含绝对值的不等式恒成立问题64958
绝对值不等式等号成立的条件
绝对值不等式等号成立的条件一、绝对值不等式的基本概念绝对值是一个函数，其符号为“，，”，表示一个数与零的距离。
因而，绝对值的值始终是非负的，即要么为零，要么为正数。
绝对值不等式是指一个带有绝对值符号的不等式，比如“，某-2，>3”。
这种不等式在求解时，需要考虑绝对值的两种情况，即当某-2的值大于等于零时，绝对值函数的值就是(某-2)；而当某-2的值小于零时，绝对值函数的值就是-(某-2)。
因此，绝对值不等式还可以写成以下形式：某-2>3或某-2<-3。
1.当绝对值不等式中含有“≤”或“≥”的不等关系时，等号成立的条件就是当某的值等于函数中绝对值内部的值时，绝对值函数的值就等于等式右边的值。
比如，对于绝对值不等式“，某-2，≤3”，等号成立的条件就是当某-2=3或者某-2=-3时，绝对值函数的值就等于3。
2.当绝对值不等式中含有“<”或“>”的不等关系时，等号成立的条件就是当某的值等于函数中绝对值内部的值时，绝对值函数的值刚好小于或大于等式右边的值。
比如，对于绝对值不等式“，某-2，>3”，等号成立的条件就是当某-2=3或者某-2=-3时，绝对值函数的值就分别小于-3和大于3。
3. 对于多元绝对值不等式，不等式等号成立的条件就是当所有变量的值等于函数中绝对值内部的值时，绝对值函数对应的值就等于等式右边的值。
具体而言，如果绝对值不等式是形如“，a某 + by，≤ c”的形式，其中a和b分别为常数，某和y分别为待求变量，那么等号成立的条件就是当a某 + by = c或者a某 + by = -c时，绝对值函数对应的值就等于c。
因此，绝对值不等式等号成立的条件是比较简单和直观的。
由于绝对值函数的取值范围有一定的限制，因此在解绝对值不等式时，需要引入绝对值的两种情况讨论，以便得到正确的解答。
此外，在具体应用时，还需根据问题的实际情况，选择不同的解法和分析方法，以确保求解结果的正确性和有效性。
含绝对值不等式的解法(含答案)(可编辑修改word版)
⎨ ⎩ 含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
（一）、公式法：即利用 x > a 与 x < a 的解集求解。
主要知识：1、绝对值的几何意义： x 是指数轴上点 x 到原点的距离； x 1 - x 2 两点间的距离.。
2、 x > a 与 x < a 型的不等式的解法。
是指数轴上 x 1 ， x 2 当a > 0 时，不等式 x > 的解集是{x x > a ,或x < -a}不等式 x < a 的解集是{x - a < x < a };当a < 0 时，不等式 x > a 的解集是{x x ∈ R }不等式 x < a 的解集是∅ ;3． ax + b > c 与 ax + b < c 型的不等式的解法。
把 ax + b 看作一个整体时，可化为 x < a 与 x > a 型的不等式来求解。
当c > 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x ax + b > c ,或ax + b < -c}不等式 ax + b < c 的解集是{x - c < ax + b < c };当c < 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x x ∈ R }不等式 a + bx < c 的解集是∅ ;例 1 解不等式 x - 2 < 3分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“ x - 2 ” 看着一个整体。
答案为{x - 1 < x < 5}。
(解略)⎧a (a > 0), （二）、定义法:即利用 a = ⎪0(a = 0), ⎪-a (a < 0). 去掉绝对值再解。
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的温度范围是（
）．
A．18℃～20℃ B．20℃～22℃ C．18℃～21℃ D．18℃～22℃
2．求下列不等式的解集:
（1）3 x 1
3．求不等式
1
|
；（2） − 1 ⩽ 2 ；（3）| 3x 2 | 1 ；（4） x +1| ≥ 3 ．
2
+ ≥ (b > 0)
4．求不等式 x < 5 的解集．
2
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
如图所示是某矿泉水的标签，显示该矿泉水的pH值（25℃）为
7.3 ± 0.5，该矿泉水pH值的取值范围是什么？
设该矿泉水的pH值（25℃）为x，则x的取值范围可表示为
x 7.3 ≤ 0.5
设
就是
t x 7.3
.
