高二数学单元测试(平面解析几何初步)
数学人教B必修2单元检测：第二章 平面解析几何初步(附答案) Word版含解析
数学人教B必修2第二章平面解析几何初步单元检测(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．圆心为(1，－1)，半径为2的圆的方程是()．A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y－1)2＝4C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝42．已知点A(1,2)，B(－2,3)，C(4，t)在同一直线上，则t的值为()．A．12B．32C．1 D．－13．直线ax＋2y－1＝0与直线x＋(a－1)y＋2＝0平行，则a等于()．A．32B．2 C．－1 D．2或－14．在空间直角坐标系Oxyz中，点M的坐标是(1,3,5)，则其关于x轴的对称点的坐标是()．A．(－1，－3，－5) B．(－1，－3,5)C．(1，－3，－5) D．(1,3，－5)5．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()．A．(－∞，－2) B．2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C．(－2,0) D．22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭6．到直线2x＋y＋1＝0()．A．直线2x＋y－2＝0B．直线2x＋y＝0C．直线2x＋y＝0或直线2x＋y＋2＝0D．直线2x＋y＝0或直线2x＋2y＋1＝07．过点P(5,4)作圆C：x2＋y2－2x－2y－3＝0的切线，切点分别为A，B，四边形P ACB 的面积是()．A．5 B．10 C．15 D．208．圆22142x y⎛⎫++=⎪⎝⎭与圆(x－1)2＋(y－3)2＝m2的公切线的条数为4，则m的取值范围是()．A ．3737,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．0,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．以上均不对9．若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( )．A ．(x 2＋y 2＝5B ．(x 2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝510．已知集合A ＝{(x ，y )|y =}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋m }，且A ∩B ≠，则m 的取值范围是( )．A ．－7≤m ≤B ．-m ≤C ．－7≤m ≤7D ．0≤m ≤二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．P (－1,3)在直线l 上的射影为Q (1,－1)，则直线l 的方程是____________．12．圆x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝0与圆x 2＋y 2－6x －10y ＋30＝0的公共弦所在的直线方程是______________．13．直线3ax －y －1＝0与直线2103a x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭垂直，则a 的值是__________． 14．过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是__________．15．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是__________．三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(10分)三角形ABC 的边AC ，AB 的高所在直线方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，顶点A (1,2)，求BC 边所在的直线方程．17．(15分)已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为半径小于5.求：(1)直线PQ 与圆C 的方程；(2)求过点(0,5)且与圆C 相切的直线方程．参考答案1.答案：D2.答案：C∵点A，B，C共线，∴k AB＝k BC，即3232142t--=---(-)，解得t＝1.3.答案：D由a(a－1)－2＝0得a＝2或a＝－1.经检验a＝2或a＝－1均符合题意．4.答案：C点M关于x轴对称，则x坐标不变，y，z的新坐标与原来的坐标互为相反数．5.答案：D由a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，解得－2＜a＜2 36.答案：C设到直线2x＋y＋1＝0的距离为5的点的坐标为(x，y)，则点(x，y)为直线2x＋y＋m＝0上的点．5=，∴|m－1|＝1，解得m＝2或m＝0，∴所求点的集合为直线2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.7.答案：B8.答案：C9.答案：D设圆O的方程为(x－a)2＋y2＝5(a＜0)，则O到直线x＋2y＝0的距离d===∴a＝－5.∴圆O的方程是(x＋5)2＋y2＝5.10.答案：A∵A∩B≠，∴半圆弧y与直线y＝x＋m有公共点．如图所示，当直线与半圆相切时m=，当直线过点(7,0)时，m＝－7，∴m∈[－7,．11.答案：x－2y－3＝0设直线l的斜率为k，由于PQ⊥l，所以k PQ k＝－1，所以12k=，则直线l的方程是y＋1＝12(x－1)，即x－2y－3＝0.12.答案：x＋y－6＝0两圆的方程相减得4x＋4y－24＝0，即公共弦所在的直线方程为x＋y－6＝0.13.答案：13-或1由23(1)103a a⎛⎫-+-⨯=⎪⎝⎭，得13a=-或a＝1.14.答案：(x－1)2＋(y－1)2＝4易求得AB的中点为(0,0)，斜率为－1，从而其垂直平分线为直线y＝x，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x＋y－2＝0联立得到圆心O(1,1)，半径r＝|OA|＝2.15.答案：(－∞，1)圆方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，∴圆心为(－1,2)，且5－a＞0，即a＜5.又圆关于y＝2x＋b成轴对称，∴点(－1,2)在直线y＝2x＋b上，∴b＝4，∴a－b＜1.16.答案：解：AC边上的高线2x－3y＋1＝0，所以k AC＝3 2 -.所以AC的方程为y－2＝32-(x－1)，即3x＋2y－7＝0，同理可求直线AB的方程为x－y＋1＝0. 下面求直线BC的方程，由3270,0,x y x y +-=⎧⎨+=⎩得顶点C (7，－7)， 由10,2310,x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得顶点B (－2，－1)． 所以k BC ＝23-，直线BC ：y ＋1＝23-(x ＋2)，即2x ＋3y ＋7＝0.17. 答案：解：(1)直线PQ 的方程为y －3＝3214+--×(x ＋1)，即x ＋y －2＝0，由题意圆心C 在PQ 的中垂线3241122y x --⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，即y ＝x －1上，设C (n ，n －1)，则r 2＝|CQ |2＝(n ＋1)2＋(n －4)2，由题意，有222||r n =+， ∴n 2＋12＝2n 2－6n ＋17，解得n ＝1或5，∴r 2＝13或37(舍)，∴圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)当切线斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋5，=，解得32k =或23-，∴方程为3x －2y ＋10＝0或2x ＋3y －15＝0，当切线斜率不存在时，不满足题意，∴切线方程为3x －2y ＋10＝0或2x ＋3y －15＝0.。
精选2019高中数学单元测试《平面解析几何初步》测试版题(含参考答案)
2019年高中数学单元测试卷平面解析几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．下列说法正确的是 ． [答]( )(1)若直线l 的倾斜角为α，则0απ≤<；(2)若直线l 的一个方向向量为(,)d u v =，则直线l 的斜率v k u =； (3)若直线l 的方程为220(0)ax by c a b ++=+≠，则直线l 的一个法向量为(,)n a b =．A .(1)(2) B. (1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)二、填空题2． 直线12:(1)3,:22l x a y l x y +-=-=互相垂直,则a 的值为 ．3．不论m 取何值，直线()0121=-+--m y x m 都过定点____________()1,2-4．如果直线0(0)ax by c ab ++=≠和圆221x y +=相切，那么以||,||,||a b c 为边长的三角形的形状是_______5．已知点(0,1)A -，点B 在直线10x y -+=上，若直线AB 垂直于直线230x y +-=，则点B 的坐标为_____6．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是______ _____7．直线022=+-y ax 与直线01)3(=+-+y a x 平行，则实数a 的值为 。
