焦半径公式(学生版)
高考高频考点(圆锥曲线)7、椭圆、双曲线的坐标版焦半径公式
第7讲 椭圆、双曲线的坐标版焦半径公式知识与方法1．椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点()00,P x y 为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径1PF 和2PF 可按下面的公式计算：（1）10PF a ex =+；（2）20PF a ex =−（记忆：左加右减）2．双曲线22221x y a b−=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点()00,P x y 为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径1PF 和2PF 可按下面的公式计算：（1）10PF ex a =+；（2）20PF ex a =−（记忆：左加右减）典型例题【例1】椭圆22:162x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 上一点，且P 在第一象限，12PF PF ⊥，则点P 的坐标为_______.【解析】由题意，a =，2c =，e =，设()00,P x y ()000,0x y >>，则10PF x =，20PF =，由12PF PF ⊥可得222212012412163PF PF x F F +=+==，解得：0x =代入椭圆方程得01y =，故)P .【答案】)变式1 椭圆22162x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆上的一点P 满足12F PF ∠为钝角，则点P 的横坐标的取值范围为_______.【解析】由题意，a ，2c =，3e =，设点P 的恒横坐标为0x ，则103PF x =，20PF=，12F PF∠为钝角2222121200412163PF PF F F x x⇒+<⇒+<⇒<<.【答案】(变式2 椭圆22162x y+=的左、右焦点分别为1F、2F，椭圆上的一点P满足123PF PF=，若P在第一象限，则点P的坐标为_______.【解析】由题意，a=，2c=，e=，设()00,P x y()000,0x y>>，则10PF x=，20PF=，120003332PF PF x⎫=⇒=⇒=⎪⎪⎭，代入椭圆方程得0y，所以32P⎛⎝⎭.【答案】322⎛⎫⎪⎪⎝⎭变式3 椭圆22162x y+=的左、右焦点分别为1F、2F，点P在椭圆上，则12PF PF⋅的取值范围为_______.【解析】由题意，a=，2c=，3e=，设()00,P x y，其中x≤≤则10PF=，20PF x=，所以[]2120262,63PF PF x⋅=−∈【答案】[]2,6变式4 （2019·新课标Ⅲ卷）设1F、2F为椭圆22:13620x yC+=的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若12MF F为等腰三角形，则M的坐标为_______.【解析】解法1：12MF F为等腰三角形，点M在第一象限12MF MF⇒>，且26MF a<=，又128F F=，所以112MF F F≠，故只能1128MF F F==，设()00,M x y()000,0x y>>，则()2200220046413620x yx y⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得：03xy=⎧⎪⎨⎪⎩，所以(M.解法2：12MF F为等腰三角形，点在M第一象限12MF MF⇒>，且26MF a<=，又128F F=，所以112MF F F≠，故只能1128MF F F==，设()00,M x y ()000,0x y >>，由椭圆焦半径公式知102683MF x =+=，解得：03x =，代入椭圆方程得0y =(M【答案】(【例2】双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上的一点P 满足1235PF PF =，则点P 的坐标为_______.【解析】由题意，1a =，b =，2c =，2e =，由焦半径公式，1021PF x =+，2021PF x =−， 因为1235PF PF =，所以00321521x x +=−，解得：02x =或18（舍去）代入双曲线的方程可求得03y =±，所以P 的坐标为()2,3±. 【答案】()2,3±变式1 双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上的一点P 满足12F PF ∠为钝角，则点P 的横坐标的取值范围为_______.