，那么不等式 x 7.3 ≤ 0.5 可化为得 | t | ≤ 0.5 ，也
变量的代数式，即用单一字表示一个代数式，从而将一些数学问题化
难为易、化繁为简．
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例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 求不等式 | 2 x 3 | ≤1 的解集．
解 不等式 | 2 x 3 | ≤1 ，也就是 1 ≤ 2 x 3 ≤1 ，于是 2 ≤ 2x ≤ 4 ，
0.5 ≤ t ≤ 0.5
，由此解得
0.5 ≤ x 7.3 ≤ 0.5
，即 6.8 ≤ x ≤ 7.8
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
一般地，形如 + < 和 + > ( > 0）的不等式可以通
过 “变量替换”的方法求解．
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x<1或x>3，
即x≤9， x≥－5.
∴－5≤x<1 或 3<x≤9.
∴原不等式解集为{x|－5≤x<1 或 3<x≤9}．
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法二：原不等式可转化为 －7≤2－x<－1或1<2－x≤7， ∴3<x≤9或－5≤x<1， ∴原不等式解集为{x|－5≤x<1或3<x≤9}． 【名师点评】 本例题是不等式的一种常见 题，第二种解法要比第一种解法更为简 单．也可根据绝对值的意义解题．
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误区警示
例 求使不等式|x－4|＋|x－3|<a有解的a的取 值范围． 【错解】 ∵|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1. ∴|x－4|＋|x－3|有最小值为1. ∴a<1时原不等式有解． 【错因】 “|x－4|＋|x－3|<a有解”理解错． 上述解法是无解的情况．
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【名师点评】 解关于恒成立问题时注意等 价转化思想的应用．
f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.
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变式训练3 若不等式|x＋3|－|x－5|<m对 x∈R恒成立，则m的取值范围为________． 解析：|x＋3|－|x－5|≤|x＋3－x＋5|＝8， ∴|x＋3|－|x＋5|的最大值为8， ∴m>8. 答案：(8，＋∞)
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6
(3)原不等式可化为－5<x2－3x＋1<5， x2－3x＋1>－5，
即x2－3x＋1<5. ∴x－∈1R<x，<4， 即－1<x<4. ∴原不等式的解集为{x|－1<x<4}．
不等式恒成立
不等式恒成立
不等式恒成立,就是一边的式子结果,无论里面的变量如何,一定符合要求.
如：绝对值的（X-2）大于等于0 就不管X取何值,永远成立
主要判断定一边一定是某种结果,另一边符合大于或小于的特征对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min．
典例分析
例1：对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为．
答案(－2，2)
解析由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x)＞0恒成立，
只需Δ＜0即可，即(a－4)2－4(5－2a)＜0，解得－2＜a＜2.
例2：对任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值
恒大于零，则x的取值范围是( )
A．1＜x＜3 B．x＜1或x＞3
C．1＜x＜2 D．x＜1或x＞2
答案 B
解析f(x)＞0，∴x2＋(a－4)x＋4－2a＞0，
即(x－2)a＋(x2＋4－4x)＞0，设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)
总结：有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种：
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；
(2)若参变量不能分离，可以考虑转换主元，构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立关于参数的不等式求解．。
不等式恒成立问题解题方法汇总(含答案)
不等式恒成立问题解题方法汇总（含答案）不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．这里对这一类问题的求解策略作一些探讨．1最值法例1．已知函数在处取得极值，其中为常数．（I）试确定的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．分析：不等式恒成立，可以转化为2分离参数法例2．已知函数（I）求函数的单调区间；（II）若不等式对于任意都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值．分析：对于（II）不等式中只有指数含有，故可以将函数进行分离考虑．3 数形结合法例3．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．4 变更主元法例4．对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．5 特殊化法例5．设是常数，且（）．（I）证明：对于任意，．（II）假设对于任意有，求的取值范围．分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意有求出的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．6分段讨论法例6．已知，若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围．例7．若不等式对于恒成立，求的取值范围．7单调性法例8．若定义在的函数满足，且时不等式成立，若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．8判别式法例9．若不等式对于任意恒成立．则实数的取值范围是＿＿＿．分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意恒成立，可以选择判别式法．例10．关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．答案部分1最值法例1．已知函数在处取得极值，其中为常数．（I）试确定的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．分析：不等式恒成立，可以转化为解：（I）（过程略）．（II）（过程略）函数的单调减区间为，函数的单调增区间为．（III）由（II）可知，函数在处取得极小值，此极小值也是最小值．要使（）恒成立，只需，解得或．所以的取值范围为．评注：最值法是我们这里最常用的方法．恒成立；恒成立．2分离参数法例2．