2018届广东省揭阳市高三上学期学业水平考试理科数学试题及答

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2018年广东省揭阳市高考数学一模试卷(理科)

2018年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A={x|x<3}，B={y|y=√x2+3}，则A∩B=()A.(−∞, 3)B.(3, +∞)C.[√3,3)D.(−∞,√6)2. 已知复数z=(3+i)2，则|z|=()A.4B.6C.8D.103. 已知向量a→=(x, 1)，b→=(1, −2)，若a→⊥b→，则a→+b→=()A.(2, 0)B.(3, −1)C.(3, 1)D.(−1, 3)4. 一个圆柱形水桶，底面圆半径与高都为2（桶底和桶壁厚度不计），装满水后，发现桶中有一个随处悬浮的颗粒，用一个半径为1的半球形水瓢（瓢壁厚度不计）从水桶中舀满水，则该颗粒被捞出的概率为（）A.1 12B.16C.14D.135. 已知f(x)=sinx−cosx，实数α满足f′(α)=3f(α)，则tan2α=()A.−43B.−34C.34D.436. 与中国古代数学著作《算法统宗》中的问题类似，有这样一个问题：“四百四十一里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人最后一天行走的路程为()A.3.5里B.7里C.14里D.28里7. 函数y=xln|x|的部分图象大致为（）A.B.C.8. 已知两条直线l1:x−√3y+2=0与l2:x−√3y−6=0被圆C截得的线段长均为2，则圆C的面积为（）A.5πB.4πC.3πD.2π9. 某几何体三视图如图示，则此几何体的表面积为（）A.4π+16B.2(√2+2)π+16C.4π+8D.2(√2+2)π+810. 已知F1、F2是双曲线C的两个焦点，P是C上一点，线段PF1的垂直平分线经过点F2，且∠PF1F2=π6，则此双曲线C的离心率为（）A.√3+1B.√3+12C.√3 D.√3+1211. 某地铁站有A、B、C、D、E五个自动检票口，有4人一同进站，恰好2人通过同一检票口进站，另2人各自选择不同的检票口检票进站，则不同的检票进站方式的种数为（）A.60B.180C.360D.72012. 已知x0是函数f(x)=sinπx2的极值点，且满足f(2018−|x0|)<2018−|x0|，符合要求的x0的个数为（）A.2015B.2016C.2017D.2018二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）如图是一个算法流程图，若输入x的值为log23，则输出的y的值是________．已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≤1x −y ≤1 ，则3x +y 的取值范围为是________．已知数列{a n }满足√a 1+√a 2+⋯+√a n =2n+1，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则316S n=________．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，抛物线上的动点P （不在原点）在y 轴上的投影为E ，点E 关于直线PF 的对称点为E′，点F 关于直线PE 的对称点为F′，当|E′F′|最小时，三角形PEF 的面积为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知√3sinA −cos(B +C)=1，sinB +sinC =87sinA ，a =7．(Ⅰ)求角A 的值；(Ⅱ)求△ABC 的面积．如图，在三棱锥P −ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，△ABC 和△PAC 都是正三角形，AC =2，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，且PD ⊥AB 于D ． (Ⅰ)证明：平面PEF ⊥平面PED ； (Ⅱ)求二面角E −PA −D 的正弦值．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个250元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图的条形图：记x需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数． ( I)若n =19，求y 与x 的函数解析式；( II)以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件发生的概率． (ⅰ)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的概率不小于0.5，求n 的最小值；(ⅱ)假设n 取19或20，分别计算1台机器在购买易损零件上所需费用的数学期望，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？已知A 是椭圆T:x 24+y 2=1上的动点，点P(0, 12)，点C 与点A 关于原点对称．(I)求△PAC 面积的最大值；(II)若射线AP 、CP 分别与椭圆T 交于点B 、D ，且AP →=mPB →，CP →=nPD →，证明：m +n 为定值．已知a ≠0，函数f(x)=|e x −e|+e x +ax ． (I)讨论f(x)的单调性；(II)已知当a <−e 时，函数f(x)有两个零点x 1和x 2(x 1<x 2)，求证：f(x 1x 2)>a +e ．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修44：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =−4t +2y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =m −2y =m k（m 为参数），当k 变化时，设 l 1与l 2的交点的轨迹为曲线C ．(1)以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；(2)设曲线C 上的点A 的极角为π6，射线OA 与直线l 3:ρsin(θ+φ)−2√2=0 (0<φ<π2)的交点为B ，且|OB|=√7|OA|，求φ的值． [选修45：不等式选讲]已知函数f(x)=|a +1x |+|a −1x |，a 为实数． (I)当a =1时，求不等式f(x)>3的解集； (II)求f(a)的最小值．参考答案与试题解析2018年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】求出集合B的等价条件，结合交集定义进行求解即可．【解答】B={y|y=√x2+3}={y|y≥√3}，则A∩B={x|√3≤x<3}=[√3,3)，2.【答案】D【考点】复数的模【解析】根据复数的模长公式进行计算即可．【解答】z=(3+i)2=9+6i−1=8+6i，则z=8−6i，则|z|=√62+82=10，3.【答案】B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】根据向量垂直的等价条件求出x的值，结合向量加法的坐标公式进行计算即可．【解答】∵a→=(x, 1)，b→=(1, −2)，∴a→⊥b→，则a→⋅b→=x+1×(−2)=x−2=0，则x=2，则a→=(2, 1)，则a→+b→=(3, −1)，4.【答案】A几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】分别求出水桶中水的体积及水瓢中水的体积，由测度比为体积比得答案．【解答】如图，水桶中水的体积为π×22×2=8π，水瓢所装水的体积为12×43×π×13=2π3．∴从水桶中舀满水，则该颗粒被捞出的概率为2π38π=112．5.【答案】A【考点】二倍角的正切公式简单复合函数的导数【解析】可先求出f′(x)=cosx+sinx，从而可得出f′(α)=cosα+sinα，这样即可得出cosα+ sinα=3sinα−3cosα，从而求出tan2α的值．【解答】解：f′(x)=cosx+sinx；∴f′(α)=cosα+sinα；又f′(α)=3f(α)；∴cosα+sinα=3sinα−3cosα；∴2cosα=sinα；∴tanα=2；∴tan2α=2tanα1−tan2α2×2 1−22=−43．故选A.6.【答案】B【考点】等比数列的前n项和【解析】由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{a n}，其中q=12，S6=4(41)利用通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{a n}，其中q=12，S6=441，等比数列的求和公式为S n=a1(1−q n)1−q(q≠1)，则a1[1−(12)6]1−12=441，解得a1=224该人最后一天行走的路程a6=224×(12)5=7.故选B.7.【答案】C【考点】函数的图象变化利用导数研究函数的单调性【解析】利用函数的奇偶性，排除选项，利用函数的导数，判断函数的单调性，推出结果即可．【解答】解：函数y=xln|x|是奇函数，排除选项B，当x>0时，函数y=xlnx的导数为：y′=lnx+1，可得函数的极值点x=1e．并且x∈(0, 1e)，y′<0，函数是减函数，且y=xlnx没有零点，x∈(1e,+∞)，y′>0，函数是增函数，所以函数的图象是C．故选C.8.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据两直线平行可知圆心到l1的距离，根据垂径定理可求出圆C的半径，从而得出圆的面积．【解答】∴圆心C到直线l1的距离为d=ℎ2=2，又l1被圆C截得的弦长为2，∴圆C的半径为r=√d2+12=√5，∴圆C的面积为S=πr2=5π．9.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】根据三视图还原几何体，再分别求出正方体和圆柱的表面积并求和．【解答】由三视图知，该几何体是一棱长为2的正方体和一底面半径√2、高为1的圆柱的组合体，其表面积S=5×22+2π⋅√2⋅1+2π⋅(√2)2−22=2(√2+2)π+(16)10.【答案】D【考点】双曲线的特性【解析】利用已知条件，以及双曲线的定义，列出方程，求解双曲线的离心率即可．【解答】不妨设点P在第一象限，依题意|PF1|=2|F1F2|cos30∘=2√3c，|F1F2|=|PF2|，又由|PF1|−|PF2|=2a，得2√3c−2c=2a，可得e=ca =√3+12．11.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分2步分析：①，先在4人中任选2人，从五个自动检票口中任选1个进站，②，在剩下的4个检票口中任选2个，安排剩下的2人进站，由分步计数原理计算可得答案．【解答】根据题意，分2步分析：①，先在4人中任选2人，从五个自动检票口中任选1个进站，有C42A51=30种情况，②，在剩下的4个检票口中任选2个，安排剩下的2人进站，有A42=12种情况，则同的检票进站方式的种数为30×12=360种；12.【答案】B【考点】【解析】由正弦函数的性质可得x0=2k+1，k∈Z，根据函数图象得出2018−|x0|>1，从而求出k的范围，即x0的个数．【解答】∵x0是函数f(x)=sinπx2的极值点，∴x0=2k+1，k∈Z．作出f(x)与y=x的函数图象，如图：由图象可知当−1<x<0或x>1时，f(x)<x．∵f(2018−|x0|)<2018−|x0|，∴2018−|x0|>1，故而|x0|<2017，即|2k+1|<2017，∴−1009<k<1008，k∈Z．∴符合要求的x0的个数为1008−(−1009)−1=20(16)二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）【答案】2【考点】程序框图【解析】直接利用程序框图的应用求出结果．【解答】根据程序框图得：x=log23>1，则程序执行右边的循环，所以：y=log23⋅log32+1=lg3lg2∗lg2lg3+1=2．故输出y=(2)【答案】(−∞, 3]【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合，即可得到结论．【解答】作出约束条件{y≤2x+y≤1对应的平面区域如图：由z =3x +y 得y =−3x +z ，平移直线y =−3x +z ，由图象可知当直线y =−3x +z ，经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大．由{x +y =1x −y =1，解得即A(1, 0)，此时z max =3×1+0=3，当直线y =−3x +z ，z 没有最小值， ∴ z ∈(−∞, 3]．【答案】 4n−1+2 【考点】数列的求和【解析】根据数列的递推公式可得a n =4n ，n ≥2，再根据求和公式计算即可【解答】∵ √a 1+√a 2+⋯+√a n =2n+1，①，当n =1时，√a 1=22=4，即a 1=16，∴ √a 1+√a 2+...+√a n−1=2n ，n ≥2，②，由①-②可得√a n =2n ， ∴ a n =4n ，当n =1时，a 1=4≠16， ∴ a n ={16,n =14n ,n ≥2 ，∴ S n =16+16(1−4n−1)1−4=16+163(4n−1−1)，∴ 316S n =3+4n−1−1=4n−1+2，【答案】 √39【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】画出图形，利用三角形的边长关系，推出距离的最小值时的情形，利用角的关系，求出PF 的方程，利用直线与抛物线的交点，求解三角形的面积即可．【解答】显然|E′F′|≥|PF′|−|PE′|=|PF|−|PE|=1，即|E′F′|的最小值为1，仅当P 、E 、F 共线且点E′在P 、F′之间时取等号，此时∠E′PE =∠FPE =∠EPF′=120∘，即直线PF 的斜率为−√3（取√3也可），联立{y =−√3(x −1)y 2=4x，可得p(13, 2√33)，故三角形PEF 的面积为：12×13×2√33=√39．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【答案】(Ⅰ)由已知及cos(B+C)=−cosA，得√3sinA+cosA=1，——————————————————————————-即2sin(A+π6)=1，得sin(A+π6)=12，———————————————————–又π6<A+π6<7π6，∴A+π6=5π6，即A=2π3；———————————————————————————————–(Ⅱ)由已知及正弦定理得b+c=8a7=8，————————————————————–由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得49=(b+c)2−2bc+bc=64−bc，———————————————————–解得bc=15，——————————————————————————————-∴△ABC的面积为S=12bcsinA=15√34．———————————————————–【考点】正弦定理余弦定理【解析】(Ⅰ)由已知及三角函数恒等变换的应用可得sin(A+π6)=12，结合范围π6<A+π6<7π6，可求A的值．(Ⅱ)由已知及正弦定理，余弦定理可解得bc=15，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为1(Ⅰ)由已知及cos(B+C)=−cosA，得√3sinA+cosA=1，——————————————————————————-即2sin(A+π6)=1，得sin(A+π6)=12，———————————————————–又π6<A+π6<7π6，∴A+π6=5π6，即A=2π3；———————————————————————————————–(Ⅱ)由已知及正弦定理得b+c=8a7=8，————————————————————–由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得49=(b+c)2−2bc+bc=64−bc，———————————————————–解得bc=15，——————————————————————————————-∴△ABC的面积为S=12bcsinA=15√34．———————————————————–【答案】∴ PE ⊥平面ABC ， ∴ PE ⊥AB ，又PD ⊥AB ，PE ∩PD =P ， ∴ AB ⊥平面PED ，又EF // AB ，∴ EF ⊥平面PED ，又EF ⊂平面PEF ，∴ 平面PEF ⊥平面PED ；(Ⅱ)解∵ 平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，BE ⊥AC ， ∴ BE ⊥平面PAC ，以点E 为坐标原点，EA 所在的直线为x 轴，EB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图示，则E(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，B(0, √3, 0)，P(0, 0, √3)， EB →=(0,√3,0)，PA →=(1,0,−√3)，AB →=(−1,√3,0)，设m →=(a,b,c)为平面PAB 的一个法向量，则由{m →∗PA →=a −√3c =0m →∗AB →=−a +√3b =0 ，取c =1，得m →=(√3,1,1)，设二面角E −PA −D 的大小为θ，则cosθ=m →∗EB→|m →|∗|EB →|=√3√5×√3=√55， ∴ sinθ=2√55，即二面角E −PA −D 的正弦值为2√55．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)由已知结合三角形中位线定理可得EF // AB ，在正三角形PAC 中，得PE ⊥AC ，再由面面垂直的性质可得PE ⊥平面ABC ，得到PE ⊥AB ，又PD ⊥AB ，由线面垂直的判定得AB ⊥平面PED ，有EF ⊥平面PED ，进一步得到平面PEF ⊥平面PED ；(Ⅱ)平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，BE ⊥AC ，可得BE ⊥平面PAC ，以点E 为坐标原点，EA 所在的直线为x 轴，EB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面EPA 与PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E −PA −D 的正弦值．【解答】∴ PE ⊥平面ABC ， ∴ PE ⊥AB ，又PD ⊥AB ，PE ∩PD =P ， ∴ AB ⊥平面PED ，又EF // AB ，∴ EF ⊥平面PED ，又EF ⊂平面PEF ，∴ 平面PEF ⊥平面PED ；(Ⅱ)解∵ 平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，BE ⊥AC ， ∴ BE ⊥平面PAC ，以点E 为坐标原点，EA 所在的直线为x 轴，EB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图示，则E(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，B(0, √3, 0)，P(0, 0, √3)， EB →=(0,√3,0)，PA →=(1,0,−√3)，AB →=(−1,√3,0)，设m →=(a,b,c)为平面PAB 的一个法向量，则由{m →∗PA →=a −√3c =0m →∗AB →=−a +√3b =0 ，取c =1，得m →=(√3,1,1)，设二面角E −PA −D 的大小为θ，则cosθ=m →∗EB→|m →|∗|EB →|=√3√5×√3=√55， ∴ sinθ=2√55，即二面角E −PA −D 的正弦值为2√55．【答案】（1）依题意得y ={1900,x ≤19250x −2850,x >19 ，(x ∈N ∗)．