第三讲三次样条函数分析
三次B样条曲线
数字图像处理
1.1 一般样条函数的定义
给定一组平面上顶点 (xi,yi) (i=0，1，…，n)，并设在区 间[a,b]上的Δ：a=x0<x1<…<xn-1<xn=b,那么在〔a,b〕上的一个 (1)在每个小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内，S(x) 是具有K阶或K阶以上连续函数。
函数 S(x) 称为K阶连续样条函数，如果它满足下面两个条件：
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l 1,2,...,n
B 样条曲线的性质
6. 保凸性
B样条曲线和Bezier曲线一样，也具有保凸性。即 当所有的控制顶点形成一个平面凸的闭多边形时， Pk,n(t) 是一条平面凸曲线。
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B 样条曲线的性质
7. 凸包性
当t∈〔0，1〕时，有0≤Gi,n(t)≤1 (i=0，1，…，n) 和
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，则称S(x)为插值样条函
1.2 三次样条函数
假设在区间〔a，b〕上给定一个分割 Δ： a=x0<x1<…<xn-1<xn=b, 在〔a,b〕上的一个函数S(x)称为插值三次样条函数， 如果满足下列条件: (1)在每一小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内S(x)分别 是三次多项式函数； (2)在节点xi(i＝1，2，…，n-1)处成立 :
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2.1 B 样条曲线的定义
给定m+n+1个平面或空间顶点 Pi (i=0，1，…，m+n)，
ห้องสมุดไป่ตู้
称n次参数曲线段 ：
Pk ,n (t ) Pi k Gi ,n (t ),
i 0 n
t [0,1]
为第k段n次B样条曲线段 (k=0，1，…，m)，这些曲线段 的全体称为n次B样条曲线，其顶点Pi(i=0，1，…，n+m) 所组成的多边形称为B样条曲线的特征多边形。 其中，基函数 Gi ,n (t ) 定义为：
三次样条插值的方法和思路
三次样条插值的方法和思路摘要：1.三次样条插值的基本概念2.三次样条插值的数学原理3.三次样条插值的实现步骤4.三次样条插值的优缺点5.三次样条插值在实际应用中的案例正文：在日常的科学研究和工程应用中，我们经常会遇到需要对一组数据进行插值的问题。
插值方法有很多，其中三次样条插值是一种常见且有效的方法。
本文将从基本概念、数学原理、实现步骤、优缺点以及实际应用案例等方面，全面介绍三次样条插值的方法和思路。
一、三次样条插值的基本概念三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）是一种基于分段多项式的插值方法。
它通过在各个节点上构建一条三次多项式曲线，使得这条曲线在节点之间满足插值条件，从而达到拟合数据的目的。
二、三次样条插值的数学原理三次样条插值的数学原理可以分为两个部分：一是分段三次多项式的构建，二是插值条件的满足。
1.分段三次多项式的构建假设有一组数据点序列为（x0，y0），（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），我们可以将这些数据点连接起来，构建一条分段三次多项式曲线。
分段三次多项式在每个子区间上都是一个三次多项式，它们之间通过节点值进行连接。
2.插值条件的满足为了使分段三次多项式在节点之间满足插值条件，我们需要在每个子区间上满足以下四个条件：（1）端点条件：三次多项式在区间的端点上分别等于节点值；（2）二阶导数条件：三次多项式在区间内的二阶导数等于节点间的斜率；（3）三阶导数条件：三次多项式在区间内的三阶导数等于节点间的曲率；（4）内部点条件：三次多项式在区间内部满足插值函数的连续性。
通过求解这四个条件，我们可以得到分段三次多项式的系数，从而实现插值。
三、三次样条插值的实现步骤1.确定插值节点：根据数据点的位置，选取合适的节点；2.构建分段三次多项式：根据节点值和插值条件，求解分段三次多项式的系数；3.计算插值结果：将待插值点的横坐标代入分段三次多项式，得到插值结果。
三次样条插值算法详解知识讲解
mn
Mn
18
稍加整理得
2m0m13y1h0y0h20M0 g0 m n12m n3ynh n y 1n1hn 21M n gn
联合基本方程组得一个n+1阶三对角方程组， 化成矩阵形式为：仍然是严格对角占优
2 1
1
2
1
m0 m1
g0 g1
2 2 2
3 2
m 2 g2
x [ x i,x i 1 ]h i, x i 1 x i,i 0 , 1 , ,n 1
( x ) ( 2 x 1 )x ( 1 ) 2 ,1 ( x ) x ( x 1 ) 2 12
对Si(x)求二阶,导 并数 整理后得
Si(x)6(xix hii3 12x)(yi1yi) 6 x 2 x h ii2 4 x i 1m i6 x 4 x h ii2 2 x i 1m i 1
3
（1）因为s(x)在每个小区间上是一个次小于三次的多 项式，故有四个未知系数； （2）因为s(x)有n分段，从而共有4n个未知系数！ （3）但插值条件与样条条件仅给出4n-2个条件，无法 定出4n个未知系数，还差2个条件！这2个条件我们用 边界条件给出！
4
通常我们对插值多项式在两端点的状态加以要求也就是 所谓的边界条件:
6
第三类又称周期边界条件： 由区间端点处的函数值或导数值满足周期条件给出
s3 (x0 0) s3 (xn 0)
s3
(
x0
0)
s3 ( xn
0)
s3(x0 0) s3(xn 0)
这样三次样条插 值问题就分成三 类！其实不止这
三类!
