多元函数微分学复习题及答案

第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答

一、选择题

1.极限lim x y x y

x y →→+00

242

= （ B ）

(A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12

（提示：令2

2

y k x =）

2、设函数f x y x y y x

xy xy (,)sin sin

=+≠=⎧

⎨⎪⎩⎪1100

，则极限lim (,)x y f x y →→0

= （ C ）

(A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2

（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）

3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪

⎩

⎪22

2222000

，则(,)f x y （ A ）

(A) 处处连续；

(B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续；

(D) 除（0,0）点外处处连续

（提示：①在2

2

0x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =

，

200

0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以，(,)f x y 在

整个定义域内处处连续。）

4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ）

(A)必要而非充分条件；

(B)充分而非必要条件；

(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan

，则∂∂u

x

= （ B ） (A)

x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y

x y 22+ ；

(D)

-+x

x y 22

6、设f x y y x

(,)arcsin

=，则f x '

(,)21= （ A ） （A ）-

14； （B ）

14； （C ）-12； （D ）12

7、若)ln(y x z -

=，则=∂∂+∂∂y

z y x z x

（ C ） （A ）y x +； （B ）y x -； （C ）21； （D ）2

1

-．

8、设y x

z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）

（A ）22v u v u --； （B ）22v u u v --； （C ）22v u v u +-； （D ）2

2v u u

v +-．

9、若f x x x x f x x x x (,),(,)'

232612

=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ）

(A) x +

3

2

； (B) x -

3

2

； (C) 21x +； (D) -+21x

10、设z y x

=，则(

)(,)∂∂∂∂z x z

y

+=21 （ A ） (A) 2 ； (B) 1+ln2 ； (C) 0 ； (D) 1 11、设函数z x y =-

+122，则点 (,)00是函数 z 的 （ B ）

（A ）极大值点但非最大值点； （B ）极大值点且是最大值点； （C ）极小值点但非最小值点； （D ）极小值点且是最小值点。 12、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有 （ C ）

2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则

（A ）点P 0是函数z 的极大值点； （B ）点P 0是函数z 的极小值点； （C ）点P 0非函数z 的极值点； （D ）条件不够，无法判定。 二、填空题 1、极限lim

sin()

x y xy x

→→0π

= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。答：π

2、极限lim

ln()x y x y e x y

→→++01

2

2

2

=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。答：ln2

3、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。答：x y +≥1

4、函数z x

y

=

arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭

⎪2

2

，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。答：k f x y 2

⋅(,)

6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。答：22

2x y x

-

（

22

()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x

+--+-==++-）

7、设z x y y =-+sin()3，则

∂∂z

x

x y ===21

_________ 。答：3cos5

8、函数z z x y =(,)由方程x y z e

x y z ++=-++()

所确定，则22

z

x ∂∂= 0 9、、设u x xy =ln ，则

∂∂∂2u x y = ___________ 。答：1

y

9、函数z x y x y =----234612

2

的驻点是_________。答：（1，－1） 三、计算题

1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.

(1) z = (2)

ln()z x y =+(3)1

ln()

z x y =

+ (4)ln(1)z xy =-

解：(1)

要使函数z =有意义，必须有2

2

10x y --≥，即有22

1x y +≤.

故所求函数的定义域为22

{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1

(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为

{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2

(3)要使函数1

ln()

z x y =

+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.

故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3

(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为

{(,)|1}D x y xy =>，图形为图

3.4