倒向随机微分方程解的光滑性
blach well法
blach well法Blackwell法是一种经典的数值求解随机微分方程的方法，它是由David Blackwell在20世纪50年代提出的。
该方法主要用于求解布朗运动和其他随机过程的数值解，被广泛应用于金融学、生物学、物理学等领域。
一、基本思想Blackwell法的基本思想是将随机微分方程离散化，然后使用递推关系式计算出每一步的解。
具体地说，我们将时间轴上的区间等分为N个时间步长，然后在每个时间步长内假设随机过程服从正态分布，这样就可以得到每个时间步长内的期望和方差。
接着，我们使用欧拉-马尔可夫过程来模拟这些期望和方差，并通过递推关系式来计算出下一个时间步长内的解。
二、算法流程Blackwell法的算法流程如下：1. 将时间轴等分为N个时间步长；2. 在每个时间步长内假设随机过程服从正态分布，并计算期望和方差；3. 使用欧拉-马尔可夫过程来模拟这些期望和方差；4. 通过递推关系式计算出下一个时间步长内的解。
三、数值实现Blackwell法的数值实现需要注意以下几点：1. 时间步长的选取：时间步长越小，求解的精度越高，但计算量也会增加。
因此，需要根据具体问题来选择时间步长。
2. 正态分布的模拟：在每个时间步长内假设随机过程服从正态分布，需要使用随机数生成器来模拟正态分布。
3. 欧拉-马尔可夫过程的模拟：欧拉-马尔可夫过程可以使用简单的递推关系式来计算。
4. 递推关系式的求解：递推关系式可以使用迭代法或矩阵求逆法来求解。
四、应用领域Blackwell法主要应用于以下领域：1. 金融学：Blackwell法可以用于计算期权定价、风险管理等问题。
2. 生物学：Blackwell法可以用于模拟生物系统中的随机变化。
3. 物理学：Blackwell法可以用于模拟粒子在介质中的扩散过程等问题。
五、优缺点及改进Blackwell法具有以下优点：1. 精度高：Blackwell法能够提供较高精度的数值解。
2. 稳定性好：Blackwell法对初始条件和参数的变化比较稳定。
求解随机微分方程Heun法的稳定性
ｆ ｂ ｒ
（） １
ｆ
）ｇ ） ［０ Ｔ 上 的连续 可 测 函数 ， 别称 为偏 移 系数 和 扩散 系数 ， Ｅ Ｉ ｏＩ ＜ 。， （） ， （ 为 ｔ， ］ 分 且 Ｙ 。 ｆ 为标
准的ｗｅｅ过程， ｉ ｒ ｎ 其增量 Ａ （）： （ ＋ｈ 一 （） ｗ ｆ ｆ ） ｆ服从正态分布 Ｎ Ｏｈ， （，） 且有性质 Ｅ ｇ ｆ ｗ ｆＩ Ｉ （） （） ＝ Ｉ ｄ
Ｉ ｒ ｂ Ｉ ｒ＾
ｏＥ Ｉ ｇｔ ｗ ｆ Ｉ ＝Ｉ Ｉ（） ｄ． １有 ， Ｉ （） （） ｌ ｆ ｆ Ｉ ｄ ｇ 方程（） 两种较 为特殊的 形： 是当ｇＹ关于Ｙ 线 情 一种 （） 为 性
日２＝ ｇ ） ， （ △ 则称 ＋ ＋ （ ）＋ ＋ １＝ （ （
数稳定 的 ．
ｎ 厂 ■——————————一
定 ｔ 令尺 ：／ （，，， Ｙ ＝ ，，） ， 尺（，，）＜ ，称 值 法 义３ Ⅱ尺ｈ Ａ ） Ｒ（ Ｙ 若Ｉ ｈ Ｉ １ 数 方 ｗ， ｈ 则
＝１
是 稳 定 的 ．
１ 数值算法 Ｈ ｕ 法 ｅｎ
定义 ｌ］ 令 尺 ［ ５ 】： Ｅ（ ｈ， ， ） ， 称 尺１ｈ， ） Ｒ （ ， △ ）则 （ ， 是此 方法 的均方稳 定 函数 ； 果 给定步 长 ｈ， 如 Ｉ 】ｈ ， ）Ｉ １则 称 此数 值方 法 是均 方稳 定 的 ， （， Ｒ ＜ ，
定义 ２ 对于给定步长 ｈ 一个数值方法用于解随机微分方程得到其离散解 ｛ ：， ， Ｙ ｝ ０如果存在两个正常 数 ｍ和 Ⅳ使得 Ｅ Ｉ Ｉ ≤ Ｎ Ｙ ｅ ， Ｙ Ｅ Ｉ ０ － Ｖｎ≥０则称此数值方法对于随机微分方程在均方意义下是指 Ｉ ，
微分方程的稳定性与全局解的存在性
微分方程的稳定性与全局解的存在性微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
