【高中数学专项突破】专题8 等式性质与不等式性质专题突破(含答案)
2021届高考数学专题突破不等式的性质(解析版)
2021届高考数学数列与不等式突破性讲练06不等式的性质一、考点传真：了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景. 二、知识点梳理1．两个实数比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b . (2)a －b ＝0⇔a ＝b . (3)a －b ＜0⇔a ＜b . 2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； 同向不等式可相加，不能相减．(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc; c <0时应变号． a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方性：a >b >0n a > nb (n ∈N ，n ≥2)．二、常用结论汇总——规律多一点1．倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b ；(2)a <0<b ⇒1a <1b ；(3)a >b >0，d >c >0⇒a c >bd .2．分数性质 若a >b >0，m >0，则(1)真分数性质：b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0)；(2)假分数性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0)．三、例题：2021届高考数学专题突破例1.（2019全国Ⅱ卷）若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │ 【答案】C【解析】取0a =，1b =-，则ln()ln10a b -==，排除A ； 011331333a b -==>==，排除B ；011a b =<-==，排除D ．函数3()f x x =在R 单调递增，由a b >可得33a b >，所以330a b ->，C 正确. 故选C ．例2.（2019全国Ⅰ卷）已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】 依题意22log 0.2log 10a ==＜， 0.20221b ==＞， 因为0.3000.20.21=＜＜， 所以0.30.201c =∈（，）， 所以a c b ＜＜.故选B ．例3.（2019天津文5）已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为 （A ）c b a << （B ）a b c << （c ）b c a <<（D ）c a b <<【答案】A【解析】 由题意，可知22log 7log 42a =>=，33log 8log 92b =<=，0.20.31c =<， 所以c b a <<． 故选A ．例4．(2018天津卷)已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】D【解析】因为2log e >1a =，ln 2(0,1)b =∈，12221log log 3log 13c e ==>>． 所以c a b >>，故选D ．例5．(2018全国卷Ⅲ)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【答案】B【解析】由0.2log 0.3a =得0.31log 0.2a =，由2log 0.3b =得0.31log 2b=， 所以0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b +=+=，所以1101a b <+<，得01a b ab+<<．又0a >，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．例6.（2017山东卷）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是A ．()21log 2a b a a b b +<<+ B ．()21log 2a b a b a b <+<+ C ．()21log 2a ba ab b +<+< D ．()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】解法一 取2a =，12b =，则1224a b +=+=，2112228a b ==，22log ()log 42a b +==，所以()21log 2a b a b a b<+<+， 选B ． 解法二 由题意1a >，01b <<，所以12a b <，122a a a a b+=+=>， 又1a b +>，所以2()()a b a b +>+，所以22222log ()log ()log 1a b a b >+>+>=， 故()21log 2a b a b a b<+<+， 选B ．例7．(2016年北京卷)已知,x y R ∈，且0x y >>，则A ．110x y -> B ．sin sin 0x y -> C ．11()()022x y -< D ．ln ln 0x y +> 【答案】C【解析】因为0x y >>，选项A ，取11,2x y ==，则111210x y -=-=-<，排除A ；选项B ，取,2x y ππ==，则sin sin sin sin102x y ππ-=-=-<，排除B ；选项D ，12,2x y ==，则ln ln ln()ln10x y xy +===，排除D ， 故选C ． 四、巩固练习：1．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( )A.1a －b >1aB.1a >1b C ．|a |>|b | D ．a 2>b 2【答案】A【解析】 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a 不成立．2．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A.a c >b dB.a c <b dC.a d >b cD.a d <b c【答案】 D【解析】 由c <d <0⇒1d <1c <0⇒－1d >－1c >0，又a >b >0，故由不等式性质，得－a d >－bc >0，所以a d <bc，故选D. 3．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( )A ．M ＞NB ．M ≥NC ．M ＜ND ．M ≤N【答案】A【解析】 因为M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2＞0，所以M ＞N ，故选A.4．若6<a <10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( )A ．[9,18]B ．(15,30)C ．[9,30]D ．(9,30)【答案】D【解析】 ∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a .∵6<a <10，∴9<c <30.故选D.5．设a <b <0，c >0，则下列不等式中不成立的是( )A.c a >cbB.c a －b >ca C ．|a |c >－bc D.－a c >－b c【答案】B【解析】 由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a ⇒c a －b <ca ，所以B 中式子不成立．6．已知a 1，a 2∈(0,1)，若M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定【答案】B【解析】 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)． ∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)， ∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0. ∴M ＞N .7. 已知x ＝log 23－log 23，y ＝log 0.5π，z ＝0.9－1.1，则x ，y ，z 的大小关系为( ) A ．x <y <z B ．z <y <x C ．y <z <x D ．y <x <z【答案】 D【解析】 显然0<x ＝log 23<log 22＝1，y ＝log 0.5π<log 0.51＝0，z ＝0.9－1.1>1，所以y <x <z ，故选D.8．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4【答案】A【解析】结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎪⎨⎪⎧ p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4.9．已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式一定成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |【答案】C【解析】 因为x >y >z ，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.由x >0，y >z ，得xy >xz .由x >y ，z <0，得xz <yz .因为y 与0的大小不确定，所以A 、D 项不一定成立．故选C.10.设c >0，则下列各式成立的是( )A ．c >2cB ．c >⎝⎛⎭⎫12cC ．2c <⎝⎛⎭⎫12cD ．2c >⎝⎛⎭⎫12c【答案】 D【解析】 c >0时，2c >1，⎝⎛⎭⎫12c <1，所以2c >⎝⎛⎭⎫12c.故选D. 11.已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >aD.a >c >b【答案】A【解析】∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴b >a ，∴c ≥b >a .12.已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是( ) A.log 2a >0B.2a －b <12C.log 2a ＋log 2b <－2D.2a b ＋b a <12【答案】C【解析】 由题意知0<a <1，此时log 2a <0，A 错误；由已知得0<a <1，0<b <1，所以－1<－b <0，又a <b ，所以－1<a －b <0，所以12<2a －b <1，B 错误；因为0<a <b ，所以a b ＋ba >2a b ·ba＝2，所以2a b ＋b a >22＝4，D 错误；由a ＋b ＝1>2ab ，得ab <14，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )<log 214＝－2，C 正确.13．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________． 【答案】S 3a 3＜S 5a 5【解析】当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5.当q ＞0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q＝－q －1q 4＜0， 所以S 3a 3＜S 5a 5.综上可知S 3a 3＜S 5a 5.14若实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．【答案】 27【解析】 解法一：由3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，可知x >0，y >0，且18≤1xy 2≤13，16≤x 4y 2≤81，得2≤x 3y4≤27，故x 3y4的最大值是27. 解法二：设x 3y4＝⎝⎛⎭⎫x 2y m (xy 2)n，则x 3y －4＝x 2m ＋n y 2n－m，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝3，2n －m ＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－1.又∵16 ≤⎝⎛⎭⎫x 2y 2≤81，18≤(xy 2)－1≤13， ∴2≤x 3y 4≤27，故x 3y4的最大值为27.15．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是______．【答案】a b 2＋b a 2≥1a ＋1b【解析】a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝a ＋ba －b2a 2b 2.∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，∴a ＋ba －b2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 16．若a >b >0，给出以下几个命题：①b a <b ＋5a ＋5；②lg a ＋b 2<lg a ＋lg b 2；③a ＋1b >b ＋1a ； ④a －b >a －b .其中为真命题的是________(请填写所有真命题的序号)． 【答案】 ①③【解析】 因为a >b >0，所以b a －b ＋5a ＋5＝5b －a a a ＋5<0，则b a <b ＋5a ＋5，因此①正确；因为a >b >0，所以lga ＋b 2>lg ab ＝lg a ＋lg b 2，因此②不正确；因为a >b >0，所以⎝⎛⎭⎫a ＋1b －⎝⎛⎭⎫b ＋1a ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0，因此③正确；因为a >b >0，所以可取a ＝2，b ＝1，则a －b ＝2－1<2－1＝1＝a －b ，因此④不正确．17.已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 【解析】 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ，由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6， 所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值范围是[6,10]．18.已知1≤lg (xy )≤4，－1≤lg x y ≤2，求lg x 2y的取值范围．【解析】令lg x 2y ＝m lg (xy )＋n lg x y ＝lg (x m y m)＋lg x n y n ＝lg x m ＋n y n －m .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1，解得m ＝12，n ＝32. ∴lg x 2y ＝12lg (xy )＋32lg x y .∵1≤lg (xy )≤4，∴12≤12lg (xy )≤2.又∵－1≤lg x y ≤2，∴－32≤32lg xy ≤3，∴－1≤12lg (xy )＋32lg xy ≤5∴－1≤lg x 2y≤5.故lg x 2y 的取值范围是[－1,5]．。
高考数学讲义：等式性质与不等式性质(解析版)
第13讲：等式性质与不等式性质【学习目标】1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．【基础知识】知识点一：等式的基本性质1．如果a ＝b ，那么b ＝a .2．如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c .3．如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c .4．如果a ＝b ，那么ac ＝bc .5．如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc .知识点二：不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a ⇔2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 不可逆3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6同向同正可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向7可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正【考点剖析】考点一：不等式性质判断真假例1．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题正确的是（）A．若a b ，则22ac bc B．若a b ，则11a bC．若22ac bc ，则a bD．若0a b ，c d ，则ac bd【答案】C 【详解】A：若0c =，则220ac bc ，故A 错误；B：若1,1a b ，则,1111a b，则11a b ，故B 错误；C：因为22ac bc ，则20c ，两边同除以2c ，得a b ，故C 正确；D：若2,1,1,2a b c d ，则2,2ac bd ，故D 错误.故选：C.变式训练1：若0,10a b ，则下列不等关系一定正确的是（）A．a b B．2a b C．a bD．0a b 【答案】B 【详解】0a ，20b ，所以2a b 故选：B变式训练2：已知0b a ，则下列不等式一定成立的是（）A．a b B．2b abC．11a bD．22a b 【答案】D 【详解】00b a b a b a b a∵故A 错误;2()b ab b b a ∵00b a b a ∵20b ab 2b ab 故B 错误;11b a a b ab∵00,0b a b a ab ∵110a b 11a b 故C 错误; 22a b a b a b ∵00,0b a a b a b ∵22220a b a b 故D 正确.故选:D变式训练3：下列结论正确的是（）A．若a b ，则ac bc B．若a b ，则11a bC．若22ac bc ，则a b D．若a b ，则22a b 【答案】C 【详解】对于A：当a b 时，若取0c ，则有ac bc .故A 不正确；对于B：当a b 时，取1,1a b 时，有11a b.故B 不正确；对于C：当22ac bc ，两边同乘以21c ，则a b .故C 正确；对于D：当a b ，取1,1a b 时，有22=a b .故D 不正确.故选：C.考点二：利用不等式性质证明例2．已知0a b ，0c d ，b c ，求证：（1）0b c ；（2）b aa cb d.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】证明：（1）∵b c 且0b ，0c ，∴b c 即0b c ；（2）∵0c d ，∴0c d ，又0a b ，∴0a c b d ，∴110b d a c ，∴b b aa cb d b d.变式训练1：若0,0ab m .求证bb ma a m.【答案】证明见解析.【详解】由0,0ab m ，得0am bm ，故得am ab bm ab ，即 am b b m a ，又因为0,0ab m ，在不等式两边同时乘以1a a m 得：b b ma a m，不等式得证.变式训练2：已知,0a b c a b c ，求证：c c a c b c【答案】见解析【详解】因为a b c ，故0,0a b b c ，要证c ca cb c，即证 c b c c a c ，即证cb ca ，即证： 0c b a ，因为,0a b c a b c ，故03c c c c ，故0c ，因为b a ，故0b a ，故 0c b a ，故原不等式成立.变式训练3：已知0a b ，0c d .证明：（1）ac bd ；（2）a aa cb c.