轻质细杆和小球组成系统的角动量与能量守恒问题研究_陈建
3.3角动量 角动量守恒定律
A
B
例3 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平 位置时, 有一只小虫以速率v0 垂直落在距点O为 l/4 处, 并 背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为 m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率 向细杆端点爬行? 解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞 前后系统角动量守恒
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
有许多现象都可以 用角动量守恒来说明.
花样滑冰 跳水运动员跳水
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律
能量守恒定律
电荷守恒定律
质量守恒定律
角动量守恒定律
宇称守恒定律等
角动量守恒定律在技术中的应用
惯性导航仪（陀螺）
被中香炉
例2 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别 为：wA=50rad.s-1, wB=200rad.s-1。已知A 圆盘半径 RA=0.2m, 质量mA=2kg, B 圆盘的半径RB=0.1m, 质量 mB=4kg. 试求两圆盘对心衔接后的角速度w .
考虑到
7lg 12v0 dr g cost cos( t) dt 2 24v0 7l
t
例4 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下 落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N 弹了起来.设 跷板是匀质的,长度为l,质量为 m' ,跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷 板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多 高? 解 碰撞前 M 落在 A点的速度 M 12
得
LdL m gR cos d
2 3
由题设条件积分上式
轻质细杆和小球组成系统的角动量与能量守恒问题研究
创新教育科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald136守恒是物理学中一种常用且重要的思想，即在物理变化的过程中通过寻找整个过程或者过程前后不变的关系对各个变化量进行分析[1]。
但是该研究者在教学过程中发现，一些常见习题的设计在科学性上存在问题，这势必给学生的学习造成困惑。
如图1所示，静止在水平光滑桌面上长为L 的轻质细杆（质量忽略不计）两端分别固定质量为m 和2m 的小球。
系统可绕距离质量为2m 的小球/3L 处的O 点在水平桌面上转动。
今有一质量为m 的小球以水平速度0υ 沿细杆垂直方向，与质量为m 的小球作对心碰撞，碰后以0/2υ 的速度返回，求碰后细杆获得的角速度ω。
此题的一般解法是：将三个小球抽象为质点，并取三个小球和轻质细杆作为研究对象,O 点为参考点。
由于各质点所受的重力和桌面对它们的支持力大小相等、方向相反且作用在同一条直线上，所以这些力对O 点的力矩的矢量和为零。
同时,O 点对轻质细杆的作用力对O 点的力矩为零。
因此，系统对O 点所受的合外力矩为零，相应的，系统对O 点的角动量守恒，取垂直于纸面向外为正方向，即00222112()2()3333323=+-m L m L L m L L m L υυωω，（1）解之得032=Lυω 。
但是，该研究者在教学的过程中发现，有不少同学笼统地认为轻质细杆与三个小球组成的系统碰撞前后在水平方向动量守恒，于是得到了0302=m υ 的矛盾结果，究其原因可知此种方法忽略了碰撞瞬间支点O 处对棒的水平冲击力[2-3]。
基于对该问题的求解，我们进一步考虑碰撞前后系统的能量。
取水平桌面为重力势能零点，碰撞前系统总的能量为小球1的动能2012E m υ=，碰撞后系统总的能量为三个小球的动能22201121(()2(222323L L E m m m υωω'=++ 。
整理发现E E ′>，即碰撞后系统的能量大于碰撞前。
角动量守恒定律_概述及解释说明
角动量守恒定律概述及解释说明1. 引言1.1 概述角动量守恒定律是物理学中一个重要的基本原理，它描述了在不受外力或转矩作用下，系统的总角动量将保持不变。
这一定律有着广泛的应用，在自然界和工程领域中都扮演着至关重要的角色。
