二重积分与二次积分ppt

合集下载

二重积分计算法ppt详解.

8 R(R2 x2)dx16 R3 .
0
3
【例6】求由曲面 z x2 2 y2及 z 6 2x2 y2
所围成的立体的体积。
二、利用极坐标计算二重积分
有些二重积分, 其积分区域D或其被积函数用极
坐标变量、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑
利用极坐标来计算二重积分.
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1( y) x 1( y), cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 y y0(c x0 d)与D的边界至多有两个交点
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
a
g ( x)dx][
d
h( y)dy]
a
c
b
c
D
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
如果D是X型区域 j1(x)yj2(x), axb, 则
f (x, y)d
b
dx
j2(x) f (x, y)dy .
D
a j1(x)
V
b
A(x)dx
b
[
j2(x) f (x, y)dy]dx .
a
a j1(x)
提示
根截此据面时平是二行以重截区积面间分面[jD积1f(x(为x0,),y已)dj知2(x在的0)几立]为何体底上体、表积以示的以曲求曲线法面z. fz(xf(0x,

二重积分

1 画出区域 D 图形
2 xy d x d y , D : y x 与 y x 所围区域 D
2 先对 y 积分（从下到上）
y
xydxdy dx x xydy

x
1
D
xdx ydy
x

x
1 1 1 3 5 ( x x )dx 24 2 0
19. 把 I
D1
0
先对 x 积分（不分块儿行吗？）
1
x
I

D1 D2
D2 x = y +1
.

dy

y

y
f ( x, y )dx
f ( x, y )dx
–1
. .
dy

11. 将二重积分化成二次积分 D: 由四条直线 : x=3，x=5, y 3x – 2y+4 = 0, 3x –2y+1 = 0 19 2 共同围成的区域先对y积分
D
D:
0 r r ( )
0 2
0
r ( )
r
.
D
I
f ( x , y )dxdy
D

r (θ )
0
f (r cosθ , r sinθ )rdr
18. 怎样利用极坐标计算二重积分(2) I 极点位于区域 D 的内部
f ( x , y )d xdy
D
f ( x , y )d xdy
D
D:
0 r r ( )
0 2
r ( )
r

0 r
D

重积分—二重积分的计算(高等数学课件)

1
y2
2 1
1 2
x
2
y
y y
2
2
dy
1 2
2 [ 1
y(
y
2)2
y5 ] dy
45 8
x y2
2
o1 (1,1)
y x2 (4,2)
x
课程小结
本讲主要讲了X型区域和Y型区域的区分，通过例题学习在两种区域下二重积分转化成累次积分的计算方法。
重积分
直角坐标系中二重积分的计算（三）
知识点讲解
1.一般型区域
1.二元极限定义
边界为分段光滑曲线的有界闭域,一般可把它分解成有限个除边界外无公共
内点的 X 型区域或 Y 型区域.
y
如图a 所示, D 被分解成三个区域, 其中I 、III 为X 型
区域,II 为 Y 型区域.
III
II D
I
O
x
图a
2.例题分析
1.二元函数极限
例1 设 D ( x, y) 2x x2 y2 4x , f ( x, y) 为 D上的连
y
D2 ( x, y) 4x x2 y 2x x2 ,0 x 2 , O
D3 ( x, y) 4x x2 y 4x x2 , 2 x 4 .
所以有
I
2
dx
4 x x2
2
2xx2
f ( x, y)dy dx
f ( x, y)dy
0
2 x x2
0
4xx2
变换公式
i
1 2
(ri
ri )2 i
1 2
ri2i
1 2
(2ri
ri )rii
ririi

