材料力学之扭转
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材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学-扭转
8
从圆轴中取一微小的正六面体（单元体）， 其对称两面上的剪应力构成一个力偶，因此 另两个对称面上也必存在转向相反的、由 剪应力构成的力偶。由此得出， 剪应力互等定理： 两个相互垂直的截面上，在其相交处的 剪应力成对存在，且其数值相等而符号相反， 指向或背离交线。 剪应力符号规定： 使单元体产生顺时针方向转动趋势时的剪应力为正 使单元体产生反时针方向转动趋势时的剪应力为负
§7-4 圆轴扭转时的强度计算
要使圆轴杆件扭转时不致产生破坏，应满足各横截面上的最 大剪应力小于材料的许用剪应力，而最大剪应力发生在扭矩最大 的横截面上的边缘处。设圆周半径为R，则圆轴扭转的强度条件 为：
τmax
T = R ≤ [τ ] Ip
Wp =
Ip R
把与截面尺寸和形状有关的参量归到一个参量，令 T 则有：
T ρ ρ 由此，圆轴扭转时横截面上半径为 处的剪应力为：τ ρ = Ip 4、极惯性矩 I 的计算 p πD 4
dϕ T = dX GI p
I p = ∫ ρ dA
2 A
直径为D的实心轴圆截面： I p = 空心轴圆环截面：I p =
π (D 4 − d 4 )
32
32
例：一轴AB传递的功率为Nk=7.5kw， 转速n=360r/min，轴的AC段为实心圆截面， CB段为空心圆截面，如图。已知D=3cm, d=2cm.试计算AC段横截面边缘处的剪应力 以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。计算扭矩、惯性矩、应力
Wp
≤ [τ ]
Wp
， 称为抗扭截面系数
Wp = 0.2D3
实心圆：
许用剪应力的确定：料 [τ ] = (0.5 ~ 0.6)[σ] 塑 材 ： 性 一般取 脆 材 ：τ ] = (0.8 ~1.0)[σ] 性 料 [
从圆轴中取一微小的正六面体（单元体）， 其对称两面上的剪应力构成一个力偶，因此 另两个对称面上也必存在转向相反的、由 剪应力构成的力偶。由此得出， 剪应力互等定理： 两个相互垂直的截面上，在其相交处的 剪应力成对存在，且其数值相等而符号相反， 指向或背离交线。 剪应力符号规定： 使单元体产生顺时针方向转动趋势时的剪应力为正 使单元体产生反时针方向转动趋势时的剪应力为负
§7-4 圆轴扭转时的强度计算
要使圆轴杆件扭转时不致产生破坏，应满足各横截面上的最 大剪应力小于材料的许用剪应力，而最大剪应力发生在扭矩最大 的横截面上的边缘处。设圆周半径为R，则圆轴扭转的强度条件 为：
τmax
T = R ≤ [τ ] Ip
Wp =
Ip R
把与截面尺寸和形状有关的参量归到一个参量，令 T 则有：
T ρ ρ 由此，圆轴扭转时横截面上半径为 处的剪应力为：τ ρ = Ip 4、极惯性矩 I 的计算 p πD 4
dϕ T = dX GI p
I p = ∫ ρ dA
2 A
直径为D的实心轴圆截面： I p = 空心轴圆环截面：I p =
π (D 4 − d 4 )
32
32
例：一轴AB传递的功率为Nk=7.5kw， 转速n=360r/min，轴的AC段为实心圆截面， CB段为空心圆截面，如图。已知D=3cm, d=2cm.试计算AC段横截面边缘处的剪应力 以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。计算扭矩、惯性矩、应力
Wp
≤ [τ ]
Wp
， 称为抗扭截面系数
Wp = 0.2D3
实心圆：
许用剪应力的确定：料 [τ ] = (0.5 ~ 0.6)[σ] 塑 材 ： 性 一般取 脆 材 ：τ ] = (0.8 ~1.0)[σ] 性 料 [
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第三章 扭转
B
W P t 1000P 60(N m)
外力偶矩Me一分钟做功：
W Me Me 2 n(N m)
令 W W
则：
Me
1000P 60
2 n
9549
P n
(N m)
注意：
主动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向一致
从动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向相反
二、扭矩与扭矩图 方法：截面法
Me
Mx 0 T1 M A 0
A
B
C
D
得： T1 M A 1.91kN m
MA 1 MB 2 MC 3 MD
2-2截面
M x 0 T2 M A MB 0
得： T2 M A MB 5.73kN m 3-3截面
A 1 B2 C
MA
T1
MA
M B T2
3D
M x 0 T3 M A MB MC 0
由扭矩图可知： T 5.73kN m
max
在BC和CD段
A
B
C
D
MA
MB
A
B
T / kN m
MC
MD
C
D
5.73
O
x
1.91
5.73
D
B
§3-3 薄壁圆筒的扭转 R0 10
一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形
D
δ
D / 20
实验情形
ab cd
① 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作相 对转动。
dx
将（a）式代入上式得：
G
G
d
dx
（b）
由（b）式可知，圆杆横截面上的切应力 和 成正比，即
切应力沿半径方向按线性规律变化，其方向垂直于半径。
W P t 1000P 60(N m)
外力偶矩Me一分钟做功：
W Me Me 2 n(N m)
令 W W
则：
Me
1000P 60
2 n
9549
P n
(N m)
注意：
主动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向一致
从动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向相反
二、扭矩与扭矩图 方法：截面法
Me
Mx 0 T1 M A 0
A
B
C
D
得： T1 M A 1.91kN m
MA 1 MB 2 MC 3 MD
2-2截面
M x 0 T2 M A MB 0
得： T2 M A MB 5.73kN m 3-3截面
A 1 B2 C
MA
T1
MA
M B T2
3D