1.2 文章结构本文将首先介绍角动量守恒定律的基本概念，包括角动量的定义和性质，以及角动量守恒的原理和在自然界中的应用。
接着我们会详细解释数学原理，包括刚体系统和非刚体系统中角动量守恒的推导过程，并探讨转矩与角动量之间的关系。
然后，我们将通过经典实例分析实验来验证角动量守恒定律，并探讨其应用和验证方法。
最后，我们会对角动量守恒定律的重要性进行总结，并回顾其在物理领域中的广泛应用，并展望未来研究方向。
1.3 目的本文旨在全面介绍角动量守恒定律，并深入探讨其数学原理、实验验证以及在实际应用中的案例。
通过对角动量守恒定律的深入理解，能够帮助读者更好地理解物理学中的基本原理，同时也有助于激发读者对未来研究方向的思考。
2. 角动量守恒定律的基本概念2.1 角动量的定义和性质角动量是刻画旋转运动的物理量，它与物体的质量、速度以及距离有关。
角动量的定义为一个物体在给定参考点周围旋转时所具有的动力学特性。
其数学表达式为L = r x p，其中L表示角动量，r表示从参考点到物体质心位置矢量，p表示物体的线性动量。
根据右手法则，可以确定角动量的方向与线性动量和半径之间的关系。
角动量具有以下几个重要性质：1) 角动量是矢量，在运算中需要考虑其方向；2) 角动量大小与速度、质量及距离之间的积相关；3) 在封闭系统中，总角动量守恒。
2.2 角动量守恒的原理角动量守恒指在一个封闭系统中，如果没有外力或外力矩作用于该系统，则系统总角动量将保持不变。
这意味着在不受外界干扰的情况下，系统内各个部分相对于共同参考点的角动量之和保持不变。
这一原理可以通过牛顿第二定律和牛顿第三定律的推导来解释。
根据牛顿第二定律，一个物体的角动量变化率等于作用在该物体上的转矩。
角动量守恒原理实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 验证角动量守恒定律。
2. 理解转动惯量与角速度的关系。
3. 掌握实验操作技能，提高实验数据分析能力。
二、实验原理角动量守恒定律是指在一个封闭系统中，如果没有外力矩作用，系统的总角动量保持不变。
即 \( \frac{dL}{dt} = 0 \)，其中 \( L \) 为系统的总角动量。
实验中，通过改变转动惯量 \( I \) 和角速度 \( \omega \)，观察系统的角动量是否守恒。
三、实验器材1. 茹科夫斯基凳2. 哑铃3. 秒表4. 卷尺5. 记录本四、实验步骤1. 将茹科夫斯基凳放置在平稳的桌面上。
2. 演示者A坐在凳子上，双手各拿一个哑铃，保持哑铃紧靠胸前。
3. 演示者B旋转茹科夫斯基凳，同时记录凳子的转速 \( \omega_1 \)。
4. 演示者A将双臂展开，使哑铃侧平举。
5. 再次旋转茹科夫斯基凳，记录凳子的转速 \( \omega_2 \)。
6. 重复步骤4和5，记录多次转速数据。
7. 改变哑铃重量，重复实验，记录转速数据。
1. 当演示者A将哑铃放于胸前时，凳子旋转速度较快。
2. 当演示者A张开双臂后，凳子转速明显减慢。
3. 随着哑铃重量的增加，凳子的转速逐渐增加。
六、数据分析1. 计算凳子的转动惯量 \( I \)：\( I = m \cdot r^2 \)，其中 \( m \) 为哑铃重量，\( r \) 为哑铃到转轴的距离。
2. 计算凳子的角速度 \( \omega \)：\( \omega = \frac{v}{r} \)，其中 \( v \) 为凳子的线速度，\( r \) 为凳子半径。
3. 分析转速 \( \omega_1 \) 和 \( \omega_2 \) 的关系，验证角动量守恒定律。
七、实验结果1. 在哑铃紧靠胸前时，凳子的转动惯量 \( I_1 \) 较小，转速 \( \omega_1 \) 较快。
2. 在哑铃侧平举时，凳子的转动惯量 \( I_2 \) 较大，转速 \( \omega_2 \) 较慢。
大学物理 第五讲 角动量 角动量守恒(一)
rc
mi ri
i
m
mi vi
i
vc
m
L rC mvC rC mvc
质心相对于O点的角动量 即 rC p LC
0 （ vC ）
质心系是零动量系
0
mrc vC mi ri v i
m
r1
O
M
解： 原来处于平衡状态，M 受的合外力为零。即绳中张力 T Mg ， T 也等于 m做圆周运动的向心力。当把 M 抬高1cm 时， m 的圆周运动半径增大了1cm，原来的 平衡被破坏。但由于外力矩为零，所以 m 圆周运动对 于圆心 O 点的角动量守恒，由此可核算新的状态下向 心力的大小，便可确定 M是否平衡或运动。
m1 g
m1
v1 r1 r ∥
r ∥
r2
v2
m2
N R
0
R 0
R 0
L1 r1 P1 m1r1 v1 m1 ( R r11 ) v1 m1 R v1 （指向纸内） L m Rv 1 1 1 L2 r2 P2 m 2 r2 v 2 m 2 ( R r11 ) v 2 m 2 R v 2 （指向纸外） L2 m2 Rv 2