【解析】12F PF ∠为钝角12cos 0F PF ⇒∠<，而22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +−∠=⋅，所以22212120PF PF F F +−<由题意，1a =，b =2c =，2e =，124F F =，由焦半径公式，1021PF x =+，2021PF x =−，所以22002121160x x ++−−<，解得：0x <<，又01x ≤−或01x ≥，且当01x =±时，显然么12180F PF ∠=︒，所以0711,2x ⎛⎫⎛⎫∈− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】711,22⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式2 双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上的一点P 满足15PF =，则12PF F 的面积为_______.【解析】解法1：由题意，1a =，b =2c =，2e =，设()00,P x y ，则10215PF x =+=，解得：02x =或3−，当02x =时，代入双曲线方程可求得03y =±，所以12120162PF F SF F y =⋅⋅=， 当03x =−时，代入双曲线方程可求得0y =±1212012PF F S F F y =⋅⋅= 解法2：由题意，1a =，b =2c =，所以124F F =当点P 在双曲线的右支上时，由双曲线定义，122PF PF −=，又15PF =，所以23PF =， 显然2222121PF F F PF +=，所以212PF F F ⊥，从而122121134622PF F SPF F F =⋅=⨯⨯=， 当点P 在双曲线的左支上时，由双曲线定义，122PF PF −=，又15PF =，所以27PF =，从而2221122121121cos 25PF F F PF PF F PF F F +−∠==−⋅，所以12sin PF F ∠==，从而121121211sin 5422PF F SPF F F PF F =⋅⋅∠=⨯⨯=综上所述，12PF F 的面积为6或 【答案】6或变式3 双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线第一象限上的一点P 满足12PF F 为等腰三角形，则点P 的坐标为_______.【解析】由题意1a =，b 2c =，2e =，设()00,P x y ()001,0x y >>， 则1002121PF x x =+=+，2002121PF x x =−=−，124F F =，因为12PF F 为等腰三角形，且显然12PF PF ≠，所以112PF F F =或212PF F F =， 若112PF F F =，则0214x +=，解得：032x =，代入双曲线方程解得0y =从而32P ⎛ ⎝⎭，若212PF F F =，则0214x −=，解得：052x =，代入双曲线方程解得0y =，从而5,22P ⎛ ⎝⎭，所以点P 的坐标为322⎛ ⎝⎭或5,22⎛ ⎝⎭.【答案】32⎛ ⎝⎭或52⎛ ⎝⎭强化训练1.（★★）椭圆22:182x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 上一点，且P 在第一象限，12PF PF ⊥，则点P 的坐标为_______.【解析】显然a =，c =2e =，设()00,P x y ()000,0x y >>，则102PF x =，20PF =，222212121*********PF PF PF PF F F x x ⊥⇒+=⇒+=⇒=，代入椭圆方程得03y =，故33P ⎛ ⎝⎭.【答案】33⎛ ⎝⎭2.（★★）椭圆2214520x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆第一象限上的一点P 满足12PF PF ⊥，则点P 的坐标为_______.【解析】由题意，a =e =，设()00,P x y ，则10PF =，20PF =−，1210F F =，因为12PF PF ⊥，所以2221212PF PF F F +=，故220010033x x ⎛⎫⎛⎫+−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：03x =±，代入椭圆方程得04y =±， 结合P 在第一象限可得点P 的坐标为()3,4. 【答案】()3,43.（★★）椭圆22142x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆上的一点P 满足123PF PF =，则点P 的坐标为_______.