二重积分 ppt课件
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D
D: y1(x) y y2(x) ax b
y
y2(x)
D
y1(x)
0
a
x bx
I=
y(x) f(x, y)dy y(x)
6. 二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
d y
x1 (y)
c
x2(y)
D
0 x
.
I =
d
dy
x(y) f(x,y)dx
c
x(y)
I f(x,y)dxdy
区域D的积分限 c y d , 1 (y ) x 2 (y ),
• （3） 写出结果 a bd 1 x 2 (( x x ))f(x ,y)d yc dd 1 y 2 ((y y ))f(x ,y)d.x
1
y
例1 将 dy f (x, y)dx交换积分次序 。
解：由
00
1
y
dy
0
0
f (x, y)dx 得积分区域
D：
0xy 0 y 1
令 0x ，xy ， 0 y ，y 1 ，画出 D的示意图如图。
y
0x1
因为 D： xy1 ，所以 yx
1
y
11
0dy0 f (x, y)dx 0dxx f(x,y)dy
1
o1 x
1 1x
例2 将 dx f(x,y)dy交换积分次序。 00
y
d y
x1 (y) c
x2(y)
D
0 x
.
I=
x(y) f(x,y)dx x(y)
I f(x,y)dxdy
D
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
d y
x1 (y) c
x2(y)
D
0 x
.
I =
d
dy
x(y) f(x,y)dx
c
x(y)
I f(x,y)dxdy
D
. .
ax
.
x a b( )
I dx a f(x,y)dy
举例说明如何交换二次积分的次序
• （据1其）积对分于限给a 定 x 的 二b ,重积1 ( 分x ) abdy x12((xx)2 )( fx () x,y),dy, 先根
• 画出积分区域D • （2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分
D
D: y1(x) y y2(x) ax b
y
y2(x)
D
y1(x)
0
a
x bx
I =
b
dx
y(x) f(x, y)dy
a
y(x)
例3：用两种顺序计算 x d yxdy, D:yx与yx 所 围 区
D
1 画出区域 D 图形
2 先对 y 积分（从下到上）
y
1
xydxdy d x
x
xydy
1(x0)
该曲顶柱体的体积为 VabA(x)dxab12((xxf))(x,y)dydx
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
d y
x1 (y) c
x2(y)
D
0 x
I=
x(y) f(x,y)dx x(y)
I f(x,y)dxdy
D
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
x
D
பைடு நூலகம்
x
xdx ydy
x
1 1(x3 x5)dx 1
20
24
D
0
3 先对 x 积分（从左到右）
1x
xydxdy d y
D
y
y
xy dx
1 24
. .
.
.
例4：将二重积分化成二次积分
一 先对x积分
I f(x,y)dxdy
D
y
b
o
D
ax
b
a
I dy a f(x,y)dx
y
b
y
b
D
o ax
而 lnx(y)0
故由二重积分的性质得 I1 I2 I3
二.二重积分的算法
在区间[a,b]上任意取一个点 x 0
作平行于yoz面的平面x= x 0 这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间
[1(x0), 2(x0)] 为底，曲线 zf(x0,y)
为曲边的曲边梯形,其面积为
2(x0)
A(x0) f (x0, y)dy
若区域D 分为D1，D2两个部分区域 ,则：
f(x ,y )d f(x ,y )d f(x ,y )d
D
D 1
D 2
3.若在区域D上总有 f(x,y)(x,y) ，则有不等式
f(x,y)d (x,y)d
D
D
f(x,y)d f(x,y)d
D
D
4.若在区域D上有 f(x,y)1 （ 为区域D的面积）
1dd
D
D
5.估值不等式
设M与m分别是函数Z=f(x,y)在D上的最大值与最小值， 是D的面积
mf(x,y)dM
D
6.中值定理
若f(x,y）在闭区域 上连续， 是D的面积，则在D内至少存在一点( ,)使得
f(x,y)df(,)
D
例1：估计二重积分 I(x24y29)d的值，D是圆域 x2y2 4 D
解: 求被积函数 f(x,y)x24y29在区域 上可能的最值
f x
2x
0
f
8y 0
y
(0,0)是驻点，f(0,0)=9，在边界上：
f( x ,y ) x 2 4 ( 4 x 2 ) 9 2 3 x 5 2 ( 2 x 2 ) 13 f(x,y)25
fmax25 ， fmin9
D
D: y1(x) y y2(x) ax b
y
y2(x)
D
y1(x)
0
a
x bx
I=
y(x) f(x, y)dy y(x)
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
d y
x1 (y)
c
x2(y)
D
0 x
.