二重积分与二次积分

二重积分出现，不少读者误以为二重积分与二次积分是一回事，一些问题的解答出现了错误或使对
迷惑。
，

例１计算积分ｌｘｌ：ｄ
Ｊ０ＪＬ
ｄ。ｙ
所围成的积
有的同学用交换积分顺序方法作，此他将此二次积分错误地为视为二重积分。域得在０画 ≤ ≤ １由一１Ｙ上和分域Ｄ（图）是如于
识到应改变所得结果的符号。当我们追阃他们为什么时，又觉得很难说清楚便
其实二积是续二定分当们定一ｒ（ｄ之，出个，次分连作次积，我规ｆ（ｄ一，）后给一定，）ｒ
积时分限一要于分限而积不样重分ｒ，中面元分，上不定太积下；重分一，ｆ）ｄ，积积然积Ｊ其ｄ
（接第１上８页）
既然二次积分与二重积分不一样，因此，本题也不一定要通过二重积分来交换积分顺序计像
算。比如还可用分部分计算：ｌ记
ｅ
ｄｙ＝Ｆ（）则ｚ，
Ｊ＝ｄ胁州ｚ（一圳—
ｍ一如一一～吉
２设ｆｘ）．（，连续，交换积分的顺序：ｄＩｆｘｙｄｌｘ（，）ｙ
（接第１上）７页
这里Ｓ＝Ｄ２ＤｎＤ２一Ｄ — ＤｎＤ２ｌ一，２Ｓ。因Ｄ与Ｄｚ的面积相等，均为，故与面积相等，在上，＋。＜ａ，在：，＋２上

2019年-9-2 二重积分的计算法-PPT精选文档

解 e y 2 d 无法用 y 初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2ey2dxdy 1dyyx2ey2dx
D
00
e1 y2 y3dy e 1 y2 y2dy2 1(1 2).
0
3
0
6
6e
8
例10. 关于分块函数在D上的积分. 求| yx|d
a
a2 y2
故本题无法用直角坐标计算.
14
二、利用极坐标计算二重积分 y
1
1 x
要分部积分，不易计算
若先 x 后 y 则须分片
12
22
Idy yexydx dy yexydx
11 2y
11
易见尽管须分片积分，但
由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。
D
7
例 9 求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
D1
D2
9
11
1x
0dx x (yx)d y0d0 x (xy)dy y
1(1y2x)y1d x 1(xy 1y2)xdx 1
02
x
0
20
y=x
D1
D
D2
1(1x1x2)d x11x2dx 1
02 2
02
3
0
1x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
y2x y 2xx2
问：从积分域的形状看，此域上的积分应选什么样的积分顺序？
6
例8 计算 y xd e y x ,D :x d 1 ,y x 2 ,y 2 ,x 1 y

大学生数学竞赛二重积分.ppt)

f ( x, y)dy
0 1 x
1
2 d
1 f ( cos , sin )d .
0
sin cos
例3. 计算二重积分
x 2 y 2 4 dxdy, D : x 2 y 2 9. y
D
x2 y2 9
D D1 D2 ,
D1 : x 2 y 2 4 ;
D2
D1
xo2 y2 4
于坐标轴的直线网来划分
D
区域 D.
则面积元素为d dxdy 0
x
故二重积分可写为
f x, yd f x, ydxdy
D
D
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１当k为常数时，
kf ( x, y)d k f ( x, y)d .
D
D
性质２
[ f ( x, y) g( x, y)]d
第四讲：二重积分的计算
n
D
f (x, y)
d lim
0
f (i ,i ) i .
i 1
积分区域
被积函数
积分变量
被积表达式
面积元素
积分和
若函数 f ( x, y)在有界闭区域 D 上连续，则二重积分
f ( x, y)d 必定存在.
D
y 在直角坐标系下用平行
直角坐标与极坐标的相互转化公式
x r cos y r sin
x2 y2 r2
dx dy rdrd
将直角坐标系下的二重积分转化为极坐
标系下的二次积分
⑴写出已知 X 型区域：D x, y a x b,1 x y 2 x
⑵将第二个不等式改成等式y=1 x，y=2 x画出两条曲线