已知函数（I）求函数的单调区间；（II）若不等式对于任意都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值．分析：对于（II）不等式中只有指数含有，故可以将函数进行分离考虑．解：（I）（过程略）函数的单调增区间为，的单调减区间为（II）不等式等价于不等式，由于，知；设，则．由（I）知，，即；于是，，即在区间上为减函数．故在上的最小值为．所以的最大值为．评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．3 数形结合法例3．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．解：在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象（如右），从图象中容易知道：当且时，函数的图象恒在函数上方，不合题意；当且时，欲使函数的图象恒在函数下方或部分点重合，就必须满足，即．故所求的的取值范围为．评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法．4 变更主元法例4．对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．解：设，，则原问题转化为恒成立的问题．故应该有，解得或．所以实数的取值范围是．评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．5 特殊化法例5．设是常数，且（）．（I）证明：对于任意，．（II）假设对于任意有，求的取值范围．分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意有求出的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．解：（I）递推式可以化归为，，所以数列是等比数列，可以求得对于任意，．（II）假设对于任意有，取就有解得；下面只要证明当时，就有对任意有由通项公式得当（）时，当（）时，，可见总有．故的取值范围是评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法．6分段讨论法例6．已知，若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围．解：（i）当时，显然＜0成立，此时，（ii）当时，由＜0，可得＜＜，令则＞0，∴是单调递增，可知＜0，∴是单调递减，可知此时的范围是（—1，3）综合i、ii得：的范围是（—1，3）．例7．若不等式对于恒成立，求的取值范围．解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对进行分段讨论，当时，不等式恒成立，所以，此时；当时，不等式就化为，此时的最小值为，所以；当时，不等式就化为，此时的最大值为，所以；由于对上面的三个范围要求同时满足，则所求的的范围应该是上三个的范围的交集即区间说明：这里对变量进行分段来处理，那么所求的对三段的要同时成立，所以，用求交集的结果就是所求的结果．评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．7单调性法例8．若定义在的函数满足，且时不等式成立，若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．解：设，则，有．这样，，则，函数在为减函数．因此；而（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是．评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．8判别式法例9．若不等式对于任意恒成立．则实数的取值范围是＿＿＿．分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意恒成立，可以选择判别式法．解：当时，不等式化为，显然对一切实数恒成立；当时，要使不等式一切实数恒成立，须有，解得．综上可知，所求的实数的取值范围是．不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．例10．关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵，∴不等式可以化为；下面只要求在时的最小值即可，分段处理如下．当时，，，再令，，它的根为；所以在区间上有，递增，在区间上有，递减，则就有在的最大值是，这样就有，即在区间是递减．同理可以证明在区间是递增；所以，在时的最小值为，即．技巧解：由于，所以，，两个等号成立都是在时；从而有（时取等号），即．评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功．。
不等式的恒成立问题基本解法9种解法
不等式的恒成立问题基本解法9种解法不等式的恒成立问题基本解法：9种解法导语：在数学中，我们经常会遇到不等式的问题，而不等式的恒成立问题则更加耐人寻味。
不等式的恒成立问题是指对于某个特定的不等式，是否存在一组解使得不等式始终成立。
解决这种问题需要灵活运用数学知识和技巧。
本文将介绍不等式的恒成立问题的基本解法，共包括9种方法。
一、置换法。
这是最简单的一种方法，即将不等式中的变量互相置换，然后观察不等式是否成立。
如果成立，则不等式恒成立。
对于x^2 +y^2 ≥ 0这个不等式，我们可以将x和y置换一下，得到y^2 + x^2 ≥ 0。
由于平方数是非负数，所以不等式始终成立。
二、加法法则。
这种方法是通过在不等式的两边同时加上相同的数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时加上-3，得到2x + 3 - 3 ≥ x + 4 - 3，即2x ≥ x + 1。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
三、减法法则。
与加法法则相似，减法法则是通过在不等式的两边同时减去相同的数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时减去x，得到x + 3 ≥ 4。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
四、乘法法则。
这种方法是通过在不等式的两边同时乘以相同的正数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时乘以2，得到4x + 6 ≥ 2x + 8。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
五、除法法则。
与乘法法则相似，除法法则是通过在不等式的两边同时除以相同的正数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时除以2，得到x + 3/2 ≥ 1 + x/2。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
六、平方法则。
这种方法是通过平方运算来改变不等式的符号。
对于不等式x^2 ≥ 0，我们可以将x^2展开为(x + 0)^2，得到x^2 + 0 ≥ 0。
含绝对值不等式恒成立问题的解法
含绝对值不等式恒成立问题的解法
郑桂芬
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2014(000)004
【摘要】解不等式及其相关问题时,尤其是含参数的绝对值不等式,一定要重视不等式转化的等价性问题.对转化前后的不等式其逻辑关系绝不能含糊,不但要心里清楚,表达也要明确和规范.在解答的陈述上,要力求做到层次分明、条理清晰、说明充分、逻辑严密,否则难免出错.
