人教版八年级数学 等边三角形的重点考点剖析
人教版八年级数学上册说课稿：13.3.2等边三角形性质、判定
我计划以下方式设计师生互动和生生互动的环节：
1.师生互动：在教学过程中，我会通过提问、回答问题、点评作业等方式与学生互动，及时了解学生的学习情况，提供反馈和指导。
2.生生互动：我会组织学生进行小组讨论、合作完成任务等，鼓励学生相互交流想法，共同解决问题。
3.课堂活动：设计一些几何游戏、竞赛等活动，让学生在活动中学习，促进学生的参与和合作。
3.安排学生在下一堂课前进行小测验，以检验他们对本节课内容的掌握情况。
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
我的板书设计注重布局合理、内容精炼、风格清晰。板书分为三个部分：
1.左侧为标题和课程目标，明确本节课的主题和预期学习成果。
2.中间为主内容区，包括等边三角形的定义、性质和判定方法，以及相关例题和练习。
3.情感态度与价值观：培养学生热爱数学、勇于探索的精神。
（1）激发学生对数学的兴趣，培养良好的学习习惯。
（2）培养学生合作学习的精神，提高团队协作能力。
（3）培养学生克服困难、勇于挑战的精神，提高解决问题的信心。
（三）教学重难点
1.教学重点：等边三角形的性质和判定方法。
（1）等边三角形的性质：三边相等、三角相等、对称性等。
4.在此过程中，我会鼓励学生提出问题和猜想，并通过小组讨论和师生互动，共同探讨和验证这些性质和判定方法。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
1.设计一些填空题、选择题和判断题，让学生独立完成，检验他们对等边三角形性质的理解。
2.安排一些应用题，要求学生运用等边三角形的性质和判定方法解决实际问题，提高他们的应用能力。
人教版八年级数学上册说课稿：13.3.2等边三角形性质、判定
【微专题】2023学年八年级数学上册常考点(人教版) 共定点等边三角形的六大结论及应用(解析版)
共定点等边三角形的六大结论及应用六大结论基本模型：如图 △ABC 和△CDE 是共顶点（C ）三角形 则有以下六大结论.结论1：△ACD ≌△BCE （SAS ） ∴AD =BE 结论2：∠AOB=60°结论3：△ACP ≌△BCQ （ASA ） ∴AP =BQ PC =QC 结论4：△PCQ 是等边三角形 结论5：∴PQ AE ∥ 结论6：点C 在∠AOE 的平分线上1．如图 C 为线段AE 上一动点（不与点A 、E 重合） 在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE AD 与BE 交于点O AD 与BC 交于点P BE 与CD 交于点Q 连接PQ 以下七个结论：①AD BE =；②//PQ AE ；③AP BQ =；④DE DP =；⑤60AOB ∠=︒；⑥PCQ ∆是等边三角形；⑦点C 在AOE ∠的平分线上 其中正确的有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】D【解析】【分析】 由△ABC 和△CDE 是正三角形 其性质得三边相等 三个角为60° 平角的定义和角的和差得∠ACD =∠BCE 边角边证明△ACD ≌△BCE 其性质得结论①正确；由△ACD ≌△BCE 可得∠CAP =∠CBQ 可得60,AOB ACB 故⑤正确 角边角证明△ACP ≌△BCQ 得AP =BQ 其结论③正确；等边三角形的判定得△PCQ 是等边三角形 结论⑥正确；∠CPQ =∠ACB =60°判定两线PQ AE ∥ 结论②正确；反证法证明命题DE ≠DP 结论④错误；利用全等三角形的对应高相等 可证明点C 在∠AOE 的平分线上 结论⑦正确；即正确结论共6个．【详解】解：如图1所示：∵△ABC和△CDE是正三角形∴AC=BC DC=EC∠ACB=∠ECD=60°又∵∠ACD=∠ACB+∠BCD∠BCE=∠DCE+∠BCD ∴∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中AC BCACD BCE CD CE=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE∴结论①正确；∵△ACD≌△BCE∴∠CAP=∠CBQ,BPO APC60,AOB ACB故⑤正确又∵∠ACB+∠BCD+∠DCE=180° ∴∠BCD=60°在△ACP和△BCQ中CAP CBQ AC BC ACP BCQ∴△ACP≌△BCQ（ASA）∴AP=BQ PC=QC故③正确∴△PCQ是等边三角形故⑥正确∴∠CPQ=∠CQP=60°∴∠CPQ=∠ACB=60°∴PQ AE∥故②正确若DE=DP∵DC=DE∴DP=DC∴∠PCD=∠DPC又∵∠PCD=60°∴∠DPC=60°与△PCQ是等边三角形相矛盾假设不成立∴结论④错误；过点C分别作CM⊥AD CN⊥BE于点M、N两点如图2所示：∵CM ⊥AD CN ⊥BE,ACD BCE ≌∴CM =CN 又∵OC 在∠AOE 的内部∴点C 在∠AOE 的平分线上∴结论⑦正确；综合所述共有6个结论正确．故选：D ．【点睛】本题综合考查了全等三角的判定与性质 等边三角形的判定与性质 三角形的内角和定理 平行线的判定 角平分线性质定理的逆定理和假设法证明命题等相关知识 重点掌握全等三角形的判定与性质 等边三角形的判定与性质 难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角的角平分线上．2．已知如图ABC 是锐角三角形 分别以边AB 、AC 为边向外作ABD △和ACE ABD △和ACE 均为等边三角形 且BE 和CD 交于点F 连接AF ．（1）求证：ACD AEB ≅；（2）求出CFE ∠的度数；（3）求证：AFB BFC AFC ∠=∠=∠．【答案】（1）见解析；（2）60︒；（3）见解析．【解析】【分析】（1）由ABD ∆和ACE ∆均为等边三角形 可得边角关系 由SAS 即可证明ACD AEB ≌；（2）由ACD AEB ≌可得点A 、F 、C 、E 四点共圆 再由圆的性质即可求解；（3）由点A 、F 、C 、E 四点共圆 可得∠=∠FAC FEC 再由AFE ∆内角和为180︒可得60AFE ∠=︒ 由点A 、F 、B 、D 四点共圆 同理可得60AFD ∠=︒ 从而可得120,120,120∠=︒∠=︒∠=︒AFB AFC BFC 故可得AFB BFC AFC ∠=∠=∠．【详解】解：（1）∵ABD ∆和ACE ∆均为等边三角形∴60DAB EAC ∠=∠=︒ AE AC = AB AD =∴∠+∠=∠+∠BAC DAB BAC EAC 即DAC EAB ∠=∠∴在三角形ABD △和ACE 中AE AC DAC EAB AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ACD AEB SAS ≌△△；（2）∵ACD AEB ≌∴DAC EAB ∠=∠∴点A 、F 、C 、E 四点共圆∴CFE CAE ∠=∠∵ACE ∆均为等边三角形∴60CAE ∠=︒∴60CFE ∠=︒；（3）由（2）点A 、F 、C 、E 四点共圆 点A 、F 、B 、D 四点共圆∴∠=∠FAC FEC在AFE ∆中180∠+∠+∠+∠=︒AEF CAE FAC AFE∴180∠+∠+∠+∠=︒AEF CAE FEC AFE即180∠+∠+∠=︒AEC CAE AFE∵60∠=∠=︒AEC CAE∴180606060∠=︒-︒-︒=︒AFE同理可得60AFD ∠=︒∵EFC BFD ∠=∠ 60EFC ∠=︒∴60BFD ∠=︒∴6060120∠+∠=︒+︒=︒AFD BFD6060120∠+∠=︒+︒=︒AFE EFC∴360120120120∠=︒-︒-︒=︒BFC∴AFB BFC AFC ∠=∠=∠．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质 四点共圆的性质 三角形内角和定理 等边三角形的性质 解题的关键是熟练掌握各知识点 利用好数形结合的思想．3．已知：如图 △ABC 、△CDE 都是等边三角形 AD 、BE 相交于点O 点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点．(1)求∠DOE 的度数；(2)试判断△MNC 的形状 并说明理由；(3)连接OC 求证：OC 是∠AOE 的平分线．【答案】(1)∠DOE 的度数是60°(2)△MNC 是等边三角形 理由见解析(3)见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质及角的和差关系可得∠ACD ＝∠BCE 利用SAS 可证明△ACD ≌△BCE 可得AD ＝BE ∠ADC ＝∠BEC 利用角的和差关系及外角性质可得∠AOE =120° 根据平角定义即可得答案；（2）根据全等三角形的性质可得∠CAD ＝∠CBE AD ＝BE AC ＝BC 根据中点的定义可得AM ＝BN 利用SAS 可证明△ACM ≌△BCN 可得CM ＝CN ∠ACM ＝∠BCN 利用角的和差关系可得∠MCN ＝60° 即可证明△MNC 是等边三角形；（3）连接OC过C作CG⊥AD垂足为G；过C作CH⊥BE 垂足为H根据全等三角形的性质可得AD＝BE S△ACD=S△BCE即可得出CG＝CH根据角平分线的判定定理即可得出结论．(1)∵△ABC、△CDE都是等边三角形∴AC＝BC CD＝CE∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE∴AD＝BE∠ADC＝∠BEC∵等边三角形DCE∴∠CED＝∠CDE＝60°∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED ＝∠BEC＋60°＋∠BED＝∠CED＋60°＝60°＋60°＝120°∴∠AOE=120°∴∠DOE＝180°-∠AOE=60°．