【解析】由题意，2a =，e =，设()00,P x y ，则102PF =+，202PF x =，因为123PF PF =，所以00232⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭，解得：0x =，代入椭圆方程得01y =±，故点P 的坐标为)1±【答案】)1±4.（★★）椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆上的一点P 满足12F PF ∠为钝角，则点P 的横坐标的取值范围为_______.【解析】设()00,P x y ，则102PF =，202PF =−，易求得12F F =， 因为12F PF ∠为钝角，所以22212121212cos 02PF PF F F F PF PF PF +−∠=<⋅，故2221212PF PF F F +<，从而2200221222x x ⎛⎫⎛⎫++−< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：0x <.【答案】33⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭5.（2021·新高考Ⅰ卷·★★）已知1F 、2F 是椭圆22:194x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A.13 B .12 C .9 D.6【解析】解法l ：由题意，椭圆的长半轴长为3，所以126MF MF +=，故2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12MF MF =时等号成立，所以12MF MF ⋅的最大值为9.解法2：由题意，3a =，2b =，c ，离心率3e =，设()00,M x y ，033x −≤≤，则1033MF x =+，2033MF x =−，所以2120599MF MF x ⋅=−， 故当00x =时，12MF MF ⋅取得最大值9. 【答案】C6.（★★）双曲线22122x y −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上的一点P 满足123PF PF =，则点P 的坐标为_______.【解析】由题意，a b==，2c=，e=，设()00,P x y，则10PF，20PF=，因为123PF PF=，00=，解得：2x=或12，又x≥2x=，代入双曲线方程可求得y=，即(2,P.【答案】(2,7.（★★★）设双曲线22:1412x yC−=的左、右焦点分别为1F、2F，若双曲线C的左支上的点P到右焦点的距离等于12，则12tan PF F∠=_______.【解析】由题意，2a=，4c=，112PF=，由双曲线定义，214PF PF−=，所以18PF=，又1228F F c==，所以2221122121121cos28PF F F PFPF FPF F F+−∠==⋅，故12sin PF F∠==121212sintancosPF FPF FPF F∠∠==−∠.解法2：由题意，2a=，b=4c=，离心率2e=，设()00,P x y，则202212PF x=−=，解得：5x=−或7，又点P在双曲线C的左支上，所以5x=−，代入双曲线方程可求得y=±如图，不妨设P在x轴上方，则y=PQ x⊥轴于Q，则0110tan4PQ yPFQQF x∠===−−，显然121PF F PFQπ∠=−∠，所以()1211tan tan tanPF F PFQ PFQπ∠=−∠=−∠=−.【答案】−8.（★★★）双曲线2213xy−=的左、右焦点分别为1F、2F，双曲线上的一点P满足2PF=则12PF F 的面积为_______.【解析】解法1：由题意，a =1b =，2c =，e =， 设()00,P x y，则10PF =解得：03x =或0，显然0x ≤或0x ≥03x =，代入双曲线方程可求得0y =，所以1212011422PF F SF F y =⋅=⨯= 解法2：由题意，a =1b =，2c =，所以124F F =， 若点P在双曲线的左支上，则由双曲线定义，21PF PF −=又2PF =1PF =若点P在双曲线的右支上，则由双曲线定义，21PF PF −=，又2PF =，所以1PF =，所以222212121212cos 23PF F F PF PF F PF F F +−∠==−⋅，故21sin PF F ∠==，从而122122111sin 4223PF F SPF F F PF F =⋅⋅⋅∠=⨯=【答案】。
圆锥曲线的焦半径公式
圆锥曲线的焦半径公式（一）圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。
利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。
