三角函数的化简与证明
第9讲 三角函数的化简与求值
第九讲: 三角函数的化简与求值一、知识要点1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 二、方法点拨三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点.提高三角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: 1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题获解.对角的变形如下:角的变换：β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=,)4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4(24α-π-π=α+π特别地, α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高.2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名.3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=222222cot csc tan sec cos sin 1.4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的方法. 常用降幂公式有:1cos sin ,22cos 1cos ,22cos 1sin 2222=α+αα+=αα-=α 等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂公式是相对而言的.5. 公式变形式: 根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用,逆用以及变形式的应用.如:)tan tan 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β⋅αβ±α=β±ααα=α 等. 三、典型例题讲解:考点一、三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 【训练1】 化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α.考点二、三角函数式的求值【例1】已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．训练1】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值． 训练2】已知cos(α-6π)+sin α=354，则sin(α+67π)的值是（ ）训练3】已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________训练4】已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________考点三、三角函数的求角问题【例1】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．【训练1】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．【训练2】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．考点四、 三角函数的综合应用【例1】►设0<θ<2π，曲线x 2sin θ+y 2cos θ=1和x 2cos θ－y 2sin θ=1有4个不同的交点。
三角函数辅助角公式化简
三角函数辅助角公式化简三角函数辅助角公式是解决三角函数运算中相关角的问题的重要工具。
通过辅助角公式的运用，可以将一些复杂的三角函数表达式化简为更简单的形式，使得计算更加便捷和高效。
本文将从基本的辅助角公式开始，逐步介绍其运用和推导过程，并通过具体的例子进行说明，以帮助理解和掌握辅助角公式的应用。
首先，我们来介绍一些基本的辅助角公式。
在三角函数中，我们常用的几个基本函数是正弦函数、余弦函数和正切函数。
下面是它们的辅助角公式：1.正弦函数的辅助角公式：sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)2.余弦函数的辅助角公式：cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)3.正切函数的辅助角公式：tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)tan(b))tan(a - b) = (tan(a) - tan(b)) / (1 + tan(a)tan(b))这些辅助角公式是我们解决三角函数运算中的关键。
通过运用这些公式，我们可以将一个复杂的三角函数表达式化简为更简单的形式，从而更方便地进行计算。
接下来，我们将通过一些具体的例子来说明辅助角公式的应用。
例1：化简sin(105°)我们知道sin(105°)可以表示为sin(60° + 45°)，然后根据正弦函数的辅助角公式sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)，可以得到：sin(105°) = sin(60°)cos(45°) + cos(60°)sin(45°)=√3/2*√2/2+1/2*√2/2=(√6+√2)/4所以，sin(105°)化简为(√6 + √2) / 4例2：化简cos(165°)同样地，我们知道cos(165°)可以表示为cos(180° - 15°)，然后根据余弦函数的辅助角公式cos(a - b) = cos(a)cos(b) +sin(a)sin(b)，可以得到：cos(165°) = cos(180°)cos(15°) + sin(180°)sin(15°)=-1*√3/4+0*1/4=-√3/4所以，cos(165°)化简为-√3/4通过这些例子，我们可以看到，通过辅助角公式的运用，我们可以将复杂的三角函数表达式化简为更简单的形式，使得计算更加高效和便捷。
