专题10：导数的几何意义-教师版

典型高考数学试题解读与变式2018版 考点十：导数的几何意义 【考纲要求】 （1）了解导数概念的实际背景. （2） 通过函数图像直观理解导数的几何意义. （3） 根据导数的定义求基本函数的导数. （4） 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如)(baxf的复合函数）的导数. 【命题规律】 导数的运算是导数应用的基础，一般较少直接考查，而导数的几何意义----切线问题是高考考查的热点. 预计2017年的高考将会继续保持稳定，坚持考查导数的几何意义，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）求函数的导函数

例1.【2017浙江高考改编】已知函数x1fxx-2x-1ex2，求fx的导函数. 【答案】（I）12121()221xxxefxxx；

【方法技巧归纳】求函数的导函数要做到：1.基本初等函数的导函数相当熟悉；2.导函数的四则运算要熟练.另外，在求导的过程中，要注意对原式进行变形，使得便于我们求导.

【变式1】【函数中含有参数，利用某函数值的导数求参数的值】【2015天津卷（文）】已知函数ln,0,fxaxxx ，其中a为实数,fx为fx的导函数,若13f ,则a的值为 ．

【答案】3 【解析】因为1lnfxax ,所以13fa.

【变式2】【赋值法在求导得应用，题型变为填空题】【2017江西太原高三模考一（文）改编题】已知函数2102xfffxexxe，则)(xf的最小值为___________________. 【答案】1

（二）导数的几何意义 例2.【2017天津卷（文）】已知aR，设函数()lnfxaxx的图像在点1,1f处的切线为l，则l在y轴上的截距为 . 【答案】1 【解析】(1)fa，切点为(1,)a，1()fxax，则切线的斜率为(1)1fa，切线方程为：(1)(1)yaax，令0x得出1y，l在y轴的截距为1. 【方法技巧归纳】切线的斜率就是函数在切点处的导数，倾斜值的正切值就是斜率. 【变式1】【已知含参函数的切线斜率，求参数的值（或取值范围）】【2017四川乐山第三次调研考试（理）】已知曲线221xxfxeeax存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是（ ）

A. 3, B. 73,2 C. 7,2 D. 0,3 【答案】B 【解析】由题得222xxfxeea，则方程2223xxeea有两个解，令xte，且2223gttta，则由图象可知，有0gt且0，即30a且4830a，解得732a，故选B.

【变式2】【函数的切线斜率与切线的倾斜角之间的关系】【2017安徽宣城六校联考改编题】过函数3213fxxx图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为

A. 3π0,4 B. π3π0,,π24 C. 3π[,π) 4 D. π3π(,24 【答案】B 【解析】由题意得22kfxxx=2111x,即tanα1k,解得πα02或3παπ

4

.即切线倾斜角的范围为π3π0,,π24.故选B.

【变式3】【两个函数的切线垂直求切点的取值范围】【2015陕西卷（理）】设曲线xye

在点（0,1）处的切线与曲线1(0)yxx上点处的切线垂直，则的坐标为 ． 【答案】1,1

【变式4】【两个函数的切线平行求参数的值】【2014江苏】在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则 . 【答案】 【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以． （三）在一点处的切线方程 例3.【2017全国1卷（文）】曲线21yxx在点（1，2）处的切线方程为_________________________. 【答案】1yx 【解析】设yfx，则212fxxx，所以1211f， 所以曲线21yxx在点1,2处的切线方程为211yx，即1yx． 【方法技巧归纳】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00,Pxy是曲线yfx上的一点，则以P为切点的切线方程是000yyfxxx．若曲线yfx在点00,Pxfx处的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0xx． 【变式1】【例题中增加函数性质】【2016全国3卷（理）】已知fx为偶函数，当0x时， ln3fxxx，则曲线yfx在点1,3处的切线方程是__________． 【答案】21yx

【变式2】【增加例题中函数的参数，求参数的取值】【2017届衡水中学押题卷3（文）改编题】已知函数1exfxbxa（a， Rb）.若曲线yfx在点0,0f

处的切线方程为yx，求a， b的值分别为________. 【答案】2,1 【解析】函数fx的定义域为R，e1exxfxbbx 1exbxb.

因为曲线yfx在点0,0f处的切线方程为yx，所以00,{01,ff得10,{11,ab解得1,{2.ab

（四）过一点的切线方程

例4.【2015全国1卷（理）改编题】已知函数，． （1）当为何值时，轴为曲线的切线. 【答案】（Ⅰ）； 【解析】（Ⅰ）设曲线 与轴相切于点，则，，即

，解得.因此，当 时，轴是曲线的切线. 【方法技巧归纳】对于曲线)(xfy上“过”点),(nm的切线问题，一般要先设切点),(00yx，于是切线为))(('0mxxfny，再根据切点在曲线上得)(00xfy，切点在

切线上得))(('000mxxfny.列方程组，可得切点的值. 【变式1】【增加例题的难度，求切线的取值范围】【2017甘肃第二次高考诊断考试（理）】若P是函数1ln1fxxx图象上的动点，点1,1A，则直线AP斜率的取值范围为（ ） A. 1, B. 0,1 C. 1,ee D. 1,e 【答案】A 切线过点1,1 ，则： 000011ln1ln111xxxx ， 解得： 00x ，切线的斜率0ln111kx ， 综上可得：则直线AP斜率的取值范围为1, .

（五）两曲线的公切线 例5.【2016全国2卷（理）】若直线ykxb是曲线ln2yx的切线，也是曲线ln1yx的切线，则b ．

【答案】1ln2

【解析】ln2yx的切点为11ln+2xx，，则它的切线为1

1

1ln1yxxx.

ln1yx的切点为22ln+2xx，，则它的切线为：22221ln111xyxxxx，所以12212

2

111ln1ln11xxxxxx









，解得112x，212x，所以1ln11ln2bx．

【方法技巧归纳】两曲线有公共切线，一般可以分别求出两曲线的切线，然后说明这两直线重合；或者先求出其中一条曲线的切线，然后说明其也和另一曲线相切.

【变式1】【例题中曲线添加参数，求参数的值】【2015全国2卷】已知曲线lnyxx

在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2xaaxy相切，则a= ． 【答案】8 【解析】由11yx可得曲线lnyxx在点)1,1(处的切线斜率为2,故切线方程为21yx,与1)2(2xaaxy 联立得220axax,显然0a,所以由

2808aaa.

【变式2】【改编题目问法，两曲线存在公切线求参数范围】【2017河南六市第二次联考（理）】若曲线21:(0)Cyaxa与曲线2:xCye存在公共切线，则a的取值范围为__________．

【答案】2,4e 【解析】由y=ax2(a>0),得y′=2ax，由y=ex,得y′=ex，曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线，

设公切线与曲线C1切于点(x1,ax12),与曲线C2切于点22,xxe，则22211212xxeaxaxexx，

可得2x2=x1+2，∴11212xeax ， 记122xefxx，则1222'4xexfxx ， 当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)递减；当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增.