抛物线焦点弦性质总结
抛物线焦点弦的性质及应用
抛物线焦点弦的性质及应用抛物线是一种具有特殊性质的二次曲线，它的焦点弦性质是指过焦点parabola. 抛物线上任意一点的切线与从焦点引出的该点的法线的交点，这些交点都在焦点所在的直线上。
抛物线焦点弦的性质和应用如下：1. 焦点弦与顶点：抛物线的焦点弦通过抛物线的顶点，且与抛物线的对称轴垂直相交。
2. 焦点弦的长度：焦点弦的长度等于抛物线焦点到对称轴的距离的两倍。
3. 焦点弦的切线方程：焦点弦的切线方程可由抛物线的切线方程推导得到，即通过抛物线上一点（x1，y1）的切线方程为y = mx + (1 - m²) a/4，其中m为切线的斜率，a为焦点到对称轴的距离。
4. 焦点弦的法线方程：焦点弦的法线方程可由切线方程得到，即过抛物线上一点（x1，y1）的法线方程为y = -x/m + (x1/m + y1)。
5. 焦点弦的性质应用：抛物线焦点弦的性质在物理学、工程学和几何学等领域有广泛的应用。
在物理学中，抛物线焦点弦的性质可以用于描述光线的反射和聚焦。
例如，在反射望远镜中，抛物面用于反射并聚焦光线，使观察者能够看到远处的物体。
在工程学中，抛物线焦点弦的性质可以用于设计抛物面反射器、喇叭等产品。
抛物面反射器可以将声音或者电磁波线聚焦在焦点处，以达到提高功率传输效果的目的。
类似地，喇叭的设计也借鉴了抛物线焦点弦的性质，使声音能够更好地聚焦并扩散。
在几何学中，抛物线焦点弦的性质可以用于求解问题。
例如，已知抛物线上一点的坐标和抛物线焦点的坐标，可以通过焦点弦性质来求解该点在抛物线上的位置。
另外，抛物线焦点弦的性质还可以进一步推广到三维空间中的抛物面。
三维空间中的抛物面也具有焦点弦的性质，可以用于描述反射、聚焦和求解问题等。
综上所述，抛物线焦点弦是抛物线特有的性质之一，它的性质和应用在物理学、工程学和几何学等领域有重要的应用。
深入理解和应用这些性质可以帮助我们更好地解决各种问题，并且进一步推广到更高维度的几何形状中。
抛物线焦点弦的八大结论
抛物线焦点弦的八大结论
第一类是常见的基本结论；
第二类是与圆有关的结论；
第三类就是由焦点弦得出结论有关直线横向的结论；
第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。
1、以焦点弦为直径的圆与准线切线（用抛物线的定义与梯形的中位线定理融合证明）。
2、1/|af|+1/|bf|=2/p(p为焦点到准线的距离，下同）。
3、当且仅当焦点弦与抛物线的轴横向（此时的焦点弦称作“通径”）时，焦点弦的长度获得最小值2p。
4、如果焦点弦的两个端点是a、b，那么向量oa与向量ob的数量积是-0.75p^2。
抛物线具备这样的性质，如果它们由反射光的材料做成，则平行于抛物线的对称轴前进并喷发其凹面的光被散射至其焦点，而不管抛物线在哪里出现散射。
恰好相反，从焦点处的点源产生的光被散射成平行（“电子束”）光束，并使抛物线平行于对称轴。
声音和其他形式的能量也可以产生相同的效果。
这种散射性质就是抛物线的许多实际应用领域的基础。
抛物线的几何性质-抛物线焦点弦的性质
yA
O x
B
例题讲解
解 :如 图 ,设 O A 的 方 程 是 ykxk0,则 因 OAOB,
故 可 设 OB的 方 程 为 y=-1x. k
yA
由 yy2k2 xpx得 A的 坐 标 2 kp 2,2kp
O
由y1kx得B的坐标2pk2,2pk
探求新知
3、A、B两点的坐标是否存在相关关系？ 若存在，其坐标之间的关系如何？
yA
y1y2
O Fx
B
p2,x1x2
p2 4
探求新知
4、利用焦半径公式，|AF|,|BF|可 作哪些变形？|AF|与|BF|之间存在 什么内在联系？y A
OFx
B
1
12
|AF| |BF| p
探求新知
5、由焦点弦长公式
AF BF p
C
5以 A B为 直 径 的 圆 与 抛 物 线 的 准 线 相 切 ;
B
6AM F BM F
7DFC 90
例题讲解
例1 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、
B两点，过点A和抛物线顶点的直线交抛物
线的准线于点C，求证：直线BC平行于抛
物线的对称轴.