化简三角函数式的常用方法
数学部分•知识结构与拓展高一使用2021年6月解：原式=化简三甬函懿述的\f3sin12°—3cos12°2sin12°cos12°(2cos212°—1)2^3sin(12°—60°)4V3o當用冇法■廖庆伟三角函数式的化简的常用方法有：直用公式，变用公式，化切为弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次等。
下面举例分析，供大家学习与参考。
一、直用公式例1设函数/(rc)=sin 兀7C—sin48°评注：先化切为弦，再利用倍角公式进行转化，最后逆用两角差的正弦公式即可求值。
四、异名化同名例4已知tan0=2,则sin20+sin Ceos0—2cos2^._h亠sin20+sin^cos0一2cos'。
解：原式sin2+cos2tan20+tan Q—2_4+2—2_4tar?e十1=4+1=T°评注：先把分母用sir?。
+cos2。
代换，再把分子、分母同除以cos20即得结果。
五、异角化同角例5函数(乞)=cos(2z+詈)+sin2gTT2cos2—+1,则/X h)的最小正周期为的最大值为解：因为函数/(rc)=sin于工一解：因为jf(；r)=cos2^ccos——sin2h•-|-cos晋:r=sin7T7T，故函数/(工)sin令+—c；s2j*_欝鈕，所以函数的最小正周期为丁=弐=8。
T评注：直接利用差角公式、二倍角的余弦公式即可得到结果。
二、变用公式例2当函数夕=sin工—</3"cos h(0W 鼻V2tc)取得最大值时,jc____o解：由》=sin jc一43cos h2(cos守sin工一sin专cos町—2sin h—訂，可知当'7Tsin=1时，此函数取得最大值。
又0W h V2jt,所以rr=警o评注：三角函数公式既可正用，也可变用，变用公式是三角恒等变换的难点。
三角函数的和差化简与倍角化简公式
三角函数的和差化简与倍角化简公式三角函数是数学中非常重要的一部分，它们在求解几何问题、计算机图形学、物理学等领域中都有广泛的应用。
而在学习和应用三角函数时，我们经常会遇到和差化简和倍角化简的公式。
下面，我将为大家介绍三角函数的和差化简与倍角化简公式。
一、和差化简公式对于任意的角度x和y，和差化简公式如下所示：1. 余弦和差公式：cos(x + y) = cos x * cos y - sin x * sin ycos(x - y) = cos x * cos y + sin x * sin y这两个公式可以用来表示两个角度的和或差的余弦值。
2. 正弦和差公式：sin(x + y) = sin x * cos y + cos x * sin ysin(x - y) = sin x * cos y - cos x * sin y这两个公式可以用来表示两个角度的和或差的正弦值。
3. 正切和差公式：tan(x + y) = (tan x + tan y) / (1 - tan x * tan y)tan(x - y) = (tan x - tan y) / (1 + tan x * tan y)这两个公式可以用来表示两个角度的和或差的正切值。
通过这些和差化简公式，我们可以将复杂角度的三角函数值化简为简单的角度，从而方便计算和应用。
二、倍角化简公式倍角化简公式是指将一个角度的两倍表示为其他角度函数值的公式。
具体来说，我们有以下倍角化简公式：1. 余弦的倍角公式：cos(2x) = cos²x - sin²xcos(2x) = 2cos²x - 1cos(2x) = 1 - 2sin²x这些公式可以将角度2x的余弦值表示为角度x的余弦和正弦值的函数。
2. 正弦的倍角公式：sin(2x) = 2sin x * cos x这个公式可以将角度2x的正弦值表示为角度x的正弦和余弦值的函数。
三角函数的万能公式及其证明
三角函数的万能公式及其证明三角函数是数学中重要的概念，它们在几何学、物理学、工程学以及其他许多领域中都有广泛的应用。
三角函数的万能公式是一组基本的恒等式，用于将三角函数之间的关系相互转换。
本文将介绍三角函数的万能公式及其证明。
一、正弦函数的万能公式正弦函数的万能公式可以用来表示任意两个三角函数之间的关系。
假设a、b、c为实数，且a+b+c=π。
那么正弦函数的万能公式可表示为：sin(a + b + c) = sin a cos b cos c + cos a sin b cos c + cos a cos b sin c - sin a sin b sin c该公式的证明基于三角函数的和差化积公式和三角函数的倍角公式。
证明步骤如下：1. 根据和差化积公式，将sin(a + b + c)展开成和差形式，得到：sin(a + b + c) = sin((a + b) + c)2. 根据三角函数的和差化积公式，将sin((a + b) + c)展开，得到：sin((a + b) + c) = sin(a + b)cos c + cos(a + b)sin c3. 再次利用和差化积公式，将sin(a + b)和cos(a + b)展开，得到：sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin bcos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b4. 将上述展开结果带入步骤2中的公式，得到：sin((a + b) + c) = (sin a cos b + cos a sin b)cos c + (cos a cos b - sin a sin b)sin c5. 化简上式并合并同类项，得到：sin((a + b) + c) = sin a cos b cos c + cos a sin b cos c + cos a cos b sin c - sin a sin b sin c综上所述，我们证明了正弦函数的万能公式。