8．若过点P (3－a,2＋a )和Q (1,3a )的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围为__________．解析：k ＝tan α＝2a －2a －2<0，∴1<a <2.9．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：22(1)4x y -+=交于A 、B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为_________________．10．当且仅当m r n ≤≤时，两圆2249x y +=与22268250(0)x y x y r r +--+-=>有公共点，则n m -的值为 ▲ ．11． 设点P 在x 轴上，它到P 1（0，3）的距离为到点P 2（0，1，-1）距离的两倍，则点P 的坐标为______________．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：23100x y +-=与圆C ：22()()13x a y b -+-=切于点(P 2，2)，则a b +的值构成的集合是 ．13．已知圆22:230(C x y x ay a +++-=为实数）上任意一点关于直线:20l x y -+=的对称点都在圆C 上，则_________.a =14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点)2 , 0(A 、)1 , 1(B ，直线 l 经过点B 且与线段OA 相交．则直线 l 倾斜角α的取值范围是15．直线10x y +-=与直线20x ay +-=互相垂直，则实数a 的值为 .16．直线250x y -+=与直线260x my +-=平行互相平行，则实数m = ．17．如果圆22()()4x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是 .18．直线:sin 102l x y π⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭的倾斜角为 34π 19．已知扇形OAB ，点P 为弧AB 上异于B A ,的任意一点，当P 为弧AB 的中点时，OBP OAP S S ∆∆+的值最大．现有半径为R 的半圆O ，在圆弧MN上依次取点1221,,,-n P P P （异于N M ,），则N OP P OP OMP n S S S 12211-∆∆∆+++ 的最大值为▲ ．20．已知半径为2的圆O 与长度为3的线段PQ 相切,若切点恰好为PQ 的一个三等分点,则OP OQ ⋅=__________．21．直线20x y +=被圆22(3)(1)25x y -+-=截得的弦长为等于 ．三、解答题22．（本题满分14分）在平行四边形ABCD 中，(11)(71)(46)A B D ，，，，，，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ，（1）求直线CM 的方程（2）求点P 的坐标．23．(16分)已知平面直角坐标系xOy 中O 是坐标原点，)0,8(),32,6(B A ．（1）求OAB ∆的外接圆圆C 的方程；（2）设圆N 的方程1)sin 7()cos 74(22=-+--θθy x ，()θ∈R ，过圆N 上任意一点P作圆C 的两条切线PF PE ,，切点为F E ,，求CE CF ⋅的最大值．24．（本题满分15分）河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m ，拱圈内水面宽22m ．一条船在水面以上部分高6.5m ，船顶部宽4m ，故通行无阻．近日水位暴涨了2．7m ，为此，必须加重舰载，降低船身，才能通过桥洞．试问船身至少应该降低多少？（精确到0.01，99.383≈）25．(本小题16分)设O 为坐标原点，圆016222=+-++y x y x 上存在两点Q P ,关于直线04=++my x 对称，且满足0=∙（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程．26．（本小题16分）如图△ABC 为正三角形，边长为2，以点A 为圆心，1为半径作圆．（1）若31=，求||； （2）PQ 为圆A 的任意一条直径，求⋅的最大值．27．已知圆C 过点)2,5(M 、)2,3(N ,且圆心在直线32-=x y 上.（Ⅰ）求圆C 的方程;（Ⅱ）求圆C 过点)4,4(P 的最短弦所在的直线方程.28．过点P （3，0）作直线l ，使它被两条相交直线:1l 022=--y x 和:2l 02=-+y x 所截得的线段恰好被P 点平分。
高二数学平面解析几何初步经典考试题
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高中数学第二章平面解析几何初步单元测验新人教B版必修2
高中数学第二章平面解析几何初步单元测验新人教B版必修2班级姓名考号分数本试卷满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 设直线I与x轴的交点是P,且倾斜角为a,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°,得到直线的倾斜角为a+ 45°,则()A O°WaV 180° B. O°WaV 135°C. O°VaW 135°D. O°VaV 135°答案：D解析：由于直线I与x轴相交，可知aM 0° .又a与a+ 45°都是直线的倾斜角，从O°VaV 180°而有O°Va + 45°V 180°,••• O°vav 135°.故选D2 22 .直线(2k + k —3)x + (k —k)y —4k + 1= 0 与直线2x —3y —5 = 0 平行，则k 值为()1 9A.—歹或1B.—石或19C -8 °1答案：C2 2 2解析：因为两直线平行，所以有2(k —k) + 3(2k + k—3) = 0即8k + k—9 = 0, • k=—8或j9检验知k = 1时不成立，故k = —&83. 直线x —2y—6= 0与坐标轴围成三角形的面积为()A 2 B. 3C. 6D. 9答案：D解析：直线x —2y —6= 0的截距分别为6、一3与坐标轴围成三角形的面积为9.4. 在空间直角坐标系中，A(0,2,4) , B(1,4,6)，则|AB|等于()A 2 B. 2 2C 5 D. 3答案：D解析：|AB| =>/1 + 4 + 4 = 3.15. 当0<k<2时，直线11：kx —y= k—1与直线12：ky —x = 2k的交点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B1 1 2解析：k = 4得交点—3, 3，在第二象限.6. 已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3,1) , B(4,1，—2) , C(6,3,7)，则三角形ABC的重心坐标为()3 2, 3 14 一,4 3B三角形三个顶点分别为 A (X 1, y 1, Z 1) , B (X 2, y 2, Z 2) , C (X 3, y a , z a ),3 故所求重心坐标为 4, 3, 2 .33 .右圆x + y + 2x — 4y + 1 = 0关于直线2ax — by + 1 = 0对称，则a + b 等于()A. 1 1 C ■ 2 答案：7 B 4, 3, 2 7D 2, ., 1 6 答案： 解析： 则其重心为 X 1 + X 2 + X 3 Gy i + y 2 + y sz i + Z 2 + zB.— 1 1 D - 2 C厂、1•••圆心(—1,2) ,•••— 2a — 2b + 1 = 0,. a + b = 22 2 2 28 .两圆 x + y — 4x — 6y + 12 = 0 和 x + y — 8x — 6y + 16= 0 的位置关系是 A 相离C.内切 答案：C9 .值为(A C. 解析:B.相交 D.外切如果点 ) —4 B. 4 —5 D. 5(5 , b)在两条平行线 6x — 8y + 1 = 0及3x — 4y + 5= 0之间，则 b 应取的整数 答案：B、、 31 31解析：将x = 5代入两直线方程得 y = , y = 5，由=<b<5得b = 4.8 82 2 x + y + 4x + 2y — 20= 0上到直线 4x + 3y — 4= 0距离等于 2 10.曲线( )A. 1 C. 3答案：B. D. C 解析: 件的点.11. A. 1 C. 3 答案: 的点的个数为圆心(—2,— 1)，半径 r = 5, d = 1 — 8 —3 — 4|= 3,5 — 3 = 2,.••共有 3 个符合条已知点 M(a , b)在直线3x + 4y = 15上，则、a 2 + b 2的最小值为( )B. 2 D. 4 C解析: 2 2 21 2由点 M(a , b)在直线 3x + 4y = 15 上知，3a + 4b = 15.则 a + b = a +品(15 — 3a) 52 18 52-2-=亦他—18a + 45) = ^5(a — ~a + 9)] 25 9 2=16 a — 5 +9 「9,a 2 + b 2有最小值3.12.如果圆x 2 + (y — 1) 2= 1上任意一点P(x , y)都能使x + y + c >0成立，则实数c 的范围是( )A O-2 — 1 B. c w — 2 — 1 C. c >2 — 1 D. c < ：2— 1答案：C解析：由x + y + c >0,得 O — x — y ,要使该不等式恒成立，只需 c >( — x — y) max ,令t = — x — y ,贝U x + y +1 = 0.,|0 + 1 + t|由 ----- = -- w 1, 得一 2 — 1 w t w 、“2 — 1.于二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分•把答案填在题中横线上.2 213.直线x — 2y — 3= 0与圆(x — 2) + (y + 3) = 9交于E , F 两点，则△ E0F(0是原点) 的面积等于 _______________ .答案：呼x 3解析：y =— 解方程组 2 22 2x — 2 + y + 3 = 9得 5x 2— 10x — 11 = 0,X 1 + X 2= 2,11X 1X 2=—,5解析：设圆心为(a , — 2a — 3),根据题意，有圆心到两平行直线之间的距离相等为圆的所以圆心坐标为一乎，¥,15.若x , y 满足(x — 3)2+ / = 1，则，x + 1 2+ /的取值范围是答案：3,5]2 2解析：解法一：由(x — 3) + y = 1,得 y 2= 1 — (x —可2》0,故(x — 3) 2w 1, 又由点到直线距离公式，得 .S 也..S A OEF=.d e — EF =14.