的基本概念与运算例1若1z =a+2i ，2z =3-4i ，且21z z 为纯虚数，则实数a 的值为__________________. 分析：本题主要考查复数的代数运算和纯虚数的概念，可以先将21z z 化简，然后根据纯虚数的定义求出a 的值.解：因为,25)46(83258463)43)(43()43)(2(43221i a a ai i a i i i i a i i a z z ++-=-++=+-++=-+=又21z z 为纯虚数，所以,083=-a 且6+4a 38.0=∴≠a . 答案：38. 探究：若复数z =a+bi （a ，b ∈R ），则当a=0且b ≠0时，复数z 为纯虚数，在解决这类问题时，必须先将复数化为z =a+bi （a ，b ∈R ）的形式.2.考查复数的几何意义例2满足条件|z -i|=|3+4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆分析：本题主要考查复数模的概念以及复数的几何意义.解法一：设z =x+yi （x ，y ∈R ），代入|z -i|=|3+4i|中，得|x+（y-1）i|=|3+4i|， ∴5)1(22=-+y x ，即25)1(22=-+y x ，所以复数z 在复平面上对应的点的轨迹是以)1,0(为圆心，以5为半径的圆.解法二：因为|z -i|=|3+4i|525169==+=，所以复数z 对应的点与复数i z =1对应的点之间的距离为5，由圆的定义知，复数z 在复平面上对应的点的轨迹是圆.探究：本题中的解法一利用复数的代数形式进行求解，即“化虚为实”，解法二则直接利用复数的几何的意义求解，关于复数模的问题，一般可化为复平面内两点间的距离来解决.3.学习对策(1)由于复数试题多以中低档题出现，难度不大，但涉及面广，对基本问题掌握的熟练程度要求较高，所以在学习中对基本问题不能放松要求，诸如：复数是虚数，纯虚数的条件，复数相等条件的运用，复数模的几何性质等都要全面学习.(2)熟练掌握复数问题实数化的基本方法，利用复数相等的概念，可以把复数问题转化为实数问题，这是解决复数问题的常用策略，在学习中要重视这种方法的应用与训练。
自主招生资料-自主招生历年试题
自主招生资料：浅谈上海高三毕业生应对高校自主招生的考试策略（一）——自主招生考试物理试题解析姜建锋（作者原为华师大二附中物理教师现为ok学习网创办人）由于学校工作的需要，近十年来，我一直担任高三毕业班和理科实验班的物理教学工作。
我所在的华师大二附中，每年都有很多学生参加高校的自主招生考试，并且取得了非常好的的成绩，所以，近些年来，我一直对自主招生非常关注，也参与了部分自主招生考试的考前辅导工作。
每年高三一开学，就陆续有学生打听自主招生的相关政策以及考试内容。
由于各高校自主招生考试的没有固定的考试大纲，考试过后试卷又不对外公开，所以，外界很难了解到考试的具体内容，这给学生备考带来较大的困难。
作为老师，一方面我很理解高校的这一做法，它有利于打破应试教育的怪圈；但同样作为老师，我又想很想了解高校自主招生的试题，希望在关键的时候能给学生有效的指导。
以免学生在应对自主招生的过程中过于盲目，花费过多不必要的时间和精力。
为了获取准确、完整的资料，每年各高校的自主结束后，我都会找来参加考试的考生，向他们了解、打听考试的题型和题目，平时我也注意通过互联网或从同事处获取相关资料并加以研究。
所以，我对近些年部分高校自主招生考试的内容和风格有了一个较为准确、全面的了解。
自主招生试卷完全由大学老师命题，针对的又是全国各地的优秀高中生，所以出题难度和范围并不严格受高考考纲限制。
就难度而言，大部分高校自主招生的物理试卷比高考略难，不少题目接近全国中学生物理竞赛预赛卷的水平。
不过，从近些年的命题趋势看，考试难度总体而言是逐年降低的。
这也许跟自主招生选拔的范围和人数逐年扩大、增多有关。
有些学校更注重考查学生的综合素质和创新实践等能力，笔试的难度已经和高考相当了，对很多没有竞赛经历的同学而言，高校自主招生考试并非遥不可及。
特别值得注意的是考试范围。
由于基本上同一所高校的自主招生试卷是全国统一的，所以对于上海的同学而言，一定要注意上海高考考纲与全国高考考纲的差异性，对某些知识点要有针对性地进行补充，才能有的放矢，在短时间内做些有效的准备。
如何应对高考数学中的复数问题
如何应对高考数学中的复数问题在高考数学中，复数是一个重要的考点，也是学生们经常感到困惑和不理解的内容之一。
复数的概念和运算规则往往需要一定的数学功底和逻辑思维能力才能掌握。