(2)△MNC是等边三角形理由如下：∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE AD＝BE AC＝BC∵点M、N分别是线段AD、BE的中点∴AM＝12AD BN＝12BE∴AM＝BN在△ACM和△BCN中AC BCCAM CBNAM BN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACM≌△BCN∴CM＝CN∠ACM＝∠BCN∵∠ACB＝60°∴∠ACM＋∠MCB＝∠BCN+∠MCB=∠ACB=60°∴∠MCN＝60°∴△MNC是等边三角形．(3)连接OC过C作CG⊥AD垂足为G；过C作CH⊥BE 垂足为H．∵△ACD≌△BCE∴AD＝BE S△ACD=S△BCE∴1122AD CG BE CH⋅=⋅∴CG＝CH∵CG⊥AD CH⊥BE∴OC是∠AOE的平分线．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、三角形外角性质及角平分线的判定定理能够熟练掌握等边三角形的性质与判定条件是解题关键．4．如图已知△CAD与△CEB都是等边三角形BD、EA的延长线相交于点F．（1）求证：△ACE≌△DCB．（2）求∠F的度数．（3）若AD⊥BD请直接写出线段EF与线段BD、DF之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）EF＝BD+2DF.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到CB=CE CD=CA ∠BCE=∠DCA=60° 由全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）设BC与EF相交于G 根据全等三角形的性质得到∠1=∠2 根据三角形的内角和即可得到结论；（3）根据垂直的定义得到∠ADF=90° 求得∠DAF=30° 根据直角三角形的性质得到AF=2DF 根据全等三角形的性质得到AE=BD 于是得到结论．【详解】（1）∵△CAD与△CEB都是等边三角形∴CB＝CE CD＝CA ∠BCE＝∠DCA＝60°∴∠BCD＝∠ECA∴△ACE≌△DCB（SAS）；（2）设BC与EF相交于G由（1）可知△ACE≌△DCB∴∠1＝∠2∵∠1+∠BGF+∠F＝∠2+∠AGC+∠BCE＝180°而∠BGF＝∠AGC∴∠F＝∠BCE＝60°；（3）EF＝BD+2DF 理由如下：∵AD⊥BD∴∠ADF ＝90°∵∠F ＝60°∴∠DAF ＝30°∴AF ＝2DF∵△ACE ≌△DCB∴AE ＝BD∴EF ＝AE+AF ＝BD+2DF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质 等边三角形的性质 直角三角形的性质 正确的识别图形是解题的关键．5．已知点C 为线段AB 上一点 分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作△ACD 和△BCE 且CA=CD CB=CE ACD BCE ∠∠= 直线AE 与BD 交于点F ．（1）如图1 证明：△ACE ≌△DCB ；（2）①如图1 若ACD 60∠=︒ 则AFB ∠=________；②如图2 若ACD α∠= 则AFB ∠=______；（用含α的式子表示）（3）将图2中的△ACD 绕点C 顺时针旋转任意角度（交点F 至少在BD 、AE 中的一条线段上） 如图3 试探究A FB ∠与α的数量关系 并予以证明．【答案】（1）证明见解析；（2）120° 180°-β；（3）∠AFB=180°-α 证明见解析．【解析】【分析】（1）求出∠ACE=∠DCB 根据SAS证出两三角形全等即可；（2）根据全等三角形性质得出∠AEC=∠DBC ∠CDB=∠CAE 求出∠EAB+∠DBA=∠ACD ∠AFB=180°-（∠EAB+∠DBC）代入求出即可得出①②的结论；（3）由“SAS”可证△ACE≌△DCB 可得∠AEC=∠DBC 由三角形内角和定理可求解．【详解】解：（1）证明：∵∠ACD=∠BCE∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE∴∠ACE=∠DCB在△ACE和△DCB中∵AC CDACE DCBCE CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△DCB；（2）①∵∠ACD=60°∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=60°∵△ACE≌△DCB∴∠AEC=∠DBC ∠CDB=∠CAE∴∠CAE+∠DBC=60°∴∠AFB=180°-60°=120°故答案为：120；②当∠ACD=β时∠AFB=180°-β 理由是：∵∠ACD=β∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=β∵△ACE≌△DCB∴∠AEC=∠DBC ∠CDB=∠CAE∴∠CAE+∠DBC=β∴∠AFB=180°-（∠CAE+∠DBC）=180°-β；故答案为：180°-β．（3）∠AFB=180°-α；证明：∵∠ACD=∠BCE=α 则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE 即∠ACE=∠DCB．在△ACE和△DCB中∵AC DCACE DCBCE CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△DCB（SAS）．则∠CBD=∠CEA如下图∵∠FGE=∠CGB∴∠EFB=∠ECB=α．∠AFB=180°-∠EFB=180°-α．【点睛】本题是三角形综合题考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识本题还综合了旋转的知识点是一道综合性比较强的题．要熟练掌握全等三角形的判定和性质定理．6．如图①在等边△ABC中线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时以CD为一边在CD的下方作等边△CDE 连结BE．（1）当点D在线段AM上时（如图①）则AD BE（填“＞”“＜”或“=”）∠CAM= 度；（2）当点D在线段AM的延长线上时（如图②）直线BE与直线AM的交点为O 求∠AOB的度数；（3）当动点D在线段AM的反向延长线上时直线BE与直线AM的交点为O 试判断∠AOB的度数是否发生变化？若变化请求出∠AOB的度数若不变请说明理由．【答案】（1）=；30；（2）60°；（3）不变见解析【解析】【分析】（1）根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC 则AD=BE；根据等边三角形的性质可以直接得出∠CAM的度数；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=BC DC=EC ∠ACB=∠DCE=60° 由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD 根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC 进而得到∠AOB的度数；（3）当点D在线段MA的延长线上时如图3 通过得出△ACD≌△BCE就可以得出结论．【详解】（1）∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC=BC CD=CE ∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE∴∠ACD=∠BCE．在△ADC和△BEC中AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE；∵△ABC是等边三角形∴∠BAC=60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM=12∠BAC∴∠CAM=30°故答案为：= 30；（2）∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AC=BC DC=EC ∠ACB=∠DCE=60°∵∠ACD=∠ACB+∠DCB ∠BCE=∠DCE+∠DCB ∴∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CAD=∠CBE∵∠AMC=∠BMO∴∠AOB=∠ACB=60°；（3）不变理由如下：∵点D在线段MA的延长线上且△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC=BC CD=CE ∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°∴∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE=∠CAD同理可得：∠CAM=30°∴∠CBE=∠CAD=150°∴∠CBO=30° ∠BAM=30°∴∠BOA=90°-30°=60°．【点睛】本题是三角形综合题 考查了等边三角形的性质的运用 等腰三角形的性质的运用 全等三角形的判定及性质的运用 解答时证明三角形全等是关键．7．已知点C 为线段AB 上一点 分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作ACD △和BCE 且AC DC = CB CE = ACD BCE ∠=∠ 直线AE 与BD 交于点F ．