与两平行直线 的方程是 ________ .13 2 答案：x ++ 5x + 3y — 5= 0 和 x + 3y — 3= 0 相切,圆心在直线2x + y + 3= 0上的圆11 2 =丄 5 = 1011 y —51 103半径，所以所以所求圆的••• 2w x w 4.2• ； x + 11 2+ y 2 = ： x + 1 2+ 1— x — 32=..7,由 2<x W 4,得 9W 8x — 7W 25,• • 3 W ；: 8x — 7W 5, 则x + 12+ y 2的取值范围是3,5].之间的距离，由于圆的圆心 C(3,0)，半径为1, |AC| = 4,所以3 = 4— K |PA| <4+ 1 = 5, 即｛ x + 1 2+ y 2的取值范围是 3,5].答案：±曲•••以OP 为直径的圆的方程为(x — 2)2+ (y — 3)2= 13.2 2⑵•/ PA PB 是圆O x + y = 1的两条切线， • OAL PA OB 丄 PB,• A , B 两点都在以OP 为直径的圆上.x 2 + y 2= 1 由22，得直线AB 的方程为4x + 6y — 1= 0.解法二：点 P(x , y)在圆(x — 3)2 + y 2= 1 上，则 x + 1 2+ y 2为 P(x , y)与 A( — 1,0)2 216•过点A(2,0)的直线把x + y < 1(区域)分成两部分(弓形)，它们所包含的最大圆的 直径之比为1 2，则此直线的斜率为 __________________ .2解析：如图，易知两个弓形部分所包含的两个最大圆相互外切，而它们的直径之比为1 21 2,所以被包含的较小圆、较大圆半径分别等于 3, 3即圆心O 到所求直线的距离等于3 32|k| 1设所求直线方程为 y = k(x — 2)，即kx — y — 2k = 0，所以=-,y k + 1 3解得k =± 4=±密.■\/35 35 三、解答题：本大题共 6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (10 分)已知点 A( — 1,— 2)和 B( — 3,6)，直线 I 经过点 P(1 , — 5). (1) 若直线I 与直线AB 平行，求直线 (2) 若直线I 与线段AB 相交，求直线6+ 2解：(1)k AB = _ 3 + 1=— 4,所以直线—1)，化简后得：4x + y + 1 = 0.(2)根据P, A , B 的位置分析可知，当直线 I 与线段AB 相交时，k PB W k Wk PA.—2+ 5 3 6+ 5 11因为 k PA = — 1— 1 = — 2 , kPB = — 3 — 1 = — 4 ,113直线I 的斜率k 的取值范围为一4 , — 2】.18. (12分)已知从圆外一点 P(4,6)作圆O: x 2 + y 2= 1的两条切线，切点分别为 A , B. (1) 求以OP 为直径的圆的方程； (2) 求直线AB 的方程.解：(1) •••所求圆的圆心为线段 OP 的中点(2,3), 半径为 jOP| =対 4— 0 2+ ―6 — 0 2 =伍,x — 2 + y — 3 = 1319. (12分)平行四边形的两邻边所在直线的方程为 x + y + 1= 0及3x — y + 4 = 0,其对的方程；的斜率k 的取值范围.与直线AB 平行时直线I 的方程为y + 5 =-4(x角线的交点是D(3,3)，求另两边所在直线的方程.5x= —4,解得又对角线交点为D(3,3),29 23则此对角线上另一顶点为 〒，丁 .4 4•••另两边所在直线分别与直线 x + y + 1 = 0及3x — y + 4 = 0平行， •••它们的斜率分别为一1及3, 23 29即它们的方程为 y — =— x ——4 423 29 及 y -4 =3 x - T ，.•.另外两边所在直线方程分别为 x + y — 13 = 0和3x — y — 16= 0. 20. (12 分)已知圆 01: x + y — 2mx + 4y + m — 5= 0,圆 G : x + y + 2x — 2my + m — 3= 0, m 为何值时，(1) (2) 解：0: G:2 21+ 2 = 3+ 2,------- 2 2(m + 1) + (m + 2) = 25.m+ 3m- 10= 0,解得 m=— 5, m = 2. •••当m=— 5或m = 2时，G 与G 外切; ⑵如果0与C 2内含，则有1 2+2 2<3 — 2.x + y + 1 = 0,解：由题意得3x — y + 4 = 0,即平行四边形给定两邻边的顶点为 5 1 4，4 .圆0与圆C 2相外切； 圆0与圆O 内含. 对于圆0,圆a 的方程，经配方后2 2(x — m) + (y + 2) = 9.2 2 (x + 1) + (y — m)= 4.(1)如果0与02外切，则有V在直线AD 上，所以直线AD 的方程为y — 1 = — 3(x + 1),即3x + y + 2 = 0 ,由x — 3y — 6= 0, 3x + y + 2= 0,解得点A 的坐标为(0，— 2).又•••矩形ABCD 的对角线AG BD 相交于点M(2,0)，故矩形外接圆的圆心为M又 |AM| = ―2 + 0 2 = 2 亚, 所以矩形外接圆的方程为(x — 2)2+ y 2= 8.3(2)设直线I 的方程为y = + b ,即3x — 4y + 4b = 0,(m + 1) + (m + 2) <1, m + 3m + 2<0,得一AB 边所在直线的方程为 x —求直线I 的方程.故 k AD = — 3,又点 T( — 1,1)11则圆心M(2,0)到直线l 的距离为圆的半径r = 2 .2,直线I 被矩形的外接圆所截得的弦长为2 刚 6+ 4b2即 4 + = 8 ,••• b + 3b - 4= 0,解得b = 1或b =- 4.3 3直线I 的方程为y = ’x + 1或y = x — 4, 4 4即 3x — 4y + 4= 0 或 3x — 4y — 16= 0.22.(12 分)已知圆 C ：x — 2) + (y — 3) = 16及直线 I : (m + 2)x + (3m + 1)y = 15m^ 10(m € R).(1) 证明：不论m 取什么实数，直线I 与圆C 恒相交；(2) 求直线I 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.解：(1)证明：直线 I 可化为 2x + y — 10+ mx + 3y —15) = 0,即不论m 取什么实数，它恒过两直线2x + y — 10= 0与x + 3y — 15 = 0的交点.两方程联 立，解得交点为(3,4).又有(3 — 2) + (4 — 3) = 2V 16,•点(3,4)在圆内部，•不论m 为何实数，直线I 与圆恒相交.(2)解：从(1)的结论和直线I 过定点M 3,4)且与过此点的圆 C 的半径垂直时，I 被圆所 截的弦长|AB 最短，由垂径定理得| AB = 2寸r 2— cM = 2 —3— 2 2+—4— 3 2] =1k l =—一，从而 k l =— K CM• I 的方程为 y — 4 =— (x — 3)，即 x + y = 7.|2 X 3-0X 4+ 4b|.'32+- 4|6 + 4b|5 4,则 22+ d 2= r 2, 此时, =—1,。
2022_2023学年高中数学第2章平面解析几何初步单元测评湘教版选择性必修第一册
第2章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022江苏南京六校高二联考)直线2x+3y+1=0的斜率和它在y轴上的截距分别为( )A.2,1B.C.-,-D.-,-2.已知直线l经过点(3,1),且直线l的一个法向量是(1,1),则l的方程是( )A.y=-x+4B.y=x-2C.y=-x+2D.y=x+23.(2022安徽池州高二期末)若圆C1:x2+y2-2x-4y-4=0,圆C2:x2+y2-6x-10y-2=0,则圆C1,C2的公切线条数为( )A.1B.2C.3D.44.(2022北京第十二中学高二期中)已知圆的一条直径的端点分别是A(-1,0),B(3,-4),则该圆的方程为( )A.(x+1)2+(y-2)2=8B.(x-1)2+(y+2)2=8C.(x+1)2+(y-2)2=32D.(x-1)2+(y+2)2=325.经过两条直线2x+y+2=0和3x+4y-2=0的交点,且垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程为( )A.2x+3y-2=0B.2x+3y+3=0C.3x+2y-2=0D.3x+2y+3=06.经过点A(1,2)可作圆x2+y2+mx-2y+4=0的两条切线,则实数m的取值范围是( )A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.(-5,-2)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-5,-2)∪(2,+∞)7.(2022江苏阜宁中学高二月考)已知圆C1与圆C2:(x+2)2+(y-1)2=4关于直线y=x对称,则圆C1的方程为( )A.(x+1)2+(y-2)2=4B.(x-1)2+(y-2)2=4C.(x+1)2+(y+2)2=4D.(x-1)2+(y+2)2=48.(2022四川成都树德中学高二月考)阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将该圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是( )A.2B.C.D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2022山西长治二中高二月考)若l1与l2为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别是α1,α2,下列命题是真命题的为( )A.若l1∥l2,则两条直线的斜率相等B.若两条直线的斜率相等,则l1∥l2C.若l1∥l2,则α1=α2D.若α1=α2,则l1∥l210.(2022湖北宜昌夷陵中学等高二联考)已知直线l的一个方向向量为u=-,且直线l经过点(1,-2),则下列结论中正确的是( )A.直线l的倾斜角等于150°B.直线l在x轴上的截距等于C.直线l与直线x-3y+2=0垂直D.直线l与直线x+y+2=0平行11.(2022江苏苏州第十中学高二月考)已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),则下列结论正确的是( )A.存在k,使得直线l2的倾斜角为90°B.对任意的k,直线l1与l2都有公共点C.对任意的k,直线l1与l2都不重合D.对任意的k,直线l1与l2都不垂直12.