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】解：证明：（1）∵0a b ，0c ，∴0ac bc ，又0c d Q ，0b ，∴0bc bd ，故ac bd ；（2）由0c ，得0c ，又0a b ∵，∴0a c b c ，即110a c b c，又0a ∵，∴a aa cb c.考点三：不等式求解范围（一）例3．已知23a ，21b ，求2a b 的范围.【答案】225a b 【详解】解：23a ∵，426a ，又21b ∵，225a b .变式训练1：已知13a ，26b ，则23a b 的取值范围是________【答案】 16,12 【分析】由条件可得226a ，1836b ，然后可得答案.【详解】因为13a ，26b ，所以226a ，1836b 所以16<2312a b 故答案为：16,12 变式训练2：若23a b ，则b a 的取值范围是_________.【答案】(0,5)【详解】因为23a b ，故>0b a ，且32a ，所以55b a ，故05b a .故答案为：(0,5).变式训练3：若角, 满足2，则 的取值范围是_________， 的取值范围是__________．【答案】 ,2 ；,02【详解】由2，则2 ，2，2且0 ，所以2 ，02，所以 的取值范围是 ,2 ， 的取值范围是,02.故答案为： ,2 ；,02考点四：不等式求解范围（二）例4．已知23a ，21b ,则2a b 的范围___________2a b 的范围___________.【答案】(2,5)；4,7【详解】由23a ，可得426a ，又由21b ，所以4(2)26(1)a b ，即225a b ，所以2a b 的范围(2,5)；由21b ，可得12b ，所以224b ，又由23a ，所以22234a b ，即427a b ，所以2a b 的范围 4,7.变式训练1：已知实数x ，y 满足023x y ，21x y ，则45x y 的最大值是________.【答案】13【详解】解：令 452x y m x y n x y ，解得：3m ，2n ，又023x y ∵，21x y ，24513x y ，即45x y 的最大值是13.故答案为：13.变式训练2：已知13a b ，则a b 的取值范围是_________，ab的取值范围是________．【答案】 2,6；1,13【详解】13a b ∵，即1a b ，3a b ，13a a b b ，又12a ，36b ，26a b ；又1113b a ，13a a b ，又133a ，113a b.综上所述：a b 的取值范围为 2,6；a b 的取值范围为1,13.故答案为： 2,6；1,13.变式训练3：已知14x y ，23x y ，则x 的范围是_________，32x y 的范围是________．【答案】17,22 ；323,22【详解】14x y ∵，23x y ，两个不等式相加可得127x ，解得1722x ，设 32 x y m x y n x y m n x m n y ，所以，32m n m n ，解得52m ，12n ，因为 551022x y， 13122x y ，由不等式的基本性质可得3233222x y .故答案为：17,22；323,22.【过关检测】1、若0a b ，则下列不等式中，不能成立的是（）A．11a bB．11a b aC．a bD．22a b 【答案】B 【详解】若0a b ，则110b aa b ab ，即11a b，A 成立；11()0()()a a b b a b a a a b a a b ，即11a b a，B 不成立；a b ，C 成立；22a b ，D 成立；故选：B2、如果,a b 那么下列说法正确的是（）A．ac bc B．22ac bc C．ac bcD．0b a 【答案】D 【详解】因为a b ，不等式两边同时减去a 得0b a ，D 正确，若0c =，则AB 错误，若0c ，C 错误．故选：D．3、已知,,a b c R ，且a b ，那么下列各式中正确的是（）A．1abB．11a bC．22ac bc D．33a b 【答案】D 【详解】对于A 选项：举反例1,1a b ，则11ab，则A 不成立；对于B 选项：举反例1,1a b ，则,1111a b，所以11a b ，则B 不成立；对于C 选项：举反例0c =，则220,0a c b c ，所以22a c b c ，则C 不成立；对于D 选项： 2332221324a b a b a ab b a b a b b∵a b ，∴0a b 又∵2213024a b b∴330a b ，即33a b .则D 成立故选：D.4、已知,a b R ，满足0ab ，0a b ，a b ，则（）A．11a bB．0b a a bC．22a b D．a b【答案】C 【详解】因0ab ，a b ，则a>0，b<0，110,0a b，A 不正确；0,0b a a b ，则0b aa b ，B 不正确；又0a b ，即0a b ，则22()a b ，22a b ，C 正确；由0a b 得||a b ，D 不正确.故选：C5、下列命题中，正确的是（）A．若a b ，则11a bB．若ac bc ，则a b C．若22a bc c ，则a b D．若a b ，cd ，则ac bd【答案】C 【详解】对于A，当1a ，1b 时，满足a b ，但不满足11a b，故A 不正确；对于B，当0c 时，由ac bc 可得a b ，故B 不正确；对于C，若22a b c c ，则2222a b c c c c，即a b ，故C 正确；对于D，当4,1a b ，1,2c d 时，满足,a b c d ，但是42ac bd ，故D 不正确.故选：C6、若,,a b c 为实数，且0a b ，则下列命题正确的是（）A．22ac bc B．11a bC．b a a bD．22a ab b【答案】D 【详解】对于A，当0c =时，220ac bc ，A 错误；对于B，当2a ，1b 时，112a ，11b ，此时11a b，B 错误；对于C，220b a b a a b ab∵，b a a b ，C 错误；对于D，0a b Q ，0a b ， 20 a ab a a b ， 20ab b b a b ，22a ab b ，D 正确.故选：D.7、下列说法不正确的是（）A．若..a b m 都是正数，则a m ab m b B．若0c a b ，则a bc a c bC．若...a b c d 都是正数，且bc ad 则a a c cb b d dD．若0.0a b c d ，则a b c d【答案】A 【详解】A 中，由a mb b m a b a m a m a b m b b m b b m b ，当b a 时，a m ab m b，故A 错；B 中，由 0a c b b c a ac ab bc ab a b c 所以 a c b b c a 则a bc a c b，故B 正确；C 中，由 0a b d b a c ab ad ab bc ad bc ，则 0a b d b a c 所以 a b d b a c 得a c ab b d ；由 0acd b d c ad cd bc dc ad bc 所以a c db dc 即a c c b dd ，所以a a c cb b d d，C 正确；D 中，由0.0a b c d 所以ad bc ，则a bc d，D 正确故选：A8、对于任意实数,,,a b c d ，有下列结论：①若a b ，0c ，则ac bc ；②若a b ，则22ac bc ；③若22ac bc ，则a b ；④若a b ，则11a b其中正确的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C 【详解】对于①：若a b ，0c ，则ac bc ；故①错误；对于②：若a b ，=0c 则22=ac bc ；故②错误；对于③：若22ac bc ，则0c ，所以210c ，把22ac bc 乘以21c ，得：a b .故③正确；对于④：若a b ，取a=1，b=-1，此时11a b；故④错误.故选：C9、若1,2 a b ，则a b 的取值范围是（）A． 3 ，B． ,3 C． 3 ，D．3 ，【答案】C 【详解】因为1,2 a b ，所以3a b ，即a b 的取值范围是 3 ，．故选：C．10、角,x y 满足22x y，则x y 的取值范围是（）A． ,0 B． , C．(,0)2D．(,)22【答案】A 【详解】因为22x y，则22y ，所以2222x y，即x y ，又0x y ，所以0x y .故选：A.11、设 ， 满足180180 ，则 的取值范围是（）A．3600 B．180180 C．1800 D．360360【答案】A 【详解】∵ ， 满足180180 ，∴180180 ，180180 ，∴180180 ，∴180180180180 ，∴360360 ，∵ ，∴0 ，∴3600 ，故选：A12、已知13,24a b ，则2a b 的取值范围是（）A．624a b B．0210a b C．422a b D．521a b 【答案】A因为13,24a b ，可得226,42a b ，所以24262a b ，即624a b ；故选：A.13、已知实数,x y 满足322,124,x y x y 则（）A．x 的取值范围为(1,2) B．y 的取值范围为(2,1) C．x y 的取值范围为()3,3 D．x y 的取值范围为(1,3)【答案】ABD 【详解】因为124x y ，所以2428x y .因为322x y ，所以5510x ，则12x ，故A 正确；因为322x y ，所以6244x y .因为124x y ，所以421x y ，所以1055y ，所以21y ，故B 正确；因为322124x y x y ，，所以9361142,2555555x y x y（）（），则22x y ，故C 错误；因为322124x y x y ，，所以213331222555555x y x y（），（），则13x y ，故D 正确.故选：ABD.14、已知660a ，1518b ，则下列正确的是（）A．1,43a bB． 21,78a b C．9,42a b D．739,59a b b【答案】AB因为660a ，1518b ，所以1111815b ，1815b ，则6601815a b ，6156018a b ，6186015a b ，即143a b ，2178a b ，1245a b ，则41,53a b a b b；故AB 正确，CD 错.故选：AB.15、已知实数,x y 满足13,429x y x y ，则（）A．14x B．21y C．2415x y D．163x y 【答案】AC 【详解】因为13,429,3312x y x y x ，所以14x ，A 正确；因为6222429x y x y，所以2311y ，解得11233y ，B 错误；因为 422x y x y x y ， 226,429x y x y ，所以2415x y ，C 正确；12233x y x y x y， 11821,263333x y x y ，所以51933x y ，D 错误.故选：AC.16、已知14,263x y x y ，则34z x y 的取值范围是________________.【答案】[0,11]；【详解】解： 3426z x y x y x y ，因为14,263x y x y ，所以 228x y ，所以 02611x y x y ，故答案为:[0,11]17、已知122,34a b a b ，则4a b 的取值范围是____________.【答案】(5,10)【详解】解：令4(2)()(2)()a b m a b n a b m n a m n b ，则241m n m n ，解得12m n，所以4(2)2()a b a b a b ，因为34a b ，所以62()8a b ，因为122a b ，所以1622()28a b a b ，所以5410a b ，所以4a b 的取值范围为(5,10)，故答案为：(5,10)18、已知14,24x y x y ，则32x y 的取值范围是_____．【答案】3(,12)2【详解】设,x y m x y n ，因此得：,22m n m nx y，14,24m n ，532322222m n m n m nx y，因为14,24m n ，所以5510,12222m n，因此3512222m n ，所以332122x y.故答案为：3(,12)219、若810x ，24y ，则2x y 的范围是___________，xy的范围是___________．【答案】 12,18； 2,5【详解】因为810x ，所以16220x ，由24y 可得42y ，所以12218x y ，由24y 可得11142y ，因为810x ，所以25xy，所以2x y 的范围是 12,18，xy的范围是 2,5，故答案为： 12,18； 2,5.20、设46,12a b ，则aa b的取值范围是________（取值范围写成区间形式）【答案】(0,3)【详解】解：由12b ，得1112b，所以1112b，所以1111112b ，即11012b ，因为46a ，所以1140(162a b ，即03aa b，所以aa b的取值范围是(0,3)，故答案为：(0,3)21、已知,,a b c R ，满足a b c .（1）求证：1110a b b c c a；（2）现推广：把1c a 的分子改为另一个大于1的正整数p ，使110pa b b c c a对任意a b c 恒成立，试写出一个p ，并证明之.【答案】（1）证明见解析；（2）2p ，证明见解析.【详解】（1）由于a b c ，所以0a b ，0b c ，0a c ，要证1110a b b c c a，只需证明111()()0a c a b b c c a.左边111[()()](a b b c a b b c c a130b c a b a b b c（2）要使110p a b b c c a，只需11()()0pa c ab bc c a ，左边11[()()]()24p b c a ba b b c p p a b b c c a a b b c，所以只需40p 即可，即4p ，所以可以取2p ，3代入上面过程即可.22、（1）已知,a b c d ，求证：a c b d ；（2）已知,0a b ab ，求证：11a b；（3）已知0,0a b c d ，求证：a bc d.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【详解】证明：（1）因为,a b c d ，所以,a b c d .则a c b d .（2）因为0ab ，所以10ab.又因为a b ，所以1a b ab ab，即11b a ，因此11a b .（3）因为0c d ，根据（2）的结论，得110c d.又因为0a b ，则11a b c d，即a b c d.23、若0a b ，0c d ,||||b c （1）求证：0b c ；（2）求证：22()()b c a da cb d ；（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足2()b c a c 所求式2()a db d ？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）能，222()()()b c b c a da cb d b d .【详解】（1）因为||||b c ，且0,0b c ，所以b c ，所以0b c .（2）因为0c d ，所以0c d ．又因为0a b ，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得0a c b d ．所以22()()0a c b d ．所以22110()()a c b d，因为,a b d c ，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a d b c ．所以0a d b c ，所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得22()()b c a da cb d .（3）因为0b c ，22110()()a c b d，所以22()()b c b ca cb d ，因为0b c a d ，210()b d ，所以22()()b c a db d b d ，所以222()()()b c b c a da cb d b d .所以在（2）中的不等式中，能找到一个代数式2()b cb d 满足题意.24、设27a ，12b ，求 a b ， a b ，ab的范围．【答案】19a b ，46a b ，27ab．【详解】∵27a ，12b ，∴19a b ，21b ，1112b，∴46a b ；当20a 时，02a ，则02a b ，所以20ab；当0a 时，0ab；当07a 时，07a b，综上，27a b ，故19a b ，46a b ，27a b．25、实数,a b 满足32a b ，14a b ．（1）求实数,a b 的取值范围；（2）求32a b 的取值范围．【答案】（1）23a ，7322b；（2）43211a b ．【分析】（1）直接利用不等式的性质即可求得a ，b 的取值范围；（2）设32()()a b m a b n a b ，求解m ，n 的值，再由不等式的可乘积性与可加性求得32a b 的取值范围．【详解】（1）由32a b ，14a b ，两式相加得，426a ，则23a ，由14a b ，得41a b ，又32a b ，两式相加得，723b ，即7322b ；（2）设 32a b m a b n a b m n a m n b ，则32m n m n ，解得1252m n，∴ 153222a b a b a b ，∵32,14a b a b ，∴ 31551,102222a b a b ，则43211a b ．。
高三数学不等式的性质试题答案及解析
高三数学不等式的性质试题答案及解析1.若，，则一定有（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，又.选D【考点】不等式的基本性质.2.已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是()A．a>b B．a＝bC．a<b D．a，b的大小不确定【答案】C【解析】a＝－＝，b＝－＝，因为＋>＋，所以a<b，故选C.3.已知a，b，c∈{正实数}，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n>2时比较c n与a n＋b n的大小．【答案】a n＋b n<c n.【解析】解：∵a，b，c∈{正实数}，∴a n，b n，c n>0，而＝()n＋()n.∵a2＋b2＝c2，则()2＋()2＝1，∴0<<1,0<<1.∵n∈N，n>2，∴()n<()2，()n<()2，∴＝()n＋()n<＝1，∴a n＋b n<c n.4.若，则下列不等式中成立的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】A: ，∴，∴A错误；B：∵，∴，∴B错误；C：，∴C正确；D：，∴D错误.【考点】不等式的性质、作差比较大小.5. [2014·银川质检]当x∈(0，＋∞)时可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋()2≥3，由此可以推广为x＋≥n＋1，取值p等于 ()A．n n B．n2C．n D．n＋1【答案】A【解析】∵x∈(0，＋∞)时可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋()2≥3，∴在p位置出现的数恰好是不等式左边分母x n的指数n的n次方，即p＝n n.6. (2014·鄂州模拟)已知函数f(x)=x2,g(x)=-m,当x∈[1,2]时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数m的取值范围是()A．B．C．(3,+∞)D．(4,+∞)【答案】B【解析】不等式f(x)≥g(x),即x2≥-m,因此m≥-x2.令h(x)=-x2,由于h(x)在[1,2]上单调递减,所以h(x)的最大值是h(1)=-,因此实数m的取值范围是.7.已知a,b,c,d∈R,用分析法证明：ac+bd≤并指明等号何时成立.【答案】见解析【解析】(1)当ac+bd≤0时,≥0,故不等式显然成立,此时a=b=c=d=0时等号成立.(2)当ac+bd>0时,要证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2.即证2abcd≤a2d2+b2c2,即0≤(bc-ad)2.因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,故不等式成立,此时等号成立的条件为bc=ad.所以由(1)(2)知原不等式成立.8.已知，则a,b,c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a【答案】A【解析】，∴a＜b＜c．9.设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则知即所以即；令，满足，但.所以是的充分而不必要条件.选.【考点】充要条件.10.若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（）A．0B．﹣2C．D．﹣3【答案】C【解析】设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x=若≥，即a≤﹣1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）≥0⇒﹣≤a≤﹣1若≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）=1＞0恒成立，故a≥0若0≤≤，即﹣1≤a≤0，则应有f（）=恒成立，故﹣1≤a≤0综上，有﹣≤a．故选C11.若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式恒成立，则c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，可以看作是点P(m,n)在直线的右侧，而点P(m,n)在圆上，实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。