7
样条函数的例子
容易验证： (11x326x215x)15 0x1
三次参数样条曲线PPT精选文档
p 2
t
2 2
p (t)
p1
p 1t
[
3
(
p
2
t
2 2
p1)
2 p 1 t2
p 2 ] t 2 t2
导
[
2
(
p1
t
3 2
p2)
p 1
t
2 2
p 2
t
2 2
]t
3
14
三
次
参 数 样 条 曲
对pi, pi1段有
pi
(t)
pi
pit
[3(piti121
pi
)
2pi ti1
pi1]t2 ti1
ai-1 = yi-1 ci-1=Mi-1/2 di-1=( Mi- Mi-1)/6 hi-1 bi-1 =( yi- yi-1)/ hi-1- hi-1(Mi-1/3+ Mi/6) (5)由 Si-1' (xi)= Si' (xi) 有bi-1+2ci-1hi-1+3di-1 hi-12= bi 令：λi= hi-1/(hi-1+hi),μi= hi/(hi-1+hi) Di=6/(hi-1+hi)*[( yi+1-yi)/ hi-( yi-yi-1)/ hi-1]
可得：λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，
其中：λi+μi=1，i=2,3,…,n-1
7
三次样函数的端点条件
(1)夹持端：
端点处一阶导数已知，即
S1' (x1)=y1' 亦即y1'= b1= ( y2- y1)/ h1- h1(M1/3+ M2/6) 2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1
三次样条插值
三次样条插值分段线性插值的优点：计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计算机上实现缺点：它只能保证各小段曲线在连接点的连续性，却无法保证整条曲线的光滑性，这就不能满足某些工程技术的要求。
三次Hermit 插值优点：有较好的光滑性，缺点：要求节点的一阶导数已知。
从２０世纪６０年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来所谓样条(Spline)插值方法，既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性。
今天，样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域里得到越来越多广泛应用。
我们介绍应用最广的具二阶连续导数的三次样条插值函数。
一、三次样条插值函数的定义：给定区间],[b a 上的个节点b x x x a n =<<<= 10和这些点上的函数值),,1,0()(n i y x f i i == 若)(x S 满足： （1）),,2,1,0()(n i y x S i i ==；（2）在每个小区间],[b a 上至多是一个三次多项式； （3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续。
则称)(x S 为函数)(x f 关于节点的n x x x ,,,10 三次样条插值函数。
二、边界问题的提出与类型单靠一个函数表是不能完全构造出一个三次样条插值函数。
我们分析一下其条件个数，条件（2）三次样条插值函数)(x S 是一个分段三次多项式，若用)(x S i 表示它在第i 个子区间],[1i i x x -上的表达式，则)(x S i 形如],[,)(1332210i i i i i i i x x x x a x a x a a x S -∈+++=其中有四个待定系数)3,2,1,0(=j a ij ，子区间共有n 个，所以)(x S 共有n 4个待定系数。
由条件（3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续，即它们在各个子区间上的连接点110,,,-n x x x 上连续即可，共有)1(4-n 个条件，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+''=-''-=+'=-'-=+=-),2,1,0()()1,,2,1)(0()0()1,,2,1)(0()0()1,,2,1)(0()0(n i y x S n i x S x S n i x S x S n i x S x S i i i i i i i i 共有241)1(3-=++-n n n 个条件，未知量的个数是n 4个。
