2020年5月江苏省苏锡常镇四市2020届高三下学期调研联考(二)(二模)数学试题(解析版)
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(解析版)
【详解】∵抛物线 y2＝4x 的焦点是(1，0)，
∴双曲线
x2 a2
y2 4a
1 的顶点为(1，0)，故
a＝1.
故答案为：1
【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点、双曲线的顶点，属于基础题.
8.已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ， S4 5S2 ， a2 2 ，则 a4 ＝_______.
1 2
BC 2
2 3
AA1
1 9
63
24 .
故答案为： 24
【点睛】本小题主要考查三棱锥体积的求法，属于基础题.
10.已知定义在
R
上的奇函数
f
(x)
的周期为
2，且
x [0，1]时，f
(x)
2x a,
bx 1 x 1
,
0 x 1 2 ，则
1 x1 2
a＋b＝_______.
【答案】0 【解析】
【答案】 0, 2
【解析】
【分析】
2 x 0
由函数 y
2
x
ln
x
有意义，得到
x
0
，即可求解，得到答案.
2 x 0 【详解】由题意，函数 y 2 x ln x 有意义，则满足 x 0 ，解得 0 x 2 ，
所以函数 y 2 x ln x 的定义域为 0, 2 .
故答案为 0, 2.
9.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 6，点 M 是对角线 A1C 上靠近点 A1 的三等分点，则三棱锥 C—MBD 的体积为_______.
【答案】24 【解析】 【分析】
利用顶点转化的方法，由VC—MBD =VM BCD 计算出几何体的体积.
【详解】VC—MBD =VM BCD
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(wd无答案)
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题一、填空题(★) 1. 已知集合 A＝{1，2}， B＝{﹣1， a}，若 A B＝{﹣1， a，2}，则 a＝_______.(★★) 2. 若复数 z满足(1﹣ i) z＝1＋ i，其中 i是虚数单位，则 z的实部为_______.(★) 3. 某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是 _______ .(★★) 4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 y的值为 _______ .(★) 5. 某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为_______.(★★) 6. 函数的定义域为_______.(★★) 7. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y 2＝4 x的焦点是双曲线的顶点，则 a＝______.(★★) 8. 已知等比数列的前 n项和为，，，则＝_______.(★) 9. 已知正方体 ABCD— A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为6，点 M是对角线 A 1 C上靠近点 A 1的三等分点，则三棱锥 C— MBD的体积为_______.(★★) 10. 已知定义在 R上的奇函数的周期为2，且 x [0，1]时，，则 a＋ b＝_______.(★★) 11. 已知锐角满足，则＝_______.(★★) 12. 如图，在△ ABC中，∠ ABC＝， AB＝1， BC＝3，以 AC为一边在△ ABC的另一侧作正三角形 ACD，则＝ _______ .(★★★★) 13. 在平面直角坐标系 xOy中， AB是圆 O： x 2＋ y 2＝1的直径，且点 A在第一象限；圆 O 1：( x﹣ a) 2＋ y 2＝ r 2( a＞0)与圆 O外离，线段 AO 1与圆 O 1交于点 M，线段 BM与圆 O交于点 N，且，则 a的取值范围为_______.(★★★★) 14. 已知 a， b R， a＋ b＝ t（ t为常数），且直线 y＝ ax＋ b与曲线（ e 是自然对数的底数，e≈2.71828…）相切.若满足条件的有序实数对( a， b)唯一存在，则实数 t 的取值范围为_______.二、解答题(★★★) 15. 已知△ ABC中， a， b， c分别为角 A， B， C的对边，且 bsin2 A＝ asinB. （1）求 A；（2）求 cos( B＋)＋ sin( C＋)的最大值.(★★★) 16. 已知在四棱柱 ABCD— A 1 B 1 C 1 D 1中，底面 ABCD是菱形，且平面 A 1 ADD 1⊥平面 ABCD， DA 1＝ DD 1，点 E， F分别为线段 A 1 D 1， BC的中点.（1）求证：EF∥平面 CC 1 D 1 D；（2）求证：AC⊥平面 EBD.(★★★) 17. 在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C：( a＞ b＞0)的离心率为，右焦点到右准线的距离为3.（1）求椭圆 C的标准方程；（2）过点 P(0，1)的直线 l与椭圆 C交于两点 A， B.己知在椭圆 C上存在点 Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求 Q的坐标.(★★★★) 18. 某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以 C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路 OE， OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 A， B.现规划修建一条新路（由线段 MP，，线段 QN三段组成），其中点 M， N分别在 OE， OF上，且使得MP， QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 P， Q，所对的圆心角为.记∠PCA＝（道路宽度均忽略不计）.（1）若，求 QN的长度；（2）求新路总长度的最小值.(★★★★★) 19. 已知各项均为正数的数列的前 n项和为，，且对任意 n ，恒成立.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，已知，，(2＜ i＜ j)成等差数列，求正整数 i， j.(★★★★★) 20. 已知函数，， m， n R. （1）当 m＝0时，求函数的极值；（2）当 n＝0时，函数在(0，)上为单调函数，求 m的取值范围；（3）当 n＞0时，判断是否存在正数 m，使得函数与有相同的零点，并说明理由. (★★) 21. 已知点 M(2，1)在矩阵 A＝对应的变换作用下得到点 N(5，6)，求矩阵 A的特征值.(★★★) 22. 在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为( 为参数).以原点 O 为极点， x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为.（1）求曲线 C的普通方程和直线 l的直角坐标方程；（2）点 P是曲线 C上的动点，求 P到直线 l的距离的最小值.(★★★) 23. 已知 a， b， c是正数，求证：对任意 R，不等式恒成立.(★★★) 24. 如图，在四棱锥 P— ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA⊥平面 ABCD， AB＝2，AD＝ AP＝3，点 M是棱 PD的中点.（1）求二面角 M— AC— D的余弦值；（2）点 N是棱 PC上的点，已知直线 MN与平面 ABCD所成角的正弦值为，求的值. (★★★★★) 25. 已知数列中，，( n ).（1）分别比较下列每组中两数的大小：① 和；② 和；（2）当n≥3时，证明：.。
2020届江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模试卷(含解析)
2020届江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.若集合M={x|x2−2x<0}，N={x||x|>1}，则M∩N=______．2.设复数z=1−2i，则|z|=______．3.已知双曲线x2−y2=1(a>0)，它的渐近线方程是y=±2x，则a的值为______ ．a24.如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是．5.高二(3)班有32名男生，24名女生，用分层抽样的方法，从该班抽出7名学生，则抽到的男生人数为______．6.若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P的横、纵坐标，则点P在直线上的概率为_________．7.设{}是公比为正数的等比数列，若，则数列{}前7项和为。
≤0的解集8.设函数f(x)的定义域为[−4,4]，其图象如图，那么不等式f(x)sinx为______ ．9.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是．10.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f(x−6)=f(x)+f(3)成立，且f(0)=−2，>0.则给出下列命题：当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有f(x1)−f(x2)x1−x2①f(2010)=−2；②函数y =f(x)图象的一条对称轴为x =−6； ③函数y =f(x)在[−9,−6]上为增函数； ④方程f(x)=0在[−9,9]上有4个根．其中正确命题的序号是______.(请将你认为是真命题的序号都填上)11. 过点P(a,5)作圆(x +2)2+(y −1)2=4的切线，切线长为2√3，则a 等于______ ．12. 在直角坐标系xOy 中，点B 与点A(−1,0)关于原点O 对称．点P(x 0,y 0)在抛物线y 2=4x 上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则x 0=______．13. 如图，在等边三角形ABC 中，P 在线段AB 上，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中0<λ<1，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则λ的值为______ ．14. 在正三棱锥V −ABC 内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于______． 二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15. 如图1，四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示． (Ⅰ)证明：BC ⊥平面PBD ； (Ⅱ)证明：AM//平面PBC ；(Ⅲ)线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为√34？若存在，找到所有符合要求的点N ，并求CN 的长；若不存在，说明理由．16. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，且10sin 2B+C 2−5sin(2014π−A)=12，π4<A <π2． (1)求cos A 的值；(2)若a =8，b =5，求向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的射影．17. 如图：PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，PA =AB =1，AD =√3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(Ⅰ)求三棱锥E −PAD 的体积；(Ⅱ)当点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由； (Ⅲ)证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF ．18. 已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，其左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为B ，O 为坐标原点，过F 2的直线l 交椭圆Γ于P 、Q 两点，sin∠BF 1O =√33．(1)若直线l 垂直于x 轴，求|PF 1||PF 2|的值；(2)若b =√2，直线l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得F 1、E 关于直线l 成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由；(3)设直线l 1：y =√6上总存在点M 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α．19. 已知函数f(x)=1+ln(x+1)x和g(x)=x −1−ln(x +1)(I)函数y =f(x)在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数？说明理由； (II)求证：函数y =g(x)在区间(2,3)上有唯一零点；(III)当x >0时，不等式xf(x)>kg′(x)恒成立，其中g′(x)是g(x)导函数，求正整数k 的最大值．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n=4a n−4．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设c n=log2a1+log2a2+⋯+log2a n，T n=1c1+1c2+⋯+1c n，求使k n⋅2nn+1≥(2n−9)T n恒成立的实数k的取值范围．21.(本小题满分10分)已知矩阵．(1)求矩阵的逆矩阵；(2)设曲线在变换矩阵作用下得到的曲线的方程为，求曲线的方程．22.已知曲线C的极坐标方程为：ρ2−2√2ρcos(θ+π4)−2=0，(Ⅰ)若直线l过原点，且被曲线C截得弦长最短，求此时直线l的标准形式的参数方程；(Ⅱ)M(x，y)是曲线C上的动点，求x+y的最大值．23.已知函数f(x)=|x−2|−m(x∈R)，且f(x+2)≤0的解集为[−1,1]．(1)求实数m的值；(2)设a，b，c∈R+，且a2+b2+c2=m，求a+2b+3c的最大值．24.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，且与直线y=x−√3相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，过点P(3,0)的直线l与椭圆C交于两点M，N(M在N 的右侧)，直线AM，BN相交于点Q，求证：点Q在一条定直线上．25.设等比数列{a n}的前n项和为S n=2n+1−2；数列{b n}满足6n2−(t+3b n)n+2b n=0(t∈R,n∈N∗).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)①试确定t的值，使得数列{b n}为等差数列；②在①结论下，若对每个正整数k，在a k与a k+1之间插入b k个2，符到一个数列{c n}.设T n是数列{c n}的前n项和，试求满足T m=2c m+1的所有正整数m．【答案与解析】1.答案：(1,2)解析：解：x2−2x<0⇔0<x<2，则集合M={x|0<x<2}=(0,2)|x|>1⇔x<−1或x>1，则集合N=(−∞,−1)∪(1,+∞)，则M∩N=(1,2)，故答案为：(1,2)解x2−2x<0可得集合M={x|0<x<2}，解|x|>1可得集合N，由交集的定义，分析可得答案．本题考查集合交集的计算，关键是求出集合集合M、N，注意答案写成集合或区间的形式．2.答案：√5解析：解：∵z=1−2i，∴|z|=√12+(−2)2=√5．故答案为：√5．直接由复数模的定义计算．本题考查了复数模的求法，是基础题．3.答案：2=1(a>0)，其焦点在x轴上，解析：解：根据题意，双曲线的方程为：x2−y2a2其渐近线方程为：y=±ax，又有其渐近线方程是y=±2x，则有a=2；故答案为：2．根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为：y=±ax，结合题意中渐近线方程可得a=2，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的渐近线方程计算方法．4.答案：．解析：试题分析：根据程序框图可得计算出的为：，为了计算，当时，代替，并用代替，进入下一次运算；而当时，代替，恰好，用代替得，，在这次运算中结束循环体并输出的值，因此，判断框内应填．考点：程序框图．5.答案：4解析：解：根据题意，抽样比为732+24=18，又知道男生有32人，所以抽到的男生人数为：32×18=4人，故答案为：4．