1.椭圆的焦半径公式(1)若P(x 0,y 0)为椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)上任意一点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，则1PF =a+e x 0,2PF =a-e x 0.(2) 若P(x 0,y 0)为椭圆22y a +22x b =1(a>b>0)上任意一点，F 2、F 1分别为椭圆的上、下焦点，则1PF =a+e y 0,2PF =a-e y 0.2.双曲线的焦半径公式(1)若P(x 0,y 0)为双曲线22x a -22y b =1(a>0，b>0)上任意一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，则①当点P 在双曲线的左支上时，1PF =-e x 0-a,2PF = -e x 0+a.②当点P 在双曲线的右支上时，1PF =e x 0+a,2PF = e x 0-a.(2)若P(x 0,y 0)为双曲线22y a -22x b =1(a>0，b>0)上任意一点， F 2、 F 1分别为双曲线的上、下焦点，则①当点P 在双曲线的下支上时，1PF =-e y 0-a,2PF = -ey 0+a. ②当点P 在双曲线的上支上时，1PF =ey 0+a,2PF = ey 0-a.3.抛物线的焦半径公式(1)若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，则PF = x 0+2p(2) 若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=-2px(p>0)上任意一点，则PF = -x 0+2p(3) 若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=2py(p>0)上任意一点，则PF = y 0+2p(4)若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=-2py(p>0)上任意一点，则PF = -y 0+2p不能，请说明理由.(答案：点P 不存在)。
椭圆的焦半径公式
椭圆的焦半径公式椭圆焦点F1F2在x轴上的交半径公式的具体推导过程如下：证明：|PF1|²。
=(x-c)²+y²。
=[a²(x-c)²+a²y²]/a²。
=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y²]/a² /***--根据b²x² + a²y² = a²b² /。
=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²b² - b²x²]/a²。
=[(a²-b²)x² = 2a²cx + a²(b² + c²)]/a²。
=[c²x² -2a²cx + a^4]/a²。
=(a² - cx)²/a²。
∴PF1 = (a² - cx)/a = a - (c/a)x = a - ex。
同理可证：PF2 = a + ex。
椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴:1)焦点在X轴时，标准方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。
2)焦点在Y轴时，标准方程为:y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)。
其中a>0，b>0。
a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长(椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截。
有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴)当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长、短半轴的关系:b^2=a^2-c^2，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c，c为椭圆的半焦距。
圆锥曲线焦半径公式
圆锥曲线焦半径公式
圆锥曲线焦半径公式是一种比较复杂的数学运算公式，通过利用该公式，我们
可以求得圆锥曲线的焦半径。
一般来说，这个公式非常重要，因为它与圆锥曲线的属性有关，可以对圆锥曲线的平面投影或者轮廓作出准确的描述。
圆锥曲线焦半径公式可以用简洁的数学表示式来表示，如下：
R=c/2√2h
其中：R 为圆锥曲线焦半径，c 为圆锥曲线曲线圆心到曲线上任一点的距离，
h 为圆锥曲线曲线圆心到曲线外点的距离。