（1）如图① 试说明：ACE DCB ≌；（2）如图① 若60ACD ∠=︒ 则AFB ∠=________°；如图② 若90ACD ∠=︒ 则AFB ∠=________°；如图③ 若120ACD ∠=︒ 则AFB ∠=________°；（3）如图④ 若ACD α∠= 求AFB ∠的值（用含α的代数式表示）；（4）若A 、B 、C 三点不在同一直线上 线段AC 与线段BC 交于点C （交点F 至少在BD 、AE 中的一条线） 如图⑤ 若ACD α∠= 试判断AFB ∠与α的数量关系 并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）120 90 60；（3）180α︒-；（4）180AFB α∠=︒- 见解析【解析】【分析】（1）求出∠ACE =∠DCB 根据SAS 证出两三角形全等即可；（2）根据全等三角形性质得出∠AEC =∠DBC ∠CDB =∠CAE 求出∠EAB+∠DBA=∠ACD ∠AFB =180°-（∠EAB +∠DBC ） 代入求出即可；（3）根据全等三角形的性质、三角形的内角和与三角形的外角性质求出即可．（4）知道ACD BCE ∠=∠ 得到ACE DCB ∠=∠ 证明()ACE DCB SAS ∆≅∆即可求解．【详解】解：（1）ACD BCE ∠=∠ACD DCE BCE DCE ∴∠+∠=∠+∠ACE DCB ∴∠=∠在ACE ∆和DCB ∆中CE CB ⎪=⎩()ACE DCB SAS ∴∆≅∆（2）解：∵∠ACD =60°∴∠CDB +∠DBC =∠ACD =60°∵△ACE ≌△DCB∴∠AEC =∠DBC ∠CDB =∠CAE∴∠CAE +∠DBC =60°∴∠AFB =180°-60°=120°；当∠ACD =90°时∵∠ACD =90°∴∠CDB +∠DBC =∠ACD =90°∵△ACE ≌△DCB∴∠AEC =∠DBC ∠CDB =∠CAE∴∠CAE +∠DBC =90°∴∠AFB =180°-90°=90°；同理：∠ACD =120°时∠AFB =60°故答案为：120 90 60（3）由（1）可知ACE DCB ∆≅∆CAE CDB ∴∠=∠180180AFB CDB CDA DAE CDA DAE BAE CDA DAC ACD α∴∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-故答案为：180α︒-（4）180AFB α∠=︒-理由如下：ACD BCE ∠=∠ACD DCE BCE DCE ∴∠+∠=∠+∠ACE DCB ∴∠=∠在ACE ∆和DCB ∆中CE CB ⎪=⎩()ACE DCB SAS ∴∆≅∆AEC DBC ∴∠=∠180180AFB AEC CEB EBD DBC DBE EBC CEB EBC ECB α∴∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-即180α︒-．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定 三角形的外角性质 三角形的内角和定理 解此题的关键是找出已知量和未知量之间的关系．8．（1）发现：如图1 点A 为线段BC 外一动点 且BC =a AB =b ．当点A 位于______时 线段AC 的长取得最大值 最大值为______．（用含a b 的式子表示）（2）应用：点A 为线段BC 外一动点 且BC =3 AB =1．如图2所示 分别以AB AC 为边 作等边△ABD 和等边△ACE 连接CD BE ．①请找出图中与BE 相等的线段 并说明理由；②直接写出BE 长的最大值．【答案】（1）CB 的延长线 a +b ；（2）①DC =BE 理由见解析；②4；（1）根据点A 位于CB 的延长线上时 线段AC 的长取得最大值 即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD =AB AC =AE ∠BAD =∠CAE =60° 推出△CAD ≌△EAB 根据全等三角形的性质得到CD =BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值 根据（1）中的结论即可得到结果；【详解】解：（1）由题意可知 当点A 位于CB 的延长线上时 线段AC 的长取得最大值 且最大值为AB +BC 即a +b故答案为：CB 的延长线 a +b ；（2）①DC =BE 理由如下：∵△ABD 与△ACE 都是等边三角形∴AD =AB AC =AE ∠BAD =∠CAE =60°∴∠BAD +∠BAC =∠CAE +∠BAC即∠CAD =∠EAB在△CAD 与△EAB 中AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CAD ≌△EAB （SAS ）∴DC =BE ；②线段BE 长的最大值是4由（1）得 点D 在CB 的延长线上时 CD 最大 最大值为DB +BC =AB +BC =4∵△CAD ≌△EAB∴DC =BE∴线段BE 长的最大值为4．9．如图所示 已知B （﹣2 0） C （2 0） A 为y 轴正半轴上的一点 点D 为第二象限一动点 点E 在BD 的延长线上 CD 交AB 于点F 且∠BDC ＝∠BAC ．(1)求证：∠ABD ＝∠ACD ；(2)求证：AD 平分∠CDE ；(3)若在D 点运动的过程中 始终有DC ＝DA +DB 在此过程中 ∠BAC 的度数是否发生变化？如果变化 请说明理由；如果不变 请求出∠BAC 的度数．【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析(3)∠BAC =60° 理由见解析【解析】【分析】(1)根据∠BDC=∠BAC∠DFB=∠AFC再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AF C=180° 即可得出结论．(2)过点A作AM⊥CD于点M作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM=AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；(3)运用截长法在CD上截取CP=BD连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形从而求∠BAC的度数．(1)证明：∵∠BDC=∠BAC∠DFB=∠AFC又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°∴∠ABD=∠ACD；(2)证明：过点A作AM⊥CD于点M作AN⊥BE于点N如下图所示：则∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC OA⊥BC∴AB=AC由(1)可知：∠ABD=∠ACD∴△ACM≌△ABN (AAS)∴AM=AN．∴DA平分∠CDE．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；(3)解：∠BAC的度数为60° 理由如下：在CD上截取CP=BD连接AP如下图所示：∵CD=AD+BD∴AD=PD ．∵AB=AC ∠ABD =∠ACD BD=CP∴△ABD ≌△ACP (SAS )∴AD=AP ∠BAD =∠CAP∴AD=AP=PD 即△ADP 是等边三角形∴∠DAP =60°．∴∠BAC =∠BAP +∠CAP =∠BAP +∠BAD =60°．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质 运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法 综合性较强．10．如图1 点M 为锐角三角形ABC 内任意一点 连接,,AM BM CM ．以AB 为一边向外作等边三角形ABE △ 将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN 连接EN ．（1）求证：AMB ENB △≌△；（2）若AM BM CM ++的值最小 则称点M 为ABC 的费马点．若点M 为ABC 的费马点 求此时,,AMB BMC CMA ∠∠∠的度数；（3）受以上启发 你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图 并说明作法以及理由．【答案】（1）见解析；（2）120BMC ∠=︒：120AMB ∠=︒；120AMC ∠=︒；（3）见解析【解析】【分析】（1）结合等边三角形的性质 根据SAS 可证△AMB ≌△ENB（2）连接MN 由（1）的结论证明ΔBMN 为等边三角形 所以BM =MN 即AM+BM+CM =EN+MN+CM 所以当E 、N 、M 、C 四点共线时 AM+BM+CM 的值最小 从而可求此时∠AMB 、∠BMC 、ΔCMA 的度数；（3）根据（2）中费马点的定义 又△ABC 的费马点在线段EC 上 同理也在线段BF 上 因此线段EC 和BF 的交点即为△ABC 的费马点．【详解】解：（1）证明：∵ABE △为等边三角形∴,60AB BE ABE =∠=︒．而60MBN ∠=︒∴ABM EBN ∠=∠．在AMB 与ENB △中AB BEABM EBNBM BN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)AMB ENB ≌．（2）连接MN ．由（1）知 AM EN =．∵60,MBN BM BN ∠=︒=∴BMN △为等边三角形．∴BM MN =．∴AM BM CM EN MN CM ++=++．∴当E 、N 、M 、C 四点共线时 AM BM CM ++的值最小．此时 180120BMC NMB ∠=︒-∠=︒：180120AMB ENB BNM ∠=∠=︒-∠=︒；360120AMC BMC AMB ∠=-∠-∠=︒︒．