对于微分方程的研究，稳定性与全局解的存在性是两个重要的问题。
本文将针对微分方程的稳定性与全局解的存在性展开讨论，并探讨它们在应用中的意义。
一、稳定性分析稳定性是指微分方程解的行为在微小扰动下是否保持不变。
对于一阶线性微分方程，稳定性可通过特征值的符号来判断。
具体而言，若特征值的实部均小于零，则系统稳定；若存在大于零的实部特征值，则系统不稳定。
对于高阶非线性微分方程，稳定性的分析相对复杂。
一种常用方法是通过线性化系统来研究非线性系统的稳定性。
线性化系统是在非线性系统的稳定点附近对非线性系统进行线性逼近得到的系统。
通过分析线性化系统的特征值，可以判断非线性系统的局部稳定性。
二、全局解的存在性全局解是指微分方程在整个定义域上存在且唯一的解。
对于一阶线性微分方程，全局解的存在性一般能得到保证。
而对于非线性微分方程，全局解的存在性则需要满足一定的条件。
全局解的存在性与定理有关。
例如，一个常用的定理是皮卡-里普丝定理（Picard-Lindelöf Theorem），该定理保证了一阶常微分方程在给定条件下存在唯一的全局解。
另外，拉格朗日平均值定理（MeanValue Theorem）也是分析全局解存在性的有用工具。
除了定理，数值方法也可以用来求解微分方程的全局解。
例如，常用的欧拉方法、龙格-库塔方法等数值方法能够逼近微分方程的全局解。
这些数值方法在实际应用中具有重要意义，特别是对于复杂的非线性微分方程。
三、稳定性与全局解的应用意义微分方程的稳定性和全局解的存在性在科学与工程中具有广泛的应用价值。
以下列举几个具体的应用领域：1. 物理学：微分方程广泛应用于物理学中的运动学、电磁学、热力学等领域。
通过稳定性分析和全局解的存在性可以确定物理系统的稳定性和行为。
2. 工程学：微分方程被应用于工程学中的控制系统、信号处理、电路等领域。
pinn正向反向求解偏微分方程
pinn正向反向求解偏微分方程Pinn正向反向求解偏微分方程引言在科学和工程领域，偏微分方程是描述自然界中各种现象的重要数学工具。
求解偏微分方程可以帮助我们深入理解各种现象，并预测未知的事件发展。
然而，由于偏微分方程的复杂性和计算代价，传统的数值求解方法往往不够高效。
近年来，基于物理约束的神经网络（PINN）方法被提出并取得了显著的成果。
什么是PINN？物理约束的神经网络（Physics-Informed Neural Networks，简称PINN）是一种结合了物理定律的神经网络模型。
其基本思想是利用神经网络学习系统的物理约束，并通过反向传播算法求解偏微分方程。
与传统的有限差分或有限元方法相比，PINN利用神经网络的优势，能够更高效地解决复杂的偏微分方程。
PINN的工作原理PINN的工作原理可以分为两个关键步骤：正向建模和反向求解。
正向建模在正向建模阶段，我们首先通过定义神经网络的结构和参数，构建一个逼近真实解的模型。
我们可以选择不同类型的神经网络结构，如多层感知机（Multilayer Perceptron）或卷积神经网络（Convolutional Neural Network）。
然后，我们根据已知的边界条件和偏微分方程的初始条件，生成一些带有噪声的训练数据。
反向求解在反向求解阶段，我们将采用梯度下降等优化算法，将误差函数最小化，从而调整神经网络的参数，使其逼近真实的偏微分方程解。
误差函数包括两个部分：物理约束误差和监督学习误差。
物理约束误差用于确保神经网络模型满足偏微分方程的物理定律，监督学习误差用于拟合真实的边界条件和初始条件。
PINN的优势与传统的偏微分方程求解方法相比，PINN具有以下几个优势：1.高效性：PINN利用神经网络的并行计算能力，相比传统的有限差分或有限元方法，更快地求解大规模的复杂偏微分方程问题。
2.精确性：PINN模型根据物理约束进行优化，能够更准确地逼近真实的偏微分方程解，提高预测的准确性。
常微分方程考研讲义第三章-一阶微分方程解的存在定理