抽样比为732+24=18，再结合男生人数即可得到抽到的男生数．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件结合比例关系是解决本题的关键．比较基础．6.答案：解析：解析：连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P的横、纵坐标有36个不同的点，其中满足点P在直线上的点有(1,4)，(4,1)，(2,3)(,3，2)四个.所以所求事件的概率为．7.答案：127解析：试题分析：解：因为a5=a1⋅q4，∴q4=16又因为公比为正数．所以q=2．，故填写127．考点：等比数列的求和公式点评：本题主要考查了等比数列的求和公式．属基础题．在应用等比数列的求和公式时，一定要先判断公比的值，再代入公式，避免出错．8.答案：[−4,π)∪[−2，0)∪[1,π)∪{4}解析：解：不等式f(x)sinx≤0的解集即[−4,4]上f(x)与sin x异号的区间．由函数图象可知：当f(x)≤0时，−4≤x≤−2，或1≤x≤4；当f(x)≥0时，−2≤x≤1；而sin x中的x∈[−4,4]，当sinx>0时，x∈[−4,−π)∪(0,π)；当sinx<0时，x∈(−π,0)∪(π,4]．则f(x)sinx ≤0，等价于{f(x)≥0sinx<0或{f(x)≤0sinx>0．即x∈[−4,−π)∪[−2，0)∪[1,π)∪{4}，故所求不等式的解集为[−4,−π)∪[−2，0)∪[1,π)∪{4}．故答案为：[−4,−π)∪[−2，0)∪[1,π)∪{4}．根据函数的图象可得，f(x)小于0时，x的范围；f(x)大于0时，x的范围，；且根据正弦函数图象可知，sin x大于0时，x∈(−4,−π)∪(0,π)；当sin x小于0时，x∈(−π,0)，则把所求的式子化为f(x)与sin x异号，即可求出不等式的解集．此题属于以正弦函数与已知函数的图象及单调性为平台，考查了其他不等式的解法，是一道综合题．9.答案：5解析：试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P 在以AB为直径的圆上，，所以，．法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一．【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式．10.答案：①②④。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次联考数学试卷
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次联考数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝________．2. 若复数z满足za＋2i＝i(i为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数a的值为________．3. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为________．(第3题)(第4题)4. 如图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为________．5. 现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为________．6. 在等差数列{a n }中，a 4＝10，前12项的和S 12＝90，则a 18的值为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A 是抛物线y 2＝4x 与双曲线x 24－y 2b2＝1(b>0)的一个交点．若抛物线的焦点为F ，且FA ＝5，则双曲线的渐近线方程为____________________．8. 若函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象经过点(π6，2)，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f(π4)的值为________．9. 已知正四棱锥PABCD 的所有棱长都相等，高为2，则该正四棱锥的表面积为________．10. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝x 2－5x ，则不等式f(x －1)>f(x)的解集为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若在圆M ：(x －4)2＋(y －m)2＝4上存在唯一一点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________．12. 已知AD 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的高，点P 在DA 的延长线上，且满足(PB →＋PC →)·AD →＝4 2.若AD ＝2，则PB →·PC →的值为________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋3|， x ≤0，x 3－12x ＋3，x>0.设g(x)＝kx ＋1，且函数y ＝f(x)－g(x)的图象经过四个象限，则实数k 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，若sin C ＝2cos Acos B ，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)设向量a ＝(cos α，λsin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中λ>0，0<α<β<π2，且a ＋b 与a －b 互相垂直．(1) 求实数λ的值；(2) 若a·b ＝45，且tan β＝2，求tan α的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝AC ，A 1C ⊥BC 1，AB 1⊥BC 1，D ，E 分别是AB 1和BC的中点．求证：(1) DE∥平面ACC1A1；(2) AE⊥平面BCC1B1.某公园内有一块以O 为圆心，半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A ，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中AP ＝AB ＝BQ ，∠PAB ＝∠QBA ＝120°，且AB ，PQ 在点O 的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米．设∠OAB ＝α，α∈(0，π3)．问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且椭圆C 短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于 2.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设经过点P(2，0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，点Q(m ，0)． ①若对任意直线l 总存在点Q ，使得QA ＝QB ，求实数m 的取值范围； ②设F 为椭圆C 的左焦点，若点Q 为△FAB 的外心，求实数m 的值．已知函数f(x)＝ln x－2x－2x－1＋2a，a>0.(1) 当a＝2时，求函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2) 若对任意x∈[1，＋∞)，不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3) 若函数f(x)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数a的取值范围．已知数列{a n }各项均为正数，且对任意n ∈N *，都有(a 1a 2…a n )2＝a n ＋11a n －1n ＋1. (1) 若a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求a 2a 1的值；(2) ① 求证：数列{a n }为等比数列；② 若对任意n ∈N *，都有a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n －1，求数列{a n }的公比q 的取值范围．2019届高三年级第二次模拟考试(十)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b a 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110－1，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2141.(1) 求a ，b 的值；(2) 求A 的逆矩阵A －1.B. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，P 是曲线C 上的任意一点．求点P 到直线l 的距离的最大值．C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分) 解不等式：|2x －1|－x ≥2.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B集中，设C是其中的一个交叉路口点．(1) 求甲经过点C的概率；(2) 设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望．23. (本小题满分10分)平面上有2n(n≥3，n∈N*)个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n个点中，任取3个点，记3个点颜色相同的所有不同取法的总数为T.(1) 若n＝3，求T的最小值；(2) 若n≥4，求证：T≥2C3n.数学参考答案1. {x|1<x<4}2. －23. 184. 165. 356. －47. y ＝±233x 8. 3 9. 4＋4 310. (－2，3) 11. ±21 12. 2 13. ⎝⎛⎭⎫－9，13 14.2＋1215. (1) 由a ＋b 与a －b 互相垂直，可得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0， 所以cos 2α＋λ2sin 2α－1＝0.(2分) 又因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以(λ2－1)sin 2α＝0.(4分)因为0<α<π2，所以sin 2α≠0，所以λ2－1＝0.又因为λ>0，所以λ＝1.(6分) (2) 由(1)知a ＝(cos α，sin α)．由a·b ＝45，得cos αcos β＋sin αsin β＝45，即cos(α－β)＝45.(8分)因为0<α<β<π2，所以－π2<α－β<0，所以sin(α－β)＝－1－cos 2（α－β）＝－35.(10分)所以tan(α－β)＝sin （α－β）cos （α－β）＝－34，(12分)因此tan α＝tan(α－β＋β)＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12.(14分)16. (1) 连结A 1B ，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1且AA 1＝BB 1， 所以四边形AA 1B 1B 是平行四边形． 又因为D 是AB 1的中点，所以D 也是BA 1的中点．(2分)在△BA 1C 中，D 和E 分别是BA 1和BC 的中点，所以DE ∥A 1C. 又因为平面ACC 1A 1，A 1平面ACC 1A 1， 所以DE ∥平面ACC 1A 1.(6分)(2) 由(1)知DE ∥A 1C ，因为A 1C ⊥BC 1， 所以BC 1⊥DE.(8分)又因为BC 1⊥AB 1，AB 1∩DE ＝D ，AB 1，平面ADE ，所以BC 1⊥平面ADE. 又因为平面ADE ，所以AE ⊥BC 1.(10分) 在△ABC 中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点， 所以AE ⊥BC.(12分)因为AE ⊥BC 1，AE ⊥BC ，BC 1∩BC ＝B ， BC 1，平面BCC 1B 1，所以AE ⊥平面BCC 1B 1.(14分)17. 过点O 作OH 垂直于AB ，垂足为H.在直角三角形OHA 中，OA ＝20，∠OAH ＝α， 所以AH ＝20cos α，因此AB ＝2AH ＝40cos α.(4分) 由图可知，点P 处的观众离点O 最远．(5分) 在三角形OAP 中，由余弦定理可知 OP 2＝OA 2＋AP 2－2OA·AP·cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3(7分) ＝400＋(40cos α)2－2×20×40cos α·(－12cos α－32sin α)＝400(6cos 2α＋23sin αcos α＋1)＝400(3cos 2α＋3sin 2α＋4) ＝8003sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋1 600.(10分) 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以当2α＝π6，即α＝π12时， (OP 2)max ＝8003＋1 600，即OP max ＝203＋20.(12分)因为203＋20<60，所以观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米．(13分) 故对于任意α，上述设计方案均能符合要求．(14分) 18. (1) 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝2，解得⎩⎨⎧c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为 x 22＋y 2＝1.(2分)(2) 解法一：设直线的方程为y ＝k(x －2)，代入椭圆C 的方程，消去y ，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0. 因为直线l 交椭圆C 于两点，所以Δ＝(－8k 2)2－4(1＋2k 2)(8k 2－2)>0， 解得－22<k<22.(4分) 设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2.①设AB 的中点为M(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4k 21＋2k 2，y 0＝k(x 0－2)＝－2k1＋2k 2.(6分) 当k ≠0时，因为QA ＝QB ，所以QM ⊥l ， 即k QM ·k ＝－2k1＋2k 2－04k 21＋2k 2－m ·k ＝－1.解得m ＝2k 21＋2k 2.(8分)当k ＝0时，可得m ＝0，符合m ＝2k 21＋2k 2.因此m ＝2k 21＋2k 2.由0≤k 2＝m 2（1－m ）<12，解得0≤m<12.(10分)②因为点Q 为△FAB 的外心，且点F(－1，0)，所以QA ＝QB ＝QF.由⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋1）2＝（x －m ）2＋y 2，x 22＋y 2＝1，(12分) 消去y ，得x 2－4mx －4m ＝0， 所以x 1，x 2也是此方程的两个根， 所以x 1＋x 2＝4m ，x 1x 2＝－4m.(14分) 又因为x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，所以8k 21＋2k 2＝－8k 2－21＋2k 2，解得k 2＝18， 所以m ＝2k 21＋2k 2＝15.(16分) 解法二：①设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点为M(x 0，y 0)． 依题意⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，两式作差，得y 1－y 2x 1－x 2×y 0x 0＝－12(x 0≠0)．又因为y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ＝y 0－0x 0－2，所以y 20＝－12x 0(x 0－2)． 当x 0＝0时，y 0＝0，符合y 20＝－12x 0(x 0－2)．(ⅰ)(4分) 又因为QA ＝QB ，所以QM ⊥l ，所以(x 0－m)(x 0－2)＋(y 0－0)(y 0－0)＝0， 即y 20＝－(x 0－m)(x 0－2)．(ⅱ)(6分) 由(ⅰ)(ⅱ)，解得x 0＝2m ，因此y 20＝2m －2m 2.(8分)因为直线l 与椭圆C 相交，所以点M 在椭圆C 内， 所以（2m ）22＋(2m －2m 2)<1，解得m<12.又y 20＝2m －2m 2≥0，所以0≤m ≤1.