（3）如图2 分别以ABC 的AB AC 为一边向外作等边ABE △和等边ACF 连接,CE BF 相交于M 则点M 即为ABC 的费马点 由（2）知 ABC 的费马点在线段EC 上 同理也在线段BF 上．因此线段EC 与BF 的交点即为ABC 的费马点．（方法不唯一 正确即可）【点睛】本题考查了等边三角形的性质 三角形全等的判定与性质,掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．11．已知：△ABC 与△BDE 都是等腰三角形．BA ＝BC BD ＝BE （AB ＞BD ）且有∠ABC ＝∠DBE ．（1）如图1 如果A 、B 、D 在一直线上 且∠ABC ＝60° 求证：△BMN 是等边三角形； （2）在第（1）问的情况下 直线AE 和CD 的夹角是 °；（3）如图2 若A 、B 、D 不在一直线上 但∠ABC ＝60°的条件不变则直线AE 和CD 的夹角是 °； （4）如图3 若∠ACB ＝60° 直线AE 和CD 的夹角是 °．【答案】（1）证明见解析；（2）60；（3）60；（4）60；【解析】【分析】（1）根据题意 得∠ABC ＝∠DBE ＝60° 从而得ABE DBC ∠=∠；通过证明ABE CBD ≌ 得BAE BCD ∠=∠；通过证明BAM BCN ≌ 得BM BN = 根据等边三角形的性质分析 即可完成证明；（2）结合题意 通过证明ABC 为等边三角形 得60BAC BCA ∠=∠=︒；结合（1）的结论 根据三角形外角性质 推导得120AOD ∠=︒ 从而完成求解；（3）同理 通过证明ABC 为等边三角形 得60BAC BCA ∠=∠=︒；通过证明ABE CBD ≌ 得BAE BCD ∠=∠；根据三角形外角性质 推导得120AOD ∠=︒ 从而完成求解；（4）根据题意 通过证明ABC 为等边三角形 推导得ABE CBD ∠=∠ 通过证明ABE CBD ≌ 得BAE BCD ∠=∠ 结合三角形外角的性质计算 即可得到答案．【详解】（1）∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°∴18060MBN ABC DBE ∠=︒-∠-∠=︒ ABE ABC MBN ∠=∠+∠ DBC DBE MBN ∠=∠+∠ ∴ABE DBC ∠=∠∵BA ＝BC BD ＝BEABE △和CBD 中BA BC ABE DBC BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE CBD ≌∴BAE BCD ∠=∠ BAM 和BCN △中60BAE BCD AB BC ABC MBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴BAM BCN ≌∴BM BN =∴BMN △为等边三角形；（2）∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°, BA ＝BC∴ABC 为等边三角形；∴60BAC BCA ∠=∠=︒根据题意 AE 和CD 相交于点O∵BAE BCD ∠=∠∴AOD OAC ACO OAC BCA BCD OAC BCA BAE ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠∵OAC BAE BAC ∠+∠=∠∴120AOD BAC BCA ∠=∠+∠=︒∴18060AOC AOD ∠=︒-∠=︒ 即直线AE 和CD 的夹角是60︒故答案为：60；（3）∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°, BA ＝BC∴ABC 为等边三角形；∴60BAC BCA ∠=∠=︒∵ABE ABC MBN ∠=∠+∠ DBC DBE MBN ∠=∠+∠ ∠ABC ＝∠DBE ＝60°∴ABE DBC ∠=∠∵BA ＝BC BD ＝BEABE △和CBD 中BA BC ABE DBC BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE CBD ≌∴BAE BCD ∠=∠如图 延长AE 交CD 于点O∴AOD OAC ACO OAC BCA BCD OAC BCA BAE ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠∵OAC BAE BAC ∠+∠=∠∴120AOD BAC BCA ∠=∠+∠=︒∴18060AOC AOD ∠=︒-∠=︒ 即直线AE 和CD 的夹角是60︒故答案为：60；（4）∵BA ＝BC∴ACB CAB ∠=∠∵∠ACB ＝60°∴60ACB CAB ∠=∠=︒∴ABC 为等边三角形∵BD ＝BE ∠ABC ＝∠DBE∴60DBE ∠=︒∵ABE ABC CBE ∠=∠-∠ CBD DBE CBE ∠=∠-∠∴ABE CBD ∠=∠ABE △和CBD 中BA BC ABE DBC BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE CBD ≌∴BAE BCD ∠=∠分别延长CD 、AE 相较于点O 如下图：∴AOF OAC ACO OAC BCA BCD OAC BCA BAE ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠∵OAC BAE BAC ∠+∠=∠∴120AOF BAC BCA ∠=∠+∠=︒∴18060AOC AOF ∠=︒-∠=︒ 即直线AE 和CD 的夹角是60︒故答案为：60．【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形、全等三角形、补角、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、全等三角形、三角形外角的性质 从而完成求解．12．如图 已知点B （-2 0） C （2 0） A 为y 轴正半轴上一点 点D 为第二象限内的一个动点 M 在BD 的延长线上 CD 交AB 于点F 且∠ABD =∠ACD ．（1）求证：∠BDC =∠BAC ；（2）求证：DA平分∠CDM；（3）若在D点运动的过程中始终有DC=DA+DB在此过程中∠BAC的度数是否变化？如果变化请说明理由；如果不变请求出∠BAC的度数？【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）∠BAC的度数不变化；理由见详解．【解析】【分析】（1）由三角形的内角和定理以及对顶角相等即可得到结论成立；（2）过点A作AH⊥CD于点H作AG⊥BM于点G．运用“AAS”证明△ACH≌△ABG得AH=AG．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；（3）运用截长法在CD上截取CP=BD连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形从而求∠BAC的度数．【详解】解：（1）由题意在△ACF和△BDF中ACD AFC CAB ABD BFD BDC∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒180∵∠ABD=∠ACD∠AFC=∠BFD∴∠BDC=∠BAC；（2）过点A作AH⊥CD于点H作AG⊥BM于点G如图：则∠AHC=∠AGB=90°∵OB=OC OA⊥BC∴AB=AC∵∠ABD=∠ACD∴△ACH≌△ABG（AAS）∴AH=AG．∴AD平分∠CDM．（3）∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD连接AP．∵CD=AD+BD∴AD=PD．∵AB=AC∠ABD=∠ACD BD=CP∴△ABD≌△ACP．∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．∴AD=AP=PD即△ADP是等边三角形∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法综合性较强．。
八年级等边三角形知识点
八年级等边三角形知识点等边三角形是初中数学中的一个基本几何概念，是指三个边相等的三角形。
在八年级学习中，我们将学到等边三角形的性质和相关的计算方法。
本文将详细介绍八年级等边三角形的知识点，以便同学们更好地掌握该概念。
一、等边三角形的性质1. 三角形的内角和为180度，等边三角形的三个内角相等，因此每个内角都是60度。
2. 等边三角形的三边相等，周长等于三倍的边长。
3. 等边三角形的三边中垂线相交于三角形内部的一个点，该点叫做三角形的垂心，在等边三角形中，垂心和重心、外心、内心重合。
二、等边三角形的计算方法1. 面积计算公式：等边三角形的面积可以通过正弦公式或海伦公式来计算。
正弦公式：S = 1/2 × a² × sin60海伦公式：S = √3/4 × a²2. 高计算公式：等边三角形的高可以通过勾股定理求得，即：h² = a² - (a/2)² = 3/4 × a²。
3. 边长计算公式：等边三角形的边长可以通过斯奈尔定理求得，即：a = s/√3，其中s为三角形的面积。
三、等边三角形的应用等边三角形广泛应用于建筑、设计、物理等多个领域，例如：1. 在建筑设计中，等边三角形常用于构建立面形状，如烟囱、建筑外观等。
2. 在物理学中，等边三角形可以用来描述光学棱镜的形状，并且在光学实验中有着广泛应用。
3. 在艺术设计中，等边三角形被广泛应用于抽象艺术、装饰设计等方面。
四、总结在八年级数学学习中，等边三角形是一个重要的概念，其性质和计算方法需要同学们掌握。
了解等边三角形的应用领域也有助于同学们拓宽思路，丰富知识。
