中考专题：圆与二次函数结合题
中考专题： 圆与函数综合题 1、如图，平面直角坐标系中，以点C（2，3）为圆心，以2为半径的圆与轴交于A、B两点． （1）求A、B两点的坐标； （2）若二次函数2yxbxc的图象经过点A、B，试确定此二次函数的解析式．
2、如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线233yxbxc过A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由； （3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值． 3、如图，抛物线2yaxbxc的对称轴为轴，且经过（0,0），（1a,16）两点，点P在抛物线上运动，以P为圆心的⊙P经过定点A（0,2）， (1)求a,b,c的值； (2)求证：点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交； （3）设⊙P与轴相交于M1x,0，N 212x,0xxp两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标。
4、如图，二次函数y=x2+bx－3b+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）. （1）求这条抛物线的解析式； （2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标； （3）连接AM、DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标. 5、类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。 原题：如图1，在⊙O中，MN是直径，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，∠AOC=90°，AB=3，CD=4，则BD= 。 ⑴尝试探究：如图2，在⊙O中，MN是直径，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，点E在MN上，∠AEC=90°，AB=3，BD=8，BE：DE=1:3，则CD= （试写出解答过程）。 ⑵类比延伸：利用图3，再探究，当A、C两点分别在直径MN两侧，且AB≠CD，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，∠AOC=90°时，则线段AB、CD、BD满足的数量关系为 。
⑶拓展迁移：如图4，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（m，6），B（n，1）两点（其中0＜m＜3），且以y轴为对称轴，且∠AOB=90°，①求mn的值；②当S△AOB=10时，求抛物线的解析式。
6、如图，设抛物线2113424yxx交x轴于A,B两点，顶点为D．以BA为直径作半圆，圆心为M，半圆交y轴负半轴于C． （1）求抛物线的对称轴； （2）将△ACB绕圆心M顺时针旋转180°，得到△APB，如图．求点P的坐标；
（3）有一动点Q在线段AB上运动，△QCD的周长在不断变化时是否存在最小值若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．
7、如图1，已知抛物线y=－x2+bx+c经过点A（1,0），B（－3,0）两点，且与y轴交于点C. (1) 求b，c的值。 （2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若不存在，请说明理由. (3) 如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B,C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．
8、如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，交连结AC、FC． (1)求证：∠ACF=∠ADB; (2)若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；
(3)当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，DEAO的值是否发生变化若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 9、如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为25的圆C与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，且点C在x轴的上方． （1）求圆心C的坐标； （2）已知一个二次函数的图像经过点A、B、C，求这二次函数的解析式； （3）设点P在y轴上，点M在（2）的二次函数图像上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标.
10、如图，在⊙M中，弦AB所对的圆心角为120°，已知圆的半径为1cm，并建立如图所示的直角坐标系． （1）求圆心M的坐标； （2）求经过A,B,C三点的抛物线的解析式； （3）点P是⊙M上的一个动点，当△PAB为Rt△时，求点p的坐标。 11、如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC,OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=1时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
12、已知抛物线23yaxbx经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线23yaxbx的函数关系式及点C的坐标； （2）如图（1）,连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（2）,连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标． 13、已知：如图，抛物线y＝x2－x－1与y轴交于C点，以原点O为圆心，OC长为半径作⊙O，交x轴于A，B两点，交y轴于另一点D．设点P为抛物线y＝x2－x－1上的一点，作PM⊥x轴于M点，求使△PMB∽△ADB时的点P的坐标．
14、点A（-1,0）B（4,0）C（0,2）是平面直角坐标系上的三点。 ① 如图1先过A、B、C作△ABC，然后在在轴上方作一个正方形D1E1F1G1, 使D1E1在AB上， F1、G1分别在BC、AC上 ② 如图2先过A、B、C作圆⊙M，然后在轴上方作一个正方形D2E2F2G2, 使D2E2在轴上 ，F2、G2在圆上
③ 如图3先过A、B、C作抛物线，然后在轴上方作一个正方形D3E3F3G3, 使D3E3在轴上， F3、G3在抛物线上 请比较 正方形D1E1F1G1 , 正方形D2E2F2G2 , 正方形D3E3F3G3 的面积大小 15、如图，已知经过坐标原点的⊙P与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B（0，6），点C是第一象限内⊙P上一点，CB=CO，抛物线2yaxbx经过点A和点C． （1）求⊙P的半径； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否存在点D，使得点A、点B、点C和点D构成矩形，若存在，直接写出符合条件的点D的坐标；若不存在，试说明理由．
16、已知：如图9-1，抛物线经过点O、A、B三点，四边形OABC是直角梯形，其中点A在x轴上，点C在y轴上，BC∥OA，A（12，0）、B（4，8）． （1）求抛物线所对应的函数关系式； （2）若D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．几秒钟后线段PD将梯形OABC的面积分成 1﹕3两部分并求出此时P点的坐标； （3）如图9-2，作△OBC的外接圆O′，点Q是抛物线上点A、B之间的动点，连接OQ交⊙O′于点M，交AB于点N．当∠BOQ=45°时，求线段MN的长． 17、如图, 已知抛物线21y2xbxc与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）。 （1）求抛物线的解析式； （2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标； （3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由。
18、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D． （1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）； ①求此抛物线的表达式与点D的坐标； ②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值； （2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为顶点，求出该定点坐标． 19、抛物线22yaxaxb与直线y=x+1交于A、C两点，与y轴交于B，AB∥x轴，且S△ABC=3 （1）求抛物线的解析式。
（2）P为x轴负半轴上一点，以AP、AC为边作，是否存在P，使得Q点恰好在此抛物线上若存在，请求出P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。 （3）AD⊥X轴于D，以OD为直径作⊙M，N为⊙M上一动点，（不与O、D重合），过N作AN的垂线交x轴于R点，DN交Y轴于点S，当N点运动时，线段OR、OS是否存在确定的数量关系写出证明。