为了帮助同学们更好地应对高考数学中的复数问题，本文将介绍一些应对策略和解题技巧，以提高解决复数问题的能力。
1. 复数的基本概念和表示方法首先，我们需要了解复数的基本概念和表示方法。
复数由实部和虚部组成，其中实部可以为任意实数，虚部通常以虚数单位i表示。
一个复数可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，bi为虚部。
2. 复数的加减运算在解决复数的加减运算时，我们需要将实部和虚部分别进行加减运算，并注意保持实部和虚部的对应关系。
例如，对于两个复数a+bi和c+di的加法运算，我们可以分别将实部和虚部相加，得到结果为(a+c)+(b+d)i。
减法运算也是类似的原理。
3. 复数的乘法和除法运算复数的乘法运算需要注意虚数单位i的平方等于-1。
当我们计算两个复数的乘法时，首先将实部相乘，然后将虚部相乘，并根据i的特性进行化简。
例如，(a+bi)(c+di)的乘法结果可以表示为(ac-bd)+(ad+bc)i。
对于除法运算，我们需要先将除数和被除数同时乘以共轭复数，然后再进行乘法运算和化简。
4. 复数的模和辐角复数的模表示复数到原点的距离，可以使用勾股定理来计算。
复数a+bi的模为√(a^2+b^2)。
辐角表示复数与正实轴之间的夹角，可以使用三角函数来计算。
复数a+bi的辐角为arctan(b/a)。
5. 复数方程的解法解决复数方程需要运用到复数的运算规则和方程的解法。
对于一元二次方程a x^2 + b x + c = 0，如果其系数都是实数，而解为复数时，我们可以通过求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解。
如果题目中直接给出复数方程，则可以利用复数的运算规则和方程的解法来求解。
6. 复数与几何意义复数也可以表示在平面直角坐标系中的点，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。
2021年高考数学真题逐题解析：复数的两大热点：复数的概念与复数的运算(解析)
第2题复数的两大热点：复数的概念与复数的运算一、原题呈现【原题】已知2i z ,则 i z z （）A.62iB.42iC.62iD.42i【答案】C 【解析】解法一：因为2i z ,所以2i z ,所以2i 2i 22i =4+4i 2i 2i 62iz z 故选C.解法二：因为2i z ,2i i=5+2i+1=6+2i z z z z ,故选C.【就题论题】去年新高考试卷复数考查的是复数的除法运算,考查内容单一,今年把共轭复数与复数的运算结合在一起考查,背景有所创新,为降低难度,把除法运算改为乘法运算,可见新高考试卷入手依然比较容易.二、考题揭秘【命题意图】本题考查共轭复数及复数的乘法运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.【考情分析】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.【得分秘籍】1.解决复数概念问题及复数的几何意义应注意的问题(1)复数的分类,复数的相等,复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a ＋b i(a ,b ∈R )的形式,再根据题意求解．(2)(其中a ,b ∈R ),|z |表示复数z 对应的点与原点的距离．|z 1－z 2|表示两点的距离,即表示复数z 1与z 2对应的点的距离．2.求解复数运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i 的看作一类同类项,不含i 的看作另一类同类项,分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a ＋b i(a ,b ∈R )的形式,再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a ＋b i(a ,b ∈R )的形式,再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除,后算加减,有括号要先算括号里面的．【易错警示】(1)对于复数a ＋b i,如果a ,b ∈C (或没有明确界定a ,b ∈R ),则不可想当然地判定a ,b ∈R .(2)易误认为y 轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)．