中考专题：圆与二次函数结合题

中考专题： 圆与函数综合题

1、如图，平面直角坐标系中，以点C （2，3）为圆心，以2为半径的圆与轴交于A 、B 两点． （1）求A 、B 两点的坐标；

（2）若二次函数2

y x bx c =++的图象经过点A 、B ，试确定此二次函数的解析式．

2、如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线2

3y x bx c =-

++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB 若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由； （3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．

3、如图，抛物线2

y ax bx c =++的对称轴为轴，且经过（0,0），（1

a,16

）两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A （0,2）， (1)求a,b,c 的值；

(2)求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与轴相交；

（3）设⊙P 与轴相交于M ()1x ,0，N ()()212x ,0x x p 两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标。

4、如图，二次函数y =x 2+bx －3b +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，且经过点（b －2，2b 2－5b －1）. （1）求这条抛物线的解析式；

（2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标；

（3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标.

5、类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。 原题：如图1，在⊙O 中，MN 是直径，AB ⊥MN 于点B ，CD ⊥MN 于点D ，∠AOC =90°，AB =3，CD =4，则BD = 。

⑴尝试探究：如图2，在⊙O 中，M N 是直径，AB ⊥MN 于点B ，CD ⊥MN 于点D ，点E 在MN 上，∠AEC =90°，AB =3，BD =8，BE ：DE =1:3，则CD = （试写出解答过程）。

⑵类比延伸：利用图3，再探究，当A 、C 两点分别在直径MN 两侧，且AB ≠CD ，AB ⊥MN 于点B ，CD ⊥MN 于点D ，∠AOC =90°时，则线段AB 、CD 、BD 满足的数量关系为 。

⑶拓展迁移：如图4，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （m ，6），B （n ，1）两点（其中0＜m ＜3），且以y 轴为对称轴，且∠AOB =90°，①求mn 的值；②当S △AOB =10时，求抛物线的解析式。

6、如图，设抛物线2113

424

y x x =

--交x 轴于A,B 两点，顶点为D ．以BA 为直径作半圆，圆心为M ，半圆交y 轴负半轴于C ．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）将△ACB 绕圆心M 顺时针旋转180°，得到△APB ，如图．求点P 的坐标；

（3）有一动点Q 在线段AB 上运动，△QCD 的周长在不断变化时是否存在最小值若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．

(1) 求b，c的值。

（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若不存在，请说明理由.

(3) 如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B,C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．

8、如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD 分别交y轴和⊙P于E、F两点，交连结AC、FC．

(1)求证：∠ACF=∠ADB;

(2)若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；

(3)当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，DE

AO

的值

是否发生变化若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．

9、如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为25的圆C与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，且点C在x轴的上方．

（1）求圆心C的坐标；

（2）已知一个二次函数的图像经过点A、B、C，求这二次函数的解析式；

（3）设点P在y轴上，点M在（2）的二次函数图像上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标.

10、如图，在⊙M中，弦AB所对的圆心角为120°，已知圆的半径为1cm，并建立如图所示的直角坐标系．

（1）求圆心M的坐标；

（2）求经过A,B,C三点的抛物线的解析式；

（3）点P是⊙M上的一个动点，当△PAB为Rt△时，求点p的坐标。

11、如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合）OD ⊥BC,OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ． （1）当BC=1时，求线段OD 的长；

（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；

（3）设BD=x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

12、已知抛物线2

3y ax bx =++经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y 轴交于点C ．

（1）求抛物线23y ax bx =++的函数关系式及点C 的坐标；

（2）如图（1）,连接AB ，在题（1）中的抛物线上是否存在点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图（2）,连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合）经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求点E 的坐标．

13、已知：如图，抛物线y＝x2－x－1与y轴交于C点，以原点O为圆心，OC长为半径作⊙O，交x 轴于A，B两点，交y轴于另一点D．设点P为抛物线y＝x2－x－1上的一点，作PM⊥x轴于M点，求使△PMB∽△ADB时的点P的坐标．