圆锥曲线的焦半径是由圆锥曲线的半角和曲率来决定的，它与曲率之间的关系
是正比的，这意味着，随着曲率的增加，圆锥曲线的焦半径也会相应增加。
圆锥曲线焦半径公式的应用非常广泛，它既可以用于求解圆锥曲线的几何特征，也可以用于计算圆锥曲线曲线与所需圆或椭圆的关系。
圆锥曲线的焦半径公式已经被广泛应用于室内景观设计、建筑设计、测量计算等领域。
总之，圆锥曲线焦半径公式是一个复杂但又非常有用的数学公式，它与圆锥曲
线的曲率有关，对于求解圆锥曲线属性和计算各类圆或椭圆的关系有着重要的作用，应用范围也十分广泛，值得我们加以重视。
7.焦半径问题
焦 半 径 的 一 组 公 式公式1：设AB 是过焦点F 的弦，则|AB|＝|cos 1|222θe p-．其中：e 是离心率，2p 是通径，θ是直线AB 与主轴的夹角（其证明要用下面的公式）．公式2：设F 1、F 2是曲线的左、右焦点，点P(x 0，y 0)在曲线上，记r 1＝|PF 1|、r 2＝|PF 2|为左、右焦半径．椭圆：r 1＝a ＋e x 0，r 2＝a －e x 0． 双曲线：r 1＝e x 0＋e ，r 2＝e x 0－a ．抛物线：r ＝x 0＋p/2．公式3：设点P(x 0，y 0)在椭圆：12222=+by a x (a ＞b ＞0)上，F 2是椭圆的右焦点，直线PF 2与x 轴正向夹角为θ，①若点P(x 0，y 0)在x 轴的上方，则上r ＝|PF 2|＝θcos 1e p+；②若点P(x 0，y 0)在x 轴的下方，则下r ＝|PF 2|＝)cos(1θπ++e p ．其中：p ＝ab 2．（半通径） 证明 ①在R t △Q PF2中，r 2＝θcos ||2Q F ＝θcos 0c x -．又r 2＝a －e x 0，∴θcos 0cx -＝a －e x 0． 整理有：x 0－c ＝acos θ－x 0ecos θ⇒x 0＝θθcos 1cos e a c ++．代入有：r 2＝a －e x 0＝a －e ·θθcos 1cos e a c ++＝θcos 1e ec a +-＝θcos 2c a b +＝θcos 1e p +．公式4：设点P(x0，y 0)在抛物线y ²＝2px (p ＞0)上，F 是的抛物线焦点，直线PF 2与x 轴正向夹角为θ，①若点P(x 0，y 0)在x 轴的上方，则上r ＝|PF|＝θcos 1-p ；②若点P(x 0，y 0)在x 轴的下方，则下r ＝|PF|＝)cos(1θπ+-p．证明 ①在R t △PEF 中，r ＝θcos ||FQ ＝θcos 20px -，又r ＝x 0＋2p ⇒ θcos 20p x -＝x 0＋2p ⇒x 0＝2p ·θθcos 1cos 1-+．代入r ＝x 0＋2p 有：r ＝2p ·θθcos 1cos 1-+＋2p ＝θcos 1-p．公式5：设点P(x 0，y 0)在双曲线：12222=-by a x 上，F 2是双曲线的右焦点，直线PF 2与主轴正向夹角为θ，①若点P(x 0，y 0)在x 轴的上方，则上r ＝|PF 2|＝θcos 1e p-；②若点P(x 0，y 0)在x 轴的下方，则下r ＝|PF 2|＝)cos(1θπ+-e p ．其中：p ＝ab 2．例1．(07、重庆)过双曲线C ：422=-y x 的右焦点F 作倾 斜角为0105的直线，与双曲线C 交于A 、B 两点，则 |AF |·|BF |＝__________________；解：由题设有：2==b a ，2=e ，22==ab p ⇒ |AF |＝0105cos 212cos 1-=-θe p ，|BF |＝0105cos 212+⇒ |AF |·|BF |＝02105cos 214-＝33830cos 4)210cos 1(1400==+-． 例2．（08、安徽）设椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)其相应于焦点F(2，0)的准线方程为4x =．(1)求椭圆C 的方程；（2）已知过点1F (－2，0)倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A 、B两点，求证：|AB|＝θ2cos 224-；(3)过点1F (－2，0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点A 、B 和D 、E ，求|AB|＋|DE|的最小值．解：(1) 椭圆C 的方程为22184x y +=；(2) 1F (－2，0)是椭圆C 的左焦点，离心率e =设L 为椭圆的左准线，则L ：x ＝－4．作1AA ⊥L 于1A ，1BB ⊥L 于1B ，L 与x 轴交于点H ．∵点A 在椭圆上，11AF =∴11cos )HF AF θ=+1cos θ=1AF ⇒=1BF =11AB AF BF=+==∴．)