三角函数式的化简.docx
三角函数式的化简三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将 较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是：（1）能求出 数值的要求出数值；（2）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；（3）分式中的分母尽量 不含根式等.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成 同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降 低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求（或所证明）问题的整体形式中 的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.(一) 知识点 1、辅助角公式tzsin a+bcos a =yja + /72sin(«+cp),"cos (p= _______________ ,其中v si“0= ------------------------ ，btan 一， V Y a2、降幕公式：・2sins= _________________, cos a= _________________ （二）例题讲解⑴求./（X ）的最小正周期；（2）当«e[0,兀]时，若./（«） = 1,求a 的值.审题视角（1）在/（X ）的表达式中，有平方、有乘积，而且还表现为有不同角，所以要考虑到化同角、 降幕等转化方法.（2）当/（x ）=dsinx+方cosx 的形式时，可考虑辅助角公式.=-\/3cos 2r+sin xcos x —萌 siiFx+sin xcos 兀所以最小正周期T=n.(2)由 /((X )— 1,得 2sin (2a+守=1,厂 *7又 aW[0,兀],所以 2c (+je 专，-y 所以2a+|=y 或2°+申=晋,角卩称为辅助角.sin a cos a - ___________xcos x.[2分][6分][8分]例1、（12分）已知函数y （x ）=2cosin 2x+sin ⑴因为X%)=2cossin 2x+sin xcosx1 • (2010-福建)计算 sin 43°cos 13°B 誓—cos 43°sin 13。
高中数学三角函数式的化简与求值
三角函数三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场(★★★★★)已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.●案例探究［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°=21 (1－cos40°)+21(1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=21，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41. ［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解：由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a a a∵f (a )=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞) 故－22a －2a －1=21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［12π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值. 命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.错解分析：在求f -－1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法：等价转化，逆向思维.解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x =2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3π)－3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π(2)当2x +3π=2k π－2π，即x =k π－125π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.(3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］,∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则 x =4π，故f -－1(1)= 4π. ●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.2.