14、点A（-1,0）B（4,0）C（0,2）是平面直角坐标系上的三点。

①如图1先过A、B、C作△ABC，然后在在轴上方作一个正方形D1E1F1G1, 使D1E1在AB上，F1、G1分别在BC、AC上

②如图2先过A、B、C作圆⊙M，然后在轴上方作一个正方形D2E2F2G2, 使D2E2在轴上，F2、G2在圆上

③如图3先过A、B、C作抛物线，然后在轴上方作一个正方形D3E3F3G3, 使D3E3在轴上，F3、G3在抛物线上

请比较正方形D1E1F1G1 , 正方形D2E2F2G2 , 正方形D3E3F3G3的面积大小

15、如图，已知经过坐标原点的⊙P 与x 轴交于点A （8，0），与y 轴交于点B （0，6），点C 是第一象限内⊙P 上一点，CB =CO ，抛物线2

y ax bx =+经过点A 和点C ． （1）求⊙P 的半径；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否存在点D ，使得点A 、点B 、点C 和点D 构成矩形，若存在，直接写出符合条件的点D 的坐标；若不存在，试说明理由．

16、已知：如图9-1，抛物线经过点O 、A 、B 三点，四边形OABC 是直角梯形，其中点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，BC ∥OA ，A （12，0）、B （4，8）． （1）求抛物线所对应的函数关系式；

（2）若D 为OA 的中点，动点P 自A 点出发沿A →B →C →O 的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t 秒．几秒钟后线段PD 将梯形OABC 的面积分成 1﹕3两部分并求出此时P 点的坐标；

（3）如图9-2，作△OBC 的外接圆O ′，点Q 是抛物线上点A 、B 之间的动点，连接OQ 交⊙O ′于点M ，交AB 于点N ．当∠BOQ=45°时，求线段MN 的长．

17、如图, 已知抛物线2

1y 2

x bx c =

++与y 轴相交于C ，

与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）。 （1）求抛物线的解析式；

（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；

（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由。

18、如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0，c ＜0）交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ，设过点A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ．

（1）如图1，已知点A ，B ，C 的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）； ①求此抛物线的表达式与点D 的坐标；

②若点M 为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM 面积的最大值；

（2）如图2，若a=1，求证：无论b ，c 取何值，点D 均为顶点，求出该定点坐标．

19、抛物线2

2y ax ax b =++与直线y=x+1交于A 、C 两点，与y 轴交于B ，AB ∥x 轴，且S △ABC =3 （1）求抛物线的解析式。

（2）P 为x 轴负半轴上一点，以AP 、AC 为边作，是否存在P ，使得Q 点恰好在此抛物线上若存在，请求出P 、Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）AD ⊥X 轴于D ，以OD 为直径作⊙M ，N 为⊙M 上一动点，（不与O 、D 重合），过N 作AN 的垂线交x 轴于R 点，DN 交Y 轴于点S ，当N 点运动时，线段OR 、OS 是否存在确定的数量关系写出证明。

20、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P 是反比例函数6

y x

=（x ＞0）图象上的任意一点，以P 为圆心，PO 为半径的圆与x 、y 轴分别交于点A 、B ． （1）判断P 是否在线段AB 上，并说明理由； （2）求△AOB 的面积； （3）Q 是反比例函数6

y x

=

（x ＞0）图象上异于点P 的另一点，请以Q 为圆心，QO 半径画圆与x 、y 轴分别交于点M 、N ，连接AN 、MB ．求证：AN ∥MB ．

备用图

21、如图, 在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点p, PH ⊥OA,垂足为H, △PHO 的中线PM 与NH 交于点G ． （1）求证：

2PG

GM

； （2）设PH=x,GP=y,求y 关于x 的函数解析式，并写自变量的取值范围； （3）如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长．

22、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC>AC ,以斜边AB 所在直线为x 轴,以斜边AB 上的高所在直线为y 轴,建立直角坐标系,若OA 2+OB 2=17,且线段O （ ）

A ．O

B 的长度是关于x 的一元二次方程x 2-mx +2(m -3)=0的两个根. (1)求

C 点的坐标;

(2)以斜边AB 为直径作圆与y 轴交于另一点E ,求过（ ） A ． B ．E 三点的抛物线的解析式,并画出此抛物线的草图;

(3)在抛物线上是否存在点P ,使△ABP 与△ABC 全等若存在,求出符合条件的P 点的坐标;若不存在,说明理由.