L
v
所以地球人造卫星 在近地点速度大， 在远地点速度小。 1970年 ，我国发射 了第一颗地球人造 卫星。
L
r1 r2
F
v1
r
m
v2
近地点高度为 266 km, 速度为 8.13 km/s; 远地点高度为 1826 km, 速度为 6.56 km/s; 计算出椭圆的面积,根据“扫面速度”, 就可以得到绕行周期为 106分钟。（课下算一下）
角动量及其守恒
角动量及其守恒1、力矩表述由点到力的作用点的矢径r与力f的矢量积称为力f对点o的力矩，即m?r?f注释:⑴力矩就是叙述物体间相互作用的物理量．力矩不仅与力的大小有关，而且与力的方向及作用点的相对边线有关，相同的力，若作用点相同，产生的力矩也相同，所以，提及力矩时，必须阐明就是相对哪个点而言的．⑵力矩是矢量，其大小为，式中，?为r与力f方向m?frsin??fdmosdrmf间（小于180o）的夹角，d到点o力矢量的延长线的距离,称为力臂,似乎，若力的促进作用线通过参考点，力臂为零，则力矩为零．⑶力矩的方向由右手旋法则确定，即将右手的四个手指由矢量r沿小于180图1.2.1o转往力f的方向，此时张开的指向，即为就是力矩的方向，例如图1.2.1右图，力矩m旋转轴r和f形成的平面。
2、冲量矩和角动量（动量矩）冲量矩力对某定点的力矩m与力矩促进作用的微小时间间隔dt的乘积，称作力矩m 在时间dt内的冲量矩，而在t1至t2的一段时间内的冲量矩就是?t2mdt．t1角动量质点对某点的位矢r与质点在适当边线的动量mv的矢量积，称为质点对该定点的动量矩，即：l?r?p注解zv⑴冲量矩是矢量，反映的是力对绕定点转动的时间积累作用，是一个和过程有关的量．so平面，由右手法则确认，如图所示。
⑶角动量是描述质点绕定点的运动，是状态量．提到动量矩，应指出是相对哪个定点而言的．⑷动量和角动量概念的对照．动量和角动量都就是矢量，又都是质点运动状态的函数，但二者又有区别：从定义看，前者只是速度的函数，而后者除了与运动速度有关以外，还与质点对给定点的矢径有关．以匀速圆周运动为例，运动过程中动量不守恒，而对圆心的角动量却是守恒的．mr??rmvsin⑵角动量就是矢量，其大小为l，式中?为r和mv方向间(小于180?o)的夹角，其方向垂直于由r和mv构成的13、角动量定理定义质点所受合外力对某定点的冲量矩等同于质点对该定点的角动量的增量，即为t2t1it2t1?mdt?l1?l2对于质点系，角动量定理定义为系统所受到外力再分冲量矩等同于系统总动量矩的增量，即为mi外dt??li??li0ii注解⑴此定理只适用于惯性系．⑵系统的动量矩的发生改变仅依赖于外力的冲量矩，与内力矩毫无关系．⑶各外力的作用点一般不在同一点上，在求合外力矩m时应先算出每一个外力的力矩，Ploudalm各力矩的矢量和．基准f2=-f0如，两个质量相同的小球用一（质量可以忽略的）轻杆二者m1连，拖中心点o在水平面内旋转，如图所示，当分别促进作用fi于两球上大小相等，方向相反的外力时，对于两球系统有fi外?0，而对中心点0的?mi外?0．ii⑷定理中每个外力的力矩和每个质点的角动量都应是相对同一定点而言的．⑸对于微小的时间过程，动量矩定理可以写成微分形式，即dlm合?dt式中，m合??(ri?fi外)为各外力对某定点的力矩的矢量和，称为合外力矩，l??(r?mivi)为系统内各质点对该定点的角动量的矢量和，称为系统对该定点的总角ii动量，微分形式的角动量定理可以定义为：系统难以承受的合外力矩等同于系统总角动量的变化率．4、角动量守恒定律定义若对某定点合外力矩为零，则系统对该定点角动量动量，即为若m合?0,则l??(ri?pi)?ci注解：⑴角动量守恒定律既适用于单个质点，又适用于质点系．对于单个质点，守恒定律可简化为：对于某个定点o，若质点所受的合外力矩为零，则质点对点o的角动量守恒．⑵守恒条件为对某定点的合外力矩为零．应理解力矩为零既可能是由于力为零，也可能是由于力臂为零，即力的作用线过定点．在有心力作用下的质点（如电子绕核运动时）角动量守恒．⑶一旦满足用户角动量动量条件，则存有角动量动量的结论，例如匀速直线运动的质点，由于难以承受的合外力为零，从而引致合外力矩为零，对线外点o的动量矩一定动量，即为l?r?mv?mvd；而匀速圆周运动的质点受到的合外力指出圆心，故对其圆心点来说，合外力矩为零，动量矩必然动量，对其他点来说，向心力的力矩不是零，则动量矩不动量．5、角动量定理在刚体动力学中的直观应用领域25.1刚体的动能刚体是多质点系统，它的动能等于各质点动能之和，即1ek??mivi2i2?有：根据柯尼希定理ek?ekc?ekek?11122mvc?ic?2（其中ekc?(?mi)vc为质心动能，22i2??ek111222??mv?(mr)??ic?2，ic为相对于质心的转动惯量）??iiii2i2i2转动惯量：i??mri2ii5.2刚体运动的叙述35.3刚体定轴转动动力学（1）旋转方程dlz绕z轴转动的定轴转动方程：mz?dtl??mirivi??miri2??i?mdldiidtdt12i2（2）旋转动能：ek转回??外dl?（3）质心系中的角动量定理：m??，这就是由于质心系中惯性力的力矩为0.dt例1：（1）试证明开普勒第二定律。