第三章一阶微分方程解的存在定理[教学目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。
2.了解解的延拓定理及延拓条件。
3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 12学时[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。
[考核目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。
2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。
3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。
§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。
在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。
而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。
因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。
他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程dydx=过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数20 0() c<1x cy x c x ≤≤⎧=⎨-≤⎩ 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。
解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。
一种非光滑函数的二阶梯度微分方程求解算法
样本，从而更好地对微分交叉和变异算子进行采集计算⑺.在计算过程中易出现交叉算子部分位元交换现
象,需要进行替换，以此求解非光滑函数二阶梯度微分方程的最终结果.为避免传统的求解方法中常见的惯
性流变量问题，结合特征变量与线性加尔金法对求导结果进行配点比对 ，以提高计算精度.在二阶梯度微分
方程中，若收敛性变量拟稳态为狑犻,非光滑性动态信息特征数值为G”，梯度惯性流动近似比为T”.利用 非光滑函数的惯量积分进行奇异性数值的建模，为提高算法有效性，对微分方程的非光滑性特征进行约束.
性或仿射状态，因此需要进一步对方程求解方法进行条件附加，以实现对二阶梯度微分方程的有效求解.
1.3二阶梯度微分方程求解的实现 在二阶梯度微分方程的可行域中，结合非光滑函数算法进行目标函数值的规范计算，提高非光滑函数的
适用性.在初始解条件不变的情况下，对二阶梯度微分方程特征的联合性特征进行连接，并提供相应的交换
傅立叶变换积分,以此推导出一维数学物理方程的定解,并将其转化为常规微分方程,以此进一步对二阶梯
度微分定解进行推导.考虑到微分方程的非光滑性特征,在求解的过程中需要对导数的二阶梯度初始条件进
行反演.由于当前采用的经典方程在求解过程中,求解方法大多采用近似值模式进行定解的筛选，因此定解 求导结果容易出现差异,因此需要进一步进行优化,基于一阶偏微分方程进行二阶梯度状态的求导,若一阶
〔摘要〕为了更好地解决复杂非线性多目标模型求解问题，提出一种非光滑函数的二阶梯度 微分方程求解算法.结合非光滑函数针对二阶梯度微分方程中的 凸函数性质进行分析和演化，规范
J 凸 函数的一阶和二阶性质定义，8而 求解常微分方程和偏微分方 .进一步根据非光滑函数的基本
原理，对非光滑函数导数进行求解，并对非光滑函数的二阶梯度微分方程的误差数值进行检测和修 正，保证二阶梯度微分方程求解算法的有效性同时提高算法的防滑性能，最后通过对比实验证实了 非光滑函数的二阶梯度微分方程求解算法在实际应用过程中的可行性.