综上，实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，12.(10分) ②因为点Q 为△FAB 的外心，且点F(－1，0)，所以QA ＝QB ＝QF.由⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋1）2＝（x －m ）2＋y 2，x 22＋y 2＝1消去y ， 得x 2－4mx －4m ＝0.(ⅲ)(12分)当y 0≠0时，则直线l 为y ＝－x 02y 0(x －2)，代入椭圆的方程，得(2y 20＋x 20)x 2－4x 20x ＋4x 20－4y 20＝0.将(ⅰ)代入上式化简得x 2－2x 0x ＋3x 0－2＝0.(ⅳ)当y 0＝0时，此时x 0＝0，x 1＝－2，x 2＝2也满足上式．(14分) 由①可知m ＝x 02，代入(ⅲ)化简得x 2－2x 0x －2x 0＝0.(ⅴ)因为(ⅳ)(ⅴ)是同一个方程， 所以3x 0－2＝－2x 0，解得x 0＝25，所以m ＝x 02＝15.(16分)19. (1) 当a ＝2时，f(x)＝lnx －2x －2x ＋3，f′(x)＝1x －8（x ＋3）2，则f′(1)＝12. 又因为f(1)＝0，所以函数f(x)的图象在x ＝1处的切线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.(2分)(2) 因为f(x)＝ln x －2x －2x －1＋2a ，所以f′(x)＝1x －4a（x －1＋2a ）2＝x 2－2x ＋4a 2－4a ＋1x （x －1＋2a ）2＝（x －1）2＋4a 2－4a x （x －1＋2a ）2，(4分)且f(1)＝0.因为a>0，所以1－2a<1. ①当4a 2－4a ≥0，即a ≥1时，因为f′(x)>0在区间(1，＋∞)上恒成立， 所以函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． 当x ∈[1，＋∞)时，f(x)≥f(1)＝0， 所以a ≥1满足条件．(6分) ②当4a 2－4a<0，即0<a<1时，由f′(x)＝0，得x 1＝1－2a －a 2∈(0，1)， x 2＝1＋2a －a 2∈(1，＋∞)， 当x ∈(1，x 2)时，f′(x)<0，则函数f(x)在区间(1，x 2)上单调递减，所以当x ∈(1，x 2)时，f(x)<f(1)＝0，这与x ∈[1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立矛盾，所以0<a<1不满足条件．综上，实数a 的取值范围为[1，＋∞)．(8分) (3) ①当a ≥1时，因为函数f′(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)不存在极值， 所以a ≥1不满足条件；(9分) ②当12<a<1时，1－2a<0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由f′(x)＝0，得x 1＝1－2a －a 2∈(0，1)， x 2＝1＋2a －a 2∈(1，＋∞)． 列表如下：由于函数f(x)在区间(x 1，x 2)是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意， 所以12<a<1不满足条件．(11分)③当a ＝12时，由f′(x)＝0，得x ＝2.列表如下：此时函数f(x)仅存在极小值，不合题意， 所以a ＝12不满足条件．(12分)④当0<a<12时，函数f(x)的定义域为(0，1－2a)∪(1－2a ，＋∞)，且0<x 1＝1－2a －a 2<1－2a ， x 2＝1＋2a －a 2>1－2a. 列表如下：所以函数f(x)存在极大值f(x 1)和极小值f(x 2)，(14分) 此时f(x 1)－f(x 2)＝ln x 1－2x 1－2x 1－1＋2a －ln x 2＋2x 2－2x 2－1＋2a＝ln x 1x 2－4a （x 1－x 2）（x 1－1＋2a ）（x 2－1＋2a ）.因为0<x 1<1－2a<x 2，所以ln x 1x 2<0，x 1－x 2<0，x 1－1＋2a<0，x 2－1＋2a>0，所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， 所以0<a<12满足条件．综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12.(16分) 20. (1) 因为(a 1a 2)2＝a 31a 3，所以a 22＝a 1a 3， 因此a 1，a 2，a 3成等比数列．(2分)设公比为t ，因为a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，即4×a 2a 1＝1＋3×a 3a 1，于是4t ＝1＋3t 2，解得t ＝1或t ＝13，所以a 2a 1＝1或13.(4分)(2) ①因为(a 1a 2…a n )2＝a n ＋11a n －1n ＋1，所以(a 1a 2…a n a n ＋1)2＝a n ＋21a nn ＋2，两式相除得a 2n ＋1＝a 1·a n n ＋2a n －1n ＋1，即a n ＋1n ＋1＝a 1a nn ＋2，(*)(6分)由(*)，得a n ＋2n ＋2＝a 1a n ＋1n ＋3，(**)(*)(**)两式相除得a n ＋2n ＋2a n ＋1n ＋1＝a n ＋1n ＋3a n n ＋2，即a 2n ＋2n ＋2＝a n ＋1n ＋1a n ＋1n ＋3， 所以a 2n ＋2＝a n ＋1a n ＋3，即a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n ≥2，n ∈N *，(8分)由(1)知a 22＝a 1a 3，所以a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n ∈N *， 因此数列{a n }为等比数列．(10分) ②当0<q ≤2时，由n ＝1时，可得0<a 1≤1，所以a n ＝a 1q n －1≤2n －1，因此a 1＋a 2＋…＋a n ≤1＋2＋…＋2n －1＝2n －1， 所以0<q ≤2满足条件．(12分) 当q>2时，由a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n－1，得a 1（1－q n ）1－q≤2n－1，整理得a 1q n ≤(q －1)2n ＋a 1－q ＋1.(14分)因为q>2，0<a 1≤1，所以a 1－q ＋1<0， 因此a 1q n<(q －1)2n，即⎝⎛⎭⎫q 2n<q －1a 1，由于q 2>1，因此n<log q 2q －1a 1，与任意n ∈N *恒成立相矛盾，所以q>2不满足条件．综上，公比q 的取值范围为(0，2]．(16分)21. A. (1) 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b a 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110－1，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2141，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝1，a ＝4，a －3＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝4.(4分)(2) 因为|A |＝2×3－1×4＝2，(6分)所以A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－12－4222＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32－12－21.(10分) B. 直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，化为普通方程为3x －y ＋2＝0.(2分)设点P(cos θ，3sin θ)， 则点P 到直线l 的距离d ＝|3cos θ－3sin θ＋2|（3）2＋1＝⎪⎪⎪⎪6cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋22，(6分)取θ＝－π4时，cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1，此时d 取最大值， 所以距离d 的最大值为6＋22.(10分) C. 当x ≥12时，由2x －1－x ≥2，得x ≥3.(4分)当x<12时，由1－2x －x ≥2，得x ≤－13.(4分)综上，原不等式的解集为{x|x ≥3或x ≤－13}．(10分)22. (1) 设“甲从进口A 开始到出口B 经过点C ”为事件M ，甲选中间的路的概率为13，在前面从岔路到达点C 的概率为12，这两个事件相互独立，所以选择从中间一条路走到点C 的概率为P 1＝13×12＝16.(2分)同理，选择从最右边的道路走到点C 的概率为P 2＝13×12＝16.因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，所以P(M)＝P 1＋P 2＝16＋16＝13.故甲从进口A 开始到出口B 经过点C 的概率13.(4分)(2) 随机变量可能的取值X ＝0，1，2，3，4，(5分) 则P(X ＝0)＝C 04×⎝⎛⎭⎫130×⎝⎛⎭⎫234＝1681，P(X ＝1)＝C 14×⎝⎛⎭⎫131×⎝⎛⎭⎫233＝3281， P(X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232＝2481， P(X ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫231＝881， P(X ＝4)＝C 44×⎝⎛⎭⎫134×⎝⎛⎭⎫230＝181，(8分) 概率分布为：数学期望E(X)＝0×1681＋1×3281＋2×2481＋3×881＋4×181＝43.(10分)23. (1) 当n ＝3时，共有6个点，若染红色的点的个数为0或6， 则T ＝C 36＝20；若染红色的点的个数为1或5， 则T ＝C 35＝10；若染红色的点的个数为2或4， 则T ＝C 34＝4；若染红色的点的个数为3，则T ＝C 33＋C 33＝2； 因此T 的最小值为2.(3分)(2) 首先证明：任意n ，k ∈N *，n ≥k ，有C k n ＋1>C kn .证明：因为C k n ＋1－C k n ＝C k －1n >0，所以C k n ＋1>C kn .设这2n 个点中含有p(p ∈N ，p ≤2n)个染红色的点， ①当p ∈{0，1，2}时，T ＝C 32n －p ≥C 32n －2＝（2n －2）（2n －3）（2n －4）6＝4×（n －1）（n －2）（2n －3）6.因为n ≥4，所以2n －3>n ，所以T>4×n （n －1）（n －2）6＝4C 3n >2C 3n .(5分) ②当p ∈{2n －2，2n －1，2n}时，T ＝C 3p ≥C 32n －2，同理可得T>2C3n.(6分)③当3≤p≤2n－3时，T＝C3p＋C32n－p，设f(p)＝C3p＋C32n－p，3≤p≤2n－3，当3≤p≤2n－4时，f(p＋1)－f(p)＝C3p＋1＋C32n－p－1－C3p－C32n－p＝C2p－C22n－p－1，显然p≠2n－p－1，当p>2n－p－1即n≤p≤2n－4时，f(p＋1)>f(p)，当p<2n－p－1即3≤p≤n－1时，f(p＋1)<f(p)，即f(n)<f(n＋1)<…<f(2n－3)；f(3)>f(4)>…>f(n)；因此f(p)≥f(n)＝2C3n，即T≥2C3n.综上，当n≥4时，T≥2C3n.(10分)。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，若A U B ＝{﹣1，a ，2}，则a ＝_______. 2．若复数z 满足(1﹣i )z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为_______. 3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是_______.4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y 的值为_______.5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为_______.6．函数ln y x =的定义域为_______.7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点是双曲线22214x y a a-=的顶点，则a ＝______.8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，425S S =，22a =，则4a ＝_______. 9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为6，点M 是对角线A 1C 上靠近点A 1的三等分点，则三棱锥C —MBD 的体积为_______.10．已知定义在R 上的奇函数()f x 的周期为2，且x ∈[0，1]时，12,?02()11,?112x a x f x bx x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a ＋b ＝_______.11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝_______. 12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅u u u r u u u r＝_______.13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且10OM O N +=u u u u r u u u u r r ，则a 的取值范围为_______.14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e x y x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切.若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为_______.15．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且bsin 2A ＝asinB .（1）求A ；（2）求cos (B ＋6π)＋sin (C ＋3π)的最大值. 16．已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点.（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ；（2）求证：AC ⊥平面EBD .17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P (0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B .己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标.18．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B .现规划修建一条新路（由线段MP ，»PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，»PQ所对的圆心角为6π.记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）.（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值.19．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立.（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j . 20．已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R . （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由.21．已知点M (2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N (5，6)，求矩阵A 的特征值.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数).以原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值.23．已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式21b c a x x a b c--+≤++恒成立. 24．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点.