专题03 等式性质与不等式性质、基本不等式(重难点突破)(原卷版)

专题03 等式的性质与不等式的性质、基本不等式

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

知识点1 一元一次不等式的解法 一元一次不等式ax>b 的解的情况：

（1）当a>0时，a b x >

； （2）当a<0时，a

b

x <；

（3）当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。 知识点2 分式方程、分式不等式的解法 1、分式方程的解法

①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．

(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．

说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法． 2、分式不等式的解法：

分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． 3、可化为一元二次方程的分式方程

1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程 简单分式不等式的解法

x y

O

x 1

x 2

x

y

O x 0

x

y

O

知识点3 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式

1、表中a ac b b x 2421---=，a

ac

b b x 2422-+-=

2、)0(02

≠>++a c bx ax 恒成立???<-=?>?0

40

2

ac b a )0(02

≠<++a c bx ax 恒成立???<-=?

40

2

ac b a 知识点4 绝对值不等式 1、a>0时，

①a x a a x a x <<-?

2

||；②a x a x a x -?>2

2

||或x>a 2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号．

对于形如|()|()f x g x ≥和|()|()f x g x ≤的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得

|()|()f x g x ≥?()()f x g x ≥或()()f x g x ≤；|()|()f x g x ≤?()()()g x f x g x -≤≤．

知识点5 基本不等式 1、基本不等式(或)均值不等式

ab b

a ≥+2

2、基本不等式的变形与拓展 (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+；

(2)若R b a ∈,,则22

2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）．

(3)若00a ,b >>,则

ab b

a ≥+2

； (4)若00a ,b >>,则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）；

(5)若00a ,b >>,则2

2?

?

? ??+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”）． (6)若0x >,则12x x +

≥（当且仅当1x =时取“=”）

；若0x <,则1

2x x

+≤-（当且仅当1x =-时取“=”）；若0x ≠,则12x x

+≥,即12x x +≥或1

2x x +≤-（当且仅当b a =时取“=”）．

(7)若0>ab ,则2≥+a b b a （当且仅当b a =时取“=”）；若0ab ≠,则2a b b a +≥,即2a b b a +≥或2

a b

b a +≤-（当且仅当b a =时取“=”）．

(8)

一个重要的不等式链：2

112a b a b

+≤≤≤+． 三、重难点题型突破

重难点1 等式与不等式的性质 不等式的基本性质

(1)对称性：a ＞b ?b ＜a .(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ?a ＞c .(3)可加性：a ＞b ?a ＋c ＞b ＋c . (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0?ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0?ac ＜bc . (5)加法法则：a ＞b ，c ＞d ?a ＋c ＞b ＋d .

(6)乘法法则：a ＞b ＞0，c ＞d ＞0?ac ＞bd .(7)乘方法则：a ＞b ＞0?a n ＞b n ＞0(n ∈N ，n ≥2)． 例1．（1）（2018·全国高一专题练习）若0a b <<，则下列不等式错误的是（ ） A ．11

a b

> B ．

11

a b a

>- C ．a b >

D ．22a b >

（2）（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知0a b >>，那么下列不等式中成立的是（ ） A ．a b ->- B ．a m b m +<+

C ．22a b >

D ．

11a b

>

【变式训练1】．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（文））下列不等式中，正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则a c b d +>+ B ．若a b >，则a c b c +<+ C ．若,a b c d >>，则ac bd >

D ．若,a b c d >>，则

a b c d

> 【变式训练2】．（2020·安徽省舒城中学高二月考（理））

设a =

，b =,a b 的大小关

系为__________．

【变式训练3】．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（文））下列不等式中，正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则a c b d +>+ B ．若a b >，则a c b c +<+ C ．若,a b c d >>，则ac bd >

D ．若,a b c d >>，则

a b

c d

>

重难点2 分式不等式与绝对值不等式

例2．（2020·长春市第二十九中学高二期中（文））不等式25x +≤的解集是（ ） A ．{}

12x x x ≤≥或 B ．{}

73x x -≤≤ C ．{}

37x x -≤≤

D ．{}

59x x -≤≤

【变式训练1】．（2018·全国高一专题练习（理））已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}， B ＝{x |

