广义最小方差控制复习课程
广义最小二乘法
FGLS估计—
异方差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 4.5.2 4.5.3 产生原因 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 异方差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 X 2. limn →∞ n
(4.1)
是一个正定对角矩阵；
X = Q∗ ，其中， Q∗ 正定、有限。
假设 1 是我们本章考虑的重点，我们将干扰项的方差-协方差矩阵从经典 OLS 回归模型中 的 σ 2 I 一般化为非均齐方差 σ 2 。这是一般化线性回归模型的根本特点。利用该假设，我们可
以捕捉单个干扰项的方差，即， V ar (ε) 对角线上的元素的差异（这就是我们后面将要提到的异 方差问题）；同时也可以捕捉两个干扰项之间的同期相关性，即， V ar (ε) 非对角线上的元素不 为零（如后面提到的自相关和 SURE 模型）。处理一般化模型的基本思路是通过一些变换，使 其满足经典 OLS 回归模型中的基本假设，然后采用 OLS 进行估计即可。 假设 2 也是一个新加的假设条件。它限制了样本矩阵 X 和方差-协方差矩阵 σ 2 的关系，
谢所有耐心读完这份笔记的同学，希望你们把发现的错误和不妥之处E-mail 给我以便于我做进 一步的修改。
计量经济学知识点(超全版)
1．经济变量：经济变量是用来描述经济因素数量水平的指标。
（3分）2．解释变量：是用来解释作为研究对象的变量（即因变量）为什么变动、如何变动的变量。
（2分）它对因变量的变动做出解释，表现为方程所描述的因果关系中的“因”。
（1分）3．被解释变量：是作为研究对象的变量。
（1分）它的变动是由解释变量做出解释的，表现为方程所描述的因果关系的果。
（2分）4．内生变量：是由模型系统内部因素所决定的变量，（2分）表现为具有一定概率分布的随机变量，是模型求解的结果。
（1分）5．外生变量：是由模型系统之外的因素决定的变量，表现为非随机变量。
（2分）它影响模型中的内生变量，其数值在模型求解之前就已经确定。
（1分）6．滞后变量：是滞后内生变量和滞后外生变量的合称，（1分）前期的内生变量称为滞后内生变量；（1分）前期的外生变量称为滞后外生变量。
（1分）7．前定变量：通常将外生变量和滞后变量合称为前定变量，（1分）即是在模型求解以前已经确定或需要确定的变量。
（2分）8．控制变量：在计量经济模型中人为设置的反映政策要求、决策者意愿、经济系统运行条件和状态等方面的变量，（2分）它一般属于外生变量。
（1分）9．计量经济模型：为了研究分析某个系统中经济变量之间的数量关系而采用的随机代数模型，（2分）是以数学形式对客观经济现象所作的描述和概括。
（1分）10．函数关系：如果一个变量y的取值可以通过另一个变量或另一组变量以某种形式惟一地、精确地确定，则y与这个变量或这组变量之间的关系就是函数关系。
（3分）11．相关关系：如果一个变量y的取值受另一个变量或另一组变量的影响，但并不由它们惟一确定，则y与这个变量或这组变量之间的关系就是相关关系。
（3分）12．最小二乘法：用使估计的剩余平方和最小的原则确定样本回归函数的方法，称为最小二乘法。
（3分）13．高斯－马尔可夫定理：在古典假定条件下，OLS估计量是模型参数的最佳线性无偏估计量，这一结论即是高斯－马尔可夫定理。
广义最小二乘法
4.5 广义最小二乘法（GLS ） GLS----Generalized Least Squares 1. 基本原理广义最小二乘法的基本思想在于引入一个所谓成形滤波器（白化滤波器），把相关噪声)(k ξ转化成白噪声)(k ε。
由方程（4-4）、（4-5），系统的差分方程可以表示为)()()()()(11k k u z b k y z a ξ+=-- （4-114）式中n n z a z a z a z a ----++++=ΛΛ221111)(nn z b z b z b b z b ----++++=ΛΛ221101)(如果知道有色噪声序列)(k ξ的相关性，则可以把)(k ξ看成白噪声通过线性系统后所得的结果。
这种线性系统通常称为成形滤波器，其差分方程为)()()()(11_k z d k zc εξ---= （4-115）式中)(k ε是均值为零的白噪声序列，)()(11_---z d 、z c 是1-z 的多项式。
令 _111212_1()()1()m m c z f z f z f z f z d z ------==+++L L （4-116）有 )()(1)()()()(11k z f k k k z f εξεξ--==或 （4-117）即1212(1)()()m m f z f z f z k k ξε---++++=L L （4-118）或)()()2()1()(21k m k f k f k f k m εξξξξ+-------=ΛΛ ()1,,n k n N =++L L（4-119）这一噪声模型（自回归模型）的阶m ，一般事先是不知道的，实际经验表明，若指定m为2或3，就可以获得令人满意的描述)(k ξ的模型。