【浙江省自然科学基金】_微分_期刊发文热词逐年推荐_20140811
科研热词 推荐指数 非线性 2 动应力 2 频率 1 非线性周期系统 1 非线性反馈控制 1 隐式曲线 1 阻尼器 1 长期沉降 1 边值问题 1 转向点 1 解析解 1 自适应控制 1 自由振动 1 自动微分 1 脉冲 1 肌内脂肪含量 1 精确解 1 移动条形荷载 1 磁流变液 1 矩形板 1 相似约化 1 电磁散射 1 球矢量波函数 1 猪肉 1 渐近非扩张 1 渐近解 1 泰勒方法 1 永久应变 1 比例、积分、微分(pid)控制 1 正规结构 1 模糊自适应pid 1 有理化haar小波 1 时滞微分方程 1 时滞 1 振型 1 振动性 1 扰动mkdv方程 1 微分模型 1 微分方程组 1 强收敛 1 弹性层状介质 1 层状介质 1 小波消噪 1 对称 1 孤子 1 奇摄动 1 多重尺度 1 在线检测 1 各向异性铁氧体 1 各向异性等离子体 1 可见/近红外光谱 1 变分迭代 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
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代数曲线曲面 中立型时滞微分方程 中心流形 不平衡负载 三维多项武系统 三相四桥臂逆变器 三次b样条 pid控制ph值 mrealroot算法
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
蒙特卡罗解随机微分方程示例
蒙特卡罗解随机微分方程示例蒙特卡罗解随机微分方程是一种常用的数值计算方法，它通过随机采样和统计分析来模拟微分方程的解。
下面我将通过一个示例来说明蒙特卡罗解随机微分方程的过程。
假设我们有一个随机微分方程：$$dX_t = \mu(X_t) dt + \sigma(X_t) dW_t$$其中，$X_t$是一个随机过程，$\mu(X_t)$和$\sigma(X_t)$是函数，$W_t$是一个标准布朗运动。
我们的目标是求解$X_t$在给定初始条件$X_0=x_0$下的解。
蒙特卡罗解随机微分方程的基本思想是通过模拟随机过程$X_t$的轨迹来逼近其解。
具体步骤如下：1. 初始化：设定初始条件$X_0=x_0$和时间步长$\Delta t$，以及模拟的总时间$T$。
2. 对每个时间步长$t_n=n\Delta t$，其中$n=0,1,2,...,N$，进行如下操作：- 生成一个服从标准正态分布的随机数$\epsilon_n$。