技巧与方法：1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈ (－2,2ππ)，则tan2βα+的值是( ) A.21 B.－2C.34 D.21或－2 二、填空题2.(★★★★)已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)= 21，则tan(α－2β)=_________.3.(★★★★★)设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________.三、解答题4.不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5.已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.6.(★★★★★)已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ).求)44(sin 42sin2csc )cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件.7.(★★★★★)如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.8.(★★★★★)已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x的值.参考答案难点磁场解法一：∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π, ∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) .6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯= 解法二：∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=6556)65406572(21-=--歼灭难点训练一、1.解析：∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0.tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2π,0),又tan(α+β)=342tan 12tan2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得2tan 222tan 32-β+α+β+α=0.解得tan 2β+α=－2. 答案：B2.解析：∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,247)34()43(1)34(432tan tan 1tan tan )2tan(.34)21(1)21(2tan 1tan 22tan 222=-⨯-+---=β⋅α+β-α=β-α-=---⨯=β-β=β答案：2473.解析：α∈(43,4ππ),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π)=53. 6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即 答案：6556 三、4.答案：2752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x xx xx x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos 2sin 42)2sin 2(sin 2)2sin 2121(42cos 2cos 22sin 2)22cos(142sin 1)cos 1(2sin )44(sin 42sin 2csc )cos(1:.62222-π-α-=--⨯π-α=∴π-α=π-α=β-α∴π=β-α-β-αβ+α=-β+α=β--αα⋅α=β-π--α-α+α=β-π-α-αα-π-=t t 令解 π≠αk （k ∈Z ）,322322π-π≠π-α∴k （k ∈Z ） ∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk （k ∈Z ）时,)322sin(π-α的最小值为－1.7.解：以OA 为x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则｜PS ｜=sin θ.直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ.联立解之得Q (33sin θ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ. 于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(23sin2θ－22cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)= 33sin(2θ+6π)－63.∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π.∴21＜sin(2θ+6π)≤1.∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6π，点P 为的中点，P (21,23). 8.解：设u =sin α+cos β.则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2≤1,－1≤u ≤1.即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =232-t ..21,232,2,258log 2log 82log ,0log .82,2,42.8224142142104325.05.05.0min 5.0max 2-==+==-==∴>=====≤+=+=++=∴x x t y M M y M t t t tt t t x x M 此时时时是减函数在时即当且仅当第四章 三角函数§4-1 任意角的三角函数 一、选择题：1．使得函数 有意义的角在（ ）（Ａ）第一，四象限 （Ｂ）第一，三象限 （Ｃ）第一、二象限 （Ｄ）第二、四象限２．角α、β的终边关于У轴对称，（κ∈Ζ）。