过点1F(－2，0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E ，求|AB|＋|DE|的最小值．（3）设直线AB的倾斜角为θ，由于,DE AB⊥由（2）可得22cosABθ=-，22sinDEθ=-⇒22sin24AB DEθ+===+当344ππθθ==或时，AB DE+取得最小值3．例3．（05、全国2）P、Q、M、N四点都在椭圆1222=+yx上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且·＝0，求四边形PMNQ的面积的最大值和最小值．【方法一：基本模式的运算】解：设PQ与y轴正向夹角为θ（0≤θ≤2π）．22=a，b＝1，c＝1，22=e，p＝ab2＝22．由公式直接有：|PQ|＝|cos211|22·22θ-＝θ2cos222-，同理：|MN|＝θ2sin222-．∵P Q⊥MN，∴PMQNS＝21·|PQ|·|MN|⇒PMQNS＝21·θ2cos222-·θ2sin222-＝2)2(sin4124ϑ+．由0≤θ≤2π,所以0≤sin2θ≤1⇒916≤PMQNS≤2．例4．（07、安徽）已知抛物线G ：x ²＝4y 的焦点为F ．（1）过点P （0，－4）作抛物线的切线，求切线方程；（2）设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足·＝0．延长AF 、BF 分别与抛物线G 交于点C 、D ，求四边形ABCD的面积的最小值．解：(1)设切点为Q(0x ,420x )．由y ´＝2x，知在点Q 处的切线斜率k ＝20x ．故所求切线方程为：y －420x ＝20x (x －0x )．即y ＝20x x －42x ．因为点P （0，－4）在切线上，所以：－4＝20x ·0－420x ，求得0x ＝±4．所求切线方程为：y ＝±2x －4．（2）设AC 与y 轴的夹角为θ（0＜θ＜2π）．e ＝1,p ＝2，由公式有：|AC|＝|cos ·11|2·222θ－＝θ2sin 4，同理可得： |BD|＝θ2cos 4，∵·＝0，∴AC ⊥BD ，所以： ABCDS ＝21·|AC|·|BD|＝21·θ2sin 4·θ2cos 4＝θ2sin 322≥32．所以ABCD S 的最小值为32．。
双曲线推导焦半径公式
双曲线推导焦半径公式双曲线是一种特殊的曲线，其形状类似于两个向外张开的臂部。
在坐标平面上，双曲线的方程通常表示为 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$。
双曲线的焦点（F）是曲线上的一个特殊点，与其距离相等的两个点在双曲线上分别称为顶点（V1和V2）。
焦点到顶点之间的距离称为焦半径（c）。
推导双曲线的焦半径公式可以通过几何和代数的方法实现。
首先，我们可以利用双曲线的定义，将焦点（F）和顶点（V1和V2）的坐标表示出来。
假设焦半径为 c，焦点（F）的坐标为 (c, 0)，顶点（V1和V2）的坐标分别为 (a, 0) 和 (-a, 0)。
接下来，利用焦半径的定义，我们可以使用距离公式计算焦点到顶点的距离。
根据距离公式，焦点到顶点的距离可以表示为：$\sqrt{(c-a)^2 + 0^2}$ 和 $\sqrt{(c-(-a))^2 +0^2}$。
由于焦点到两个顶点的距离相等，即 $\sqrt{(c-a)^2 + 0^2} = \sqrt{(c-(-a))^2 + 0^2}$，我们可以进行一步简化。
将上述方程进行展开和化简后，我们可以得到：$(c-a)^2 = (c-(-a))^2$。
继续化简方程，我们可以得到：$c^2 - 2ac + a^2 = c^2 + 2ac + a^2$。
最终，通过消去公式中的项，我们可以得到双曲线焦半径的关键公式为：$4ac = 4a^2$。
整理上述公式后，我们可以得到焦半径的公式为：$c = a$。
因此，通过数学推导，我们可以得出双曲线的焦半径公式为 $c = a$。
这个公式表明，在具有标准形式 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的双曲线中，焦半径等于顶点到原点距离的绝对值。
抛物线的焦半径、焦点弦、焦点三角形面积的夹角公式课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2、掌握抛物线焦点三角形面积公式 夹角式 .
学习重难点：
重点：理解公式的推导过程&识记结论并解决相关问题.
难点：公式的灵活使用.
思&议
问题1：如图所示，过抛物线 2 = 2 > 0 的焦点的直线交抛物线于
, 两点(其中点位于轴上方)，若该直线的倾斜角为. 试用, 表示：
1 焦半径 和 ；
2 焦点弦长 ；
3 焦点三角形面积△ .
思&议
问题2：由问题1的结果，你能进一步用, 表示下面的量吗？
4
1
+
1
； 5
； 6
∙ .