- 根据随机微分方程的离散化形式，计算下一个时间步长的值：$$X_{n+1} = X_n + \mu(X_n)\Delta t + \sigma(X_n)\sqrt{\Delta t}\epsilon_n$$其中，$X_n$是上一个时间步长的值，$\mu(X_n)$和$\sigma(X_n)$是在$X_n$处的函数值。
3. 重复步骤2直到达到模拟的总时间$T$。
通过上述步骤，我们可以得到一组模拟轨迹$X_t^{(1)},X_t^{(2)},...,X_t^{(M)}$，其中$M$是模拟的总次数。
我们可以对这些轨迹进行统计分析，如计算均值、方差、概率密度函数等，以获得对随机微分方程解的估计。
蒙特卡罗解随机微分方程的优点是能够处理一些复杂的非线性和随机系统，并且可以提供解的概率分布信息。
然而，由于模拟过程的随机性，蒙特卡罗方法通常需要进行大量的模拟次数才能得到准确的结果。
蒙特卡罗解随机微分方程是一种重要的数值计算方法，它通过随机采样和统计分析来模拟微分方程的解。
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倒向随机微分方程解的光滑性 ■＿＿＿＿＿＿Ｉ●■■■■■●■■■■＿■■■＿ 嘲
数学物理学报
林清泉 （中国人民大学财政金融学院 中国财政金融政策研究中心 北京１００８７２）
摘要：该文讨论了倒向随机微分方程 广ｒ Ｙ。＝ ＋Ｉ ｇ（ ，Ｙ ，Ｚ ）ｄｓ—ｌ Ｚ ｄＷ
ＪＩ ＪＩ 解在Ｍａｌｌｉａｖｉｎ微分意义下的光滑性．对任意的 讨论其解在Ｍａｌｌｉａｖｉｎ意义下 阶可微性，并
且证明它是一个线性倒向随机微分方程的解，从而说明ＢＳＤＥ解的光滑性． 关键词：倒向随机微分方程；Ｍａｌｌｉａｖｉｎ微分；光滑性． ＭＲ（２０００）主题分类：６０Ｈ 中图分类号：Ｏ２１１．６３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００３—３９９８（２００４）Ｏｌ一０８８—０６
１引言及基本假设 经典Ｉｔｏ’Ｓ随机微分方程 ｄＹ，一ｂ（ｆ， ）ｄｔ＋ａ（ｔ， ）ｄＷ ，０≤ｔ≤Ｔ． （１．１） 给定初始条件Ｙ。一 。，在一定条件下上述方程解存在唯一［１］．它的解是Ｗｉｅｎｅｒ泛函，很多 学者试图对Ｗｉｅｎｅｒ泛函建立一套分析理论，但许多常见的泛函如Ｉｔｏ’Ｓ随机微分方程的 解，相对于Ｗｉｅｎｅｒ空间的任何一种范数来说，未必都是连续的，当然更谈不上Ｆｒｅｃｈ６ｔ微分 了．Ｍａｌｌｉａｖｉｎ［４］建立了一套对Ｗｉｅｎｅｒ泛函的“相对微分”运算，使一些重要的泛函在某种 意义下是光滑的，这种微分称为Ｍａｌｌｉａｖｉｎ微分，在一定条件下Ｉｔｏ’Ｓ随机微分方程解在 ＭａＩｌｉａｖｉｎ微分意义下可微，甚至无穷可微，从而可研究ｈｏ’Ｓ随机微分方程解的分布密度存 在性．