1

4

x x +-＞0}，那么集合A ∩(?U B )＝( ) A ．{x |－2≤x ＜4} B ．{x |x ≤3或x ≥4} C ．{x |－2≤x ＜－1}

D ．{x |－1≤x ≤3}

【变式训练2】．（2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末（文））如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞

C ．(),1-∞

D ．(]

,1-∞

重难点3 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式

例3．（2020·贵州省高二学业考试）不等式(3)(5)0x x -+>的解集是（ ） A ．{53}x x -<< B ．{|5x x <-或3}x > C ．{35}x x -<<

D ．{|3x x <-或5}x >

【变式训练1】．（2020·四川省高一期末）不等式23x x ≤的解集为（ ）

A ．[0]3，

B ．(,3]-∞

C ．(0,3)

D ．(,3)-∞

【变式训练2】．（2020·浙江省高一期末）不等式290x x -+>的解集是（ ） A ．{

0x x <或}9x > B ．{

9x x <-或}0x > C ．{}09x x <<

D ．{}

90x x -<<

【变式训练3】．（2020·河南省高三其他（理））关于x 的不等式()()30x a x -->成立的一个充分不必要条件是11x -<<，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤-

B ．0a <

C ．2a ≥

D ．1a ≥

重难点4 基本不等式

例4.（1）（2020·贵州省高二学业考试）已知0,0x y >>，若3xy =，则x y +的最小值为（ ）

A ．3

B ．2

C ．

D ．1

（2）函数()f x =

的最大值为（ ）

A ．25

B ．12

C

D ．1

【变式训练1】．（1）（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知0x >，函数4

y x x

=+的最小值是（ ） A ．4

B ．5

C ．8

D ．6

（2）设0,0.a b >>11

33a b a b

+与的等比中项，则的最小值为（ ）

A 8

B 4

C 1 D

14

（3）．（2020·吉林省长春市实验中学高一月考（理））已知x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．1 B ．

1

2

C ．

13

D ．

14

【变式训练2】（1）．（2020·浙江省高一期中）已知正数a ，b 满足a +b =1，则1

b a b

+的最小值等于__________ ，此时a =____________.

（2）．（2019·全国高一课时练习）正实数,x y ，满足

11

2x y

+=，则2x y +的( )

A ．最小值为

3

2

+ B ．最大值为

3

2

C ．最小值为3+

D ．最大值为3+

（3）．（2019·全国高一课时练习）函数233

(1)1

x x y x x ++=>-+的最小值为 （ ）

A.3

B.2

C.1?

D.1-

【能力提升】

1．设正实数满足．则当

取得最大值时，的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ．

D ．3 2．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（ ） A ．

B ．

C ．5

D ．

6 3.（2018新疆自治区二模） 设，

b ∈R ，，则的最小值为（

）

A. B. C. D. 4.（2018安徽芜湖一模）若直线1(0x y

a a b

+=>，0)b >过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ）

A. 6

B. 8

C. 9

D. 10

5．（2020届湖北省高三模拟）若不等式对恒成立，

则实数m 的最大值为（ ） A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

6．（2020届陕西省咸阳市高三第一次模拟）已知，则的最小值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【高考真题】

1．（2016?新课标Ⅰ，理1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则(A B = )

A ．3(3,)2

--

B ．3

(3,)2

-

C ．3(1,)2

D ．3

(2

，3)

2．（2016?新课标Ⅰ，理2）已知集合{1A =，2，3}，{|(1)(2)0B x x x =+-<，}x Z ∈，则A

B 等于(

) A ．{1}

B ．{1，2}

C ．{0，1，2，3}

D ．{1-，0，1，2，3}

3．（2016?新课标Ⅰ，文1）已知集合{1A =，2，3}，2{|9}B x x =<，则(A B = )

A ．{2-，1-，0，1，2，3}

B ．{2-，1-，0，1，2}

C ．{1，2，3}

D ．{1，2}

,,x y z 2

2

340x xy y z -+-=xy z 212

x y z

+-9

4

245285

a 22

26a b +=a --11014m x x

+-≥-10,4x ??