第04讲 等式与不等式性质(含糖水不等式)(解析版)-2025版高中数学一轮复习考点帮
第04讲等式与不等式性质（含糖水不等式）（6类核心考点精讲精练）【备考策略】1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围4.能利用糖水不等式解决不等式的相关问题1.等式的性质性质1如果b a =，那么________；性质2如果b a =，c b =，那么________；性质3如果b a =，那么________；性质4如果b a =，那么________；性质5如果b a =，0≠c ，那么________；【答案】ab =c a =c b c a ±=±bcac =cb c a =2.比较两个实数大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：0a b ->⇔；0a b -=⇔；0a b -<⇔另外，若0b >，则有1a a b b >⇔>；1aa b b =⇔=；1a a b b<⇔<.【答案】a b>a b=a b<3.不等式的基本性质：（1）对称性：．（2）传递性：．（3）可加性：．（4）可积性：①；②．（5）同向可加性：；异向可减性：．（6）同向正数可乘性；异向异号可乘性：；异向正数可除性：．（7）乘方法则：（n +∈N ，2n ≥）．（8）开方法则：（n +∈N ，2n ≥）．（9）倒数法则：；．【答案】a b b a>⇔<ca cb b a >⇔>>,a b ac b c>⇔+>+,0a b c ac bc>>⇒>,0a b c ac bc ><⇒<,a b c d a c b d>>⇒+>+,a b c d a c b d><⇒->-0,0a b c d ac bd >>>>⇒>0,0a b c d ac bd>><<⇒<0,0a b a b c d c d>><<⇒<0n na b a b >>⇒>0a b >>⇒110a b a b>>⇒<110a b a b<<⇒>4.糖水不等式及其变形若实数a ，b ，c ，满足0a b >>，0m >，则b a _____b m a m ++，b a _____b －m a －m ，(b －m ＞0)；ab _____a ＋m b ＋m ；a b _____a －mb －m，(b －m ＞0)（用不等号填空）．【答案】<＞＞＜5.对数型糖水不等式及其变形(1)设n N +∈,且1n >,则有12log log (1)n n n n ++<+(2)设1,0a b m >>>,则有log log ()a a mb b m +<+(3)上式的倒数形式：设1,0a b m >>>,则有log log ()b b m a a m +>+1．（2024·上海杨浦·二模）已知实数a ，b ，c ，d 满足：0a b c d >>>>，则下列不等式一定正确的是（）A ．a d b c +>+B ．ad bc >C ．a c b d +>+D ．ac bd >【答案】C【分析】举例说明判断ABD ；利用不等式的性质推理判断C.【详解】对于ABD ，取2,1,2,4a b c d ===-=-，满足0a b c d >>>>，显然21a d b c +=-<-=+，82ad bc =-<-=，4ac bd =-=，ABD 错误；对于C ，0a b c d >>>>，则a c b d +>+，C 正确.故选：C2．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（）A ．若a b >，则b c ba c a+>+B ．若a b >，c d >，则a d b c ->-C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若a b >，则11a b a>-【答案】B【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可.【详解】对于A ，可以取2a =，1b =，1c =-，此时b c ba c a+<+，所以A 错误.对于B ：∵c d >，∴d c ->-，因为a b >，所以a d b c ->-，故B 正确；对于C ：取2a =-，1b =-时，则24a =，2ab =，21b =，则22a ab b >>，故C 错误；对于D ：当1a =，1b =-时，112a b =-，11a=，则11a b a <-，故D 错误；故选：B.1．（2024·全国·模拟预测）已知x y >，则下列不等式正确的是（）A ．11x y -<-B ．22x y >C ．||1x y>D ．xz yz>【答案】A【分析】利用不等式的性质可判断A 项正确，D 项错误，通过举反例可说明B,C 两项错误.【详解】 ,,11x y x y x y >∴-<-∴-+<-+，即11x y -<-，故选项A 正确；当1,2x y =-=-时，满足x y >，但221,4x y ==，此时22x y <，11||||122x y -==<-，故选项B ，C 错误；当0z <时，由x y >可得xz yz <，故选项D 错误.故选:A ．2．（2024·北京丰台·二模）若,a b ∈R ，且a b >，则（）A ．221111a b <++B ．22a b ab >C ．22a ab b >>D ．2a ba b +>>【答案】D【分析】举反例即可求解ABC ，根据不等式的性质即可求解D.【详解】由于a b >，取1,1a b ==-，22111112a b =++=，221a b ab ==，无法得到221111a b <++，22a b ab >，故AB 错误，取0,2a b ==-,则220,0,4a ab b ===，无法得到22a ab b >>，C 错误，由于a b >，则22a b a b >+>，所以2a ba b +>>，故选：D1．（2023高三·全国·专题练习）已知4ππ3αβ<+<，ππ3αβ-<-<-，求2αβ-的取值范围为.【答案】ππ,6⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先利用待定系数法得到()()13222αβαβαβ-=++-，再利用不等式的性质即可得解.【详解】设()()()()2,,R x y x y x y x y αβαβαβαβ-=++-=++-∈，则21x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()()13222αβαβαβ-=++-，因为4ππ3αβ<+<，ππ3αβ-<-<-，所以()π12π223αβ<+<，()3π3π222αβ-<-<-，所以ππ26αβ-<-<．则2αβ-的取值范围为ππ,6⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：ππ,6⎛⎫- ⎪⎝⎭.2．（2024·河北石家庄·二模）若实数,,0x y z ≥，且4,25x y z x y z ++=-+=，则435M x y z =++的取值范围是.【答案】[]15,19【分析】先得到23,133z z x y =-=-，并根据,,0x y z ≥得到03z ≤≤，从而求出[]41515,193M z=+∈.【详解】因为4,25x y z x y z +=--=-，故23,133z zx y =-=-，由,,0x y z ≥得23031030zzz ⎧-≥⎪⎪⎪-≥⎨⎪≥⎪⎪⎩，解得03z ≤≤，故[]2433151515,195433343M y z z z z x z ⎛⎫⎛⎫-+-+=+∈ ⎪ ⎪=++⎝⎭⎝=⎭.故答案为：[]15,191．（2024高三·全国·专题练习）已知1260,1536a b <<<<，则a b -的取值范围是，ab的取值范围是.【答案】(24,45)-1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】因为1536b <<，所以3615b <<---.又1260a <<，所以12366015a b -<-<-，所以2445a b -<-<，即a b -的取值范围是(24,45)-.因为1113615b <<所以12603615a b <<，即143ab<<，所以a b 的取值范围是1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：(24,45)-,1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（23-24高三·安徽·阶段练习）已知12x y ≤-≤，24x y ≤+≤，则3x y -的最小值.【答案】4【分析】利用不等式的性质求解.【详解】设3()()()()x y m x y n x y m n x m n y -=-++=++-+，所以31m n m n +=⎧⎨-+=-⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩，所以22()4,24x y x y ≤-≤≤+≤，所以42()8x y x y ≤-++≤，即438x y ≤-≤，所以3x y -的最小值为4，当2()22x y x y -=⎧⎨+=⎩，即3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取得最小值，故答案为:4.3．（2024·浙江·模拟预测）已知正数a b c ，，满足22221625a c b c +=+=，，则22=+k a b 的取值范围为．【答案】941k <<【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】正数a 、b 、c 满足2216a c +=，2225b c +=，2216c a ∴=-，20a >所以2016c <<同理：有2225c b =-得到2025c <<，所以2016c <<两式相加：222241a b c ++=即222412a b c +=-又2160c -<-< ,即23220c -<-<2941241c ∴<-<即941k <<．故答案为：941k <<1．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a ，b 满足a b >，求证：3322a b a b ab ->-.【答案】证明见解析【分析】利用作差法比较大小即可证明.【详解】()()()()332232322222a b a b ab a ab b a b a a b b a b---=+-+=+-+()22()a b a b =-+，因为a b >，所以()22()0a b a b -+>，所以3322a b a b ab ->-.2．（上海浦东新·阶段练习）设0a b >>，比较2222a b a b-+与a b a b -+的大小【答案】2222a b a ba b a b-->++【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.【详解】00,0a b a b a b >>⇒+>-> ，()()2222220,0a b a b a b a ba b a b a b+---∴=>>+++，222222222()211a b a b ab a b a b a b a b a b-++∴==+>-+++，2222a b a ba b a b--∴>++.1．（2024高三·全国·专题练习）已知,a b 为正实数．求证：22a ba b b a+>+.【答案】证明见解析【分析】根据题意，化简得到()222()()a b a b a b a b b a ab-++-+=，结合不等式的性质，即可得证.【详解】证明：因为()223322222()()()()a b a b a b ab a a b b a b a b a b a b b a ab ab ab+------++-+===，又因为0,0a b >>，所以2()()0a b a b ab-+≥，当且仅当a b =时等号成立，所以22a b a b b a+>+.2．若0a b >>，求证：2()a b a b a b ab +>．【答案】证明见解析【分析】作商法证明不等式.【详解】证明：∵a >b >0，∴1>ab，且0a b ->．∴作商得：221()a b a b a b a b a b ab -+⎛⎫=> ⎪⎝⎭．∴2()a b a b a b ab +>．1．（2023高三·全国·专题练习）证明命题：“若在ABC 中a b c 、、分别为角、、A B C 所对的边长，则111c a bc a b<++++”【答案】证明见解析【分析】由作差法证明()()11111c a b c c a b a a c c a b c a b a b a b++-+<==+++++-++++++，再由,1111a a b b a b a a b b<<++++++证明111c a bc a b <++++.【详解】证明：取1,cd a b c m +=+-=，()()()()()c d m d c m m c d c c m d d m d d m d d m +-+-+-==+++因为0,0d c m >>>，所以()()0m c d d d m -<+，即c c m d d m+<+.所以()()11111c a b c c a b a ac c a b c a b a b a b++-+<==+++++-++++++又因为,1111a a b b a b a a b b<<++++++，故1111a a a ba b a b a b +<+++++++，所以111c a bc a b<++++.1．（1）设0b a >>，0m >，证明：a a mb b m+<+；（2）设0x >，0y >，0z >，证明：12x y z x y y z z x<++<+++.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据作差法证明即可；（2）由于x x x y x y z >+++，故1x y z x y y z z x <+++++，再结合（1）的结论易证2x y zx y y z z x++<+++.【详解】证明：（1）因为0b a >>，0m >，所以0a b -<，0b m +>。
高三数学不等式的性质试题答案及解析
高三数学不等式的性质试题答案及解析1.已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是()A．a>ab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a【答案】D【解析】∵a<0，－1<b<0，∴ab2－a＝a(b2－1)>0，ab－ab2＝ab(1－b)>0.∴ab>ab2>a.也可利用特殊值法，取a＝－2，b＝－，则ab2＝－，ab＝1，从而ab>ab2>a.故应选D.2.已知－3<b<a<－1，－2<c<－1，则(a－b)c2的取值范围是________．【答案】(0,8)【解析】依题意0<a－b<2,1<c2<4，所以0<(a－b)c2<8.3.已知实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围为________．【答案】(－∞，－1)【解析】若a<0，则b2<1<b，产生矛盾，所以a>0，则b2>1>b，解得b∈(－∞，－1)．4.已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是()A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|【答案】C【解析】因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0,3z<x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0.所以由，可得xy>xz，故选C.5. [2014·西安模拟]设α∈(0，)，β∈[0，]，那么2α－的取值范围是()A．(0，)B．(－，)C．(0，π)D．(－，π)【答案】D【解析】由题设得0<2α<π，0≤≤，∴－≤－≤0，∴－<2α－<π.6.(2014·十堰模拟)若不等式-a<x-1<a成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围是________.【答案】a≥3【解析】设A={x|-a<x-1<a}={x|1-a<x<1+a},B={x|0<x<4},依题意知B⊆A,因此解得a≥3. 7.已知a>b>1，c<0，给出下列四个结论：①>；②a c<b c；③logb (a－c)>loga(b－c)；④b a－c>a b－c．其中所有正确结论的序号是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】A【解析】a>b>1⇒，又c<0，故>，故①正确；由c<0知，y＝x c在(0，＋∞)上是减函数，故a c<b c．故②正确．由已知得a－c>b－c>1．故logb (a－c)>logb(b－c)．由a>b>1得0<loga (b－c)<logb(b－c)，故logb (a－c)>loga(b－c)．故③正确．8.若P=+,Q=+(a≥0),则P、Q的大小关系是() A．P>Q B．P=QC．P<Q D．由a的取值确定【答案】C【解析】要证P<Q,只需证P2<Q2,即证2a+7+2<2a+7+2,只需证a2+7a<a2+7a+12,只需证0<12成立,∵0<12成立,∴P<Q成立.故选C.9.设a、b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是()A．b-a>0B．a3+b3<0C．a2-b2<0D．b+a>0【答案】D【解析】∵a-|b|>0,∴|b|<a,∴a>0,∴-a<b<a,∴b+a>0.10.>1的一个充分不必要条件是()A．x>y B．x>y>0C．x<y D．y<x<0【答案】B【解析】若x>y>0时>1,但>1时>0,不一定有x>y>0.故选B.11.观察下列不等式：1＋>1，1＋＋…＋>，1＋＋…＋>2，1＋＋…＋>，…，照此规律，第6个不等式_________________．【答案】1＋＋…＋>【解析】观察不等式：1＋＋>1＝；1＋＋…＋>；1＋＋…＋>；1＋＋…＋>；……所以由此猜测第6个不等式为1＋＋…＋>.12.设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．【答案】27【解析】根据不等式的基本性质求解. 