把方程（4-119）看作输入为零的差分方程，并由此式来写出N 个方程。
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+---+--+-=+++-+---+-=+++-+-----=+)()()2()1()()2()2()()1()2()1()1()1()()1(212121N n m N n f N n f N n f N n n m n f n f n f n n m n f n f n f n m m m εξξξξεξξξξεξξξξΛΛM ΛΛΛΛ写成向量矩阵形式为εξ+Ω=f （4-120）其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=)()1(N n n ξξξM ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m f f f M 1，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=)()1(N n n εεεM ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--+--+--+--+--+----=Ω)()2()1()2()()1()1()1()(m N n N n N n m n n n m n n n ξξξξξξξξξM Λ(4-120)式所示的线性组合关系是辨识问题的基本表达形式,称作最小二乘格式。
gls广义最小二乘法
gls广义最小二乘法
广义最小二乘法（GLS）是一种广泛应用于经济学和统计学领域的方法。
GLS是对普通最小二乘法（OLS）的扩展，用于解决数据中存在异方差和序列相关等问题。
在GLS中，我们假设误差项满足某种特定的协方差结构，通常是已知的。
通过将此协方差结构引入模型中，可以得到在非同方差和序列相关数据下的更有效的估计结果。
GLS的步骤如下：
1. 首先，我们需要对误差项的协方差结构进行估计或者假设一个合适的形式。
2. 然后，我们根据协方差结构对数据进行加权，使得方差较小的观测值得到更多的权重。
3. 接下来，我们使用加权数据拟合回归模型，通常是通过最小化加权残差平方和来实现。
4. 最后，我们根据GLS估计的结果进行统计推断，如参数的显著性检验和模型适合度的评价。
GLS方法的优势在于能够处理异方差和序列相关等常见问题，并提供更有效的估计结果。
然而，GLS也有一些限制，如对协方差结构的假设可能不准确，导致估计结果的偏差。
因此，在应用GLS时需要谨慎选择合适的协方差结构并进行检验。
总而言之，GLS是一种在非同方差和序列相关数据下进行回归分析的有力工具，能够提供更准确和有效的估计结果。
通过合理地选择和验证协方差结构，我们可以更好地理解和解释数据中的变异性和相关性。
广义最小二乘法的推导
广义最小二乘法的推导1. 引言广义最小二乘法（Generalized Least Squares, GLS）是一种用于解决线性回归问题的方法。
与最小二乘法相比，GLS可以处理数据中存在异方差（heteroscedasticity）和自相关（autocorrelation）的情况，提高了回归模型的准确性和效果。
在本文中，我们将详细推导广义最小二乘法的数学原理和推导过程。
首先，我们将介绍最小二乘法的基本概念和原理，然后讨论广义最小二乘法的推导过程，并最后给出一个示例来说明广义最小二乘法的应用。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的用于拟合线性回归模型的方法。
其基本思想是通过最小化残差平方和来选择最优的回归系数。
对于一个具有n个数据点的线性回归模型：Y=Xβ+ε其中，Y是n维的因变量向量，X是n行p列的自变量矩阵，β是p维的系数向量，ε是n维的误差向量。
最小二乘法的目标是找到最优的β，使得残差平方和最小：εTεminβ通过对目标函数求导，并令导数等于零，可以得到最优解的闭式解表达式：β̂=(X T X)−1X T Y其中，β̂表示最优的回归系数。
3. 广义最小二乘法最小二乘法假设误差项具有同方差且不相关的性质，然而在实际问题中，数据往往存在异方差和自相关的情况。
为了解决这些问题，我们引入广义最小二乘法。
3.1 异方差问题当误差项具有异方差性质时，最小二乘法的估计结果可能是偏误的。
为了解决异方差问题，我们可以对误差项进行加权处理。
假设误差项的方差为σi2，我们可以使用加权最小二乘法来估计回归系数。
目标函数可以表示为：minεT Wεβ其中，W是一个对角矩阵，对角线元素为σi−2。
通过对目标函数求导，并令导数等于零，可以得到最优解的闭式解表达式：β̂GLS=(X T WX)−1X T WYβ̂GLS表示广义最小二乘法的估计系数。
3.2 自相关问题当误差项存在自相关性质时，最小二乘法的估计结果也可能是偏误的。
自适应控制和鲁棒控制
二﹑自适应控制系统的基本结构
其基本结构由三部分组成, 见右图.