（1）求二面角M —AC —D 的余弦值；（2）点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD所成角的正弦值为22，求PN PC 的值.25．已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+(n N *∈). （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362ni n i i a =>-∑.参考答案1．1【解析】【分析】根据集合A B U 中的元素，判断出a 的值.【详解】∵集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，且A U B ＝{﹣1，a ，2}，∴a ＝1.故答案为：1【点睛】本小题主要考查根据并集的结果求参数，属于基础题.2．0【解析】【分析】利用复数的除法运算求得z ，由此求得z 的实部.【详解】2221(1)121(1)(1)1i i i i z i i i i i ++++====--+-，∴z 的实部为0. 故答案为：0【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数实部的概念，属于基础题.3．30【解析】【分析】用1减去成绩在[)80,90以外的学生的频率，将所得结果乘以100，求得成绩在[)80,90以内的学生人数.【详解】[1(0.0050.0220.025)10]10030-+⨯+⨯⨯=.故答案为：30【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图进行计算，属于基础题.4．﹣1【解析】【分析】运行循环结构代码，由此计算出输出的y的值.【详解】运行程序，第一步：y＝2，x＝2；第二步：y＝﹣1，x＝﹣1；退出循环，输出的y的值为﹣1.故答案为：1-【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序代码计算输出结果，属于基础题. 5．2【解析】【分析】根据“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，求得男生和女生人数的比值.【详解】∵“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，∴男生人数与女生人数的比值为2.故答案为：2【点睛】本小题主要考查概率的概念，属于基础题. 6．(]0,2【解析】【分析】由函数ln y x =+有意义，得到200x x -≥⎧⎨>⎩，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数ln y x =有意义，则满足200x x -≥⎧⎨>⎩，解得02x <≤，所以函数ln y x =的定义域为(]0,2.故答案为：(]0,2.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式，得出函数解析式有意义的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．1【解析】【分析】先求得抛物线24y x =的焦点坐标，根据抛物线的焦点是双曲线的顶点，求得a 的值. 【详解】∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1，0)， ∴双曲线22214x y a a-=的顶点为(1，0)，故a ＝1. 故答案为：1【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点、双曲线的顶点，属于基础题.8．2或8【解析】【分析】根据已知条件进行化简，对12a a +是否为零分成两种情况进行分类讨论，由此求得4a 的值.【详解】∵{}n a 为等比数列，425S S =，∴1234125()a a a a a a +++=+，∴34124()a a a a +=+，当120a a +=时，1q =-，此时2422a a q ==；当120a a +≠时，24q =，此时242248a a q ==⨯=，综上所述，4a ＝2或8.故答案为：2或8【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，属于基础题.9．24【解析】【分析】利用顶点转化的方法，由=C MBD M BCD V V -—计算出几何体的体积.【详解】2311121=6243239C MBD M BCD V V BC AA -=⨯⨯=⨯=—. 故答案为：24【点睛】本小题主要考查三棱锥体积的求法，属于基础题.10．0【解析】【分析】根据函数()f x 的奇偶性、周期性求得()()1,0f f 的值，由此列方程，解方程求得,a b 的值，进而求得+a b 的值.【详解】∵()f x 为定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)f f -=-①，(0)0f =，∵函数()f x 的周期为2，∴(1)(1)f f -=②，由①，②得(1)(1)0f f -== ∴0(0)201011(1)02f a a a b b b f ⎧=+==-⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨-===⎩⎪⎩. 故答案为：0【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.11．2【解析】【分析】利用二倍角公式化简已知条件，并转化为只含tan α的表达式，由此求得tan α的值，进而求得tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】∵sin 22cos21αα-=-，∴22222sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=，化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得， 23tan 2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0 解得1tan 3α=， ∴11tan tan34tan()2141tan tan 1143παπαπα+++===--⨯. 故答案为：2【点睛】本小题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，属于基础题. 12．4【解析】【分析】取AC 的中点E ，连接,ED BE ，则ED AC ⊥.根据平面向量的线性运算以及数量积运算，将BD AC ⋅u u u r u u u r 转化为221()2BC BA -u u u r u u u r ，由此求得BD AC ⋅u u u r u u u r 的值. 【详解】取AC 中点E ，连接,ED BE ，则ED AC ⊥，则1()()()2BD AC BE ED AC BE AC BA BC BC BA ⋅=+⋅=⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222211()(31)422BC BA =-=⨯-=u u u r u u u r . 故答案为：4【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算、数量积运算，考查了化归与转化的数学思想方法，属于基础题.13．()4【解析】【分析】 根据10OM O N +=u u u u r u u u u r r 判断出四边形1ONO M 为平行四边形，由此求得圆1O 的方程以及1AO 的长，进而判断出A 点在圆22()9x a y -+=上，根据圆22()9x a y -+=与圆221x y +=的位置关系，求得a 的取值范围.【详解】10OM O N +=⇒u u u u r u u u u r r 四边形ONO 1M 为平行四边形，即ON ＝MO 1＝r ＝1，所以圆1O 的方程为()221x a y -+=，且ON 为△ABM 的中位线⇒AM ＝2ON ＝2⇒AO 1＝3，故点A 在以O 1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：22()9x a y -+=，故22()9x a y -+=与x 2＋y 2＝1在第一象限有交点，即2＜a ＜4，由()222291x a y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得2802A a x a a -=>⇒> 故a 的取值范围为(4).故答案为：()4【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.14．{}25,e e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】设出切点坐标()000,e x x x ，根据切点在切线和曲线上，以及导数与切线的斜率的关系列方程组，由此求得+a b 关于0x 的表达式，构造函数()f x ，利用()'fx 研究()f x 的单调性，由此求得t 的取值范围.【详解】设切点为(0x ，00x x e)(1)e x y x '=+，∴00020000(1)e e e x x x a x b x x ax b⎧=+⎪⇒=-⎨=+⎪⎩， 0200e (1)x a b x x t +=-++=有唯一解，构造函数()2()1x f x e x x =-++()e (2)(1)x f x x x '=-+-，注意到2x <-时()0f x <，故()f x t =有唯一解时t 的取值范围为(-∞，25e-)U {e }. 故答案为：{}25,e e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭ 【点睛】本小题主要考查导数与切线问题，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.15．（1）3π（2）1 【解析】【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简已知条件，由此求得cos A ，进而求得A 的大小. （2）用B 表示出C ，将所求表达式化为sin()3B π+，结合三角函数最值的求法，求得所求最大值.【详解】（1）∵bsin 2A ＝asinB ，∴2bsinAcosA ＝asinB ， ∴由正弦定理sin sin a b A B=，得2cos ba A ab =， ∵0ab ≠，∴1cos 2A =， 又∵三角形内角A (0)π∈，，∴A ＝3π； （2）由（1）A ＝3π，又A ＋B ＋C ＝π，得C ＝23A B B ππ--=-，B 2(0)3π∈，， cos (B ＋6π)＋sin (C ＋3π)cos cos sin sin sin()66B B B πππ=-+-1sin sin()223B B B π+=+ ∵B 2(0)3π∈，，∴()33B πππ+∈，，∴当=32B ππ+， 即6B π=时，sin()3B π+取最大值1， ∴cos (B ＋6π)＋sin (C ＋3π)的最大值为1. 【点睛】 本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查三角函数最值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16．（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）连接1CD ，通过证明四边形1ED CF 是平行四边形，证得1//EF CD ，由此证得//EF 平面11CC D D .（2）通过证明DE AD ⊥，结合面面垂直的性质定理证得DE ⊥平面ABCD ，由此证得DE AC ⊥，由菱形的性质得到BD AC ⊥，从而证得AC ⊥平面EBD .【详解】（1）连结CD 1，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1C 1D 1，BB 1C 1C 是平行四边形， ∴A 1D 1//B 1C 1，BC //B 1C 1，且A 1D 1＝B 1C 1，BC ＝B 1C 1，又∵点E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点，∴ED 1//FC ，ED 1＝FC ，所以四边形ED 1CF 是平行四边形，∴EF //CD 1，又∵EF ⊄平面CC 1D 1D ，CD ⊂平面CC 1D 1D ，∴EF //平面CC 1D 1D.（2）四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形AA 1D 1D 是平行四边形，∴AD //A 1D 1，在△DA 1D 1中，DA 1＝DD 1，点E 为线段A 1D 1的中点，∴DE ⊥A 1D 1，又∵AD //A 1D 1，∴DE ⊥AD ，又∵平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，平面A 1ADD 1I 平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面A 1ADD 1， ∴DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ，∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又∵BD I DE ＝D ，BD ，DE ⊂平面EBD ，∴AC ⊥平面EBD .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.17．（1）22143x y +=（2）Q (1，32)或(﹣1，32) 【解析】【分析】（1）结合椭圆离心率以及右焦点到右准线的距离，以及222b a c =-，求得22,,a b c ，进而求得椭圆C 的标准方程.（2）首先判断直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能是平行四边形，不符合题意.然后设出直线l 的方程1y kx =+，联立直线l 的方程和椭圆方程，写出根与系数关系，求得Q 点坐标并代入椭圆方程，由此求得k 的值，进而求得Q 点坐标.【详解】（1）设焦距为2c ，∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =①， ∵右焦点到右准线的距离为3，∴23a c c-=②， 由①，②解得a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=， （2）当直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能平行四边形，故直线l 斜率存在 ∵直线l 过点P (0，1)，设直线l 为：1y kx =+，设A (1x ，11kx +)，B (2x ，21kx +)，由四边形OAQB 是平行四边形，得Q (12x x +，12()2k x x ++)22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，化简得：22(34)880k x kx ++-=，1222122883482(34)34k x x k k x k x x k ⎧+=-⎪-±⎪+=⇒⎨+⎪=-⎪+⎩， 122286()2()23434k k x x k k k ++=⋅-+=++， ∴Q (2834k k -+，2634k+)，∵点Q 在椭圆C 上， ∴2222863()4()123434k k k -+=++，解得12k =±，代入Q 的坐标，得 Q (1，32)或(﹣1，32). 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.18．（1）QN 的长度为1千米（2）6π【解析】【分析】（1）连接,,CB CN CM ，通过切线的几何性质，证得四边形BCQN 是正方形，由此求得QN 的长度. （2）用θ表示出线段MP ，»PQ，线段QN 的长，由此求得新路总长度的表达式，利用基本不等式求得新路总长度的最小值.【详解】（1）连接CB ，CN ，CM ，OM ⊥ON ，OM ，ON ，PM ，QN 均与圆C 相切∴CB ⊥ON ，CA ⊥OM ，CP ⊥MP ，CQ ⊥NQ ，∴CB ⊥CA∵∠PCA ＝2θ56π=，∠PCQ ＝6π，∴∠QCB ＝526622πππππ---=， 此时四边形BCQN 是正方形，∴QN ＝CQ ＝1，答：QN 的长度为1千米；（2）∵∠PCA ＝2θ，可得∠MCP ＝θ，∠NCQ ＝23πθ-， 则MP ＝tan θ，»PQ 6π=，NQ＝2tantan 23tan()231tan tan 3πθπθπθ--==+设新路长为()f θ，其中θ∈(6π，2π)，即tan θ≥∴()tan tan 6336f ππθθθ=++=-++，366ππ≥+=，当tan θ=答：新路总长度的最小值为6π.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查三角函数在实际生活中的应用，考查基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.19．（1）证明见解析；2n n a =（2）i ＝4，j ＝5 【解析】【分析】（1）根据题目所给递推关系式证得数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，由此得到22n n S a +=.