2∈[16,81]，∈，＝2·∈[2,27]，的最大值是27.13.已知a＞b＞0，给出下列四个不等式：①a2＞b2；②2a＞2b－1；③＞－；④a3＋b3＞2a2b.其中一定成立的不等式序号为________．【答案】①②③【解析】因为a＞b＞0⇒a2＞b2，故①正确；a＞b＞0⇒a＞b－1⇒2a＞2b－1，故②正确；因为a＞b＞0⇒ab＞b2＞0⇒＞b＞0，而()2－(－)2＝a－b－a－b＋2 ＝2(－b)＞0，所以③正确；因为当a＝3，b＝2时，a3＋b3＝35＜2a2b＝36，故④不正确．14.已知函数.（Ⅰ）若，使得不等式成立，求的取值范围；（Ⅱ）求使得等式成立的的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据=求出的最小值，从而求得得不等式成立的的取值范围．（Ⅱ）由=，可知当且仅当时有，从而成立.解不等式由此求得的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由= 3分使得不等式成立的的取值范围是 5分（Ⅱ）由= 7分所以，当且仅当时取等 9分所以的取值范围是 10分【考点】1、绝对值不等式的性质；2、绝对值不等式的解法．15.设，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时，都不成立，当然只能选D，事实上由于函数是增函数，故是正确的．【考点】不等式的性质．16.设，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时，都不成立，当然只能选D，事实上由于函数是增函数，故是正确的．【考点】不等式的性质．17.设非零实数满足，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则无意义，则A不正确；当时，，当时，，故B不正确；令，则，故C不正确；时，则，故D正确.【考点】不等式的运算.18.已知，.（1）求的最小值；（2）证明：.【答案】（1）最小值为3；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生的分析问题的能力和转化能力.第一问，用基本不等式分别对和进行计算，利用不等式的可乘性，将两个式子乘在一起，得到所求的表达式的范围，注意等号成立的条件必须一致；第二问，先用基本不等式将，，变形，再把它们加在一起，得出已知中出现的，从而求出最小值，而所求证的式子的右边，须作差比较大小，只需证出差值小于0即可.试题解析：（Ⅰ）因为，，所以，即，当且仅当时，取最小值3． 5分（Ⅱ）．又，所以．【考点】1.基本不等式；2.不等式的性质；3.作差比较大小.19.设函数（1）若的最小值为3，求的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力以及计算能力.第一问，利用不等式的性质，得出的最小值，列出等式，解出的值；第二问，解含参绝对值不等式，用零点分段法去掉绝对值，由于已知中有和4的大小，所以直接解不等式即可，最后综合上述所得不等式的解集.试题解析：⑴因为因为,所以当且仅当时等号成立,故为所求. 4分⑵不等式即不等式，①当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.②当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.③当时，原不等式可化为即由于时所以，当时，原不等式成立.综合①②③可知：不等式的解集为 10分【考点】1.不等式的性质；2.绝对值不等式的解法.20.集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是( )A．,B．,C．,D．,【答案】B【解析】从集合的定义，可三个不等式，也可得三个不等式，组合之后可知满足不等关系且，或且，或且，或且，这样可能有或或或，于是不一定成立，也不一定成立，故A，C，D都不能选，只能选B．【考点】不等关系．21.已知且，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】只有当时，选项A，B正确；要使，必须，所以选项C错误；当时，，所以D正确，故选D．【考点】不等式的性质．22.已知x、y、z∈R,且，则的最小值为 .【答案】【解析】由柯西不等式，，因为.所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.【考点】柯西不等式23.若是任意实数，，则下列不等式成立的是( )A．B．C．D．【答案】Ｄ【解析】当时，，可排除Ａ，Ｂ，Ｃ，故选Ｄ．【考点】不等式性质．24.若a，b R＋，a＋b＝1，则ab＋的最小值为 .【答案】【解析】由a，b R＋，a＋b＝1得 ab，a=b时取等号，ab＋=ab+=ab+=ab+=2+ab4+ab4+=，a=b时取等号.【考点】基本不等式的性质的应用.25.当时，则下列大小关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解析】取得，，故，故选Ｃ．【考点】比较大小．26.已知，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】不等式基本性质.27.设为正实数，满足，则的最小值是．【答案】3【解析】由已知得，∵，∴，即，两边同时平方得，.【考点】1、不等式的性质；2、基本不等式.28.已知正数满足则的取值范围是 .【答案】【解析】.由得：.所以，当时取等号.又当时，，所以.【考点】不等式的应用.29.已知函数（1）试求使等式成立的x的取值范围；（2）若关于x的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设=，利用零点分段法，将和写成分段函数的形式，然后观察=时自变量的取值范围即可；（2）这是不等式的有解问题，利用绝对值三角不等式求的最小值，.试题解析：（1）由=，又=，故使等式成立的x的取值范围为；（2）.【考点】1、零点分段法去绝对号；2、绝对值三角不等式；3、不等式有解问题.30.成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处【答案】A【解析】设仓库到车站的距离是千米，那么有，，将，，分别代入两个式子，可得，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处.【考点】基本不等式及其应用31.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，，令，令，则，，，所以，所以.选B.【考点】1.不等式的性质； 2.恒成立问题.32.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】由题意，，令，令，则，，，所以，所以.【考点】1.不等式的性质； 2.恒成立问题.33.设为实数，若，则的最大值是。
高中数学不等式性质专项训练(含答案)
高中数学不等式性质专项训练1．设a,b,c,d ∈R,若a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|,则有 ( )A. ad=bcB. ad<bcC. ad>bcD. ad≤bc2．若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式恒成立，则c 的取值范围是（ ） A.B.C.D. 3．若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b <D ．若0a b <<，则b a a b> 4．设11a b >>>-，则下列不等式中一定成立的是C. 2a b >D. 22a b > 5．设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是 （ ）A ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++D 6．设a,b,c,d ∈(0,+∞),若a+d=b+c 且|a-d|<|b-c|,则有( )(A)ad=bc (B)ad<bc(C)ad>bc (D)ad ≤bc7．已知a,b,c 满足c<b<a 且ac<0,则下列选项中不一定能成立的是( )8．若实数x ，y 满足不等式xy ＞1，x ＋y≥－2，则( )A ．x ＞0，y ＞0B ．x ＜0，y ＜0C ．x ＞0，y ＜0D ．x ＜0，y ＞09．若实数a,b 满足a+b<0,则( )(A)a,b 都小于0(B)a,b 都大于0(C)a,b 中至少有一个大于0(D)a,b 中至少有一个小于010．如果a<0,b<0,则必有( )(A)a 3+b 3≥ab 2+a 2b (B)a 3+b 3≤ab 2+a 2b(C)a 3+b 3>ab 2+a 2b (D)a 3+b 3<ab 2+a 2b11．已知a ，b ，c 是实数，给出下列四个命题：①若a >a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ；③若ac 2>bc 2，则a >b ；④若c >a >b >0的序号是( )．A ．①④B ．①②④C ．③④D ．②③12．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是( )A ．a c b c +≥-B ．2()0a b c -≥C ．ac bc > 13．已知1(,1)x e -∈，（ ）A ．c b a >>B 14．设,,a b c 都是正数， ( )．A ．M N ≥B ．M N <C ．M N =D ．M N ≤15．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x a 的取值范围是A ．a ≥0B ．a ≥－2C ．aD ．a ≥－316．已知,则ab 应满足的条件是 . 17．已知-3<b<a<-1,-2<c<-1,则(a-b)c 2的取值范围是 .18．已知a ＞b ＞0，给出下列四个不等式：①a 2＞b 2；②2a ＞2b －1；④a 3＋b 3＞2a 2b .其中一定成立的不等式序号为________．19．若至少存在一个0x >，使得关于x 的不等式22||x x a <--成立，则实数a 的取值范围为 ．20．已知a≥b>0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.21．已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)的解集为M.(1).求M;(2).当a,b ∈M 时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.22．（设函数f(x)＝｜x ＋a ｜－｜x －4｜，x ∈R（1）当a=1时，解不等式f （x ）＜2；（2）若关于x 的不等式f(x)≤5－｜a ＋l ｜恒成立，求实数a 的取值范围．23，且(2)0f x -≤的解集为[3,1]-.（1）求m 的值；（2）已知c b a ,,都是正数，且a b c m ++=，求证：答案第1页，总1页 参考答案1．C2．D3．B4．A5．B6．C7．C8．A9．D10．B11．C12．D13．B14．A15．C16．ab>0或ab<-117．(0,8)18．①②③1920．见解析21．（1）{}22|<<-=x x M ；（2）证明过程详见解析.22．（1（2）50a -≤≤. 23．（1）2；（2）参考解析。
高考数学最新真题专题解析—等式与不等式
高考数学最新真题专题解析—等式与不等式考向一 基本不等式的应用【母题来源】2022年新高考全国II 卷【母题题文】若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ）A. 1x y +≤B. 2x y +≥-C. 222x y +≤D. 221x y +≥ 【答案】BC【试题解析】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（,a b R ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos sin 2y x y θθ-==，所以cos ,33x y θθθ=+=，因此2222511cos sin cos 12cos 233333x y θθθθ=θ-θ+=+++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当3333x y ==-时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．【命题意图】本题考查基本不等式及其应用，属于中高档题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度有易有难，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）利用不等式比较大小；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的条件 【得分要点】（1）对原不等式进行化简、变形；（2）符合基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，用基本不等式求解； （3）判断等号成立的条件； （4）利用“1”的合理变换是解题.考向二 线性规划【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（ ）A. 2-B. 4C. 8D. 12【答案】C【试题解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示， 转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大，所以max 2408z =⨯-=.故选：C.【命题意图】本题考查线性规划及其应用，属于比较容易题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度较小，是历年高考的热点，考查学生的基本作图能力和运算能力． 常见的命题角度有：（1）线性规划求最值；（2）利用线性规划求参数的值；【得分要点】1.正确画出可行域；2.确定目标函数平移的方向决定取得最大值或最小值。
高中数学高考总复习不等式的性质及解法习题及详解
高中数学高考总复习不等式的性质及解法习题及详解一、选择题1．(文)(2010·深圳市深圳中学)不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x |x >1} B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1且x ＝－2}D ．{x |x ≥1或x ＝－2}[答案] D[解析] 不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0x ＋2≥0或x ＋2＝0，∴x ≥1或x ＝－2，故选D.(理)(2010·天津文，7)设集合A ＝{x |x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a |≤2，或a ≥4}C ．{a |a ≤0，或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4} [答案] C[解析] |x －a |<1⇒a －1<x <a ＋1，又∵A ∩B ＝∅， ∴a ＋1≤1或a －1≥5，∴a ≤0或a ≥6.2．(2010·湖南株洲二中)已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，部分对应值如下表．f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．若实数a 满足f (2a ＋1)<1，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，32 B.⎝⎭⎫－12，32 C.⎝⎛⎭⎫12，72D.⎝⎛⎭⎫－32，32 [答案] D[解析] 由f ′(x )的图象知，f (x )在[－2,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又由表知若f (2a ＋1)<1，则－2<2a ＋1<4，∴－32<a <32.3．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( )A ．f (－a 2)≤f (－1)B ．f (－a 2)<f (－1)C ．f (－a 2)≥f (－1)D ．f (－a 2)与f (－1)的大小关系不确定 [答案] A[分析] 比较函数值的大小，一般可考虑应用函数的单调性，故可先用导数研究f (x )的单调性，再在单调区间内比较大小．[解析] 由题意可得f ′(x )＝32x 2－2x －72.由f ′(x )＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73.当x <－1时，f (x )为增函数；当－1<x <73时，f (x )为减函数．所以f (－1)是函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，73上的最大值， 又因为－a 2≤0，故f (－a 2)≤f (－1)．4．(2010·河北唐山)若a 2＋b 2>1，则下列不等式成立的是( ) A ．|a |＋|b |>1 B ．|a ＋b |>1 C ．|ab |>1D ．|a |>1且|b |>1[答案] A[解析] 取a ＝0，b ＝2，排除C 、D ；取a ＝－1，b ＝1，排除B ，故选A.5．(2010·重庆南开中学)已知实数x 满足x 2＋x <0，则x 2，x ，－x 的大小关系是( ) A ．－x <x <x 2 B ．x <－x <x 2 C ．x 2<x <－xD ．x <x 2<－x[答案] D[解析] ∵x 2＋x <0，∴－1<x <0， ∴0<x 2<1,0<－x <1， 又x 2－(－x )＝x 2＋x <0， ∴x 2<－x ，故x <x 2<－x .[点评] 可取特值检验，由x 2＋x <0得－1<x <0，取x ＝－13知，x <x 2<－x .6．(文)(2010·河南南阳市调研)不等式⎪⎪⎪⎪x 1－x >x1－x 的解集为( ) A ．{x |0<x <1} B ．{x |x <0或x >1} C ．{x |x >0}D ．{x |x <1}[答案] B[解析] ∵⎪⎪⎪⎪x 1－x >x 1－x ，∴x1－x <0，∴x (x －1)>0，∴x <0或x >1. (理)(2010·重庆市)不等式⎪⎪⎪⎪2x －1x >2－1x 的解集是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |0<x <12}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x >12}[答案] B[解析] ⎪⎪⎪⎪2x －1x >2－1x ，即⎪⎪⎪⎪2－1x >2－1x ， ∴2－1x <0，∴0<x <12.[点评] a ≥0时，|a |＝a ；a <0时，|a |＝－a >a .由1x >2不要仅得出x <12，应注意1x >2隐含x >0.7．(2010·金华十校)已知f (x )＝⎩⎨⎧ln 1xx >01x x <0，则f (x )>－1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，e )B ．(－∞，－1)∪(e ，＋∞)C ．(－1,0)∪(e ，＋∞)D ．(－1,0)∪(0，e ) [答案] A[解析] 不等式f (x )>－1化为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x >0ln 1x >－1或⎩⎪⎨⎪⎧x <01x>－1， ∴1x >1e或x <－1，∴0<x <e 或x <－1. 8．(文)(2010·山东肥城联考)已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3[答案] A[解析] 由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}， 由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，选A.