(2022辽宁实验中学高二月考)已知实数x,y满足方程x2+y2-2x-4y+1=0,则下列说法正确的是( )A.x2+y2的最大值为2+B.(x+2)2+(y+1)2的最大值为22+12C.x+y的最大值为3+2D.4x-3y的最大值为8三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.我国古代名著《墨经》中给出了圆的定义为“一中同长也”.已知O为坐标原点,P(-1,),若☉O,☉P的“长”分别为1,r(r>0),且两圆相切,则r= .14.(2022江苏阜宁中学高二月考)已知直线l:mx-y=1,若直线l与直线x-my-1=0平行,则实数m 的值为 .动直线l被圆C:x2+y2+2x-24=0截得弦长的最小值为 .15.(2022福建南安第三中学高二月考)一个圆过圆C:x2+y2-2x=0与直线l:x+2y-3=0的交点,且圆心在y轴上,则这个圆的方程为 .16.(2022山东潍坊高二联考)已知P(3,-2),M为圆x2+(y-2)2=4上的动点,则线段MP长度的取值范围是 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l1:ax+2y+6=0和l2:x+(a-1)y+a2-1=0(a≠1),试求a为何值时,(1)l1∥l2; (2)l1⊥l2.18.(12分)已知圆C:x2+y2+2x-4y-4=0.(1)在下列两个条件中任选一个作答.①已知不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程;②从圆外一点P(2,1)向圆引切线,求切线方程.(注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分)(2)若圆C2:x2+y2=4与圆C相交于D,E两点,求线段DE的长.19.(12分)(2022山东高二“学情检测”)已知△ABC的顶点A(4,2),AB边上的中线CM所在直线方程为x-y-3=0,AC边上的高BH所在直线方程为x+2y-2=0.求:(1)顶点C的坐标;(2)点B到直线AC的距离.20.(12分)已知A(0,3),O为坐标原点,直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在直线l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.21.(12分)(2022四川绵阳重点高中高二联考)已知圆C经过(2,4),(1,3)两点,圆心C在直线x-y+1=0上,过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M,N两点.(1)求圆C的标准方程;(2)若=12(O为坐标原点),求直线l的斜率.22.(12分)(2022黑龙江哈尔滨九中高二期中)已知线段AB的端点B的坐标是(6,8),端点A在圆x2+y2=16上运动,M是线段AB的中点,且直线l过定点(1,0).(1)求点M的轨迹方程;(2)记(1)中求得的图形的圆心为C,若直线l与圆C交于P,Q两点,求△CPQ面积的最大值,并求此时直线l的方程.参考答案第2章测评1.D 将直线2x+3y+1=0化为斜截式,得y=-x-,所以直线的斜率为-,在y轴上的截距为-,故选D.2.A 由直线l的一个法向量可知直线的斜率为-1.∵直线l经过点(3,1),且直线l的斜率为-1,根据直线的点斜式可得直线l的方程是y-1=-(x-3),整理得y=-x+4,故选A.3.B 依题意,圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9,圆心为C1(1,2),半径为r1=3,圆C2:(x-3)2+(y-5)2=36,圆心为C2(3,5),半径为r2=6.因为|C1C2|=,且r2-r1<<r1+r2,故圆C1,C2相交,则圆C1,C2有2条公切线.故选B.4.B 由题意可知,线段AB的中点为(1,-2),即该圆的圆心为(1,-2).又圆的半径为r=|AB|==2,故圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=8.故选B.5.A 联立方程组解得则交点为A(-2,2).因为所求直线垂直于直线3x-2y+4=0,故所求直线的斜率k=-.故所求直线方程为y-2=-(x+2),即2x+3y-2=0.故选A.6.B 由圆x2+y2+mx-2y+4=0整理得x+2+(y-1)2=-3,∴-3>0,解得m<-2或m>2.由题意知点A在圆外,∴1+4+m-4+4>0,解得m>-5.综上可得,-5<m<-2或m>2.故选B.7.D 设圆心C2(-2,1)关于直线y=x的对称点C1的坐标为(a,b),则线段C1C2的中点为,且.则解得即圆C1的圆心为C1(1,-2).因为两圆关于直线对称,则圆的半径长度不变,即圆C1的半径为2,所以圆C1的方程为(x-1)2+(y+2)2=4.故选D.8.A 如图所示,以经过A,B两点的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设P(x,y),因为,所以,整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8.因为P,A,B三点不共线,故当P点在y轴上时,△PAB面积最大,此时三角形的高为OP=2,所以△PAB面积的最大值是×2×2=2.故选A.9.CD 当α1=α2=90°时,l1∥l2,但两条直线斜率不存在,故A错误;若两条直线的斜率相等,且两直线不重合,可得l1∥l2,故B错误;若l1∥l2,由平行线的性质,可得α1=α2,故C正确;若α1=α2,由平行线的性质,可得l1∥l2,故D正确.故选CD.10.CD 因为直线l的一个方向向量为u=-,所以直线l的斜率为k==-.设直线的倾斜角为α(0≤α<π),则tanα=-,所以α==120°,故A错误;因为直线l经过点(1,-2),所以直线l的方程为y+2=-(x-1),令y=0,则x=-+1,所以直线l在x轴上的截距为-+1,故B错误;因为直线x-3y+2=0的斜率为,直线l的斜率为-,所以-=-1,所以直线l与直线x-3y+2=0垂直,故C正确;因为直线x+y+2=0的斜率为-,直线l的斜率也为-,且两直线截距不等,故两直线平行,故D 正确.故选CD.11.ABD 当k=0时,直线l2斜率不存在,此时l2的倾斜角为90°,故A正确;由可得x(2k+1)=0,对于任意的k,此方程组都有解,所以对任意的k,直线l1与l2都有公共点,故B正确;当k=-时,直线l2:x-y-=0,即x-y-1=0,此时直线l1与l2重合,故C不正确;由x-y-1=0可得直线l1的斜率为1,若直线l2与l1垂直,则直线l2的斜率为=-1,此方程无解,所以对任意的k,直线l1与l2都不垂直,故D正确.故选ABD.12.BCD 方程x2+y2-2x-4y+1=0整理可得(x-1)2+(y-2)2=4,则方程x2+y2-2x-4y+1=0表示的图形是以点C(1,2)为圆心,2为半径的圆,如图所示.代数式x2+y2表示圆C上的点P(x,y)到原点O的距离的平方,当点P为直线OC与圆C的交点,且C在线段OP上时,|OP|取得最大值,即|OP|max=|OC|+2=2+,所以(x2+y2)max==9+4,故A错误;由于代数式(x+2)2+(y+1)2表示圆C上的点Q(x,y)到点A(-2,-1)的距离的平方,当点Q为直线AC与圆C的交点,且点C在线段AQ上时,|AQ|取得最大值,即|AQ|max=|AC|+2=+2=3+2,所以[(x+2)2+(y+1)2]max==22+12,故B正确;设x+y=k,则直线x+y-k=0与圆C有公共点,所以圆心到直线的距离≤2,解得3-2≤k≤3+2,所以x+y的最大值为3+2,故C正确;设4x-3y=t,则直线4x-3y-t=0与圆C有公共点,所以≤2,解得-12≤t≤8,所以4x-3y的最大值为8,故D正确.故选BCD.13.1或3 由题意,O为坐标原点,P(-1,).根据圆的定义可知,☉O的圆心为O(0,0),半径为1,☉P的圆心为P(-1,),半径为r.因为两圆相切,则有|PO|=r+1或|PO|=|r-1|.因为|PO|==2,则有r+1=2或|r-1|=2,解得r=1或3.14.-1 2 由题意得m×(-m)-(-1)×1=0,所以m=±1.当m=1时,两直线重合,舍去,故m=-1.因为圆C的方程x2+y2+2x-24=0可化为(x+1)2+y2=25,即圆C的圆心为C(-1,0),半径为5.由于直线l:mx-y-1=0过定点P(0,-1),所以过点P且与PC垂直的弦的弦长最短,|PC|=,则最短弦长为2×=2.15.x2+(y+2)2=10 由解得所以圆C与直线l的交点为,B(1,1).因为直线AB的斜率为-,线段AB,所以线段AB的垂直平分线的斜率为2,则可得y-=2x-,即y=2x-2.又因为圆心在y轴,所以圆心为(0,-2),半径为圆心到交点B的距离,则所求圆的方程为x2+(y+2)2=10.16.[3,8] 因为圆x2+(y-2)2=4的圆心坐标为C(0,2),半径r=2.又P(3,-2),所以|PC|==5.因为M为圆上的动点,所以5-r≤|MP|≤5+r,即3≤| MP|≤8,所以线段MP长度的取值范围是[3,8].17.解(1)若l1∥l2,则解得故a=-1.(2)若l1⊥l2,则a+2(a-1)=0,解得a=.18.解(1)①将圆C的方程化为(x+1)2+(y-2)2=9,∴圆心C的坐标为(-1,2),半径为3.∵直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零,故直线l的斜率为-1.设直线l的方程为y=-x+b,∵直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=9相切,∴=3,整理得b=1±3.故所求直线l的方程为y=-x+1±3.②将圆C的方程化为(x+1)2+(y-2)2=9,∴圆心C的坐标为(-1,2),半径为3.当过点P的直线斜率不存在时,直线方程为x=2,此时圆心C到直线的距离为3,所以直线x=2是圆C的切线.当过点P的直线斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.由题意可知=3,解得k=,∴切线方程为x-y+1-2×=0,整理得4x-3y-5=0.综上所述,切线方程为4x-3y-5=0或x=2.(2)联立两圆方程得①-②得2x-4y=0,则DE所在直线的方程为x-2y=0.则圆心C到直线DE的距离为d=.∴线段DE的长为2=4.19.解(1)设C(m,n),由于AB边上的中线CM所在直线方程为x-y-3=0,AC边上的高BH所在直线方程为x+2y-2=0.