—————————————— (2)(ⅰ)由条形图知，p(n =16)=0.06，P(n =17)=0.16，p(n =18)=0.24，p(n =19)=0.24，故p(n ≤18)=p(n =16)+p(n =17)+p(n =18)=0.46，———————————— p(n ≤19)=p(n ≤18)+p(n =19)=0.46+0.24=0.70，————————————– 由上可知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46，不大于19的概率为0.7，故n 的最小值为（19）−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(ⅱ)n 取19或20，即每台机器在购机同时都购买19个或20个易损零件，设1台机器在购则y 1的可能取值为：1900，2150，24(00)且p(y 1=1900)=0.7，p(y 1=2150)=0.2，p(y 1=2400)=0.1，故Ey 1=1900×0.7+2150×0.2+2400×0.1=2000 （元）———————————– y 2的可能取值为：2000，22(50)且p(y 2=2000)=0.9，p(y 2=2250)=0.1，故E(y 2)=2000×0.9+2250×0.1=2025（元）———————————————— Ey 1<Ey 2，所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件．——————————–【考点】频率分布直方图离散型随机变量的期望与方差【解析】(I)n =19，依题意能求出y 与x 的函数解析式．(Ⅱ)(ⅰ)由条形图知，p(n =16)=0.06，P(n =17)=0.16，p(n =18)=0.24，p(n =19)=0.24，由此能求出n 的最小值．(ⅱ)n 取19或20，即每台机器在购机同时都购买19个或20个易损零件，设1台机器在购买易损零件上所需的费用分别为y 1元和y 2元，则y 1的可能取值为：1900，2150，24(00)y 2的可能取值为：2000，22(50)分别求出数学期望得Ey 1<Ey 2，从而购买1台机器的同时应购买19个易损零件．【解答】（1）依题意得y ={1900,x ≤19250x −2850,x >19 ，(x ∈N ∗)．—————————————— (2)(ⅰ)由条形图知，p(n =16)=0.06，P(n =17)=0.16，p(n =18)=0.24，p(n =19)=0.24，故p(n ≤18)=p(n =16)+p(n =17)+p(n =18)=0.46，———————————— p(n ≤19)=p(n ≤18)+p(n =19)=0.46+0.24=0.70，————————————– 由上可知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46，不大于19的概率为0.7，故n 的最小值为（19）−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(ⅱ)n 取19或20，即每台机器在购机同时都购买19个或20个易损零件，设1台机器在购买易损零件上所需的费用分别为y 1元和y 2元，则y 1的可能取值为：1900，2150，24(00)且p(y 1=1900)=0.7，p(y 1=2150)=0.2，p(y 1=2400)=0.1，故Ey 1=1900×0.7+2150×0.2+2400×0.1=2000 （元）———————————– y 2的可能取值为：2000，22(50)且p(y 2=2000)=0.9，p(y 2=2250)=0.1，故E(y 2)=2000×0.9+2250×0.1=2025（元）———————————————— Ey 1<Ey 2，所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件．——————————–【答案】(Ⅰ)设A(x 1, y 1)，依题意得点C(−x 1, −y 1)，则S △PAC =12|OP|⋅2|x 1|=12|x 1|， ∵ 点A 在椭圆T:x 24+y 2=1上，∴ |x 1|≤2，∴ S △PAC =12|x 1|≤1（当且仅当x 1=±2时等号成立） ∴ △PAC 面积的最大值为1；(Ⅱ)证法1：当直线AP 的斜率存在时，设其方程为y =kx +12，由{x 24+y 2=1y =kx +12 ，消去y ，得(1+4k 2)x 2+4kx −3=0，设B(x 2, y 2)，由韦达定理，得{x 1+x 2=−4k1+4k 2x 1x 2=−31+4k2，而由AP →=mPB →，得(−x 1, 12−y 1)=m(x 2, y 2−12)，故−x 1=mx 2，x 2=−x1m ，代入①、②，得{(1−1m )=−4k1+4k 2−x 12m =−31+4k 2 ，两式相除，得k =3(1−m)4x 1，代入④，整理得9m 2−30m +4x 12+9=0；对于射线CP ，同样的方法可得9n 2−30n +4x 12+9=0，故m ，n 是方程9x 2−30x +4x 12+9=0的两个根，由韦达定理，m +n =103；当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为(0, 1)时，则B 、C 重合于点((0)−1)，D 、A 重合，由AP →=mPB →，CP →=nPD →，得m =13，n =3，这时m +n =103；若点A 为椭圆T 的下顶点(0, −1)，同理可得m +n =103；综上可知m +n 为定值，该值为103．证法2：当直线AP 的斜率存在时，这时点A 不在y 轴上，即x 1≠0，设其方程为y =kx +12，x 22设B(x 2, y 2)，由韦达定理，得x 1x 2=−31+4k 2，又k =y 1−12x 1，代入上式得x 2=−3x1x 12+4(y 1−12)2，由AP →=mPB →，得(−x 1, 12−y 1)=m(x 2, y 2−12)，故−x 1=mx 2，∴ m =−x1x 2=x 12+4(y 1+12)23对于射线CP ，同样的方法可得n =x 12+4(y 1+12)23，∴ m +n =2(x 12+4y 22)+23=103．当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为(0, 1)时，则B 、C 重合于点((0)−1)，D 、A 重合，当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为(0, 1)时，则B 、C 重合于点((0)−1)，D 、A 重合，由AP →=mPB →，CP →=nPD →，得m =13，n =3，这时m +n =103；若点A 为椭圆T 的下顶点(0, −1)，同理可得m +n =103；综上可知m +n 为定值，该值为103．【考点】圆锥曲线【解析】(Ⅰ)设A(x 1, y 1)，依题意得点C(−x 1, −y 1)，表示出△PAC 面积，即可求出最大值， (Ⅱ)证法1：当直线AP 的斜率存在时，设其方程为y =kx +12，根据根与系数的关系可得m ，n 是方程9x 2−30x +4x 12+9=0的两个根，由韦达定理，m +n =103；证法2：当直线AP 的斜率存在时，这时点A 不在y 轴上，即x 1≠0，设其方程为y =kx +12，根据根与系数的关系，求出m ，n ，即可求出m +n 的值．【解答】(Ⅰ)设A(x 1, y 1)，依题意得点C(−x 1, −y 1)，则S △PAC =12|OP|⋅2|x 1|=12|x 1|， ∵ 点A 在椭圆T:x 24+y 2=1上，∴ |x 1|≤2，∴ S △PAC =12|x 1|≤1（当且仅当x 1=±2时等号成立） ∴ △PAC 面积的最大值为1；(Ⅱ)证法1：当直线AP 的斜率存在时，设其方程为y =kx +12，由{x 24+y 2=1，消去y ，得(1+4k 2)x 2+4kx −3=0，设B(x 2, y 2)，由韦达定理，得{x 1+x 2=−4k1+4k 2x 1x 2=−31+4k2，而由AP →=mPB →，得(−x 1, 12−y 1)=m(x 2, y 2−12)，故−x 1=mx 2，x 2=−x1m ，代入①、②，得{(1−1m )=−4k1+4k −x 12m=−31+4k，两式相除，得k =3(1−m)4x 1，代入④，整理得9m 2−30m +4x 12+9=0；对于射线CP ，同样的方法可得9n 2−30n +4x 12+9=0，故m ，n 是方程9x 2−30x +4x 12+9=0的两个根，由韦达定理，m +n =103；当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为(0, 1)时，则B 、C 重合于点((0)−1)，D 、A 重合，由AP →=mPB →，CP →=nPD →，得m =13，n =3，这时m +n =103；若点A 为椭圆T 的下顶点(0, −1)，同理可得m +n =103；综上可知m +n 为定值，该值为103．证法2：当直线AP 的斜率存在时，这时点A 不在y 轴上，即x 1≠0，设其方程为y =kx +12，由{x 24+y 2=1y =kx +12，消去y ，得(1+4k 2)x 2+4kx −3=0，设B(x 2, y 2)，由韦达定理，得x 1x 2=−31+4k 2，又k =y 1−12x 1，代入上式得x 2=−3x1x 12+4(y 1−12)2，由AP →=mPB →，得(−x 1, 12−y 1)=m(x 2, y 2−12)，故−x 1=mx 2，∴ m =−x1x 2=x 12+4(y 1+12)23对于射线CP ，同样的方法可得n =x 12+4(y 1+12)23，∴ m +n =2(x 12+4y 22)+23=103．当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为(0, 1)时，则B 、C 重合于点((0)−1)，D 、A 重合，当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为(0, 1)时，则B 、C 重合于点((0)−1)，D 、A 重合，由AP →=mPB →，CP →=nPD →，得m =13，n =3，这时m +n =103；综上可知m +n 为定值，该值为103．【答案】（1）f(x)=|e x −e|+e x +ax ={ax +e,x <12e x+ax −e,x ≥1 ， f′(x)={a,x <12e x +a,x ≥1，①若a >0，显然f′(x)>0恒成立，f(x)在R 上单调递增；———————–②若−2e ≤a <0，当x <1时，f′(x)=a <0，当x ≥1时，f′(x)=2e x +a ≥0，故f(x)在(−∞, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；—————————————- ③若a <−2e ，当x <1时，f′(x)=a <0，当x ≥1时，由2e x +a <0，得1≤x <ln(−a 2)，由2e x +a >0，得x >ln(−a2)，故f(x)在（−∞, ln(−a 2)）上单调递减，在(ln(−a2)，+∞)上单调递增；—————– （2）证法1：∵ a <−e ，故f(1)=a +e <0，结合f(x)的单调性知，f(x)的两个零点x 1和x 2满足ax 1+e =0以及2e x 2+ax 2−e =0，且x 1<1<x 2，—- ∴ a =e−2e x 2x 2，x 1=−ea =ex22e x 2−e ，于是x 1x 2=ex 222e x 2−e，————————-令g(x)=ex 22e −e，(x >1)则g′(x)=2ex(2e x −e−xe x )(2e x −e)2，—————————-记ℎ(x)=2e x −e −xe x ，x >1，则ℎ′(x)=e x −xe x <0，∴ ℎ(x)在(1, +∞)上单调递减，ℎ(x)<ℎ(1)=0，故g′(x)<0，即函数 g(x)在(1, +∞)上单调递减， ∴ g(x)<g(1)=1，∴ x 1x 2<1，—————————————————————————————- 又f(x)在(−∞, 1)上单调递减，∴ f(x 1x 2)>a +e −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−证法2：∵ a <−e ，故f(1)=a +e <0，结合f(x)的单调性知，f(x)的两个零点x 1和x 2满足ax 1+e =0以及2e x 2+ax 2−e =0，且x 1<1<x 2，—- 要证明f(x 1x 2)>a +e ，只需证x 1x 2<1，即证x 1<1x 2，————————–注意到x 1、1x 2∈(−∞, 1)，且f(x)在(−∞, 1)上单调递减，故只需证f(x 1)>f(1x 2)，即证f(1x 2)<0，————————————–而f(1x 2)=a ⋅1x 2+e =e−2e x 2+ex 22x 22，记g(x)=e −2e x +ex 2，x ∈(1, +∞)，g′(x)=−2e x +2ex ，记ℎ(x)=g′(x)=−2e x +2ex ，x ∈(1, +∞)，则ℎ′(x)=−2e x +2e <0，故ℎ(x)即g′(x)单调递减，g′(x)<g′(1)=0，————————————-于是f(1x 2)<0成立，原题得证．———————————————————-】【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； (Ⅱ)法一：表示出a ，得到x 1x 2=ex 222e x 2−e，令g(x)=ex 22e x −e，(x >1)，求出函数的导数，记ℎ(x)=2e x −e −xe x ，x >1，根据函数的单调性证明即可；法二：问题转化为证x 1<1x 2，即证f(1x 2)<0，而f(1x 2)=a ⋅1x 2+e =e−2e x 2+ex 22x 22，记g(x)=e −2e x +ex 2，x ∈(1, +∞)，根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）f(x)=|e x −e|+e x +ax ={ax +e,x <12e x+ax −e,x ≥1 ， f′(x)={a,x <12e x +a,x ≥1，①若a >0，显然f′(x)>0恒成立，f(x)在R 上单调递增；———————–②若−2e ≤a <0，当x <1时，f′(x)=a <0，当x ≥1时，f′(x)=2e x +a ≥0，故f(x)在(−∞, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；—————————————- ③若a <−2e ，当x <1时，f′(x)=a <0，当x ≥1时，由2e x +a <0，得1≤x <ln(−a 2)，由2e x +a >0，得x >ln(−a2)，故f(x)在（−∞, ln(−a 2)）上单调递减，在(ln(−a2)，+∞)上单调递增；—————– （2）证法1：∵ a <−e ，故f(1)=a +e <0，结合f(x)的单调性知，f(x)的两个零点x 1和x 2满足ax 1+e =0以及2e x 2+ax 2−e =0，且x 1<1<x 2，—- ∴ a =e−2e x 2x 2，x 1=−ea =ex22e x 2−e ，于是x 1x 2=ex 222e x 2−e，————————-令g(x)=ex 22e x −e，(x >1)则g′(x)=2ex(2e x −e−xe x )(2e x −e)2，—————————-记ℎ(x)=2e x −e −xe x ，x >1，则ℎ′(x)=e x −xe x <0，∴ ℎ(x)在(1, +∞)上单调递减，ℎ(x)<ℎ(1)=0，故g′(x)<0，即函数 g(x)在(1, +∞)上单调递减， ∴ g(x)<g(1)=1，∴ x 1x 2<1，—————————————————————————————- 又f(x)在(−∞, 1)上单调递减，∴ f(x 1x 2)>a +e −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−证法2：∵ a <−e ，故f(1)=a +e <0，结合f(x)的单调性知，f(x)的两个零点x 1和x 2满足ax 1+e =0以及2e x 2+ax 2−e =0，且x 1<1<x 2，—-注意到x 1、1x 2∈(−∞, 1)，且f(x)在(−∞, 1)上单调递减，故只需证f(x 1)>f(1x 2)，即证f(1x 2)<0，————————————–而f(1x 2)=a ⋅1x 2+e =e−2e x 2+ex 22x 22，记g(x)=e −2e x +ex 2，x ∈(1, +∞)，g′(x)=−2e x +2ex ，记ℎ(x)=g′(x)=−2e x +2ex ，x ∈(1, +∞)，则ℎ′(x)=−2e x +2e <0，故ℎ(x)即g′(x)单调递减，g′(x)<g′(1)=0，————————————- 故g(x)单调递减，g(x)<g(1)=0，于是f(1x 2)<0成立，原题得证．———————————————————-】请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修44：坐标系与参数方程] 【答案】解：(1)直线l 1的参数方程为{x =−4t +2y =kt （t 为参数），转换为：直线l 1的普通方程为−4y =k(x −2)；直线l 2的参数方程为{x =m −2y =m k（m 为参数），转换为：直线l 2的普通方程为y =x+2k，联立两方程消去k ，得：−4y 2=x 2−4，即曲线C 的普通方程为：x 2+4y 2=4，由{x =ρcosθy =ρsinθ，得曲线C 的极坐标方程为：ρ2(cos 2θ+4sin 2θ)=4；化简得：ρ2(1+3sin 2θ)=4.(2)把θ=π6代入ρ2(1+3sin 2θ)=4，得ρ2(1+3×14)=4， ∴ ρ2=167，故得ρA =√7 由已知|OB|=√7|OA|得ρB =√7ρA =4，把θ=π6，ρB =4代入直线l 3的方程l 3:ρsin(θ+φ)−2√2=0，得sin(π6+φ)=√22，又∵ 0<φ<π2， ∴ π6<π6+φ<2π3，∴ π6+φ=π4， π【考点】直线的参数方程参数方程与普通方程的互化【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(Ⅱ)利用极坐标方程和三角函数的恒等变换求出结果．【解答】解：(1)直线l 1的参数方程为{x =−4t +2y =kt（t 为参数），转换为：直线l 1的普通方程为−4y =k(x −2)；直线l 2的参数方程为{x =m −2y =m k（m 为参数），转换为：直线l 2的普通方程为y =x+2k ，联立两方程消去k ，得：−4y 2=x 2−4，即曲线C 的普通方程为：x 2+4y 2=4，由{x =ρcosθy =ρsinθ，得曲线C 的极坐标方程为：ρ2(cos 2θ+4sin 2θ)=4；化简得：ρ2(1+3sin 2θ)=4.(2)把θ=π6代入ρ2(1+3sin 2θ)=4，得ρ2(1+3×14)=4，∴ ρ2=167，故得ρA =√7 由已知|OB|=√7|OA|得ρB =√7ρA =4，把θ=π6，ρB =4代入直线l 3的方程l 3:ρsin(θ+φ)−2√2=0，得sin(π6+φ)=√22，又∵ 0<φ<π2， ∴ π6<π6+φ<2π3， ∴ π6+φ=π4，解得：φ=π12．[选修45：不等式选讲]【答案】(Ⅰ)当a =1时，不等式f(x)>3，即f(x)=|x+1|+|x−1||x|>3，—————①当x <−1时，得f(x)=2>3，无解；——————————————————– ②当−1≤x ≤1时，得f(x)=2|x|>3，解得|x|<23，得−23<x <0或0<x <23；———————————————————————③当x >1时，得f(x)=2>3，无解；———————————————————- 综上知，不等式的解集为(−23, 0)∪(0, 23)．—————————————————- (Ⅱ)f(a)=|a 2+1|+|a 2−1||a|=a 2+1+|a 2−1||a|，——————————————— ①当a <−1或a >1时，f(a)=2a 2|a|=2|a|>2，—————————————— ②当−1≤a ≤1时，f(a)=2|a|≥2，———————————————————–综上知，f(a)的最小值为（2）−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】(Ⅰ)通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；(Ⅱ)求出f(a)的表达式，通过讨论a 的范围，结合不等式的性质求出f(a)的最小值即可．【解答】(Ⅰ)当a =1时，不等式f(x)>3，即f(x)=|x+1|+|x−1||x|>3，—————①当x <−1时，得f(x)=2>3，无解；——————————————————– ②当−1≤x ≤1时，得f(x)=2|x|>3，解得|x|<23，得−23<x <0或0<x <23；———————————————————————③当x >1时，得f(x)=2>3，无解；———————————————————- 综上知，不等式的解集为(−23, 0)∪(0, 23)．—————————————————- (Ⅱ)f(a)=|a 2+1|+|a 2−1||a|=a 2+1+|a 2−1||a|，——————————————— ①当a <−1或a >1时，f(a)=2a 2|a|=2|a|>2，—————————————— ②当−1≤a ≤1时，f(a)=2|a|≥2，———————————————————–综上知，f(a)的最小值为（2）−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−。