M x 0 T3 M A MB MC 0
由扭矩图可知： T 5.73kN m
max
在BC和CD段
A
B
C
D
MA
MB
A
B
T / kN m
MC
MD
C
D
5.73
O
x
1.91
5.73
D
B
§3-3 薄壁圆筒的扭转 R0 10
一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形
D
δ
D / 20
实验情形
ab cd
① 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作相 对转动。
dx
将（a）式代入上式得：
G
G
d
dx
（b）
由（b）式可知，圆杆横截面上的切应力 和 成正比，即
切应力沿半径方向按线性规律变化，其方向垂直于半径。
材料力学 第4章_扭转
z
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
返回总目录
一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
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一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
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工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
材料力学4扭转
其中：It—相当极惯性矩。
目录
注意！ 对于W t 和 It ，多数教材与手册上有如下定义：
查表求 和 时一定要注意，表中 和 与那套公式对应。
h
³
b
h
t
1
T
t
max
注意！
b
目录
[例8] 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000N·m 的 作用 ，钢的G =80GPa ，[]=100M Pa，[]=1º/m ，试校核 此杆的强度和刚度。
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
解：①计算外力偶矩
目录
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
汽车传动轴
目录
工 程 实 例
汽车方向盘
目录
§3-1 扭转的概念和实例
1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大 小相等，方向相反的外力偶。 2．变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。 轴：以扭转为主要变形的构件称为轴 。
扭矩和扭矩图
3 扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
m
m
m
T
x
目录
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
目录
2. 物理关系：
虎克定律： 代入上式得：
3. 静力学关系：
O
dA
令
代入物理关系式 得：
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
目录
注意！ 对于W t 和 It ，多数教材与手册上有如下定义：
查表求 和 时一定要注意，表中 和 与那套公式对应。
h
³
b
h
t
1
T
t
max
注意！
b
目录
[例8] 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000N·m 的 作用 ，钢的G =80GPa ，[]=100M Pa，[]=1º/m ，试校核 此杆的强度和刚度。
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
解：①计算外力偶矩
目录
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
汽车传动轴
目录
工 程 实 例
汽车方向盘
目录
§3-1 扭转的概念和实例
1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大 小相等，方向相反的外力偶。 2．变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。 轴：以扭转为主要变形的构件称为轴 。
扭矩和扭矩图
3 扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
m
m
m
T
x
目录
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
目录
2. 物理关系：
虎克定律： 代入上式得：
3. 静力学关系：
O
dA
令
代入物理关系式 得：
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
材料力学 第三章 扭 转
T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m
Mx2 =0.32kN· m lAB=300mm G=80GPa d=50mm
B
T2
φAB
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
B
lAB
A
lAC
C
M x1l AB j AB = GI P 500 0.3 = 9 80 10 0.054 32
r O
Mx
几何分析
变 形 应变分布
物理关系
应力分布
平面假定 静力学方程
应力公式
1. 变形几何关系
周线
a b c d
T
周线
a c d
γ
T
φ
b
纵线
dx
纵线
dx
a
c
a
γ
c c' d d'
b
d
b
（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。 （2）所有的纵线都转过了同一角度g。
T
周线
A
dρ
ρ o
ρ2dA
∫ 0ρ2·2πρdρ =
π d = 32
4
d/2
d
3 Ip π d Wp = r = 16
2. 空心圆截面
π D 4 - π d 4 π D 4(1-α4) Ip= 32 32 = 32 α=d/D
ρ o
dρ
π D3 Wp = 16 (1-α4)
d D
3.薄壁圆环截面