20、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数6yx（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B． （1）判断P是否在线段AB上，并说明理由； （2）求△AOB的面积；
（3）Q是反比例函数6yx（x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO 半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB．
备用图
中考数学压轴题二次函数与圆
中考数学压轴题二次函数与圆二次函数与圆是中考数学中的一个重要知识点。
在考试中，通常会涉及到用二次函数的性质来解决与圆相关的问题。
下面我们就来详细介绍一下二次函数与圆的关系。
首先，我们先来回顾一下二次函数的基本知识。
二次函数的一般形式可以表示为y=ax²+bx+c，其中a、b、c是常数。
二次函数的图象是一个抛物线，具体的形状和位置取决于a、b、c的值。
在二次函数的图象上，有一些特殊点和特殊线。
特殊点包括顶点和零点，特殊线包括对称轴和切线。
顶点是抛物线的最高点或者最低点，对称轴是通过抛物线顶点的一条直线，切线是与抛物线相切的直线。
圆是一个平面上到一点距离固定的点的距离相等的所有点的轨迹。
圆的特点包括半径、直径、圆心、弧、弦和切线等。
圆心是圆上的任意一点，半径是圆心到圆上任意一点的距离，直径是通过圆心的一条线段，弧是圆上两个点之间的弯曲部分，弦是圆上任意两点之间的线段，切线是与圆只有一个交点的直线。
接下来，我们将通过一些例题来探究二次函数与圆的关系。
例题1：已知二次函数y=2x²-4x+3，求与y轴相切的圆方程。
解析：对于与y轴相切的圆，我们可以首先求出二次函数的切线，然后通过切线的斜率和截距求出圆心和半径。
首先，我们知道切线的斜率等于二次函数在切点处的导数。
求导得到y'=4x-4、接下来，我们利用二次函数和切线的性质，将二次函数和切线联立求解。
因为切线与y轴相切，所以切线在y轴上的截距为0。
代入切线方程，得到0=4x-4，解得x=1然后，我们将x=1带入二次函数的表达式中，得到y=2x²-4x+3=2*1²-4*1+3=1、所以切点坐标为(1,1)。
接着，我们通过圆心、半径、切点来确定圆的方程。
圆心的横坐标等于切点的横坐标，圆心的纵坐标等于切点的纵坐标加上半径。
因为切线与y轴相切，所以切线在y轴上的截距为半径。
所以圆心的坐标为(1,1+1)=(1,2)。
中考数学以二次函数与圆的问题为背景例题
【例1】如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x 轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．【答案】（1）；（2）图象为开口向上的抛物线，见解析；（3）点A；x轴；（4）【解析】分析：（1）由题意得到AP=PB，求出y的值，即为圆P的半径；（2）利用两点间的距离公式，根据AP=PB，确定出y关于x的函数解析式，画出函数图象即可；（3）类比圆的定义描述此函数定义即可；（4）画出相应图形，求出m的值，进而确定出所求角的余弦值即可．详解：（1）由x=2，得到P（2，y），连接AP，PB，∵圆P与x轴相切，∴PB⊥x轴，即PB=y，由AP=PB，得到=y，解得：y=，则圆P的半径为；（2）同（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2，整理得：y=（x﹣1）2+1，即图象为开口向上的抛物线，画出函数图象，如图②所示；（3）给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点的集合；故答案为：点A；x轴；（4）连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F，交CD于E，设PE=a，则有EF=a+1，ED=，∴D坐标为（1+，a+1），代入抛物线解析式得：a+1=（1﹣a2）+1，解得：a=﹣2+或a=﹣2﹣（舍去），即PE=﹣2+，在Rt△PED中，PE=﹣2，PD=1，则cos∠APD==﹣2．【名师点睛】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：两点间的距离公式，二次函数的图象与性质，圆的性质，勾股定理，弄清题意是解本题的关键．【例2】我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD 交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．【答案】（1）①菱形，正方形；②不是；（2）（OE＞0）；（3）y=x2﹣9．【解析】分析：（1）利用“十字形”的定义判断即可；（2）先判断出∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，进而判断出∠AED=∠AEB=90°，即：AC ⊥BD，再判断出四边形OMEN是矩形，进而得出OE2=2-（AC2+BD2），即可得出结论；（3）由题意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，-ac），求出S= AC•BD=-（ac+c）×，S1=OA•OB=-，S2=OC•OD=-，S3=OA×OD=-，S4=O OB×OC=-，进而建立方程，求出a=1，再求出b=0，进而判断出四边形ABCD是菱形，求出AD=3，进而求出c=-9，即可得出结论．详解：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，∴菱形，正方形是：“十字形”，∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，∴平行四边形，矩形不是“十字形”，故答案为：菱形，正方形；②如图，当CB=CD时，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴AC⊥BD，∴当CB≠CD时，四边形ABCD不是“十字形”，故答案为：不是；（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CDB=∠CAB，∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB，∴∠AED=∠AEB=90°，∴AC⊥BD，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM=AC，DN=BD，四边形OMEN是矩形，∴ON=ME，OE2=OM2+ME2，∴OE2=OM2+ON2=2﹣（AC2+BD2），∵6≤AC2+BD2≤7，∴2﹣≤OE2≤2﹣，∴≤OE2≤，∴≤OE≤；（3）由题意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，﹣ac），∵a＞0，c＜0，∴OA=，OB=﹣c，OC=，OD=﹣ac，AC=，BD=﹣ac﹣c，∴S=AC•BD=﹣（ac+c）×，S1=OA•OB=﹣，S2=OC•OD=﹣，S3=OA×OD=﹣，S4=OB×OC=﹣，∵，，∴，∴=2，∴a=1，∴S=﹣c，S1=﹣，S4=﹣，∵，∴S=S1+S2+2，∴﹣c=﹣，∴O∴O∴b=0，∴A（，0），B（0，c），C（，0），d（0，﹣c），∴四边形ABCD是菱形，∴4AD=12，∴AD=3，即：AD2=90，∵AD2=c2﹣c，∴c2﹣c=90，∴c=﹣9或c=10（舍），即：y=x2﹣9．【名师点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，求出a=1是解本题的关键．【例3】如图，已知抛物线y=mx2+2mx+c（m≠0），与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A（﹣4，0）和点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）若P是线段OC上的动点，过点P作PE∥OA，交AC于点E，连接AP，当△AEP的面积最大时，求此时点P的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，⊙Q为△ABD的外接圆，求证⊙Q与直线y=2相切．【答案】（1）y=x2+x﹣4．（2）P（0，﹣2）；（3）见解析【解析】试题分析：审题知：（1）题中已知抛物线上的两个点，只需将点坐标代入抛物线解析式即可求解；（2）此题只需设出点P的坐标（0，t），并根据题中关系，列出△AEP面积关于t的二次函数即可求解；（3）此题应先求出圆心Q的坐标，在求出半径，证明圆心到直线的距离等于半径即可．解：（1）把点C（0，﹣4），点A（﹣4，0）坐标代入：y=mx2+2mx+c（m≠0）得：，解得：．所以：抛物线的解析式为：y=x2+x﹣4．（2）设点P（0，t）﹣4≤t≤0，则有：PC=t+4，OP=﹣t，OA=4由PE∥OA可知：三角形CPE，三角形POA，三角形AOC均为直角三角形，所以：，，解得：PE=t+4所以：S△AEP=×OA×OC﹣×OA×OP﹣×PC×PE=×4×4﹣×4×（﹣t）﹣×（t+4）×（t+4）=﹣t2﹣2t．所以：当t=﹣=﹣2时，△AEP的面积最大，此时：P（0，﹣2）；（3）过点D作DM⊥x轴，垂足为M，抛物线的解析式为：y=x2+x﹣4=（x+1）2﹣所以：顶点D（﹣1，），点M（﹣1，0），AM=﹣1﹣（﹣4）=3由圆和抛物线的对称性可知：圆心Q在DM上，QM⊥AB，设圆Q的半径为r，则AQ=r，QM=﹣r，由勾股定理得：r2=+32，解得：r=，QM=﹣r=，所以点Q（﹣1，﹣）因为直线y=2与x轴平行，所以点Q到直线y=2的距离为：2﹣（﹣）=，所以：圆心Q到直线y=2的距离=圆的半径所以：⊙Q与直线y=2相切．考点：二次函数综合题．【名师点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，第一问直接代入点的坐标求解析式即可，第二问构建函数模型解决问题；第三问利用解析式求得有关点的坐标，利用勾股定理求得线段的长度，利用切线的判定方法确定即可.【方法归纳】函数知识要理解好数形结合的思想，知识点的掌握中要理解文字解释和图像之间的关系，至于与圆、三角形、方程的综合题，往往最后一问难度大，要建立模型、框架，完善步骤，循序渐进.。