第6章二重积分

n
若二重积分
∫∫ f ( x, y)dσ = lim∑ f (ξi ,ηi )∆σ i 存在 λ →o i =1 D
则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关，则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关，故可采用一种便于计算的划分方式在直角坐标系下，在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把 D分成一些小区域，这些小区域中除去靠的边界分成一些小区域，分成一些小区域这些小区域中除去靠D的边界的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，紧靠D的边界的小区域的面积紧靠的边界的小区域的面积 ∆σ i ≤ ∆t i ⋅ λ ⇒ ∑ ∆σ j ≤ λL
二重积分
1、二重积分的概念和性质、 2、利用直角坐标系计算二重积分、 3、利用极坐标系计算二重积分、
二重积分的概念和性质
在一元函数积分学中，我们已经知道，在一元函数积分学中，我们已经知道，定积分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形式的和式的极限，式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发需要计算空间形体的体积、曲面的面积、展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空间物体的质量等，间物体的质量等，定积分已经不能解决这类问题另一方面，从数学逻辑思维的规律出发，，另一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然会考虑定积分概念的推广，会考虑定积分概念的推广，从而提出了多元函数的积分学问题。的积分学问题。
j
y
D
o x
其中L为的围长其中为D的围长
⇒
∑ f (ξ j ,η j )∆σ j ≤ M ∑ ∆σ j ≤ MLλ → 0, (λ → 0) j j
dσ = dxdy
则面积元素为
故二重积分可写为

高等数学课件 PPT 第九章重积分

分析
若函数ρ(x,y)=常数，则薄片的质量可用公式质量=面密度×面积来计算.现在面密度ρ(x,y)是变化的，故不能用上述公式来求. 这时仍可采用处理曲顶柱体体积的方法来求薄片的质量.分为下列几个步骤：
一、二重积分的概念
(1)分割将D分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn（小区域的面积也用这些符号表示），第i个小块的质量记为 ΔMi(i=1,2,…,n)，则平面薄片的质量
于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-11
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例3】
计算
，D是由抛物线y2=2x与直线y=x－4所
围成的区域．
解画出积分区域D的草图如图9-12所示．若先对x积分，
则有
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-12
一、在直角坐标系下计算二重积分
若先对y积分，则需将D分为两个区域D1和D2，于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例1】
试将
化为两种不同次序的累次积分，其中
D是由y=x,y=2－x和x轴所围成的区域．
解积分区域D如图9-9所示．首先说明如何用“穿线法”
确定累次积分的上、下限．如果先积x后积y，即选择Y型积
分区域，将区域D投影到y轴，得区间［0,1］，0与1就是对y
积分的下限与上限，即0≤y≤1，在［0,1］上任意取一点y，
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有类似的性质.假设下面所出现的积分是存在的.
二、二重积分的性质
性质1
设c1,c2为常数,则
性质2
若闭区域D分为两个闭区域D1与D2，则
二、二重积分的性质
性质3
(σ为D的面积）.
性质4

东华大学《高等数学AⅡ》课件第三章二重积分在极坐标系下的计算

ex2 d x ①
0
2
内容小结
(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形 :
若积分区域为
y y y2(x)
D
y y1(x)
a
bx
则
f (x, y) d
b
dx
y2 (x) f (x, y) d y
D
a
y1( x)
• 若积分区域为
y x x2 ( y) d
D
则
f (x, y) d
f (r cos , r sin )
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
应用范围：积分区域为圆域(或一部分)，被积
函数含 ( x2 的y用2 ) 此简便.
计算方法——化为二次定积分
(通常先对r 后对积分
)
二、极坐标系下二重积分化累次积分
三线
方法：极坐标系下区域如图所示：
r
sin
其中 0r <+, 0 2
(或 - )
r x2 y2
arctg y
x
y
r
0
(x, y) x
一、极坐标系下二重积分的表达式
y
M(x, y)
x r cos
y
r
sin
r (r, )
0
x
? f ( x, y)d 在极坐标系下
D
极坐标系下的面积元素如何表示？
极坐标系下被积函数如何表示？
D
0 f在D上关于x为奇函数
f
( x,
y)dxdy
4
D1
f
( x,
y)dxdy,
f关于 x 且关于 y为偶函数