品质评价
(1)辨识被控过程或环境的结 控制决策
构和参数的变化, 并建立过程的
参数估计
数学模型, 估计出过程参数, r
控制器 u
过程
y
这需对过程的输入﹑输出进
行测量, 实时在线估计.
(2)品质的评价. 具有一个衡量
品质评价
控制决策
控制系统控制效果的性能指标, 并
第二节 自校正控制系统
自校正控制系统的基本结构如下图:
参数调整机构
自校正控制系统由两个回路组成.
控制器参 数新值
外回路 参数估计器
r
控制器 u
过程
内回路包括过程和普通线性反馈 控制器. 外回路用于调整控制
y 器参数, 由递推参数估计器
内回路
和控制器参数调整机构组成.
递推估计器可采用递推最小二乘法﹑广义最小二乘法﹑辅
C ( z 1 )
C ( z 1 )
式(24)的预测估计值考虑了e(k)在 k 时刻及该时刻以前各 时刻的随机干扰的影响, 而忽略了e(k 1)及 (k 1) 时刻以
后的随机干扰的影响, 这样的预测估计值是最小方差估
计, 最小方差为: Jmin E{[F(z1)e(k d)]2} (25) 因 E[e2(k)] 1, E[e(k)e( j)] 0(k j), 所以式(25)为:
第一节 自适应控制系统的作用与基本结构
一﹑问题的提出
自适应控制系统又称适应控制系统, 它能自动地调 整控制器的参数, 以补偿过程特性或环境条件的变化.
工业过程采用自适应控制的主要原因有两点: (1) 大多数工业过程是非线性的, 而设计线性控制 器时所用的线性化模型与具体的稳态工作点有关. (2) 大多数工业过程是非定常的, 具有时变特性.
计量经济学复习资料2021
计量经济学复习资料2021计量经济学复习概览重要名词1同步内生2两阶段最小二乘法3.方差膨胀因子：是指解释变量之间存在多重共线性时的方差与不存在多重共线性时的方差之比。
4.完全共线性5.异方差稳健标准误法6.最大似然估计7.平稳性8.加权最小二乘法9.序列相关性10.多重共线性11.解释变量的内生性12.虚拟变量13.高斯-马尔可夫定理：在经典假设下，OLS估计是模型参数的最佳线性无偏估计。
这个结论就是高斯-马尔可夫定理。
14.异方差15.最佳线性无偏估计量16.调整的可决系数17.ols18.经典假定19.广义差分法20拟合优度21随机误差项22偏回归系数23无偏24.残差：样本回归方程的拟合值与观测值的误差称为回归残差二．其他知识点：d、 W.检查，根据D1和Du判断是否存在自相关。
检验模型异方差的主要方法是什么？（1）图形检验法；（2）布罗希-帕根试验（3）白试验；F测试（公式），F？ess/k~f （k，n？k？1）rss/（n？k？1）t jjs？？JT试验公式，自由度；jjcjje?en?k?1~t(n?k?1)调整后的决策系数R2与决策系数R2之间的关系；拟合优度检验与方程显著性检验的关系；最小二乘估计的统计性质（蓝色）答：①线性，是指参数估计量0?b和1?b分别为观测值ty和随机误差项tu的线性函数或线性组合。
（1分）②无偏性，指参数估计量0?b和1?b的均值（期望值）分别等于总体参数0b和1b。
（2分）③有效性（最小方差性或最优性），指在所有r2/kf？在（1？R2）/（n？K？1）的线性无偏估计中，最小二乘估计为0？B和1？B的方差最小。
2公式为(随机误差项ut的方差估计量2??e2in?k?1?e?en?k?1)受约束样本回归模型的残差平方和rssr大于无约束样本回归模型的残差平方和rssu?白色异方差检验结果的判断；自相关BG测试结果的判断；多重共线性的综合评判存在多重共线性时，参数估计的标准差会发生什么变化？四、简答1.随机误差项包括哪些因素？2.比较异方差性、内生性与序列自相关性对模型回归结果造成影响3.内生性检验――hausman检验基本思想4.简要描述加权最小二乘法（WLS）的概念及其简单证明5.一元线性回归模型存在序列自相关性时，一阶差分估计的简单证明。
加权最小二乘法广义最小二乘法
Yi=Ai1 Ki2 Li3ei 被解释变量：产出量Y 解释变量：资本K、劳动L、技术A， 那么：每个企业所处的外部环境对产出量 的影响被包含在随机误差项中。