广东省揭阳市高三上学期期中数学试卷(理科)

广东省揭阳市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）设集合，则下列关系中正确的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·汕头期末) 函数的部分图象如图所示，则的值分别是A .B .C .D .3. （2分） (2016高一下·邯郸期中) 函数的周期，振幅，初相分别是（）A .B .C .D .4. （2分）函数y=f（x），（x∈R）为奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）＜f（﹣x），若 a=•f（），b=（lg3）•f（lg3），c=（log2）•f（log2），则a，b，c的大小顺序为（）A . a＜b＜cB . c＞b＞aC . c＜a＜bD . c＞a＞b5. （2分）已知是上的减函数,那么的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）已知,则为函数的零点的充要条件是（）A . ,B . ,C . ,D . ,7. （2分） (2018高一上·大石桥期末) 已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（）A .B .C .D .8. （2分）(2016高三上·沙市模拟) 已知a= （﹣ex）dx，若（1﹣ax）2016=b0+b1x+b2x2+…+b2016x2016（x∈R），则 + +…+ 的值为（）A . 0B . ﹣1C . 1D . e9. （2分） (2015高三上·巴彦期中) 设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分） (2016高二上·临泉期中) 若关于x的方程9x+（a+4）•3x+4=0有实数解，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣8]∪[0，+∞）B . （﹣∞，﹣4）C . [﹣8，﹣4）D . （﹣∞，﹣8]二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2016高三上·闽侯期中) 若不等式＞|a﹣2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a 的取值范围是________．12. （1分）(2018·绵阳模拟) 如图，在中，，，的垂直平分线与分别交于两点，且，则 ________．13. （1分） (2019高一上·嘉兴月考) 若函数在单调递减，则的取值范围是________．14. （1分） (2019高一上·宁波期中) 若函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围是________．15. （1分） (2015高二上·仙游期末) 计算 dx=________．16. （1分）若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）记关于x的不等式＜0的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（1）若a=3，求P；（2）若P∩Q=Q，求正数a的取值．18. （5分） (2017高二上·石家庄期末) 设命题p：（x﹣2）2≤1，命题q：x2+（2a+1）x+a（a+1）≥0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19. （10分）(2018·河北模拟) 已知的外接圆半径为，内角，，的对边分别为，，，且 .（1）若，求角；（2）若为锐角，，求的面积.20. （10分） (2019高二上·集宁月考) 已知函数 .（1）求的最小正周期；（2）当时，若，求的值.21. （5分）已知函数 f（x）=ax+（1﹣a）lnx+（a∈R）（I）当a=0时，求 f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求 f（x）的单调区间；（Ⅲ）方程 f（x）=0的根的个数能否达到3，若能请求出此时a的范围，若不能，请说明理由．22. （10分）已知函数f（x）=alnx﹣ax2+1，g（x）=x﹣ax2+1．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）若存在，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、22-1、22-2、。

