高考复习文科数学课时试题(47)圆的方程及答案
高考数学复习圆的方程专题练习(附答案)
高考数学复习圆的方程专题练习（附答案）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。
以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。
一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2019南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，所以圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2019江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y|的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，所以a+b=2.所以+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b=时取等号.[答案] 96.(2019南京市、盐城市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，所以kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，所以直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2019泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a=________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，所以的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且经过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，所以圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2=2.一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
新疆高考数学一轮复习：47 圆的方程
新疆高考数学一轮复习：47 圆的方程姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线y＝—x+6对称的圆的方程是（）A . (x＋10)2＋(y＋3)2＝1B . (x－10)2＋(y－3)2＝1C . (x－3)2＋(y＋10)2＝1D . (x－3)2＋(y－10)2＝12. （2分）已知圆C过坐标原点，面积为2π，且与直线l：x﹣y+2=0相切，则圆C的方程是（）A . （x+1）2+（y+1）2=2B . （x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y﹣1）2=2C . （x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2D . （x﹣1）2+（y﹣1）2=23. （2分） (2018高二上·浙江期中) 已知圆：的圆心坐标是，则半径为（）A . 2B . 3C . 4D . 54. （2分） (2017高二上·长春期中) 圆（x﹣1）2+y2=4上的点可以表示为（）A . （﹣1+cos θ，sin θ ）B . （1+sin θ，cos θ ）C . （﹣1+2cos θ，2sin θ ）D . （1+2cos θ，2sin θ ）5. （2分）圆C：x2＋y2＋2x＋4y－3=0上到直线l：x＋y＋1=0的距离为的点共有（）A . １个B . ２个C . ３个D . ４个6. （2分）表示一个圆，则的取值范围是（）A . ≤2B .C .D . ≤7. （2分） (2017高二上·武清期中) 已知圆C1：f（x，y）=0，圆C2：g（x，y）=0，若存在两点A（x1 ，y1），B（x2 ， y2）满足f（x1 ， y1）＜0，f（x2 ， y2）＞0，g（x1 ， y1）＜0，g（x2 ， y2）＜0，则C1与C2的位置关系为（）A . 相交B . 相离C . 相交或C1在C2内D . 相交或C2在C1内8. （2分） (2016高二上·镇雄期中) 圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣5=0的圆心坐标是（）A . （﹣2，﹣1）B . （2，1）C . （2，﹣1）D . （1，﹣2）9. （2分） (2018高二上·哈尔滨月考) 圆的圆心和半径分别为（）A . 圆心，半径为2B . 圆心，半径为2C . 圆心，半径为4D . 圆心，半径为410. （2分） (2020高二上·嘉兴期末) 已知点､与圆 : ,则（）A . 点与点都在圆外B . 点在圆外,点在圆内C . 点在圆内,点在圆外D . 点与点都在圆内11. （2分）过点A（0，2），B（﹣2，2），且圆心在直线x﹣y﹣2=0上的圆的方程是（）A . =26B . =26C . =26D . =2612. （2分） (2017高一下·包头期末) 过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=（）A .B . 8C .D . 10二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分）已知圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的标准方程是________．14. （1分）(2019·濮阳模拟) 平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线.给出以下四个结论：①当时，曲线是一个圆；②当时，曲线的离心率为；③当时，曲线的渐近线方程为；④当时，曲线的焦点坐标分别为和 .其中全部正确结论的序号为________.15. （1分） (2019高二上·辽宁月考) 在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．16. （1分） (2019高三上·浙江月考) 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻的研究，其主要成果集中于他的代表作《圆锥曲线》一书，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于常数（该常数大于零且不等于1）的点的轨迹为圆，后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，由上面的结果知点P 的轨迹是圆，则该圆的半径是________，的最大值是________．17. （1分） (2016高一下·盐城期中) 在平面直角坐标系xOy中，若圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴相交于A（1，0）、B（3，0）两点，且与直线x﹣y+1=0相切，则圆C的标准方程为________．18. （1分）圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为________ .三、解答题 (共4题；共35分)19. （5分） (2019高一下·宁波期末) 已知点，，曲线C任意一点满足 .（1）求曲线C的方程；（2）设点，问是否存在过定点Q的直线:与曲线C相交于不同两点，无论直线如何运动，x 轴都平分，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由.20. （10分） (2018高一下·葫芦岛期末) 小明准备利用暑假时间去旅游，妈妈为小明提供四个景点，九寨沟、泰山、长白山、武夷山．小明决定用所学的数学知识制定一个方案来决定去哪个景点：（如图）曲线和直线交于点．以为起点，再从曲线上任取两个点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为．若去九寨沟；若去泰山；若去长白山；去武夷山．（1）若从这六个点中任取两个点分别为终点得到两个向量，分别求小明去九寨沟的概率和不去泰山的概率；（2）按上述方案，小明在曲线上取点作为向量的终点，则小明决定去武夷山．点在曲线上运动，若点的坐标为，求的最大值．21. （10分） (2017高一下·上饶期中) 已知圆O的方程为x2+y2=5．（1） P是直线y= x﹣5上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，求证：直线CD过定点；（2）若EF、GH为圆O的两条互相垂直的弦，垂足为M（1，1），求四边形EGFH面积的最大值．22. （10分） (2016高二上·自贡期中) 已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共4题；共35分) 19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
高考数学文一轮：一课双测A+B精练四十七圆 的 方 程