利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式. （2）由（1）求得n b 的表达式，由2,,i j b b b 成等差数列列方程，分成2j i ≥+和1j i =+两种情况进行分类讨论，由此求得整数,i j .【详解】（1）∵11122n n n n n n a S a S a a +++-=-，∴11(2)(2)n n n n a S a S +++=+，∵数列{}n a 各项均为正数，∴10n n a a +>，等式两边同时除以1n n a a +， 得11220n n n n S S a a ++++-=，故数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为2，公差为0， ∴22n nS a +=，即22n n S a +=①，2222S a +=，求得24a =，∴1122n n S a --+=(n ≥2)②，①﹣②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，又2142a a ==，∴对任意n N *∈，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列故数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）43243nn n b a n n =+-=+-，∴29b =，243i i b i =+-，243j j b j =+-， ∵2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，∴2(243)9243i ji j +-=++-， 变形得111232122j i i i i j -----=+-(*)， ①当2j i ≥+时，112112j i i j---+->， 令1232i i i c --=(i ≥3)，则112123520222i i i i i i i i c c +-----=-=<(i ≥3)， ∴数列{}i c 单调递减，故(max)3314i c c ==<， ∴12312i i --<，112112j i i j ---+->，故2j i ≥+时*式不成立， ②当1j i =+时，*式转化为0112312122i i i i ---+=+-，解得i ＝4，故j ＝5. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查等差中项的性质，考查数列的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 20．（1）函数()f x 有极大值﹣1，无极小值;（2）m 的取值范围为{0};（3）存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，详见解析.【解析】【分析】（1）当0m =时，利用()'f x 研究函数()f x 的单调性，由此求得函数()f x 的极值.（2）当0n =时，由()'0F x ≥或()'0Fx ≤恒成立，将m 分成02m <<，0m <，2m ≥和0m =四种情况进行分类讨论，由此求得m 的取值范围.（3）设0x 为相同的零点，由此得到00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎨-++-=⎩，进而得到000ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②.通过构造函数法，结合零点存在性定理，证得①②能同时成立，由此证得存在符合题意的正数m . 【详解】（1）当m ＝0时，()ln f x x x =-+， ∴1()1f x x'=-+，令()0f x '=，解得x ＝1，列表如下：∴当x ＝1时，函数()f x 有极大值﹣1，无极小值；（2）当n ＝0时，函数2()()()(2)(4)ln 2F x g x f x m x m x x =-=-----∴22(2)(4)1(21)[(2)1]()m x m x x m x F x x x------+'==， 要使函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数， 则对x ∀∈(0，+∞)，()0F x '≥或()0F x '≤恒成立， 令()(21)[(2)1]g x x m x =--+，()0g x ≥或()0g x ≤恒成立①当0＜m ＜2时，x ∈(0，12)U (12m-，+∞)时，()0<g x ，x ∈(12，12m -)时，()0>g x ，不符题意；②当m ＜0时，x ∈(0，12m -)U (12，+∞)时，()0<g x ，x ∈(12m -，12)时，()0>g x ，不符题意；③当m ≥2时，x ∈(0，12)时，()0<g x ，x ∈(12，+∞)时，()0>g x ，不符题意； ④当m ＝0时，2()(21)0g x x =--≤，此时()0F x '≤恒成立， 函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上单调递减，符合题意， 综上所述，m 的取值范围为{0}；（3）∵函数()f x 与()g x 有相同的零点，不妨设0x 为相同的零点则00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎨-++-=⎩， 得00ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②， 由（1）知()ln (1)10f x x x f =-+≤=-<，故00ln 0x x ->， ∴00ln 0x x m x -=>， 令200000()ln (3)2h x x x x n x =--++-，又(1)0h n =>，(+3)(3)ln(3)20h n n n =-++-<， 故当0x ∈(1，n ＋3)时，0()0h x =，②式有解，且能满足00ln 0x x m x -=>， ∴存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查函数零点问题的研究，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 21．矩阵A 的特征值为4或﹣1 【解析】 【分析】首先根据矩阵变换列方程组，解方程组求得,a b 的值，也即求得矩阵A ，然后根据特征值的求法，求得矩阵A 的特征值. 【详解】∵点M (2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N (5，6)， ∴1 25 216a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则25226a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，∴A ＝1 32 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1 3()(1)(2)62 2f E A λλλλλλ--=-==-----，令()0f λ=，得2340λλ--=，解得14λ=，21λ=-， ∴矩阵A 的特征值为4或﹣1. 【点睛】本小题主要考查矩阵特征值的求法，考查矩阵变换，属于基础题.22．（1）2214x y +=；0x y +-（2【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=求得曲线C 的普通方程，由直角坐标和极坐标转化公式，求得直线l 的直角坐标方程.（2）设出P 点的坐标，根据点到直线的距离公式，求得P 到直线l 的距离的表达式，根据三角函数最值的求法，求得P 到直线l 的距离的最小值. 【详解】（1）由题意，曲线C 的普通方程为2214x y +=，由sin()4πρθ+=sin cos 22ρθρθ+=化简得直线l 的普通方程为0x y +-=. （2）设P (2cos α，sin α)，则P 到直线l 的距离d ===所以当sin()αθ+＝1时，d min ＝2所以P 到直线l 的距离的最小值为2. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用参数求最值，属于中档题. 23．证明见解析； 【解析】 【分析】先由基本不等式求得b c aa b c++的最小值，然后根据绝对值三角不等式证得不等式成立. 【详解】对于正数a ，b ，c ，由均值不等式得3b c a a b c ++≥=， 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”，任意x ∈R ，由绝对值不等式得2121(2)(1)3x x x x x x --+≤--+≤--+= 当且仅当x ≤﹣1时取“＝”，∴对任意x ∈R ，都有不等式21b c ax x a b c--+≤++成立. 【点睛】本小题主要考查基本不等式和绝对值三角不等式，属于中档题.24．（1（2）14PN PC = 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据平面ACD 和平面MAC 的法向量，计算出二面角M AC D --的余弦值.（2）设((0,1))PN PC λλ=∈u u u r u u u r ，由此求得MN u u u u r，根据直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值列方程，解方程求得λ的值，进而求得PNPC. 【详解】（1）以{AB u u u r ，AD u u u r ，AP u u u r}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ，则各点的坐标为A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，3，0)，D (0，3，0)，P (0，0，3)，M (0，32，32)， AP u u u r ＝(0，0，3)，AC uuu r ＝(2，3，0)，AM u u u u r ＝(0，32，32)因为P A ⊥平面ABCD ，所以平面ACD 的一个法向量为AP u u u r＝(0，0，3)，设平面MAC 的法向量为n r ＝(x ，y ，z )，所以00n AC n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ， 即23033022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取n r ＝(3，﹣2，2)，∴cos <AP u u u r ，n r >＝AP 17AP n n ⋅⋅u u u r r u u u r r ，∴二面角M —AC —D； （2）设((0,1))PN PC λλ=∈u u u r u u u r ，其中(2,3,3)PC =-u u u r，∴3333(0,,)(2,3,3)(2,3,3)2222MN MP PN λλλλλλ=+=-+-=--+u u u u r u u u r u u u r ，∵平面ABCD 的一个法向量为AP u u u r＝(0，0，3)，∴33(3)cos ,AP MNAP MN AP MNλ-+⋅<>==⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u ur u u u u r33λ-+=∵直线MN 与平面ABCD22，∴223(3)92=92222182λλλ-+-+， 化简得41λ=，即14λ=，∴14PN PC =. 【点睛】本小题主要考查面面角的求法，考查根据线面角求线段长度的比值，考查空间想象能力，考查运算求解，属于中档题. 25．（1）①2a ＝362⨯；②3a ＞336()2⨯（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据递推关系式求得23,a a ，比较出①②中两数的大小关系.（2）首先利用数学归纳法证明当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，然后利用放缩法，证得所要证明的不等式成立. 【详解】（1）①∵22166393a =⨯-+=，3692⨯=，∴2a ＝362⨯； ②∵231993213a =⨯-+=，33816()24⨯=，∴3a ＞336()2⨯； （2）先用数学归纳法证明：当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，当n ＝3时，3a ＞336()2⨯；假设当n ＝k （k ≥3，k N *∈）时，结论成立，即(1)236()2k k k a ->⨯，当n ＝k ＋1时，(1)(1)2222111333(6())6()33322k k k k k k k a a a --+=-+>⨯-⨯+(1)(1)222133(6())6()322k k k k -->⨯-⨯ 其中(1)(1)222(3)12(1)(1)(1)222133(6())6()33222()123336()6()6()222k k k k k k k k k k k k k a ---++++⨯⨯>-=>⨯⨯⨯， ∴(1)2136()2k k k a ++>⨯，∴当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上所得，当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，从而，当n ≥3时，213()()62n n n a ->，则222312312223333333()()()()()()()()()662222222nin n i i a a --=>++++=++++∑L L ，131()3322()332212n n --=⨯=--，∴当n ≥3时，223()2()362nin i i a =>-∑. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的项，考查数学归纳法证明不等式，考查放缩法证明不等式，考查等比数列前n 项和，属于难题.。
江苏省无锡市、常州市2020届高三第二学期5月联考数学试卷含附加题试题与答案
无锡市、常州市2020届高三5月学情调查数学试题Ⅰ一、填空题：本题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1．已知集合{}0,1,2M =，集合{}0,2,4N =，则M N ⋃=_________．2．已知复数12z i =+（i 为虚数单位），则2z 的值为_________．3．袋中装有形状，大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_________．4．某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600．现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n =_________．5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是_________．6．若曲线()x f x mxe n =+在()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +=_________． 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是抛物线24y x =与双曲线2221(0)4x y b b -=>的一个交点．若抛物线的焦点为F ，且5FA =，则双曲线的渐近线方程为_________．8．已知{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．若32a =，1264S S =，则9a 的值为_________．9．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是a ，点P ，Q 分别为棱1CC ，BC 的中点，四面体11A B PQ 的体积为2，则a 的值为_________．10．已知(0,)2πα∈且3cos25α=，则tan 4tan 4παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭_________． 11．若关于x ，y 的方程组：1mx y x y n+=⎧⎨+=⎩在[]1,2x ∈上有解，则22m n +的最小值为__________． 12．已知正实数a ，b 满足22a b +=，则41()()a b a b ++的最小值为_________． 13．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆22:40C x x y -+=上两动点，且2AB =，点P坐标为，则3|2|PB PA -u u u r u u u r 取值范围为__________．14．已知函数324,0()2,0x x b x f x x x ⎧-++<=⎨≥⎩，若函数()()1g x f f x =-⎡⎤⎣⎦恰有三个不同的零点，则实数b 的取值范围是_________．二、解答题：本答题共6分，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．