大学物理力学：4 角动量、角动量定理和角动量守恒定律
mgR cos mR 2d LdL
由题设条件，t =0时，θ0 =0，L0=0.故上式的积分为
L
LdL
m2 gR3 cos d
0
0
L mR 3/ 2 (2g sin )1/ 2
L mR 2
( 2 g sin )1/ 2
R
由题B点，θ =900
( 2 g )1/ 2
R
11
6
例3.19“‘根据玻尔假设，氢原子内电子绕核运动的角 动量只可能是h/2的整数倍，其中h是普朗克常数， 大小为6.631034 kg•m2/s，已知电子圆形轨道的半 径为 r =0.52910-10m
求：在此轨道上运动电子的速率？
解：由于是最小半径，所以有
v h
2mr
L mrv h
2
2
6.63 1034 9.11031 0.5291010
4.1 质点的角动量和角动量定理
一 、质点的角动量
m
r
v
P
L
L r P r mv
L
o
r
m
Pθ
大小：L＝r m Vsin
方向：右手螺旋定则判定
单位：kgm2/s
量纲：ML2T-1
例如作圆周运动的质点的角
L
P
L
r
o
P
动量L＝mrV ，其方向垂
直于轨道平面。要标明对哪
or
点的动量矩。
解 小球受正压力和重力的作用。
其中正压力指向环心O，对于O的 力矩为零，故小球所受的力矩仅为
重力矩，其大小为 M mgR cos
角动量定理 mgR cos dt dL
R
O N B
mg
角动量定理 角动量守恒定律 功能原理 动能定理 机械能守恒定律
c
P Mv =v r c
F Ma =r r 外
o p
1
2
1
2v r r v =
Ł£7»=p
“开普勒定律”，也叫“行星运动定律”，是行星
在宇宙空间绕太阳公转所遵循的定律。
开普勒在1609年发表了关于行星运动的两条定律：
开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律（面积定律）：对于任何一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的面积。
1619年，开普勒又发现了第三条定律：
开普勒第三定律（周期定律）：所有的行星的轨道的
半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。
??o p B a
∫∫=⋅=tdx
r d F A 12v
v
m
v 0
m。
一个系统的角动量守恒
第四章习题一，判断题1，一个系统的角动量守恒，其动量不一定守恒。
（∠）2，一个系统的动量守恒，其角动量不一定守恒。
（∠）3，质点的动量改变量相同时，则质点所受的平均冲力相同。
（×）4，质点的动量改变量相同时，则质点所受的作用力的冲量相同。
（∠）5，内力对质点系的动量改变不起作用，但对质点系的角动量改变产生影响。
（×）6，内力不影响质点组的动量和动量矩。
（∠）7，物体作匀速圆周运动，当物体运动一周时，则作用在匀速圆周运动物体上的合力的冲量为零。
（∠）8，作匀速圆周运动的质点，其速率和质量都不会改变，则该质点的动量守恒。
（×）9，质点的角动量为零时，则动量必为零。
（×）10，质点所受合外力不为零，其外力矩必不为零。
（×）二，填空题1，如图，小球的质量为m，被不可伸长的轻绳连着，绳的另一端固定在A点，小球由B点从静止开始下落到铅直位置C时，小球对A点的角动量大小为（m gll2），其方向（向里），该时刻小球的动量大小为（m gl2），动量的方向（向左）。
2，汽车制动时所受地面的制动力为车重的0.2倍，若车速为9.8 m .s-1时开始制动，则经（5s ）时间车停下来。
3， 两个质量相同的小球发生正碰，第一个小球碰撞前静止，第二个小球在碰撞前的速度为0v，碰撞后两个小球不在分开，它们的共同速度为（021v）。
如图，两个小球在碰撞前后对原点的角动量（均为零 ）4， 如图为一单摆，作用在小球上的绳的拉力和重力对o 点的力矩大小分别为（ 0 ）和 （θsin mgl ），当小球达到铅直位置时，其速度为v ，相对o 点的位失为r，则小球对o 点的角动量是（v m r⨯）。
5，地球绕太阳运行时，地球对太阳的角动量（ 守恒 ），但地球的动量（不守恒）。
三， 计算题1， 一个密度均匀的工件毛坯，有两个圆柱体衔接而成，各部尺寸见图示，求这个工件毛坯的质心。
解，要点：l 1034/d l d 2/l 4/d 2/l l d x 2222c -=ρπ+ρπ⋅ρπ+⋅ρπ-=在衔接处左3/10ι。