高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十七) 圆 的 方 程1．圆(x ＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y2＝5B ．x2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x2＋(y ＋2)2＝52．(·辽宁高考)将圆x2＋y2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝03．(·青岛二中期末)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1 4．(·海淀检测)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝15．(·杭州模拟)若圆x2＋y2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)6．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是( )A.95B ．1 C.45D.1357．如果三角形三个顶点分别是O(0,0)，A(0,15)，B(－8,0)，则它的内切圆方程为________________．8．(·河南三市调研)已知圆C 的圆心与抛物线y2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB|＝6，则圆C 的方程为__________．9．(·南京模拟)已知x ，y 满足x2＋y2＝1，则y －2x －1的最小值为________．10．过点C(3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r1，r2，求r1r2.11．已知以点P 为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD|＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．12．(·吉林摸底)已知关于x ，y 的方程C ：x2＋y2－2x －4y ＋m ＝0. (1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN|＝455，求m 的值．1．(·常州模拟)以双曲线x26－y23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋y2＝1B ．(x －3)2＋y2＝3C ．(x －3)2＋y2＝3D ．(x －3)2＋y2＝92．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT(T 为切点)，当|PT|最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)3．已知圆M 过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．[答 题 栏]A 级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________ 答 案高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十七)A 级1．A2.C3.B4.A5．选A 将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，即a ＜2.∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b ＜4.6．选C 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 7．解析：因为△AOB 是直角三角形，所以内切圆半径为r ＝|OA|＋|OB|－|AB|2＝15＋8－172＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9. 答案：(x ＋3)2＋(y －3)2＝98．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋－32＝1， 则R2＝d2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22＝10，因此圆C 的方程是x2＋(y －1)2＝10. 答案：x2＋(y －1)2＝109．解析：y －2x －1表示圆上的点P(x ，y)与点Q(1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k(x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k|k2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34.答案：3410．解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限， 且在直线y ＝x 上，故可设两圆方程为(x －a)2＋(y －a)2＝a2，(x －b)2＋(y －b)2＝b2， 且r1＝a ，r2＝b.由于两圆都过点C ，则(3－a)2＋(4－a)2＝a2，(3－b)2＋(4－b)2＝b2 即a2－14a ＋25＝0，b2－14b ＋25＝0. 则a 、b 是方程x2－14x ＋25＝0的两个根． 故r1r2＝ab ＝25.11．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P(a ，b)，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD|＝410，∴|PA|＝210， ∴(a ＋1)2＋b2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．解：(1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，显然只要5－m ＞0，即m ＜5时方程C 表示圆．(2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，其中m ＜5，所以圆心C(1,2)， 半径r ＝5－m ，则圆心C(1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15，因为|MN|＝455，所以12|MN|＝255，所以5－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552， 解得m ＝4.B 级1．选B 双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r ＝|3|12＋±22＝3，所求圆方程为(x －3)2＋y2＝3. 2．选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT|＝|PC|2－1，故|PT|最小时，即|PC|最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x－4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．3．解：(1)设圆M 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r2(r ＞0)． 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋－1－b 2＝r2，－1－a 2＋1－b2＝r2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)因为四边形PAMB 的面积 S ＝S △PAM ＋S △PBM＝12|AM|·|PA|＋12|BM|·|P B|， 又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|， 所以S ＝2|PA|， 而|PA|＝|PM|2－|AM|2 ＝|PM|2－4， 即S ＝2|PM|2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ， 使得|PM|的值最小，所以|PM|min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形PAMB 面积的最小值为S ＝2|PM|2－4＝232－4＝2 5.高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系1．(·人大附中月考)设m＞0，则直线2(x＋y)＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为( )A．相切B．相交C．相切或相离D．相交或相切2．(·福建高考)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于( )A．25B．23C.3D．13．(·安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)4．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )A.2B.3C．2D．35．(·兰州模拟)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为( )A．(2＋1，＋∞) B．(2－1, 2＋1)C．(0, 2－1) D．(0, 2＋1)6．(·临沂模拟)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )A.2B.21 2C．22D．27．(·朝阳高三期末)设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则实数m的值是________．8．(·东北三校联考)若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为________．9．(·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．10．(·福州调研)已知⊙M ：x2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB|＝423，求|MQ|及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．11．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM|＝|ON|，求圆C 的方程． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x2＋y2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P(0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ ―→共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．