（本小题满分14分）'在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知os c A =，b =c = （1）求边a 的值；（2）求()cos B A -的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中．（1）若AD ⊥平面P AB ，PB PD ⊥，求证：平面PBD ⊥平面P AD ；（2）若//AD BC ，2AD BC =，E 为P A 的中点，求证：//BE 平面PCD ．17．（本小题满分14分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，P 是椭圆上的一个动点（不与左右顶点重合），且12PF F V 的周长为6．点P 关于原点的对称点为Q ，直线AP ，2OF 交于点M ．（1）求椭圆的方程；（2）若直线2PF 与椭圆交于另一点N ，且224AF M AF N S S =V V ，求点P 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，建筑公司是某单位委托，拟新建两栋办公楼AB ，CD （AC 为楼间距），两楼的楼高分别为m a ，m b ，其中b a >．由于委托单位的特殊工作性质，要求配电房设在AC 的中点M 处，且满足两个设计要求：①90BMD ∠=︒，②楼间距与两楼的楼高之和的比()0.8,1λ∈．（1）求楼间距AC （结果用a ，b 表示）；（2）若45CBD ∠=︒，设k =，用k 表示λ，并判断是否能满足委托单位的设计要求？19．（本小题满分16分〉 已知函数2()1xe f x ax bx =++，其中0a >，b R ∈，e 为自然对数的底数． （1）若1b =，[0,)x ∈+∞，①若函数()f x 单调递增，求实数a 的取值范围；②若对任意0x ≥，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值前围．（2）若0b =，且()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：1231()()2f x f x e a +<+<． 20．（本小题满分16分）已知数列{}*,n a n N ∈满足奇数项6{}*21,n a n N -∈成等差，公差为d ，偶数项{}*2,n a n N ∈成等比，公比为q ，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =．（1）若5452S a a =+，934a a a =+．①求数列{}n a 的通项公式；②若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值；（2）若1d =，1q >，对任意给定的q ，是否存在实数λ，使得212||n na a λ-<对任意n N *∈恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．2020届高三5月学情调查数学试题Ⅱ注意事项：21．（B ）（本小题满分10分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵AB ；（2）若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值． 21．（C ）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos2x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知正四棱锥P ABCD -的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）：若这两条棱所在的直线平行，则0ξ=；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）．（1）求()0P ξ=的值：（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ．23．（本小题满分10分）给定整数3()n ≥，记()f n 为集{}1,2,,21n -L 满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：（a ）1A ∈，21n A -∈；（b ）A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求()3f 的值；（2）求证：()100108f ≤．2020届高三5月学情调查数学Ⅰ试题答案一、填空题，本题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1．{}0,1,2,4 2．34i -+ 3．564．635．8 6．12e + 7．3y x =± 8．6 9．210．19 11．95 12．25213． 14．2b <-二、解答题；本答题共6分，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．（本小题满分14分）解：（1）在ABC V 中，os c A =b =c =∴222cos 2252()910A a b c bc =+-=+--=， ∵0a >，∴3a =．（2）在ABC V 中，∵1os 0c A =- ∴(,)2A ππ∈，∴in s A ===，在ABC V 中，sin sin a b A B =sin B =，∴sin 5B =， 又(,)2A ππ∈，∴(0,)2B π∈，∴cos B ===． ∴cos cos co s s(i n )n si B A AA B B -=+(10=+=． 16．（本小题满分14分）（1）因为AD ⊥平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，所以AD PB ⊥，又因为PB PD ⊥，且AD PD D =，,AD PD ⊂平面P AD ，所以PB ⊥平面P AD ，又因为PB?平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面P AD ．（2）取PD 的中点F ，连结EF ，因为E ，F 分别是P A ，PD 的中点，所以//EF AD ，且2AD EF =，又因为四边形ABCD 为直角梯形且//AD BC ，2AD BC =， 所以//EF BC 且EF BC =，所以四边形EFCB 是平行四边形，所以//BE CF ， 又CF ⊂平面PCD ，BE ⊄平面PCD ，所以//BE 平面PCD ．17．（本小题满分14分）解：（1）因为椭圆的离心率为12，12PF F ∆的周长为6， 设椭圆的焦距为2c ，则2222612a c c abc a+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得，2a =，1c =，b = 所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）设,()P m n ，则22143m n +=，(,)Q m n --， 所以AP 的方程为(2)2n y x m =++① 若1m =-，则2QF 方程为1x =②，由对称性不妨令P 在x 轴上方， 则3(1,)2P -，3(1,)2Q -，联立①②解得9(1,)2M ，2PF 方程为3(1)4y x =--， 代入椭圆方程得139(,)714N -， 故22||74||M N N AF MAF S y S y ==≠V V ，不合题． 若1m ≠-，则2QF 方程为(1)1n y x m =-+③． 联立①③可得343x m y n =+⎧⎨=⎩，(34,3)M m n +． 因为224AF M AF N S S =V V ，所以4M N y y =． 又因为M ，N 位于x 轴异侧，所以34N n y =-． 由直线2PF 方程(1)1n y x m =--得：734N m x -=， 将点733(,)44m n N --，代入椭圆方程得22733()()44143m r --+= 又2143m n +=，故22()1634397m n -+= 即22()734974m m --=， 所以12m =，4n =± 所以点P坐标为1(,24或1(,24-． 解法二：设(),P m n ，则22143m n +=(,)Q m n --， 所以AP 的方程为(2)2n y x m =++①2QF 方程为11m x y n+=+②， 联立①②解得()34,3M m n +，因为224AF M AF N S S =V V ，所以4M N y y =又因为M ，N 位于x 轴异侧，所以34N n y =-． 山直线2PF 方程11m x y n -=+得：734N m x -=（下同法一）． 18．（本小题满分16分） 解：（1）∵在ABM V 中，2tan 2BMA a c c c∠==， 在CDM V 中，2tan DMC b b c c∠==， ∵90BMD ∠=︒，∴90BMA DMC ∠+∠=︒， ∴tan tan 1BMA DMC ∠⋅∠=，即24c ab =，∴c =．（2）22211k k k kλ===++ 在CBD V 中，过点B 作CD 的垂线，垂足为E ， ∴tan CB a E c ∠=，tan DBE b a c-∠=， ∴tan tan()CBD CBE DBE ∠=∠+∠ tan tan 1tan tan CBE DBE CBE DBE∠+∠=-∠⋅∠1114b ===-322a b=+.因为k =23122k k =+，即322310k k --=， 设32()231f x x x =--，1x >，∴2()666(1)0f x x x x x '=-=->，∴函数()f x 单调递增，若()0.8,1λ∈，则1522k k <+<，即12k <<． ∵()120f =-<，()230f =>，∴12k <<成立，∴()0.8,1λ∈，∴能满足委托单位的设计要求．答：（1）楼间距AC为m ；（2）能满足委托单位的设计要求．19．（本题满分16分）解：（1）①因为2()1xe f x ax x =++单调递增， 所以222(12)()0(1)x e ax a x f x ax x ⎡⎤+-⎣⎦'=≥++任意,[)0x ∈+∞恒成立，即21ax a ≥-对任意,[)0x ∈+∞恒成立，∴210a -≤，即102a <≤； ②由①当102a <≤时，2()1xe f x ax x =++单调递增，故()1f x ≥成立， 当12a >，令()0f x '=得21a x a-= ∴()f x 在21(0,)a a -上递减， ∴21()(0)1a f f a-<=不合题； （2）因为2()1xe f x ax =+，x R ∈存在两个极值点1x ，2x 所以222(21)()0(1)x e ax ax f x ax -+'==+有两个不同的解， 故2440a a ∆=->，又0a >，所以1a >，设两根为()1212,x x x x <，则122x x +=，121x x a=，故101x <<， ()()121212221212211111x x x x e e e e f x f x x x ax ax x x +=+=+++++()1112211211222x x x x e x e x e x e x x x --++==+ 令2(2)()2x x e x e F x x --+=， 因为2(1)(1)()02xx e x e x e F x --+'=>， 所以()F x 在()0,1上递增，所以()()1F x F e <=；又()()1121211132()23(2)x x e x f x f x e x x x a e +-=-+--⎡⎤⎣⎦令()0G x '=得3x e =±又(0,1)x ∈，则3x e =即ln(3x =，记为0x ，则()G x 在()00,x 上递增，在()0,1x 上递减，又()02G =，()1232G e =->，所以()()02G x G >=， 即23()()12f x f x a+>+， 综上：1231()()2f x f x e a+<+<． 解法二：由（1）当0x ≥时，21112xe x x ≥++恒成立， 所以有当0x >时，2112x e x x >++， 所以21121222121221()()1111x x x x e e e e f x f x x x ax ax x x +=+=+++++ 22211122121111222x x x x x x x x e x e x x x ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=>+ ()1221212121233211222x x x x x x x x x x a++++==+=+． 20．（本题满分16分）（1）①因为5452S a a =+，934a a a =+，所以1234a a a a ++=，934a a a =+即4232d q d q+=⎧⎨=⎩，解得2d =，3q =．当n 为奇数时，设21n k =-，则211(1)21n k a a a k d k n -==+-=-=当n 为偶数时，设2n k =， 则1122223n k n k a a a q --===⋅ 综上12,21,23,2n n n n k a k N n k-=-⎧⎪=∈⎨⎪⋅=⎩. ②当n 为奇数时，12232m m m -⋅=+，即122231m m -⋅=+， 当1m =时，不合题；当3m ≥时，右边小于2，左边大于2，等式不成立； 当n 为偶数时，13m +=，所以2m =．综上，2m =．（2）当0λ=时，由于212122n n a na q--==各项， 所以2120n na a ->，所以0λ=合题； 当0λ≠时，假设212||n n a a λ-<对任意n N ∈恒成立， 即1||2n n q λ->对任意n N ∈恒成立，所以2||n q qλ>. 令02||q λλ=，即0q n qλ>对任意n N ∈恒成立．先证：ln x <对任意0x >恒成立．令()ln f x x =，则1()2f x x x'=-=， 所以()f x 在()0,4上递减，在(4,)+∞上递增， 所以()()min 42ln40f x f ==->，即ln x <对任意0x >恒成立，所以ln n <所以当24ln n q>时，n n q n >， 即02n n n n qλ>>解得01n λ<， 所以当01n λ>且24ln n q>时，021n n n q n n λ<=< 这与0n n qλ>对任意n N ∈恒成立不后， 所以当0λ≠时不合题； 综上λ的取值范围为{0}．。
江苏省苏锡常镇四市2020-2021学年高三5月教学情况调研(二) 数学试题+答案+解析
2020~2021注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的2.回答选择题时，选出每小题动，用橡皮擦干净后，再选涂在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本题共8小题项是符合题目要求的。
1.若a ∈R,则“a=2”是“复数A.充分不必要条件 B.必要不2.若集合A.(- ∞,2] 3.从标有1,2,3,4,5,6的6张卡到标号是4的条件下，第二次A.35 B.4.已知椭圆E: 2222x y a b+＝1(a sin ∠PA 1F 2=35,则E 的离心率A. 12 B. 5.已知a=sin1,b=cos1,则下列不A. log a b<a b <b a C. a b <b a <log a b 6.已知3sin(α-6π)=sin(α+A. 17 B.- 177.我国汉代数学家赵爽为了证个全等的直角三角形和一个正弦图”。
在直角三角形CGD 点P,线段BC 上任取一点A.25 8.已知函数f(x)=x 2-223x x +a 的取值范围是A.(- ∞,7) 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研数 学自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写卡交回。
小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中数z=2-ai 的模为”（i 为虚数单位）的必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不x },则A ∩B=B.[2,+ ∞)C.(0,2]D.[0,2]张卡片中，不放回地随机抽取两次，每次抽取一张第二次抽到的标号是奇数”的概率为12 C. 110 D. 1121(a>b>0)的右焦点为F 2,左顶点为A 1,若E 上的点离心率为 25 C. 14 D. 15 下列不等式正确的是B. log a b<b a <a bD. b a <a b <log a b6π),则cos2α= C. 1113 D.- 1113为了证明勾股定理，创制了一幅 “弦图”，它由四一个正方形所构成（如图），后人称其为“赵爽GD 中，已知GC=4,GD=3,在线段EF 上任取一Q,则AP AD ⋅u u u r u u u r 的最大值为B.27C.29D.3111+.若存在m ∈(1,4)使得不等式f(4-ma)+f(m 2+3m B.(-∞,7] C.(-∞,8) D.(-年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）2021.05答题卡上。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(解析版)
15．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且bsin 2A＝asinB .