中考冲刺压轴题——二次函数与圆
1 二次函数与圆 【例1】 如图，在平面直角坐标系中，直线y=33x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m）2+n经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1﹣3）a． （1）求点A的坐标和∠ABO的度数；（2）当点C与点A重合时，求a的值； （3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？ 2 【例2】 如图，⊙C的内接⊿AOB中，AB=AO=4,tan∠AOB=43,抛物线y=ax2+bx经过点A(4，0)与点（-2，6） （1）求抛物线的函数解析式． （2）直线m与⊙C相切于点A交y轴于点D，动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动;同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动，点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时,求运动时间t的值 （3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当⊿ROB面积最大时，求点R的坐标. 3 【例3】 如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线
y= 41x²+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1． （1）求B点坐标 （2）求证：ME是⊙P的切线； （3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点，①求△ACQ周的最小值；②若FQ=t，S△ACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式． 4 【例4】 如图，y关于x的二次函数y=﹣33m（x+m）（x﹣3m）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m＞0） （1）写出A、B、D三点的坐标； （2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系； （3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图． 5 【例5】 在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，233）三点. （1）求此抛物线的解析式； （2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号） 6 【例6】 如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y＝2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA＝5．若抛物线y＝16x2＋bx＋c过O、A两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若A点关于直线y＝2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点(点P与点C不重合)．抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切?若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
(完整版)二次函数与圆的综合题
二次函数与圆的综合题1．已知：如图，抛物线2y x =x 轴分别交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，⊙M 经过原点O 及点A C ，，点D 是劣弧OA 上一动点（D 点与A O ，不重合）．（1）求抛物线的顶点E 的坐标；（2）求⊙M 的面积；（3）连CD 交AO 于点F ，延长CD 至G ，使2FG =，试探究当点D 运动到何处时，直线GA 与⊙M 相切，并请说明理由．2.如图，已知二次函数2(3)3y mx m x =+-- (m ＞0) (1) 求证：它的图象与x 轴必有两个不同的交点,(2) 这条抛物线与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x （1x ＜2x ），与y 轴交于点C ，且AB=4，⊙M 过A ，B ，C 三点，求扇形MAC 的面积S 。
(3) 在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，PD ⊥x 轴于D,使△PBD 被直线BC 分成面积比为1：2的两部分?若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。
O x yN C D EF B MA (0, )3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长． （3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．4..如图，已知抛物线y = ax 2 + bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y轴交于D ，抛物线的顶点为E ．（1）求m 的值及抛物线的解析式；（2）判断△OBD 与△CEB 是否相似,并说明理由；（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．A B C xO yl P P 1 Q Q 1 5.如图，在平面直角坐标系中，以点C(0，4)为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，AB 是⊙C 的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)．(1)当t ＝1时，得到P 1、Q 1两点，求经过A 、P 1、Q 1三点的抛物线解析式及对称轴l ； (2)当t 为何值时，直线PQ 与⊙C 相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP ＋NQ 最小，求出点N 的坐标并说明理由．6.在直角坐标系中，⊙A 的半径为4，圆心A 的坐标为（2，0），⊙A 与x 轴交于E 、F 两点，与y 轴交于C 、D 两点，过点C 作⊙A 的切线BC ，交x 轴于点B ． （1）求直线CB 的解析式；（2）若抛物线y =ax 2+b x +c 的顶点在直线BC 上，与x 轴的交点恰为点E 、F ，求该抛物线的解析式；（3）试判断点C 是否在抛物线上？（4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC 相似？直接写出两组这样的点．(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ．（1） 求抛物线对应的函数表达式；（2） 经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P A C N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3） 设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B D ，重合），经过A B E ，，三点的圆交直线BC 于点F ，试判断AEF △的形状，并说明理由；（4） 当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．8.如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。
中考数学32.3.二次函数综合题(涉及圆)
第 1 页 共 11 页 一、选择题 二、填空题 三、解答题 1.（2018滨州，26，14分）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B． （1）当x＝2时，求⊙P的半径； （2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象； （3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到________的距离等于到________的距离的所有点的集合． （4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧．请利用图②，求cos∠APD的大小．
xyxy(x，y)(1，2)AOBPAO 第26题图① 第26题图② 思路分析：（1）过A作AM⊥x轴于M，过P作PH⊥AM于H，通过构造Rt△AHP，结合勾股定理得出关于r的方程，通过解方程求出半径； （2）类比（1）构造Rt△AHP，利用勾股定理得出y与x的关系式，再判断函数图形的形状； （3）根据函数图象，结合集合定义的特征，得出结论； （4）利用⊙P的半径为1，得出P点坐标，而P点恰好为二次函数的顶点，过点D作DH⊥AP于H，构造Rt△PDH，然后将D点纵坐标用m来表示，进而表示出DH，HP，利用勾股定理得出关于m的方程，整体求出（m－1）²的值，再利用锐角三角函数的定义，用将三角函数值转化为（m－1）²的值即可．
解答过程：如图①，过A作AM⊥x轴于M，过P作PH⊥AM于H，连接PA、PB，则PB⊥x轴于点B，PA＝PB＝MH＝y． ∵A（1，2），∴OM＝1，AM＝2．∵P横坐标为2，OB＝2．∴PH＝OB－OM＝2－1＝1，AH＝AM－PB＝2－y．
在Rt△AHP中，∵AH2＋PH2＝AP2，∴(2－y)2＋12＝y2．∴y＝54.