广东省揭阳市高三上学期期末学业水平考试数学(理科)试卷 Word版含答案

绝密★启用前揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{}3,2,1,0,1,2A =---，{}23B x x =≤，则AB =（A ）{}0,2 （B ）{}1,0,1- （C ）{}3,2,1,0,1,2--- （D ）[]0,2（2）复数z 满足(1＋i)z ＝i ＋2，则z 的虚部为（A ）32（B ）12（C ）12-（D ）12i -（3）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且322315S S -=,则数列{}n a 的公差为（A ）3（B ）4（C ）5 （D ）6（4）设D 为△ABC 所在平面内一点，且3BC BD =,则AD =（A ）2133AB AC + （B ）1233AB AC + （C ）4133AB AC + （D ）2533AB AC + （5）若空间四条直线a 、b 、c 、d ，两个平面α、β，满足b a ⊥，d c ⊥，α⊥a ，α⊥c ，则（A ）α//b （B ）b c ⊥（C ）d b //（D ）b 与d 是异面直线（6）若命题：“20,20x R ax ax ∃∈-->”为假命题，则a 的取值范围是（A ）(,8][0,)-∞-+∞ （B ）(8,0)-（C ）(,0]-∞（D ）[8,0]-（7）函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是（A ）（B ）（C ）（D ）（8）已知0a >且1a ≠，函数()13log ,0,0x x x f x a b x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩满足()02f =，()13f -=，则()()3f f -=（A ）3-（B ）2-（C ）3（D ）2（9）阅读如图1所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（A ）1234 （B ）2017 （C ）2258 （D ）722（10）六个学习小组依次编号为1、2、3、4、5、6，每组3人，现需从中任选3人组成一个新的学习小组，则3人来自不同学习小组的概率为（A ）5204（B ）4568（C ）1568（D ）568（11）直线:42l x y +=与圆22:1C x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 、OB 的倾斜角分别为α、β，则cos cos αβ+= 图1 （A ）1817 （B ）1217- （C ）417-（D ）417（12）已知,a b R ∈、且2222290ab a b ++-=，若M 为22a b +的最小值，则约束条件⎩⎨⎧≤+≤+.2||||,322M y x M y x 所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为（A ）29（B ）25（C ）18 （D ）16第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）在8)1(xx -的展开式中，常数项是．（14）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到椭圆上点的最大距离为,a b 为实半轴长和虚半轴长，焦点在y 轴上的双曲线标准方程为 . （15）一几何体的三视图如图2示，则该几何体的体积为 . （16）已知正项数列{}n a 的首项11a =，且对一切的正整数n ，均有:211(1)(1)0n n n n n n a na n a a na +++-++-=，则数图2列{}n a 的通项公式n a = .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，=1b ，且2c o s 20C a c --=．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)求△ABC 外接圆的圆心到AC 边的距离．（18）（本小题满分12分）如图3，在四棱锥ABCD P -中，AD O ∈，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AO=AB=BC=1，3=PC ．(Ⅰ)证明：平面POC ⊥平面P AD ；(Ⅱ）若AD=2，P A=PD ，求CD 与平面P AB 所成角的余弦值．图3（19）（本小题满分12分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A 箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B 箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次A 箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B 箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．（Ⅰ）经统计，消费额X 服从正态分布)625,150(N ，某天有1000位顾客，请估计消费额X（单位：元）在区间（100，150]内并中奖的人数；附：若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+<<-σμσμX P ，9544.0)22(=+<<-σμσμX P ．（Ⅱ）某三位顾客各有一次A 箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列；（Ⅲ）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A 箱内摸奖机会；方法二：一次B 箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大．（20）(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （-1, 0）、B （1, 0）、C （0, -1），N 为y 轴上的点，MN 垂直于y 轴，且点M 满足AM BM ON CM ⋅=⋅（O 为坐标原点），点M 的轨迹为曲线T ．(Ⅰ)求曲线T 的方程；(Ⅱ)设点P （P 不在y 轴上）是曲线T 上任意一点，曲线T 在点P 处的切线l 与直线54y =-交于点Q ，试探究以PQ 为直径的圆是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，说明理由．（21）（本小题满分12分）设a >0，已知函数)ln()(a x x x f +-=(x >0)．(Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅱ)试判断函数)(x f 在(0,)+∞上是否有两个零点，并说明理由．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=ααsin 1cos 1t y t x （t 为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos +=θρρ．(Ⅰ)写出直线l 经过的定点的直角坐标，并求曲线C 的普通方程； (Ⅱ)若4πα=，求直线l 的极坐标方程，以及直线l 与曲线C 的交点的极坐标．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数|2||1|)(--+=x m x x f ． (Ⅰ)若1m =，求函数)(x f 的值域； (Ⅱ)若1m =-，求不等式x x f 3)(>的解集．B ,y 1)x揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一、选择题：解析：（9）输出结果为：2921211122221121-+++++=+=-（10）31363318()4568C C P C ==；（11）设1122(,),(,)A x y B x y ，由三角函数的定义得：12cos cos x x αβ+=+，由2242,1.x y x y +=⎧⎨+=⎩消去y 得：2174x x --则12417x x +=，即4cos cos 17αβ+=.（12）由2222290ab a b ++-=结合222aba b ≤+得22223()93a b a b +≥⇒+≥（当且仅当a b =时等号成立）故3M =,故约束条件确定的平面区域如右图阴影所示，在区域内，由2,2x y =±=±围成的矩形区域（含边界）整点有25个，加上圆2223x y +=与坐标轴的交点4个，共29个.二、填空题：解析：（15）==522=30222V V V V =+⨯⨯⨯长方体长方体长方体.（16）由211(1)(1)0n n n n n n a na n a a na +++-++-=1(1)(1)(1)0n n n n n a a na a +⇒++-+=，1(1)[(1)]0n n n a n a na +⇒++-=11n n a na n +⇒=+，则1212112112n n n n a a a n n a a a n n -----⋅=⋅-，1n a n⇒=. 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由2cos 20C a c --=，=1b 结合余弦定理得：22120a c a c a+---=，-------------------------------------------------------------------------------2分221a c ac ⇒+-=-，----------------------------------------------------------------------------------3分则2222211cos 222a cb ac B ac ac +-+-===-，-----------------------------------------------------5分∵0B π<< ∴23B π=.---------------------------------------------------------------------------7分(Ⅱ) 设△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理知122sin sin 3b R B π===-------------------------------------------------------------------9分故R =,-------------------------------------------------------------------------------------------10分则△ABC 外接圆的圆心到AC 边的距离6d ==.---------------------------------------------------------------12分（18）解：（Ⅰ）在四边形OABC 中，∵AO //BC ，AO =BC ，AB ⊥AD ，∴四边形OABC 是正方形，得OC ⊥AD ，-----------------------2分在△POC 中，∵222PC OC PO =+，∴OC ⊥PO ，-------4分又O AD PO = ，∴OC ⊥平面P AD ，又⊂OC 平面POC ，∴平面POC ⊥平面P AD ；-------------6分（Ⅱ）解法1：由O 是AD 中点，P A=PD ，得PO ⊥AD ；以O 为原点，如图建立空间直角坐标系O -xyz ， ---------- 7分得)0,1,0(-A ，)0,1,1(-B ，)2,0,0(P ，)0,0,1(C ，)0,1,0(D ，得)0,1,1(-=CD ，)2,1,0(--=PA ，)0,0,1(=AB ，E设),,(z y x m =是平面P AB 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥m PA m ，得⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=--=⋅002x m z y m ，取z =1，得)1,2,0(-=m，----------------------------------------------------------------------------------10分设CD 与平面P AB 所成角为θ，则|||||,cos |sin m CD m⋅=><=θ33322=⋅=， ∴36cos =θ，即CD 与平面PAB------------------------------12分【解法2：连结OB ，∵OD//BC ，且OD=BC ∴BCDO 为平行四边形，∴OB//CD, ----------------------------7分由（Ⅰ）知OC ⊥平面P AD ，∴AB ⊥平面P AD ，∵AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ，----------------------------------------------------8分过点O 作OE ⊥PA 于E ，连结BE ，则OE ⊥平面PAB ， ∴∠OBE 为CD 与平面PAB 所成的角，----------------------10分在Rt △OEB中，∵PO AO OE PA ⋅==,OB =,∴cos BEOBE OB∠=== 即CD 与平面P AB--------------------------------------------------12分】（19）解：（Ⅰ）依题意得150=μ，6252=σ，得25=σ，σμ2100-=， ------------ 1分消费额X 在区间（100，150]内的顾客有一次A 箱内摸奖机会，中奖率为0.6，--------- 2分人数约为)2(1000μσμ≤<-⨯X P 29544.01000⨯==477人，------------------------3分其中中奖的人数约为477×0.6=286人； -------------------------------------------------------- 4分（Ⅱ）三位顾客每人一次A 箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数ξ服从二项分布)6.0,3(B ，k k kC k P -⋅==334.06.0)(ξ，（k=0, 1, 2, 3） ----------------------------------------------------6分故ξ的分布列为-----------8分（Ⅲ）A 箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.1+20×0.2+5×0.3=10.5，-------------------------9分B箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.5+20×0.5=35，---------------------------------------10分方法一所得奖金的期望值为3×10.5=31.5，方法二所得奖金的期望值为35，所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．-----------------------------------------------12分（20）解：（Ⅰ）设点(,)M x y ，依题意知(0,)N y ，∵(1,),(1,),(0,),(,1)AM x y BM x y ON y CM x y =+=-==+，---------------------------2分由AM BM ON CM ⋅=⋅得221(1)x y y y -+=+，即21y x =-， ∴所求曲线T 的方程为21y x =-------------------- 4（Ⅱ）解法1：设000(,)(0)P x y x ≠，由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x ===---------------------------5分 ∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为20041(8x x -设(,)G x y 是以PQ 为直径的圆上任意一点，则由得以PQ 为直径的圆的方程为：20000415()()()()084x x x x y y y x ---+-+=------①-----------8分在①中，令001,0x y =±=得35(1)()()084x x y y ++++=，------------------------②35(1)()()084x x y y --++=， -----------------------------------------------------------③由②③联立解得0,3.4x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或 0,1.2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩--------------------------------------------------------------10分将30,4x y ==-代入①式，左边=20041335()()8444x y -+---+0011022y y =-==右边，即以PQ 为直径的圆过点3(0,)4-，--------------------------------------------------------------------11分将10,2x y ==-代入①式，左边≠右边，∴以PQ 为直径的圆恒过点，该定点的坐标为3(0,)4---------------------------------------------12分【解法2：设000(,)(0)P x y x ≠，由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x === -----------------------------------------------------------------------------------------5分∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为200415(,)84x x ---------------------------------------------6分设(,)G x y 是以PQ 为直径的圆上任意一点，则由0PG QG ⋅=，得以PQ 为直径的圆的方程为：20000415()()()()08x x x x y y y x ---+-+=------①------------8分假设以PQ 为直径的圆过定点),(b a ，则0)45)(()8121)((0000=+-++--b y b x x a x a ， 0)45)(1(81823212000202=++-+-+-+b x b x a ax x a ， )45)(1()45(81823212000202++++--+-+b b x b x a ax x a 0)45)(1()43(81)8123(20002=++++----b b x b x x a a ，令43,0-==b a ，上式恒成立， ∴以PQ 为直径的圆恒过定点，该点的坐标为3(0,)4-----------------------------------------------12分】【解法3：设000(,)(0)P x y x ≠，由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x ===------------------------------------------------------------------------------------------5分∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为200415(,)84x x --------------------------------------------6分假设以PQ 为直径的圆恒过定点H ，则根据对称性，点H 必在y 轴上，设(0,)H t ，则由0PH QH ⋅=得20000415()()084x x t y t x -⋅+-+=------① --------------------------------------8分001355()()02844y t t y t +++-+=，031()()042t t y ++-=， ∴34t =-，即以PQ 为直径的圆恒过定点，该点的坐标为3(0,)4---------------------------12分】（21）解：（Ⅰ）ax xx f +-=121)('，----------------------------------------------------------------1分0)2(220)('22>+-+⇔>+⇔>a x a x x a x x f ，0)2(20)('22<+-+⇔<a x a x x f ，设22)2(2)(a x a x x g +-+=，则)1(16a -=∆， ①当1≥a 时，0≤∆，0)(≥x g ，即0)('≥x f ， ∴)(x f 在),0(∞+上单调递增；-----------------------------------------------------------------3分②当10<<a 时，0>∆，由0)(=x g 得a a aa x ---=---=122214241，aa x -+-=1222，-----------------------------------------------------------------------------4分可知210x x <<，由)(x g 的图象得：)(x f 在)122,0(a a ---和),122(∞+-+-a a 上单调递增；--------------------5分)(x f 在,122(a a ---)122a a -+-上单调递减． ---------------------------------6分（Ⅱ）解法1：函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点 ----------------------------------------------7分假设函数)(x f 有两个零点，由（Ⅰ）知，10<<a ，因为0ln )0(>-=a f ，则0)(2<x f ，即)ln(22a x x +<，由0)('2=x f 知222x a x =+，所以）（222ln x x <，设t x =2，则)2l n(t t <（＊）， -----------------------------------------------------------------9分由)4,1(1222∈-+-=a a x ，得)2,1(∈t ，设)2ln()(t t t h -=，得011)('>-=t t h ， -------------------------------------------------10分所以)(t h 在)2,1(递增，得02ln 1)1()(>-=>h t h ，即)2ln(t t >，这与（＊）式矛盾， ---------------------------------------------------------------------------------11分所以上假设不成立，即函数)(x f 没有两个零点． ------------------------------------------12分【解法2：函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点； -------------------------------------------------7分由（Ⅰ）知当1≥a 时，函数)(x f 在),0(∞+上单调递增，∴函数)(x f 在),0(∞+上至多有一个零点；-----------------------------------------------------8分当10<<a 时，∵0ln )0(>-=a f ，由（Ⅰ）知当2x x =时，()f x 有极小值，22()=()ln()f x f x x a =+极小11)]=-，---------------------9分1,t =则12t <<，()ln(2)f x t t =-极小，设)2ln()(t t t h -=，得011)('>-=t t h ，------------------------------------------------------10分∴)(t h 在)2,1(单调递增，得02ln 1)1()(>-=>h t h ，即()0f x >极小，可知当10<<a 时，函数)(x f 在(0,)+∞不存在零点；综上可得函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点.-------------------- -----------------------12分】选做题：（22）解：（Ⅰ）直线l 经过定点)1,1(-，-----------------------------------------------------------------2分由2cos +=θρρ得22)2cos (+=θρρ，得曲线C 的普通方程为222)2(+=+x y x ，化简得442+=x y ；---5分（Ⅱ）若4πα=，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 221221，的普通方程为2+=x y ，----------------------------------6分则直线l 的极坐标方程为2cos sin +=θρθρ，------------------------------------------------8分联立曲线C ：2cos +=θρρ．得1sin =θ，取2πθ=，得2=ρ，所以直线l 与曲线C 的交点为)2,2(π．------------10分（23）解：（Ⅰ）当1m =时，|2||1|)(--+=x x x f -------------------------------------------------1分∵3|)2()1(|||2||1||=--+≤--+x x x x ，-------------------------------------------------3分 3|2||1|3≤--+≤-∴x x ，函数)(x f 的值域为]3,3[-；------------------------------ 5分（Ⅱ）当m =－1时，不等式x x f 3)(>即x x x 3|2||1|>-++，------------------------------- -6分①当1-<x 时，得x x x 321>+---，解得51<x ，1-<∴x ； --------------------- 7分②当21<≤-x 时，得x x x 321>+-+，解得1<x ，11<≤-∴x ； --------------- 8分③当2≥x 时，得x x x 321>-++，解得1-<x ，所以无解； ------------------------9分综上所述，原不等式的解集为)1,(-∞． -----------------------------------------------------10分。

【高三数学试题精选】2018届高三数学上册第一次测试题(含答案)_1

2018届高三数学上册第一次测试题(含答案)
5 揭阳市云路中学2018届高三数学（理科）第一次测试试题20180917
班级姓名座位评分
第一部分选择题（共40分）
一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分
1、设集合，，那么“ ”是“ ”的（）
A．充分而不必要条 B．必要而不充分条
c．充分必要条 D．既不充分也不必要条
2、 ( )
A． B． c． D 或1
3、一质点受到平面上的三个力（单位牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且的大小分别为２和４，则的大小为（）Ａ．６Ｂ．２Ｃ．Ｄ．
4、设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）
A．是偶函数 B．是奇函数
c．是偶函数 D．是奇函数
5、已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）
A． B． c． D．
6、右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条是（）
Ai 10 Bi 10 ci 20 Di 20
7、函数的值域是（）
A． B． c． D．。

2017-2018广东省揭阳市高三第一次模拟考试理科数学(word版附答案))