每个企业所处的外部环境对产出量的影 响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。
这时，随机误差项的方差并不随某一个 解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈 现复杂型。
❖ 如果 无任何特征和规律可言，整个计量模 型的建立将无法开展，因此，我们需要人为地 为它设定一些假定条件。
❖ 如果下列假定条件满足，我们就可以用最小二 乘法对模型进行回归估计。
❖ 事实上，我们进行OLS之前，规定了误差项必 须遵守的假定
❖ 因此有了对于误差项的高斯经典假定。
假设1：给定X1i， X2i，… Xki时，εi的条件分布均值 为零。 即：随机误差项具有零均值。
异方差性的后果
1。OLS估计量仍然具有无偏性、相合性和渐进 正态性。 2。 OLS估计量不再具有有效性 或者最小方差 性。
3。 Gauss-Markov 定理不再成立，即OLS不再是 最佳线性无偏估计（BLUE）。
❖ 在存在异方差时，如果画出散点图和残 差图，可能是以下形状。
异方差的检验
❖ 1。画图法。 ❖ 2。White检验。 ❖ 3。BP检验。
Var(Yi) Var( 0 1Xi) Var(i) Var(i) 2
• 异方差一般可归结为三种类型：
广义最小二乘法例题
两则广义最小二乘法例题广义最小二乘法是一种用于估计线性回归模型参数的方法。
它适用于当回归模型存在异方差性（即误差方差不恒定）或者误差项之间存在相关性的情况。
下面是一个广义最小二乘法的例题：一、假设你正在研究某个城市的房价，你收集到了以下数据：对于n个房屋，你记录了它们的面积（X）、卧室数量（Z）以及售价（Y）。
你希望建立一个回归模型来预测房屋售价。
首先，我们可以假设回归模型的形式为：Y = β0 + β1X + β2Z + ε其中，Y是售价，X是面积，Z是卧室数量，ε是误差项。
为了使用广义最小二乘法估计模型参数，我们需要对误差项的方差进行建模。
假设误差项的方差为异方差的，即Var(ε) = σ^2 * f(Z)，其中σ^2是常数，f(Z)是卧室数量的某个函数。
我们可以使用最小二乘法来估计模型参数β0、β1和β2。
首先，我们需要构造一个加权最小二乘问题，其中每个样本的残差平方会被一个权重因子所加权。
权重因子可以根据样本的特征值进行计算，以反映异方差性的影响。
在广义最小二乘法中，我们需要估计的参数为β0、β1和β2，以及函数f(Z)的形式和参数。
一种常见的方法是使用加权最小二乘法来求解该问题，其中权重因子可以通过对误差项的方差进行估计得到。
具体的计算过程可以使用迭代的方法进行。
需要注意的是，实际应用中可能存在多种处理异方差性的方法，具体的选择取决于数据的特点和研究目的。
二、假设你是一家电子产品公司的数据分析师，你希望通过回归分析来预测一种新产品的销售量。
你收集到了以下数据：对于n个销售点，你记录了它们的广告费用（X）、竞争对手的广告费用（Z）以及销售量（Y）。
你希望建立一个回归模型来预测销售量。
假设回归模型的形式为：Y = β0 + β1X + β2Z + ε其中，Y是销售量，X是该公司的广告费用，Z是竞争对手的广告费用，ε是误差项。
然而，你发现误差项的方差与广告费用的大小有关，即存在异方差性。
你决定使用广义最小二乘法来估计模型参数。
gls广义最小二乘法模型
知识创造未来
gls广义最小二乘法模型
广义最小二乘法（GLS）是一种最小二乘回归模型，通过对数据进
行权重化处理来更好地适应数据。
这种方法通常用于解决存在异方差
性的数据，即方差不均一的情况。
GLS模型基于正态分布假设，即数据的误差服从均值为零和方差为一个可确定函数的正态分布。
首先，GLS对每个观测值计算一个权重，该权重是方差与均值的函数。
通常使用逆方差函数来计算权重，即较
大的误差会得到较小的权重，反之亦然。
然后，根据权重重新权衡数据，使每个观测值的影响与它们的方