三次样条函数及其在薄壁曲梁弯扭分析中的应用
三次样条函数及其在薄壁曲梁弯扭分析中的应用三次样条函数是一种常用的插值函数，可以用来拟合曲线或者曲面。
在薄壁曲梁弯扭分析中，三次样条函数可以用来确定截面剪力、弯矩和扭矩的分布情况。
薄壁曲梁是一种结构，在受到外力作用下会发生弯曲和扭转。
弯曲会产生剪力和弯矩，而扭转会产生扭矩。
在进行弯曲和扭转分析时，需要确定不同截面上的剪力、弯矩和扭矩的值，以及它们之间的关系。
为了确定三次样条函数的参数，需要定义插值节点和边界条件。
插值节点可以根据曲梁的几何形状和加载情况来确定，通常可以选择等间距的节点。
边界条件可以根据支座情况和加载方式来确定，常见的边界条件有固定端、自由端和杆端。
在确定了插值节点和边界条件后，可以使用三次样条函数的插值公式来求解每个小段上的剪力、弯矩和扭矩的值。
通过对每个小段求解，最终可以得到整个曲梁上这些力的分布情况。
1. 确定截面剪力、弯矩和扭矩的分布情况，可以用来评估结构的强度和刚度。
2. 通过对每个小段求解，可以得到整个曲梁上这些力的分布情况，从而可以确定曲梁的变形情况。
3. 三次样条函数可以用来插值计算任意位置的剪力、弯矩和扭矩的值，从而可以对曲梁的受力情况进行全面分析。
4. 三次样条函数的计算量相对较小，计算速度较快，可以有效地应用于大型结构的分析计算中。
三次样条函数在薄壁曲梁弯扭分析中具有重要的应用价值。
通过对曲梁剪力、弯矩和扭矩的分布情况进行分析，可以评估结构的强度和刚度，确定曲梁的变形情况，并进行全面的受力分析。
三次样条函数还具有计算速度快的特点，适用于大型结构的分析计算。
三次样条函数是薄壁曲梁弯扭分析中常用的方法之一。
三次样条曲线PPT课件
• 曲线中夹有直线段时拟合效果不好。 • 拟合二阶导数不连续曲线产生较大波动
第36页/共43页
曲线中夹有直线段时拟合效果不好
m0
λ1
2 λ2
μ1 2
λn-1
μn-2 2
μn-1
m1
m2
三次样条曲线
第1页/共43页
主要内容
1. 插值问题和样条函数 2. 三次样条的理论基础
第2页/共43页
1. 插值问题和样条函数
1.1 插值问题 1.2 样条函数的工程背景 1.3 三次样条函数的数学定义
第3页/共43页
1.1 插值问题
• 插值
给定一组有序的数据点(xi,yi,zi),i=0,1, …,n，要求构造一条曲线顺序通过这些数据点，
2 λ2
μ1 2
λn-1
μn-2 2
μn-1
m1
m2
mn-1
c1
c2
cn-1
mn
两个边界条件
第34页/共43页
二阶连续的条件
y
yi-1 yi yi+1
x
a
xi-1 xi
xi+1
b
yi1(xi ) yi(xi )
第35页/共43页
2.3 三次样条插值的局限 性
= a0
a1 +
a1
+
a2
+
a3
y'(1) = 1/2 = a1 + 2a2 + 3a3
a0 = 1 a1 = 1/2 a2 = 3/2 a3 = -1
y(u) = 1+ u/2 + 3u2 /2 - u3
三次样条曲线的定义
三次样条曲线的定义嘿，咱们今天来聊聊三次样条曲线这个有趣的玩意儿！先给您说个事儿哈，就前几天，我去商场买东西，路过一家珠宝店。
那店里的橱窗展示着一串珍珠项链，那珍珠的排列可不一般，仔细一瞧，居然有点像三次样条曲线的形状！一颗颗珍珠错落有致，顺滑又自然，仿佛是按照某种神秘的规律排列着。
要说这三次样条曲线啊，它其实就是一种数学上特别有用的曲线表示方法。
简单来讲，就是通过一系列给定的点，构建出一条既平滑又连续的曲线。
您想想，假如您要画一条曲线来表示一辆汽车在一段时间内的速度变化。
如果只是随便画，那曲线可能会歪歪扭扭，看起来乱糟糟的。
但如果用三次样条曲线，就能把这个速度变化表现得特别流畅和自然。
三次样条曲线有几个重要的特点。
首先，它在每个小段内都是一个三次多项式。
这意味着它有一定的灵活性，可以很好地适应各种复杂的形状。
其次，它在连接点处不仅函数值相等，一阶导数和二阶导数也相等。
这就保证了曲线的平滑过渡，没有突然的拐弯或者抖动。
比如说，在设计桥梁的时候，工程师们就会用到三次样条曲线。