1．已知两圆x2＋y2－10x －10y ＝0，x2＋y2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________________；公共弦长为________．2．(·上海模拟)已知圆的方程为x2＋y2－6x －8y ＝0，a1，a2，…，a11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a1，a2，…，a11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．3.(·江西六校联考)已知抛物线C ：y2＝2px(p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO|＝|BO|＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ―→,·PF ―→,的最小值；(3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．[答 题 栏] A 级1._________2._________3._________4._________5B 级1.______2.______.__________6._________7.__________8.__________9.__________答 案高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十八)A 级1．C2.B3.C4.C5．选A 计算得圆心到直线l 的距离为22＝ 2＞1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l1，l2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2＋1.6．选D 圆心C(0,1)到l 的距离 d ＝5k2＋1，所以四边形面积的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×d2－1＝2， 解得k2＝4，即k ＝±2. 又k ＞0，即k ＝2.7．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1， 即|1－2m －1|1＋m2＝1，解得m ＝±33.答案：±338．解析：由题意可知圆C ：x2＋y2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为24－⎝⎛⎭⎪⎫c a2＋b22，由于a2＋b2＝c2，所以所求弦长为2 3.答案：239．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P(x0，－x0＋22)，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°， ∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x20＋－x0＋222＝2，解得x0＝ 2.故点P 的坐标是( 2，2)．答案：( 2， 2)10．解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP|＝223，又|AM|＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP|＝12－89＝13，又∵|MQ|＝|MA|2|MP|，∴|MQ|＝3.设Q(x,0)，而点M(0,2)，由x2＋22＝3，得x ＝±5， 则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以Q M 为直径的圆上，此圆的方程为x(x －q)＋y(y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx －2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. 11．解：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为 (x －t)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t2＋4t2， 化简得x2－2tx ＋y2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A(2t,0)； 当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t ， 所以S △AOB ＝12|OA|·|OB|＝12|2t|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值．(2)∵|OM|＝|ON|，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ， ∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率 k ＝2t t ＝2t2＝12，∴t ＝2或t ＝－2. ∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k2)x2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)>0，解得－34<k<0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0. (2)设A(x1，y1)、B(x2，y2) 则OA ＋OB ＝(x1＋x2，y1＋y2)， 由方程①得x1＋x2＝－4k －31＋k2.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4.③因P(0,2)、Q(6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，将②③代入上式， 解得k ＝－34.而由(1)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k. B 级1．解析：由两圆的方程x2＋y2－10x －10y ＝0，x2＋y2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230.答案：2x ＋y －5＝02302．解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－4610＝5－265. 答案：5－2653．解：(1)易得B(1，3)，A(－1，－3)，设圆M 的方程为(x －a)2＋y2＝a2(a ＞0)，将点B(1，3)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y2＝4，因为点A(－1，－3)在准线l 上，所以p2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y2＝4x.(2)由(1)得，M(2,0)，F(1,0)，设点P(x ，y)，则PM ,＝(2－x ，－y)，PF ,＝(1－x ，－y)，又点P 在抛物线y2＝4x 上，所以PM ,·PF ,＝(2－x)(1－x)＋y2＝x2－3x ＋2＋4x ＝x2＋x ＋2，因为x ≥0，所以PM ,·PF ,≥2，即PM ,·PF ,的最小值为2.(3)证明：设点Q(－1，m)，则|QS|＝|QT|＝m2＋5，以Q 为圆心，m2＋5为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －m)2＝m2＋5，即x2＋y2＋2x －2my －4＝0，①又圆M 的方程为(x －2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x ＝0，② 由①②两式相减即得直线ST 的方程3x －my －2＝0，显然直线ST 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0.高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．43．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋37．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A．23B．3C.3D．42．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为22.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．[答题栏]A级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________答案高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)A级1．A2.A3.C4.B5．选B由斜二测画法知B正确．6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝533.答案：5339.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2210．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中， 高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高， 在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.B 级1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于32－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.答案：33．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C.∵OE ⊄平面A1C1C ，A1C ⊂平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a22，S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a22，S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a28＝5a2.。