I =
d
dy
x(y) f(x,y)dx
c
x(y)
I f(x,y)dxdy
二重积分
学习内容：
• 一.二重积分的性质 • 二.二重积分的算法 • 三.二重积分与极坐标 • 四.二重积分的应用
一.二重积分的性质
1.线性性质（其中: 是常数）
[f( x ,y ) g ( x ,y ) ] d f( x ,y ) d g ( x ,y ) ] d
D
D
D
2.对区域的有限可加性
a
b
y
I dy b f(x,y)dx
y
b
x y 1
ab
.
o
D
. .
b
a(y)
I dy b f(x,y)dx
ax
.
二 先对 y 积分
y
b
o
y
b
o
y
.
b
o
I f(x,y)dxdy
D
D ax
b
a
x
I dx a f(x,y)dy
D ax
a
b
I dxbx f(x,y)dy
a
xy 1
ab .
于是有：3 6 9 4 I 24 5 1 00
例2：比较积分 I1 lnx(y)d，I2(xy)2d , I3(xy)d 的大小
D
D
D
其中D是由直线
x0,y0,xy1 2
和
xy 1
所围成的
解：因为积分域D在直线想x+y=1的下方，所以对于任意点 (x,y)D
均有
1 x y 1 2
从而有 xy(xy)20
D: y1(x) y y2(x) ax b
y
y2(x)
D
y1(x)
0
a
x bx
I=
y(x) f(x, y)dy y(x)
6. 二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
d y
x1 (y)
c
x2(y)
D
0 x
.
I =
d
dy
x(y) f(x,y)dx
c
x(y)
I f(x,y)dxdy
区域D的积分限 c y d , 1 (y ) x 2 (y ),
• （3） 写出结果 a bd 1 x 2 (( x x ))f(x ,y)d yc dd 1 y 2 ((y y ))f(x ,y)d.x
1
y
例1 将 dy f (x, y)dx交换积分次序 。
解：由
00
1
y
dy
0
0
f (x, y)dx 得积分区域
D：
0xy 0 y 1
令 0x ，xy ， 0 y ，y 1 ，画出 D的示意图如图。
y
0x1
因为 D： xy1 ，所以 yx
1
y
11
0dy0 f (x, y)dx 0dxx f(x,y)dy
1
o1 x
1 1x
例2 将 dx f(x,y)dy交换积分次序。 00
y
d y
x1 (y) c
x2(y)
D
0 x
.
I=
x(y) f(x,y)dx x(y)
I f(x,y)dxdy
D
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
d y
x1 (y) c
x2(y)
D
0 x
.
I =
d
dy
x(y) f(x,y)dx
c
x(y)
I f(x,y)dxdy
D
. .
ax
.