希望同学们能够通过本文的介绍更好地理解等边三角形知识点，从而取得更好的学习成果。
人教版八上数学等边三角形
第12讲等边三角形(三)本讲知识归纳1.等边三角形性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.2.等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.3.在直角三角形中，030所对的直角边等于斜边的一半.基础回顾◆例1 如图，D是等边△ABC内的一点，DB＝DA，BP＝AB，∠P＝030.求证：BD平分∠PBC.分析：由BD＝DA和等边△ABC，连DC，得△ADC≌△BDC,∠1＝12∠ACB＝030＝∠P. 要证BD平分∠PBC，转化为证△PBD≌△CBD.已有:BP＝BA＝BC，BD＝BD,∠1＝∠P，属”SSA”,不能作为全等的依据.注意到BP＝BC，连PC，则得等腰三角形,进而可证等腰三角形△DPC.问题得证.证明:点评:(1)逐步树立”全等意识”——运用全等解决问题；（2）“等边对等角”与“等角对等边”的边角转变意识.◆例2 如图，已知六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°.求证：AB＋BC＝EF＋ED分析：六边形的六个角都是120°，则其邻补角为60°，延长不相邻的两边相交，可得等边三角形，利用等边三角形的边角关系可去证.证明：点评：（1）当题中涉及到30°、45°、60°、120°、135°等特殊角时，常想到去构造特殊三角形，如等边三角形、直角三角形等.（2）本例方法仍属“补形法”，前面也以介绍过。
1、如图，D 、E 分别是等边△ABC 的边BC 、CA 上的点，且AE ＝CD ，AD 与BE 相交于F ，CF ⊥BE ，求AF :BF 的值.2、已知：六边形ABCDEF 的每一个内角都相等，且AB ＝1，BC ＝CD ＝DE ＝9，求：这个六边形的周长.方法运用◆例3 如图，O 是等边△ABC 内一点，已知∠AOB ＝115°，∠BOC ＝125°，求以OA 、OB 、OC 为边所构成三角形各内角的度数.分析：要求以OA 、OB 、OC 为边所构成三角形各内角，先应把这三条线段移到一块构成三角形。
【重点梳理】-初二数学-等边三角形及常见模型
中
（3）含 30°角的直角三角形性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图，在 Rt△ABC 中， ∠A = 30o，则 BC = 1 AB . 2
核 心 知 识 点 二 ：“ 手 拉 手 ” 模 型 （ 等 边 三 角 形 ）
（1）条 件 ： △ABC 与 △CDE 都是等边三角形，具有共同的顶点 C ， B 、 C 、 E 在同一直
【初二数学】
等边三角形及常见模型の重点梳理
一、基础知识梳理
核心知识点一：等边三角形的性质与判定 （1）等边三角形的性质
等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，并且每一个角都是 60°.
如图，在等边 △ABC 中， ∠A = ∠B = ∠C = 60o.
（2）等边三角形的判定 ①三边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
线上. 结论：① △BCD≌△ACE ；
② ∠AOB = ∠DOE = 60o； ③ △BCG≌△ACF ； ④ △GCD≌△FCE ； ⑤ △FCG 是等边三角形； ⑥ OC 平分 ∠BOE . （2）条 件 ： △ABC 与 △CDE 都是等边三角形，具有共同的顶点 C . 结论：① △BCD≌△ACE ； ② ∠AOB = ∠DOE = 60o； ③ OC 平分 ∠BOE .
二、知识体系梳理
人教版初中数学同步讲义八年级上册第04讲 等边三角形(解析版)
课程标准
①等边三角形的概念与性质 ②等边三角形的判定 ③含 30°角的直角三角形
学习目标 1. 掌握等边三角形的性质并能够对其熟练应用。 2. 掌握等边三角形的判定方法，能够运用已知条件熟 练判定等腰三角形。 3. 掌握含 30°角的直角三角形的性质并对其熟练应 用。
知识点 01 等边三角形的概念与性质
∵BD 平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°，
∴BD＝AD＝6，
∴CD＝ BD＝6× ＝3．
D．6
故选：A． 【即学即练 2】 6．若等腰三角形的一腰长为 a，底角为 15°，则这个等腰三角形腰上的高为（ ）
A．2a
B．a
C． a
D．与 a 无关
【解答】解：如图∠B＝15°，AB＝AC，CD 为腰 AB 上的高，AB＝AC＝a， ∴∠ACB＝∠B＝15°， ∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝30°， ∵CD 为 AB 上的高，
BD＝CD＝ 1 BC 2
∴BD＝ 1 AB。 2
题型考点：含 30°角的直角三角形的性质。
【即学即练 1】 5．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD 平分∠ABC，若 AD＝6，则 CD 等于（ ）
A．3
B．4
C．5
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
故选：A．
D．50°
【即学即练 2】 2．如图：等边三角形 ABC 中，BD＝CE，AD 与 BE 相交于点 P，则∠APE 的度数是（ ）
A．45°
B．55°
【解答】解：∵等边△ABC，
∴∠ABD＝∠C，AB＝BC，
在△ABD 与△BCE 中，
新人教版八年级上册数学[等边三角形(提高)知识点整理及重点题型梳理]
新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料等边三角形（提高）【学习目标】1. 掌握等边三角形的性质和判定.2. 掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质．3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】【等边三角形，知识要点】要点一、等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．要点四、含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、等边三角形1、（2015秋·黄冈期中）如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，ABC ∆和DCE ∆都是等边三角形，BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H.（1）求证：△BCE ≌△ACD ；（2）求证：FH ∥BD.【答案与解析】（1）证明： ABC ∆和DCE ∆都是等边三角形∴BC ＝AC ，CE ＝CD ，∠BCA ＝∠ECD ＝60°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE ，即∠BCE=∠ACD在△BCE 和△ACD 中BCE ACD CE B A D C C C ∠=∠==⎧⎪⎨⎪⎩∴△BCE ≌△ACD （SAS ）（2）由（1）知△BCE ≌△ACD则∠CBF=∠CAH ，BC=AC又∵ABC ∆和DCE ∆都是等边三角形，且点B 、C 、D 在同一条直线上，∴∠ACH=180°-∠ACB-∠HCD=60°=∠BCF ，在△BCF 和△ACH 中 CBE CAH BC ACBCF ACH ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△BCF ≌△ACH （ASA ）∴CF=CH ，又∵∠FCH ＝60°∴△CHF 是等边三角形∴∠FHC ＝∠HCD=60°，∴FH ∥BD【总结升华】本题考查等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键。
人教版八年级数学 等边三角形的重点考点剖析
人教版八年级数学等边三角形的重点考点剖析等边三角形作为一种特殊的三角形，倍受命题人的亲睐．因而在中考的舞台上，也就频频上镜．下面就和同学们一起欣赏等边三角形的精彩表演．一、等边三角形背景下探求线段的长度例1如图1，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）A ．31B ．12C ．23D ．不能确定分析：过点Q 作QF ⊥AF ，交AC 的延长线于点F ，因为三角形ABC 是等边三角形，所以∠A=∠ACB=∠FCQ=60°．因为∠AEP=∠CFQ=90°，PA=QC ，所以△AEP ≌△CFQ ，所以AE=CF ，PE=QF ．因为∠DEP=∠DFQ ，所以△DEP ≌△DFQ ，所以DE=DF ．而DF=DC+CF=DC+AE ，所以DE= DC+AE ，所以AC=DE+DC+AE=2DE ，所以DE=12121⨯=AC =21．解：选B ．点评：此题可以引申为一般性命题：如图1，过边长为a 的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为2a ． 二、构造等边三角形探求四边形面积的变化规律例2如图2，点C 是线段AB 上的一个动点，△ACD 和△BCE 是在AB 同侧的两个等边三角形，DM ，EN 分别是△ACD 和△BCE 的高，点C 在线段AB 上沿着从点A 向点B 的方向移动(不与点A ，B 重合)，连接DE ，得到四边形DMNE ．