答：当x＝2时，求⊙P的半径等于54.
2022年中考数学二次函数压轴突破 专题10 阿波罗尼斯圆模型(教师版含解析)
知识导航所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值(不为1)的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k(k ≠1)，则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理(1)角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=(2)外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED(SAS)，CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A(-m ，0)，则B(m ，0)，设P(x ，y)，PA=kPB ，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k m x y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线． 除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质：(1)PA MA NAk PB MB NB===． 应用：根据点A 、B 的位置及k 的值可确定M 、N 及圆心O ． (2)△OBP ∽△OPA ，即OB OPOP OA=，变形为2OP OA OB =⋅． 应用：根据圆心及半径和A 、B 其中一点，可求A 、B 另外一点位置． (3)OP OB PAk OA OP PB===． 应用：已知半径及A 、B 中的其中一点，即可知道PA ：PB 的值．N1.如图，在△ABC 中，AB=4,AC=2，点D 为AB 边上一点，当AD= 时，△ACD ∽△ABC.B解：若△ACD ∽△ABC 则有AC ADAB AC=即2AC AB AD =⋅ ∵AB=4,AC=2∴21AC AD AD== 故答案为1.2.如图，点P 是半径为2的O 上一动点，点A 、B 为O 外的定点，连接PA 、PB ，点B 与圆心O 的距离为4.要使12PA PB +的值最小，如何确定点P ，并说明理由.【思路分析】构造相似三角形，将所求两条线段的和转化为一条线段，此线段与圆的交点即为所求.【详解】连接OB ，OP ，在OB 上截取1,211,2212OP OC POC BOP OB OP POC BOPPC PB PC PB PA PB PA PC AC==∠=∠∴∴==∴+=+≥即 当点A 、P 、C 三点共线时，PA+PC 的值最小，最小值为AC 的长，即当点P 与'P 重合时，PA+12PB 的值最小.3.如图，平面直角坐标系中，A(4,0)，B(0,3)，点E 在以原点O 为圆心，2为半径的圆上运动，求23AE BE +的最小值.【思路分析】在坐标轴上找一点，构造相似三角形，利用对应边成比例将两条线段的和转化为求一条线段的长，即为最小值.【详解】如图，在y 轴上取一点M 43（0，） ，连接OE ，EM ，AM ，则OE=2，OB=3，OM=43∴23OE OM OB OE == 又∵EOM BOE ∠=∠ ∴EOM BOE ∽∴23EM OM BE OE ==,即23EM BE = ∴23AE BE AE EM AM +=+≥当A 、E 、M 三点共线时，AE+BM 的值最小，最小值为AM 的长. 在t R AOM中，AM ==∴当E 为线段AM 与O 的交点时，23AE BE +有最小值为3.4．如图，已知抛物线239y=-344x x ++与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，点E 的坐标为(2,0)，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到'OE ，旋转角为α()90α︒︒0＜＜，连接'BE 、'CE ，求2'+'3BE CE 的最小值.【思路分析】由旋转可知'E 点的运动轨迹为以原点O 为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧，在y 轴上找一点，构造相似三角形，再结合各点坐标求解即可. 【详解】解：∵抛物线的解析式为239y=-344x x ++ ∴()()4,0,0,3B C ∵点E 的坐标为(2,0)∴点'E 的运动轨迹为以原点O 为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧. 如图在y 轴上取一点43M （0，），连接',',OE E M BM ，则'2OE =，3OC =，43OM = ∴'2'3E M OM OC OE == 又∵'=COE'E OM ∠∠ ∴''E OM COE ∽ ∴'2='3E M CE 即2''3E M CE =∴2'+'''3BE CE BE E M BM =+≥当'B E M 、、三点共线时，''BE E M +的值最小，最小值为BM 的长.∵BM ===∴当'E 为BM 与圆弧的交点时，2'+'3BE CE.1．如图1，在平面直角坐标系中，直线55y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，抛物线2y x bx c =++经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为B ． (1)求抛物线解析式及B 点坐标；(2)若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，连接MA 、MB 、BC ，当点M 运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M 的坐标及四边形AMBC 的面积；(3)如图2，若P 点是半径为2的B 上一动点，连接PC 、PA ，当点P 运动到某一位置时，12PC PA +的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．【分析】(1)由直线55y x =-+求点A 、C 坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B 坐标． (2)从x 轴把四边形AMBC 分成ABC ∆与ABM ∆；由点A 、B 、C 坐标求ABC ∆面积；设点M 横坐标为m ，过点M 作x 轴的垂线段MH ，则能用m 表示MH 的长，进而求ABM ∆的面积，得到ABM ∆面积与m 的二次函数关系式，且对应的a 值小于0，配方即求得m 为何值时取得最大值，进而求点M 坐标和四边形AMBC 的面积最大值．(3)作点D 坐标为(4,0)，可得1BD =，进而有12BD BP BP AB ==，再加上公共角PBD ABP ∠=∠，根据两边对应成比例且夹角相等可证PBD ABP ∆∆∽，得PD PA 等于相似比12，进而得12PD AP =，所以当C 、P 、D 在同一直线上时，12PC PA PC PD CD +=+=最小．用两点间距离公式即求得CD 的长．