(理)(2010·山东肥城联考)关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1[答案] C[解析] 方程x 2－ax －20a 2＝0的两根是x 1＝－4a ，x 2＝5a ，则由关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，得|x 1－x 2|＝|9a |≤9，即－1≤a ≤1，且a ≠0，故选C.9．(2010·浙江杭州质检)设函数f (x )＝ln(x －1)(2－x )的定义域是A ，函数g (x )＝ln(a x －2x－1)的定义域是B ，若A ⊆B ，则正数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a ≥3C ．a > 5D ．a ≥ 5[答案] B[解析] 由(x －1)(2－x )>0得：1<x <2，∴A ＝{x |1<x <2}；由a x －2x －1>0得a x －2x >1，∴a x >2x ＋1，其解集为B ，∴A ⊆B ，∴a ≥3.[点评] 显然当0<a <1时，a x >2x ＋1在(1,2)上不成立，∴a >1，在同一坐标系中作出y ＝a x 与y ＝2x ＋1的图象，要使A ⊆B ，须使y ＝a x 在(1,2)上的图象位于y ＝2x ＋1的上方，当a ＝1时，y ＝21＋1＝3，故a ≥3.10．(文)(2010·北京顺义一中月考)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|≤1成立，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“密切函数”，区间[a ，b ]称为“密切区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x －3在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是( )A ．[1,4]B ．[2,4]C ．[3,4]D ．[2,3][答案] D[解析] 对任意x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|＝|x 2－3x ＋4－(2x －3)|＝|x 2－5x ＋7|＝|(x －52)2＋34|＝(x －52)2＋34≤1成立，∴(x －52)2≤14， ∴2≤x ≤3，因此选D.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 (x <0)－x (x ≥0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x (x ≤0)1＋x (x >0)，若g [f (x )]≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[0,1]D ．[－1,1][答案] B[解析] ①x ≥0时，f (x )＝－x ≤0， ∴g [f (x )]＝g (－x )＝1－(－x )＝1＋x ； ②当x <0时，f (x )＝x 2>0， ∴g [f (x )]＝g (x 2)＝1＋x 2；∴g [f (x )]min ＝g [f (0)]＝1，由g [f (x )]≥a 恒成立， 得a ≤1. 二、填空题11．(文)(2010·芜湖十二中)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )是单调递增的，则不等式f (x ＋1)>f (1－2x )的解集是________．[答案] (－∞，0)∪(2，＋∞)[解析] ∵f (x )在(－∞，0)上单调增，f (x )是偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上单调减， ∵f (x )为偶函数，∴不等式f (x ＋1)>f (1－2x )化为f (|x ＋1|)>f (|1－2x |) ∴|x ＋1|<|1－2x |，∴(x ＋1)2<(1－2x )2， ∴x <0或x >2.(理)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)0 (x <0)，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．[答案] (－∞，1][解析] 原不等式化为①⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ≤2x ≥0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x <0它们的解集分别为[0,1]，(－∞，0)，取并集得原不等式的解集为(－∞，1]．12．若命题“∃a ∈[1,3]，使ax 2＋(a －2)x －2>0”为真命题，则实数x 的取值范围是________．[答案] x <－1或x >23[分析] 本题解题时要注意，“∃a ∈[1,3]，使……为真命题”与“∀a ∈[1,3]，使……为真命题”含义的不同．然后进行等价转化．[解析] 令m (a )＝ax 2＋(a －2)x －2＝(x 2＋x )a －2x －2，m (a )是关于a 的一次函数， ∵命题“∃a ∈[1,3]，使ax 2＋(a －2)x －2>0”为真命题， ∴m (1)>0或m (3)>0，即x 2－x －2>0 ①或3x 2＋x －2>0 ②， 由①得x <－1或x >2；由②得x <－1或x >23.所以，所求实数x 的取值范围是x <－1或x >23.13．(2010·湖北黄冈)若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝|ad －bc |，则不等式log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪111x <0的解集为________．[答案] (0,1)∪(1,2) [解析] 据题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪111x ＝|x －1|，∴不等式log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪111x <0化为log 2|x －1|<0，∴0<|x －1|<1，∴1<x <2或0<x <1.14．(2010·上海奉贤区调研)不等式|x |≥a (x ＋1)对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－1,0][解析] 如图，当直线l 逆时针旋转到与x 轴重合时，直线l 总在y ＝|x |的图象的下方，∴－1≤a ≤0.三、解答题15．(文)已知关于x 的不等式：(a ＋1)x －3x －1<1.(1)当a ＝1时，解该不等式； (2)当a >0时，解该不等式．[解析] (1)当a ＝1时，不等式化为2x －3x －1<1，化为x －2x －1<0，∴1<x <2，解集为{x |1<x <2}．(2)a >0时，(a ＋1)x －3x －1<1⇔ax －2x －1<0⇔(ax －2)(x －1)<0，方程(ax －2)(x －1)＝0的两根x 1＝2a ，x 2＝1.①当2a＝1即a ＝2时，解集为∅②当2a >1即0<a <2时，解集为{x |1<x <2a}．③当2a <1即a >2时，解集为{x |2a<x <1}．(理)(2010·山师大附中模考)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对一切实数x 都成立．求实数a 的取值范围．[解析] 由已知：(x －a )⊗(x ＋a )<1， ∴(x －a )(1－x －a )<1， 即a 2－a －1<x 2－x .令t ＝x 2－x ，只需a 2－a －1<t min .t ＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，∵x ∈R ，∴t ≥－14. ∴a 2－a －1<－14，即4a 2－4a －3<0，解得：a ∈⎝⎛⎭⎫－12，32. 16．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8(0≤x ≤5)10.2 (x >5)，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律． (1)要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围内？ (2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ [解析] 依题意，G (x )＝x ＋2 设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8(0≤x ≤5)，8.2－x (x >5).(1)要使工厂有赢利，即解不等式f (x )>0，当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0 即x 2－8x ＋7<0，得1<x <7， ∴1<x ≤5.当x >5时，解不等式8.2－x >0，得 x <8.2， ∴5<x <8.2综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x <8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的范围内．(2)0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6 故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6 而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．17．已知函数f (x )＝12x 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e (x ∈R )在x ＝0和x ＝1处取得极值．(1)求d 的值及b ，c 的关系式(用c 表示b )，并指出c 的取值范围； (2)若函数f (x )在x ＝0处取得极大值． ①判断c 的取值范围；②若此时函数f (x )在x ＝1时取得最小值，求c 的取值范围． [解析] (1)∵f ′(x )＝2x 3＋3bx 2＋2cx ＋d ， 又∵f ′(0)＝f ′(1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝02＋3b ＋2c ＋d ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝0b ＝－2c ＋23.∵f ′(x )＝2x 3－2(c ＋1)x 2＋2cx ， 即f ′(x )＝2x (x －1)(x －c )， ∵f (x )在x ＝0和x ＝1处取得极值． ∴c ≠0且c ≠1，即c 的取值范围是{c ∈R |c ≠0且c ≠1}． (2)①∵f ′(x )＝2x (x －1)(x －c )，∴若c <0.当x ∈(c,0)时f ′(x )>0，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，∴f (x )在x ＝0处取得极大值； 若0<c <1，当x ∈(－∞，0)时f ′(x )<0，当x ∈(0，c )时f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝0处取得极小值；若c >1，当x ∈(－∞，0)时f ′(x )<0，当x ∈(0,1)时f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝0处取得极小值．综上，若f (x )在x ＝0处取得极大值，则c 的范围为(－∞，0)．②若c <0，当x ∈(－∞，c )时f ′(x )<0，x ∈(c,0)时f ′(x )>0，x ∈(0,1)时f ′(x )<0，x ∈(1，＋∞)时f ′(x )>0，∴函数f (x )只能在x ＝c 或x ＝1处取得最小值．要使f (x )在x ＝1处取得最小值，只要使得f (c )≥f (1)．∴12c 4－(2c ＋2)c 33＋c 3＋e ≥12－2c ＋23＋c ＋e . ∴c 4－2c 3＋2c －1≤0，即(c －1)3(c ＋1)≤0. ∵c <0，∴－1≤c <0，即c 的取值范围是[－1,0)．。
2024年新高一数学初升高衔接《等式性质与不等式性质》含答案解析
第06讲 等式性质与不等式性质模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．通过用不等式（组)表示实际问题，提升数学抽象与数学建模素养；2．通过比较两个实数的大小、不等式性质的应用，提升逻辑推理、数学运算素养；3．运用不等式的性质解决有关问题．知识点 1 不等关系与不等式1、不等式的概念（1）用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式．（2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式．2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系文字语言大于、高于、超过小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不多于、不超过符号语言><≥≤3、用不等式组表示不等式关系当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系．知识点 2 等式性质性质文字表述性质内容注意1对称性a b b a=⇔=可逆2传递性,a b b c a c==⇒=同向3可加、减性a b a c b c =⇔±=±可逆4可乘性a b ac bc=⇒=同向5可除性,0a b a b c c c=≠⇒=同向知识点 3 不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a 可逆2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 同向3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6正数同向可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向7正数乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正知识点 4 比较大小的方法1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；若a ＜b ，b ＜c ，那么a ＜c ．其中b 是介于a 与c 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．3、平方法：对两式先平方，再比较大小．【注意】（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质．考点一：用不等式（组）表示不等式关系例1．（23-24高一上·广东深圳·月考）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A 型货车载重量30吨，B 型货车载重量24吨，设派出A 型货车x 辆，B 型货车y 辆，则运输方案应满足的关系式是（ ）A ．54100x y +<B ．54100x y +≥C ．54100x y +>D ．54100x y +≤【变式1-1】（23-24高一上·贵州遵义·月考）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共40km ，其中靠近灭火前线5km 的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60km h ，设需摩托车运送的路段平均速度为km h x ，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x 应该满足的不等式为（ ）．A ．40160x>+B ．40160x<+C ．355160x+>D ．355160x+<【变式1-2】（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm ，且体积不超过372000cm ，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a ，b ，c （单位：cm ），这个规定用数学关系式可表示为（ ）A ．130a b c ++<且72000abc <B ．130a b c ++>且72000abc >C ．130a b c ++≤且72000abc ≤D ．130a b c ++≥且72000abc ≥【变式1-3】（22-23高一上·四川眉山·月考）将一根长为5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（ ）A ．25005x x ->⎧⎨<<⎩B ．251x -≥或521x -≥C ．52105x x -≥⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-≥⎨<<⎩考点二：比较实数（代数式）的大小例2. （23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元/斤()a b ≠，王大妈每周购买10元的白菜，李阿姨每周购买8斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为1m ，2m ，则1m 与2m 的大小关系为（ ）A ．12m m =B ．12m m >C ．12m m <D ．无法确定【变式2-1】（23-24高一上·江苏常州·期末）设a ，b ，m 都是正数，且a b <，记,a m ax y b m b +==+，则（ ）A ．x y >B ．x y=C ．x y< D ．x 与y 的大小与m的取值有关【变式2-2】（23-24高一上·陕西榆林·月考）设0a b >>，比较2222a b a b -+与a b a b -+的大小【变式2-3】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知0a >，0b >的大小；考点三：利用不等式的性质判断命题真假例3. （23-24高一上·河北石家庄·月考）若||||a b >，则下列不等式成立的是（ ）A ．0a b ->B ．11a b<C ．a b >D ．22a b >【变式3-1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若22a bc c >，则a b >C ．若a b >，cd >，则ac bd>D ．若0b a >>，则a c ab c b+>+【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）下列结论错误的是（）A ．若a b >，则ac bc <B ．若a b >，则11a b <C ．若a b >，则22a b >D ．若22ac bc >，则a b>【变式3-3】（23-24高一上·广西贺州·期末）（多选）若0a b >>，0c <，则下列不等关系正确的是（ ）A ．a c b c+>+B ．22a bc c >C ．ac bc >D ．11a b b a+>+考点四：利用不等式的性质求范围例4. （23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知23a <<，21b -<<-，则2a b -的取值范围是（ ）A ．[]6,7B ．()2,5C ．[]4,7D ．()5,8【变式4-1】（23-24高一上·江西景德镇·月考）已知3b a b <<-，则ab的取值范围为（ ）A ．03ab<<B ．03a b≤<C ．3a b >D ．