这个四边形的面积变化情况为（ ）（A ）逐渐增大 (B) 逐渐减小 (C) 始终不变 (D) 先增大后变小分析： 设等边三角形ADC 的边长AC=2a ，因为DM 是△ACD 的高，所以MC=a ，∠DCM=60°，∠MDC=30°，所以DM=2222)2(a a MC DC -=-=3a ．设等边三角形BEC 的边长CB=2b ，因为EN 是△BEC 的高， 所以CN=b ，∠ECN=60°，∠CEN=30°，所以EN=2222)2(b b NC EC -=-=3b ．所以四边形DMNE 的面积为：21×（DM+EN ）×(MC+CN)= 21 ×(3a+3b) ×(a+b)=232)(b a +． 因为AC+CB=AB=2a+2b ，所以a+b=2AB ，所以四边形的面积为23×42AB =283AB ． 因为点C 不论如何运动，线段AB 的长度是固定不变的，所以四边形的面积也是一个固定不 变的数值．解：选C ．点评：巧设未知数将不容易表示的线段转化成可表示的式子，有利于问题的解决．其次 就是要明确线段是一个定长．三、等边三角形背景下探求线段和的最小值例3如图3所示，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC边上一点.若AE=2,EM+CM 的最小值为 .分析： 要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．解：因为等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,所以点C 与点B 关于AD 对称，连接BE 交AD 于点M ，这就是EM+CM 最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM ，所以EM+CM=BE ，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC 中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF=222224-=-FC EC =23．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF 中，BE=2222)32(4+=+EFBF=7228=. 点评：巧用轴对称找出最短的线段的位置是解题的关键．四、等边三角形背景下探求生活实际中的篱笆长例4如图4，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，已知点E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，量得EF ＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡， 则需用篱笆的长是（ ）A 、15米 B 、20米 C 、25米 D 、30米分析：表面看是求图形的周长，实际上是三角形中位线定理的具体应用，同时也是对等边三角形性质掌握情况的考查．因为EF 是三角形ABC 的中位线，且EF=5，所以BC=10米．因为三角形ABC 是等百年三角形，所以AB=AC=10，所以BE=CF=5米．所以四边形的周长为：5+5+5+10=25（米）．解：选C ．点评：能灵活的运用三角形的中位线定理是问题破解的切入点．五、等边三角形背景下探求线段的比值例5 如图5，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ， 则AF AG 的值为 ．分析：在一个直角三角形中探求线段的比，我们可以猜想这个直角三角形可能会是一个含有特殊角的直角三角形．这样我们就可以根据边角之间的关系确定比值的大小．解：因为三角形ABC 是等边三角形，所以AB=BC=AC ，∠ACB=∠B=60°．因为AD=BE ，所以AB-AD=BC-BE ，所以BD=CE ，所以△ACE ≌△CBD ，所以∠CAE=∠BCD ．因为∠ACB=∠ACF+∠BCD =60°，∠AFG=∠CAE+∠ACF ，所以∠AFG=∠BCD +∠ACF ，所以∠AFG=60°，所以∠FAG=30°，设FG=x ，则AF=2x ，根据沟谷定理得到AG=3x ，所以AF AG =2323 xx ． 点评：利用三角形的全等和等量代换的思想是解题常用方法，请同学们要重视它们的组合式应用．六、等边三角形为背景判断结论的正误例6如图6所示，已知△ABC 和△DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，连结OC 、FG ，则下列结论：①AE＝BD ②AG＝BF ③FG∥BE 其中正确结论的个数（ ）A.1个B.2个C.3个D.0个分析：在较为复杂的背景下，找出自己所需要的全等三角形是解题的一个关键因素．解：因为三角形ABC 是等边三角形，所以AB=BC=AC ，∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°．因为三角形△DCE 是等边三角形，所以DC=CE=ED ，∠DCE=∠DEC=∠CDE=60°．所以∠BCD=∠ACB+∠ACD =60°+∠ACD ，∠ACE=∠DCE+∠ACD =60°+∠ACD ，所以∠BCD=∠ACE ，所以△BCD ≌△ACE ，所以AE ＝BD ，所以①是正确的；因为△BCD ≌△ACE ，所以∠CBF=∠FAG ，因为BC=AC,FC=GC ，所以△CBF ≌△FAG ，所以AG ＝BF ，所以②是正确的；因为△CBF ≌△FAG ，所以CF=FG ，因为∠DCE=∠ACB=60°，所以∠FCG=60°，所以三角形CFG 是等边三角形，所以∠CFG=60°，所以∠CFG=∠ACB ，所以FG∥BE，所以③是正确的；所以有三个是正确的．解：选C.点评：注重知识的前后联系，横纵联系是解题的有效途径．同学们一定要多加训练．七、等边三角形背景下探求分割后等边三角形的个数例7如图7，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割， 得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……， 则得到的第五个图中，共有________个正三角形．分析：利用归纳的思想来解答问题时，要注意两点，一是至少要写出前三个的结果；二是尽量将结果用相同的方式描述，以便于寻找规律．当序号是1时，等边三角形的数量为1；当序号是2时，等边三角形的数量为1+4=5；当序号是3时，等边三角形的数量为1+4+4=9；这里数字1是一个不变的数，而后面的数字4是随序号的变化而变化的，且序号为1时，为0，序号为2时，一个4，序号为3时，2个4，由此我们猜想，当序号为n 时，有n-1个4即4（n-1），所以当序号为n 时，总共的三角形个数为4（n-1）+1=4n-3个，所以当n=5时，4n-3=17个．解：有17个．点评：在解答规律猜想问题时，要时刻注意变化数值与序号的关系，这是这类问题中比较常用的方法．八、等边三角形背景下探求等边三角形的面积例8 如图8，小红作出了边长为1的第1个正△111C B A ，算出了正△111C B A 的面积，然后分别取△111C B A 三边的中点2A ，2B ，2C ，作出了第2个正△2A 2B 2C ，算出了正△2A 2B 2C 的面积，用同样的方法，作出了第3个正△333C B A ，算出了正△333C B A 的面积……，由此可得，第8个正△888C B A 的面积是（ ）A ．7)21(23⨯B ．8)21(23⨯C ．7)41(43⨯D ．8)41(43⨯分析：等边三角形的面积主要是确定于三角形的边长，只要确定了边长面积顺利确定． 当边长是1时，三角形的高为23，所以三角形的面积为：23121⨯⨯=43； 当第二次构造等边三角形时，等边三角形的边长变成了原长的一半，记a=21×1=21，高变成了边长的23×21倍为：23×21，所以新等边三角形的面积为：2)21(4321232121⨯=⨯⨯⨯=12)41(43-⨯；所以当第8次时，三角形的面积为7)41(43⨯． 解：选择C ．点评：正确处理后三角形的面积公式与等边三角形的边长之间的关系是解题的一个关键．其次就是要注意规律的归纳．九、等边三角形背景下探求线段成的规律例9如图9，△ABC 是一个边长为2的等边三角形，A 0D ⊥BC ，垂足为点0D ．过点0D 作0D 1D ⊥AB ，垂足为点1D ；再过点1D 作1D 2D ⊥A 0D ，垂足为点2D 又过点2D 作2D 3D ⊥AB ，垂足为点3D ；……；这样一直作下去，得到一组线段：0D 1D ， 1D 2D ,2D 3D ，……，则线段n n D D 1-的长为_ _（n 为正整数）．分析：为了能找出线段长的变化规律，我们可以尽可能的多求出一条线段的长度，以便于寻 找其中的变化规律．根据等边三角形的性质得到：0D B=1，∠1D 0D B=30°，所以1D B=21,根据勾股定理得到： 0D 1D =23； 在直角三角形1D 0D 2D 中，1D 2D =230D 1D =2)23(，规律可以从两个方面来找：底数 是一个常数，指数是一个变数，且这个变数等于D 的后面右下角码，所以n n D D 1 =n )23(． 点评：解题时要牢牢把握好30°角所对的直角边是斜边的一半这条性质．这将会让你的解题顺利通行．十、等边三角形背景下证明线段的相等例10 如图10，已知：在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，BC 的延长线上取一点E ，使 CE ＝ C D ．求证：BD ＝ DE ．分析：可以通过证明这两条线段所对的角是相等．证明：因为△ABC 是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，因为D 为AC 中点，所以∠DBC=30°，因为CE ＝ CD ，所以∠E=30°，所以∠DBC=∠E ，所以BD ＝ DE.