(3)对于a ＋b i(a ,b ∈R )为纯虚数的充要条件,只注意了a ＝0而漏掉了b ≠0.(4)进行复数的乘法与除法运算,误认为2i 1 ,导致运算错误(5)设i z a b （a ,b ∈R ）,注意22i,z a b zz a b ,不要出现i,z a b zz 的错误三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）一、单选题1．（2021广东省珠海市第二中学高三6月热身）若 1i1ia z a R 是纯虚数,2z 满足 21+15z a z ,则复数2z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】1()(1)1(1)1(1)(1)22a i a i i a a i z i i i,因为复数1()1z a ia R i为纯虚数,102a ,(1)02a ,解得1a ,所以1z i 因为 21+15z a z ,所以 225z i ,即25252222i z i i i i,所以复数2z 在复平面内对应的点为 2,1位于第一象限,故选A.2．（2021江苏省南京师范大学《数学之友》高三下学期一模）设复数z 满足234z i （i 是虚数单位）,则z 等于（）A B ．5C D ．7【答案】A【解析】设(,)z a bi a b R ,则2222()2z a bi a b abi ,而234z i ,于是2232a b ab ,则225a b ,所以z故选A3．（2021江苏省南通学科基地高三下学期高考全真模拟（四））已知i 是虚数单位,复数3(0)12a iz a i,若3z ,则a 的值为（）A ．1B ．3C ．6D ．9【答案】C 【解析】复数3(3)(12)12(12)(12)a i a i i z i i i632632555a i ai a ai∵3z ,3 ,化为236a ,0a ,解得6a ,故选C.4．（2021湖南省衡阳市第八中学高三下学期考前预测（二））已知复数2i 是关于x 的方程 20,x px q p q R 的一个根,则pi q （）A ．25B ．5C D ．41【答案】C【解析】因为复数2i 是关于x 的方程20x px q 的一个根,所以 2220i p i q ,所以423pi q i p,所以4,23p q p ,所以4,5p q ,则45pi q i ,故选C.5．（2021江苏省扬州中学高三下学期最后一模）已知 234z i i ,其中i 为虚数单位,记z 为z 的共轭复数,则z （）A ．293B C ．295D ．553【答案】B【解析】由 234z i i ,34342(()(2)105252)(2)i i i i i iz i i,2z i ,所以z ,故选B6．（2021山东省淄博市高三三模）已知z C ,且1z i ,i 为虚数单位,则1z 的最大值是（）A ．2B1C1D．【答案】B【解析】由三角不等式可得1111z z i i z i i ,即1z1 .故选B.7．（2021福建省厦门市高三5月二模）已知i 为虚数单位, 34,a i bi a b R ,则a bi （）A ．5B ．7C ．9D ．25【答案】A【解析】因为 34,a i bi a b R ,所以4,3a b ,所以435a bi i ,故选A.8．（2021湖南省长沙市雅礼中学高三下学期高考热身训练）已知复数满足z i z i ,则2z i 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】设z a bi ,则(1)z i a b i ,(1)z i a b i ,因为z i z i ,即2222(1)(1)a b a b ,整理得b =0,所以z a ,所以22z i a i 当a =0时,2z i 最小值为2.故选B9．（2021福建省厦门市双十中学高三高考热身）已知复数z 对应的向量为OZ (O 为坐标原点),OZ与实轴正向的夹角为120 ,且复数z 的模为2,则复数z 为（）A．1 B ．2C．1 D．1 【答案】D【解析】设复数z x yi ,∵向量OZ与实轴正向的夹角为120 且复数z 的模为2,∴1cos12021||2x OZ,sin1202|2|y OZ ,∴1z ．故选D.10．