三角函数
三角函数cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ； cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ； sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan ∙-+； tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan ∙+-。
一、奇偶性 ① y=cosx ：它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。
② y=sinx ：对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有 f(－x)=－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。
③ y=tanx ：对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有 f(－x)=－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。
二、单调性① 正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.②余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.③ y=tanx ： 三、周期性:T=ωπ2四、对称性：① y=sinx 的对称轴为x=2ππ+k k ∈Z② y=cosx 的对称轴为x=πk k ∈Z 例题：1．已知函数，(1)求函数的最小值以及相应的的取值的集合； (2)写出函数在上的单调递增区间。
【变式1】已知函数．求函数在区间上的最小值和最大值．.【变式2】.已知函数xx x x x x f cos sin sin3)3sin(cos 2)(2+-+=π。
（1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 的最小值及取得最小值时相应的x 值；（3）若]127,12[ππ∈x ，求满足1)(=x f 的x 值．已知函数，直线x ＝t （t ∈R ）与函数f(x)、g(x)的图像分别交于M 、N 两点⑴当时，求|MN|的值； ⑵求|MN|在时的最大值。
三角函数的化简与求值
1．三角恒等变换的两原则（1）化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式。
（2）消除异差：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构式等方面的差异。
2．三角函数式的化简 （1）化简要求①三角函数名称尽量少；②次数尽量低；③能求值的尽量求值； ④尽量使分母不含三角函数；⑤使被开方数不含三角函数． （2）化简思路对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用，另外，还可以用切割化弦、变量代换、角度归一等方法 (3)化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，和差化积，积化和差等。
3．三角恒等式的证明 (1)证明三角恒等式的方法观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪些证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等。
(2)证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始．通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等。
1. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等），如 （1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____ （答：322）；（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值（答：490729）； （3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______（答：43(1)55y x x =<<）(2)三角函数名互化(切化弦)，如 （1）求值sin 50(13tan10)+（答：1）；（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：18）(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。