高考数学圆的方程练习题附答案
高考数学圆的方程练习题附答案1.若圆c的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[分析]将圆心设为Ca，Ba>0，b>0，从问题的意义中得出b=1又圆心c到直线4x-3y=0的距离d==1，解决方案是a=2或a=-四舍五入所以该圆的标准方程为x-22+y-12=1.[答：]x-22+Y-12=12.2021·南京质检已知点p2,1在圆c：x2+y2+ax-2y+b=0上，点p关于直线x+y-1=0的对称点也在圆c上，则圆c的圆心坐标为________.【分析】因为点P相对于直线x+Y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解为a=0，所以中心坐标为0,1[答案] 0,13.如果已知圆的中心位于直线y=-4x上，且圆在点P3，-2处与直线L:x+y-1=0相切，则圆的方程式为：___[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为1，-4.半径r=2，圆的方程式为X-12+y+42=8[答案] x-12+y+42=84.2022·江苏常州模拟知道实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，那么| 2x-y |的最小值为___[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得x-22+y+32=1，令x=2+cosα，y=-3+sinα，然后| 2x-y |=|4+2cosα+3-sinα|=|7-sinα-φ|≥7-tanφ=2.[答：]7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0a>0，b>0对称，则+的最小值是________.【分析】从圆的对称性来看，直线2aX by+8=0必须穿过圆的中心-2,4，因此a+B=2，+=+=++5≥ 2+5=9，from=，然后A2=4B2，再从a+B=2，所以当且仅当a=，B时取等号=[答案] 96.2022. 南京市和盐城市的第三次模拟考试是在平面直角坐标系xoy中进行的。
【跳出题海】高考数学总复习 高分攻略第47讲 圆的方程
（2014跳出题海）高考数学总复习高分攻略 [第47讲 圆的方程]
(时间：35分钟 分值：80分)
基础热身 1．[2013·四川卷] 圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( ) A．(2，3) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 2．[2013·济宁模拟] 若直线3x－y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( ) A．－1 B．1 C．3 D．5 3．已知方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是( ) A．－1C．k<－4或k>1 D．k<－1或k>4 4．[2013·青岛模拟] 已知圆x2＋y2－2x＋my－4＝0上两点M，N关于直线2x＋y＝0对称，则圆的半径为( ) A．9 B．3 C．23 D．2
能力提升 5．△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，则该三角形的外接圆方程是( ) A．(x－2)2＋(y－2)2＝20 B．(x－2)2＋(y－2)2＝10 C．(x－2)2＋(y－2)2＝5 D．(x－2)2＋(y－2)2＝5 6．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( ) A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8 7．设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上任意点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( ) A．6 B．25 C．26 D．36
8．[2013·泉州联考] 圆心在曲线y＝3x(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y－322＝9
B．(x－3)2＋(y－1)2＝1652 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1852 D．(x－3)2＋(y－3)2＝9 9．过两点A(0，4)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上的圆的标准方程是________．
圆的方程习题附答案
1．方程y ＝1－x 2表示的曲线是( ) A ．上半圆 B.下半圆 C ．圆D ．抛物线解析：选A .由方程可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即此曲线为圆x 2＋y 2＝1的上半圆． 2．以M (1，0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋y 2＝8 B.(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．(x ＋1)2＋y 2＝16解析：选A .因为所求圆与直线x －y ＋3＝0相切，所以圆心M (1，0)到直线x －y ＋3＝0的距离即为该圆的半径r ，即r ＝|1－0＋3|2＝22.所以所求圆的方程为：(x －1)2＋y 2＝8.故选A .3．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B .圆C 1的圆心坐标为(－1，1)，半径为1，设圆C 2的圆心坐标为(a ，b )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以圆C 2的圆心坐标为(2，－2)，又两圆的半径相等，故圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.4．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D .由题意知x －y ＝0和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝2. 又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0，0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1，0)，B (0，1)，则满足|P A |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A ．0 B.1 C ．2D ．3解析：选C .设P (x ，y )，则由|P A |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0.求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为|0＋0－2|2＝2＜2＝r ，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P 有2个，选C . 6．已知动点M (x ，y )到点O (0，0)与点A (6，0)的距离之比为2，则动点M 的轨迹所围成的区域的面积是________．解析：依题意可知|MO ||MA |＝2，即x 2＋y 2（x －6）2＋y 2＝2，化简整理得(x －8)2＋y 2＝16，即动点M 的轨迹是以(8，0)为圆心，半径为4的圆． 所以其面积为S ＝πR 2＝16π. 答案：16π7．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________．解析：由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π48．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ 为直角三角形，所以圆心为斜边PQ 的中点(2，1)， 半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝59．已知以点P 为圆心的圆经过A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又因为直径|CD |＝410，所以|P A |＝210， 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. 10．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：将圆C 化为标准方程可得(x －2)2＋(y －7)2＝8， 所以圆心C (2，7)，半径r ＝22.(1)设m ＋2n ＝b ，则b 可看作是直线n ＝－12m ＋b2在y 轴上截距的2倍，故当直线m ＋2n＝b 与圆C 相切时，b 有最大或最小值．所以|2＋2×7－b |12＋22＝22，所以b ＝16＋210(b ＝16－210舍去)，所以m ＋2n 的最大值为16＋210. (2)设n －3m ＋2＝k ，则k 可看作点(m ，n )与点(－2，3)所在直线的斜率， 所以当直线n －3＝k (m ＋2)与圆C 相切时，k 有最大、最小值，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2＝22，解得k ＝2＋3或k ＝2－3.