x a b( )
I dx a f(x,y)dy
举例说明如何交换二次积分的次序
• （据1其）积对分于限给a 定 x 的 二b ,重积1 ( 分x ) abdy x12((xx)2 )( fx () x,y),dy, 先根
• 画出积分区域D • （2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分
D
D: y1(x) y y2(x) ax b
y
y2(x)
D
y1(x)
0
a
x bx
I =
b
dx
y(x) f(x, y)dy
a
y(x)
例3：用两种顺序计算 x d yxdy, D:yx与yx 所 围 区
D
1 画出区域 D 图形
2 先对 y 积分（从下到上）
y
1
xydxdy d x
x
xydy
1(x0)
该曲顶柱体的体积为 VabA(x)dxab12((xxf))(x,y)dydx
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
d y
x1 (y) c
x2(y)
D
0 x
I=
x(y) f(x,y)dx x(y)
I f(x,y)dxdy
D
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
x
D
பைடு நூலகம்
x
xdx ydy
x
1 1(x3 x5)dx 1
20
24
D
0
3 先对 x 积分（从左到右）
1x
xydxdy d y
D
y
y
xy dx
1 24
. .
.
.
例4：将二重积分化成二次积分
一 先对x积分
I f(x,y)dxdy
D
y
b
o
D
ax
b
a
I dy a f(x,y)dx
y
b
y
b
D
o ax
而 lnx(y)0
故由二重积分的性质得 I1 I2 I3
二.二重积分的算法
在区间[a,b]上任意取一个点 x 0
作平行于yoz面的平面x= x 0 这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间
[1(x0), 2(x0)] 为底，曲线 zf(x0,y)
为曲边的曲边梯形,其面积为
2(x0)
A(x0) f (x0, y)dy
若区域D 分为D1，D2两个部分区域 ,则：
f(x ,y )d f(x ,y )d f(x ,y )d
D
D 1
D 2
3.若在区域D上总有 f(x,y)(x,y) ，则有不等式
f(x,y)d (x,y)d
D
D
f(x,y)d f(x,y)d
D
D
4.若在区域D上有 f(x,y)1 （ 为区域D的面积）
1dd
D
D
5.估值不等式
设M与m分别是函数Z=f(x,y)在D上的最大值与最小值， 是D的面积
mf(x,y)dM
D
6.中值定理
若f(x,y）在闭区域 上连续， 是D的面积，则在D内至少存在一点( ,)使得
f(x,y)df(,)
D
例1：估计二重积分 I(x24y29)d的值，D是圆域 x2y2 4 D
解: 求被积函数 f(x,y)x24y29在区域 上可能的最值
f x
2x
0
f
8y 0
y
(0,0)是驻点，f(0,0)=9，在边界上：
f( x ,y ) x 2 4 ( 4 x 2 ) 9 2 3 x 5 2 ( 2 x 2 ) 13 f(x,y)25
fmax25 ， fmin9
D
D: y1(x) y y2(x) ax b
y
y2(x)
D
y1(x)
0
a
x bx
I=
y(x) f(x, y)dy y(x)
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
d y
x1 (y)
c
x2(y)
D
0 x
.
I =
d
dy
x(y) f(x,y)dx
c
x(y)
I f(x,y)dxdy
二重积分
学习内容：
• 一.二重积分的性质 • 二.二重积分的算法 • 三.二重积分与极坐标 • 四.二重积分的应用
一.二重积分的性质
1.线性性质（其中: 是常数）
[f( x ,y ) g ( x ,y ) ] d f( x ,y ) d g ( x ,y ) ] d
D
D
D
2.对区域的有限可加性
a
b
y
I dy b f(x,y)dx
y
b
x y 1
ab
.
o
D
. .
b
a(y)
I dy b f(x,y)dx
ax
.
二 先对 y 积分
y
b
o
y
b
o
y
.
b
o
I f(x,y)dxdy
D
D ax
b
a
x
I dx a f(x,y)dy
D ax
a
b
I dxbx f(x,y)dy
a
xy 1
ab .
于是有：3 6 9 4 I 24 5 1 00
例2：比较积分 I1 lnx(y)d，I2(xy)2d , I3(xy)d 的大小
D
D
D
其中D是由直线
x0,y0,xy1 2
和
xy 1
所围成的
解：因为积分域D在直线想x+y=1的下方，所以对于任意点 (x,y)D
均有
1 x y 1 2
从而有 xy(xy)20