则解得故可得顶点C的坐标为(3,0).(2)设B(a,b),则解得则可得B点坐标为,-.由(1)可得直线AC的方程为,整理得2x-y-6=0.故点B到直线AC的距离d=.20.解(1)由题得圆心在直线l:y=2x-4和直线y=x-1上,则可得解得即圆心C的坐标为(3,2).设过A(0,3)的圆C的切线方程为y-3=k(x-0),即kx-y+3=0,由直线kx-y+3=0与圆C相切,可得=1,解得k=0或k=-,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)根据圆心C在直线l:y=2x-4上,可设圆心C为(a,2a-4),则圆的方程为(x-a)2+(y-2a+4)2=1.若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,设M(x,y),∵|MA|=2|MO|,∴=2,整理可得x2+(y+1)2=4,故点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.又点M也在圆C上,故圆C和圆D有交点,∴2-1≤|CD|≤1+2,即1≤≤3,得解得0≤a≤,即a的取值范围为.21.解(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则由题意可得解得所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+1,设M(x1,y1),N(x2,y2),将y=kx+1代入(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,x1+x2=,x1x2=.=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8=12,即=4,解得k=1.经检验,符合题意,所以直线l的斜率为1.22.解(1)设M(x,y),A(x0,y0),∵M是线段AB中点,∴整理可得∵点A在圆x2+y2=16上,∴(2x-6)2+(2y-8)2=16,整理得(x-3)2+(y-4)2=4,即M点的轨迹方程为(x-3)2+(y-4)2=4.(2)由直线l与圆C交于P,Q两点知直线l斜率存在且不为0.设直线l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,则圆心C到直线l距离d=,∵S△CPQ=|PQ|·d=d=2,当且仅当4-d2=d2,即d2=2时,等号成立.由d2=2得=2,解得k=1或k=7.故△CPQ面积的最大值为2,此时直线l的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.。
高中数学 第二章 平面解析几何初步检测B 新人教B版必修2
第二章平面解析几何初步检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若直线2x+by-4=0经过点,则其斜率等于()A.-2B.2C.D.-解析：由已知得2·+b·(-3)-4=0,则b=-1,故直线方程为2x-y-4=0,斜率等于2.答案：B2已知直线ax+y+5=0与直线y=2x平行,则它们之间的距离等于()A. B. C. D.解析：因为两直线平行,所以a=-2,两直线即为:2x-y-5=0与2x-y=0,它们之间的距离为d=.答案：D3已知点A(1,2,2),B(1,-3,1),点C在yOz平面上,且点C到点A,B的距离相等,则点C的坐标可以为()A.(0,1,-1)B.(0,-1,6)C.(0,1,-6)D.(0,1,6)解析：由题意设点C的坐标为(0,y,z),则,即(y-2)2+(z-2)2=(y+3)2+(z-1)2,亦即5y+z+1=0,经检验知,只有选项C满足.答案：C4已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=()A.-B.1C.2D.解析：由题意知点P(2,2)在圆(x-1)2+y2=5上,设切线的斜率为k,则k·=-1,解得k=-,直线ax-y+1=0的斜率为a,其与切线垂直,所以-a=-1,解得a=2,故选C.答案：C5一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的主视图时,以zOx平面为投影面,则得到的主视图可以为()解析：如图,该四面体在空间直角坐标系Oxyz的图象为下图:则它在平面zOx上的投影即主视图为,故选A.答案：A6设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为()A.6B.4C.3D.2解析：∵由圆(x-3)2+(y+1)2=4知,圆心的坐标为(3,-1),半径r=2,∴圆心到直线x=-3的距离d=|3-(-3)|=6.∴|PQ|min=d-r=6-2=4,故选B.答案：B7直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为()A.1B.2C.4D.4解析：由圆的一般方程可化为圆的标准方程:(x-1)2+(y-2)2=5,可知圆心坐标为(1,2),半径为,圆心到直线的距离为=1,由勾股定理可得弦长一半为=2.故弦长为4.答案：C8已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1内,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定解析：∵点M(a,b)在圆x2+y2=1内,∴点M(a,b)到圆心(0,0)的距离要小于半径,即a2+b2<1,而圆心(0,0)到直线ax+by=1的距离为d=>1,∴直线与圆相离.答案：C9垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是()A.x+y-=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+=0解析：由于所求切线垂直于直线y=x+1,可设所求切线方程为x+y+m=0.由圆心到切线的距离等于半径得=1,解得m=±.由于与圆相切于第一象限,则m=-.答案：A10直线l:mx+(m-1)y-1=0(m为常数),圆C:(x-1)2+y2=4,则下列说法正确的是()A.当m变化时,直线l恒过定点(-1,1)B.直线l与圆C有可能无公共点C.对任意实数m,圆C上都不存在关于直线l对称的两点D.若直线l与圆C有两个不同交点M,N,则线段MN的长的最小值为2解析：直线l可化为m(x+y)-(y+1)=0,令则l过定点(1,-1),故A错;因为(1-1)2+(-1)2=1<4,所以点(1,-1)在☉C内部,因此l与☉C恒相交,故B错;当l过圆心C(1,0),即m=1时,圆心上存在关于直线l对称的两点,故C错.答案：D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案：填在题中的横线上)11点M(2,1)到直线l:x-y-2=0的距离是.解析：由点到直线的距离公式得d=.答案：12直线l与圆x2+y2+2x-4y+1=0相交于A,B两点,若弦AB的中点(-2,3),则直线l的方程为.解析：由圆x2+y2+2x-4y+1=0整理得(x+1)2+(y-2)2=4,得到圆心的坐标为(-1,2),由题意知圆心C与弦AB中点的连线与直线l垂直,因为弦AB的中点为(-2,3),圆心C的坐标为(-1,2),所以圆心与弦AB中点连线的斜率为=-1,所以直线l的斜率为1,因为直线l过(-2,3),所以直线l的方程为y-3=x+2,即x-y+5=0.答案：x-y+5=013若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是.解析：由题意知圆心在直线x=2上,则切点坐标为(2,1).设圆心坐标为(2,t),由题意,可得4+t2=(1-t)2,所以t=-,半径r2=.故圆C的方程为(x-2)2+.答案：(x-2)2+14直线y=2x-7被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于.解析：圆的圆心为(3,4),半径是5,圆心到直线的距离d=,可知弦长l=2=4.答案：415过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为.解析：如图,当AB所在直线与AC垂直时弦BD最短,AC=,CB=r=2, 则BA=,故BD=2BA=2.答案：2三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分8分)已知在△ABC中,A(3,2),B(-1,5),点C在直线3x-y+3=0上,若△ABC的面积为10,求点C的坐标.解|AB|==5,∵S△ABC=10,∴AB边上的高为4,即点C到直线AB的距离为4.设C(a,b),∵直线AB的方程为3x+4y-17=0,∴解得∴点C的坐标为(-1,0)或.17(本小题满分8分)如图,在Rt△ABC中,已知A(-2,0),直角顶点B(0,-2),点C在x轴上.(1)求Rt△ABC外接圆的方程;(2)求过点(-4,0)且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程.解(1)由题意可知点C在x轴的正半轴上,可设其坐标为(a,0),因为AB⊥BC,所以k AB·k BC=-1,即=-1,解得a=4.所以所求圆的圆心为(1,0),半径为3,故所求圆的方程为(x-1)2+y2=9.(2)由题意知直线的斜率存在,故设所求直线方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0.当圆与直线相切时,有d==3,解得k=±,故所求直线方程为y=(x+4)或y=-(x+4),即3x-4y+12=0或3x+4y+12=0.18(本小题满分9分)已知A(4,-3),B(2,- 1)和直线l:4x+3y-2=0,求一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离等于2.解(方法一)设点P(x,y),因为|PA|=|PB|,所以.①又点P到直线l的距离等于2,所以=2.②由①②联立方程组,解得P(1,-4),或P.(方法二)设点P(x,y),因为|PA|=|PB|,所以点P在线段AB的垂直平分线上.由题意知k AB=-1,线段AB的中点为(3,-2),所以线段AB的垂直平分线的方程是y=x-5.设点P(x,x-5),因为点P到直线l的距离等于2,所以=2.解得x=1,或x=,所以P(1,-4),或.19(本小题满分10分)圆C与y轴切于点(0,2),与x轴正半轴交于两点M,N(点M在点N的左侧),且|MN|=3.