所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.1．直线l ：ax ＋by ＝0和圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋by ＝0在同一坐标系的图形只能是( )解析：选D .圆C 的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，－b2，半径为a 2＋b 22，圆心到直线的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪a 22＋b 22a 2＋b2＝a 2＋b 22， 所以直线与圆相切，故选D .2．已知P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝a 2(a >0)上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，△P AB 的面积的最大值为8，则a 的值为( )A ．1 B.2 C ．3D ．4解析：选A .要使△P AB 的面积最大，只要点P 到直线AB 的距离最大．由于AB 的方程为y ＝0，圆心(0，3)到直线AB 的距离为d ＝3， 故P 到直线AB 的距离的最大值为3＋a .再根据AB ＝4，可得△P AB 面积的最大值为12·AB ·(3＋a )＝2(3＋a )＝8，所以a ＝1，故选A .3．设曲线x ＝2y －y 2上的点到直线x －y －2＝0的距离的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值为( )A .22 B. 2 C .22＋1 D ．2解析：选C .由x ＝2y －y 2得y 2－2y ＋x 2＝0(x ≥0)，即x 2＋(y －1)2＝1(x ≥0)，表示以(0，1)为圆心，1为半径的右半圆，如图．圆心(0，1)到直线x －y －2＝0的距离为32＝322.结合图形可知曲线x ＝2y －y 2上的点到直线x －y －2＝0的距离的最小值为322－1，最大值为点P (0，2)到直线x －y －2＝0的距离42＝22，因此a ＝22，b ＝322－1.因此a －b ＝22＋1.故选C .4．设命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0，k －x ≥0，x ＋3y ≤12(x ，y ，k ∈R 且k >0)；命题q ：(x －3)2＋y 2≤25(x ，y ∈R ). 若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是________．解析：如图所示：命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部(含边界)，命题q 表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p 是q 的充分不必要条件．实际上只需A ，B ，C 三点都在圆内(或圆上)即可．由题知B ⎝⎛⎭⎫k ，4－43k ，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，（k －3）2＋169（3－k ）2≤25， 解得0<k ≤6. 答案：(0，6]5．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．解：法一：(代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，（3＋22）2＋D （3＋22）＋F ＝0，（3－22）2＋D （3－22）＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.法二：(几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋（t －1）2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9. 6．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．解：(1)由D 2＋E 2－4F >0得(－2)2＋(－4)2－4m >0，解得m <5.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x ＋2y －4＝0得x ＝4－2y ；将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，所以y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5.因为OM ⊥ON ，所以y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.因为x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，即(8＋m )－8×165＋16＝0，解得m ＝85.(3)设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝12(x 1＋x 2)＝45，b ＝12(y 1＋y 2)＝85，半径r ＝|OC |＝455，所以所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165.。
高三复习数学72_圆的方程(有答案)
7.2 圆的方程一、解答题。
1. 圆的定义在平面内，到________的距离等于________的点的________叫圆．2. 确定一个圆最基本的要素是________和________．3. 圆的标准方程(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，其中________为圆心，________为半径．4. 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是________，其中圆心为(−D2,−E2)，半径r=√D2+E2−4F2．5. 点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x−a)2+(y−b)2=r2，点M(x0,y0)（1）点M在圆上：________；（2）点M在圆外：________；（3）点M在圆内：________．6. 根据下列条件，求圆的方程经过坐标原点O和P(1,1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；已知一圆过P(4,−2)，Q(−1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4√3．7. 已知圆C:(x−1)2+(y−2)2=25，直线l:(2m+1)x+(m+1)y−7m−4= 0,(m∈R)．证明：不论m取什么实数，直线与圆恒交于两点；求直线l被圆C截得的弦的最小值，并求此时直线l的方程．8. 已知两圆x2+y2−2x−6y−1=0和x2+y2−10x−12y+m=0，m<61．m取何值时，两圆外切；m 取何值时，两圆内切；求m =45时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长．9. 由直线l:y =x +1上的一点向圆(x −3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为（ ） A.1 B.2√2 C.√7 D.310. 已知圆C:x 2+y 2−2x +4y −11=0，在区间[−4,6]上任取实数m ，则直线l:x +y +m =0与圆C 相交所得△ABC 为钝角三角形（其中A ，B 为交点，C 为圆心）的概率为（ ） A.25B.45C.811D.91111. 直线x +y +t =0与圆x 2+y 2=2相交于M ，N 两点，已知O 是坐标原点，若|OM →+ON →|≤|MN →|，则实数t 的取值范围是（ ） A.(−∞,−√2)∪[√2,+∞) B.[√2,2]C.[−2,−√2]∪[√2,2]D.[−√2,√2]12. （理）如图，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且|AB|=2．圆C 的标⋅准⋅方程为___________________________________；过点A 任作一条直线与圆O:x 2+y 2=1相交于M ，N 两点．求证：y 轴平分∠MBN ．13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M:x 2+y 2−12x −14y +60=0及其上一点A(2,4)．设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程；设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ，求直线l 的方程；设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →+TP →=TQ →，求实数t 的取值范围．14. 小结与反思______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________15. 与圆x 2+(y −2)2=1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ） A.2条 B.3条 C.4条 D.6条16. 若圆(x −3)2+(y +5)2=r 2上有且只有两个点到直线4x −3y −2=0的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ） A.(4,6) B.[4,6） C.(4,6] D.[4,6]17. 已知圆C:(x −4)2+(y −3)2=1和点A(−1,0)，B(0,1)，点P 在圆上，则△PAB 面积的最大值和最小值分别为（ ） A.