随即1-7题及答案

RX (t ,t)
E[ A2 ]cos(2t ) cos( ) 周期为 1。可知，它是广义循环平稳的，
循环周期为 1。 （3）由定理可知，当θ~U[0，1]时，Y(t)是广义平稳信号。 题库（2）
一、 填空 1.假设连续随机变量的概率分布函数为 F（x）则 F（-∞）=___0_______, F（+∞）=____1______ 2.随机过程可以看成是___（_随时间 t 变化的随机变量_）__________的集合，也可以看成是 _______(三样本函数)_______的集合
)
2
]
(3) RY ( ) 6 4e3 2 (4) RX ( ) 5sin(5 )
(5) RX ( ) 5u( )e3 (6) RX ( ) 5e
解：
（a）自相关函数是偶函数，仅有(1)、(2)、(3)、(6)满足；
（b） RX (0) RX ( ) ，（a）中仅有(2)、(3)、(6)满足；
又 RXY ( ) 0 ， X (t) 和Y (t) 是非正交的。
6 设 正 弦 随 机 信 号 X t Acost ， 其 中
A~ N
0
,
2 A
。令
Y (t) X (t ), 且 A 和θ统计独立，求：（1）X t 是否严格循环平稳？（2）
X t 是否广义循环平稳？（3）当θ满足什么分布时，Y (t) 是广义平稳信号？
Rx(τ)e -jwτ dτ =1/2∫+∞ cosω0τe -jwτdτ=π/2[δ（w+ω0）-∞
δ（w-ω0）]
n
2.已知随机过程 X（t）=∑ aiXi(t),式中 ai 是常数，Xi(t)是平稳过程，并且相互之 i=1
n
间是正交的，若 Sxi（w）表示 Xi(t)的功率谱密度，证明，X(t) 功率谱密度为
之间是正交的，若 S Xi () 表示 X i (t) 的功率普密度，证明 X (t) 功率谱密度为
n
SX () ai2SXi () 证 ： 因 X i (t) 是 平 稳 过 程 ， 并 且 相 互 之 间 是 正 交 的 ， i1
Rij ( ) 0,i j 。
n
n
证明： RX ( ) E[ X (t) X (t )] E[ ai Xi (t) ai Xi (t )]
3.如果随机过程 X(t)满足____（任意 n 维分布不随时间起点不同而变化 ）___________,则称 X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程 X(t)满足________(均值为常数，自相关函数只与时间 差相关)_______,则称 X(t)为广义平稳随机过程 4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为______（白 噪声）_________,该过程的任意两个不同时刻的状态是_______（不相关的）______________ 5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从_____（高斯（标准正态））___分布, 窄带正态噪声的包络服从_____（瑞丽）_______分布,而相位服从_______（均匀）___________ 分布
样本函数发生的概率相等，是否满足严平稳或宽平稳的条件？
解：
X
(t)
{x1 (t ),
x2
(t),
x3 (t)}
{2,2 cos t,3 sin
t}
；
P1
P2
P3
1 3
E[X (t)]
3 i 1
xi (t)Pi
1 (2 3
2 cos t
3sin t) 由于数学期望与时间相关，不为常数，
因此不满足一阶平稳，也就不满足严平稳或宽平稳的条件。
X (t) 是各
态历经过程，A 必为常数。
3
平稳高斯过程
X
(t)
的自相关函数为
RX
(
)
1 2
e
，求 X (t) 的一维和二维概率
密度。
解：mX2
RX
()
lim
RX
(
)
lim
1 2
e
0 ；mX
0
；
2 X
RX
(0)
RX
()
1 2
（1） X (t) 的一维概率密度： fX (x,t)
1 2
x2 2 1
（c）对于非周期平稳过程有
2 X
RX (0)
RX () ，（b）中仅有(6)满足。
因此，(6)是自相关函数。
5 设两个随机过程 X (t) 和Y (t) 各是平稳的，且联合平稳
X (t) cos(0t Φ) Y (t) sin(0t Φ)
式中， Φ
为在[
0,2
]内均匀分布的随机变量， 0
e 2 1 2
1 ex2
（2）平稳高斯过程 n 维概率密度等于 n 个以为概率密度的乘积。
4
对于两个零均值联合平稳随机过程
X
(t
)
和
Y
(t
)
，已知
2 X
5,
2 Y
10 ，说明下