（1）求A；
（2）求cos（B＋）＋sin （C＋）的最大值.
63
【答案】（1） （2）1
3
【解析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简已知条件，由此求得cosA，进而求得A
的大小.
（2）用B表示出C，将所求表达式化为sin（B ），结合三角函数最值的求法，求得
化简得3sin2
2sin
cos
2cos
0，两边同时除以cos2得，
3tan2
2tan
1
0，∵
为锐角，∴
tan>0
解得tan
1
3
故答案为：2
点睛】 本小题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，属于基 础题.
∠ABC＝ ，AB＝1，BC＝3，以AC为一边在△ABC的另
2
uuur uuur
【解析】取AC的中点E，连接ED,BE，则ED AC.根据平面向量的线性运算以
uuur uuur1uuur2uuur2uuur uuur
及数量积运算，将BD AC转化为(BC BA )，由此求得BD AC的值.
【详解】 取AC中点E，连接ED , BE，则ED AC，则
uuur uuuruuuruuur uuuruuur uuur1uuur uuur uuuruuur
2x
a,?0
1
x
2，则a＋b＝
bx
11
,?
x1
x
12
f (x)
答案】0
程求得a,b的值，进而求得a b的值.
详解】
故答案为：0
2020届苏锡常镇二模数学试卷及答案
2020届苏锡常镇二模数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n(x i －x )2，其中x ＝1n.球的体积V ＝43πr 3，其中r 表示球的半径．柱体的体积V ＝Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知i 为虚数单位，复数z ＝11＋i，则|z|＝________．2. 已知集合A ＝{x|0≤x ≤1}，B ＝{x|a －1≤x ≤3}，若A ∩B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为________．3. 已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是________．4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝23x ，则a ＝________．5. 甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是________．6. 下图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为________．7. “直线l 1：ax ＋y ＋1＝0与直线l 2：4x ＋ay ＋3＝0平行”是“a ＝2”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)8. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则a n ＝________．9. 已知M 是曲线y ＝2ln x ＋x 2－3x 上的一动点，当曲线在点M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为________________．10. 已知3cos 2α＝4sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin 2α＝________． 11. 如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，AB ＝1，BC ＝2.分别以A ，D 为圆心，1为半径作圆弧EB ︵，EC ︵，将两圆弧EB ︵，EC ︵及BC 所围成的平面图形(阴影部分)绕直线AD旋转一周，所形成的几何体的体积为________．(第11题) (第14题)12. 在△ABC 中，(AB →－λAC →)⊥BC →(λ＞1)，若A 的最大值为π6，则实数λ的值是________．13. 若函数f(x)＝a x (a ＞0且a ≠1)在定义域[m ，n]上的值域是[m 2，n 2](1＜m ＜n)，则实数a 的取值范围是________．14. 如图，在△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，AE ＝2EC ，CD 与BE 相交于点O.若OB ＝2OC ，则△ABC 面积的最大值是________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A －3a sin B ＝0. (1) 求A 的大小；(2) 已知a ＝2 3，B ＝π3，求△ABC 的面积．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．求证：(1) AP∥平面EBD；(2) BE⊥PC.17. (本小题满分14分)某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度)，l1和l2所在直线的距离为0.5(百米)，对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于点M )，在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到点M的距离为1 (百米)，且点F恰在点B的正对岸(即BF⊥l3)．(1) 在图中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；(2) 游客(视为点P)在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在(1)的坐标系中，写出观测点P的坐标．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点⎝⎛⎭⎫1，32，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点(其中点D 在x 轴上方)． (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若△AEF 与△BDF 的面积之比为1∶7，求直线l 的方程．已知函数f(x)＝23x 3－mx 2＋m 2x(m ∈R )的导函数为．(1) 若函数g (x )＝f (x )－存在极值，求m 的取值范围；(2) 设函数h (x )＝(其中e 为自然对数的底数)，对任意m ∈R ，若关于x 的不等式h (x )≥m 2＋k 2在(0，＋∞)上恒成立，求正整数k 的取值集合．已知数列{a n }，{b n }，数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中n ∈N *.(1) 若a n ＝n ，b n ＝2n ，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ；(2) 若数列{a n }为等差数列，且对任意n ∈N *，c n ＋1>c n 恒成立． ①当数列{b n }为等差数列时，求证：数列{a n }，{b n }的公差相等；②数列{b n }能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{b n }；若不能，请说明理由.2020届高三年级第二次模拟考试(十一) 数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 321，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 3 1 1，且二阶矩阵M 满足AM ＝B ，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋2 3cos 2α2 (α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1) 求曲线C 的普通方程；(2) 求曲线l 和曲线C 的公共点的极坐标．(本小题满分10分)已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝t (t 为常数)，且x 24＋y 29＋z 2的最小值为，求实数t 的值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会(即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推)．抽奖的规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大(如1，2，5)，则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小(如5，3，1)，则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元．(1) 某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望；(2) 赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率．23. (本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝4py(p为大于2的质数)的焦点为F，过点F且斜率为k(k≠0)的直线交抛物线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.(1) 求点G的轨迹方程；(2) 当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由．2020届苏锡常镇二模数学参考答案1.22 2. 2 3. 0.08 4. 3 5. 566. 67. 必要不充分8. －2n ＋119. x －y －3＝010. －19 11. 2π312. 3 13. (1，e 2e ) 14. 8 215. (1) 因为b cos A －3a sin B ＝0，所以由正弦定理可得sin B cos A －3sin A sin B ＝0.(2分) 因为0<B<π，所以sin B>0，所以cos A ＝3sin A. 因为0<A<π，所以cos A ＝3sin A>0，所以tan A ＝33.(6分) 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6.(8分)(2) 因为a ＝2 3，B ＝π3，A ＝π6，所以在△ABC 中，C ＝π2.(10分)由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b ＝a sin Bsin A＝2 3×3212＝6，(12分)所以S △ABC ＝12ab ＝12×2 3×6＝6 3.(14分)16. (1) 连结AC 交BD 于点O.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以O 为AC 的中点． 连结EO ，在△PAC 中，因为E 是PC 的中点，所以EO ∥AP.(2分) 又因为AP ⊄平面EBD ，EO ⊂平面EBD ， 所以AP ∥平面EBD.(6分)(2) 因为△PDC 为正三角形，E 是PC 的中点， 所以DE ⊥PC.(8分)又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝DC ，且BD ⊥DC ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PCD.因为PC ⊂平面PCD ，所以BD ⊥PC.(11分)又因为DE ⊥PC ，且BD ∩DE ＝D ，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ， 所以PC ⊥平面BDE.因为BE ⊂平面BDE ，所以BE ⊥PC.(14分)17. (1) 以A 为原点，l 1所在的直线为x 轴，AM 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(如图)，则由题意可知A(0，0)，B ⎝⎛⎭⎫1，12.(2分) 设抛物线方程为x 2＝2py(p>0)， 则1＝2p ×12，解得p ＝1，(4分)所以栈道AB 的方程为x 2＝2y(0≤x ≤1)．(6分)(2) 过点P 作PH ⊥l 3于点H ，设P(x 0，y 0)(其中0≤x 0≤1，0≤y 0≤12)，则PH ＝2－y 0.设∠EPH ＝α，∠FPH ＝β，则∠EPF ＝α＋β， 所以tan α＝1＋x 02－y 0，tan β＝1－x 02－y 0，(7分)所以tan (α＋β)＝1＋x 02－y 0＋1－x 02－y 01－1＋x 02－y 0·1－x 02－y 0＝22－y 01－1－x 20（2－y 0）2＝2（2－y 0）（2－y 0）2－1＋x 20＝2（2－y 0）（2－y 0）2－1＋2y 0.(9分)令t ＝2－y 0∈⎣⎡⎦⎤32，2，则0<tan (α＋β)＝2t t 2－1＋2（2－t ）＝2t t 2－2t ＋3＝2t ＋3t－2≤22 t·3t－2＝3＋12， 当且仅当t ＝3t ，即t ＝3∈⎣⎡⎦⎤32，2时取等号．(12分) 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan (α＋β)＞0，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，所以当tan (α＋β)最大时，α＋β最大，即∠EPF 最大，此时y 0＝2－3，x 0＝3－1，即P(3－1，2－3)．(13分)故点P 的坐标为P(3－1，2－3)时，观测EF 的视角(∠EPF)最大．(14分)18. (1) 设椭圆的焦距为2c(c>0)，则e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝12，可知b 2＝34a 2.(2分)又因为椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，32，所以1a 2＋94b 2＝1，(4分) 解得a 2＝4，b 2＝3，即椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(6分) (2) 设D(x 1，y 1)，E(x 2，y 2)，直线l ：x ＝my －1.因为S △BDF ＝12(a ＋c)|y 1|＝32y 1，S △AEF ＝12(a －c)|y 2|＝－12y 2，所以由S △BDF ＝7S △AEF ，可得y 1＝－73y 2.(9分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，3x 2＋4y 2＝12，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4＝－43y 2，y 1y 2＝－93m 2＋4＝－7y223<0.(11分)因为y 1>0，所以y 2<0，所以m>0.(12分) 由上式可得y 2＝－9m 2（3m 2＋4）＝－67m ，即m 2＝169.(15分) 又因为m>0，所以m ＝43，所以直线l 的方程为y ＝34(x ＋1)．(16分)19. (1) f′(x)＝2x 2－2mx ＋m 2，(1分)所以g(x)＝⎝⎛⎭⎫23x 3－mx 2＋m 2x －(2x 2－2mx ＋m 2)＝23x 3－(m ＋2)x 2＋(m 2＋2m)x －m 2， 所以g′(x)＝2x 2－2(m ＋2)x ＋m 2＋2m.(3分)①当Δ＝4(m ＋2)2－8(m 2＋2m)≤0时，即m ≤－2或m ≥2时，g′(x)≥0恒成立，所以函数g(x)在R 上单调递增，故函数g (x )无极值； ②当Δ＝4(m ＋2)2－8(m 2＋2m )>0时，即－2<m <2时，2x 2－2(m ＋2)x ＋m 2＋2m ＝0有两个根x 1，x 2(不妨设x 1<x 2)，列表如下：x (－∞，x 1)x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 1，＋∞)g ′(x ) ＋－0 ＋g (x )极大值极小值综上所述，m 的取值范围是(－2，2)．