【解答】解：(1)直线55y x =-+，0x =时，5y = (0,5)C ∴550y x =-+=时，解得：1x = (1,0)A ∴抛物线2y x bx c =++经过A ，C 两点 ∴10005b c c ++=⎧⎨++=⎩ 解得：65b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为265y x x =-+当2650y x x =-+=时，解得：11x =，25x = (5,0)B ∴(2)如图1，过点M 作MH x ⊥轴于点H(1,0)A ，(5,0)B ，(0,5)C 514AB ∴=-=，5OC =11451022ABC S AB OC ∆∴==⨯⨯= 点M 为x 轴下方抛物线上的点∴设(M m ，265)(15)m m m -+<<22|65|65MH m m m m ∴=-+=-+- 222114(65)212102(3)822ABM S AB MH m m m m m ∆∴==⨯-+-=-+-=--+ (2210[23)82(3)18ABC ABM AMBC S S S m m ∆∆⎤∴=+=+--+=--+⎦四边形∴当3m =，即(3,4)M -时，四边形AMBC 面积最大，最大面积等于18(可以直接利用点M 是抛物线的顶点时，面积最大求解)(3)如图2，在x 轴上取点(4,0)D ，连接PD 、CD 541BD ∴=-=4AB =，2BP =∴12BD BP BP AB == PBD ABP ∠=∠ PBD ABP ∴∆∆∽∴12PD BD AP BP ==， 12PD AP ∴=12PC PA PC PD ∴+=+∴当点C 、P 、D 在同一直线上时，12PC PA PC PD CD +=+=最小 22225441CD OC OD =++12PC PA ∴+41【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最大值，解一次方程(组)和一元二次方程，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短．求线段与线段的几分之几的和的最小值，一般将“线段的几分之几”进行转换，变成能用“两点之间线段最短”的图形来求最小值．2．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(3A ，0)，B 两点(点B 在点A 的左侧)，与y 轴交于点C ，且33OB OA OC ==，OAC ∠的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD 的直线l 交y 轴于点E ，点P是x 轴下方抛物线上的一个动点，过点P 作PF x ⊥轴，垂足为F ，交直线AD 于点H ． (1)求抛物线的解析式；(2)设点P 的横坐标为m ，当FH HP =时，求m 的值；(3)当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，12HC 为半径作H ，点Q 为H 上的一个动点，求14AQ EQ +的最小值．【分析】(1)求出A 、B 、C 的坐标，利用两根式求出抛物线的解析式即可； (2)求出直线AH 的解析式，根据方程即可解决问题；(3)首先求出H 的半径，在HA 上取一点K ，使得14HK =，此时73(K ，15)8-，由2HQ HK HA =，可得QHK AHQ ∆∆∽，推出14KQ HQ AQ AH ==，可得14KQ AQ =，推出14AQ QE KQ EQ +=+，可得当E 、Q 、K共线时，14AQ QE +的值最小，由此求出点E 坐标，点K 坐标即可解决问题； 【解答】解：(1)由题意(3A 0)，(33B -0)，(0,3)C -， 设抛物线的解析式为(33)(3)y a x x =+， 把(0,3)C -代入得到13a =．故抛物线的解析式为2123333y x x =-．(2)在Rt AOC ∆中，tan 3OCOAC OA∠== 60OAC ∴∠=︒，AD 平分OAC ∠，30OAD ∴∠=︒， tan301OD OA ∴=︒=，(0,1)D ∴-，∴直线AD 的解析式为31y =-，由题意2123(,3)33P m m m +-，3(,1)3H m m -，(,0)F m ， FH PH =，23312311(3)3333m m m m ∴-=--+- 解得3m =-或3(舍弃)，∴当FH HP =时，m 的值为3-．(3)如图，PF 是对称轴，(3F ∴-，0)，(3H -，2)-，AH AE ⊥，60EAO ∴∠=︒，33EO OA ∴==，(0,3)E ∴，(0,3)C -，22(3)12HC ∴+=，24AH FH ==，112QH CH ∴==， 在HA 上取一点K ，使得14HK =，此时7(38K 15)8-，21HQ =，1HK HA =，2HQ HK HA ∴=， ∴HQ KH AH HQ=， QHK AHQ ∠=∠，QHK AHQ ∴∆∆∽， ∴14KQ HQ AQ AH ==， 14KQ AQ ∴=， ∴14AQ QE KQ EQ +=+，∴当E 、Q 、K 共线时，14AQ QE +的值最小，最小值== 方法二：(可以不求点K 坐标，在Rt AKE ∆中，利用勾股定理即可)．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、一元二次方程、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．3．已知直线2y kx =-与抛物线2(y x bx c b =-+，c 为常数，0)b >的一个交点为(1,0)A -，点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点．(1)当直线2y kx =-与抛物线2(y x bx c b =-+，c 为常数，0)b >的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标；(2)在(1)的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C ，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b ，当12EQM ACE S S ∆∆=时，求m 的值；(3)点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为12b +2DM +的最小值为4时，求b 的值． 【分析】(1)将A 点坐标代入直线与抛物线的解析式中求得k 的值和b 与c 的关系式，再将抛物线的顶点坐标代入求得的直线的解析式，便可求得b 、c 的值，进而求得E 点的坐标；(2)先根据抛物线的解析式求得C 、Q 点坐标，用m 表示EQM ∆的面积，再根据12EQM ACE S S ∆∆=列出m 的方程进行解答；(3)取点(0,1)N ，则45OAN ∠=︒，过D 作直线AN 的垂线，垂足为G ，DG 与x 轴相交于点M ，此时22DM DG +=的值最小，由2DG b 的方程求解便可． 【解答】解：(1)直线2y kx =-与抛物线2(y x bx c b =-+，c 为常数，0)b >的一个交点为(1,0)A -， 20k ∴--=，10b c ++=，2k ∴=-，1c b =--，∴直线2y kx =-的解析式为22y x =--，抛物线2y x bx c =-+的顶点坐标为(2b E ，24)4c b -， (2b E ∴，244)4b b ---， 直线22y x =--与抛物线2(y x bx c b =-+，c 为常数，0)b >的另一个交点为该抛物线的顶点E ， ∴2442242b b b ---=-⨯-， 解得，2b =，或2b =-(舍)，当2b =时，3c =-，(1,4)E ∴-，故2k =-，2b =，3c =-，(1,4)E -；(2)由(1)知，直线的解析式为22y x =--，抛物线的解析式为223y x x =--，(0,3)C ∴-，(2,3)Q -，如图1，设直线22y x =--与y 轴交点为N ，则(0,2)N -，1CN ∴=， ∴111111122ACE ACN ECN S S S ∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=， ∴12EQM