√2+1，√2−1 B.4，2 C.3，1 D.2+√22，2−√2218. 一条光线从点(−2,−3)射出，经y 轴反射后与圆(x +3)2+(y −2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A.−53或−35 B.−32或−23C.−54或−45D.−43或−3419. 在圆x 2+y 2−2x −6y =0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ） A.5√2 B.10√2 C.15√2 D.20√220. Rt △ABC 中，斜边BC =6，以BC 的中点O 为圆心，作半径为2的圆，分别交BC 于P ，Q 两点，令t =|AP|2+|AQ|2+|PQ|2，那么（ ） A.t =21 B.t =32C.t =42D.t 的值与点A 的位置有关21. 若直线y =x +b 与曲线x =√1−y 2恰有一个公共点，则b 的取值范围是________．22. 如果圆C:x 2+y 2−2ax −2ay +2a 2−4=0与圆O:x 2+y 2=4总相交，那么实数a 的取值范围是________．23. 已知圆x 2+y 2=4，过点P (0,1)的直线l 交该圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最大值是________．24. 求和圆x 2+y 2=4相外切于点P(−1,√3)，且半径为4的圆M 的方程．25. 已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2−4x +1=0． 求yx 的最大值和最小值；求y −x 的最大值和最小值．26. 已知圆C 经过点A (−2,0)，B (0,2)，且圆心C 在直线y =x 上，又直线l:y =kx +1与圆C 相交于P 、Q 两点． 求圆C 的方程；若OP →⋅OQ →=−2，求实数k 的值；过点(0,1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．参考答案与试题解析7.2 圆的方程一、解答题。
高三关于圆的试题及答案
高三关于圆的试题及答案试题：1. 已知圆的方程为 \((x-2)^2 + (y-3)^2 = 9\)，求圆心坐标和半径。
2. 圆 \(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0\) 与直线 \(y = 2x + 3\)相交，求交点坐标。
3. 已知圆 \(x^2 + y^2 = 25\) 和圆 \(x^2 + y^2 - 8x - 6y + 24= 0\)，求两圆的公共弦所在的直线方程。
4. 已知圆 \(x^2 + y^2 = 25\) 上一点 \(P(3,4)\)，求过点 \(P\)且与圆相切的切线方程。
5. 已知圆 \(x^2 + y^2 = 4\)，求圆内接矩形的最大面积。
答案：1. 圆心坐标为 \((2,3)\)，半径为 \(3\)。
2. 将直线 \(y = 2x + 3\) 代入圆的方程 \(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0\) 得到 \(x^2 + (2x + 3)^2 - 4x - 6(2x + 3) + 9 = 0\)，化简后解得交点坐标。
3. 两圆方程相减得到公共弦所在的直线方程 \(8x + 6y - 24 = 0\)。
4. 切线斜率为 \(-\frac{1}{k_{OP}}\)，其中 \(k_{OP} = \frac{4-0}{3-0} = \frac{4}{3}\)，所以切线斜率为 \(-\frac{3}{4}\)，切线方程为 \(y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)\)。
5. 圆内接矩形的对角线即为圆的直径，所以最大面积为\(\frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \sin(90^\circ) = 2\)。
2021年高考数学一轮复习《圆的方程》精选练习(含答案)
2021年高考数学一轮复习《圆的方程》精选练习一、选择题1.若圆x 2＋y 2-2x-4y=0的圆心到直线x-y ＋a=0的距离为22，则a 的值为( ) A.-2或2 B.0.5或1.5 C.2或0 D.-2或0 2.圆x 2+y 2=1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是( )A.1B.4C.5D.63.当a 为任意实数时，直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A.(x-1)2+(y+2)2=5 B.(x+1)2+(y+2)2=5 C.(x+1)2+(y-2)2=5 D.(x-1)2+(y-2)2=5 4.圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（ )A.B.C. D.25.如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限， 那么l 的斜率的取值范围是（ ）A 、[0，2]B 、[0，1]C 、1[0]2，D 、1[0]3， 6.圆x 2+y 2+4x+2=0与直线l 相切于点(-3,-1)，则直线l 的方程为( )A.x-y+4=0B.x+y+4=0C.x-y+2=0D.x+y+2=0 7.若直线x-y=2被圆(x-a)2＋y 2=4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A.-1或 3B.1或3C.-2或6D.0或4 8.直线3x ＋4y=b 与圆x 2＋y 2-2x-2y ＋1=0相切，则b 的值是( )A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或129.圆x 2＋y 2-4x ＋6y-12=0过点(-1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m-n=( )A.10-27B.5-7C.10-33D.5-223 10.若PQ 是圆x 2＋y 2=9的弦，PQ 的中点是A(1,2)，则直线PQ 的方程是( )A.x ＋2y-3=0B.x ＋2y-5=0C.2x-y ＋4=0D.2x-y=0 11.圆x 2+y 2=16上的点到直线x-y=3的距离的最大值为( )A 、223B 、4-223C 、4+223 D 、012.若圆x 2＋y 2-4x ＋2y ＋m=0与y 轴交于A 、B 两点，且∠ACB=90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m 等于( )A.1B.-3C.0D.213.已知两点A(-1,0)，B(0,2)，点P 是圆(x-1)2+y 2=1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( ) A.2，)54(21- B.)54(21+，)54(21- C.5，4-5 D.)25(21+，)25(21-) 14.点P(4,-2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1 15.已知M(2,1),P 为圆C:x 2+y 2+2y-3=0上的动点,则|PM|的取值范围为( )A.[1,3]B.[22-2,22+2]C.[22-1,22+1]D.[2,4]16.圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1=0关于直线ax －by ＋3=0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b最小值是( )A.2 3B.203C.4D.163二、填空题17.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y=2的距离的最大值是________.18.当动点P 在圆x 2＋y 2=2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q 的轨迹方程为________. 19.已知圆C 的圆心位于直线2x-y-2=0上，且圆C 过两点M(-3,3),N(1,-5),则圆C 的标准方程为 .20.圆x 2＋y 2＋2x ＋4y-3=0上到直线x ＋y ＋1=0的距离为2的点有________个.21.在满足(x-3)2+(y-3)2=6的所有实数对(x,y)中,xy的最大值是 22.已知圆的方程为x 2＋y 2-6x-8y=0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________.23.已知A 是射线x ＋y=0(x≤0)上的动点，B 是x 轴正半轴的动点，若直线AB 与圆x 2＋y 2=1相切，则|AB|的最小值是________．24.过点P(－1，1)作圆C ：(x －t)2＋(y －t ＋2)2=1(t∈R)的切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →的最小值为________． 三、解答题25.在平面直角坐标系中，曲线y=x 2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C 上.(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x-y+a=0交于A,B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，求a 的值.26.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45=0上任意一点，且点Q(－2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m ，n)，求n －3m ＋2的最大值和最小值.27.