十一、等边三角形背景下动态问题探析例11如图11， 已知等边三角形ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时， △DMN 也随 之整体移动） ．（1）如图①，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE 上？都请直接．．．．写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图②，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍 然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M 在点C 右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．分析：解答为题时，要严格遵循问题的要求，逐步作答，规范的作答将使你获得高分．其次就是要注意问题之间的前后联系，做到相互借鉴，相互补充．解：（1）判断：EN与MF相等，或EN=MF；点F在直线NE上；（2）成立．证明：连结DE，DF．因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC=BC．又因为D，E，F是三边的中点，所以DE，DF，EF为三角形的中位线．所以DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，所以∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，所以△DMF≌△DNE．所以MF=NE．（3）画出图形MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．点评：作答时注意严格按照问题的要求．其次就是要注意方法在解题的延伸性．。
八年级数学专题——等边三角形人教实验版知识精讲
初二数学专题——等边三角形人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：专题——等边三角形 1. 等边三角形的概念。
2. 等边三角形的性质和判定。
二、知识要点：1. 等边三角形的概念两条边相等的三角形叫做等腰三角形，那么三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2. 等边三角形的性质（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三边都相等，它的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
（2）等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，它的任一角的平分线垂直并平分对边。
（3）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
它是由等边三角形的性质得出的，体现了直角三角形的性质，它的主要作用是解决直角三角形中的有关计算问题，特别是在以后的学习中应用更广泛。
蒂莲3. 等边三角形的判定（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
三、考点分析：等边三角形是一种特殊的等腰三角形，在中考中经常出现，对这部分知识的考查主要是：等边三角形的性质和判定，即边与角的互相转化。
【典型例题】题型1：角度的计算例1. 如图所示，△ABC 是等边三角形，AD 为中线，AD ＝AE ，求∠EDC 的度数。
ABCDE分析：先求出∠DAE ＝30°，∠AED ＝∠ADE ＝75°，结合∠EDC ＝∠AED －∠C 可求。
解：∵△ABC 为等边三角形，AD 为中线，∴∠DAE ＝12∠BAC ＝12×60°＝30°。
∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ＝12×（180°－∠DAE ）＝12×（180°－30°）＝75°。
∵∠AED ＝∠EDC ＋∠C ，∴∠EDC ＝∠AED －∠C ＝75°－60°＝15°。
人教版八年级上册第十一章三角形知识点总结归纳
三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二常识：1．三角形中，第三边长的判断：另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD⊥AB，BE⊥CA，则CD·AB=BE·CA.4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.AB CED7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即： （1） AC ·CB=CD ·AB ； （2）∠1=∠B ，∠2=∠A .8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10．等边三角形是特殊的等腰三角形.11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明. 12．符合“AAA ”“SSA ”条件的三角形不能判定全等.13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15．会用尺规完成“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”、“HL ”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图. ※18．几何重要图形和辅助线： （1）选取和作辅助线的原则：① 构造特殊图形，使可用的定理增加； ② 一举多得；③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角； ④ 作辅助线必须符合几何基本作图.A BCD 12（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）BC的中线）（3）已知三角形中线（若AD是（5）其它。
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人教版八年级数学等边三角形的重点考点剖析等边三角形作为一种特殊的三角形，倍受命题人的亲睐．因而在中考的舞台上，也就频频上镜．下面就和同学们一起欣赏等边三角形的精彩表演．一、等边三角形背景下探求线段的长度例1如图1，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）A ．31B ．12C ．23D ．不能确定分析：过点Q 作QF ⊥AF ，交AC 的延长线于点F ，因为三角形ABC 是等边三角形，所以∠A=∠ACB=∠FCQ=60°．因为∠AEP=∠CFQ=90°，PA=QC ，所以△AEP ≌△CFQ ，所以AE=CF ，PE=QF ．因为∠DEP=∠DFQ ，所以△DEP ≌△DFQ ，所以DE=DF ．而DF=DC+CF=DC+AE ，所以DE= DC+AE ，所以AC=DE+DC+AE=2DE ，所以DE=12121⨯=AC =21．解：选B ．点评：此题可以引申为一般性命题：如图1，过边长为a 的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为2a ． 二、构造等边三角形探求四边形面积的变化规律例2如图2，点C 是线段AB 上的一个动点，△ACD 和△BCE 是在AB 同侧的两个等边三角形，DM ，EN 分别是△ACD 和△BCE 的高，点C 在线段AB 上沿着从点A 向点B 的方向移动(不与点A ，B 重合)，连接DE ，得到四边形DMNE ．这个四边形的面积变化情况为（ ）（A ）逐渐增大 (B) 逐渐减小 (C) 始终不变 (D) 先增大后变小分析： 设等边三角形ADC 的边长AC=2a ，因为DM 是△ACD 的高，所以MC=a ，∠DCM=60°，∠MDC=30°，所以DM=2222)2(a a MC DC -=-=3a ．设等边三角形BEC 的边长CB=2b ，因为EN 是△BEC 的高， 所以CN=b ，∠ECN=60°，∠CEN=30°，所以EN=2222)2(b b NC EC -=-=3b ．所以四边形DMNE 的面积为：21×（DM+EN ）×(MC+CN)= 21 ×(3a+3b) ×(a+b)=232)(b a +． 因为AC+CB=AB=2a+2b ，所以a+b=2AB ，所以四边形的面积为23×42AB =283AB ． 因为点C 不论如何运动，线段AB 的长度是固定不变的，所以四边形的面积也是一个固定不 变的数值．解：选C ．点评：巧设未知数将不容易表示的线段转化成可表示的式子，有利于问题的解决．其次就是要明确线段是一个定长．三、等边三角形背景下探求线段和的最小值例3如图3所示，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC边上一点.若AE=2,EM+CM 的最小值为 .分析： 要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．解：因为等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,所以点C 与点B 关于AD 对称，连接BE 交AD 于点M ，这就是EM+CM 最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM ，所以EM+CM=BE ，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC 中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF=222224-=-FC EC =23．