2017-2018广东省揭阳市高三第一次模拟考试理科数学第I 卷：选择题共60分一选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）（1）已知集合}2,1,0,1{-=A ，集合={|23,}B y y x x A =-∈，则A B =（A ）{1,0,1}- （B ）{1,1}-（C ）{1,1,2}-（D ）{0,1,2}（2）已知复数1234,z i z t i =+=-,且21z z ⋅是实数,则实数t =（A ）43 （B ）34 （C ）43-（D ）34- （3）若(cos20,sin 20)a =，(cos10,sin190)b = , 则a b ⋅=（A ）12 （B （C ）cos10 （D （4）已知命题:p 存在向量,,a b 使得||||a b a b ⋅=⋅，命题:q 对任意的向量a 、b 、c ，若a b a c ⋅=⋅ 则b c =.则下列判断正确的是（A ）命题p q ∨是假命题（B ）命题p q ∧是真命题（C ）命题()p q ∨⌝是假命题（D ）命题()p q ∧⌝是真命题（5）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法. 如图1所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为4，2，则输出v 的值为（A ）66 （B ）33 （C ）16 （D ）8 （6）如果实数x y 、满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，那么2x y -的最大值为（A ）2 （B ）1 （C ）2- （D ）3-（7）在同一坐标系中，曲线xy )31(=与抛物线2y x =的交点横坐标所在区间为（A ）)31,0(（B ）)21,31( （C ）)32,21( （D ）)1,32( （8）在421)(1)x⋅-的展开式中，x 项的系数为图2（A ）－4 （B ）－2 （C ）2（D ）4（9）某工件的三视图如图2所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体积为（A ）18 （B ）1 （C ） 2 （D ）43π（10）已知正数,a b 满足4a b +=，则曲线()ln xf x x b=+在点(,())a f a 处的切线的倾斜角的取值范围为（A ）,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ （B ）5,412ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （C ）,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （D ）,43ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭（11）已知双曲线22142x y -=右焦点为F ，P为双曲线左支上一点，点A ,则△APF周长的最小值为（A）4(1 （B）4 （C）（D（12）已知函数()=|sin |([,])f x x x ππ∈-，()g x x x sin 2-=（],[ππ-∈x ），设方程(())0f f x =，(())0f g x =，(())0g g x =的实根的个数为分别为m 、n 、t ，则m n t ++=（A ）9 (B)13 (C)17 (D) 21第II 卷：非选择题共90分二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）（13）已知函数3()1f x ax bx =++，若()8f a =，则()f a -=_________.（14）连续掷两次骰子，以先后得到的点数m , n 作为点P 的坐标(,)m n ，那么点P 在圆2217x y +=内部（不包括边界）的概率是 .（15）已知△ABC 的顶点都在球O 的球面上，AB=6，BC=8，AC=10，三棱锥O-ABC的体积为，则该球的表面积等于 .（16）在△ABC 中，6B π∠=,1AC =,点D 在边AB 上，且DA=DC ，BD=1，则DCA ∠= .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过ACBA 1C 1B 1DE图31105x1210频率图4程或演算步骤.）（17）（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,2123n n a a +=-. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列{}n b 满足11222332n n nn a b a b a b ++++=- ，求{}n b 的前n 项和n T ．（18）（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=BB 1，11AB A B E = ，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD ；(Ⅰ)求证：BD ⊥平面11ACC A ；(Ⅱ)若1AB =，且1AC AD =⋅，求二面角11B D A B -- 的余弦值．（19）（本小题满分12分）某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电．图4是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X （单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知)120,0[∈X ，历年中日泄流量在区间[30，60）的年平均天数为156，一年按364天计．（Ⅰ）请把频率分布直方图补充完整；（Ⅱ）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如60≤X <90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润为4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据，问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？（20）（本小题满分12分）如图5，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的上顶点为A ，左、右顶点为B 、C ，右焦点为F ，|AF |=3，且ABC ∆的周长为14. （I ）求椭圆的离心率；（II ）过点M (4, 0)的直线l 与椭圆相交于不同两点P 、Q ，点N 在线段PQ 上．设||||||||QN MQ PN MP ==λ，试判断点N 是否在一条定直线上，并求实数λ的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知函数()(2)=-+xf x x e ax .(a R ∈)（I ）试确定函数()f x 的零点个数；（II ）设12，x x 是函数()f x 的两个零点，当122+≤x x 时，求a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l ：αθ=)),,0[(R ∈∈ρπα与曲线C 相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M ，求||OM 的最大值．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数)1()(-=x a x f ．（Ⅰ）当1a =时，解不等式|()||()|3f x f x x +-≥；（Ⅱ）设1||≤a ，当1||≤x 时，求证：45|)(|2≤+x x f ．理科数学答案一、选择题：（92，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x 222x-=，解得12x =，故2x =1，故新工件的体积为1.（10）设曲线在点(,())a f a 处的切线的倾斜角为α，则122211)('tan =+≥≥+==b a ab b a a f α，故42ππα≤<．（11）易得点F ,△APF 的周长l =||||||AF AP PF ++||2|'|||AF a PF AP =+++，要△APF 的周长最小，只需|||'|AP PF +最小，如图，当A 、P 、F 三点共线时取到，故l 2||24(1AF a =+=.（12）由条件可在函数()f x 的值域为[0,1]，方程()0f x =的根为0，π-，π，所以方程(())0f f x =的根为方程()0f x =或π-=)(x f 或()f x π=的根，显然方程()0f x =有3个实根，π-=)(x f 与()f x π=均无实根，所以方程(())0f f x =的实根个数为3，即3m =；因x x x g sin 2)(-=是奇函数，先考虑],0[π∈x 的图象，因x x g cos 21)('-=，由0)('>x g 得],3(ππ∈x ，可知)(x g 在],3(ππ上递增，在]3,0(π上递减，又0)0(=g ，ππ=)(g ，由图象关于原点对称得)(x g 的示意图如右，极小值为g 极大值为7.0)3(≈-πg . 方程(())0f g x =的实根为方程()0g x =或π-=)(x g 或π=)(x g 的根，显然方程()0g x =有3个根，方程π-=)(x g 与π=)(x g 各有１个根，从而方程(())0f g x =DC BA实根的个数为5，即n =5；记方程()0g x =除0外的另外两个实根分别为00,x x -，可知10>x ，方程(())0g g x =的实根为方程()0g x =或0)(x x g =或0)(x x g -=的根，显然方程()0g x =有3个根，方程0)(x x g =与0)(x x g -=各有１个根，从而方程(())0g g x =根的个数为5，即t =5，故m n t ++=13. 二、填空题：（15）依题意知△ABC 为直角三角形，其所在圆面的半径为152AC =，设三棱锥O-ABC 的高为h ，则由116832h ⨯⨯⨯=h =O 的半径为R ，则由2225h R +=得10R =，故该球的表面积为400π.（16）解法1：设A ACD θ∠=∠=，02πθ<<，则2ADC πθ∠=-，又1AC =,由正弦定理得：1.sin 2sin 2cos AC CD CD θθθ=⇒=在△BDC 中由正弦定理得： 112cos 5sin sin sin sin(2)66CD BD B BCD θππθ=⇒=∠∠-55cos sin(2)sin()sin(2)626πππθθθθ⇒=-⇒-=-，由02πθ<< 550,222666πππππθθ⇒<-<-<-<，得5226ππθθ-=-或5226ππθθπ-+-=3πθ⇒=或9π. [注：该题若考生漏掉一解扣2分] 【或5cos sin(2)cos cos(2)63ππθθθθ=-⇒=-23πθθ⇒-=±3πθ⇒=或9π】解法2：过点C 作CE AB ⊥于E ，A ACD θ∠=∠=,则2CDB θ∠=,在Rt △AEC 中，sin CE θ=，则在Rt △CED 中，θθθ2tan sin 2tan -=-=CE DE ，在Rt △CEBEDB 1C 1A 1BCA中,tan6CE BE θπ==，由BD=1得sin 1tan 2θθθ+=sin cos2sin 2sin 2θθθθθ⇒=cos222cos θθθ⇒=cos cos(2)3πθθ⇒=-23πθθ⇒-=±3πθ⇒=或9π.】三、解答题：（17）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则有1111464(2)(21)2()3a d a d a n d a nd +=+⎧⎨+-=⋅+-⎩，解得11,2a d ==--------------------------------------------------------------------------------------4分1(1)21n a a n d n ∴=+-=-------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由11222332n n nn a b a b a b ++++=-① 当1n =时，1112a b =，所以112b =-----------------------------------------------------------------7分当2n ≥时，11221112132n n n n a b a b a b ---++++=- ②-----------------------------8分①式减去②式得212n n nn a b -=，求得12n nb =，易知1n =也成立，所以数列{}n b 为等比数列，-------------------------------------------------------------------------10分其前n 项和1211[1()]1221()1212n n n n T b b b -=+++==-- ------------------------------------12分（18）解：（Ⅰ）连结ED ，-------------------------------------------1分∵平面AB 1C ∩平面A 1BD=ED ，B 1C ∥平面A 1BD ， ∴B 1C ∥ED ，-------------------------------------------------------2分 ∵E 为AB 1中点，∴D 为AC 中点，∵AB=BC ， ∴BD ⊥AC ①，--------------------------------3分法一：由A 1A ⊥平面ABC ，⊂BD 平面ABC ，得A 1A ⊥BD ②，1701105频率由①②及A 1A 、AC 是平面11ACC A 内的两条相交直线，得BD ⊥平面11ACC A .-------------------------------------------5分【法二:由A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ⊂平面11ACC A∴平面11ACC A ⊥平面ABC ，又平面11ACC A 平面ABC=AC ，得BD ⊥平面11ACC A .】（Ⅱ）由1AB =得BC=BB 1=1，由（Ⅰ）知AC DA 21=，又1=⋅DA AC 得22AC =,----------------------------------------6分∵2222BC AB AC +==，∴BC AB ⊥，-----------------7分如图以B 为原点，建立空间直角坐标系xyz B -如图示，则)1,0,1(1A ，)1,0,0(1B ，)0,21,21(D ，得)0,0,1(11=A B ，111(,,1)22B D =- ，设),,(z y x m = 是平面A 1B 1D 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥D B m A B m 111 ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅==⋅021210111z y x B m x A B m ，令z =1，得)1,2,0(=m ，----------9分设(,,)n a b c = 为平面A 1BD 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥1BA n n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅00221c a BA n b a BD n ，令1c =得(1,1,1)n =-， ---------------------------------------------------------------------------10分依题意知二面角11B D A B --为锐二面角，设其大小为θ，则 |||||||,cos |cos m n m n m n⋅⋅=><=θ515353=⋅=，即二面角11B D A B --的余弦值为515．----------------------------------------------------12分其它解法请参照给分．（19）解：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为73364156=------------------------------------------------1分 31==73070⨯频率组距，----------------2分设在区间[0，30）上，a =频率组距，则130)21011051701(=⨯+++a ，解得2101=a ，-------------------------------------------------3分补充频率分布直方图如右；-----------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）记水电站日利润为Y 元．由（Ⅰ）知：不能运行发电机的概率为71，恰好运行一台发电机的概率为73，恰好运行二台发电机的概率为72，恰好运行三台发电机的概率为71， ①若安装1台发电机，则Y 的值为-500，4000，其分布列为E (Y )＝77400071500=⨯+⨯-；----------------------------------8分 ②若安装2台发电机，则Y 的值为-1000，3500，8000，其分布列为E (Y )＝11000350080007777-⨯+⨯+⨯=；-----------------------------10分 ③若安装3台发电机，则Y 的值为-1500，3000，7500，12000，其分布列为E (Y )＝7712000775007300071500=⨯+⨯+⨯+⨯-； ∵345003350023500777>> ∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．--------------12分（20）解：（I ）由2222||a c b AF =+=，得3=a ，--------------------------1分ABC ∆的周长为14)(2=+a AC ，即722=++a a b ，得72=b ，所以2=c ，椭圆的离心率为32=e ；---------------------------------------------4分（II ）显然直线l 的斜率存在，设l 的方程为)4(-=x k y ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，由||||||||QN MQ PN MP =，得022101y y y y y y -=-，化简得)(221021y y y y y +=①，-----6分由22(4),1.97=-⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 消去x ，得04956)79(222=+++k ky y k ，得7956221+-=+k k y y ，79492221+=k k y y ，----------------------------------------------------8分代入①式得k y 470-=，由)4(00-=x k y 得490=x ， 49471414||||1010011-+-=--+-=--==x x x x x x x PN MP λ，---------------------------------------10分因为3491≤<x ，得434901≤-<x ，所以34371=+-≥λ，因此，N 在一条直线49=x 上，实数),34[∞+∈λ．------------------------------------------12分【法二：显然直线l 的斜率存在，设l 的方程为)4(-=x k y ，不妨设0>k ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，12y y <，由||||||||QN MQ PN MP ==λ，得022101y y y y y y -=-=λ，化简得)(221021y y y y y +=①，6分由)(101y y y -=λ，)(022y y y -=λ，得)(1221y y y y -=+λ②，由22(4),1.97=-⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 消去x ，得04956)79(222=+++k ky y k ，可知=∆=⋅+-22249)79(4)56(k k k 0)1(364922>-⋅k k ，得7956221+-=+k k y y ，79492221+=k k y y ，)79(25622,1+∆±-=k k y ，----------------------8分代入①式得k y 470-=，由)4(00-=x k y 得490=x ，---------------------------------------9分由②式得79562+-k k 792+∆-⋅=k λ，得341341425622≥-=-=k k k k λ，因此，N 在一条直线49=x 上，实数),34[∞+∈λ．--------------------------------------12分】【法三：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，21x x <，由||||||||QN MQ PN MP ==λ，得,,MP PN MQ QN λλ==------------------------------------------------------------------------5分所以01010*********x x y y x x y y λλλλλλλλ+⎧=⎪+⎪⎪=⎪+⎨-⎪=⎪-⎪-⎪=-⎩将()11,A x y ，()22,B x y 代入椭圆方程得------------------7分2200222002222002004()()(4)()111(1)97974(4)()()()(1)1197197x y x y x y x y λλλλλλλλλλλλλλ+⎧⎪⎧++++=+=+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨----⎪⎪+=-⎪⎪--⎩+=⎪⎩-----------------9分上面两式相减化简得490=x 0110101744||411||4x x MP PN x x x x x λ--∴===-+=-+---，因为3491≤<x ，得434901≤-<x ，所以34371=+-≥λ，因此，N 在一条直线49=x 上，实数),34[∞+∈λ．----------------------------------12分】（21）解法1：（I ）函数()f x 的零点即方程()0=f x 的根，由(2)0-+=x x e ax 得(2)=-x ax x e ，令()(2)=-x g x x e ，则'()(2)(1)=-+-=-x x x g x e x e x e ，--------------------2分由'()0g x >得1x <，∴函数()g x 在(,1)-∞单调递增，由'()0g x <得1x >，∴函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，----3分 ∴当1=x 时，函数()g x 有最大值，max ()(1)==g x g e ，又当1x <时，()g x >0，当→-∞x 时()0→g x ；当2<x 时()g x >0，(2)0=g ，当2>x 时()0<g x ，----------------------------------------4分 ∴当0≥a 时，ax y =与()g x 只有一个公共点，从而函数()f x 有一个零点；---------- 5分当0<a 时，ax y =与()g x 有两个公共点，从而函数()f x 有两个零点．-----------------6分（II ）设12<x x 由（I ）知0<a 且120,2<>x x ，由1111()(2)0=-+=x f x x e ax ，得111(2)-=-x x e a x （10<x ）由2222()(2)0=-+=x f x x e ax ，得222(2)-=-x x e a x （22>x ）-----------------------8分∴2a 111)2(x e x x -=222)2(x e x x -⋅21212121]4)(2[x x e x x x x x x +++-=， -------------------------9分∵221≤+x x ∴0)(2421≥+-x x ，2210e e x x ≤<+，（两者仅当221=+x x 时取等号）∴212121)(24x x x x x x ≥++-，又021<x x ， ∴1]4)(2[212121≤++-x x x x x x ，----------------------------------------------------------------------11分∴22211e e a x x ≤⋅≤+，由0<a 得0<≤-a e ．--------------------------------------------------------------------------------12分【解法2：（I ）∵02)0(≠-=f ，0=∴x 不是函数的零点；当0≠x 时，由0)2()(=+-=ax e x x f x得xe x a x)2(--=，------------------------------1分设x e x x g x )2()(--=，则0)22()('22<+--=x e x x x g x，----------------------------------2分所以)(x g 在)0,(-∞和),0(∞+上单调递减，-----------------------------------------------------3分当0>x 且0→x 时，+∞→)(x g ；当+∞→x 时，-∞→)(x g ；当0<x 且0→x 时，-∞→)(x g ；当-∞→x 时，0)(→x g ；当0<x 时，由0)(<x g ，有)0,()(-∞∈x g ，当0>x 时，有0)2(=g ，),()(∞+-∞∈x g ，所以当0≥a 时，曲线a y =与)(x g 只一个公共点，函数)(x f 有一个零点； -----------5分当0<a 时，曲线a y =与()g x 有两个公共点，函数)(x f 有两个零点； -----------------6分（II ）不妨设21x x <，由（I ）得0<a ，且01<x ，22>x ，由0)(1=x f ，0)(2=x f ，得)(1x g a =，)(2x g a =，∴)()(212x g x g a ⋅=111)2(x e x x -=222)2(x e x x -⋅21212121]4)(2[x x e x x x x x x +++-=，-----8分∵221≤+x x ∴0)(2421≥+-x x ，2210e e x x ≤<+，（两者仅当221=+x x 时取等号） ∴212121)(24x x x x x x ≥++-，又021<x x ，----------------------------------------------------10分 ∴1]4)(2[212121≤++-x x x x x x ，------------------------------------------------------------------------11分∴22211e e a x x ≤⋅≤+，由0<a 得0<≤-a e ．------------------------------------------------12分】选做题：（22）解：（I ）曲线C 的普通方程为222(1)(1)2x y ++-=，-------------------------------------2分由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，得22cos 2sin 20ρρθρθ+--=；---------------------------------------5分（II ）解法1：联立αθ=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=，得22(cos sin )20ρραα+--=，-----------------------------------------------------------------6分设),(1αρA 、),(2αρB ，则)4sin(22)cos (sin 221παααρρ-=-=+，---------8分由|2|||21ρρ+=OM ，得2|)4sin(|2||≤-=παOM ，--------------------------------9分当34πα=时，|OM |取最大值2．----------------------------------------------------------------10分【解法2：由（I ）知曲线C 是以点P (1,1)-为圆心，以2为半径的圆，在直角坐标系中，直线l 的方程为x y ⋅=αtan ，则||PM =-----------------------------------------------------6分∵2222||||||2OM OP PM =-=-22tan 11tan αα=-+，---------------------------------8分当(,)2παπ∈时，tan 0α<，21tan 2|tan |αα+≥，222|tan |||121tan OM αα=+≤+，当且仅当tan 1α=-，即34πα=时取等号，∴||OM 即||OM 的最大值为2．------------------------------------------------------------10分】（23）解：（I ）当1a =时，不等式|()||()|3f x f x x +-≥即|1||1|3x x x -++≥ 当1x ≤-时，得113x x x ---≥0x ⇒≤，∴1x ≤------------------------------------------1分当11x -<<时，得113x x x -++≥23x ⇒≤，∴213x -<≤------------------------------2分当1x ≥时，得113x x x -++≥0x ⇒≤，与1x ≥矛盾，--------------------------------------3分综上得原不等式的解集为2{|1}{|1}3x x x x ≤--<≤ =2{|}3x x ≤-------------------------5分（II ）|)1(||)(|22x x a x x f +-=+|||)1(|2x x a +-≤-----------------------------------------------6分∵1||≤a ，1||≤x∴2|()|f x x +||)1(||2x x a +-≤||12x x +-≤--------------------------------------------------7分4545)21|(|1||||22≤+--=++-=x x x ，------------------------------------------------------9分当21||=x 时取“=”，得证． ------------------------------------------------------------------------10分 2017届广东省揭阳市高三第一次模拟考试（一模）。