角动量定理与角动量守恒定律满足力学相对性原理
5、角动量定理与角动量守恒定律满足力学相对性原理李学生（山东大学物理学院，山东济南250100）摘要：首先利用矢量法分析了角动量定理具有伽利略变换的不变性，并以匀速圆周运动为例验证了这个问题，然后分析了经典的角动量守恒定律不具有伽利略变换的不变性，最后重新表述了角动量守恒定律，使其满足力学相对性原理．关键词：矢量法；角动量守恒定律；角动量定理；力学相对性原理一、角动量定理具有伽利略变换的不变性（满足力学相对性原理）角动量对不同的参照系具有不同的值，所以角动量对伽利略变换不具有对称性；但角动量定理对不同的惯性系具有相同的形式，所以角动量定理对伽利略变换具有对称性，为此首先用矢量法给出一般证明--------------牛顿第二定律的最初形式为F=m dv/dt=d P/dt --------------------- (1) 用质点在0-xyz坐标系的坐标矢量r从左边叉乘式（1）的两边就有r×F= r×d P/dt，所以r×d P/dt= d(r×P)/ dt= d L/dt，其中M= r×F,L= r×P.上式变为M= d L/dt (2)由于(1)满足力学相对性原理，我们有F= d P′/dt （3）用质点在0′-x′y′z′坐标系的坐标矢量r′从左边叉乘式（3）的两边就有r′×F= r′×d P′/dt，所以r′×d P′/dt= d(r′×P′)/ dt= d L′/dt，上式变为M′= d L′/dt，（4）其中M′= r′×F,L′= r′×P′.（2）和（4）式对比，证明质点角动量定理满足力学相对性原理.文献[1]也给出了证明.下面用实例验证角动量定理服从力学相对性原理例1：弹簧振子、自由落体和斜面上自由下滑的滑块对于弹簧振子，角动量守恒：x1=x-u t，v1=v-u，a1=a+0=a，m a1=m a，f1=f．M=x×f =(x⋅f sin π)e=0，所以0=M =x ×f =t d d l =tm d )(d v ⨯x ， 所以在地面上观察，角动量l =x ×m v 守恒，角动量定理成立.据伽利略变换知：M 1= x 1×f 1=(x -u t )×f = x ×f -u t ×f =0-[ut ⋅f sin (n π)]e u =0-0=0 (其中n =0，1)，所以在小车上观察，角动量l 1=x 1×m v 1守恒，质点所受的合力矩为0，角动量定理成立，角动量定理满足伽利略变换.类似分析自由落体运动和从斜面自由下滑的滑块，由于位移和合外力共线，质点所受的合力矩为0，角动量守恒，角动量定理成立，角动量定理满足伽利略变换.例2：匀速圆周运动如下图，有一质量为m 的小球（视为质点），在轻绳的牵制下，在光滑的地面上绕O 点做匀速（速率为v问：小球在地面系和沿x 轴匀速运动的小车（设小车的速度为u ）坐标系(O 1-x 1y 1),角动量定理是否都成立？解析：地球质量视为充分大，故稳定地保持为惯性系.1、在地面系——设初相为0，v=ωR,x=Rcos ωty= R sin ωtx ′=-R ωsin ωty ′= R ωcos ωtf=m x′′= -mRω2cosωtf y=m y′′= -mRω2sinωt=⨯=0，质点对圆心的角动量大小为mR2ω，方向不变，角动量定理成立.L R f2、小车系将运动方程作伽利略变换，写出小车系运动方程：=x-ut=Rcosωt-utxy1= y=R sinωt= x′-u=-Rωsinωt-ux′y′1= y′= Rωcosωtp=m v=(-mRωsinωt-mu, mRωcosωt,0)r=( Rcosωt-ut, R sinωt,0)f=m x′′= -mRω2cosωtf y=m y′′= -mRω2sinωtL1=r1⨯p1=(0,0, mR2ω+umR sinωt-utmRωcosωt)L1′=(0,0, utmRω2sinωt)M1= r1⨯f=(0,0, utmRω2sinωt)角动量定理成立，角动量定理满足伽利略变换.二、经典的角动量守恒定律不满足力学相对性原理角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一，是反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律.尽管角动量守恒定律可以从牛顿定律中推导出来，但是它不受牛顿定律适用范围的限制，不论是研究物体的低速运动还是高速运动，不论是宏观领域的物理现象还是微观领域的物理过程，角动量守恒定律已被大量实验证明是正确的，无一相悖.角动量守恒定律是自然界普遍存在的基本定律之一，角动量守恒的实质上对应着空间旋转不变性(体系整体绕任意轴n旋转δφ时，体系的哈密顿算符不变).当体系处于中心对称场或无外场时，体系具有空间旋转不变性. 