S ∆=， 设直线EQ 与x 轴的交点为D ，显然点M 不能与点D 重合，设直线EQ 的解析式为(0)y dx n d =+≠，则234d n d n +=-⎧⎨+=-⎩， 解得，15d n =⎧⎨=-⎩， ∴直线EQ 的解析式为5y x =-，(5,0)D ∴，11111|4||3||5|22222EQM EDM QDM S S S DM DM DM m ∆∆∆∴=-=⨯--⨯-==-=， 解得，4m =，或6m =； (3)点1(2D b +，)D y 在抛物线21y x bx b =---上， ∴2113()()12224D b y b b b b =+-+--=--， 可知点1(2D b +，3)24b --在第四象限，且在直线x b =的右侧， 2222()AM DM AM DM +=+，∴可取点(0,1)N ，则45OAN ∠=︒，如图2，过D 作直线AN 的垂线，垂足为G ，DG 与x 轴相交于点M ，9045GAM OAN ∠=︒-∠=︒2GM =， 则此时点M 满足题意，过D 作DH x ⊥轴于点H ，则点1(2H b +，0)， 在Rt MDH ∆中，可知45DMH MDH ∠=∠=︒，DH M H ∴=，2DM MH ，点(,0)M m ，310()()242b b m ∴---=+-， 解得，124b m =-， 27222DM +=， ∴1112722[()(1)]22[()()]242244bb b ---++--=， 解得，3b =， 此时，3150244m =-=>，符合题意， 3b ∴=． 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，三角形面积公式，等腰直角三角形的性质，第(2)小题关键是由面积关系列出m 的方程，第(3)22AM DM +的最小值为2DG 的值．。
中考复习考试专题系列之二——二次函数与圆的综合应用
第二讲 二次函数与圆(1)重难点：1、 复习二次函数和圆的基础题型。
2、 整理二次函数和圆问题常见的考察类型。
3、 正确应用圆和二次函数的基本性质解决实际问题。
4、 归纳总结自己的薄弱点。
教学内容：【经典例题】例1．如图所示，在直角坐标系中，⊙A 的半径为4，A 的坐标为（2,0），⊙A 与x 轴交于E 、F 两点，与y 轴交于C 、D 两点，过C 点作⊙A 的切线BC 交x 轴于B ． （1）求直线BC 的解析式；（2）若抛物线c bx ax y ++=2的顶点在直线BC 上，与x 轴的交点恰为⊙A 与x 轴的交点，求抛物线的解析式；（3）试判断点C 是否在抛物线上，并说明理由．例2．已知：如图所示，直线333+=x y 与y x ,轴分别交A 、B 两点，⊙M 经过原点O 及A 、B 两点．（1）求以OA 、OB 两线段长为根的一元二次方程；（2）C 是⊙M 上一点，连结BC 交OA 于D 点，若∠COD=∠CBO ，写出经过O 、C 、A 三点的二次函数的解析式；（3）若延长BC 到E ，使DE=2，连结EA ，试判断直线EA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．例3．已知：如图所示，Rt AOC ∆中，直角边OA 在x 轴负半轴上，OC 在y 轴正半轴上，点F在AO 上，以F 为圆心的圆与y 轴，AC 边相切，切点分别为O 、D ，⊙F 的半径为43tan ,23=∠CAO ．（1）求过A 、C 两点后一次函数解析的解析式； （2）求过E 、D 、O 三点的二次函数的解析式； （3）证明（2）中抛物线的顶点在直线AC 上．例4．已知：如图所示，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 经过x 轴上的两点)0,(),0,(21x B x A 和y 轴上的点)23,0(-C ，⊙P 的圆心P 在y 轴上，且经过B 、C 两点，若a b 3=，32=AB ．（1）求抛物线的解析式；（2）D 在抛物线上，且C 、D 两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD 是否经过圆心P ？并说明理由；（3）设直线BD 交⊙P 于另一点E ，求经过点E 的⊙P 的切线的解析式．例5．在直角坐标系中，抛物线349592942+++-=m mx x y 与x 轴交于A 、B 两点．已知点A 在x 轴的负半轴上，点B 在x 轴的正半轴上，且BO=2AO ，点C 为抛物线的顶点． （1）求此抛物线的解析式和经过B 、C 两点的直线的解析式；（2）点P 在此抛物线的对称轴上，且⊙P 与x 轴，直线BC 都相切，求点P 的坐标．例6．如图所示，在直角坐标系中，O 为坐标原点，A 点坐标为（-3,0），B 点坐标为（12,0），以AB 的中点P 为圆心，AB 为直径作⊙P 与y 轴的负半轴交于点C ．抛物线c bx ax y ++=2经过A 、B 、C 三点，其顶点为M ． （1）求此抛物线的解析式；（2）设点D 是抛物线与⊙P 的第四个交点（除A 、B 、C 三点以外），求直线AD 的解析式； （3）判断（2）中的直线MD 与⊙P 的位置关系，并说明理由．【拓展训练】1．已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点A （0,2）的直线AB 与以坐标原点为圆心，3为半径的圆相切于点C ，且与x 轴的负半轴相交于点B ．（1）求∠BAO 的度数；（2）求直线AB 的解析式；（3）若一抛物线的顶点在直线AB 上，且抛物线的顶点和它与x 轴的两个交点构成斜边长为2的直角三角形，求此抛物线的解析式．2．已知抛物线3)13(2--+=x x y ．（1）如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，求A 、B 、C 三点坐标．（2）若⊙E 过A 、B 、C 三点，求圆心E 的坐标和AC 的长；（3）OE 的延长线交⊙E 于F ，求过点F 且与⊙E相切的直线l 的解析式．【作业】-----二次函数与圆（一）1．如图所示，抛物线q px x y --=2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知4tan tan ,,,=-=∠=∠∠=∠βαβαCBO CAO Rt ACB ．（1）求抛物线的解析式，并用配方法求顶点的坐标、对称轴方程；（2）平行于x 轴的一条直线交抛物线于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆正好与x 轴相切，求此圆的半径．2．如图所示，二次函数c bx ax y ++=2过A （-1,0）、B （3,0）、C （0,-3），M 为顶点．（1）求二次函数的解析式；（2）ABM ∆内切圆圆心为D ，⊙D 与AB 相切于N 与BM 相切于E ，求它的半径；（3）在（1）中二次函数图像上是否存在一点P ，使PAN ∆的面积为ACM ∆面积的2001倍？若存在，求出P 点的坐标，若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系xO y 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，C 、D 四点．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点D ，与直线y ＝x 交于点M 、N ，且MA 、NC 分别与圆O 相切于点A 和点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长．（3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．