列函数是否可能为他们的自相关函数，并说明原因。
(1)
RY ( ) cos(6 )e (2)
RY
(
)
5[ s in(3 3
i 1
i 1
n
n
ai2E[ X i (t) X i (t )] ai2RXi ( )
i 1
i 1
n
n
SX () RX ( )e jd
ai2RXi ( )e jd ai2SXi ()
i 1
i 1
三、 计算题
1 有三个样本函数 x1(t) 2, x2 (t) 2cost, x3(t) 3sin t 组成的随机过程 X (t) ，每个
的数学期望为零，方差 2 相同。证： E[ X (t)] E[A]cos0t E[B]sin0t 0
证明： RX (t,t ) E[( Acos0t Bsin0t)( Acos0 (t ) Bsin0 (t )]
E[ A2 cos0t cos0 (t ) AB cos0t sin 0 (t ) AB sin 0t cos0 (t ) B2 sin 0t sin 0 (t )]
E[ A3 cos0t1 cos0t2 cos0t3 ] E[B3 sin 0t1 sin 0t2 si Nhomakorabea 0t3]
可见，该随机过程构不成三阶平稳，因此不符合严平稳过程的要求。
n
2 已知随机过程 X (t) ai Xi (t) ，式中 ai 是常数， X i (t) 是平稳过程，并且相互 i 1
E[(A3 cos0t1 cos0t2 A2B cos0t1 sin 0t2 A2B sin 0t1 cos0t2 AB2 sin 0t1 sin 0t2 ) cos0t3] E[(A2B cos0t1 cos0t2 AB2 cos0t1 sin 0t2 AB2 sin 0t1 cos0t2 B3 sin 0t1 sin 0t2 )sin 0t3]
二、判断
1.若平稳随机过程在任意两个不同时刻不相关，那么也一定是相互独立的
2.如果一个随机过程是各态历经过程，那么它一定是广义平稳的
对
3.正态随机信号通过任何线性系统输出都服从正态分布
对
4.宽平稳的高斯过程一定是严平稳过程
错
5. 对 于 未 知 的 非 随 机 参 量 ， 如 果 有 效 估 计 存 在 ， 则 其 有 效 估 计 一 定 是 最 大 考 验 估 计
1
T
X (t)X (t )dt lim
1
T
A2 cos(t Φ)cos{(t ) Φ}dt
T 2T T
T 2T T
lim 1 T A2 [cos(2t 2Φ ) cos ]dt
T 2T T 2
A2 2
cos
只有在
A
为常数时，满足
X (t) X (t
)
RX ( ) 。欲使
RX (t1,t2,t3) E[( Acos0t1 B sin 0t1)( Acos0t2 B sin 0t2 )( Acos0t3 B sin 0t3)]
E[( A2 cos0t1 cos0t2 AB cos0t1 sin 0t2 AB sin 0t1 cos0t2 B2 sin 0t1 sin 0t2 )( Acos0t3 B sin
Sx（w）=∑ai2 Sxi（w）
i=1
解：因 Xi(t)是平稳过程，并且相互之间是正交的密度，Rij(τ) =0，（i≠j）
n
n
Rx(τ)= E[X(t) X(t+τ)]=E[∑ aiXi (t) ∑ aiXi (t+τ)]
解：（1）由
FX (x1, xn ;t1, tn ) P[ X (t1) x1, X (tn ) xn ] P[ X (t1 2) x1, X (tn 2) xn ] 可知，它是严格循环平稳的，循 FX (x1, xn ;t1 2, tn 2)
环周期为 2。
（2）由 E[ X (t)] 0为常数 ,周期可为任意值。
题库（1） 一、 判断题（共 10 小题，每小题 1 分，共 10 分） 1、随机变量的均值反映了它取值的离散程度，它的方差反映了它取值的平均值。 （×） 2、如果一个随机过程是各态历经过程，那么它一定是广义平稳的。（√） 3、窄带随机过程的正交分量和同相分量在同一时刻是相互独立的。（×） 4、白噪声通过一个线性系统，它的输出服从瑞利分布。（×） 5、正态随机信号通过任何线性系统，输出都服从正态分布。（√） 6、随机信号通过线性系统不会产生新的频率分量，但随机信号通过非线性系统 则可能会产生新的频率分量。（√） 7、随机信号的复信号表示的功率谱在正频率部分是该随机信号功率谱的两倍， 在负频率部分则为零。（√） 8、非线性系统普遍具有“欺负”小信号的特点。（×） 9、对于严格平稳随机过程，不相关和独立是等价的。（√） 二、 证明 1 证明由不相关的两个任意分布的随机变量 A、B 构成的随机过程 X (t) Acos0t Bsin0t 是宽平稳而不一定是严平稳的。其中 0t 为常数，A、B