I P = 2r0
故该轴满足切应力强度要求。
二、刚度计算 等直圆杆扭转的刚度条件为
θ max = Mxmax ≤[θ] GI
材料力学：第5章：扭转
d
dx d
在外表面上
d dx
d r dx
2. 物理关系 根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料 的剪切比例极限时
G
剪应力方向垂直于半径
d G dx
3.静力学关系
dA
dA T
A
o
dA
d G dx dA T A d 2 G dA T dx A
2
I p dA 极惯性矩
d T 则 dx G I p
A
令 I p dA
2 A
d G T T G G Ip Ip dx
d T dx G I p
W = m 2 n
(1) = (2) 得 N×1000× 60 = m 2 n
(2)
N m 9549 n
N ─ kW n ─ rpm m ─ N m N ─ PS n ─ rpm m ─ N m
N m 7024 n
§5-2 扭矩和扭矩图
Ip
极惯性矩：
32 4 4 4 (D d ) D 4 (1 ) 空心圆： I p 32 32 抗扭截面模量： 3 d 实心圆： Wt 16 3 D 4 (1 ) 空心圆： Wt 16
实心圆： I p
d
4
二、圆轴扭转时的变形
d T d x GI p T d dx GI p
d
T dx GI p l
Tl 若T const，则 GIp
Nl l EA
圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
强度条件：
刚度条件：
材料力学-第三章
21
第三章 扭转
3.5 圆轴扭转强度计算
22
扭转失效与扭转极限应力
扭转屈服应力：s 扭转强度极限：b 扭转强度极限：b 扭转屈服应力（s ）和扭转强度极限（b ），统 称为材料的扭转极限应力u。
23
圆轴扭转强度条件
材料的扭转许用应力为：
u
n
n为安全系数。
强度条件为：
max
（2) 若将轮1与轮2的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
（3) 若将轮1与轮3的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
33
提高圆轴扭转时强度和刚度的措施
• 提高轴的转速 • 合理布局主动轮和被动轮的位置 • 采用空心轴 • 选用优质材料，提高剪切模量
34
例3-8：图示圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向载荷F作用。 所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋升角α很小（例如小于5º ）的 弹簧。设弹簧的平均直径D，弹簧丝的直径d，试分析弹簧 丝横截面上的应力并建立相应的强度条件。
第三章 扭转
3.1 扭转的概念
1
扭转的概念
以横截面绕轴 线作相对旋转为 主要特征的变形 形式，称为扭转。
2
受力特点： 变形特点：
受到垂直于构件轴线的外力偶 矩的作用。
构件的轴线保持不变，各横截面绕 轴线相对转动 截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角
使杆发生扭转变形的外力偶，称为扭力偶，其矩 称为扭力偶矩。 凡是以扭转为主要变形的直杆，称为轴。
公式的适用条件：以平面假设为基础；适用胡克定律。
18
圆轴截面的极惯性矩和抗扭截面模量
IP
d4
32
WP
d3
16
19
空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
材料力学第四章 扭转
扭转轴的内力偶矩称为扭矩
3、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到
m
m
x
m
Mn
MX 0 Mnm0
Mn m
8
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
4 扭矩的符号规定—右手螺旋法则
mI
扭
矩
符 号 规
Mn I
离M开n截 面
定 ：
mI
I
m
Mn
I
I
m
Mn
Mn I
指向M 截n 面
I
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的
m
转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W W '
W 6 N 0 10 60 0 N 0 000
W m m 2 n 1 2 nm
m955N0 Nm 单位
n
7
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
2、扭矩的概念
扭转变形的杆往往称之为扭转轴
Mn
Mn
(r )
A
B
(r )
C
C
D d
D
b
x
d
d
d
dx
d
dx
dx
d
称为单位长度相对扭转角
dx
对于同一截面，
d 常量 dx
上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该点至截 面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴扭转时的变形协调方程。
32
§3-4 等值圆杆扭转时的应力强度条件
dAsin
d d A cA s o i s d n sA i c n o 0
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Pk
2013-3-26
Pk
8
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图
T = Me
2013-3-26
9
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
T = Me
2013-3-26
10
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
2013-3-26
11
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
2013-3-26
12
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
0.25 0.50 / m
许用单位扭转角
精密机械传动轴
0.5 1 / m 精度要求不高的轴 1 2.5 / m