x4．如图，在平面直角坐标系中，以点A (－3，0)为圆心、5为半径的圆与x 轴相交于点B 、C 两点（点B 在点C 的左边），与y 轴相交于D 、M 两点（点D 在点M 的下方）．（1）求以直线x ＝－3为对称轴、且经过D 、C 两点的抛物线的解析式；（2）若点P 是这条抛物线对称轴上的一个动点，求PC ＋PD 的取值范围；（3）若点E 为这条抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F ，使得以点B 、C 、E 、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝kx ＋b 与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，⊙P 经过点A 、点B （圆心P 在x 轴负半轴上），已知AB ＝10，AP ＝425． （1）求点P 到直线AB 的距离； （2）求直线y ＝kx ＋b 的解析式；（3）在⊙P 上是否存在点Q ，使得以A ，P ，B ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．在平面直角坐标系中，已知A (－4，0)，B (1，0)，且以AB 为直径的圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 作圆的切线交x 轴于点D ．（1）求点C 的坐标和过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； （2）求点D 的坐标；（3）设平行于x 轴的直线交抛物线于E ，F 两点，问：是否存在以线段EF 为直径的圆，恰好与x 轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．。
圆与二次函数结合的中考数学压轴题(1)
【圆与二次函数结合的中考数学压轴题（1）班级姓名学号1、2013•自贡压轴题】如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．【第1页】2、2013•巴中压轴题】如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣【1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．【第2页】3、【2013•遵义压轴题】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；（3）在以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．【第3页】【。
4、2013•烟台压轴题】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣23，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M 作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【第4页】。
二次函数和圆结合的题
二次函数和圆结合的题题目1：已知二次函数y = x^2 + 2x + 1 和圆的方程为(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4，请问是否存在二次函数与圆相交的点？如果存在，请求出交点坐标。
解答1：我们可以将二次函数和圆的方程联立，解方程组来求解交点坐标。
将二次函数的方程y = x^2 + 2x + 1 代入圆的方程中，得到：(x-1)^2 + ((x^2 + 2x + 1) - 2)^2 = 4化简等式，得到二次方程：(x-1)^2 + (x^2 + 2x - 1)^2 = 4展开并合并同类项，得到：x^4 + 4x^3 + 6x^2 - 12x + 6 = 0这是一个四次方程，我们可以使用数值方法或图像法求解，得到两个实根：x ≈ -2.59 和x ≈ -0.69将这两个x 值代入二次函数的方程，可以得到相应的y 值：当x ≈ -2.59 时，y ≈ 5.16当x ≈ -0.69 时，y ≈ 2.37所以，二次函数与圆相交的点的坐标为：(-2.59, 5.16) 和(-0.69, 2.37)题目2：已知二次函数y = x^2 + 3x - 2 和圆的方程为(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9，请问是否存在二次函数与圆相切？如果存在，请求出相切点的坐标。
解答2：我们可以将二次函数和圆的方程联立，并判断切点的情况。
将二次函数的方程y = x^2 + 3x - 2 代入圆的方程中，得到：(x-2)^2 + ((x^2 + 3x - 2) - 1)^2 = 9化简等式，得到二次方程：x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0这是一个四次方程，我们可以使用数值方法或图像法求解。
通过求解，我们发现这个方程没有实根，即二次函数与圆没有交点。
所以，二次函数与圆不相切。
综上所述，对于给定的二次函数和圆的方程，存在交点的情况可以通过解方程组来判断，并可以求解交点的坐标；而相切的情况则需要判断方程是否有实根来确定。
二次函数与圆综合问题(函数)-全国各地2019中考数学压轴题函数大题题型分类汇编(解析版)
2019全国各地中考数学压轴大题函数综合十、二次函数与圆综合问题1.（2019•潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝4时，求点P的坐标．解：（1）点B（0，4），则点C（0，2），∵点A（4，0），则点M（2，1）；（2）∵⊙P与直线AD，则∠CAD＝90°，设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，tan∠CAO＝＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，AC＝，则CD＝＝10，则点D（0，﹣8），将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1，将点B坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x+4，过点P作PH⊥EF，则EH＝EF＝2，cos∠PEH＝，解得：PE＝5，设点P（x，x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），则PE＝x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，解得x＝或2，则点P（，）或（2，1）．2.（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．解：（1）令ax2+6ax＝0，ax（x+6）＝0，∴A（﹣6，0）；（2）①证明：如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M，∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点，∴PM⊥OA，∠PBC+∠BOM＝90°，又∵PC＝PB，∴∠PCB＝∠PBC，∵CE为切线，∴∠PCB+∠ECD＝90°，又∵∠BDP＝∠CDE，∴∠ECD＝∠COE，∴CE＝DE．②解：设OE＝m，即E（m，0），由切割线定理得：CE2＝OE•AE，∴（m﹣t）2＝m•（m+6），∴①，∵∠CAE＝∠CBD，∠CAE＝∠OBE，∠CBO＝∠EBO，由角平分线定理：，即：，∴②，由①②得，整理得：t2+18t+36＝0，∴t2＝﹣18t﹣36，∴．