例如当考虑到太阳系中的行星受到太阳的万有引力这一有心力时，由于万有引力对太阳这个参考点力矩为零，所以它们以太阳为参考点的角动量守恒，这也说明了行星绕太阳公转单位时间内与太阳连线扫过的面积大小总是恒定值的原因.角动量守恒定律的发现无疑是人类历史上的一个伟大的发现，它在运动学中占据了重要的地位，有其广泛的应用价值.它推动着人类航天事业的发展，为航天科技提供了坚实的理论基础，无论是在卫星通讯、导航工程，还是在对月球、火星的探索，乃至于整个宇宙，它都是被人类所追捧的，青睐的，信赖的.它在惯性导航、航天器的姿态控制方面展示了有唯独特的魅力，显示了科学的神奇和奥妙.随着人类航天事业的发展，它会更为广泛的应用，它定会在那深邃、渺茫、神奇的太空中为人类指导航向.根据上面的计算可以得出，角动量不具有伽利略变换的不变性，合力矩也不具有伽利略变换的不变性，经典的角动量守恒定律也不具有伽利略变换的不变性，即不满足力学相对性原理（或者说不具有单独的协变性），文献[1]和[2]以椭圆运动为例也说明了这个问题.在同一个坐标系中，质点即使受到有心力的作用，对某个作用点角动量守恒，对另一个作用点也可能不守恒，因为此时合力矩不在为0.如果角动量守恒定律不满足伽利略变换或者说不具有单独的协变性，就应当从牛顿力学中独立出来，这样经典力学便由牛顿力学与角动量守恒定律共同组成，体系就比较复杂了.科学中的疑难问题，是科学迄今尚未征服的领域.对于疑难问题的探索求解，从来都是科学研究中最活跃、最富生命力的部分，是科学活动的本性所在.科学中的疑难直接相关于科学理论本身的结构及其实际的发展水平.当科学信念与科学事实发生冲突时，就出现科学中的疑难.这不一定只限于理论的推论与实验事实直接矛盾这一种情况.当一个深信其成立的命题还未得到理论的严格证明时，它也会成为人们为之困惑的疑难问题.科学中的各种疑难是具有不同的价值的.就是说，有的疑难问题的探索求解对于一个学科的发展至关重要，有的则不那么重要.然而，辨认出一个学科中的关键疑难并非易事.在许多科学家看来，科学难题正是科学进步的阶梯.三、对于角动量守恒定律表述的重新思考不具有单独协变性的命题不能称之为力学定律，作为力学定律必须具有普遍性，不能等同于一般的真命题，对于某一个确定的物理过程，在一个惯性系成立，在另一个惯性系也必须成立（在这里所说的成立不仅包括命题的条件成立，结论也必须成立）.显然经典的角动量守恒定律不能满足这个要求，而且在很多情况下质点受到的合力矩不等于0，因此有必要重新表述角动量守恒定律，使其满足上述要求. [4]把角动量定理的两边同时积分可以得到角动量定理的积分形式——质点对于某一点（或某轴）的角动量与该点受到的合力矩对于时间的积分之差不变.即L(t)-0tdt t M ⎰= L(t 0)该命题与角动量定理的微分形式是等价命题，显然具有伽利略变换的不变性，满足力学相对性原理，也具有单独的协变性.由于非保守力力矩的方向始终与角动量的方向相反，因此非保守力矩只能减少质点的角动量的大小，不能改变角动量的方向，例如地球围绕太阳公转，以太阳为参考点，地球看做质点的话，受到的合力矩为0，可是事实上地球并不是质点，其内部存在着非保守力，因此地球的公转的角动量应该稍微减少，不过日—地轨道角动量是十分巨大的，相比之下地球的自转角动量十分渺小，不容易观察而已.保守力力矩可以与角动量的方向相同，也可能相反，因此保守力力矩既能质点的角动量的大小，也能改变角动量的方向，下面类比于机械能中势能的概念我们引入定义：质点对于某一点（或某轴）受到的保守力的合力矩对于时间积分的相反数称之为角动量势.角动量势记为N(t)= - 0tdt t M ⎰.角动量守恒定律——如果质点受到非保守力的合力矩为0，质点对于某一点（或某轴）的角动量与角动量势可以相互转化，但是它们之和不变，并且对于不同的惯性系该守恒量相等. L(t)+ N(t)= L(t 0). 朗道的力学中说：“如果系统整体相对参考系K ′静止，则V 是系统质心的速度，而μV 是系统相对于参考系K 的总动量P ，进而有M=M+R ×P.就是说，力学系统的角动量是由其相对静止的参考系中的“内禀角动量”和整体运动的角动量R ×P 构成.在上面的命题中，当保守力的合力矩也等于0时，便是经典的角动量守恒定律，符合玻尔的对应原理，即经典的角动量守恒定律是上述命题的一个特例，当然也是角动量定理的一个特例.在单摆问题可以从机械能的角度分析,也可以从角动量的角度分析,摆锤相对于悬挂点的角动量在不断地变化,合力矩在不断的变化，从而角动量势也在不断的变化，可是其和不断，因此只要不存在非保守力，将一直运动下去.在地球绕日运动的椭圆轨道中，以太阳为参照系角动量守恒，以相对于太阳匀速运动的参照系看来角动量不守恒，但是如果把地球看做质点，只受到保守力作用，因此角动量与角动量势之和守恒. 容易验证在上面的匀速圆周运动中，考察上述的命题显然满足伽利略变换的不变性.