一般传动轴
2013-3-26 45
五、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 扭转强度条件
Ip
D4
32
1
4
扭转刚度条件
2013-3-26
max
max
许用单位扭转角
43
T 180 GI p
五、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算
1. 等截面圆轴： 2. 阶梯形圆轴：
max
Tmax 180 GI p
确定实心轴与空心轴的重量之比 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为 横截面面积之比：
A1 d 1 45 10 2 ＝ .28 1 2 3 2 A2 D2 1 46 10 1 0.5
2 1 3 2
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34
三、圆轴扭转时截面上的应力计算
2 sin cos sin 2
45 45
31
45
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三、圆轴扭转时截面上的应力计算
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最 大切应力不得超过40MPa,空心圆轴 的内外直径之比 = 0.5。二轴长 度相同。
2013-3-26
M x 3 16 185.7 max C Pa 21.98MPa 3 -9 WP3 π 35 10
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三、圆轴扭转时截面上的应力计算
图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶 矩T = 3kN· m。试求： 1．轴横截面上的最大切应力； 2．轴横截面上半径r=15mm以内部分承受的 扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 3．去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最 大切应力增加的百分比。
max2
Mx 16M x 40MPa 3 4 WP 2 πD2 1
16 716.2 D2 3 0.046m=46mm 4 6 π 1- 40 10
d2＝0.5D2=23 mm
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三、圆轴扭转时截面上的应力计算
实心轴 d1=45 mm 空心轴 D2＝46 mm d2＝23 mm
已知：P1＝14kW, n1= n2= 120r/min,z1=36,z3=12;d1 =70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. 求:各轴横截面上的最大 切应力。
3
解：1、计算各轴的功率与转速
2、计算各轴的扭矩 P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW M1=T1=1114 N.m n1=n2= 120r/min M2=T2=557 N.m z1 36 n3＝n1 ＝120 r/min ＝360r/min M3=T3=185.7 N.m z3 12
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标题
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一、概述
一、概 述
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汽车传动轴
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一、概述
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汽车方向盘
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一、概述
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丝锥攻丝
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一、概述
扭转变形是在杆件的两端作用大小相等,方向 相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶,使杆件的 任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面 大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。
max
T 180 GI p max
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五、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算
扭转许用切应力
对于钢材 对于铸铁
0.5 0.7 0.8 1
2．如果中心 r = 15mm以 内部分所用的是另一种材料， 这时，横截面上的最大切应力 将发生在哪里？计算这时的最 大切应力，还需要什么条件？
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四、圆轴扭转时的变形计算
相对扭转角
n
抗扭刚度
Ti li i 1 GI Pi
对于阶梯轴或有锥度的变截面轴？ 2013-3-26
3）. 静力关系 由 得
Ip－截面二次极矩(极惯性矩)
代入
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得到
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三、圆轴扭转时截面上的应力计算
最大切应力计算
令
抗扭截面系数
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26
三、圆轴扭转时截面上的应力计算
2. Ip 与 Wp 的计算
实心轴