思&议
问题3：如图所示， , 为抛物线 = > 的两条互相垂直
的焦点弦，由问题1的结果，你能用表示出
圆锥曲线的方程
微专题 — 抛物线的焦半径、焦点弦、焦点三角形面积的夹角公式
引
以开口朝右的抛物线: = > 为例，前面我们学习过
抛物线焦半径、焦点弦的坐标公式：
= +
；
= +
；
= + + .
也学习过抛物线焦点三角形面积的坐标公式：△ =
=
；
1+
2
= 2 ；
2
△ =
；
2
1
1
2
+
= ；
1+
=
；
1−
2
∙ = 2 .
8
1
高中数学：焦半径公式及其应用
高中数学：焦半径公式及其应用从圆锥曲线（特指椭圆、双曲线、抛物线）的定义与标准方程出发，如何去推导与焦点相关的焦半径公式、焦点弦长公式及其相关的结论，进而加以应用．本文不作特别说明，椭圆、双曲线、抛物线都是针对焦点在轴上标准方程（其中抛物线考虑标准方程），分别为椭圆或双曲线的左、右焦点，是抛物线的焦点，是相应圆锥曲线上的一点．所有的公式推导均以椭圆方程为例，且优先考虑左焦点对应的相关公式．双曲线可以完全类比椭圆的推导过程得到，特殊情况会另外说明．焦半径是指圆锥曲线上任意一点与焦点的连线段．对于椭圆与双曲线上的任意一点，都对应两条焦半径；对于抛物线上的任意一点，焦半径唯一存在．设是椭圆上任意一点，则有从而焦半径而，所以其中为椭圆的离心率．事实上，在由椭圆的定义推导椭圆方程的过程中，就已经产生了这个式子，设满足即分子有理化得于是有(1)(2)两式相加得即为椭圆上一点到椭圆左焦点的距离．于是我们得到椭圆的焦半径公式（I）：同理有双曲线的焦半径公式（I）：当点在双曲线上的不同支上时，绝对值里面式子的正负大家可以自行讨论．抛物线的焦半径公式可以直接由抛物线的定义得到，即例1椭圆的右焦点为，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是____．正确答案是．解设，则有，即解得又因为，所以有两边同除可解得由椭圆的焦半径公式（I）知，已知椭圆上一点的横坐标，就很容易求出椭圆的焦半径长，但有时，我们知道的不是横坐标的值，而是焦半径与轴形成的角度，我们可以从上面的焦半径公式（I）出发去推导由焦半径与轴正半轴所成的角对应的焦半径公式．设与轴正半轴形成的角度为，则有整理得，于是有解得同理可以推得右焦点对应的焦半径公式其中，是焦半径与轴正半轴所成的角，注意，同一个点与左焦点与右焦点连线形成的焦半径与轴正半轴所成的角不是同一个角，这是与焦半径公式（I）很不相同的地方，如图：于是我们得到椭圆的焦半径公式（II）：其中为焦半径与轴正半轴所成的角．对于双曲线来说，与椭圆类似可以得到双曲线的焦半径公式（II），需要注意的是，当双曲线上的点在双曲线的不同支上时，焦半径公式（I）中绝对值的正负不同，所以需要分别讨论．双曲线的焦半径公式（II）：当在双曲线的左支时，有当在双曲线的右支时，有其中为焦半径与轴正半轴所成的角．抛物线的焦半径公式为：其中为焦半径与轴正半轴所成的角．椭圆的焦半径公式（II）有两个常用的推论：推论1 椭圆的焦点弦长公式：其中为椭圆的焦点弦，的倾斜角为．圆锥曲线的焦点弦是指过某一焦点的直线与该圆锥曲线相交得到的两个交点之间的线段．当该弦与轴（椭圆的长轴，双曲线的实轴）垂直时，得到的弦我们称为通径．因为焦半径公式（II）是与角度相关的公式，所以我们很容易从它得到椭圆的焦点弦长公式．证明设是过椭圆左焦点的焦点弦，的倾斜角为，不妨设点在轴上方，如图：由焦半径公式（II）知于是这就是椭圆的焦点弦长公式，容易知道，对于经过椭圆右焦点的弦，此公式同样适用．事实上，对于双曲线，同样有推论1，即双曲线的焦点弦长公式：其中为双曲线的焦点弦，的倾斜角为．不论两点在双曲线的同支还是异支上，都有这个公式成立，只是绝对值中的式子正负有所不同．抛物线的焦点弦长公式更为简单，即其中是抛物线的焦点弦，的倾斜角为．例2椭圆，为椭圆上四个不同的点，都不和轴垂直，且分别过，，求证：为定值．