∈ ???12

1x y

+=(0,0)x y >>2x y +10987

4．（2016?新课标Ⅰ，理1）设集合{|(2)(3)0}S x x x =--，{|0}T x x =>，则(S T = )

A ．[2，3]

B ．(-∞，2][3，)+∞

C ．[3，)+∞

D ．(0，2][3，)+∞

5．（2020上海13）下列不等式恒成立的是（ ）

A ．222a b ab +≤

B ．22

2a b ab +≥- C

．a b +≥- D

．a b +≤ 6．（2019年高考浙江卷）若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）

A ． 充分不必要条件

B ． 必要不充分条件

C ． 充分必要条件

D ． 既不充分也不必要条件

7．（2020江苏12）已知2

2

4

51(,)x y y x y R +=∈，则2

2

x y +的最小值是 ． 8．（2020天津14）已知

0,0a b >>，且1ab =，则

118

22a b a b

+++的最小值为_________． 9．（2019天津理13）设的最小值为 ．

0,

0,25x y x y >>+=

专题04 二次函数与一元二次不等式

一、考情分析

二、学法指导与考点梳理

【知识点1 一元二次不等式的概念及形式】

(1).概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．

(2).形式：

①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；

③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．

【知识点2 一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”之间的关系】

(1).一元二次不等式的解集的概念：

一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.

(2.)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；

若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)

的函数值为正值或负值时自变量x 的取值的集合． (3).三个“二次”之间的关系：

【知识点3 分式不等式的解法】 ①x ＋1

x ＋3

>0与(x ＋1)(x ＋3)>0等价吗？ ②

2x －1

x ＋2

≤0与(2x －1)(x ＋2)≤0等价吗？ 定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为分式不等式. 解法：等价转化法解分式不等式 f (x )g (x )>0?f (x )g (x )>0，f (x )g (x )

<0?f (x )·g (x )<0. f (x )

g (x )≥0??????

f (x )

g (x ) ≥ 0，g (x )≠0. ?f (x )·g (x )>0或?????

f (x )＝0

g (x )≠0

.

f (x )

g (x )≤0?????? f (x )·g (x ) ≤ 0，g (x )≠0?f (x )·g (x )<0或?????

f (x )＝0

g (x )≠0.

【知识点4、简单的高次不等式的解法】

(1)由函数与方程的关系可知y ＝(x ＋1)(x －1)(x －2)与x 轴相交于(－1,0)，(1,0)，(2,0)三点，试考虑当x >2,1

(2)考查函数y ＝(x －1)2(x ＋3)，当x <－3，－31时，y 的取值正负情形．你发现了什么规律？ 高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式. 解法：穿根法

①将f (x )最高次项系数化为正数；

②将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；

③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；

④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集．

三、题型分析

(一) 一元二次不等式的解法

例1．（1）（2020·吉林省实验高一期中）不等式()43x x -<的解集为（ ）

A ．{|1x x <或}3x >

B ．{

0x x <或}4x > C ．{}13x x << D ．{}

04x x <<

（2）．2

13502

x x -+->.

（3）．（3）22320x x -+-<；

【变式训练1】．求下列不等式的解集.

（1）23520x x +-≤； （2）2

81

41804

x x -+-≥；

（2）2690x x -+->； （4）210x x +-<；

（5）1

02

x x -≥-.

(二) 含有参数的一元二次不等式的解法

例2．（1）（2020·全国高一）函数2

()2(1)2f x x a x =+-+在(],4-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是

___________

（2）（2019·浙江省高一期末）若关于x 的不等式20x ax b -+<的解集是(1,2)-，则a =________，b =_______.

（3）解关于x 的不等式x 2－(3a －1)x ＋(2a 2－2)>0.

【变式训练1】．（2019·北京市第十三中学高一期中）已知函数()2

21f x x x =-++,

①函数的值域是______．

②若函数在[]3,a -上不是单调函数,则实数a 的取值范围是______．

【变式训练2】．已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2<0的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集.

(三) 含有参数的分式不等式的解法

例3．【广东省惠州市第一中学2017-2018学年数学必修5模块综合】不等式

02

1

x x ≤-+的解集是 （ ） A ．(1)(12]-∞--，

， B ．[12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞，， D ．(12]-，

【变式训练1】．【上海市虹口区复兴高级中学2016-2017学年高一上学期期中】不等式

()()()

()2

2330

21x x x x x --≥-+-的解集是______.