参考答案

1、解：（1）过点C作CM⊥轴于点M，则点M为AB的中点．

∵CA=2，CM=，∴AM==1．于是，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）（2）将（1，0），（3，0）代入得，

解得所以，此二次函数的解析式为．

2、考点：二次函数综合题。

解答：解：（1）如答图1，连接OB．

∵BC=2，OC=1 ∴OB=∴B（0，）

将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式

得，解得：，

∴．

（2）存在．

如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．

∵B（0，），O（0，0），

∴直线l的表达式为．代入抛物线的表达式，

得；解得，

∴P（）．

（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H．

设M（），

则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=（MH+OB）OH+HAMH﹣OAOB

=

=

∵，∴

=∴当时，取得最大值，最大值为．

3、（1）

（2）设P(x,y), ⊙P的半径r=，又，则r=，化简得：r=＞，∴点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交；

（3）设P()，∵PA=，作PH⊥MN于H,则PM=PN=,又PH=,则MH=NH=，故MN=4，∴M(，0)，N(,0)，

又A(0，2)，∴AM=,AN=

当AM=AN时，解得=0，

当AM=MN时, =4，解得：=，则=；

当AN=MN时, =4，解得：= ，则=

综上所述，P的纵坐标为0或或；

4、解：（1）把点（b－2，2b2－5b－1）代入解析式，得

2b2－5b－1=（b－2）2+b（b－2）－3b+3，……………1′

解得b=2.

∴抛物线的解析式为y=x2+2x－3. ……………2′

（2）由x2+2x－3=0，得x=－3或x=1.

∴A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）.

抛物线的对称轴是直线x=－1，圆心M在直线x=－1上. ……………3′

∴设M（－1，n），作MG⊥x轴于G，MH⊥y轴于H，连接MC、MB.

∴MH=1，BG=2. ……………4′

∵MB=MC，∴BG2+MG2=MH2+CH2，

即4+n2=1+（3+n）2，解得n=－1，∴点M（－1，－1）……………5′

（3）如图，由M（－1，－1），得MG=MH.

∵MA=MD，∴Rt△AMG≌RtDMH，∴∠1=∠2.

由旋转可知∠3=∠4. ∴△AME≌△DMF.

若△DMF为等腰三角形，则△AME为等腰三角形. ……………6′

设E（x，0），△AME为等腰三角形，分三种情况：

①AE=AM=，则x=－3，∴E（－3，0）；

②∵M在AB的垂直平分线上，

∴MA=ME=MB，∴E（1，0）……………7′

③点E在AM的垂直平分线上，则AE=ME.

AE=x+3，ME2=MG2+EG2=1+（－1－x）2，∴（x+3）2=1+（－1－x）2，解得x=，∴E（，0）.

∴所求点E的坐标为（－3，0），（1，0），（，0）……………8′

5、解：⑴原题：∵AB⊥MN，CD⊥MN，∴∠ABO=∠ODC=90°∠BAO+∠AOB=90°

∵∠AOC=90°∴∠DOC+∠AOB=90°∴∠BAO=∠DOC 又∵OA=OC ∴△AOB≌△ODC（AAS）

∴OD=AB=3，OB=CD=4，∴BD=OB+OD=7

∠BAE+∠AEB=90°∵∠AEC=90°∴∠DEC+∠AEB=90°∴∠BAE=∠DEC ∴△ABE∽△EDC

∴∵AB=3，BD=8，BE：DE=1:3，∴BE=2，DE=6 ∴∴CD=4

⑶类比延伸：如图3（a）CD=AB+BD；

如图3（b）AB=CD+BD ………2分

⑷拓展迁移：①作轴于C点，轴于D点，点坐标分别为，∴

，又∵∠AOB=90°

∴∠BCO=∠ODA=90°，∠OBC=∠AOD ∴，

∴。………2分

②由①得，，又，∴，

即，

又

∴坐标为（2，6），B坐标为（－3，1），代入得抛物线解析式为。………2分

6、解：（1）对称轴为直线x=1 2’

(2) A (-1,0) ，B (3,0) ，M(1,0)

所以圆M的半径为2 1’

1’

（3）顶点坐标为D（1，-1）

D（1，-1）关于x轴的对称点D‘（1，1）1’则直线CD‘为1’

则CD‘与X轴的交点即为所求的Q点为2’

7、解：（1）连结A、B

∵∠AOB＝90°∴AB是⊙P的直径……2分AB=

（2）作CH⊥OB，垂直为H，

∵CB=CO∴H是OB的中点∴CH过圆心PPH=∴C的坐标是（9，3）……7分

把A、C坐标分别代入得：

……8分解得∴抛物线的解析式是……12分

（3）D(-1，3)