解设的倾斜角为，则的倾斜角为，则由焦点弦长公式知所以为定值．推论2 椭圆的焦点弦被焦点所分成的两段线段长的调和平均数为定值（即焦半径的倒数和为定值）．证明由焦半径公式（I）知于是我们知道与的调和平均数为定值，即这个定值就是半通径长，由均值不等式易知椭圆的所有焦点弦中，通径长最短．几道练习：练习1椭圆的焦点为和，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，求的值．练习2椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，，求四边形面积的取值范围．答案练习1 ．提示设，则，于是于是．练习2 ．提示设的倾斜角为，则的倾斜角为，于是四边形的面积练习3备注1椭圆的焦半径公式（I）是从椭圆的第一定义向第二定义过渡的重要桥梁，可以通过椭圆的焦半径公式（I）去发掘椭圆的第二定义．由焦半径公式（I）知设直线：，称为椭圆的左准线，记点到的距离为，则有即椭圆上任一点到椭圆左焦点的距离与到左准线的距离的比为定值，这个值为椭圆的离心率．同样地有椭圆的右准线于是有，椭圆上的任意点到椭圆的焦点与对应准线的距离的比值为定值．对于双曲线也有类似的结论，双曲线的准线方程为双曲线上任意点到焦点的距离与到对应准线的距离的比也为定值，即为双曲线的离心率．同时，平面上到定点与到定直线（其中）的距离比为定值（其中）的轨迹为椭圆、双曲线或抛物线，取决于的大小．当时为椭圆，当时为抛物线，当时为双曲线．从而有圆锥曲线的统一定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线（其中定点不在直线上）的距离的比为定值的点的轨迹为圆锥曲线，时这个定义就是抛物线的定义，当的范围在与上时，对应的定义被称为椭圆与双曲线的第二定义．备注2由椭圆的焦半径公式（II）很容易得到椭圆的极坐标方程：以椭圆的一个焦点为极点，以轴正半轴方向为极轴方向建立极坐标系，则椭圆上任意一点的坐标满足：这就是椭圆的极坐标方程，注意如果以椭圆的右焦点为极点，轴正方向为极轴建立极坐标系，得到的极坐标方程为▍▍ ▍▍。
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巧用焦半径公式解题:
焦半径是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。
下面以椭圆为例说明焦半径公式的运用:
)0(122
22>>=+b a b
y a x 椭圆的焦点为),(,,0021y x P F F 是椭圆上任一点，则 P （x 0，y 0）为椭圆上任一点:|PF 1|=左r =a+ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0；
|PF 1|=下r =a+ey 0，|PF 2|=上r =a-ey 0; c a PF c a PF -=+=min max
,，这就是椭圆的焦半径公式. 一. 计算焦半径:例1.椭圆13
122
2=+y x 的焦点为21,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么||
1PF 是||2PF 的（ ）A. 7倍 B. 5倍 C. 4倍 D. 3倍
二. 求最值例2.21,F F 是椭圆14
22
=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的动点，||||21PF PF •的最大值和最小值。
三. 求点坐标:例3. 在椭圆120
452
2=+y x 上求一点P ，使它与两个焦点21,F F 的连线互相垂直.
四： 求变量范围:例4. 椭圆14
92
2=+y x 的焦点为21,F F ，点P 为其上动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________。