（2021湖北省黄冈中学高三下学期5月适应性考试）已知z 是复数z 的共轭复数,若2z z 在复平面上的对应点位于第一象限,则z 的对应点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】设z a bi （,a b R ）则z a bi ,23z z a bi ,由2z z 在复平面上的对应点位于第一象限,所以30,0a b ,所以0,0a b ,所以z 的对应点位于第四象限,故选D.11．（2021广东省高州市高三二模）已知复数z 满足：3i 12i i z （其中i 为虚数单位）,复数z 的虚部为（）A ．45i B ．4i 5C ．45D ．45【答案】C【解析】32241212555i i i z i i i i i i ,∴2455z i ,∴复数z 的虚部为45．故选C ．12．（2021河北省沧州市高三三模）设复数z 满足 22z i i ,则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】因为 2223434222555i i i z i i i i,所以z 在复平面内对应的点位于第四象限.故选D.13．（2021河北省唐山市高三三模）已知i 是虚数单位,a R ,若复数12a ii为纯虚数,则a （）A ．2B ．2C ．12D ．12【答案】A【解析】由题意122212121214a i i a i a i ai i i i(2)(21)221555a a i a a i ,又由12a i i 为纯虚数,所以2052105a a ,解得2a .故选A.二、多选题14．（2021江苏省泰州市高三下学期考前练笔）设z 为复数,在复平面内z 、z 对应的点分别为P 、Q ,坐标原点为O ,则下列命题中正确的有（）A ．当z 为纯虚数时,,,P O Q 三点共线B ．当1z i 时,POQ △为等腰直角三角形C ．对任意复数z ,OP OQD ．当z 为实数时,OP OQ【答案】ABD【解析】设(,)z a bi a b R ,则z a bi ,对A ：当z 为纯虚数时, 0z bi b ,z bi 对应的点分别为(0,)P b 、(0,)Q b ,,,O P Q 均在y 轴上,所以,,P O Q 三点共线,故A 正确；对B:当1z i 时,1z i ,所以(1,1)P ,(1,1)Q ,所以||||OP OQ,而||2PQ ,所以222||||||OP OQ PQ ,所以POQ △为等腰直角三角形,故B 正确；对C ：(,)OP a b ,(,)OQ a b ,当0b 时,OP OQ,故C 错误；对D ：当z 为实数时,z z a ,此时(,0)OP OQ a,故D 正确.故选ABD15．（2021湖南省长沙市雅礼中学高三下学期二模）设12,z z 是复数,则下列命题中的真命题是（）A ．若120z z ,则12z zB ．若12z z ,则12z z C ．若12 z z ,则1122z z z z D ．若12 z z ,则2212z z【解析】对于A ,若120z z ,则12120,z z z z ,所以12z z 为真；对于B ,若12z z ,则1z 和2z 互为共轭复数,所以12z z 为真；对于C ,设1112221122i,i,,,,z a b z a b a b a b R ,若12 z z ,则,即22221122a b a b ,所以222211112222z z a b a b z z ,所以1122z z z z 为真；对于D ,若121,i z z ,则12 z z ,而22121,1z z ,所以2212z z 为假.故选ABC 16．（2021江苏省南通市高三下学期5月四模）下列结论正确的是（）A ．若复数z 满足0z z ,则z 为纯虚数B ．若复数z 满足1R z,则z R C ．若复数z 满足20z ³,则z RD ．若复数1z ,2z 满足2221 0z z ,则120z z 【答案】BC【解析】对于A 选项,设复数0z ,0z z 满足,z 不为纯虚数,故A 选项错误；对于B 选项,设复数i z a b ,a b R ,则2211i i a b z a b a bR ,所以0b ,即z R ,故B 选项正确；对于C 选项,设复数i z a b ,a b R ,则 2222i 2i 0z a b a b ab ,所以0ab 且220a b ,所以0b ,即z R ,故C 选项正确；对于D 选项,设复数11z ,2i z ,所以2221 0z z ,但120z z 不成立,故D 选项错误.故选BC17．