13a b<<【变式4-2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则42a b -的取值范围是（ ）A ．{}410x x -<<B ．{}36x x -<<C ．{}214x x -<<D ．{}210x x -≤≤【变式4-3】（23-24高一上·吉林四平·期中）已知2236x y ≤+≤，3569x y -≤-≤，则113z x y =+的取值范围是（ ）A ．58933z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．5|273z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C ．8933z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{}327z z ≤≤考点五：利用不等式的性质证明不等式例5. （23-24高一上·河北保定·月考）设,,a b c ∈R ，0a b c ++=，1abc =.(1)证明：0ab bc ca ++<；(2)若a b >，证明33a b >.【变式5-1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式：(1)已知a b c d >>>，求证：11a db c<--；(2)已知0,0,0a b c d e >><<<，求证：e e a c b d>--.【变式5-2】（23-24高一上·安徽芜湖·月考）（1）已知0b a >>，证明：2a a b b a<+；（2）若a ，b ，c 为三角形的三边长，则2a b cb c a c a b++<+++．【变式5-3】（23-24高一上·云南·月考）证明下列不等式：(1)若0,0a b >>，求证：22a ba b b a++≥；(2)若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：()()22eea cb d >--．考点六：不等式性质的实际应用例6. （23-24高一上·四川南充·月考）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A ，B 两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A 型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B 型货箱，据此安排A ，B 两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（ ）A ．A 货箱28节，B 货箱22节B ．A 货箱29节，B 货箱21节C ．A 货箱31节，B 货箱19节D ．A 货箱30节，B 货箱20节【变式6-1】（22-23高一上·山东·月考）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用4h ；生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2100h ；生产每袋需用原料20kg ，年底库存原料600t ，明年可补充1200t ；此产品今年销售量是60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长13．根据这些数据条件可以预测明年的产量在（ ）A ．70000到75000袋之间B ．70000到80000袋之间C ．80000到85000袋之间D ．80000到90000袋之间【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（ ）A ．18B ．20C ．22D ．28【变式6-3】（23-24高一上·吉林长春·月考）不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知b 克糖水中含有a 克糖(0)b a >>，再添加m 克糖(0)m >(假设全部溶解)，糖水变甜了.(1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立：(2)利用（1）中的结论证明：若,,a b c 为三角形的三边长，则2a b cb c a c a b++<+++.一、单选题1．（22-23高一上·河北邢台·月考）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x （单位：厘米）应满足的不等式为（ ）A ．41500.5x⨯<B ．41500.5x⨯≥C ．41500.5x⨯≤D ．41500.5x⨯>2．（23-24高一上·云南昆明·期中）设2254M a a =++，(1)(3)N a a =++，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M N>B ．M N=C ．M N<D ．无法确定3．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知,,R,a b c a b ∈>，则下列一定成立的是（ ）A ．11a b<B ．2ab b >C ．b c ba c a+>+D ．()()2211a c b c +>+4．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a ，b ，则下列选项中正确的是（ ）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则11a b<5．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知15,31a b -<<-<<，则以下错误的是（ ）A ．155ab -<<B ．46a b -<+<C ．28a b -<-<D ．553ab-<<6．（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则32x y -的取值范围是（ ）A ．2328x y ≤-≤B ．3328x y ≤-≤C ．2327x y ≤-≤D ．53210x y ≤-≤二、多选题7．（23-24高一上·山东日照·期末）若实数a ，b ，c 满足()0a b b >≠且0a >，0c >，则下列不等式正确的是（ ）A ．11a b<B ．ac bc-<-C ．b c ba c a+>+D ．22222b a a b+>8．（23-24高一上·四川乐山·期中）下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．若0,a b c >>∈R ，则22c ca b<B ．若0,a b c >>∈R ，则22ac bc >C ．若0a b <<，则22a ab b >>D ．若0a b <<，则22a a b b+<+三、填空题9．（23-24高一上·广东韶关·月考）已知x ∈R ，则23x + 2x .（填“<”，“>”，或“=”）10．（23-24高一上·北京西城·期中）已知a ，b ，c 为实数，能说明“若a b c >>，则2a bc >”为假命题的一组a ，b ，c 的值是.11．（23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为平方米．四、解答题12．（23-24高一上·福建泉州·月考）（1）已知R a ∈，设()21M a a =+，()()21N a a =+-，比较M 与N 的大小；（2）证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c ca cb c>--.13．（23-24高一上·湖北·期中）（1）已知b 克糖水中含有a 克糖（0b a >>），再添加m 克糖（0m >）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.利用此结论证明：若,,a b c 为三角形的三边长，则2a b cb c a c a b++<+++.（2）超市里面提供两种糖：白糖每千克1p 元，红糖每千克2p 元()12p p ≠.小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖.请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格=物品的总价钱÷物品的总质量）第06讲 等式性质与不等式性质模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．通过用不等式（组)表示实际问题，提升数学抽象与数学建模素养；2．通过比较两个实数的大小、不等式性质的应用，提升逻辑推理、数学运算素养；3．运用不等式的性质解决有关问题．知识点 1 不等关系与不等式1、不等式的概念（1）用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式．（2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式．2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系文字语言大于、高于、超过小于、低于、少于大于或等于、小于或等于、至多、至少、不低于不多于、不超过符号语言><≥≤3、用不等式组表示不等式关系当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系．知识点 2 等式性质性质文字表述性质内容注意1对称性a b b a=⇔=可逆2传递性,a b b c a c==⇒=同向3可加、减性a b a c b c =⇔±=±可逆4可乘性a b ac bc=⇒=同向5可除性,0a b a b c c c=≠⇒=同向知识点 3 不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a 可逆2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 同向3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6正数同向可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向7正数乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正知识点 4 比较大小的方法1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；若a ＜b ，b ＜c ，那么a ＜c ．其中b 是介于a 与c 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．3、平方法：对两式先平方，再比较大小．【注意】（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质．考点一：用不等式（组）表示不等式关系例1．（23-24高一上·广东深圳·月考）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A 型货车载重量30吨，B 型货车载重量24吨，设派出A 型货车x 辆，B 型货车y 辆，则运输方案应满足的关系式是（ ）A ．54100x y +<B ．54100x y +≥C ．54100x y +>D ．54100x y +≤【答案】B【解析】由已知可得，3024600x y +≥，所以有54100x y +≥.故选：B.【变式1-1】（23-24高一上·贵州遵义·月考）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共40km ，其中靠近灭火前线5km 的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60km h ，设需摩托车运送的路段平均速度为km h x ，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x 应该满足的不等式为（ ）．A ．40160x>+B ．40160x<+C ．355160x+>D ．355160x+<【答案】D【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即355160x+<，故选：D ．【变式1-2】（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm ，且体积不超过372000cm ，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a ，b ，c （单位：cm ），这个规定用数学关系式可表示为（ ）A ．130a b c ++<且72000abc <B ．130a b c ++>且72000abc >C ．130a b c ++≤且72000abc ≤D ．130a b c ++≥且72000abc ≥【答案】C【解析】由长、宽、高之和不超过130cm 得130a b c ++≤，由体积不超过372000cm 得72000abc ≤.故选：C.【变式1-3】（22-23高一上·四川眉山·月考）将一根长为5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（ ）A ．25005x x ->⎧⎨<<⎩B ．251x -≥或521x -≥C ．52105x x -≥⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-≥⎨<<⎩【答案】D【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为()5m x -.因为两段绳子长度之差不小于1m ，所以()5105x x x ⎧--≥⎪⎨<<⎪⎩，化简得：25105x x ⎧-≥⎨<<⎩.故选：D考点二：比较实数（代数式）的大小例2. （23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元/斤()a b ≠，王大妈每周购买10元的白菜，李阿姨每周购买8斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为1m ，2m ，则1m 与2m 的大小关系为（ ）A ．12m m =B ．12m m >C ．12m m <D ．无法确定【答案】C【解析】由题意可得，0a >，0b >，a b ¹，12021010abm a b a b==++，288162a b a b m ++==，()()221224()()0222ab a b ab a b a b m m a b a b a b +-+---=-==<+++ ，12m m ∴<．故选：C ．【变式2-1】（23-24高一上·江苏常州·期末）设a ，b ，m 都是正数，且a b <，记,a m ax y b m b +==+，则（ ）A ．x y >B ．x y=C ．x y< D ．x 与y 的大小与m的取值有关【答案】A【解析】由0,0,0a b m >>>，且a b <，即0b a ->，可得()()0m b a a m a b m b x b b m y --=+-=>++，即x y >，故选：A.【变式2-2】（23-24高一上·陕西榆林·月考）设0a b >>，比较2222a b a b -+与a b a b -+的大小【答案】2222a b a ba b a b-->++【解析】00,0a b a b a b >>⇒+>-> ，()()2222220,0a b a b a b a b a b a b a b +---∴=>>+++，222222222()211a b a b ab a b a b a b a b a b-++∴==+>-+++，2222a b a ba b a b--∴>++.【变式2-3】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知0a >，0b >的大小；≤a b =时取等号）=()()3322x y x y x xy y +=+-+，可得分子)33a b =+=，a b+==进一步对其分子利用基本不等式可得a b+≥=，且等号成立当且仅当a b =，1≥，≤a b =时取等号）.考点三：利用不等式的性质判断命题真假例3. （23-24高一上·河北石家庄·月考）若||||a b >，则下列不等式成立的是（ ）A ．0a b ->B ．11a b<C ．a b >D ．22a b >【答案】D【解析】因为||||a b >，所以22a b >，D 正确；当2,1a b =-=时，满足||||a b >，但是a b <，A,C 不正确；当2,1a b =-=-时，满足||||a b >，但是11a b>，B 不正确；故选：D 【变式3-1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若22a bc c >，则a b >C ．若a b >，c d >，则ac bd >D ．若0b a >>，则a c ab c b+>+【答案】B【解析】对于A ：当0c =时，2c =0，若a b >，则220ac bc ==，故A 错误；对于B ：因为22a b c c>，所以20c ≠，即20c >，所以a b >，故B 正确；对于C ：当1a =，0b =，1c =-，2d =-时，满足a b >，c d >，但是ac bd <，故C 错误；对于D ：当0c =时，a c ab c b+=+，故D 错误.故选：B 【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）下列结论错误的是（）A ．若a b >，则ac bc <B ．若a b >，则11a b <C ．若a b >，则22a b >D ．若22ac bc >，则a b>【答案】AB【解析】取2,2,1a b c ==-=可得，a b >，但22ac bc =>-=，A 错误；取2,2a b ==-可得，a b >，但111122a b=>-=，B错误；因为a b >，又0b ≥，所以22a b >，故22a b >，C 正确；由22ac bc >，可得20c >，所以a b >，D 正确；故选：AB.【变式3-3】（23-24高一上·广西贺州·期末）（多选）若0a b >>，0c <，则下列不等关系正确的是（ ）A ．a c b c +>+B ．22a bc c >C ．ac bc >D ．11a b b a+>+【答案】ABD【解析】对A, 0a b >>，0c <，由不等式性质易知 a c b c +>+，故A 正确；对B, 0a b >>，0c <,则22210,a bc c c >∴>，故B 正确；对C, 0a b >>，0c <，由不等式性质易知ac bc <，故C 错误；对D, 若0a b >>，则()11110⎛⎫⎛⎫+-+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b a b b a ab , 故D 正确.故选：ABD.考点四：利用不等式的性质求范围例4. （23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知23a <<，21b -<<-，则2a b -的取值范围是（ ）A ．[]6,7B ．()2,5C ．[]4,7D ．()5,8【答案】D【解析】由题意可知426a <<，12b <-<，所以528<-<a b ，故选：D【变式4-1】（23-24高一上·江西景德镇·月考）已知3b a b <<-，则ab的取值范围为（ ）A ．03a b<<B ．03a b≤<C ．3a b >D ．13a b<<【答案】B【解析】因为3b a b <<-，所以0b <，则有10b<，将不等式3b a b <<-的两边同时乘1b ，可得31a b-<<，所以03a b ≤<.故选：B ．【变式4-2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则42a b -的取值范围是（ ）A ．{}410x x -<<B ．{}36x x -<<C ．{}214x x -<<D ．