2018届广东省揭阳市普通高中学校高考高三数学4月月考模拟试题 01 Word版含答案

2018高考高三数学4月月考模拟试题01第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{}4,3,2,1=M ，{}2,2-=N ，则下列结论成立的是（A ）M N ⊆ （B ）MN M = （C ）M N N = （D ）{}2MN =（2）从甲、乙、丙三名学生中选出两名，参加两个不同学习小组，其中甲、乙不同时入选的概率为（A ）56 （B ）23 （C ）12 （D ）34（3）已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ，则（A ）命题q p ∨是假命题（B ）命题q p ∧是真命题（C ）命题)(q p ⌝∧是真命题（D ）命题)(q p ⌝∨是假命题（4）已知0x 是函数x x f x 21log 3)(-=的零点，若010x x <<，则)(1x f 的值满足（A ）0)(1>x f （B ）0)(1<x f（C ）0)(1=x f （D ）0)(1>x f 与0)(1<x f 均有可能（5）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线方程是02=±y x ，则其离心率为（A ）5（B ）25（C ）3 （D ）5 （6）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若21,,++n n n S S S 成等差数列，则公比q 为（A ）2-或1 （B ）1 （C ）2- （D ）2或1- （7）阅读如图所示的程序框图，若输入919a =，则输出的k 值是（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 （8）已知角α的终边在射线()403y x x =-≤上，则 sin 2tan2αα+=（A ）2625 （B ）7425- （C ）2350- （D ）9775-（9）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ）224+（B ）244+ （C ）8 （D ）10522+++（10）已知P 是抛物线x y 42=上的一个动点，Q 是圆()()22311x y -+-=上的一个动点，)0,1(N 是一个定点，则PQ PN +的最小值为（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）1（11）函数),0()0,(,sin ππ⋃-∈=x xxy 的图象可能是下列图象中的（A ）（B ）（C ）（D ）（12）已知定义在R 上的函数)(x f 满足)(x f =223,([0,1))3,([1,0))x x x x ⎧∈⎪⎨∈⎪⎩＋－－，且)()2(x f x f =+，273)(++=x x x g ，则方程)()(x f x g =在区间]3,8[-上的所有实数根之和为（A ）0 （B ）10- （C ）11- （D ） 12-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答. 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）若复数z 满足)1(2i i z +=-（i 为虚数单位），则=z .（14）在数列{}n a 中，11,a =当n N *∈时，1120n n n n a a a a ++-+=，则{}n a 的通项公式为_____________.2 222正视图侧视图俯视图C 1B 1A 1DE CBA（151=，OB k =,0=⋅，点C 在AOB ∠内，且 30=∠AOC ，设2()OC OA OB R λλλ=+∈，则k 等于__________.（16）正方体1111D C B A ABCD -的各顶点都在球O 的球面上，若三棱锥11D AB O -的体积为32，则球O 的体积为____________.三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知S ABC =∆2.（I ）求角B ；（II ）若2b =,求a c +的取值范围.（18）（本小题满分12分）已知侧棱垂直于底面的三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，D 为棱1AA 中点. （I ）证明：11DB BC ⊥；（II ）在线段BC 上是否存在点E ,使DE ∥平面11C BA ，若存在,确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.（19）（本小题满分12分）某校有1400名考生参加市模拟考试，现采取分层抽样的方法从文、理考生中分别抽取20份和50份数学试卷，进行成绩分析，得到下面的成绩频数分布表：（I ）估计文科数学平均分及理科考生的及格人数（90分为及格分数线）；（II ）在试卷分析中，发现概念性失分非常严重，统计结果如下：问是否有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关？附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=（20）（本小题满分12分）已知直线01:1=-+y x l 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于B A ,两点，M 是线段AB 上的一点，BM AM -=，且点M 在直线x y l 21:2=上. （I ）求椭圆的离心率；（II ）设椭圆左焦点为1F ，若1AF B ∠为钝角，求椭圆长轴长的取值范围. （21）（本小题满分12分）已知函数21()ln (0)2f x x ax x a =-->. （I ）当2=a 时，求)(x f y =的单调区间和极值；（II ）若存在12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，使12()()f x f x =，证明：0)2(21<+'x x f .请考生在第（22）～（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的直径10=AB ，P 是AB 延长线上一点，2=BP ，割线PCD 交圆O 于点C 、D ，过点P 作AP 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F .（I ）求证：PDF PEC ∠=∠；（II ）求PF PE ⋅的值.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C : 122=+y x ，在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的极坐标方程为6)sin cos 2(=-θθρ.（I ）将曲线1C 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的3倍、2倍后得到曲线2C ，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；（II ）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值. （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数a x x x f 212)(-+-=. （I ）当1=a 时，求3)(≤x f 的解集；（II ）当[]2,1∈x 时，3)(≤x f 恒成立，求实数a 的集合.参考答案二．填空题（13）i -1；（14）121n a n =-；（15）3；（16）π34 三. 解答题（17）（本小题满分12分）解：（I ）由已知得sin cos ac B B =, ……………………………………2分 ∴3tan =B ，∵π<<B 0，∴3π=B . …………………………………4分（II ）法一：由余弦定理得2242cos3a c ac π=+-， ……………………………6分∴()()2224332a c a c ac a c +⎛⎫=+-≥+- ⎪⎝⎭（当且仅当a c =时取等号）， …………9分解得04a c <+≤. ………………………………11分FC 1B 1A 1DEC BA又b c a >+，∴42≤+<c a ，∴a c +的取值范围是(]2,4. …………………………………12分法二：由正弦定理得C c A a sin 34,sin 34==， ……………………………6分又32π=+C A ，∴)]sin([sin 34)sin (sin 34B A A C A c a ++=+=+， …………7分 )]3sin([sin 34π++=A A )cos 23sin 21(sin 34A A A ++=， ……………8分)6sin(4)cos 21sin 23(4π+=+=A A A . ………………………………………10分 ∵320π<<A ，∴6566πππ<+<A ，∴1)6sin(21≤+<πA ∴a c +的取值范围是(]2,4. …………………………………………………12分（18）（本小题满分12分）解：（I ）连结CB 1,设11BC B C F =,连结1,,DC DB DF ，∵四边形11B BCC 是正方形，∴C B BC 11⊥且F 为1BC 的中点. …………2分由题意知DAB Rt C DA Rt ∆≅∆11，∴1DC DB =，∴DF BC ⊥1. …………4分又∵⊂C B DF 1,平面DC B 1，F C B DF =⋂1，∴⊥1BC 平面DC B 1. …………6分 ∵⊂1DB 平面DC B 1，∴11DB BC ⊥. ……………………………………7分（II ）存在点E 为BC 的中点，使//DE 平面11BAC . …………………………8分连接F A EF 1,,EF121CC ，D A1121CC ，∴EF ∥D A 1， ∴四边形D EFA 1为平行四边形，∴F A 1∥DE . ………………………………10分 ∵⊂F A 1平面11C BA ，⊄DE 平面11C BA ，∴DE ∥平面11C BA . ………………12分（19）（本小题满分12分）解: （I ）∵1524547581053135376.520⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴估计文科数学平均分为76.5. ……………………………………………………3分∵501400100070⨯= ， 208100056050+⨯=， ∴理科考生有560人及格. ………………………………………………………6分（II ）706.24.145255020)3052015(7022<=⨯⨯⨯⨯-⨯=K . ……………………………10分故没有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关. ……………………12分（20）（本小题满分12分）解：设B A ,两点的坐标分别为),().,(2211y x B y x A .（I ）由BM AM -=知M 是AB 的中点， ……………………1分由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+,1,012222b y ax y x 得：02)(2222222=-+-+b a a x a x b a ， ∴222212b a a x x +=+，222212122)(b a b x x y y +=++-=+， …………………3分 ∴点M 的坐标为),(222222b a b b a a ++. ………………………4分又点M 在直线2l 上，∴02222222=+-+ba b b a a ， ∴)(222222c a b a -==，∴222c a =，∴22=e . …………………6分（II ）由（I ）知c b =，方程化为2234220x x c -+-=()2162410,c c ∆=-->>………………………7分 ∴3421=+x x ,212223c x x -=,31321)(2212121+-=++-=c x x x x y y .………8分由已知知011<⋅B F A F ,即0)(),(),(21221212211<++++=+⋅+y y c x x c x x y c x y c x代入得0342>--c c ,解得72+>c 或72-<c ，综上得72+>c . …………………11分又a = , ∴a 2的取值范围是),14224(+∞+. ……………………12分（21）（本小题满分12分）解：（I ）当2=a 时，2()ln (0)f x x x x x =-->，∴2121(1)(21)()21x x x x f x x x x x +-+-'=--=-=-，………………………………2分令0)(>'x f ，则210<<x ；令()0f x '<，则21>x ，∴)21,0(是)(x f 的单调递增区间，),21(+∞是)(x f 的单调减区间. …………………5分当21=x 时，)(x f 取极大值为2ln 43--. ………………………………………………6分（II ）解法1：不妨设012>>x x ，由已知，得)21(ln )21(ln )()(1211222212x ax x x ax x x f x f -----=- )]()(21[ln ln 12212212x x x x a x x -+---=，0)](1)(21[ln ln 121212=-++--=x x x x a x x∴1)(21ln ln 121212++=--x x a x x x x . ……………………………………………………8分∵11)(--='ax xx f ， ∴121221212121ln ln 21)(22)2(x x x x x x x x a x x x x f ---+=-+-+=+' ]ln 1)1(2[112121212x x x x x x x x -+--=. …………………………………………9分设12x x t =，)1(ln 1)1(2)(>-+-=t t t t t g . ………………………………………………10分 ∵0)1()1()(22<+--='t t t t g ，∴)(t g 在(1,)+∞上是减函数，∴0)1()(=<g t g ，即0ln 1)1(2121212<-+-x x x x x x ，又∵0112>-x x ， ∴0)2(21<+'x x f . ………………………………………………12分解法2：不妨设012>>x x ，由已知，得)21(ln )21(ln )()(1211222212x ax x x ax x x f x f -----=- )]()(21[ln ln 12212212x x x x a x x -+---=，0)](1)(21[ln ln 121212=-++--=x x x x a x x∴1)(21ln ln 121212++=--x x a x x x x . ………………………………………8分∵11)(--='ax xx f ， ∴121221212121ln ln 21)(22)2(x x x x x x x x a x x x x f ---+=-+-+=+' 21122121221(ln ln )x x x x x x x x -=+--+. ……………………………………9分令222222()ln ln ((0,))x xg x x x x x x x-=+-∈+. ………………………………………10分∴2222()()0()x x g x x x x -'=>+，∴()g x 在2(0,)x 单调递增，∴12()()0g x g x <=，又2110x x >-，∴0)2(21<+'x x f . ………………………………………12分（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解法1：（I ）连接BC ，则90=∠=∠APE ACB ，即B 、P 、E 、C 四点共圆.∴CBA PEC ∠=∠. …………………………3分又A 、B 、C 、D 四点共圆， ∴PDF CBA ∠=∠∴PDF PEC ∠=∠. ………………………5分（II ）∵PDF PEC ∠=∠，∴F 、E 、C 、D 四点共圆，………………7分∴PD PC PF PE ⋅=⋅，又24)102(2=+⨯=⋅=⋅PA PB PD PC ， ………9分24=⋅PF PE . ………………………………………10分解法2：（I ）连接BD ，则AD BD ⊥，又AP EP ⊥ ∴ 90=∠+∠=∠+∠EAP PEA PDB PDF ， ∵EAP PDB ∠=∠，∴PDF PEC ∠=∠. ………5分（II ）∵PDF PEC ∠=∠，DPF EPC ∠=∠， ∴PEC ∆∽PDF ∆，∴PDPEPF PC =, 即PD PC PF PE ⋅=⋅, ………………………………7分又∵24)102(2=+=⋅=⋅PA PB PD PC ， ………………………………………9分 ∴24=⋅PF PE . ………………………………………10分（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（I ）由题意知，直线l 的直角坐标方程为062=--y x ， …………………2分由题意知曲线2C 的直角坐标方程为1)2()3(22=+yx，…………………………………4分∴曲线2C的参数方程为,2sin .x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）. …………………………6分（II ）设)sin 2,cos 3(ϕϕP ，则点P 到直线l 的距离56)3sin(456sin 2cos 32--=--=ϕπϕϕd ， …………………………8分当1)3sin(-=-ϕπ时，即点P 的坐标为)1,23(-时，点P 到直线l 的距离最大，此时52564max =+=d . …………………………10分（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（I ）解：原不等式可化为3212≤-+-x x ，当2>x 时，333≤-x ，则2≤x ，无解； …………………………1分当221≤≤x 时，31≤+x ，则2≤x ，∴221≤≤x ； ………………………3分当21<x 时，333≤-x ，则0≥x ，∴210<≤x ， ………………………5分综上所述:原不等式的解集为[]2,0． …………………………6分（II ）原不等式可化为1232--≤-x a x ，∵[]2,1∈x ，∴x a x 242-≤-， ……………………………7分即x x a x 24242-≤-≤-，故x a x -≤≤-4243对[]2,1∈x 恒成立，当21≤≤x 时，43-x 的最大值为2，x -4的最小值为2，∴实数a 的集合为{}1． …………………10分。