（2021山东省临沂市高三二模）1487年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写下公式i e cos isin ,这个公式在复变函数中有非常重要的地位,即著名的“欧拉公式”,被誉为“数学中的天桥”,据欧拉公式,则（）A ．πi 2e iB ．πi4e1C．3112D ．πi πi 44πeecos 42【解析】因为i ecos isin,所以πi 2e cos+isin i 22,故A正确πi 4e cos+isin +4422,πi 4e 1,故B正确3211111122222,故C 错误πi πi 44cos isin cos isin e e4444cos 224,故D 正确故选ABD 三、填空题18．（2021广东省深圳市高三下学期第五次统考）设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称,且11z i （i 为虚数单位）,则212z z ______．【解析】因为复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称,且11z i ,所以21z i .所以22121113z z i i i 19．（2021山东省济南市高三一模）已知复数2iz i(其中i 为虚数单位),则z 的值为___________.【解析】由题设,知：221i i z i i.20．（2021河北省保定市高三二模）设a 、b 为实数,若复数121i i a bi ,则ab___________.【答案】13【解析】因为121ii a bi ,则121121313111222i i i i a bi i i i i ,所以,12a,32b ,因此,13a b .。
高考关于复数的知识点
高考关于复数的知识点高考是每个学生都要经历的一场考试，而数学是其中一个科目。
在数学中，复数是一个重要的概念，也是高考中经常涉及到的知识点。
本文将讨论高考关于复数的知识点，并深入探讨其应用和相关概念。
1. 复数的定义和表示方法复数是由实数和虚数构成的数。
它的表示形式为a+bi，其中a是实部，bi是虚部，i是虚数单位，满足i^2=-1。
复数可以用笛卡尔坐标系表示，其中实轴表示实数部分，虚轴表示虚数部分。
也可以用极坐标系表示，其中模表示复数到原点的距离，幅角表示与实轴的夹角。
2. 复数的运算规则复数的四则运算与实数的运算规则相似。
加法和减法的运算结果分别是实部和虚部相加减。
乘法的运算结果是模相乘，幅角相加；除法的运算结果是模相除，幅角相减。
3. 复数的共轭和模的计算一个复数的共轭是将其虚部取负，表示为a-bi，其中a和b都是实数。
共轭复数的实部相等，虚部相反。
复数的模表示复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
4. 复数的乘方与开方复数的乘方需要将复数转换为极坐标形式，然后进行模和幅角的乘方运算。
复数的开方可以通过求解方程来实现。
值得注意的是，复数的开方具有多个解，称为根。
5. 复数的应用复数在物理学、工程学和电路分析等领域有广泛的应用。
在物理学中，复数用于描述波动现象，如电磁波和声波。
在工程学中，复数用于求解电路中的交流电流和电压。
在电路分析中，利用复数可以方便地计算频率响应和相位差。
6. 复数与方程的关系复数一般会涉及到解复数方程的问题。
当根为复数时，可以使用求根公式来求解。
对于复数方程来说，方程的根可以是实数也可以是复数。
7. 复数与几何图形的关系复数可以用来描述几何图形，如向量。
复数的加法和乘法对应了向量的平移和旋转。
复数的共轭可以实现几何图形的镜像。
8. 复数在数学中的应用复数在数学中有广泛的应用场景。
例如，复数可以用于求解高次方程、计算三角函数的和差化积、表示级数的和等。
总之，复数是高考中重要的数学知识点之一。
复数高考真题分类解析
复数高考真题分类解析一、高考考点梳理（一）、复数的有关概念（二）、复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即1．复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).→.2．复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ（三）、复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0).