三角函数化简题
2|cos||cos|
22
∵0，∴0
∴原式cos．
22
，∴|cos|cos
22
，
§4.04三角函数的化简、求值与证明共7页,第3页
222(3cos4x)
例3．证明：（1）tanxcotx
1cos4x
sin(2AB)sinB
；（2）2cos()
AB
sinAsinA
．
证：（1）左边
224422222
右边，∴得证．
说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦”；若“从右证到
左”，必定要用倍角公式．
（2）左边
sin[(AB)B]2cos(AB)sinA
sinA
sin(AB)cosAcos(AB)sinA
sinA
sin[(AB)A]sinB
sinAsinA
右边，∴得证．
课堂练习
1．若cos130a，则tan50
1cos1cossin1cos
()(1)
sinsincossin
2cos1cos1
(1)2cot(11)2csc
sincoscos
．
（3）原式
2
(2cos2cossin)(sincos)
22222
2(1cos)
2cos(cossin)(sincos)
22222
2
22cos
2
22
2cos(sincos)cos(cos)
1．三角函数式的化简：
三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为
同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
2．三角恒等式的证明：
三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是
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考点练习
C
； 脑瘫 小儿脑瘫 脑瘫儿
；
要同生共死。那种勇气与真情足以惊天地、泣鬼神。在死神降临之时，你身边还有那么多的亲人围绕，比起梅表姐离世时的凄凉，你简直就是被上帝偏爱着。你在家庭里的顺从与屈服，不能说明什么。死，也是要和所爱的人留有结晶。为避“血光之灾”下的死亡，你是一个彻底不值得的牺牲品。但 你决不是懦弱的代表，你只是在为自己所爱的人能在家里仍有地位而牺牲。就梅表姐而然，你幸运极了，毕竟你有这个权利，这个机会。 两块玉合在一起象征着迹象，瑞珏，你的幸运，胜过宝玉有知己黛玉，赛过四凤与周萍的相恋，不亚翠翠与傩送的结识。悲情女子自古愁苦一生，你是第一个幸 福地拥有过爱的人。你的幸运不仅讽刺了当时的制度，更诠释了中国女子的豪气与民族未来的希望。 自被丘比特之箭射中的那一刻，你的悲情便与幸运同步进行。若让我选择一个女子的命途，作为一个新时期的女生，我愿意做瑞珏第二！ 我是李煜眼中的一滴泪 幽栏凭望，寒气撩人，这一刻，我 终于明白我一直呼唤的名字是什么。在我的心破碎前，让 我再看一眼这让我眷恋的词人。三十年、四十年前的月亮与如今的月亮究竟有何不同？这寂寞凄凉的双眸让我领悟，我甘心灭亡。轻纱雾笼，迷惘了是一世的梦。我将化作漫漫浩气把他的诗魂一代代传承。 当日子失去光泽，五色花瓣也凋零 了色彩，所有的一切不过归于混沌之初。 从我睁眼的那刻起，我就知道我一直在呼唤一个人的名字，可是那是什么，我从不知晓。我生活在一个美妙之境，到处都轻柔得很，美丽得很，我不 知道我主人的名字，没有人唤他名字，大家都叫他六皇子，六皇儿，六皇弟之类的。他从小便张扬着一种才 情，琴棋书画样样精通。小时候的他快乐无忧，生活在他那诗琴画意的世界，无心朝廷大事，从未有过做帝之念。因为他只有份小小的世界观，无心与天争荣，未必人人都能理解他。我便是吸取他的词情之气长大。那是我的孕育之初，那些迷惘，无知与天真，我伴随这位词人走过一段日子，那是他 婚后一段快乐时光。他的夫人叫蛾皇，同样是位具备才情的女子。风花雪月是他们才情的飞扬，琴瑟合奏曾给世间留下太多美丽佳话，才子佳人尽情书写人间乐章。我赞叹过他们的美，无数人赞叹过他们的美。 如果时间可以停止不前，就以他们的美丽词篇作钉，将这一刻的美好定格，钉牢，让它 化作世间以幅永恒不灭的标本。可是他是蝶，词情是花朵，今生他便是来寻魂的。那样不该有梦的 身份却做起了一个惊世的梦。现实与梦总是矛盾，在我们经历过梦的美好之后，总会在我们背后不经意捅上一刀。他的皇袍加身，他的伟大词情注定了我即将出世，因为词人与政客无法同时做到完美 。 我终于来到他的双眸，从他那双柔情、多情、无奈与伤感的眼中，我开始渐渐读懂他。依旧风花雪月，却多了一份伤感；依旧夫妻恩爱，却多了无心的背叛；依旧政场失败，却多了奋发图强......无法去评断他的成败，每个人心中都有把衡量自己的标尺，他应该说是活出了自己的人。可是同时 却也辜负了许多其他人。失去了至亲至爱的她，三年也无法与小周后见面，那么一往情深该寄往何处？到底是南唐的衰败成全了他，命运让他只能成为一位伟大的词人，而只能是南唐的罪人。政治一日日衰败，军事一天天告急，所有的懊悔却只是迟钝而有着锋利的刀刃割痛他的心。微风吹进这寥寂 的深宫，墙上的铜镜被刮得左摇右摆，好像年那心潮中不平静引起得涟漪。翠绿得珠帘好像回首间已泛黄，镜中的少年眨眼间双鬓发白，时光催发着成熟，而成熟只是意味着更多的伤感与悔恨。无数次，我以为我要滴落，或许我还在等待一个时机。 “违命侯”多么可笑的称呼，他的一生不都在违 命吗？从南唐到宋国从雕阑玉砌到凋敞的小楼，今夜的月色如此凄迷，狐疑生媚，或许是到了该说再见的时候了。他凭栏眺望，感受小楼东风，三十年，四十年前与现在的月亮没有什么不同，只是看月的人心境不同罢了，以前的月亮皎洁，圆满如玉如盘，珠滑圆润，而如今的月亮充满着一丝血腥与 罪恶，同时承载着一代词人的追悔与思念。是云笺上的一滴落泪，晶莹剔透，我承载着他的梦从记忆的出口滴落，我明白我一世的等候只是两个字：李煜。这一刻，我无悔，凝聚了一世的情换得了我心碎前的美丽。 