【总页数】2页(P10-11)
【作者】郑桂芬
【作者单位】浙江省宁波市北仑区柴桥中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.解密“代入特殊值法”——以含参绝对值不等式恒成立问题为例
2.含参数绝对
值不等式恒成立问题的辨析与求解3.也谈含绝对值不等式恒成立问题的转化策略4.含参数的绝对值不等式恒成立问题的解法探讨5.对一类含绝对值不等式恒成立问
题的研究
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6.5含绝对值地不等式
6.5含绝对值的不等式
作者：王勇|来源：东北育才学校高中部浏览次数：776次
东北育才网校| 2008-1-7 11:25:58
不等式的解集为
、不等式
的定义域是（－∞，－
2=log3
((
(
)=|log
已知，若的充分条件是，，则
．．．
由，得
的充分条件是
∴
若函数满足, 且时则函数的图象与函数
，，求证：；
的取值范围，使不等式对满足的一切实数恒成立
∴
∴对于任意满足
成立
)［
)
()
)
1
+－
的全体；对于定义域
有.
时，
∞）时，求证举例说明存在一个时，若
，任取
时，
，则
若，则只需有
事实上，令，而，故
时，任取时，都有，
∴
，
）∴
时，
时，符合
上的任意，
．．．
a,b|=R)
的不等式＋|5≥上恒成立，求实数
乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即
上且满足如下条件的函数组成的集合：
①对任意，都有
②存在常数，使得对任意的，都有
，证明：
如果存在,是唯一的
任取证明
解：对任意,,
所以，对任意的，
，
，所以
0<,
令，
所以
设存在两个使得则由
得，所以
，所以。
人教版数学高二备课资料一道绝对值不等式恒成立题目的多种解法
一道绝对值不等式恒成立题目的多种解法 题目：不等式22x x c +->对任意x R ∈恒成立，求c 的取值范围。
一．转化为求函数的最值问题求解。
解法1：设()2g x x x c =+-，不等式22x x c +->对任意x R ∈恒成立，等价于()2g x <的最小值。
()222,222,2x c c x c g x x x c c x c-≥≥⎧=+-=⎨<⎩， ∴()g x 的最小值是2c 。
所以22c <，解得1c >。
评注：()a f x <恒成立⇔()a f x <的最小值，()a f x >恒成立⇔()a f x >的最大值，所以恒成立问题一般可转化为函数的最值问题求解，本题转化为分段函数求最值。
二．借用绝对值的意义去掉“”求解。
解法2：原不等式可化为：22x c x ->-，由绝对值的意义可知：22x c x ->-或()22x c x -<--，化简得：22c >或222x c >+ 要使不等式22x x c +->对任意x R ∈恒成立，必须22c >或222x c >+的解集是R 。
而不等式222x c >+的解集不可能是R ，所以必须22c >恒成立，解得1c >。
评注：可借用绝对值的意义：()()()()f x g x f x g x >⇔>或()()f x g x <-； ()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<，去掉“”，转化为易于求解的不等式，结合解集为R 求解。
三．分类讨论法求解解法3：原不等式等价于：20222x c x c -≥⎧⎨->⎩ 或222x c c <⎧⎨>⎩ ，即：21x c x c ≥⎧⎨>+⎩或12c x c >⎧⎨<⎩令21c c >+，即1c >，讨论：当1c >时，不等式解为：2x c ≥或2x c <，即x R ∈，适合题意；当1c =时，不等式解为：2x >，不是R ，不合题意，舍去；当1c <时，不等式解为：1x c >+，不是R ，不合题意，舍去；综上可知：1c >评注：以2x c -是大于0、等于0还是小于0为标准分类讨论转化为两个不等式组，再由“2c 和1c +是否相等”找到c 的分界值求解不等式，结合条件“21x x c +->解集是R ”求解。