(1)求圆C的方程;(2)过点M任作一直线与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,连接AN,BN,求证:k AN+k BN=0.(1)解因为圆C与y轴切于点(0,2),可设圆心坐标为(m,2)(m>0),则圆的半径为m,所以m2=4+,得m=,故所求圆的方程为+(y-2)2=;(2)证明由(1)可得M(1,0),则可设AB:x=1+ty,代入x2+y2-4=0,并整理,得(t2+1)y2+2ty-3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1≠4,x2≠4,则因为N(4,0),所以k AN+k BN==0.20(本小题满分10分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0).(1)若l1与圆相切,求l1的方程;(2)若l1与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证:AM·AN为定值.(1)解①若直线l1的斜率不存在,即直线方程为x=1,符合题意.②若直线l1斜率存在,设直线l1为y=k(x-1),即kx-y-k=0.由题意知,圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2,即=2,解得k=.此时l1的方程为y=(x-1),即3x-4y-3=0.综上直线l1的方程是x=1或3x-4y-3=0.(2)证明直线l1与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线l1的方程为kx-y-k=0.由,得N.因为直线CM与l1垂直,由得M.所以AM·AN=|y M-0|·|y N-0|=|y M·y N|=6,为定值.。
高二数学单元测试(平面解析几何初步)
高二数学单元测试（平面解析几何初步）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，满分70分.1、与圆22(3)(1)2x y -++=相切，且在两坐标轴上有相等截距的切线有___3___条.2、已知圆C 1：0276:07622222=--+=--+y y x C x y x 与圆相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为 x+y-3=0 .3、过点P(2,3)作圆C ：(x -1)2+(y -1)2=1的两条切线，切点分别为B A ,，则过C B A ,,三点的圆的方程为 240x y +-=4、如果圆2244100x y x y +---=上至少有三点到直线0ax by +=的距离为么直线0ax by +=的倾斜角的取值范围为51212ππα≤≤． 5、已知圆C 方程为：224x y +=，直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B两点，若||AB =l 的方程为3450x y -+=或1=x .6、圆16:22=+y x C 上两点)(),,(2,211y x B y x A ，若 34=,则=+2121y y x x 8-7、若直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于M 、N 两点，并且M 、N 关于直线0=+y x 对称，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx 表示的平面区域的面积是41. 8、由直线y=x +1上的一点向圆(x -3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为7.9、点M （a,b ）（ab ≠0）是圆C ：x 2 + y 2 = r 2内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程是ax + by = r 2，那么直线l 与直线m 的关系是 平行 . 10、与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相的切的半径最小圆的标准方程是2)2()2(22=-+-y x .11、设两直线的方程分别为0,0x y a x y b ++=++=，已知,a b 是关于x 的方程20x x c ++=的两个实数根，且11168c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值的差为467-.12、已知1:3:2::=c b a ，方程02=-+c bx ax 的两个根分别为x 1,x 2，则点P （x 1,x 2）在与圆222=+y x 的位置关系是 点在圆内 .13、过x 轴上一点P ，作圆C ：x 2+(y －2)2=1的切线，切点分别为A ，B ，则△ABC 面积的最大值为433. 14、设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是 （4,6） ．二、解答题：本大题共6题，15-17每小题14分，18-20每小题16分，共计90分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.15、已知直线l 经过点P (－1，1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1=0及l 2：x ＋2y －3=0所截得的线段M 1M 2的中点M 在直线l 3：x －y －1=0上，试求直线l 的方程．解法一：（1）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程是x ＝－1，与直线l 1，l 2的交点分别为M 1(－1，1)，M 2(－1，2)．线段M 1M 2的中点(－1，32)不在直线l 3上，不合． （2）当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，分别与l 1，l 2联列解得M 1(－1，1)，M 2(1－2k 1＋2k ，1＋4k 1＋2k ），线段M 1M 2的中点为M (－2k 1＋2k ，1＋3k 1＋2k），因为M 在直线l 3上，代入得，k ＝－27．代入得直线l 的方程为2x ＋7y －5＝0． 解法二：因为被两平行直线l 1，l 2所截线段M 1M 2的中点在与l 1，l 2平行且与l 1，l 2等距离的直线上，而与l 1，l 2平行且与l 1，l 2等距离的直线方程为x ＋2y －2＝0，又由已知线段M 1M 2的中点M 在直线l 3：x －y －1=0上，所以由方程组⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y －1=0解得线段M 1M 2中点M 的坐标为(43，13)．从而直线l 经过点P (－1，1)和M (43，13)，代入两点式得直线l 的方程为2x ＋7y －5＝0．16、已知圆C 与两坐标轴都相切，圆心C 到直线y x =-.（1）求圆C 的方程.（2）若直线l 与x 轴正半轴与y 正半轴分别交于A （m,0），B(0,n)两点(2,2)m n >>，且直线l 与圆C 相切，求三角形AOB 面积的最小值．解;（1）圆C 方程为2222(1)(1)1,(1)(1)1x y x y -+-=+=或＋＋. (2)直线0l nx my mn +-=方程为，∵22:(1)(1)1l C x y -+-=直线与圆相切，1,= ∴222(),n m mn n m +-=+左边展开，整理得，22 2.mn m n =+- ∴2.2mn m n ++=∵0,0,2m n m n mn >>+≥，∴222mn mn +≥， ∴2()420,mn mn -+≥∴22,2 2.mn mn ≥+≤-或∵2,2m n >>∴22mn ≥+，∴mn ≥6+42 mn s 21= ≥3+22三角形AOB 面积的最小值为3+22 17、已知圆C 方程为：224x y +=.（Ⅰ）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||23AB =，求直线l 的方程; （Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ，求动点Q 的轨迹方程.解：（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-，其距离为32 满足题意②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d ∴1|2|12++-=k k ，34k =， 故所求直线方程为3450x y -+= 综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x （Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x （00y ≠），Q 点坐标为()y x ,则N 点坐标是()0,0y∵OQ OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ，∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，20y y = 又∵42020=+y x ，∴224(0)4y x y +=≠ ∴Q 点的轨迹方程是221(0)416x y y +=≠. 18、某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P （元/件）：前10天每天单价呈直线下降趋势（第10天免费赠送品尝），后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如下表：时间（将第x 天记为x ）x 1 10 1118 单价（元/件）P 9 0 1 8而这20天相应的销售量Q （百件/天）与x 对应的点),(Q x 在如图所示的半圆上． （Ⅰ）写出每天销售收入y （元）与时间x （天）的函数关系式)(x f y =；（Ⅱ）在这20天中哪一天销售收入最高？为使每天销售收入最高，按此次测试结果应将单价P 定为多少元为好？（结果精确到1元）解：（1）[][]*,20,11,1010,1,10N x x x x x p ∈⎩⎨⎧∈-∈-=， ()210100--=x Q ，[]*,20,1N x x ∈∈，∴()()[][]*22,20,1,1010010100100N x x x x Qp y ∈∈---==。