角动量守恒定律与重力机械能守恒定律之间的类比——角动量类似于动能，角动量势类似于重力势能，动能和重力势能可以变化，但是机械能不变，角动量和角动量势可以变化，但是它们的和不变.对于不同的惯性系，质点的动能和重力势能可以不同，但是重力机械能不变[3]，同理对于不同的惯性系，角动量与角动量势可以变化，但是它们之和不变.区别：对于不同的惯性系，重力机械能的守恒量不相同，但是角动量与角动量势之和的守恒量不变，因为它描述的是质点的旋转特性,对于不同的惯性系，旋转特性相同.该旋转量对于不同的惯性系都成立，所以在狭义相对论框架内角动量守恒定律也是成立的.在一个物理过程中只要非保守力的力矩为0，在同一个坐标系中只要对于一个参考点旋转量守恒，那么对于该坐标系中所有的参考点旋转量都守恒，在其它惯性系中的所有的参考点旋转量都守恒.在物理学中，发现任何一个能概括许多现象的守恒量都是令人欣喜的事.动量守恒定律和能量守恒定律以及角动量守恒定律一起成为现代物理学中的三大基本守恒定律.最初它们是牛顿定律的推论，但后来发现它们的适用范围远远广于牛顿定律，是比牛顿定律更基础的物理规律，是时空性质的反映.其中，动量守恒定律由空间平移不变性推出，能量守恒定律由时间平移不变性推出，而角动量守恒定律则由空间的旋转对称性推出；相互间有作用力的物体系称为系统，系统内的物体可以是两个、三个或者更多，解决实际问题时要根据需要和求解问题的方便程度，合理地选择系统.参考文献：[1] 高炳坤.用伽利略变换审视牛顿力学.《大学物理》.2010，29（6），1～2,8[2] 易双萍.不同惯性系中的力学规律.《物理与工程》.1998（5）[3] 赵文桐，刘文芳，刘明成.重力机械能在各惯性系都成立.物理通报，2015（3），96～98[4] 刘一贯.关于机械能守恒定律的协变性，华南师范大学学报（自然科学版）.1985（1），155～157 Vector theorem and vector conservation satisfy relativity fundamental of mechanics.Li Xue-sheng（School of Physics，Shan dong University, Jinan 250100, China）Abstract: it firstly introduced vector principle to illuminate that vector theorem satisfies invariability of Galileo transformation and took an instance of even circle motion to demonstrate the very issue. Subsequently, it illuminated classical vector conservation does not satisfy invariability of Galileo transformation and ultimately redefinedvector conservation which satisfies relativity fundamental of mechanics.Key words: vector principle, vector conservation, vector theorem, relativity fundamental of mechanics.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3 mυ 0 0 的 矛盾 结 果， 究 其原因可知 此 2 种 方法忽略了碰 撞 瞬间支点 O 处 对 棒的水
平冲击力 [2-3]。 基 于 对 该 问 题 的 求 解 ，我 们 进 一 步 考 虑 碰 撞 前 后 系 统 的 能 量 。取 水 平 桌 面 为 重 力 势 能 零 点 ，碰 撞 前 系 统 总 的能量为小球1的动能 E
的 小 球 作 对心 碰 撞， 碰 后以 υ / 2 的速度 0 返回， 求碰后细杆获得的角速度 ω 。 此 题 的一 般 解 法 是： 将三个小 球 抽 象 为质点， 并取三个小球 和轻质细杆作为研究 对 象, O 点 为 参 考点。 由于各质点 所受的 重 力 和 桌 面 对 它们 的 支 持力 大 小 相 等、 方向 相反且作用在同一条直线上， 所以这些力对 同时, O 点 对 轻 O 点的力矩 的矢量和为零。 因此， 质细杆的作用力对 O 点的力矩为零。 相应的， 系统对 O 点所受的合外力矩为零， 取垂直于 纸 面 系统 对 O 点的角动 量 守 恒， 向外为正方向， 即
， （4）
1 1 2 1 1 1 1 1 υ mυ 0 2 m(ω L)2 2m(ω L)2 ( ML2 )ω 2 m( 0 ) 2 2 2 3 2 3 2 9 2 2
m