92二重积分的计算(直角坐标系)ppt省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

当 f ( x, y) f ( x, y)时.
(即f ( x, y)关于( x, y)为奇函数)
（4）若积分区域 D关于直线 y x 对称（ ( x, y)D( y,x)D ），
则 f ( x, y)dxdy f ( y,x)dxdy 。
D
D
又若 D D1D2 ，且 D1与D2 关于直线 y x 对称，则
2
证：积分区域 x2 y2 R2 关于直线 y x 对称，所以
x。
y
(4, 2)
y x
D2 D1
o1
y x2 4x
y x (1,1)
xyd
xyd
xyd
1
0dx
x x
4
x
xydy1 dxx2
xydy55. 8
D
D1
D2
例 3． e y2 d ，其中 D 是由直线 y x ， y1 和 y 轴所围成。
D
解：若先积 y 后积 x，得 e y2 d
1
dx
1
e
y2
的体积。 A( x )
y2(x)
A( x )
y o
a
D
x
y1( x)
bx
x 1( x ) 2( x ) y
一般地，过 [a,b] 上任一点 x 且平行于yoz平面的平面，
与曲顶A(柱 Ax(体x))相交所122(((得xxx)截)f) (面fx(的,xy面),dy积y).d为y 。 1( x)
D
a 1( x)
c 1( y)
二重积分化为二次积分，确定积分限是关键。
其定限方法如下：（1）在 xoy 平面上画出积分区域 D 的图形；（2）若区域 D 为 X 型的，则把 D 投影到 x 轴上，得投影区间[a,b] ，a 和 b 就是对 x 积分的下限和上限。 x[a,b] ，过点 x 画一条与 y 轴平行的直线，假如它与边界曲线交点的纵坐标分别为 y1( x) 和 y2( x) ，且 2( x)1( x) ，则 1( x) 和 2( x) 就是对 y 积分的下限和上限。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

a
j(x)
D
b
x= j2(y)
注：若左、右边界曲线中有分段曲线，比如左边界曲线是分段曲线：
x
=
j
(
y)
=
j1 j 2
( y) ( y)
a yc ， c yb
D c
x= j1(y)
x= y(y)
则
f (x, y)d =
c
dy
y (x)
f (x, y)dx
b
dy
b
dx
y (x) f (x, y)dy 。
a
j(x)
DБайду номын сангаас
y
y= y(x)
D
Oa
y= j(x)
bx
首页
上页
返回
下页
结束
1．将二重积分化为先对y 后对x 的二次积分
第一步：根据已知条件画出积分区域D的图形。
第二步：将区域D向x轴投影，得到投影区间[a, b]。
第三步：确定区域D的上下边界曲线。
设下边界曲线为y= j(x)，上边界曲线为y= y(x)，且上、下边界曲线都不是分段曲线。
第四步：写出二次积分
y
f (x, y)d =
b
dx
y (x) f (x, y)dy 。
a
j(x)
D
注：若上、下边界曲线中有分段曲线，比如下边界曲线是分段曲线：
y
=
j
(x)
=
j1 (x) j 2 (x)
axc， c xb
则
f (x, y)d =
c
dx
1．将二重积分化为先对y 后对x 的二次积分
第一步：根据已知条件画出积分区域D的图形。
第二步：将区域D向x轴投影，得到投影区间[a, b]。
第三步：确定区域D的上下边界曲线。
设下边界曲线为y= j(x)，上边界曲线为y= y(x)，且上、下边界曲线都不是分段曲线。
第四步：写出二次积分
f (x, y)d =
第三步：确定区域D的上下边界曲线。
设下边界曲线为y= j(x)，上边界曲线为y= y(x)，且上、下边界曲线都不是分段曲线。
第四步：写出二次积分
y
f (x, y)d =
b
dy
y (x) f (x, y)dx 。
a
j(x)
b
D
x= j(y)
a O
D
x= y(y)
x
首页
上页
返回
下页
结束
2．将二重积分化为先对x 后对y 的二次积分
y (x)
f (x, y)dy
b
dx
y (x) f (x, y)dy 。
a
j1 ( x)
c
j2 (x)
D
O
y= y(x)
D
y= j1(x)
a
y= j2(x)
c
bx
首页
上页
返回
下页
结束
2．将二重积分化为先对x 后对y 的二次积分
第一步：根据已知条件画出积分区域D的图形。
第二步：将区域D向x轴投影，得到投影区间[a, b]。
y (x) f (x, y)dx 。
a
j1 ( x)
c
j2 (x)
a
D
O
x
首页
上页
返回
下页
结束
第一步：根据已知条件画出积分区域D的图形。
第二步：将区域D向x轴投影，得到投影区间[a, b]。
第三步：确定区域D的上下边界曲线。
设下边界曲线为y= j(x)，上边界曲线为y= y(x)，且上、下边界曲线都不是分段曲线。
第四步：写出二次积分
y
f (x, y)d =
b
dy
y (x) f (x, y)dx 。