人教B版高中数学必修二单元测评(二) 平面解析几何初步
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）单元测评(二) 平面解析几何初步(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．若A (3，－2)，B (－9,4)，C (x,0)三点共线，则x 的值为 A ．1 B ．－1 C ．0D ．7解析：由题设知0－(－2)x －3＝4－(－2)－9－3，解得x ＝－1.答案：B2．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是 A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心D ．相离解析：圆心(0,0)到直线y ＝x ＋1的距离d ＝12＝22＜1，∴直线与圆相交，圆心不在y ＝x ＋1上．答案：B3．已知两条直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于 A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：由两直线垂直的判定得a (a ＋2)＋1＝0， ∴a ＝－1. 答案：B4．不论m 为何实数，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点 A ．(－2,3) B ．(2，－3) C ．(1,0)D ．(0，－2)解析：直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0可化为m (x ＋2)－(x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线过定点(－2,3)． 答案：A5．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2解析：由题意知2(k －3)(4－k )＋2(k －3)＝0，即(k －3)·(5－k )＝0，∴k ＝3或k ＝5.答案：C6．直线l 过点P (1,3)且与x ，y 轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，则l 的方程是A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0解析：设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝6，1a ＋3b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.所以所求直线的方程为x 2＋y 6＝1，即3x ＋y －6＝0. 答案：A7．经过点A (2，－1)且与直线x ＋y ＝1相切，圆心在直线y ＝－2x 上的圆的方程为A ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝2D ．(x －1)2＋(y －2)2＝2解析：由题意知，过A (2，－1)且与直线x ＋y ＝1垂直的直线方程为y ＝x －3.因为圆心在直线y ＝－2x 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ，y ＝x －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，即圆心C (1，－2)，且半径r ＝|AC |＝(2－1)2＋(－1＋2)2＝ 2.所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. 答案：B8．已知点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值是A ．2 B.4＋52 C.52D.2＋52解析：AB 所在直线方程为－x ＋y2＝1，即2x －y ＋2＝0.|AB |＝(－1－0)2＋(0－2)2＝5，圆心(1,0)到直线AB 的距离d ＝45，点P 到直线AB 的最大距离为d ′＝d ＋1＝45＋1.∴△P AB 面积的最大值是12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋1＝4＋52. 答案：B9．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则 A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能解析：因为32＋02－4×3＝－3＜0，所以点P 在圆内，故直线l 必与圆相交．答案：A10．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：要使面积差最大，则PO ⊥l .故k l ＝－1，即l 的方程为y －1＝－(x －1)，即l 的方程为x ＋y －2＝0，应选A.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．在空间直角坐标系中，已知M (2,0,0)，N (0,2,10)，若在z 轴上有一点D ，满足|MD |＝|ND |，则点D 的坐标为__________．解析：设D (0,0，z )，由|MD |＝|ND |得22＋02＋z 2＝02＋22＋(10－z )2，∴z ＝5，则D (0,0,5)．答案：(0,0,5)12．已知A (2,2)、B (－5,1)、C (3，－5)，则△ABC 的外心的坐标为__________．解析：|AB |＝|AC |＝50，|BC |＝10.∵|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，∴△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角．所以其外心为BC 的中点(－1，－2)．答案：(－1，－2)13．经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是__________．解析：截距相等，应注意分截距为0和不为0两种情况讨论． 答案：2x －3y ＝0或x ＋y －5＝014．设点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上，则(x －2)2＋y 2的最小值是__________．解析：圆心M (0,1)到点Q (2,0)的距离为d ＝(0－2)2＋(1－0)2＝5，圆的半径r ＝1，所以圆上的点P (x ，y )到Q (2,0)距离的最小值为5－1，即(x －2)2＋y 2的最小值为5－1. 答案：5－1三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知两条直线l 1：ax ＋by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1⊥l 2，且l 1过点(－1,1)，求a ，b 的值．解：∵l 1过点(－1,1)，∴a －b －4＝0.(4分) 又∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋b ＝0.(8分)由⎩⎪⎨⎪⎧ a －b －4＝0，a 2－a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－6. (12分)16．(12分)圆C 与直线l 1：x －6y －10＝0相切于点P (4，－1)，且圆心在直线l 2：5x －3y ＝0上，求圆C 的方程．解：设所求圆的圆心为C (a ，b )，由于所求圆与直线l 1：x －6y －10＝0切于点P (4，－1)，可设圆心所在直线方程为6x ＋y ＋c ＝0.(2分)将P (4，－1)代入方程得c ＝－23，即圆心所在直线方程为6x ＋y －23＝0，则满足6a ＋b －23＝0.①又圆心C 在直线l 2：5x －3y ＝0上， 则5a －3b ＝0.②联立①②解得a ＝3，b ＝5，即圆心C (3,5)． (10分)圆半径r ＝|PC |＝(4－3)2＋(－1－5)2＝37，所以所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37.(12分)17．(12分)已知点A (1,4)，B (6,2)，试问在直线x －3y ＋3＝0上是否存在点C ，使△ABC 的面积等于14？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．解：|AB |＝(1－6)2＋(4－2)2＝29， 由两点式得直线AB 的方程为y －24－2＝x －61－6，即2x ＋5y －22＝0.(2分)假设在直线x －3y ＋3＝0上存在点C ，使得△ABC 的面积等于14， 设点C 的坐标为(m ，n )，则有m －3n ＋3＝0， ①(4分) 点C 到直线AB 的距离为d ＝|2m ＋5n －22|29.由于△ABC 的面积等于14，则12|AB |·d ＝12·29·|2m ＋5n －22|29＝14，整理得|2m ＋5n －22|＝28，即2m ＋5n ＝50， ②(6分)或2m ＋5n ＝－6. ③(8分) 联立①②解得m ＝13511，n ＝5611. 联立①③解得m ＝－3，n ＝0.(10分)综上所述，在直线x －3y ＋3＝0上存在点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13511，5611或C (－3,0)使得△ABC 的面积等于14.(12分)18．(14分)已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0.(1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？ 解：(1)直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4mm 2＋1，直线l 的斜率k ＝mm 2＋1.(2分) 因为|m |≤12(m 2＋1)，所以|k |＝|m |m 2＋1≤12，当且仅当|m |＝1时等号成立．所以斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.(6分)(2)不能．(8分)由(1)知l 的方程为y ＝k (x －4)，其中|k |≤12. 圆C 的圆心坐标为C (4，－2)，半径r ＝2. 所以圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.(10分) 由|k |≤12，得d ≥45＞1，即d ＞r2.(12分)若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3，所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．(14分)。