对于特殊类型的倒向随机微分方程Ｋａｒｏｕｉ，Ｐｅｎｇ，Ｑｕｅｎｅｚ（１９９７）［５］讨论其解的一 阶Ｍａｌｌｉａｖｉｎ微分的存在性，且满足一个倒向的线性随机微分方程，我们进一步讨论了此类 方程解在Ｍａｌｌｉａｖｉｎ微分意义下对任意的 其解的 阶可微性，且是一个线性倒向随机微分 方程的解，从而得到ＢＳＤＥ解的光滑性．为进一步研究倒向随机微分方程解的非退化性， 分布密度存在性提供必要的条件．Ｐｅｎｇ研究了倒向随机微分方程与拟线性抛物型方程的联 系［３］，因此有可能进一步研究这类微分方程解的正则性． 设（ｎ，． ，Ｐ）是的完备概率空间，Ｗ一｛Ｗ，，０≤ｆ≤Ｔ）是其上的ｄ—Ｂｒｏｗｎ运动，由 生成的自然 代数流｛． ，０≤ｆ≤Ｔ）满足通常条件．给定丁＞０．考虑倒向随机微分方程（简 称为ＢＳＤＥ）
收稿日期；２０００—０３—２２ ·基金项目：“２１１工程”十五建设计划重点科研项目，国家自然科学基金资助项目（７９７９０１３０）
维普资讯 http://www.cqvip.com Ｎ０．１ 林清泉：倒向随机微分方程解的光滑性 ８９ ｒ７’ ｒ７’ Ｙ，一 ＋ｌ ｇ（ｓ，Ｙ ，Ｚ ）ｄｓ—ｌ ｚ ｄ ， ｏ≤ｔ≤Ｔ， （１．２）
Ｊｆ Ｊｆ 这里ｇ： ×［Ｏ，丁］×Ｒ×Ｒｌｄ一尺是 。留（尺）ｏ留 可测，（ 表示 ×［Ｏ，丁］上可料子集
构成的 代数），我们讨论ＢＳＤＥ（１．２）解在Ｍａｌｌｉａｖｉｎ微分意义下光滑性．
２ ＢＳＤＥ解的Ｍａｌｌｉａｖｉｎ微分 ２．１ Ｗｉｅｎｅｒ空间上的微分概念 １）ｃ （尺 ，Ｒ ）表示尺 到 其所有 ≤ 阶偏导数有界连续的函数组成的集合． ２） 表示具有形式 一声（ （，ｌ ），…，ｗ（ｈ ））的随机变量，其中 声∈ｃ （尺 ，Ｒ），ｈ ，ｈ ，…，ｈ ∈ （［Ｏ，丁］，Ｒ ）， ｒＴ’ （，ｌ‘）一ｌ（ｈ ‘，ｄＷ ），
Ｊ ０ ３）设 ∈ 定义它的Ｍａｌｌｉａｖｉｎ微分如下
Ｄｏｔ一 差（ （ 一，Ｗ（ｈｋ））＾；，０≤ ≤Ｔ
为ｄ维随机过程． 对于 ∈ ，户＞１定义范数
［ ＋∑ｌｌ Ｄ ． （或Ｄ ）表示 关于范数ｌｌ·ｌｌ 完备化所得的Ｂａｎａｃｈ空间（参考Ｅ２］，Ｅ４］，［５］， Ｅ６－ｌ，Ｅ７－１）． 注２．１ 若ｔ为 可测，则Ｄｏｔ＝０， ∈（ｆ，７１］（参考［２］，Ｐ１４５）． 注２．２ Ｄ作为 到Ｌ （Ｈ）（Ｈ— （［Ｏ，丁］，Ｒ ））中的算子，Ｄ 就是它的定义域 （参考Ｅ２１第二章，Ｐ２９）． 令厶．ｐ（尺 ）表示尺 值可测过程｛Ｕ（ｔ， ），Ｏ≤ｆ≤Ｔ， ∈ ｝，使得 １）对于ａ．ｅ．ｔ∈［Ｏ，丁］，Ｕ（ｔ，·）∈（Ｄ ） ， ２）（ｆ， ）一ＤＵ（ｆ， ）是循序可测的， ３） —Ｅ『（ｆＴ ） 号＋（ ｌＤ （ｆ）１ ２ｄ０ｄｆ）号］＜＋ｏ。．