8、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），

∴，解得，

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；

∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．

如答图1，连接AC、BC．

由勾股定理得：AC=，BC=．

∵AC2+BC2=AB2=100，∴∠ACB=90°，∴AB为圆的直径．

由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，∴D（0，4）．

（2）解法一：

设直线BD的解析式为y=kx+b，

∵B（8，0），D（0，4），

∴，解得，

∴直线BD解析式为：y=﹣x+4．

设M（x，x2﹣x﹣4），

如答图2﹣1，过点M作ME∥y轴，交BD于点E，则E（x，﹣x+4）．

∴ME=（﹣x+4）﹣（x2﹣x﹣4）=﹣x2+x+8．

∴S△BDM=S△MED+S△MEB=ME（x E﹣x D）+ME（x B﹣x D）=ME（x B﹣x D）=4ME，

∴S△BDM=4（﹣x2+x+8）=﹣x2+4x+32=﹣（x﹣2）2+36．∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36；

解法二：

如答图2﹣2，过M作MN⊥y轴于点N．

设M（m，m2﹣m﹣4），

∵S△OBD=O BOD==16，S梯形OBMN=（MN+OB）ON =（m+8）[﹣（m2﹣m﹣4）]

=﹣m（m2﹣m﹣4）﹣4（m2﹣m﹣4），

S△MND=MNDN=m[4﹣（m2﹣m﹣4）]=2m﹣m（m2﹣m﹣4），

∴S△BDM=S△OBD+S梯形OBMN﹣S△MND=16﹣m（m2﹣m﹣4）﹣4（m2﹣m﹣4）﹣2m+m（m2﹣m﹣4）

=16﹣4（m2﹣m﹣4）﹣2m=﹣m2+4m+32=﹣（m﹣2）2+36；

∴当m=2时，△BDM的面积有最大值为36．

（3）如答图3，连接AD、BC．

由圆周角定理得：∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，

∴△AOD∽△COB，

∴=，

设A（x1，0），B（x2，0），

∵已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0），

∵OC=﹣c，x1x2=c，

∴=，

∴OD==1，

∴无论b，c取何值，点D均为定点，该定点坐标D（0，1）．

9、解：（1）联结AC，过点C作，垂直为H，

由垂径定理得：AH=＝2，则OH＝1．由勾股定理得：CH＝4．

又点C在x轴的上方，∴点C的坐标为．

（2）设二次函数的解析式为

由题意，得

解这个方程组，得∴这二次函数的解析式为y =－x2+2x＋3．

（3）点M的坐标为或或

10、（1）证明：连接AB ……1分

∵OP⊥BC ∴BO=CO ……2分∴AB=AC

又∵∠ABD=∠ACF ∴∠ACF=∠ADB ……4分

（2）解：过点A做AM⊥CF交CF的延长线于M，过点A做AN⊥BF于N，连接AF 则AN=m ∴∠ANB=∠AMC=90°

又∵∠ABN=∠ACM ，AB=AC ∴Rt⊿ABN≌Rt⊿ACM（AAS）∴BN=CM ，AN=AM ……5分又∵∠ANF=∠AMF=90°, AF公共∴Rt⊿AFN≌Rt⊿AFM(HL) ∴

NF=MF ……6分

∴BF+CF=BN+NF+CM-MF=BN+CM=2BN=n ……7分∴BN=

∴CD=……8分

（3）过点D做DH⊥AO于N , 过点D做DQ⊥BC于Q…9分

∵∠DAH+∠OAC=90°, ∠DAH+∠ADH=90°

∴∠OAC=∠ADH

又∵∠DHA=∠AOC=90°, AD=AC

∴Rt⊿DHA≌Rt⊿AOC（AAS）

∴DH=AO ,AH=OC ……10分

∴==

11、

12、解：（1）（3分）将A(3,0),B(4,1)代人

得

∴∴

∴C(0,3)

(2)(7分)假设存在，分两种情况，如图.

①连接AC,

∵OA=OC=3, ∴∠OAC=∠OCA=45O. ……1分

过B作BD⊥轴于D，则有BD=1，

, ∴BD=AD, ∴∠DAB=∠DBA=45O.

∴∠BAC=180O-45O-45O=90O……………2分

∴△ABC是直角三角形. ∴C(0,3)符合条件. ∴P1(0,3)为所求.

②当∠ABP=90O时,过B作BP∥AC,BP交抛物线于点P. ∵A(3,0),C(0,3)

∴直线AC的函数关系式为

将直线AC向上平移2个单位与直线BP重合. 则直线BP的函数关系式为

由,得

又B(4,1), ∴P2(-1,6). 综上所述,存在两点P1(0,3), P2(-1,6).

另解②当∠ABP=90O时, 过B作BP∥AC,BP交抛物线于点P.