{}210x x -≤≤【答案】D【解析】由12a b -≤-≤，14a b ≤+≤，得()()06a b a b ≤-++≤，即026a ≤≤，()224a b -≤-≤，所以()22210a b a -≤-+≤，即24210a b -≤-≤，故选：D【变式4-3】（23-24高一上·吉林四平·期中）已知2236x y ≤+≤，3569x y -≤-≤，则113z x y =+的取值范围是（ ）A ．58933z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．5|273z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C ．8933z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{}327z z ≤≤【答案】D【解析】设)231156(3)(x y x x y n y m +=-++，则25)(113(36)x y m n y m n x +++=-，所以2511363m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩，于是1133(56)23)(x y y x x y +++=-又63(23)18x y ≤+≤，3569x y -≤-≤，所以33(56)2723)(x y x y ++≤-≤，即311327x y ≤+≤.故{}327z z ≤≤．故选：D ．考点五：利用不等式的性质证明不等式例5. （23-24高一上·河北保定·月考）设,,a b c ∈R ，0a b c ++=，1abc =.(1)证明：0ab bc ca ++<；(2)若a b >，证明33a b >.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）证明:∵()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，∴()22212ab bc ca a b c ++=-++.a ，b ，c 不同时为0，则2220a b c ++>，∴()222102ab bc ca a b c ++=-++<；（2）()()3322a b a b a ab b -=-++.∵222213024a ab b a b b ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，取等号的条件为0a b ==，而a b >，∴等号无法取得，即222213024a b b a ab b ⎛⎫=++> ⎪⎝+⎭+，又a b >，∴()()33220a b a b a ab b -=-++>，∴33a b >.【变式5-1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式：(1)已知a b c d >>>，求证：11a db c<--；(2)已知0,0,0a b c d e >><<<，求证：e e a c b d>--.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）a b c d >>>Q ，即,a b d c >->-，0a d b c ∴->->，则11a db c<--.（2）0,0,0a b c d e >><<< ，0c d ∴->->，0,0,0a c b d b a c d ∴->->-<-<，则()()()()()()()()()()0e b d e a c e b d a c e b a c d e ea cb d ac bd a c b d a c b d -----+-+--===>--------，.e ea cb d∴>--【变式5-2】（23-24高一上·安徽芜湖·月考）（1）已知0b a >>，证明：2a a b b a<+；（2）若a ，b ，c 为三角形的三边长，则2a b cb c a c a b++<+++．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）()()()()22a b a ab a a b a ab b a b b a b b a +---==+++，由0b a >>，得0a b -<，而0b >，0b a +>，0a >，则()()0a a b b b a -<+，所以2a ab b a<+．（2）,,a b c 为ABC 的三边长，则有0a b c +>>，0a c b +>>，0b c a +>>，由（1）知：c c c a b a b c +<+++，a a a b c a b c +<+++，b b ba c ab c+<+++，将以上不等式左右两边分别相加得：2c a b c c a a b b a b b c a c a b c a b c a b c+++++<++=+++++++++，所以2c a b a b b c c a++<+++．【变式5-3】（23-24高一上·云南·月考）证明下列不等式：(1)若0,0a b >>，求证：22a ba b b a++≥；(2)若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：()()22eea cb d >--．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）证明：因为()()()2223322a b a b a b a b a b ab a b b a ab ab +-⎛⎫+--+-+== ⎪⎝⎭，又因为0,0a b >>，所以()()20a b a b ab+-≥，所以22a b a b b a++≥．（2）证明：由()()()()()()222222e b d a c eea cb d ac bd ⎡⎤---⎣⎦-=----()()()()()()22e a b c d b a c d a c b d ⎡⎤⎡⎤+-+-+-⎣⎦⎣⎦=--，因为0a b >>，0c d <<，所以0a b +>，0c d +<，0b a -<，0c d -<，所以()()0a b c d +-+>，()()0b a c d -+-<．因为0e <，所以()()()()0e a b c d b a c d ⎡⎤⎡⎤+-+-+->⎣⎦⎣⎦又因为()()220a c b d -->，所以()()220eea cb d ->--，即()()22eea cb d >--．考点六：不等式性质的实际应用例6. （23-24高一上·四川南充·月考）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A ，B 两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A 型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B 型货箱，据此安排A ，B 两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（ ）A ．A 货箱28节，B 货箱22节B ．A 货箱29节，B 货箱21节C ．A 货箱31节，B 货箱19节D ．A 货箱30节，B 货箱20节【答案】C【解析】设A 、B 货箱分别有x ，y 节，则503525153015351150x y x y x y +=⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，A ：共50节且352825221530⨯+⨯=，1528352211901150⨯+⨯=>，满足；B ：共50节且3529252115401530⨯+⨯=>，1529352111701150⨯+⨯=>，满足；C ：共50节且3531251915601530⨯+⨯=>，1531351911301150⨯+⨯=<，不满足；D ：共50节且3530252015501530⨯+⨯=>，153035201150⨯+⨯=，满足；故选：C.【变式6-1】（22-23高一上·山东·月考）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用4h ；生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2100h ；生产每袋需用原料20kg ，年底库存原料600t ，明年可补充1200t ；此产品今年销售量是60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长13．根据这些数据条件可以预测明年的产量在（ ）A ．70000到75000袋之间B ．70000到80000袋之间C ．80000到85000袋之间D ．80000到90000袋之间【答案】D【解析】设明年的产量为x 袋，则()42002100160000132060012001000x x x ⎧≤⨯⎪⎪⎛⎫≥+⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≤+⨯⎩，所以8000090000x ££，故可以预测明年的产量在80000到90000袋之间，故选：D.【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（ ）A ．18B ．20C ．22D ．28【答案】C【解析】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为,,,x y z t ，且,,,N x y z t *∈，于是1,12,123y x z y x t z y x ≥+≥+≥+≥+≥+≥+，则46x y z t x +++≥+，又23x t x >≥+，解得3x >，因此min 4x =，此时22x y z t +++≥，所以当4,5,6,7x y z t ====时，min ()22x y z t +++=，即该钉钉群人数的最小值为22.故选：C【变式6-3】（23-24高一上·吉林长春·月考）不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知b 克糖水中含有a 克糖(0)b a >>，再添加m 克糖(0)m >(假设全部溶解)，糖水变甜了.(1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立：(2)利用（1）中的结论证明：若,,a b c 为三角形的三边长，则2a b cb c a c a b++<+++.【答案】(1)a a mb b m+<+，(0,0)b a m >>>，证明见解析；(2)证明见解析；【解析】（1）糖水变甜了得出不等式a a mb b m+<+，(0,0)b a m >>>.证明：()()()aa ma b m b a m b b m b b m ++-+-==++()()()ab am ba bm m a b b b m b b m +---=++.0,0,0b a a b b >>∴-<> .0,0m b m >∴+> ，()0()m a b b b m -∴<+，a a mb b m+∴<+.（2）设ABC 的三边长分别为,,a b c ，则有,,a b c a c b b c a +>+>+>，由（1）已证不等式可得：c c c a b a b c +<+++，a a a b c a b c +<+++，b b ba c ab c+<+++，将以上不等式左右两边分别相加得：2c a b c c a a b b a b b c a c a b c a b c a b c+++++<++=+++++++++，所以，2c a b a b b c c a++<+++.一、单选题1．（22-23高一上·河北邢台·月考）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x （单位：厘米）应满足的不等式为（ ）A ．41500.5x⨯<B ．41500.5x⨯≥C ．41500.5x⨯≤D ．41500.5x⨯>【答案】B【解析】由题意知导火索的长度x （单位：厘米），故导火索燃烧的时间为0.5x秒，人在此时间内跑的路程为40.5x ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭米，由题意可得41500.5x ⨯≥.故选：B.2．（23-24高一上·云南昆明·期中）设2254M a a =++，(1)(3)N a a =++，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M N >B ．M N=C ．M N<D ．无法确定【答案】A【解析】因为()()()22213254131024M N a a a a a a a ⎛⎫-=++-++=++=++> ⎪⎝⎭，所以M N >.故选：A.3．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知,,R,a b c a b ∈>，则下列一定成立的是（ ）A ．11a b<B ．2ab b >C ．b c ba c a+>+D ．()()2211a c b c +>+【答案】D【解析】对于A ，当1,2a b ==-，则11a b>，故A 不正确；对于B ，当0b =时，由a b >可得20ab b ==，故B 不正确；对于C ，当2,1,0a b c ===时，b c ba c a+=+，故C 不正确；对于D ，因为210c +>恒成立，所以由a b >可得()()2211a c b c +>+，故D 正确.故选：D.4．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a ，b ，则下列选项中正确的是（ ）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则11a b<【答案】C【解析】对于A 选项，1,1a b ==-，满足a b >，此时221,1a b ==，不满足22a b >，故A 错误；对于B 选项，1,1a b ==-，满足a b >，此时221,1a b ==，不满足22a b >，故B错误；对于C 选项，0a b >≥，所以222a b b >=，故C 正确；对于D 选项，1,1a b ==-，满足a b >，此时,1111a b==-，不满足11a b <，故D错误，故选：C.5．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知15,31a b -<<-<<，则以下错误的是（ ）A ．155ab -<<B ．46a b -<+<C ．28a b -<-<D ．553ab-<<【答案】D【解析】因为1,153a b -<<-<<，所以13b -<-<，对于A ，1515330a ab b -<<⎧⇒-<<⎨-<<⎩，1500a ab b -<<⎧⇒=⎨=⎩,151501a ab b -<<⎧⇒-<<⎨<<⎩,综上可得155ab -<<，故A 正确；对于B ，314156a b --=-<+<+=，故B 正确；对于C ，112358a b --=-<-<+=，故C 正确；对于D ，当14,2a b ==时，8a b=，故D 错误；故选：D.6．（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则32x y -的取值范围是（ ）A ．2328x y ≤-≤B ．3328x y ≤-≤C ．2327x y ≤-≤D ．53210x y ≤-≤【答案】A【解析】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，所以32m n m n -=⎧⎨+=-⎩，解得1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即可得()()153222x y x y x y -=++-，因为11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，所以2≤()()153222x y x y x y -=++-8≤，故选：A ．二、多选题7．（23-24高一上·山东日照·期末）若实数a ，b ，c 满足()0a b b >≠且0a >，0c >，则下列不等式正确的是（ ）A ．11a b <B ．ac bc-<-C ．b c ba c a +>+D ．22222b a a b+>【答案】BC【解析】对于A ，若1,1a b ==-，则1111a b=>=-，所以A 错误，对于B ，因为a b >，所以a b -<-，因为0c >，所以ac bc -<-，所以B 正确，对于C ，因为a b >，0a >，0c >，所以()0c a b ->，()0a a c +>，所以()()()0()()b c b a b c b a c c a b a c a a a c a a c ++-+--==>+++，所以b c ba c a+>+，所以C 正确，对于D ，若1,1a b ==-，则2222112b a a b+=+=，所以D 错误，故选：BC8．（23-24高一上·四川乐山·期中）下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．若0,a b c >>∈R ，则22c ca b<B ．若0,a b c >>∈R ，则22ac bc >C ．若0a b <<，则22a ab b >>D ．若0a b <<，则22a a b b+<+【答案】AC【解析】对于A ，由0a b >>，20c>，知110a b <<，得22c ca b<，故A 正确；对于B ，当0c =时，故B 错误；对于C ，当0a b <<时，由()20a ab a a b -=->，得2a ab >，又()20ab b b a b -=->，则2ab b >，故有22a ab b >>，故C 正确；对于D ，当2a =-，1b =-时，22a a b b +>+，D 中不等式不一定成立，故D 错误．故选：AC.三、填空题9．（23-24高一上·广东韶关·月考）已知x ∈R ，则23x + 2x .（填“<”，“>”，或“=”）【答案】>【解析】()2232120x x x +-=-+>，故232x x +>.故答案为：>.10．（23-24高一上·北京西城·期中）已知a ，b ，c 为实数，能说明“若a b c >>，则2a bc >”为假命题的一组a ，b ，c 的值是.【答案】1a =，1b =-，2c =-(答案不唯一)【解析】当1,1,2a b c ==-=-时，21a =，2bc =，此时满足a b c >>，但是2a bc <.故答案为：1,1,2a b c ==-=-(答案不唯一).11．（23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米．【答案】90【解析】设改造前的窗户面积为x ，窗户增加的面积为y ，0,0x y >>，依题意1801802x x yy+≤+，即1802180180,2180,90x xy x y xy y x +≤+≤≤，所以改造前的窗户面积最大为90平方米.故答案为：90四、解答题12．（23-24高一上·福建泉州·月考）（1）已知R a ∈，设()21M a a =+，()()21N a a =+-，比较M 与N 的大小；（2）证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c ca cb c>--.【答案】（1）M N >；（2）证明见解析.【解析】（1）()()()221721212()024M a a a a N a a a ++-=++==+--+>，则M N >；（2）因为a b c >>，且0a b c ++=，则0,0a c ><，则0a c b c ->->，则()()0a c b c -->，则10()()a cbc >--，则11()()0()()()()a c b c a c b c a c b c ⋅->⋅->----，则110b c a c>>--，又0c <则c c a c b c>--.命题得证.13．（23-24高一上·湖北·期中）（1）已知b 克糖水中含有a 克糖（0b a >>），再添加m 克糖。
2024年广东省高考数学一轮复习第1章第3讲：等式性质与不等式性质(附答案解析)
第1页共12页2024年广东省高考数学一轮复习第1章第3讲：等式性质与不等式性质考试要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.
理解不等式的性质，并能简单应用．知识梳理
1．两个实数比较大小的方法
－b >0⇔a >b ，
－b ＝0⇔a ＝b ，
－b <0⇔a <b .