我是李煜眼中的一滴泪，昨夜欢笑昨夜天，残夜忆旧年，今夜的美丽我带走了！ 飘 向何方——读《飘》 眼前只是一团迷雾！ 你在迷雾里，我在迷雾外。 亲爱的思嘉，我看不清你的塔拉，更看不清那个被子弹射伤的亚特兰大。我只要看清你的脸，看清那双拂过岁月的斑驳的双手。于是我把这两个你辗转的地方揉进了你的双眸，透着你的眼眶去触摸它们的心脏，轻抚它们的双颊 来捕捉你的影子…… 左眼：塔拉 亲爱的思嘉，这个有你成长足迹的农场里荡漾着母亲的娇柔，掺杂着父亲的粗俗，于是这种娇柔与粗俗在你身上碰撞，接着将你的人生大朵大朵的酝酿。 也许你该永远留在塔拉，固守着那份娇柔，安享着生活的富足，徜徉在少女的遐想里，听从着命运的安排。那 么，一切也许将与艾希礼无关，更与白瑞德无关。可是思嘉，为了所谓的爱，你却向人生的湖水里投石子，一切又怎能平静？大概“娇柔”留不住你吧。 右眼：亚特兰大 一身黑色的丧服。思嘉，这里不是塔拉，更不是“十二橡树”村。哦，是我多虑了，在我的多虑里，你毫不犹豫地甩开从田埂上 带来的泥气，投身于未知的世界。 你不再是孩子，但你依然淘气，你拿出了父亲给予自己的来自爱尔兰的狂羁，顿时，仿佛这个世界就剩你郝思嘉一个人。思嘉，我开始有些讨厌你了。讨厌你无视自己身上的黑衣，还一个劲地抱怨流逝的年华，难道这一切是别人强加给你的吗？讨厌你无视别人得 到爱的权力，嫉恨善良的媚兰，难道世间的一切都能靠强求得来的吗？讨厌你无视战争带来的创伤，拿一个所谓的“主义”遮掩了逃避寂寞的私心，难道只要子弹不打到你身上，战士们不管流多少血你都无所谓吗？ 左眼：塔拉 亲爱的思嘉，你回来了。战火真的席卷到了身边，如今的塔拉，破碎不 堪。思嘉，塔拉靠你了。为了拯救塔拉，你想尽了办法，甚至背叛了自己的妹妹。思嘉，我有些理解你了，战火纷纷的年代，你去不了战场。顾全自己，顾全自己身边的人，你没有错。 右眼：亚特兰大 亲爱的思嘉，战争失败了，失败或许也是一种幸运，至少可以获得生活的平静，可是思嘉，当初 你在人生的湖边投下了石子，一切又怎能轻易平静下来？ 当你终于成为瑞德的妻子，当你终于明白曾经的固执只因一个爱的幻觉，可是思嘉，你只能期待明天了…… 我不忍再看你的双眼。恍惚间，你的左眼流出了泪，右眼滴出了血。血与泪的交融化成无数世人心里的惊叹号，而我的心里却像涌泉 般涌出难以捉摸的疑问。 不知不觉，我也进入了迷雾中。 亲爱的思嘉，湖底的石子不只一个，因为湖边的脚印不是你一个人的，太多太多的人，太多太多被投下的石子，太多太多不平静的人生。我们曾经都在湖边停留，接着便匆匆地奔向下一段旅途，脚步太急了便不由自主地离开了地面，飘向这 一秒的未来。 那么，思嘉，你要飘向何方？塔拉，你那割舍不了的家园？还是亚特兰大，那个你曾经奋斗过的地方？如果只允许你睁开一只眼，你希望是左眼还是右眼？哦，不，我错了，也许还有更远的地方。 合上书的那一刹那，我突然感觉，自己那些对思嘉的疑问又像是思嘉在问真实的我。 我，该飘向何方？ 如今自己坐进高三的教室，只为多年的大学梦。太多太多徘徊在大学门外的人，也许我只是一颗蒲公英的种子，那我又将随着高考的风飘向何方？ 家，是我的塔拉；学校，是我的亚特兰大。我不愿一直往返于这两个地方，所以，我要更加努力，自己把握风向，飘向更远的奋斗之 地。 亲爱的思嘉，在广阔的天空下，我们都有自己的梦想，梦想驻足在茫茫人海中，需要我们去追寻，不顾一切地飘向它，到达开满奋斗之花的人间天堂。去吧，思嘉，不管是塔拉、亚特兰大，还是更远的地方。我也该向着我的目标飘去。 思嘉，迷雾散了。我们看见了未来…… 读《朱自清散文 》有感 怀着崇敬的心情,翻开扉页,望着年少的他,望着戴着那个年代最普通的黑框眼镜的他.他出生于江苏省东海县,他曾距离我这么近,他让这的山水灵动,让水晶披上白纱,让温泉凝萃芬芳.那个以扬州人自居的他,终究一生正气,凛然拒绝"美援"面粉,溘然长逝了. 现代人怀抱着周游世界的梦想, 说着我多么想去看阿里山的日出,云海,森林;多么想去看樱花飘舞的香榭大道;多么想去看伦敦街头那别出心裁的表演...他实现了,我有的是羡慕． 现代人忙碌的生活,有人说走路的速度就是办事的效率,于是,我们,日复一日,年复一年,走在拥挤的马路,走在远离快乐的路口． 偶尔清闲,也只 能在附近,就像溜狗,不敢也不能走远.最近,我去了附近的山--云龙涧,那冷清的一上午只看见一个游客,连在开发区工作的老妈都不知道这么个地.爬山,是个苦差事,累到虚脱,看见泉水也只图个清凉,却忘了看看泉的形状,泉水的颜色.这样的"放松"实在不能和朱先生相比,而这人人眼中见,心中有,笔下 无的景色,他娓娓道来,细细描出,勾勒出赏心悦目的图景． "这平铺着,厚积着的绿,着实可爱.她松松的皱缬着,像少女摇着裙幅;她轻轻的摆着,像跳动的初恋的处女的心;她滑滑的明亮着,像涂了明油一般..."一潭绿水,他看见了曹植笔下婀娜多姿,羽衣翩跹的洛神看见了曹雪芹笔下楚楚可怜,柳眉 细腰的黛玉,看见了回眸一笑百媚生的玉环． 他爱思索,思索时光的匆匆,而他的说教风趣,深刻,有诗的意境,有歌的旋律."我的日子滴在时间的流里,没有声音,也没有影子."我立刻觉得黑暗中有双阴森森的手，扼住了我我的喉咙，周围空气充满了血腥，呼吸变得困难，血液充溢在脑袋，心脏快 要不能负荷，最终四肢瘫软．＂洗手的时候，日子从水盆里过去，吃饭的时候，日子从饭碗里过去，默默时，便从凝然的双眼前过去．＂我在原地休息，而时间，它看着花开花榭，看着三生石上的誓言被风沙磨平． 思索着，思索着，他问＂我们的日子为什么一去不复返？＂＂在逃去如飞的日 子里，在千门万户的世界里我能做什么？＂＂在过去的日子里，我留着些什么痕迹？＂我哑口无言，手汗模糊了字迹，模糊了原本坚定的心．微黄的光晕，洁白的纸张，总会让人们不经意间想起某些人．有人说每个人都是演员，每天都在用不同的
考点练习
B
考点练习
D
考点练习
C
考点练习
典型题选讲 【例1】
解：原式
典型题选讲 【例2】
解： 原式
典型题选讲 【例3】
解：原式
典型题选讲
【例4】