二、历年高考真题分类解析题型一 复数的运算【例1】（2021全国甲卷） 已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ） A. 312i --B. 312i -+C. 32i -+D. 32i --解析：2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅.故选：B. 【例2】（2021全国乙卷文科）设i 43i z =+，则z =（ ） A. –34i -B. 34i -+C. 34i -D. 34i +解析：由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--. 故选：C.【例3（2021全国乙卷理科） 设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ）A. 12i -B. 12i +C. 1i +D. 1i -解析：设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.【例4】（2021新高考全国Ⅰ卷） 已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A. 62i -B. 42i -C. 62i +D. 42i +解析：因为2z i =-，故2z i =+，故()()()22262z z i i i i +=-+=+ 故选：C.【例5】（2020全国Ⅰ卷）若z=1+2i+i 3，则|z|=( ) A ．0B ．1 CD ．2解析：z=1+i ，∴C. 【例6】（2020全国Ⅱ卷）4(1)i -=（ ） A.4-B.4C.4i -D.4i解析：42(1)(2)4i i -=-=-，故选A ．【例7】（2020全国Ⅲ卷）若，则( )A. B. C.D.解析：由，得，．故选D ．【例8】（2019全国Ⅰ卷）设z ＝，则|z|＝（ ） A ．2 B ．C ．D ．1 解析：由z ＝，得|z|＝||＝．故选C.【例9】（2019全国Ⅱ卷）设z=i(2+i)，则z =( ) A ．1+2i B ．–1+2iC ．1–2iD ．–1–2i解析：因为(2)12z i i i =+=-+，所以12z i =--. 故选D.【例10】（2016全国Ⅰ卷）设(1+2i)(a +i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =( )A ．-3B ．-2C ．2D ． 3 解析：(1+2i)(a +i)= a -2+(1+2a )i ，依题意a -2=1+2a ，解得a =-3，故选A.题型二 判断表示复数的点所在的象限【例11】（2021新高考全国Ⅱ卷） 复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限解析：()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.【例12】（2017全国Ⅲ卷）复平面内表示复数(2i)z i =-+的点位于（ ） A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：由(2i)z i =-+得2221z i i i =-+=--， 所以复数位于第三象限. 故选C.。
数学自主招生试卷解读及备考策略
高校自主招生数学试题特点及备考策略分析一、各校自主招生试卷解读1、近年来各高校自主招生数学试题呈现如下几个特点：（1）从考试的知识来看，注重初高中知识的拓展与延伸，一部分会超出高考的知识范围，常涉及一些大学与高中的衔接内容。
不追求知识点的全面覆盖，重点问题侧重考查；（2）试题难度总体上会保持稳定，6乘高考难题，4乘奥赛（也可能5：5），题目难度在高考以上，竞赛以下，经典试题有一定的重现率；（3）注重学生能力，突出对数学思维能力、运算能力、运算技巧、应用知识解决问题能力的考查；（4）不同学校的侧重点略有不同，但三角、函数、方程、数列、不等式、解析几何等内容是高频考点；（5）不同学校的试卷结构也不一样；以2017年为例：北大自招题：20道单选题，选错扣1分，不选得0分。
清华自招题：35个不定项选择题，选对得4分，选错得0分，漏选得2分。
二、数学自主招生备考策略1、练好基本功，注意知识点的全面覆盖数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，中等难度题目分数比例大约60% 左右。
因此，要求学生平时不仅要把基础知识打扎实，还要适度增加奥赛知识内容的练习。