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高二数学单元测试（平面解析几何初步）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，满分70分.1、与圆(某3)2(y1)22相切，且在两坐标轴上有相等截距的切线有___3___条.2、已知圆C1：某2y26某70与圆C2:某2y26y270相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为某+y-3=0.3、过点P(2,3)作圆C：(某-1)2+(y-1)2=1的两条切线，切点分别为A,B，则过A,B,C三点的圆的方程为某2y404、如果圆某2y24某4y100上至少有三点到直线a某by0的距离为22，那么直线a某by0的倾斜角的取值范围为125．125、已知圆C方程为：某2y24，直线l过点P1,2，且与圆C 交于A、B两点，若|AB|23，则直线l的方程为3某4y50或某1.6、圆C:某2y216上两点A(某1,y1),B(某2,y2)，若AB43,则某1某2y1y287、若直线yk某1与圆某2y2k某my40交于M、N两点，并且M、N关于直线某y0k某y101对称，则不等式组k某my0表示的平面区域的面积是.4y08、由直线y=某+1上的一点向圆(某-3)+y=1引切线，则切线长的最小值为7.229、点M（a,b）（ab≠0）是圆C：某+y=r内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程是a某+by=r，那么直线l与直线m 的关系是平行.22222210、与直线某y20和曲线某y12某12y540都相的切的半径最小圆的标准方程是(某2)(y2)2.220，已知a,b是关于某的方程11、设两直线的方程分别为某ya0,某yb某2某c0的两个实数根，且11c，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值168第1页共5页的差为76.412、已知a:b:c2:3:1，方程a某2b某c0的两个根分别为某1,某2，则点P（某1,某2）在与圆某2y22的位置关系是点在圆内.13、过某轴上一点P，作圆C：某2+(y－2)2=1的切线，切点分别为A，B，则△ABC面积的最大值为33.414、设圆(某3)2(y5)2r2(r0)上有且仅有两个点到直线4某3y20的距离等于1，则圆半径r的取值范围是（4,6）．二、解答题：本大题共6题，15-17每小题14分，18-20每小题16分，共计90分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.15、已知直线l经过点P(－1，1)，它被两平行直线l1：某＋2y－1=0及l2：某＋2y－3=0所截得的线段M1M2的中点M在直线l3：某－y－1=0上，试求直线l的方程．解法一：（1）当直线l斜率不存在时，直线l的方程是某＝－1，与直线l1，l2的交点分别为3M1(－1，1)，M2(－1，2)．线段M1M2的中点(－1，)不在直线l3上，不合．2（2）当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(某＋1)，分别与l1，l2联列解得M1(－1－2k1＋4k－2k1＋3k1，1)，M2(，），线段M1M2的中点为M(，），因为M在直线l3上，1＋2k1＋2k1＋2k1＋2k2代入得，k＝－．代入得直线l的方程为2某＋7y－5＝0．7解法二：因为被两平行直线l1，l2所截线段M1M2的中点在与l1，l2平行且与l1，l2等距离的直线上，而与l1，l2平行且与l1，l2等距离的直线方程为某＋2y－2＝0，又由已知线段M1M2某＋2y－2＝0，的中点M在直线l3：某－y－1=0上，所以由方程组解得线段M1M2中点M的某－y－1=04141坐标为(，)．从而直线l经过点P(－1，1)和M(，)，代入两点式得直线l的方程为2某＋33337y－5＝0．16、已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线y某的距离等于2.（1）求圆C的方程.（2）若直线l与某轴正半轴与y正半轴分别交于A（m,0），B(0,n)两点(m2,n2)，且直线l与圆C相切，求三角形AOB面积的最小值．解;（1）圆C方程为(某1)(y1)1,或(某＋1)(y＋1)1.(2)直线l方程为n某mymn0，∵直线l与圆C:(某1)(y1)1相切，∴222222nmmnn2m21,∴(nmmn)2n2m2,左边展开，整理得，mn2m2n2.第2页共5页∴mnmn2.2mn22mn，2∵m0,n0,mn2mn，∴∴(mn)24mn20,∴mn22,或mn22.∵m2,n2∴mn22，∴mn≥6+421mn≥3+22三角形AOB面积的最小值为3+22217、已知圆C方程为：某2y24.（Ⅰ）直线l过点P1,2，且与圆C交于A、B两点，若|AB|23，求直线l的方程;（Ⅱ）过圆C上一动点M作平行于某轴的直线m，设m与y 轴的交点为N，若向量OQOMON，求动点Q的轨迹方程.l与圆的两个交点坐标为1,3解：（Ⅰ）①当直线l垂直于某轴时，则此时直线方程为某1，和1,3，其距离为23满足题意②若直线l不垂直于某轴，设其方程为y2k某1，即k某yk20设圆心到此直线的距离为d，则2324d2，得d1∴1|k2|k21，k3，4故所求直线方程为3某4y50综上所述，所求直线为3某4y50或某1（Ⅱ）设点M的坐标为某0,y0（y00），Q点坐标为某,y则N点坐标是0,y0∵OQOMON，∴某,y某0,2y0即某0某，20222y0y2y2某2y24(y0)∴Q点的轨迹方程是1(y0).又∵某y4，∴某441618、某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P（元/件）：前10天每天单价呈直线下降趋势（第10天免费赠送品尝），后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如下表：时间（将第某天记为某）111018某1单价（元/件）P9018而这20天相应的销售量Q（百件/天）与某对应的点(某,Q)在如图所示的半圆上．（Ⅰ）写出每天销售收入y（元）与时间某（天）的函数关系式yf(某)；（Ⅱ）在这20天中哪一天销售收入最高？为使每天销售收入最高，按此次测试结果应将单价P定为多少元为好？（结果精确到1元）第3页共5页解：（1）p10某,某1,10,某N某，某10,某11,202Q100某10，某1,20,某N某，∴y100Qp100某102100某102,某1,20,某N某。
某102100某102222500，（2）∵某10100某10222∴当且仅当某10100某10，即某1052时，y有最大值。
2某∵某N，∴取某3或17时，yma某700514999（元），此时，p7（元）。
答：第3天或第17天销售收入最高，此时应将单价P定为7元为好（亦可转化为关于(某10)2的二次函数来求解）19、已知圆C的方程为某2＋y2－6某－2y＋5＝0，过点P(2，0)的动直线l与圆C交于P1，P2两点，过点P1，P2分别作圆C的切线l1，l2，设l1与l2交于为M，求证：点M在一条定直线上，并求出这条定直线的方程．解法一：因为⊙C：(某－3)2＋(y－1)2＝5，所以圆心C为(3，1)．设P1(某1，y1)，P2(某2，y2)，M(某0，y0)，因为P1MCP1，所以MP1CP1＝0．所以(某1－某0)(某1－3)＋(y1－y0)(y1－1)＝0，即(某1－3)2＋(3－某0)(某1－3)＋(y1－1)2＋(1－y0)(y1－1)＝0，因为(某1－3)2＋(y1－1)2＝5，所以(某0－3)(某1－3)＋(y0－1)(y1－1)＝5，同理(某0－3)(某2－3)＋(y0－1)(y2－1)＝5．所以过点P1，P2的直线方程为(某－3)(某0－3)＋(y－1)(y0－1)＝5．因直线P1P2过点(2，0)．所以代入得(2－3)(某0－3)＋(0－1)(y0－1)＝5，即某0＋y0＋1＝0．所以点M恒在直线某＋y＋1＝0上．解法二：设M(某0，y0)，则以MC为直径的圆C1的方程为(某－某0)(某－3)＋(y－y0)(y－1)＝0，即某2＋y2－(某0＋3)某－(y0＋1)y＋3某0＋y0＝0，由平面几何知识可得，过M作⊙C的两条切线的切点分别为P1，P2，直线P1P2的方程即为⊙C与⊙C1公共弦所在直线方程，从而由⊙C与⊙C1方程相减得直线P1P2的方程为（某0－3)某＋(y0－1)y＋5－3某0－y0＝0，因为直线P1P2过点P(2，0)，代入得某0＋y0＋1＝0，即点M恒在直线某＋y＋1＝0上．20、如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L⊥直线AB。
点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。
试建立适当的直角坐标系，解决下列问题：（1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。
第4页共5页解：建立如图所示的直角坐标系，⊙O的方程为某2y24，直线L的方程为某4。
（1）∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为(1,3)，∴yMPlAP:y3将某=4(某2)，lBP:y3(某2)。
3AOB某代入，得M(4,23),N(4,23)。
∴MN的中点坐标为（4，0），MN=43。
∴以MN为直径的圆的方程为(某4)2y212。
同理，当点P在某轴下方时，所求圆的方程仍是(某4)2y212。
2222（2）设点P的坐标为(某0,y0)，∴某0，∴y0。
y04（y00）4某0N∵lPA:yy0y6y0，(某2),lPB:y0(某2)，将某=4代入，得yM某02某02某02yN4某042y06y02y06y02y0。
∴M(4,。
),N(4,)，MN=某02某02某02某02某02y04(某01))。
y02123某0MN的中点坐标为(4,4(某04)216(某01)24以MN为直径的圆O截某轴的线段长度为222y0y0y0/434324某0y043为定值。
∴⊙O/必过⊙O内定点(423,0)。
y0y0第5页共5页。