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27
三、圆轴扭转时截面上的应力计算
空心轴
令
则
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max
T Wp
•已知T 、D 和[τ]，校核强度 •已知T 和[τ]，
4
设计截面
Wp
D3
16
1
•已知D 和[τ]，确定许可载荷
扭转刚度条件
max T 180 GI p
•已知T 、D 和[φ/]，校核刚度 •已知T 和[φ/]，设计截面 •已知D 和[φ/]，确定许可载荷
1 4 ( ) 4 1 2 6.67% 4 1 4 15 1 1 ( ) 2
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2 max 1max 1max
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三、圆轴扭转时截面上的应力计算
思考问题
1．去掉 r = 15mm以内部 分，所用材料将会减少多少？
G1
G2
G1> G2
2013-3-26
16 716.2 d1 0.045m=45mm 6 π 40 10
3
32
三、圆轴扭转时截面上的应力计算
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大 切应力不得超过40MPa,空心圆轴的 内外直径之比 = 0.5。二轴长度 相同。 求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。 空心轴
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三、圆轴扭转时截面上的应力计算
例题2
3
3、计算各轴的横截面上的 最大切应力
M x1 16 1114 max E Pa 16.54MPa 3 -9 WP1 π 70 10 M x 2 16 557 max H Pa 22.69MPa 3 -9 WP 2 π 50 10
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6
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
直接计算
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二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
7
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－Pk 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W Pk 1000( N.m)
n W M e 2 60
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三、圆轴扭转时截面上的应力计算
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比ຫໍສະໝຸດ 2013-3-2629
三、圆轴扭转时截面上的应力计算
3. 斜截面上的应力
n dA dA cos sin dA sin cos 0
dA dA sin sin dA cos cos
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二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
2013-3-26
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二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
2013-3-26
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三、圆轴扭转时截面上的应力计算
1. 圆轴横截面上的应力
变形几何关系
物 理 关 系
研究 应变规律 找出 应力分布规律 求出 应力计算公式
静力平衡关系
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三、圆轴扭转时截面上的应力计算
解：1．轴横截面上的最大切应力
1max
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T WP
T 3 103 16 70.7MPa 3 3 πD π 0.06 16
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三、圆轴扭转时截面上的应力计算
2．半径r=15mm以内部分承受的扭矩 所占全部横截面上扭矩的百分比；
Tr dA 0
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三、圆轴扭转时截面上的应力计算
截 取 微 段 研 究 变 形
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三、圆轴扭转时截面上的应力计算
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三、圆轴扭转时截面上的应力计算
2）. 物理关系
剪切胡克定律
距离圆心ρ处 代入变形几何关系 得到：
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三、圆轴扭转时截面上的应力计算
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
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二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
扭矩图
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二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
解: (1)计算外力偶矩 由公式
Pk/n
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