(a ，b ∈R )
2．等式的性质
性质1
对称性：如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2
传递性：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3
可加(减)性：如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4
可乘性：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5可除性：如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c .3．不等式的性质
性质1
对称性：a >b ⇔b <a ；性质2
传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3
可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；性质4
可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；性质5
同向可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质6
同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；性质7同正可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．常用结论
1．若ab >0，且a >b ⇔1a <1b
.2．若a >b >0，m >0⇒b a <b ＋m a ＋m
；。
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【高中数学专题突破】专题8 等式性质与不等式性质题组1 用不等式（组）表示不等关系1.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总重量T 应满足的关系为( ) A.T <40 B.T >40 C.T ≤40 D.T ≥402.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种3.将一根长5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m x ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（ ） A ．25105x x -⎧⎨<<⎩B ．251x -或521x -C ．52105x x -⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-⎨<<⎩4.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工()0x x ≥人，瓦工()0y y ≥人，则关于工资,x y 满足的不等关系是（ ） A ．54200x y +< B ．54200x y +≥ C ．54200x y +=D ．54200x y +≤5.某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作时间约计2 100 h ；预计此产品明年销售量至少80 000袋；每袋需用4 h ；每袋需用原料20 kg ；年底库存原料600 t ，明年可补充1 200 t.试根据这些数据预测明年的产量x (写出不等式(组)即可)为________.题组2 作差法比较大小5.设a >b >c >0，x ＝，y ＝，z ＝，则x ，y ，z 的大小顺序是________.6.规定AB ＝A 2＋B 2，A ⊖B ＝A ·B ，A ，B ∈R .若M ＝a －b ，N ＝a ＋b ，a ，b ∈R ，判断MN 与M ⊖N 的大小.7.已知0a b +>，比较22a b b a +与11a b+的大小.题组3 不等式的性质8.若a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A.a 2＋b 2≥2ab B.a ＋b ≥2C.a 2＋b 2≥(a ＋b )2D.＋<(a ≠b )9.已知x ∈(b ，a )且x ≠0，∈，则实数a ，b 满足的一个条件可以是( )A.a <b <0B.a <0<bC.a >0>bD.a >b >010.已知a ，b ，c 均为实数，有下列说法： ①若a <b <0，则a 2<b 2；②若<c ，则a <bc ； ③若a >b ，则c －2a <c －2b ；④若a >b ，则<. 其中，正确的结论是________.(填序号)11.若正数x 、y 满足x y xy +=，则4x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．9D ．1312.若102a <<，则()12a a -的最大值是（ ） A ．1 8B ．1 4C ．1 2D ．1题组4 利用不等式的性质判断或证明14.已知a >6，求证：－<－.15.已知a ，b 为正实数，且2c >a ＋b ，求证：c －<a <c ＋.16.已知a ，b 都是正数，并且a ≠b ，求证：a 5＋b 5>a 2b 3＋a 3b 2.17.已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．题组5 利用性质比较大小18.a ∈R ，且a 2＋a <0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A.a 2>－a 3>－a B. －a >a 2>－a 3 C. －a 3>a 2>－a D.a 2>－a >－a 319.若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A.a 1b 1＋a 2b 2 B.a 1a 2＋b 1b 2 C.a 1b 2＋a 2b 1 D.题组6 利用不等式的性质求范围20．已知1122α-≤≤，02β≤≤，则22βα-的取值范围是________. 21．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ 22．已知实数a 满足ab 2>a>ab ，则实数b 的取值范围为________．23．若两个正实数x ，y 1x y=246x y m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是________.专题8 等式性质与不等式性质题组1 用不等式（组）表示不等关系1.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总重量T 应满足的关系为( ) A.T <40 B.T >40 C.T ≤40 D.T ≥40 【答案】C2.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )A. 5种B. 6种C. 7种D. 8种 【答案】C【解析】设购买单片软件和盒装磁盘分别为x 片，y 盒.则即①当x ＝3时，7y ≤32，y ≤.∵y ∈N *且y ≥2，∴y 可以取2,3,4，此时有3种选购方式；②当x ＝4时，7y ≤26，y ≤，∵y ∈N * 且y ≥2，∴y 可以取2,3，此时有2种选购方式；③当x ＝5时，y ≤，∵y ∈N *且y ≥2，∴y 只能取2，此时有1种选购方式；④当x ＝6时，y ＝2，此时有1种选购方式.综上，共有7种选购方式.3.将一根长5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m x ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（ ）A ．25105x x -⎧⎨<<⎩B ．251x -或521x -C ．52105x x -⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-⎨<<⎩【答案】D【解析】由题意，其中一段的长度为x m 可知另一段绳子的长度为()5m x -，因为两段细子的长度之差不小于1m ，可得()5105x x x ⎧--⎪⎨<<⎪⎩，即25105x x ⎧-⎨<<⎩. 故选D.4.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工()0x x ≥人，瓦工()0y y ≥人，则关于工资,x y 满足的不等关系是（ ） A ．54200x y +< B ．54200x y +≥ C ．54200x y += D ．54200x y +≤【答案】D【解析】由题意，可得50040020000x y +≤，化简得54200x y +≤. 故答案为: D.5.某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作时间约计2 100 h ；预计此产品明年销售量至少80 000袋；每袋需用4 h ；每袋需用原料20 kg ；年底库存原料600 t ，明年可补充1 200 t.试根据这些数据预测明年的产量x (写出不等式(组)即可)为________.【答案】【解析】由题意可得题组2 作差法比较大小5.设a >b >c >0，x ＝，y ＝，z ＝，则x ，y ，z 的大小顺序是________.【答案】z >y >x【解析】方法一 ∵a >b >c >0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a )2－a 2－(b ＋c )2＝2c (a －b )>0，∴y 2>x 2，即y >x ， ∵z 2－y 2＝c 2＋(a ＋b )2－b 2－(c ＋a )2＝2a (b －c )>0，∴z 2>y 2，即z >y ，故z >y >x . 方法二 特值代换法，令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝，y ＝，z ＝，则x <y <z ，故z >y >x .6.规定AB ＝A 2＋B 2，A ⊖B ＝A ·B ，A ，B ∈R .若M ＝a －b ，N ＝a ＋b ，a ，b ∈R ，判断MN 与M ⊖N 的大小. 【答案】∵MN ＝M 2＋N 2＝(a －b )2＋(a ＋b )2＝2a 2＋2b 2， M ⊖N ＝M ·N ＝(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，∴MN －M ⊖N ＝2a 2＋2b 2－(a 2－b 2)＝a 2＋3b 2≥0，∴MN ≥M ⊖N . 7.已知0a b +>，比较22a b b a +与11a b+的大小. 【答案】2211a b b a a b+≥+ 【解析】222211a b a b b a b a a b b a--⎛⎫+-+=+ ⎪⎝⎭2211()a b b a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭222()()a b a b a b+-=. ∵0a b +>，2()0a b -≥，∴222()()0a b a b a b +-≥，当且仅当a b =时，取等号，∴2211a b b a a b+≥+.题组3 不等式的性质8.若a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A.a 2＋b 2≥2ab B.a ＋b ≥2C.a 2＋b 2≥(a ＋b )2D.＋<(a ≠b )【答案】D【解析】显然有a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2，又a 2＋b 2－(a ＋b )2＝a 2＋b 2－ab ＝(a －b )2≥0，所以a 2＋b 2≥(a＋b )2，故选D.9.已知x ∈(b ，a )且x ≠0，∈，则实数a ，b 满足的一个条件可以是( )A.a <b <0B.a <0<bC.a >0>bD.a >b >0 【答案】D【解析】因为x ∈(b ，a )且x ≠0，∈，所以，a >b >0，故选D.10.已知a ，b ，c 均为实数，有下列说法： ①若a <b <0，则a 2<b 2；②若<c ，则a <bc ；③若a >b ，则c －2a <c －2b ；④若a >b ，则<. 其中，正确的结论是________.(填序号) 【答案】③【解析】①用特殊值法检验.令a ＝－2，b ＝－1，有4>1，故①错误；②当b <0时，有a >bc ，故②错误；③当a >b 时，有－2a <－2b ，从而c －2a <c －2b ，故③正确；④当a >0，b <0时，显然有>，故④错误.综上，只有③正确.11.若正数x 、y 满足x y xy +=，则4x y +的最小值等于（ ） A ．4 B ．5 C ．9 D ．13【答案】C【解析】因为正数x 、y 满足x y xy +=，所以1xy x =-（1x >），所以441x x y x x +=+-441x x =++-，令1t x =-，0t >， 44455x y t t t t+=++=++，由对勾函数4()f t t t=+在(0,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增，所以min ()(2)4f t f ==， 所以4x y +的最小值为9，此时33,2x y ==． 故选：C ． 12.若102a <<，则()12a a -的最大值是（ ） A ．1 8B ．1 4C ．1 2D ．1【答案】A【解析】102a <<，故120a ->，则()()()()2212111122122228a a a a a a ⎛⎫+--=-≤⋅= ⎪⎝⎭，当14a =时取“=”，所以正确选项为A13.若非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．1ab< B ．+2b a a b≥ C ．2211ab a b< D ．22++a b a b <【答案】ABD【解析】对于选项A ，当2,1a b =-=-，a b <，22>11a b -==-，此时1a b<不成立；对于选项B ，当1,1a b =-=，a b <，+2b a a b =-，此时+2b aa b≥不成立； 对于选项C ，2222221111,,0a b a b b a a b a a b b b a --=<∴-<，所以2211ab a b<成立；选项D ，当222,1,+2,+0a b a b a a b b =-=-<==，，此时22++a b a b <不成立. 故选：ABD.题组4 利用不等式的性质判断或证明14.已知a >6，求证：－<－. 【答案】方法一 要证－<－，只需证＋<＋，只需证<，只需证2a －9＋2<2a －9＋2，只需证<，只需证(a －3)(a －6)<(a －5)(a －4)，只需证18<20，因为18<20显然成立，所以不等式－<－成立. 方法二 要证－<－，只需证<，因为a >6，所以a －3>0，a －4>0，a －5>0，a －6>0， 又因为a －3>a －5，所以>， 同样有>，则＋>＋，所以－<－.15.已知a ，b 为正实数，且2c >a ＋b ，求证：c －<a <c ＋. 【答案】证明 要证c －<a <c ＋，只需证－<a －c <，即证|a －c |<，两边平方得a 2－2ac ＋c 2<c 2－ab ，即证a 2＋ab <2ac ，因为2c >a ＋b ，a 为正实数，所以a 2＋ab <2ac 成立，所以原不等式成立.16.已知a ，b 都是正数，并且a ≠b ，求证：a 5＋b 5>a 2b 3＋a 3b 2.【答案】证明 (a 5＋b 5)－(a 2b 3＋a 3b 2)＝(a 5－a 3b 2)＋(b 5－a 2b 3)＝a 3(a 2－b 2)－b 3(a 2－b 2) ＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a ＋b )·(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2). ∵a ，b 都是正数，∴a ＋b >0，a 2＋ab ＋b 2>0.又∵a ≠b ，∴(a －b )2>0，∴(a ＋b )(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)>0， ∴a 5＋b 5>a 2b 3＋a 3b 2.17.已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）1abc = 111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥（2）()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥，b c +≥a c +≥a b c ==时等号同时成立）()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc = ()()()33324a b b c c a ∴+++++≥题组5 利用性质比较大小18.a ∈R ，且a 2＋a <0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A.a 2>－a 3>－a B. －a >a 2>－a 3 C. －a 3>a 2>－a D.a 2>－a >－a 3 【答案】B【解析】因为a2＋a<0，所以a(a＋1)<0，所以－1<a<0，根据不等式的性质可知－a>a2>－a3，故选B.19.若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是()A.a1b1＋a2b2B.a1a2＋b1b2C.a1b2＋a2b1D.【答案】A【解析】方法一特殊值法令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，a1b2＋a2b1＝＝，∵>>，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.方法二作差法∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0<a1<a2,0<b1<b2，∴a2＝1－a1>a1，b2＝1－b1>b1，∴0<a1<，0<b1<.又a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)＝2a1b1＋1－a1－b1，a1a2＋b1b2＝a1(1－a1)＋b1(1－b1)＝a1＋b1－－，a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)＝a1＋b1－2a1b1，∴(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝＋－2a1b1＝(a1－b1)2≥0，∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝4a1b1＋1－2a1－2b1＝1－2a1＋2b1(2a1－1)＝(2a1－1)(2b1－1)＝4>0，∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.∵(a1b1＋a2b2)－＝2a1b1＋－a1－b1＝b1(2a1－1)－(2a1－1)＝(2a1－1)＝2>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>.综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.题组6 利用不等式的性质求范围20．已知1122α-≤≤，02β≤≤，则22βα-的取值范围是________. 【答案】[]2,1- 【解析】由1122α-≤≤，则121α-≤≤，又由02β≤≤，得102β-≤-≤， 则2212βα-≤-≤.故答案为：[]2,1-.21．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______【答案】[]1,7【解析】令3()()x y s x y t x y -=++- ()()s t x s t y =++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩, 12s t =⎧∴⎨=⎩, 又11x y -≤+≤①13x y ≤-≤,22()6x y ∴≤-≤⋯②∴①+②得137x y ≤-≤.故答案为[1,7]22．已知实数a 满足ab 2>a>ab ，则实数b 的取值范围为________．【答案】(－∞，－1)【解析】若a<0，则b 2<1<b ，产生矛盾，所以a>0，则b 2>1>b ，解得b ∈(－∞，－1)．23．若两个正实数x ，y 1=26m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是________.【答案】(2,8)-. 【解析】解：411x y+=44⎛⎫=+=++816≥+= 当且仅当16x y =，即4y =且64x =时取等号.246x m m +>-恒成立，则2166m m >-解得28m -<<即()2,8m ∈- 故答案为：()2,8-。