已知圆C ：(x-3)2+(y-4)2=4，直线l 1过定点A(1，0)． (1)若l 1与圆相切，求l 1的方程；(2)若l 1与圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又l 1与l 2：x+2y+2=0的交点为N.求证：AM •AN 为定值．28.已知M为圆C：x2＋y2-4x-14y＋45=0上任意一点，点Q的坐标为(-2,3)．(1)若P(a，a＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)求|MQ|的最大值和最小值；(3)求M(m，n)，求的最大值和最小值．29.如图，在平面直角坐标系内，已知点A(1,0)，B(-1,0)，圆C的方程为x2+y2-6x-8y+21=0，点P为圆上的动点．(1)求过点A的圆C的切线方程．(2)求∣AP∣2+∣BP∣2的最大值及此时对应的点P的坐标．答案解析30.C ； 31.B ； 32.C ； 33.A 34.A 35.B 36.D ； 37.D ； 38.A ； 39.B ； 40.C ； 41.B ；42.B43.答案为：A ；44.答案为：B ；依题意,设P(x,y),化圆C 的一般方程为标准方程得x 2+(y+1)2=4,圆心为C(0,-1),因为|MC|=22>2,所以点M(2,1)在圆外,所以22-2≤|PM|≤22+2,故|PM|的取值范围为[22-2,22+2].45.答案为：D ；解析：由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1=0知，其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2=9，∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1=0关于直线ax －by ＋3=0(a ＞0，b ＞0)对称， ∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3=0，∴a ＋3b=3(a ＞0，b ＞0)， ∴1a ＋3b =13(a ＋3b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b =13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2 3a b ·3b a =163，当且仅当3b a =3ab ，即a=b 时取等号，故选D.46.答案为：1+3；47.答案为：(x-1.5)2+(y-0.5)2=0.5.48.答案为：(x-1)2+y 2=25. 49.答案为：3； 50.223+51.答案为：206;解析:点(3,5)在圆内，最长弦|AC|即为该圆直径，∴|AC|=10，最短弦BD ⊥AC ，∴|BD|=46，S 四边形ABCD =0.5AC|·|BD|=206.52.答案为：2＋22；解析：设A(－a ，a)，B(b ，0)(a ，b ＞0)，则直线AB 的方程是ax ＋(a ＋b)y －ab=0.因为直线AB 与圆x 2＋y 2=1相切，所以d=ab a 2＋（a ＋b ）2=1，化简得2a 2＋b 2＋2ab=a 2b 2， 利用基本不等式得a 2b 2=2a 2＋b 2＋2ab≥22ab ＋2ab ，即ab≥2＋22，从而得|AB|=（a ＋b ）2＋a 2=ab≥2＋22，当b=2a ，即a=2＋2，b=4＋22时，|AB|的最小值是2＋2 2.53.答案为：214；解析：圆C ：(x －t)2＋(y －t ＋2)2=1的圆心坐标为(t ，t －2)，半径为1，所以PC=（t ＋1）2＋（t －3）2=2（t －1）2＋8≥8，PA=PB=PC 2－1，cos ∠APC=AP PC ，所以cos ∠APB=2⎝ ⎛⎭⎪⎫AP PC 2－1=1－2PC 2，所以PA →·PB →=(PC 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2PC 2=－3＋PC 2＋2PC 2≥－3＋8＋14=214，所以PA →·PB →的最小值为214.54.解：55.解：(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45=0，可得(x －2)2＋(y －7)2=8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r=2 2.又|QC|=2＋22＋7－32=42＞2 2. 所以点Q 在圆C 外，所以|MQ|max =42＋22=62， |MQ|min =42－22=2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设n －3m ＋2=k ，则直线MQ 的方程为y －3=k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3=0， 因为直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3， 所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.56.解：57.解：58.解：。
云南省高考数学一轮复习：47 圆的方程
云南省高考数学一轮复习：47 圆的方程姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·哈尔滨月考) 圆的圆心和半径分别为（）A . 圆心，半径为2B . 圆心，半径为2C . 圆心，半径为4D . 圆心，半径为42. （2分）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A . 5B . 10C . 15D . 203. （2分）以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二上·葫芦岛月考) 圆的半径为（）B .C . 11D .5. （2分） (2016高二下·金堂开学考) 已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为（）A . （2，1），4B . （2，﹣1），2C . （﹣2，1），2D . （﹣2，﹣1），26. （2分）若方程表示圆，则k的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）点M（x0 ， y0）在圆x2+y2=R2外，则直线与圆的位置关系是（）A . 相切B . 相交C . 相离D . 不确定8. （2分）若直线过圆的圆心，则的值为（）A .D .9. （2分） (2019高一下·哈尔滨月考) 在平面直角坐标系xOy中，半径为2且过原点的圆的方程可以是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一下·淮南期末) 已知直线：，圆：，圆：，则（）A . 必与圆相切，不可能与圆相交B . 必与圆相交，不可能与圆相离C . 必与圆相切，不可能与圆相切D . 必与圆相交，不可能与圆相切11. （2分）圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线y＝—x+6对称的圆的方程是（）A . (x＋10)2＋(y＋3)2＝1B . (x－10)2＋(y－3)2＝1C . (x－3)2＋(y＋10)2＝1D . (x－3)2＋(y－10)2＝112. （2分） (2019高二上·双流期中) 已知实数x ， y满足方程x2+y2-8x+15=0．则x2+y2最大值为（）A . 3D . 25二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2016高二下·浦东期末) 已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为________．14. （1分）若方程x2+y2﹣2ax﹣4y+5a=0表示圆，则a的取值范围是________15. （1分） (2020高二上·杭州期末) 在平面直角坐标系中，经过三点的圆的标准方程为________，其半径为________16. （1分）圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上一点的最大距离为________．17. （1分）以点（2，﹣1）为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆的方程为________．18. （1分） (2017高二上·长春期中) 经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是________．三、解答题 (共4题；共35分)19. （5分） (2017高二上·黑龙江月考) 已知圆过两点，，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）直线过点且与圆有两个不同的交点，若直线的斜率大于0，求的取值范围.20. （10分） (2016高一下·邯郸期中) 已知一圆经过点A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5），且圆心C在直线l：x﹣2y﹣3=0上，求此圆的方程．21. （10分） (2019高三上·上海月考) 已知椭圆的方程为，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于、两点，且，如图1.（1）求圆的方程；（2）如图1，过点的直线与椭圆相交于、两点，求证：射线平分；（3）如图2所示，点、是椭圆的两个顶点，且第三象限的动点在椭圆上，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试问：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.22. （10分）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共4题；共35分) 19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、第11 页共11 页。