广东省揭阳市2018届高三第二次模拟考试理科数学试题Word版含详细解析

揭阳市2018年高中毕业班高考第二次模拟考试数学(理科)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先由题意求得集合A,B，然后结合所给的选项逐一考查其真假即可，需注意集合运算的准确性.详解：求解函数的定义域可得：，求解指数不等式可得：，据此可得：，，，，结合选项可知只有选项B正确.本题选择B选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，集合的交并运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：首先求得复数z，然后求解器共轭复数，随后确定共轭复数所在的象限即可. 详解：由题意可得：，则，即的共轭复数对应的点为，位于第一象限.本题选择A选项.点睛：本题主要考查复数的运算，共轭复数的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 平面直角坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，向量，以下说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先利用向量的坐标表示方法写出的坐标表示，然后结合选项逐一考查其是否正确即可.详解：由题意可设，则：，考查所给的选项：，选项A错误；，故，选项B错误；，故，即，选项C正确；不存在实数满足，则不成立，选项D错误.本题选择C选项.点睛：本题主要考查平面向量的坐标运算，平面向量的垂直、平行的判定方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 已知直线、，平面、、，下列命题正确的是（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，则D. 若，，，则【答案】A【解析】分析：由题意利用线面关系的判定定理和性质定理逐一考查所给命题是否正确即可，注意定理运用的准确性.详解：逐一考查所给的选项：A.若，，，则，该说法正确；B.若，，，在三棱锥中，令平面分别为平面，交线为，不满足，该说法错误；C.若，，有可能，不满足，该说法错误；D.若，，，正方体中，取平面为平面,直线为，满足，不满足，该说法错误.本题选择A选项.点睛：本题主要考查线面关系相关命题真假的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 已知直线与相交于、两点，且，则实数的值为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】分析：首先将圆的方程整理为标准方程，结合等腰三角形的性质和点到直线距离公式得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果.详解：圆的方程整理为标准方程即：，作于点，由圆的性质可知△ABO为等腰三角形，其中，则，即圆心到直线的距离为，据此可得：，即，解得：或.本题选择D选项.点睛：本题主要考查圆的方程的应用，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 已知的展开式中常数项为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先写出展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果.详解：展开式的通项公式为：，令可得：，结合题意可得：，即.本题选择C选项.点睛：本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 已知函数的部分图象如图所示，则的值为（）..............................A. 或B.C.D. 或【答案】C【解析】分析：首先由函数的周期求得的值，然后结合函数的对称中心求得的值即可，注意合理应用题中所给的的范围.详解：由题意可得函数的周期，则，当时，，则，令可得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查三角函数图像的性质，三角函数解析式的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 在如图的程序框图中，输出的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先确定该流程图的功能，然后结合选项考查所给的数值是否满足流程图的输出即可.详解：由流程图可知该流程图输出大于的最小正整数，且满足，观察选项：不是3的倍数，选项C错误；，，，而，，选项AB错误；，，则53满足题意.本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．9. 已知双曲线的焦距为，、是其左、右焦点，点在双曲线右支上，的周长为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意结合焦点三角形的性质求得左焦半径的表达形式，结合双曲线的性质和题意求解的取值范围即可.详解：设，由双曲线的定义可得：，①由题意可得：，②联立①②可得：，在双曲线中：，则：，即的取值范围是.本题选择C选项.点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系．10. 如图是某几何体的三视图，图中每个小正方形的边长为，则此几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先确定该三视图对应的几何体，然后结合几何体的空间结构求解该组合体的体积即可.详解：由已知中的三视图可得：该几何体是棱长为2的正方体截去两个角所得的组合体,其直观图如下图所示:故组合体的体积.本题选择B选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．11. 过抛物线上两点、分别作切线，若两条切线互相垂直，则线段的中点到抛物线准线的距离的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先求得抛物线的斜率，然后结合直线垂直的充要条件得到横坐标的关系，最后利用均值不等式求解最值即可，注意等号成立的条件.详解：抛物线的方程即：，则，设，则过A,B两点切线的斜率为：，由题意可得：，由题意可知抛物线的直线方程为，则线段的中点到抛物线准线的距离为：，当且仅当时等号成立.据此可得线段的中点到抛物线准线的距离的最小值为1.本题选择B选项.点睛：本题的实质是在考查基本不等式求最值.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．12. 把函数的图象向右平移一个单位，所得图象与函数的图象关于直线对称；已知偶函数满足，当时，；若函数有五个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意分别确定函数f(x)的图象性质和函数h(x)图象的性质，然后数形结合得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线右移一个单位，得，所以g(x)=2x，h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1)，则函数h(x)的周期为2.当x∈[0,1]时，，y=kf(x)-h(x)有五个零点，等价于函数y=kf(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点.绘制函数图像如图所示，由图像知kf（3）<1且kf（5）>1，即：，求解不等式组可得：.即的取值范围是。