２．２ ＢＳＤＥ解的一阶，二阶Ｍａｌｌｉａｖｉｎ微分 先给出一个引理
引理２．１ 设ｚ∈Ｈ争（尺）（即Ｚ为Ｒ值可料过程，且ＥＩ ｌｚ ｌ ｄｓ＜＋ｏｏ），使得 一 ｒ７’ Ｉ．Ｚ ｄＷ ，且 ∈Ｄ （Ｍａｌｌｉａｖｉｎ微分意义下可微），则ｚ∈ （［ｆ，丁］，Ｄ ），且ｄＯ￣ｄＰ ａ．ｅ．．
ｒ ’ Ｄ 一Ｉ．ＤｏＺ ｄＷ ，０≤ｆ，
（２．１） Ｄｏｔ—Ｚ ＋ｌ Ｄ Ｚ ｄＷ，，０＞ｔ． Ｊ ｏ 证明参考［３］．
在空间 ，Ｈ争引入范数
ｌ Ｄ ｌｌ 一Ｅ ｐ用ｌＤ—ｙ ｌ ， ｌ Ｄ ｚ ｌＪ 一Ｅ（ＩｌＤ ｌ ２ｄｓ）￣． Ｏ≤ｆ≤了’ ＬＪ ｏ
维普资讯 http://www.cqvip.com ９０ 数学物理学报 Ｖｏ１．２４Ａ 定理２．１ 设ＢＳＤＥ（１．２）中ｇ满足条件：ｇ（·，Ｙ，ｚ）∈Ｆ．２ｒ（Ｒ），且ｇ∈Ｃｊ（Ｒ），即ｇ（ｓ，Ｙ， ｚ）关于－７２，Ｙ偏导数连续，存在Ｍ＞０，使得 Ｊ Ｊ≤Ｍ，ｋ＋ 一１，
∈ＤｌＩ２，则ＢＳＤＥ（１．２）的解（ｙ，ｚ）在Ｍａｌｌｉａｖｉｎ微分意义下可微，且ＤＹ由下列线性ＢＳＤＥ 唯一确定
ＤｓＹ 一Ｄ ＋Ｉ［ ｇ（ｓ，Ｙ，，Ｚ，）Ｄ Ｙ，＋ａ，ｇ（ｓ，Ｙ ，Ｚ ）Ｄ Ｚ ］ｄｓ—ｌ Ｄ Ｚ ｄＷ ， （２．２） 且当０≤￡＜ ≤ｒ，，Ｄ Ｙ 一０，Ｄ Ｚ 一０［５］． 命题２．１设（ ， ）， 一１，２满足定理２．１中的条件，（ｙ ，Ｚ‘）为对应方程的解，令 三Ｙ —Ｙ ，８Ｚ 三Ｚ 一Ｚ ， ２ ｇ 三ｇ （￡，Ｙ ，Ｚ ）一ｇ （￡，Ｙ ，Ｚ ）． 则有
ｌｌ ｙ ｌｌ ｚ＋ｌｌ ｚ ｌｌ ｚ≤Ｃ Ｅ［１ ｙ ｌ ＋（１ ｌ ｇ Ｉｄｓ） ］， 『Ｉ ｔ ｙ『Ｉ ｚ＋『Ｉ ｚ【ｌ ｚ≤ｃ Ｅ Ｉ ｙ ，ｌ ＋ｒ，＿ｌ ｇ ｌｌ ｚ． 证 （参考［１０］）． Ｉ 定理２．２设ｇ满足定理２．１条件，且ｇＥＣ￣（Ｒ），即ｇ（ｔ，Ｙ，ｚ）关于 ，ｚ的二阶偏导数 连续，且存在Ｍ＞０，使得 Ｉ Ｉ≤Ｍ，ｋ＋ ：２，
Ｄ ∈ＤⅢ，则ＢＳＤＥ（１．２）的解（ｙ，ｚ）在Ｍａｌｌｉａｖｉｎ微分意义二次可微，且Ｄ２ｙ，Ｄ２Ｚ由下列 线性ＢＳＤＥ唯一确定
Ｄ。Ｙｒ—Ｄ。 ＋ｉ［弓ｇ（ｓ，Ｙ ，Ｚ ）Ｄ Ｙ ＋弓：ｇ（ｓ，ｙ ，Ｚ ）ＤＹ Ｄｚ ＋ ｇ（ｓ，Ｙ ，Ｚ ）ＤＹ ＤＹ，＋ａ，ｇ（ｓ，Ｙ，，Ｚ，）Ｄ Ｚ ＋ ｇ（ｓ，ｙ ，ｚ ）ＤＺ ＤＹ，＋ ：ｇ（ｓ，ｙ，，Ｚ ）ＤＺ Ｄｚ，］ｄｓ—ｌ Ｄ Ｚ，ｄＷ ， （２．３） 其中 Ｄ ｙ，＝Ｄ８ＤｏＩＹ ，Ｄ Ｚ，：Ｄｏ ¨ＤｓＺ
且若存在ｉ，０≤￡＜ ≤Ｔ，ｉ一１，２，则ＤｚＹ，一０，Ｄ２Ｚ 一ｏ［１０］． 注：这里考虑的函数ｇ不显含 ．