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课时作业(四十七) [第47讲 圆的方程]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．圆心在(2，－1)且经过点(－1,3)的圆的标准方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝5 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝5
2．直线y ＝x ＋b 平分圆x 2＋y 2－8x ＋2y ＋8＝0的周长，则b ＝( ) A ．3 B ．5 C ．－3 D ．－5
3．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1,2)，则直线PQ 的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．x ＋2y －5＝0 C ．2x －y ＋4＝0 D ．2x －y ＝0 4． 已知抛物线y 2＝4x 的焦点与圆x 2＋y 2＋mx －4＝0的圆心重合，则m 的值是________． 能力提升
5． 若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－3
6．一条线段AB 长为2，两端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹是( )
A ．双曲线
B ．双曲线的一支
C ．圆
D ．半圆
7．一条光线从点A (－1,1)出发，经x 轴反射到⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上，则光走过的最短路程为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．实数x 、y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为( ) A ．30＋226 B ．30＋426 C ．30＋213 D ．30＋413
9．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( )
A ．2，1
2(4－5)
B.12(4＋5)，1
2(4－5) C.5，4－ 5 D.12(5＋2)，1
2
(5－2) 10．圆C ：x 2＋y 2－4x ＋43y ＝0的圆心到直线x ＋3y ＝0的距离是________．
11． 经过圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝2的圆心，且与直线2x ＋y ＝0垂直的直线方程是________．
12．在平面区域⎩
⎪⎨⎪⎧
2≤x ≤4，
0≤y ≤2内有一个最大的圆，则这个最大圆的一般方程是
________________________________________________________________________．
13． 点P (x ，y )是圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点，若点P 的坐标满足不等式x ＋y ＋m ≥0，则实数m 的取值范围是________．
14．(10分)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；
(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，求P A →·PB →
的取值范围．
15．(13分)点A (2,0)是圆x 2＋y 2＝4上的定点，点B (1,1)是圆内一点，P 、Q 为圆上的动点．
(1)求线段AP 的中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点的轨迹方程．
难点突破
16．(12分) 已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；
(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．
课时作业(四十七)
【基础热身】
1．A [解析] 因为圆的圆心为(2，－1)，半径为r ＝(2＋1)2＋(－1－3)2＝5，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝25.故选A.
2．D [解析] 圆心为(4，－1)，由已知易知直线y ＝x ＋b 过圆心，所以－1＝4＋b ，所以b ＝－5.故选D.
3．B [解析] 由圆的几何性质知，弦PQ 的中点与圆心的连线垂直于弦PQ ，所以直线
PQ 的斜率为－12，所以方程为y －2＝－1
2
(x －1)，即x ＋2y －5＝0，故选B.
4．－2 [解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以－m
2
＝1，得m ＝－2.
【能力提升】
5．B [解析] 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线经过圆的圆心(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，得a ＝1.
6．C [解析] 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AB 的中点到原点的距离总等于1，所以AB 的中点轨迹是圆，故选C.
7．D [解析] A (－1,1)关于x 轴的对称点B (－1，－1)，圆心C (2,3)，所以光走过的最短路程为|BC |－1＝4.
8．B [解析] (x －1)2＋(y －1)2表示圆x 2＋(y ＋4)2＝4上动点(x ，y )到点(1,1)距离d 的平方，因为26－2≤d ≤26＋2，所以最大值为(26＋2)2＝30＋426，故选B.
9．B [解析] 如图，圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离为d ＝4
5
，故圆上的点
P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是4
5
－1.又|AB |＝5，故△P AB 面积的最大
值和最小值分别是2＋52，2－5
2
.故选B.
10．2 [解析] 圆C 的圆心是C (2，－23)，由点到直线的距离公式得|2－23×3|
1＋3＝
2.
11．x －2y －3＝0 [解析] 圆心为(1，－1)，所求直线的斜率为1
2，所以直线方程为y ＋1
＝1
2
(x －1)，即x －2y －3＝0. 12．x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0 [解析] 作图知，区域为正方形，最大圆即正方形的内切圆，圆心是(3,1)，半径为1，得圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0.
13．[2－1，＋∞) [解析] 令x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，则m ≥－x －y ＝－1－(sin θ＋cos θ)
＝－1－2sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4对任意θ∈R 恒成立，所以m ≥2－1. 14．[解答] (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝
|－4|
1＋3
＝2，
所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．
设P (x ，y )，由|P A |、|PO |、|PB |成等比数列得，
(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2. P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)，
由于点P 在圆O 内，故⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2<4，
x 2－y 2＝2，
由此得y 2<1，
所以P A →·PB →的取值范围为[－2,0)．
15．[解答] (1)设线段AP 的中点为M (x ，y )， 由中点公式得点P 坐标为P (2x －2,2y )．
∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4， 故线段AP 的中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设线段PQ 的中点为N (x ，y )， 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.
设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， ∴|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， ∴x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4，
故线段PQ 的中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 【难点突破】
16．[解答] (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2， 化简得(x －5)2＋y 2＝16，即为所求．
(2)由(1)知曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图． 设直线l 2是此圆的切线，
连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2 ＝|CQ |2－16，
当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，
|CQ |＝|5＋3|2
＝42，
此时|QM |的最小值为32－16。