差成反比。
最后，在应用线性回归时，GLS使用加权最小二乘法来最小化残差平方和。
GLS模型的优点是可以更好地适应异方差性的数据，提高模型的精度和准确性。
它还可以通过对不同变量赋予不同的权重来优化模型。
但是，要正确应用GLS，需要正确估计权重函数，并且对正态分布的假设进行评估。
总之，GLS模型是一个非常有用的工具，可以帮助研究人员更好地适应异方差性的数据，提高模型的准确性和精度。
但是，对于使用GLS 模型的研究人员来说，需要仔细评估数据的正态性和异方差性，以确
保模型的可靠性。
1 / 1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广义最小方差控制
精品文档
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
%广义最小方差控制(显示控制)
考虑如下系统：
()1.7(1)0.7(2)(4)0.5(5)()0.2(1)ykykykukukkk
式中(k)为方差为0.1的白噪声。
取
111()1,()1,()2PzRzQz
，期望输出yr(k)为幅值为10的
方波信号。
clear all;close all;
a=[1 -1.7 0.7];b=[1 2];c=[1 0.2];d=4;
na=length(a)-1;nb=length(b)-1;nc=length(c)-1;
nf=nb+d-1;ng=na-1;
P=1;R=1;Q=2; %加权多项式
np=length(P)-1;nr=length(R)-1;nq=length(Q)-1;
L=400;
uk=zeros(d+nb,1);
yk=zeros(na,1);
yrk=zeros(nc,1);
xik=zeros(nc,1);
yr=10*[ones(L/4,1);-ones(L/4,1);ones(L/4,1);-ones(L/4+d,1)];
精品文档
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
xi=sqrt(0.1)*randn(L,1);
[e,f,g]=singlediophantine(a,b,c,d);
CQ=conv(c,Q);FP=conv(f,P);CR=conv(c,R);GP=conv(g,P);
for k=1:L
time(k)=k;
y(k)=-a(2:na+1)*yk+b*uk(d:d+nb)+c*[xi(k);xik];
u1=-Q(1)*CQ(2:nc+nq+1)*uk(1:nc+nq)/b(1)-
FP(2:np+nf+1)*uk(1:np+nf);
u2=CR*[yr(k+d:-1:k+d-min(d,nr+nc));yrk(1:nr+nc-d)];
u(k)=(u1+u2-GP*[y(k);yk(1:np+ng)])/(Q(1)*CQ(1)/b(1)+FP(1));
%更新数据
for i=d+nb:-1:2
uk(i)=uk(i-1);
end
uk(1)=u(k);
for i=na:-1:2
yk(i)=yk(i-1);
end
精品文档
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
yk(1)=y(k);
for i=nc:-1:2
yrk(i)=yrk(i-1);
xik(i)=xik(i-1);
end
if nc>0
yrk(1)=yr(k);
xik(1)=xi(k);
end
end
subplot(2,1,1);
plot(time,yr(1:L),'r:',time,y);
xlabel('k');ylabel('y_r(k),y(k)');
legend('y_r(k)','y(k)');
subplot(2,1,2);
plot(time,u);
xlabel('k');ylabel('u(k)');
精品文档
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除