广东省2018届高三上学期阶段性测评一理数试题含答案

理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}1 ln 2A x x B x y x =≥-==-，，则R A C B = （） A ．[)1 2-， B ．[)2 +∞， C ．[]1 2-， D ．[)1 -+∞，2.设函数()()1232 2log 1 2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，，，则()()2f f 的值为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33.若实数 x y ，满足230x y -+≥，则z ） A ．3 BC4.在区间[]0 1，上随机选取两个数x 和y ，则2y x >的概率为（） A.14 B ．12 C.34 D ．135.已知命题：2: 2sin 10p x R x x θ∀∈-+≥，；命题(): sin sin sin q R αβαβαβ∀∈+≤+，，.则下列命题中的真命题为（）A ．()p q ⌝∧B ．()p q ∧⌝ C.()p q ⌝∨ D ．()p q ⌝∨6.三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，且AB BC ⊥，12AB BC AA ===，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（） A ．48π B ．32π C.12π D ．8π7.已知向量 AB AC AD ，，满足 2 1AC AB AD AB AD =+==，，， E F ，分别是线段 BC CD ，的中点，若54DE BF ⋅=- ，则向量AB 与AD 的夹角为（）A ．6π B ．3π C.23π D ．56π 8.已知双曲线()222210 0x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12 F F ，，且2F 为抛物线224y x =的焦点，设点P 为两曲线的一个公共点，若12PF F △的面积为）A ．221927x y -=B ．221279x y -= C.221169x y -= D ．221916x y -=9.执行如图所示的程序框图，若[][] 0 4x a b y ∈∈，，，，则b a -的最小值为（）A ．2B ．3 C.4 D ．510.若()()72801281212x x a a x a x a x +-=++++…，则0127a a a a ++++…的值为（） A ．2- B ．3- C.253 D ．12611.过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线交于 M N ，两点，若4MF FN =，则直线l 的斜率为（）A ．32±B ．23± C.34± D ．43±12.函数()sin 1f x x x ωω=+的最小正周期为π，当[] x m n ∈，时，()f x 至少有12个零点，则n m -的最小值为（） A ．12π B ．73π C.6π D ．163π第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.复数z 在复平面内的对应点是()1 1-，，则z = ．14.定积分)1x dx ⎰的值为．15.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则()37.5f 等于．16.将一块边长为6cm 的正方形纸片，先按如图（1）所示的阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图（2）放置，若其正视图为正三角形，则其体积为 2cm ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）在ABC △中，内角 A B C ，，所对的边分别是 a b c ，，，已知60 5 4A b c =︒==，，. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求sin sin B C 的值. 18.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，且122 21n n a d a a ==-，. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 19.（本小题满分12分）某市为了解各校《国学》课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A 、B 、C 、D 四个等级.随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如下的分布图：（Ⅰ）试确定图中a 与b 的值；（Ⅱ）规定等级D 为“不合格”，其他等级为“合格”，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从甲、乙两校“合格”的学生中各选1名学生，求甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率.20.（本小题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，底面ABC 为正三角形.（Ⅰ）证明：AC PB ⊥；（Ⅱ）若平面PAC ABC ⊥平面，2AC PC ==，求二面角A PC B --的余弦值. 21.（本小题满分12分）椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12 F F ，. （Ⅰ）若椭圆E 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）若椭圆E 过点()0 2A -，，直线1AF ，2AF 与椭圆的另一个交点分别为点 B C ，，且ABC △的面积为509c，求椭圆E 的方程. 22.（本小题满分10分）已知函数()2ln f x a x x x =+-，其中a R ∈. （Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.2018-2018学年度高三年级阶段性测评（一）理科数学参考答案及评分参考一、选择题1-5:CCDAB 6-10:CBAAC 11、12：DD 解析：1.C 【解析】[)()(]1 2 2R A B C B =-+∞=+∞=-∞，，，，，，∴[]1 2R A C B =- ，.2.C 【解析】()()()()032log 3122f f f f e ===⨯=.3.D【解析】z4.A 【解析】2y x >的概率为11112214⨯⨯=. 5.B 【解析】()()22222:2sin 1sin 1sin sin cos 0p x x x x θθθθθ-+=-+-=-+≥，∴p 为真命题.:q 当54παβ==时，52παβ+=，()sin 1αβ+=，sin sin αβ+= ∴()sin sin sin αβαβ+>+，∴q 为假命题，∴()p q ∨⌝为真命题.6.C 【解析】如图，由题可知矩形11AA C C 的中心O 为该三棱柱外接球的球心，OC =∴该球的表面积为2412ππ=.7.B 【解析】 22AD ABDE AB BF AD =-=-，，∴225555224244AB AD AD AB DE BF AB AD ⋅⋅=--+=-+⋅=-. ∴1AB AD ⋅= ，1cos 2AB AD <>= ，，∴AB 与AD 的夹角为3π.8.A 【解析】设P 点为第一象限点，且()11 P x y ，，1211122PF F S y =⨯⨯=△1y = 19x =，∴1226a PF PF =-=，∴ 2 a b ==，221927x y -=.9.A 【解析】程序框图的功能为求分段函数21 04 0x x y x x x +<⎧=⎨-≥⎩，，的函数值，如图可知[]2 a b ∈，，当0 2a b ==，或 2 4a b ==，时符合题意，∴2b a -≥.10.C 【解析】令1x =，得01283a a a a ++++=…，()7822256a =⨯-=-，∴0783253a a a ++=--=….11.D 【解析】不妨设()()()111122 0 0 M x y x y N x y >>，，，，，∵4MF FN =，∴124y y =-，又212y y p =-，∴22 28p py x =-=，，∴042382MN pk p p --==-.根据对称可得直线l 的斜率为43±.12.D 【解析】由题知()()2sin 2 1 0 2sin 2133f x x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∴1sin 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由周期性可知16533n m πππ-≥+=，∴()min 163n m π-=. 二、填空题13.1i + 14.142π+15.0.5【解析】13.1z i =-，∴1z i =+.14.)110x dx xdx =+⎰⎰⎰，由几何意义得4π=⎰，又121001122xdx x ==⎰.∴)1142x dx π=+⎰. 15.∵()()2f x f x +=-，∴()()4f x f x +=且()()f x f x -=-，01x ≤≤时，()f x x =， ∴()()11137.5 1.5222f f f f ⎛⎫⎛⎫==--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.16.由正视图为正三角形可知，图（1）中2PD CD =，∴23PD =⨯，∴正三角形的边长为PO∴四棱锥的体积为183=.三、解答题17.解：（Ⅰ）由余弦定理得：2222cos 21a b c bc A =+-=，∴a =分（Ⅱ）∵()222228sin a R A ==， ∴()25sin sin 72bcB C R ==.……………………………………………………………………10分 18.解：（Ⅰ）由题可得：()()11112412211a n a a n a +-=+--，解得1 1 2a d ==，.∴()()*1121n a a n d n n N =+-=-∈.………………………………………………5分（Ⅱ）∵2122n n n n a n b -==， ∴231135232122222n n n n n S ---=+++++…. ① ∴231111252321222222n n n n n n n S -+3---=+++++….② -①②得：23111111212222222n n n n S +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ (2232321)112111112123121132222222222n n n n n n n n n S ---+⎛⎫=++++-=++++++-=- ⎪⎝⎭ (1)2分19.解：（Ⅰ）15 0.5a b ==，；……………………4分（Ⅱ）记1E 表示事件“甲校国学成绩等级为A “，则()1654P E =；2E 表示事件“甲校国学成绩等级为B ”，则()21554P E =；20.（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接PO ，BO ， ∵PA PC =， ∴PO AC ⊥，又AB CB =， ∴AC POB ⊥平面，∴AC PB ⊥.………………………………5分（Ⅱ）平面PAC ABC ⊥平面且交于AC ，PO AC ⊥，∴PO ABC ⊥平面，则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.又 2PA PC AC PC ===，，ABC △为正三角形，∴(()()0 0 0 0 1 0 0P B C -，，，，，，，(()0 1 0PB BC =-=-，，，，.设() n x y z =，，为平面PBC 的法向量，则00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴00x =-=⎪⎩，∴z y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，取1y =-，则)1 1n =--，，为平面PBC 的一个法向量，又()0 0OB =，为平面PAC 的一个法向量，∴cos n OB <>== ，则二面角A PC B -=.……………………………………12分 21.（Ⅰ）∵长轴长、短轴长、焦距成等差数列，∴()22222222 42 42b a c b a ac c a c a ac c =+=++-=++，，， ∴223520a c ac --=，两边同除以2a 得，25230c c +-=，解得35c e a ==.………………………………5分（Ⅱ）由已知得2b =，把直线22:2AF y x c =-代入椭圆方程22214x y a +=，得()222220a c x a cx +-=，∴()22222422c c a cx a c c +==++.∴()224 2c c C y c ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭，. 由椭圆的对称性及平面几何知识可知，ABC △面积为：()()222241222222c c S x y x c c c ⎡⎤+⎢⎥=⋅+==+⎢⎥⎣⎦， ∴()222425029c c c c c ⎡⎤+⎢⎥=-+⎢⎥⎣⎦，解得21c =，∴25a =.故所求椭圆的方程为22154x y +=.……………………………………12分22.解：（Ⅰ）函数()2ln f x a x x x =+-的定义域为()0 +∞，，()22'21a x x af x x x x -+=+-=，设()22 18g x x x a a =-+∆=-，，（1）当18a ≥时，()0 0g x ∆≤≥，成立，故()'0f x ≥成立，()f x 在()0 +∞，上为增函数；（2）当108a <<时，0∆>，令()0g x =，得12 x x ==，显然220x x >>，当()10 x x ∈，时，()()0 '0g x f x >>，，()f x 为增函数，当()12 x x x ∈，时，()()0 '0g x f x <<，，()f x 为减函数，当()2 x x ∈+∞，时，()0g x >，()'0f x >，()f x 为增函数，综上，当18a ≥时，()f x 在()0 +∞，上为增函数，当108a <<时，()f x 在0 ⎛ ⎝⎭， ⎫+∞⎪⎪⎝⎭，上为增函数，在⎝⎭上为减函数.…………………………5分（Ⅱ）显然()10f =，由1x ≥可知：当0a ≥时，2ln 0 0a x x x ≥-≥，，故()0f x ≥成立；当0a <时，180a ∆=->. 令()0g x =，得12 x x ==，显然120 0x x <>，，当()20 x x ∈，时，()()()0 '0 g x f x f x <<，，为减函数，当()2 x x ∈+∞，时，()0g x >，()'0f x >，()f x 为减函数；若10a -≤<，则21x ≤，当1x ≥时，()f x 为增函数，故()()10f x f ≥=成立；若1a <-，则21x >，由()f x 在()20 x ，上为减函数可知，当()21 x x ∈，时，()f x 为减函数， ()()10f x f <=与题意不符，舍去. 综上，a 的取值范围是[)1 -+∞，.。

【高三数学试题精选】2018揭阳市高考数学第二次模拟试题(理含答案)

2018揭阳市高考数学第二次模拟试题(理含答案)
5 绝密★启用前
揭阳市3 （B）-1 （c）1 （D）3
（4）已知命题，命题，则下列判断正确的是
（A）命题是假命题（B）命题是真命题
（c）命题是假命题（D）命题是真命题
（5）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4人中至少有1名女生的概率为
（A）（B）（c）（D）
（6）已知函数，则不等式的解集为
（A）（B）（c）（D）
（7）如图1，圆柱形容器内盛有高度为6c的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为
（A）4c （B）3c
（c）2c （D）1 c
（8）已知函数的图象在点A 处的切线与直线垂直，记数列的前n项和为，则的值为
（A）（B）（c）（D）
（9）函数在的图象的大致形状是
（10）实数满足条则的取值范围为
（A）（B）（c）（D）
（11）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为
(A) (B)
(c) (D)16
（12）在平面直角坐标系中，过原点的直线与曲线交
于不同的两点A、B，分别过A、B作x轴的垂线，与曲线。

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- 1 - 绝密★启用前揭阳市2017-2018学年度高中三年级学业水平考试数学(理科) 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据12,,,nxxx的标准差，

222121[()()()]nsxxxxxxn

，

其中x表示样本均值．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． - 2 -

1．设集合210Axx，10Bxxx，则AB A. 1,1 B. 0,1 C.0,1 D. 0,1,1 2．设i为虚数单位，复数21zi，则z的共轭复数为 A. 2i B. 2i C. 22i D．22i 3．已知命题p：四边形确定一个平面；命题q：两两相交的三条直线确定一个平面．则下列命题为真命题的是 A．pq B．pq C．()pq D．()pq 4．已知数列}{na的前n项和212nSnn，则2232aa的值为 A．9 B．18 C．21 D．112 5．已知||6a，||4b，a与b的夹角为120°，则(2)(3)abab的值是. A．-84 B．144 C．-48 D．-72

6．若变量,xy满足约束条件2040330xyxyxy，且35zxy，则3log2z的最大值为 A．18 B．2 C．9 D．331log4 7．图1是某小区100户居民月用电量（单位：度）的频率分 - 3 -

布直方图，记月用电量在[50,100) 的用户数为A1，用电量在[100,150)的用户数为A2，……，以此类推，用电量在[300,350]的用户数为A6，图2是统计图1中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s值为 A．82 B．70 C．48 D．30

8．已知函数()fx的定义域为R，若(1)fx、(1)fx都是奇函数，则 A. ()fx是奇函数 B. ()fx是偶函数 C. (5)fx是偶函 - 4 -

数 D.(7)fx是奇函数二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9－13题） 9．一几何体的三视图如图3示, 则该几何体的体积为________. 10．函数()1xfxe的图象与x轴相交于点P，则曲线在 P处的切线方程是． 11．在61()xx的二项展开式中，常数项等于 . 12．抛物线218yx上到焦点的距离等于6的点的坐标为．

13．在区域02,04.xy中随机取一点(,)Pab,则满足sin1ba的概率为 . （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系(,)(0,02)中，曲线2cos与24cos30

的交点的极坐标为． 15. （几何证明选讲选做题）如图4，锐角三角形ABC是一块钢板的余料，边BC=24cm，BC边上的高 AD=12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC - 5 -

EADCB

上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的面积为 cm2．

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字

说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为,,abc且ac，已知ABC

的面积32S，4cos5B，32b.

（1）求a和c的值；（2）求cos()BC的值．

17．（本小题满分12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用nx表示编号为n(1,2,,6)n的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5 成绩nx 70 76 72 70 72

（1）求第6位同学的成绩6x，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从这6位同学中，随机地选3位，记成绩落在（70，75）的人数为，求的分布列和数学期望． 18．（本小题满分14分）如图5，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形， PA平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：//PB平面AEC；（2）已知1AP，3AD，设EC与平面ABCD所成的角为，

且3tan6，求二面角DAEC的大小．图5 - 6 -

19．（本小题满分14分）已知函数31()(1)1()2xfxffaxb3，，4，数列{}nx满足

113()2nnxxfx，．（1）求23xx，的值；（2）求数列{}nx的通项公式；（3）证明：12233334nnxxx．

20．（本小题满分14分）已知双曲线C的焦点分别为12(22,0),(22,0)FF,且双曲线C

经过点(42,27)P.

（1）求双曲线C的方程；（2）设O为坐标原点，若点A在双曲线C上，点B在直线2x上，且0OAOB，是否存在以点O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由.

21．（本小题满分14分）若实数x、y、m满足||||xmym，则称x比y更接近m.

（1）若23x比1更接近0，求x的取值范围；

（2）对任意两个正数a、b，试判断2()2ab与222ab哪一个更接近ab？并说明理由；（3）当2a且1x时，证明：ex比xa更接近lnx. - 7 -

揭阳市2017-2018学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一、选择题：DACB CBAD 解析：7．由图2知，输出的2345+sAAAA，由图1知16(0.00240.0012)50100AA18

,故s=100-18=82，选A.

8．由(1)fx、(1)fx都是奇函数得(1)(1)fxfx，(1)(1)fxfx，从而有()(2)fxfx，()(2)fxfx，故有(2)(2)fxfx(2)(2)fxfx (4)()fxfx，即()fx是以4为周期的周期函数，因(1)fx为奇函数，8也是函数()fx的周期，所以(7)fx也是奇函数.选D. - 8 -

二、填空题：9.；10.yx；11. 20；12.(42,4)(42,4)或；13.34；14.11(3,)(3,)66或； 15. 64. 解析：13.如图，满足sin1ba的点(,)Pab落在图中阴影部分，根据对称性易得其面积为14462，故所求概率6384P.

或208(sin1)63884xdxP. 三、解答题： 16．解：（1）∵4cos5B>0 ∴02B ∴23sin1cos5BB--------------1分

由13sin22SacB,得5ac-------------------①-------------------------------3分

由余弦定理得：2222cosbacacB,∴2226ac---------------②-------------5分由①②结合ac，解得5,1ac.-----------------------------------------------7分

(2)由正弦定理知sinsinbcBC，∴sinsincBCb210，---------------------------9分 ∵ac，∴02C, ∴272cos1sin10CC,-----------------------------------

----------------10分 ∴cos()BCcoscossinsinBCBC------------------------------------------11分