3.（2019•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2；（2）如图1，过点P作直线l，使l∥EF，过点O作OP'⊥l，当直线l与抛物线只有一个交点时，PH最大，等于OP'，∵直线EF的解析式为y＝﹣x，设直线l的解析式为y＝﹣x+m①，∵抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2②，联立①②化简得，x2+x﹣2﹣m＝0，∴△＝﹣4××（﹣2﹣m）＝0，∴m＝﹣，∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣，令y＝0，则x＝﹣，∴M（﹣，0），∴OM＝，在Rt△OP'M中，OP'＝＝，∴PH最大＝．（3）①当∠CMB＝90°时，如图2，∴BM是⊙O的切线，∵⊙C半径为1，B（1，0），∴BM2∥y轴，∴∠CBM2＝∠BCO，M2（1，﹣2），∴BM2＝2，∵BM1与BM2是⊙C的切线，∴BM1＝BM2＝2，∠CBM1＝∠CBM2，∴∠CBM1＝∠BCO，∴BD＝CD，在Rt△BOD中，OD2+OB2＝BD2，∴OD2+1＝（2﹣OD）2，∴OD＝，∴BD＝，∴DM1＝过点M1作M1Q⊥y轴，∴M1Q∥x轴，∴△BOD∽△M1QD，∴，∴，∴M1Q＝，DQ＝，∴OQ＝+＝，∴M1（﹣，﹣），②当∠BCM＝90°时，如图3，∴∠OCM3+∠OCB＝90°，∵∠OCB+∠OBC＝90°，∴∠OCM3＝∠OBC，在Rt△BOC中，OB＝1，OC＝2，∴tan∠OBC＝＝2，∴tan∠OCM3＝2，过点M3作M3H⊥y轴于H，在Rt△CHM3中，CM3＝1，设CH＝m，则M3H＝2m，根据勾股定理得，m2+（2m）2＝1，∴m＝，∴M3H＝2m＝，OH＝OC﹣CH＝2﹣，∴M3（﹣，﹣2），而点M4与M3关于点C对称，∴M4（，﹣﹣2），即：满足条件的点M的坐标为（﹣，﹣）或（1，﹣2）或（﹣，﹣2）或（，﹣﹣2）．4.（2019•雅安）已知二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（2，﹣1），点P（P与O不重合）是图象上的一点，直线l过点（0，1）且平行于x轴．PM⊥l于点M，点F（0，﹣1）．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：点P在线段MF的中垂线上；（3）设直线PF交二次函数的图象于另一点Q，QN⊥l于点N，线段MF的中垂线交l于点R，求的值；（4）试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系．解：（1）∵y＝ax2（a≠0）的图象过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22，即a＝﹣，∴y＝﹣x2；（2）设二次函数的图象上的点P（x1，y1），则M（x1，1），y1＝﹣x12，即x12＝﹣4y1，PM＝|1﹣y1|，又PF＝＝＝|y1﹣1|＝PM，即PF＝PM，∴点P在线段MF的中垂线上；（3）连接RF，∵R在线段MF的中垂线上，∴MR＝FR，又∵PM＝PF，PR＝PR，∴△PMR≌△PFR（SSS），∴∠PFR＝∠PMR＝90°，∴RF⊥PF，连接RQ，又在Rt△RFQ和Rt△RNQ中，∵Q在y＝﹣x2的图象上，由（2）结论知∴QF＝QN，∵RQ＝RQ，∴Rt△RFQ≌Rt△RNQ（HL），即RN＝FR，即MR＝FR＝RN，∴＝1；（4）在△PQR中，由（3）知PR平分∠MRF，QR平分∠FRN，∴∠PRQ＝（∠MRF+∠FRN）＝90°，∴点R在以线段PQ为直径的圆上．5.（2019•梧州）如图，已知⊙A的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2﹣x+c过点A，与⊙A交于B、C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；（3）如果直线y＝k1x﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．解：（1）过点B、C分别作x轴的垂线交于点R、S，∵∠BAR+∠RAB＝90°，∠RAB+∠CAS＝90°，∴∠RAB＝∠CAR，又AB＝AC，∴RtBRA△≌Rt△ASC（AAS），∴AS＝BR＝2，AR＝CS＝1，故点B、C的坐标分别为（2，2）、（5，1），将点B、C坐标代入抛物线y＝ax2﹣x+c并解得：a＝，c＝11，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x+11；（2）将点B坐标代入y＝kx+1并解得：y＝x+1，则点D（﹣2，0），点A、B、C、D的坐标分别为（3，0）、（2，2）、（5，1）、（﹣2，0），则AB＝，AD＝5，点E在直线BD上，则设E的坐标为（x，x+1），∵AD＝AE，则52＝（3﹣x）2+（x+1）2，解得：x＝﹣2或6（舍去﹣2），故点E（6，4），把x＝6代入y＝x2﹣x+11＝4，故点E在抛物线上；（3）①当切点在x轴下方时，设直线y＝k1x﹣1与⊙A相切于点H，直线与x轴、y轴分别交于点K、G（0，﹣1），连接GA，AH＝AB＝，GA＝，∵∠AHK＝∠KOG＝90°，∠HKA＝∠HKA，∴△KOG∽△KHA，∴，即：，解得：KO＝2或﹣（舍去﹣），故点K（﹣2，0），把点K、G坐标代入y＝k1x﹣1并解得：直线的表达式为：y＝﹣x﹣1；②当切点在x轴上方时，直线的表达式为：y＝2x﹣1；故满足条件的直线解析式为：y＝﹣x﹣1或y＝2x﹣1．6.（2019•柳州）如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心，CE的长为半径作圆，点P为直线y＝x﹣3上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BDP周长的最小值；（3）若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于CE时，过P，Q两点的直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），求四边形ABMN的面积．解：（1）直线y＝x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝3，故点A、C的坐标为（3，0）、（0，﹣3），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）（x﹣1）＝a（x2﹣4x+3），则3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3…①；（2）连接DB′交于直线于P；此时三角形BDP周长＝BD+PB+PD＝BD+DB′为最小值，D（2，1），则点G（2，﹣1），即：BG＝EG，即点G是BB′的中点，过点B′（3，﹣2），△BDP周长最小值＝BD+B′D＝；（3）如图2所示，连接PF并延长交圆与点Q，此时PQ为最大值，点A、B、C、E、F的坐标为（3，0）、（1，0）、（0，﹣3）、（2，0）、（﹣2，0），则CE＝，FQ＝CE，则PF＝CE﹣CE＝，设点P（m，m﹣3），点F（﹣2，0），PF2＝13＝（m﹣2）2+（m﹣3）2，解得：m＝1，故点P（1，﹣2），将点P、F坐标代入一次函数表达式并解得：直线PF的表达式为：y＝﹣x﹣…②，联立①②并解得：x＝，故点M、N的坐标分别为：（，）、（，），过点M、N分别作x轴的垂线交于点S、R，则S四边形ABMN＝S梯形NRSM﹣S△ARN﹣S△SBM＝．。