， （5） 发现只有满足 M 6m 时， 此 题 才能与 能量守恒定律自洽。 物 理习题 的科 学 性在很大 程 度 上 影 响 着 学 生 对 客 观 规 律 的 理 解， 因此 我们 在习 题 设 计 的 时 候 务必 仔 细 斟 酌， 保 证习题 的 科学性与严谨性。Fra bibliotekυυ0 5
时才能与能 量守恒
图1 ①基金项目： 重庆邮电大学校级教改项目 （编号： XJG1329） 。
136
科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald
科技创新导报
2015 NO.01 Science and Technology Innovation Herald
创 新 教 育
轻质细杆和小球组成系统的角动量与能量守恒问题研究①
陈建 潘娜娜 陈希明 （重庆邮电大学 理学院 重庆 400065） 摘 要： 该文从物理学教学过程中的一道常见习题出发， 详细分析了守恒思想在轻质细杆和小球组成的系统中的应用， 一方面从动量守恒与角 动量守恒成立的条件出发， 分析了动量守恒在处理该问题时存在的争议； 另一方面， 考虑能量条件判据， 指出该道习题设计中存在的科学性错 误， 并结合角动量守恒与能量条件判据， 对该问题从两个方面进行了修正， 通过改变小球对心碰撞后的返回速度和考虑细杆的质量， 得到了满 足角动量守恒和能量守恒的自洽条件。 关键词： 系统 角动量 能量 守恒条件 中图分类号： 文献标识码： 文章编号： 0313 A 1674-098X(2015)01(a)-0136-01
mυ 0 υ 2 2 2 2 1 1 L m(ω L) L 2m(ω L) L m 0 L ， 3 3 3 3 3 2 3
重力、 支 持力以 及 支 点 O 处 对 棒 的 水平 冲 击力对系 统 不 做 功， 且 对心 碰 撞 的 过 程 系 统 的 机 械 能 应 当保 持不 变 或 者 损 失， 因此
守 恒 是 物 理 学中一种 常用且 重要 的思 想， 即 在 物 理变 化 的 过 程中通 过寻 找 整 个 过 程或 者 过 程前后不变的关系对各 个变化 但是该研究者在教学过程中 量进行分析 [1] 。 发现， 一些常见习题的设计在科学性上存在 问题， 这势必给学生的学习造成困惑。 如图1所 示， 静止在 水平光 滑桌面 上长 （质量忽略不计） 两端分别 为 L 的轻质细杆 固定 质 量 为 系统可绕 距 m 和 2m 的 小 球 。 离质量为 2m 的小球 L / 3 处的 O 点在 水平 桌面上转 动。 今有一质量 为 m 的小 球 以 水 与质 量 为 平 速 度 υ 0 沿 细 杆 垂直 方向，
E E 的能 量不等 式明显违背了能 量守恒
定律。 为了解 决这一问题， 我们可以考虑从两 个方面加以修正： 修正1： 改变小球1对心碰撞后的返回速 结合系统 对 O 点的角动 度并 假设其为 υ 。 量守恒和能量条件， 有
mυ 0 2 2 2 1 1 2 L m(ω L) L 2m(ω L) L mυ L ， 3 3 3 3 3 3
修正2： 考虑 细杆为刚体， 其质量 为 M ， 且为了简便起见我们认为细杆质量均匀分 布。 考虑三个小 球与细 杆组 成系统 对 O 点 的角动量守恒条件和能量条件：
mυ 0 υ 2 2 2 2 1 1 1 L m(ω L) L 2m(ω L) L ML2ω m 0 L 3 3 3 3 3 9 2 3
参考文献
[1] 王贵忠， 药树栋， 霍建新． 大学物理学课 程中蕴含 的 物 理学思 想 [J] .晋中学 院 学 报， 2010， 27 （3） ： 16-18． [2] 王宗昌． 木 棒和子 弹组 成系统的动量守 恒问题 [J]． 南阳师范学院学报， 20 05， 4 （9） ： 36-37． [3] 邱 晓 燕， 唐 志 海． 一 道力学 碰 撞 问 题中 动量守恒与角动量守恒辨析 [J]． 物理教 学探讨， 2011， 29 （11） ： 40-41．
1 mυ 0 2 ，碰 2 撞 后系统 总 的 能 量 为三个小 球 的 动 能
1 υ0 2 1 2L 2 1 L m( ) m(ω ) 2m(ω ) 2 。整 2 2 2 3 2 3 理 发现 E E ， 即碰 撞 后系统 的 能 量 大 于 碰 撞 前。 但 在 碰 撞 前 后， 每 个小 球 所 受 的 E
（2）
1 1 2 1 1 1 mυ 0 2 m(ω L) 2 2m(ω L)2 mυ 2 ， 2 2 3 2 3 2
（1） 解之得 ω
3υ 0 。 但 是， 该研 究 者在 2L
（3） 解 得只有 定律不矛盾。
教 学 的 过 程 中 发 现 ，有 不 少 同 学 笼 统 地 认 为 轻 质 细 杆与 三个小 球 组 成 的系 统 碰 撞 前 后 在 水平方 向动 量 守 恒， 于 是 得 到了