(6分)(2) 因为h (x )＝(2e 2x －2m e x ＋m 2)＋(2ln 2x －2m ln x ＋m 2)，所以对任意m ∈R ，(2e 2x －2m e x ＋m 2)＋(2ln 2x －2m ln x ＋m 2)≥m 2＋k 2在(0，＋∞)上恒成立，(8分)即对任意m ∈R ，m 2－2(e x ＋ln x )m ＋(2e 2x ＋2ln 2x －k 2)≥0在(0，＋∞)上恒成立，(10分) 所以Δ＝4(e x ＋ln x )2－4(2e 2x ＋2ln 2x －k 2)≤0在(0，＋∞)上恒成立， 即k 2≤(e x －ln x )2对任意x >0恒成立． 记φ(x )＝e x －ln x (x >0)，所以φ′(x )＝e x －1x.因为φ″(x )＝e x ＋1x 2>0，所以φ′(x )＝e x －1x 在(0，＋∞)上单调递增且连续不间断，而φ′⎝⎛⎭⎫12＝e －2<0，φ′(1)＝e －1>0，所以函数φ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一零点x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，列表如下：x (0，x 0) x 0 (x 0，＋∞)φ′(x ) －0 ＋φ(x )极小值所以φ(x )min ＝φ(x 0)＝e x 0－ln x 0，其中e x 0－1x 0＝0，且x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，(13分) 所以x 0＝－ln x 0，所以φ(x )min ＝e x 0－ln x 0＝x 0＋1x 0∈⎝⎛⎭⎫2，52. 又因为k >0，所以由k 2≤(e x －ln x )2得k ≤e x －ln x 对任意x >0恒成立． 由题意知k ≤φ(x )min ＝x 0＋1x 0.因为x 0＋1x 0∈⎝⎛⎭⎫2，52，且k ∈N *， 所以k ＝1，2，(15分)即正整数k 的取值集合为{1，2}．(16分)20. (1) T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n ) ＝（1＋2n －1）n 2＋4（1－4n ）1－4＝n 2＋4n ＋1－43.(3分)(2) ①设数列{a n }的公差为d 1，数列{b n }的公差为d 2.因为数列{c n }是递增数列，所以∀k ∈N *，a 2k －1<b 2k <a 2k ＋1， 即∀k ∈N *，a 1＋(2k －2)d 1<b 1＋(2k －1)d 2<a 1＋2kd 1， 所以∀k ∈N *，⎩⎪⎨⎪⎧2（d 2－d 1）k ＋b 1－a 1＋2d 1－d 2>0， ①2（d 1－d 2）k ＋a 1－b 1＋d 2>0. ②由①得2k (d 1－d 2)＋a 1－b 1＋d 2－2d 1<0对任意k ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d 1－d 2≤0，a 1－b 1－d 2＜0.(6分)由②得2k (d 1－d 2)＋a 1－b 1＋d 2>0对任意k ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d 1－d 2≥0，a 1－b 1＋2d 1－d 2>0，(7分)所以d 1＝d 2>0，即数列{a n }，{b n }的公差相等．(8分) ②数列{b n }不能为等比数列．(9分)若存在，设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q .因为数列{c n }是递增数列，所以a 1＝c 1<c 3＝a 3＝a 1＋2d ，所以d >0.(10分) 又a n ＝a 1＋(n －1)d ，则当n >1－a 1d 时，a n >0，所以必存在正奇数i ，有a i >0，所以b i ＋1＝c i ＋1>c i ＝a i >0，即b 1q i >0， 所以b 1q >0，即b 2>0.因为b 2＝c 2<c 4＝b 4＝b 2q 2，所以q 2>1.(12分)记q 2＝p ，则p >1.因为∀k ∈N *，b 2k ＋2<a 2k ＋3，所以对任意k ∈N *，有b 2p k <a 3＋2kd 成立． 设f (x )＝x 2e x ，x >0，则f ′(x )＝x （2－x ）e x .当0<x <2时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x >2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以∀x >0，有f (x )≤f (2)＝⎝⎛⎭⎫2e 2<1，从而x >0时，e x >x 2.因为p >1，所以∀k ∈N *，k ln p >0，所以e k ln p >(k ln p )2，即p k >ln 2p ·k 2， 从而∀k ∈N *，b 2ln 2p ·k 2<b 2p k <a 3＋2kd .因为a 3＝c 3>c 2＝b 2>0，所以a 3≤a 3k ，所以b 2ln 2p ·k 2<a 3k ＋2kd ， 所以对任意k ∈N *，k <a 3＋2db 2ln 2p， 而上式不成立，所以数列{b n }不能为等比数列．(16分)．21. A. 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 32 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 3 1 1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3c ＝－2，b ＋3d ＝3，2a ＋c ＝1，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－1，d ＝1，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－11.(4分)令M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 0 1 λ－1＝(λ－1)2＝0，得λ＝1，所以M 的特征值为1.(7分)设属于特征值1的特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则由M α＝α，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ，－x ＋y ＝y ，所以x ＝0，所以M 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.(注：答案不唯一)(10分)B. (1) 因为ρ＝4sin θ，所以ρ2＝4ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.(4分)(2) 曲线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝3（cos α＋2）(α为参数)，所以曲线l 的普通方程为y ＝3x (1≤x ≤3)．(6分)由⎩⎨⎧y ＝3x ，x 2＋（y －2）2＝4，得4x 2＝4 3x ， 所以x ＝0(舍去)或x ＝3，故曲线l 和曲线C 的公共点的直角坐标为(3，3)， 其极坐标为⎝⎛⎭⎫2 3，π3.(10分) C. 由柯西不等式⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫y32＋z 2(22＋32＋12)≥⎝⎛⎭⎫x 2×2＋y 3×3＋z ×12＝(x ＋y ＋z )2＝t 2，(6分)当且仅当x 22＝y33＝z 1时取等号，此时x 4＝y 9＝z .又x ＋y ＋z ＝4，解得x ＝87，y ＝187，z ＝27，所以x 24＋y 29＋z 2的最小值为t 214.(8分)因为x 24＋y 29＋z 2的最小值为87，所以t 214＝87.又因为t ＝x ＋y ＋z >0，所以t ＝4.(10分)22. (1) X 的所有可能取值有10，20，40.按规则摸出3个小球的情况共有5×4×3＝60(种)．(1分)其中“一次比一次大”和“一次比一次小”的情况都恰有C 35＝10(种)， 所以P(X ＝40)＝1060＝16，P(X ＝20)＝1060＝16，P(X ＝10)＝1－P(X ＝40)－P(X ＝20)＝23，故获奖金额X 的概率分布为数学期望E(X)＝10×23＋20×16＋40×16＝503，故获奖金额X 的数学期望为503元．(6分) (2) 记“获得的奖金恰好为60元”为事件A.赵四购物恰好满600元，则他有3次抽奖机会，各次抽奖结果相互独立． 事件A 包含：三次都是二等奖；一次一等奖及两次三等奖， P(A)＝⎝⎛⎭⎫163＋C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫161＝49216，(9分)故赵四获得的奖金恰好为60元的概率为49216.(10分)23. (1) 由题意可得F(0，p)，AB ：y ＝kx ＋p(k ≠0)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4py ，y ＝kx ＋p ，得x 2－4pkx －4p 2＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16p 2k 2＋16p 2>0，x 1＋x 2＝4pk ，x 1x 2＝－4p 2.由y ＝x 24p ，得y′＝x 2p，所以抛物线C 在点A 处的切线方程为y ＝x 12p (x －x 1)＋x 214p ，即y ＝x 12p x －x 214p，①同理抛物线C 在点B 处的切线方程为y ＝x 22p x －x 224p.②联立①②得G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 24p ，即G(2pk ，－p)，所以点G 的轨迹方程为y ＝－p(x ≠0，且p 为大于2的质数)．(3分) (2) 设AB 的中点为M ，连结MG ，FG . 由F(0，p)，G(2pk ，－p)，得k FG ＝－1k，所以AB ⊥FG .因为AB ⊥EM ，所以EM ∥FG ，所以∠EMF ＝∠GFM ＝90°.因为x M ＝12(x 1＋x 2)＝2pk ＝x G ，所以MG 平行于y 轴，所以∠EFM ＝∠GMF.又因为FM ＝MF ，所以△EFM ≌△GMF ， 所以EM ＝FG ，所以S ＝S △AGB ＋S △AEB ＝12AB·FG ＋12AB·EM ＝AB·FG .又因为AB ＝AF ＋BF ＝y 1＋y 2＋2p ＝k(x 1＋x 2)＋4p ＝4p(1＋k 2)， 且FG ＝（2pk ）2＋（2p ）2＝2p 1＋k 2， 所以S ＝AB·FG ＝p 2(21＋k 2)3.(6分)由题意得2pk 为整数，设2pk ＝t(t ∈Z ，t ≠0)， 所以k ＝t2p.假设S ＝p 2(21＋k 2)3为整数，则21＋k 2＝n (n ∈N *)， 即4＋⎝⎛⎭⎫t p 2＝n ，所以⎝⎛⎭⎫t p 2＝n 2－4， 所以tp只能为整数．(8分)设t ＝dp (d ∈Z ，d ≠0)，则d 2＝n 2－4，所以(n －d )(n ＋d )＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝4，n ＋d ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝－4，n ＋d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝1，n ＋d ＝4 或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝－1，n ＋d ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝2，n ＋d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝－2，n ＋d ＝－2. 因为d ∈Z ，n ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，d ＝0，但当⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，d ＝0时，k ＝0，与k ≠0矛盾，不合题意．综上所述，S 不是整数．(10分)。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(解析版)
【答案】30
【解析】用 减去成绩在 以外的学生的频率，将所得结果乘以 ，求得成绩在 以内的学生人数.
【答案】24
【解析】利用顶点转化的方法，由 计算出几何体的体积.
【详解】
.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查三棱锥体积的求法，属于基础题.
10．已知定义在R上的奇函数 的周期为2，且x [0，1]时， ，则a＋b＝_______.
【答案】0
【解析】根据函数 的奇偶性、周期性求得 的值，由此列方程，解方程求得 的值，进而求得 的值.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式，得出函数解析式有意义的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点是双曲线 的顶点，则a＝______.
【答案】1
【解析】先求得抛物线 的焦点坐标，根据抛物线的焦点是双曲线的顶点，求得 的值.
输出的y的值为﹣1.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查根据循环结构程序代码计算输出结果，属于基础题.
5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的 ，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为_______.
【答案2
【解析】根据“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的 ，求得男生和女生人数的比值.
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绝密★启用前
江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次学情调研联考(二模)
数学试题
(解析版)
2020年5月
第I卷（必做题，共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）
1.已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，若A B＝{﹣1，a，2}，则a＝_______. 【答案】1
【解析】
【分析】
根据集合A B中的元素，判断出a的值.
【详解】∵集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，且A B＝{﹣1，a，2}，
∴a＝1.
故答案为：1
【点睛】本小题主要考查根据并集的结果求参数，属于基础题.
2.若复数z满足(1﹣i)z＝1＋i，其中i是虚数单位，则z的实部为_______. 【答案】0
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算求得z，由此求得z的实部.
【详解】
22
2
1(1)12
1(1)(1)1
i i i i
z i
i i i i
++++
====
--+-
,∴z的实部为0.
故答案为：0
【点睛】本小题主要考查复数的除法运算,考查复数实部的概念,属于基础题.
3.某校100名学生参加知识竞赛的
成绩均在[50,100]内,将学生成绩分成
[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,得到如图所示的频率分布直方图,则成绩在[80,90)内的学生人数是_______.
【答案】30
【解析】
【分析】
用1减去成绩在[)80,90以外的学生的频率,将所得结果乘以100,求得成绩在[)80,90以内的学生人数.
【详解】[1(0.0050.0220.025)10]10030-+⨯+⨯⨯=.
故答案为：30
点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图进行计算,属于基础题.
4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的y 的值为_______.
【答案】﹣1
【解析】
【分析】
运行循环结构代码,由此计算出输出的y 的值.。