(四)二次不等式综合问题

例4．（2020·上饶中学高二期末（文））已知,,a b c ∈R ，若2()f x ax bx c =++，满足()(4)2(0)=<-f f f ，

则（ ） A ．0,0<+=a a b B ．0,0>+=a a b C ．0,20a a b <+=

D ．0,20a a b >+=

例5．（2019·海南省海口一中高二月考）若函数2

34y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44??

-

-????

，则m 的取值范围是（ ）

A ．(]

0,4

B ．254,

4?

?

????

C ．3,32

??????

D ．3,2??+∞????

【变式训练1】．（2020·宁阳县第四中学高二期末）不等式2210ax x -+>对1,2x ??

∈+∞ ???

恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+

B ．()1,+∞

C ．()0,1

D ．[

)1,+∞

【变式训练2】．（2020·调兵山市第一高级中学高二月考）已知函数()2

1f x ax x =-+，（0a ≠），若任意1x ，

[)21x ∈+∞,且12x x ≠都有

()()1212

1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围（ ）

A ．[)1,+∞

B ．(]0,1

C ．[)2,+∞

D ．()0,∞+

(五) 实际应用问题

例6．（2020·全国高一）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y,观影人数记为x,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象.

给出下列四种说法:

①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;

②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;

③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;

④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.

其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）

【变式训练1】．（2019·江苏省金陵中学高一期中）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的产品.已知该单位每月处理二氧化

碳最少400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y＝1

2

x2－

200x＋80000，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

（1）若该单位每月成本(每月成本＝每月处理成本－每月可利用的化工产品价值)支出不超过105000元，求月处理量x的取值范围.

（2）该单位每月能否获利?如果能获利，求出能获得的最大利润；如果不能获利，那么国家每月至少补贴多少元，才能使该单位不亏损?

四、迁移应用

1．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－10的解集为( )

A ．{x |－2

B ．{x |x >2或x <－1}

C ．{x |x >1或x <－2}

D ．{x |x <－1或x >1}

2．（2020·上海高三专题练习）若不等式201x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为( ) A ．0

B ．2

C ．4

D ．6

3．（2019·海南省海口一中高二月考）若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44??

-

-????

，则m 的取值范围是（ ） A ．(]

0,4

B ．254,

4?

?

????

C ．3,32

??????

D ．3,2??+∞????

4．不等式2210ax x -+>对1,2x ??

∈+∞ ???

恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+ B ．()1,+∞

C ．()0,1

D ．[

)1,+∞

5．（2019·广东省增城中学高一期中）如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.

（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大?最大面积是多少?

【能力提升】

11．在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分)， 则其边长 x (单位m )的取值范围是（ ）

A ．[15，20]

B ．[12，25]

C ．[10，30]

D ．[20，30]

12．关于的不等式（）的解集为，且，则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

13．已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．

14．已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_________． 15．（2020届陕西省汉中市高三质检）对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式

成立的的取值范围是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

16．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+x +b ＞0的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）． （Ⅰ）求a 和b 的值；

（Ⅰ）求不等式ax 2-（c +b ）x +bc ＜0的解集．

x 22

280x ax a --<0a >12(,)x x 2115x x -=a =527215

4

152,1)(2-+=mx x x f ]1,[+∈m m x 0)(

x x [][]2

436450x x -+

??

?[]28,[)2,8[]2,7

9．已知函数2()45()f x x x x R =-+∈. （1）求关于x 的不等式()

2f x 的解集；

（2）若不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.

10．（2020·黑龙江省大庆中学高一期末）已知关于x 的不等式()()110ax x --<． （1）当2a =时，解上述不等式． （2）当1a <时，解上述关于x 的不等式

【高考真题】

17．（2019?新课标Ⅰ，理1）已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则(M N = )

A ．{|43}x x -<<

B ．{|42}x x -<<-

C ．{|22}x x -<<

D ．{|23}x x <<

18．（2019?新课标Ⅰ，理1）设集合2{|560}A x x x =-+>，{|10}B x x =-<，则(A B = )

A ．(,1)-∞

B ．(2,1)-

C ．(3,1)--

D ．(3,)+∞

19．（2019年高考天津卷理数）设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件