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF 中，BE=2222)32(4+=+EFBF=7228=. 点评：巧用轴对称找出最短的线段的位置是解题的关键．四、等边三角形背景下探求生活实际中的篱笆长例4如图4，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，已知点E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，量得EF ＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是（ ）A 、15米 B 、20米 C 、25米 D 、30米分析：表面看是求图形的周长，实际上是三角形中位线定理的具体应用，同时也是对等边三角形性质掌握情况的考查．因为EF 是三角形ABC 的中位线，且EF=5，所以BC=10米．因为三角形ABC 是等百年三角形，所以AB=AC=10，所以BE=CF=5米．所以四边形的周长为：5+5+5+10=25（米）．解：选C ．点评：能灵活的运用三角形的中位线定理是问题破解的切入点．五、等边三角形背景下探求线段的比值例5 如图5，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ， 则AFAG 的值为 ．分析：在一个直角三角形中探求线段的比，我们可以猜想这个直角三角形可能会是一个含有特殊角的直角三角形．这样我们就可以根据边角之间的关系确定比值的大小．解：因为三角形ABC 是等边三角形，所以AB=BC=AC ，∠ACB=∠B=60°．因为AD=BE ，所以AB-AD=BC-BE ，所以BD=CE ，所以△ACE ≌△CBD ，所以∠CAE=∠BCD ．因为∠ACB=∠ACF+∠BCD =60°，∠AFG=∠CAE+∠ACF ，所以∠AFG=∠BCD +∠ACF ，所以∠AFG=60°，所以∠FAG=30°，设FG=x ，则AF=2x ，根据沟谷定理得到AG=3x ，所以AF AG =2323 xx ． 点评：利用三角形的全等和等量代换的思想是解题常用方法，请同学们要重视它们的组合式应用．六、等边三角形为背景判断结论的正误例6如图6所示，已知△ABC 和△DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，连结OC 、FG ，则下列结论：①AE＝BD ②AG＝BF ③FG∥BE 其中正确结论的个数（ ）A.1个B.2个C.3个D.0个分析：在较为复杂的背景下，找出自己所需要的全等三角形是解题的一个关键因素．解：因为三角形ABC 是等边三角形，所以AB=BC=AC ，∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°．因为三角形△DCE 是等边三角形，所以DC=CE=ED ，∠DCE=∠DEC=∠CDE=60°．所以∠BCD=∠ACB+∠ACD =60°+∠ACD ，∠ACE=∠DCE+∠ACD =60°+∠ACD ，所以∠BCD=∠ACE ，所以△BCD ≌△ACE ，所以AE ＝BD ，所以①是正确的；因为△BCD ≌△ACE ，所以∠CBF=∠FAG ，因为BC=AC,FC=GC ，所以△CBF ≌△FAG ，所以AG ＝BF ，所以②是正确的；因为△CBF ≌△FAG ，所以CF=FG ，因为∠DCE=∠ACB=60°，所以∠FCG=60°，所以三角形CFG 是等边三角形，所以∠CFG=60°，所以∠CFG=∠ACB ，所以FG∥BE，所以③是正确的；所以有三个是正确的．解：选C.点评：注重知识的前后联系，横纵联系是解题的有效途径．同学们一定要多加训练．七、等边三角形背景下探求分割后等边三角形的个数例7如图7，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割， 得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……， 则得到的第五个图中，共有________个正三角形．分析：利用归纳的思想来解答问题时，要注意两点，一是至少要写出前三个的结果；二是尽量将结果用相同的方式描述，以便于寻找规律．当序号是1时，等边三角形的数量为1；当序号是2时，等边三角形的数量为1+4=5；当序号是3时，等边三角形的数量为1+4+4=9；这里数字1是一个不变的数，而后面的数字4是随序号的变化而变化的，且序号为1时，为0，序号为2时，一个4，序号为3时，2个4，由此我们猜想，当序号为n 时，有n-1个4即4（n-1），所以当序号为n 时，总共的三角形个数为4（n-1）+1=4n-3个，所以当n=5时，4n-3=17个．解：有17个．点评：在解答规律猜想问题时，要时刻注意变化数值与序号的关系，这是这类问题中比较常用的方法．八、等边三角形背景下探求等边三角形的面积例8 如图8，小红作出了边长为1的第1个正△111C B A ，算出了正△111C B A 的面积，然后分别取△111C B A 三边的中点2A ，2B ，2C ，作出了第2个正△2A 2B 2C ，算出了正△2A 2B 2C 的面积，用同样的方法，作出了第3个正△333C B A ，算出了正△333C B A 的面积……，由此可得，第8个正△888C B A 的面积是（ ）A ．7)21(23⨯B ．8)21(23⨯C ．7)41(43⨯D ．8)41(43⨯分析：等边三角形的面积主要是确定于三角形的边长，只要确定了边长面积顺利确定． 当边长是1时，三角形的高为23，所以三角形的面积为：23121⨯⨯=43； 当第二次构造等边三角形时，等边三角形的边长变成了原长的一半，记a=21×1=21，高变成了边长的23×21倍为：23×21，所以新等边三角形的面积为：2)21(4321232121⨯=⨯⨯⨯=12)41(43-⨯；所以当第8次时，三角形的面积为7)41(43⨯． 解：选择C ．点评：正确处理后三角形的面积公式与等边三角形的边长之间的关系是解题的一个关键．其次就是要注意规律的归纳．九、等边三角形背景下探求线段成的规律例9如图9，△ABC 是一个边长为2的等边三角形，A 0D ⊥BC ，垂足为点0D ．过点0D 作0D 1D ⊥AB ，垂足为点1D ；再过点1D 作1D 2D ⊥A 0D ，垂足为点2D 又过点2D 作2D 3D ⊥AB ，垂足为点3D ；……；这样一直作下去，得到一组线段：0D 1D ， 1D 2D ,2D 3D ，……，则线段n n D D 1-的长为_ _（n 为正整数）．分析：为了能找出线段长的变化规律，我们可以尽可能的多求出一条线段的长度，以便于寻 找其中的变化规律．根据等边三角形的性质得到：0D B=1，∠1D 0D B=30°，所以1D B=21,根据勾股定理得到： 0D 1D =23； 在直角三角形1D 0D 2D 中，1D 2D =230D 1D =2)23(，规律可以从两个方面来找：底数 是一个常数，指数是一个变数，且这个变数等于D 的后面右下角码，所以n n D D 1 =n )23(． 点评：解题时要牢牢把握好30°角所对的直角边是斜边的一半这条性质．这将会让你的解题顺利通行．十、等边三角形背景下证明线段的相等例10 如图10，已知：在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，BC 的延长线上取一点E ，使 CE ＝ C D ．求证：BD ＝ DE ．分析：可以通过证明这两条线段所对的角是相等．证明：因为△ABC 是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，因为D 为AC 中点，所以∠DBC=30°，因为CE ＝ CD ，所以∠E=30°，所以∠DBC=∠E ，所以BD ＝ DE.十一、等边三角形背景下动态问题探析例11如图11， 已知等边三角形ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时， △DMN 也随 之整体移动） ．（1）如图①，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE 上？都请直接．．．．写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图②，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍 然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M 在点C 右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．分析：解答为题时，要严格遵循问题的要求，逐步作答，规范的作答将使你获得高分．其次就是要注意问题之间的前后联系，做到相互借鉴，相互补充．解：（1）判断：EN与MF相等，或EN=MF；点F在直线NE上；（2）成立．证明：连结DE，DF．因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC=BC．又因为D，E，F是三边的中点，所以DE，DF，EF为三角形的中位线．所以DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，所以∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，所以△DMF≌△DNE．所以MF=NE．（3）画出图形MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．点评：作答时注意严格按照问题的要求．其次就是要注意方法在解题的延伸性．。