∵A(3,0),C(0,3) ∴直线AC的函数关系式为

将直线AC向上平移2个单位与直线BP重合. 则直线BP的函数关系式为

∵点P在直线上，又在上.∴设点P为

∴解得∴P1(-1,6), P2(4,1)(舍)

综上所述,存在两点P1(0,3), P2(-1,6).

(3)(4分) ∵∠OAE=∠OAF=45O,而∠OEF=∠OAF=45O, ∠OFE=∠OAE=45O, ∴∠OEF=∠OFE=45O,

∴OE=OF, ∠EOF=90O∵点E在线段AC上, ∴设E∴

=

∴=

==

∴当时, 取最小值,

此时, ∴

13、提示：设P点的横坐标x P＝a，则P点的纵坐标y P＝a2－a－1．

则PM＝｜a2－a－1｜，BM＝｜a－1｜．因为△ADB为等腰直角三角形，所以欲使△PMB∽△ADB，只要使PM＝BM.即｜a2－a－1｜＝｜a－1｜．不难得a＝0．

∴P点坐标分别为P1(0，－1)．P2(2，1)．

14、(1) b=－2，c= 3 ………

(2)存在。理由如下：………

设P点

∵S△BPC=当时，∴最大＝…

当时，∴点P坐标为…………

(3)∵OB=OC=3∴∠OBC=∠OCB=45O,而∠OEF=∠OBF=45O, ∠OFE=∠OBE=45O,

∴∠OEF=∠OFE=45O, ∴OE=OF, ∠EOF=90O……………………（6分）

∴=OE2 ∴当OE最小时，△OEF面积取得最小值…………

∵点E在线段BC上, ∴当OE⊥BC时，OE最小此时点E是BC中点∴E()…

15、1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,－1)

∴解得：b=－c=－1∴二次函数的解析式为

（2）设点D的坐标为（m，0）（0＜m＜2）

∴OD=m∴AD=2-m

由△ADE∽△AOC得，∴∴DE=

∴△CDE的面积=××m==

当m=1时，△CDE的面积最大∴点D的坐标为（1，0）

（3）存在由(1)知：二次函数的解析式为

设y=0则解得：x1=2 x2=－1

∴点B的坐标为（－1，0）C（0，－1）

设直线BC的解析式为：y=kx＋b

∴解得：k=-1 b=-1 ∴直线BC的解析式为: y=－x－1

在Rt△AOC中，∠AOC=900 OA=2 OC=1由勾股定理得：AC=

∵点B(－1,0) 点C（0，－1）∴OB=OC ∠BCO=450

设P(k, －k－1)过点P作PH⊥y轴于H∴∠HCP=∠BCO=450

CH=PH=∣k∣在Rt△PCH中

∴P1（，－）P2（－，）

②以A为顶点，即AC=AP=

设P(k, －k－1)过点P作PG⊥x轴于G AG=∣2－k∣GP=∣－k－1∣

在Rt△APG中AG2＋PG2=AP2 （2－k)2+(－k－1)2=5

解得：k1=1,k2=0(舍)∴P3(1, －2)

③以P为顶点，PC=AP设P(k, －k－1) 过点P作PQ⊥y轴于点Q

PL⊥x轴于点L∴L(k,0) ∴△QPC为等腰直角三角形PQ=CQ=k

由勾股定理知CP=PA=k(k)2=(k－2)2＋(k＋1)2∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜在Rt△PLA中

解得：k=∴P4(,－) 综上所述：存在四个点：P1（，－）

k2+k2= 解得k1=，k2=－P2（-，）P3(1, －2) P4(,－)

16、（1）解：∵抛物线经过O（0，0）、A（12，0）、B（4，8）

∴设抛物线的解析式为：

∴将点B的坐标代入，得：，解得：，

∴所求抛物线的关系式为：

（2）解：过点B作BF⊥x轴于点F，∵BF=8，AF=12-4=8∴∠BAF = 45o

∴S梯形OABC=∴面积分成1﹕3两部分，即面积分成16﹕48

由题意得，动点P整个运动过程分三种情况，但点P在BC上时，

由于∵S△ABD=∴点P在BC上不能满足要求。…

即点P只能在AB或OC上才能满足要求，

①点P在AB上，设P(x,y)

可得S△APD=又S△APD=∴y=

过P作PE⊥x轴于点E,由∠BAF = 45o

∴AE=PE=∴x=

又过D作DH⊥AB于H, ∵AD=6 ∴DH= ∵S△APD=

∴t=∴当t=时，P满足要求。

②点P在OC上，设P(0,y)

∵S△APD=∴y=∴P