３ ＢＳＤＥ解在Ｍａｌｌｉａｖｉｎ微分意义下的光滑性 定理３．１假设ｇ∈ｃ ，即对任意阶导（偏）数一致有界，则对任意的 由ＴＮ ＢＳＤＥ Ｙ 一 ＋Ｉ ｇ（ｓ，Ｙ ，Ｚ ）ｄｓ—ｌ Ｚ ｄＷ 确定的解（ｙ，ｚ）在Ｍａｌｌｉａｖｉｎ微分意义下的 阶微分（ Ｙ，Ｄ ｚ）存在，且由一线性ＢＳＤＥ确 定，从而ｙ是光滑的． 证 用归纳法证明此结论．当ｎ＝２时，由定理２．１，（Ｄｚｙ，Ｄｚｚ）存在，且满足一线性 ＢＳＤＥ，同时 ＩＩ ｙ ｚ －『Ｉ ＋『Ｉ ｚ －『Ｉ
维普资讯 http://www.cqvip.com ＮＯ．１ 林清泉：倒向随机微分方程解的光滑性 关于 ｚ， 口Ｊ积． 设（归纳假设）Ｄ Ｙ，Ｄ Ｚ， 一３，４，…，，ｚ一１存在，且有
Ｊ．： …Ｊ＿：ＩＩ Ｄ …Ｄ Ｙ ＩＩ；ｚｄ …ｄ ＜＋。。，
Ｊ．：…Ｊ．：’ＩＩ Ｄ …Ｄ一 ｚ ＩＩ ｚｄ …ｄ ＜＋。。， 并由下列线性倒向随机微分方程 ｖｆ，，…， 一Ｄ ＋Ｉ［Ｏｙｇ（Ｓ， ，Ｚ，）ｙ ’… ＋Ｂ ＋Ａ
＋３，ｇ（ｓ， ，Ｚ ）ｚ ·…’ ］ｄ 一Ｉ ｚ ’… ｄＷ （３．１） 唯一确定，其中 Ｂ 一 ∑ 刀 ｇ（ｓ，ｙ ，Ｚ ）Ｄ‘Ｙ ＤＪＹ Ｄ Ｚ Ｄ，Ｚ ， １＜，，Ｉ＋ ≤卜一１，‘＋Ｊ＋＾＋ｔ＝ｌ 这里
Ｄ ｙ—Ｄ …Ｄ ｌＹ，ＤｊＹ—ＤｏｊＹ…Ｄｏ１Ｙ．
用递归方法定义（ｙ ，Ｚ ），设 ｄＹ¨ 一ｇ（ｔ，Ｙ ，Ｚｈ，）ｄｔ—ｚ ¨ｄＷ，，Ｙ ＝ ， Ｙ。一０．Ｚ。一０． 由［２］第三章引理１．３知，ｙ 可微，ｚ 可微。…，ｙ 可微。ｚ 可微，进而ｙ¨ ， ¨可微。 同理ＤＹ ，Ｄ ｙ＾，…，Ｄ，ｌ ｙ 可微，从而ＤＹ¨ ，Ｄ ｙ＾ …， ｙ＾ 可微，且有
ｌｌ Ｄ ｙ＾一Ｄ Ｙ ＩＩ；ｚｄ …ｄＯ 一０，ｈ－－￣ｏｏ，
ｌｌ Ｄ ｚ 一Ｄ ｚ ｌｌ ｚｄ …ｄ 一０，ｈ－－￣ｏｏ， ０＜ｋ１≤，ｚ一１． 对Ｄ一 ｙ＾州所满足的倒向随机微分方程两边微分则有
Ｄ Ｙ，¨ 一Ｄ ＋Ｉ［ａｙｇ（Ｓ，Ｙ ，ｚ ）Ｄ ｙ ＋ａ￣ｇ（ｓ，ｙ ，Ｚ ）Ｄ Ｚ
＋Ｂ （ ）＋Ａ （ ）］ｄ 一Ｉ Ｄ ｚ ｄ ， （３．２） 其中 Ｂ （ ） ∑ｃｋ ，，ｎ 一 ｇ（ ，ｙ ，ｚ ）Ｄ ｙ Ｄ ＾＝０ Ａ （ ）一 ∑ 刀 ｇ（ ，ｙ ，ｚ ）Ｄ‘ｙ Ｄ ｙｈ，Ｄ ｚ Ｄ，ｚ ．
考虑方程 ｙ ，‘‘
其中
１＜，，Ｉ＋Ｆ≤ 一１，Ｉ＋』＋Ｉｔ＋ｌ￣ｎ Ｄ ＋ ［ ｇ（ ，ｙ ，ｚ ）ｙ ’… －＋ ｇ（ ， ，ｚ ）ｚ ’… ＋Ｂ：＋ ］ 一ｒｚ ，…， ｄＷ，， （３．３）
Ｚ Ｄ Ｄ Ｚ ｇ Ｇ ∑ 维普资讯 http://www.cqvip.com