2、联系教材，适度拓宽知识面如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如数论初步、三角函数、解析几何等知识板块的一些公式或结论，掌握竞赛数学的基本知识和解题技巧。
3、关注题型变化，练好近几年真题知己知彼，百战百胜。
选择题的“考场技巧”平时要多练，北大这两年自招、博雅全是选择题，熟悉一下题型和套路。
往年的自招真题，还有全国联赛的一试题、预赛题，都具有很高参考价值。
附：获奥数奖项可以报考的自主招生专业汇总（报考范围最宽）。
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2013年第6期
自轰招生与么李竞赛赛
赏析自主招生考试中的复数问题
高莲芳
(天津师范大学数学科学学院20n级研究生,300387)
中图分类号:0156.1文献标识码:A文章编号:1005一6416(2013)06一0013一03
复数具有代数形式!三角形式!指数形式等多种表述方式,所蕴含的实际意义是以新的视角!新的途径沟通了代数!三角和几何等内容之间的联系,由此,该知识点是高校自主招生考试(也是高考与数学竞赛)的一个重要内容.复数知识复数的表示形式与运算代数形式::=a+61(a!b任R);三角形式::二r(coss+1sins)(r20,口任R);指数形式::==:e-口(;)0,o任R).例1设复数t.,,=一土+夸1.一,2.2一.2兀二2兀/2=/05了+./-n了.令"=","2.则复数田+田2+,+田2011=(2011,复旦大学自主招生考试)解显然,",=e鲁,"2二e聋则"=","2二e万#故"+"而田20-.+,+0,2011"(l一田20,,l一田#"=",于是,田+田例22010二田,+田(为n,全国高中数学联赛山东赛区预赛)
解法1注意到,当"二1时,:二万一31
不是实数;
当"=2时,:=(万一31).=一6一6万i
不是实数;
当"=3时,:=(万一31).=一24万是
实数.
从而,所求的最小正整数n二3.
解法2注意到,
:=(万一3i)/=(一2万)/e一贯
所以,z为实数的充分必要条件是3!n.
此时,最小的正整数n二3.
=评注>由于所求n的值比较小,可见,
解法1不失为一种好方法,若所求n的值较
大时,解法2的优越性就体现出来了.
1.2复数的模与共辘复数
例3已知l:l二1,k为实数,:为复数.
求Iz+脸+11的最大值.
(2006,上海交通大学自主招生考试)
解设z二eos叮+1sin叮.则
扩+七+1
=eosZ宁+1sinZ,+k(eos叮+1sin叮)+l
=(,匆+k,叮+l)+i(sin匆+ksin叮).
故lz+kz+11
=丫("052"+无eo,"+l)2+(,inZ"+ksin,).
=办eos,"+4无eos"+无,
已知:二(万一31)/.若:为实数,
则最小的正整数n的值为().川
(A)3(B)4(C)5(D)6
收稿日期:20提一09一18修回日期:2013一03一肠
=12eos叮+kl.
所以,Iz+七+11~=
k+2,
2一k,
k)0;
k<0.
例4
设:是模为2"复数.衅一引
中等数学
的最大值与最小值的和为_12}(2011,全国高中数学联赛湖北赛区预赛)解由lzI=2,知I:+11.二(:+l)(云+l)二坛+z+牙+l二5+ZRez,12一112=(:一1)(卜l)二云一z一云+1二5一ZRez.例6对自然数n,令S"为
菩丫-./一0.+a:
石-l川}了一11
宜义}z一)}二})}
12!l-}
的最小值,其中,a.,a:,,,a"为正实数,其和为
17.若存在唯一的"使s"也为整数,求".[4]
解将习丫万不不不石万视为复数
(2无一l)+a*i的模.
_}:+川:一1}_再了二万豆石万
故艺丫(2!一-).+a:
其最大值为冬,最小值为冬.
-!一~~~2.一-~/2-
故所求为4.
.3复数的单位根
例5已知
l(Zk一l)+a*11
仁(Zk一l)+a*i8
知!n名曰卜n名*=1队以
多
A二1:一:,吕二l}和召=101"铭=l}
均为1的复数根的集合,
C二!二12任A,-任B}
也为1的复数根的集合.问:集合C中有多少
个不同的元素?[a2
解注意到,
Zk7r二2阮,,,~!,._口_
z=/05百+./,n面L/匕L八相并兀
素18个)
田二一资#i#-#篇/任z,-相异元
素48个)
一丝-斋至立+-9-n丝互斋鱼立
令P=lmlm二8几+3r,:任Z}.
由裴蜀定理知尸=z.