桥梁的形状得既要美观，又要能承受各种力的作用。
通过使用三次样条曲线来设计桥梁的轮廓，就能让桥梁看起来线条优美，而且受力均匀，更加稳固可靠。
再比如，在计算机图形学中，绘制各种曲线图形的时候，三次样条曲线就大显身手啦。
它能让画面中的曲线更加逼真、自然，给人一种赏心悦目的感觉。
回到开始说的那串珍珠项链，其实它的排列就近似于三次样条曲线。
每个珍珠的位置就像是给定的点，而串起来的整体就形成了一条优美的曲线。
总之，三次样条曲线在我们的生活和各种领域中都有着广泛的应用。
它就像是一位神奇的“曲线魔法师”，能够把那些看似杂乱无章的点变成一条优美、流畅的曲线。
怎么样，这下您对三次样条曲线是不是有了更清晰的认识啦？希望今天的讲解能让您有所收获！。
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第三讲三次样条函数分析
在数学和计算机科学中，样条函数是一种常见的插值方法，用于构建一个平滑而连续的曲线来穿过一系列离散的数据点。
其中，三次样条函数是最常见的一种样条函数类型。
在本文中，我们将详细介绍三次样条函数的原理、方法和应用。
一、三次样条函数的原理及定义
三次样条函数是由一系列小区间的三次多项式组成的函数。
这些小区间之间有一个平滑的连接条件，使得整个函数在连续、平滑的同时能够穿过给定的数据点。
具体地说，我们设想有n个数据点(xi, yi)，这些点按照自变量x的顺序排列。
则三次样条函数S(x)可以表示为：
S(x) = S_i(x), (xi <= x < xi+1)
其中，S_i(x)是第i个小区间上的三次多项式，其形式为：
S_i(x) = a_i + b_i(x - xi) + c_i(x - xi)^2 + d_i(x - xi)^3需要注意的是，在每个小区间上，三次样条函数满足以下条件：
1. S_i(xi) = yi ，即样条函数必须通过给定的数据点；
2. S_i(x)在(xi, xi+1)区间内是三次多项式，二阶导数连续，即
S_i''(x)是一个连续的函数；
3. S_i(x)在(xi, xi+1)区间内的一阶导数也是连续的。
这些条件将确保样条函数在整个区间上是连续、平滑的，并且能够穿过给定的数据点。
二、三次样条函数的构造方法
为了构造三次样条函数，我们可以使用不同的方法。
其中，最常用的方法是自然边界条件和固定边界条件。
1. 自然边界条件：这种方法将要求样条函数在边界处的二阶导数为0，即S''(x0) = S''(xn) = 0。
这意味着在数据点的首尾之外，样条函数在边界处是一条平直线。
使用这种方法可以得到唯一解。
2. 固定边界条件：这种方法将要求样条函数在边界处的一阶导数等于给定值。
例如，如果我们希望样条函数在首尾两点处的斜率分别为m0和mn，则我们可以得到以下等式：S'(x0) = m0 和 S'(xn) = mn。
这种方法可以用于控制曲线的斜率。
在构造样条函数时，可以将问题转化为一个线性方程组，并使用线性代数中的解法来求解。
常用的方法有三对角矩阵法和Thomas算法。
利用这些方法可以高效地解决潜在的大规模问题。
三、三次样条函数的应用
三次样条函数广泛应用于各个领域，包括数学、计算机科学、物理学等。
以下是一些常见的应用领域：
1.数据插值：三次样条函数可以通过插值方法来穿过一系列离散数据点，从而生成一条平滑的曲线。
这在计算机图形学、数据可视化等领域非常有用。
2.曲线拟合：通过选择合适的数据点和边界条件，可以使用三次样条函数来拟合具有连续性和平滑性要求的曲线。
例如，在线性回归中，可以使用三次样条函数来逼近数据，从而得到更准确的拟合结果。
3.数值计算：三次样条函数在数值积分和微分方程数值求解中也有广
泛应用。
由于它们的平滑性和连续性，样条函数可以提供更准确的数值解。
4.场景动画：在计算机动画中，三次样条函数可以用来描述和控制物
体或角色的运动轨迹。
通过调整样条函数的参数和边界条件，可以实现各
种平滑的动画效果。
总结：
三次样条函数是一种常见且有广泛应用的插值方法。
其通过一系列小
区间上的三次多项式来穿过给定的数据点，使得整个函数在连续、平滑的
同时能够满足各种边界条件。
通过构造样条函数，我们可以实现数据插值、曲线拟合、数值计算和场景动画等多种应用。
在实际应用中，选择合适的
边界条件和解决方法是关键，以确保得到所需的结果。