故集合C中有144个不同元素.
2复数方法
2.1在代数问题中的应用
构造适当的复数,可以化简某些代数问
题的求解,开拓新的思路和方法.在此类问题
中,经常涉及的有两点:
(l)一个非负数可以用一个复数的模来
表示;
(2)一个复数可以表示一对实数.
=一",+川一丫n4+17,
由题设条件得
n4+17,=m,(m任N十,m=S")
井(m一n,)(m+n,)=259
劝m一nZ二l,m+nZ=289
劝n=12.
2.2在三角问题中的应用
复数与三角函数之间的联系主要依赖于
复数的指数形式(或三角形式).借助于复数
的指数形式和运算(或辐角运算)可达到三
角求值!证明的目的.
例7设三个复数
21==eosA+1sinA,
22=eosB+1sinB,
23二eosC+1sinC,
且:,+z:+z:二0.
求"05(A一B).
(2008,南京大学自主招生考试)
解由z:+z:+23=0,得
eosA+eosB+eosC=0,
sinA+sinB+sinC二0.
从而,"osA+eosB=一eosC,
sinA+sinB=一sinC.
两式平方再相加整理得
2+Zeos(A一B)二1.
所以,Cos(,一B)=一李.
一了2-
2013年第6期
2.3在几何问题中的应用
复数的几何意义是表示高斯平面(即复
平面)上的点.通过复平面可以实现复数与
平面几何!解析几何之间的变揍
例8如图1,在锐角vABC中,已知
乙A>60/,H为vABC的垂心,点M!N分别
在边AB!AC上,乙万耐召二匕月NC=60/,O为
v万材N的外心,点D与A在直线BC的同
侧,使得vDBC为正三角形.证明:H!O!刀
三点共线.[s]
D
B+"c=O,B+乙»
将式¹!º代人并整理得
sin口#"(a一警)-+,i"".e(誓一,)-
=si"月#e(誓一)-+si"".e(,一誓)-.
比较左右两边的实部与虚部即知式»
成立.
练习题
1.求2+Ze众4贫-+e.#加-的模.
.(2009,清华大学自主招生考试)
答案:万.
2.求最小的正整数n,使得
衅
,={冬+书i}
!-2丫31
为纯虚数,并求出L
(2(X)6,清华大学自主招生考试)
图1
(2012,中国国家集训队选拔考试)
证明以口为原点建立复平面,以每点
的字母表示该点所对应的复数.
设H二1,N二eZa-,M=e一竿1.
答案:一3,,二夸i.
3.计算:
砚t-奇+二tan音+arctan夸+arct明音
则I刀HI二Zsina,
匕万C滩二匕月万沌
对万I=Zsin月,
二堑一"一B.
6一7
提示:由于
arctan贵二,(-+-)(/=3,,,7,8,
由斜二一-二0一,.-
sin(
塾
兀
/-n了
),伶
一a一月
c=e一(a+,一含)!
7r
s,n了
157r"!
s-n(万一a一户)
且(3+i)(5+i)(7+i)(8+i)=砧0(l+i),
其辐角主值为于
4.设p,,凡,,,尸7为单位圆内接正七边
形顺次七个顶点.则
l尸,凡12+I尸,凡12+一尸,凡一2==_
Zsina#e(/+晋)i+l
叠吵里登丝十1
一(a+,一晋)
¹
同理,B二
叠鱼足亡鱼二十1.º
一(a+/一晋)
由vBCD为正三角形知
D
一田刀一田ZC
二一田2否一田乙.
于是,要证H!O!D三点共线,只需证
(2012,南开大学数学试点班考试)
答案:7.
参考文献:
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学,2012(2).
仁28201年全国高中数学联赛湖北赛区预赛1J2.中等数
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科学出版社,2005.
=41陈传理,张同君.竞赛数学教程仁M].北京:高等教育
出版社,2005.
1512012中国国家集训队选拔考试=J2.中等数学,2012
(7).
D幼