yA
O
F
x
C
B
例题讲解
解 :设 A x1, y1 , B x2, y2 则
x k
2p 1k2
2p k
y1kk2 x2p
直 线 A B 经 过 一 个 定 点 2 p ,0 .
课堂小结
STEP1 STEP2
抛物线有许多几何性质，探究抛物线的几何性质，可作为一个研究性学习 课题，其中焦点弦性质中的有些结论会对解题有一定的帮助.
抛物线焦点弦性质
抛物线焦点弦性质
抛物线焦点弦性质：焦点弦长就是两个焦半径长之和。
焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。
由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。
在抛物线y²=2px中，弦长公式为d=p+x1+x2。
若直线AB的倾斜角为α，则|AB|=2p/sin²α。
y²=2px或y²=-2px时，x1x2=p²/4,y1y2=-p²。
x²=2py或x²=-2py时，y1y2=p²/4,x1x2=-p²。
焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦，是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的线段。
焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。
焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。
而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示。
抛物线焦点弦性质及推导过程
抛物线焦点弦性质及推导过程抛物线是一种二次曲线，具有许多重要的性质。
其中一个重要的性质是焦点弦性质。
接下来，我将介绍焦点弦性质的定义、推导过程以及将该性质应用于实际问题的例子。
1.焦点弦性质的定义：考虑一个抛物线和其焦点上的两个点A和B，连接AB，然后过抛物线上的其他点C，将CA和CB分别延长，与抛物线相交于D和E。
焦点弦性质指出，点D和E的中点M一定位于直线AB上。
2.推导过程：首先，我们需要了解抛物线的标准方程是什么。
假设抛物线的焦点位于原点上方，其焦半径为p。
那么，抛物线的标准方程为y² = 4px。
接下来，设焦点F的坐标为 (0, p)，则点A的坐标为 (a, 2ap)，点B的坐标为 (-a, 2ap)。
由于点C(x,y)位于抛物线上，我们可以将其坐标带入抛物线的方程中得到：y² = 4px(x,y)²=4p(x,y)x² + y² = 4px我们知道直线CA的方程为 y - 2ap = (x - a)(2ap - a)。
以此类推，直线CB的方程为 y - 2ap = (x + a)(2ap + a)。
将以上两个直线方程与抛物线方程联立，我们可以求出点D和点E的坐标。
设点D的坐标为(x₁,y₁)和点E的坐标为(x₂,y₂)。
即有：x₁² + y₁² = 4px₁x₂² + y₂² = 4px₂求解出x₁和x₂，我们可以得到点D和点E的坐标。
然后，我们将点D和点E的坐标带入直线AB的方程中：y - 2ap = (x - a)(2ap - a)y - 2ap = (x + a)(2ap + a)联立以上两个方程，我们可以求解出直线AB的方程。
最后，我们求出点M的坐标，并将其带入直线AB的方程中：y - 2ap = (x - a)(2ap - a)若点M的坐标满足该方程，则说明点M位于直线AB上，证明了焦点弦性质。
抛物线焦点弦性质
A1F B1 F
性质 8：(1). A、O、B1 三点共线 (2).B，O，A1 三点共线 (3).设直线 AO 与抛物线的准线的交点为 B1，则 BB1 平行于 X 轴 (4).设直线 BO 与抛物线的准线的交点为 A1，则 AA1 平行于 X 轴
（1）证：因为 koA
2
2
2 2 sin 2
2 s in
S2 OAB
P3
AB 8
性质 5： (1)
y1 y2 p 2
p2 (2) x1x2= 4
证：设直线 L 的方程为： y k(x p ) 即 x y p
2
k2
代入抛物线方程得 y2 2 p y p2 0 k
由韦达定理
y1 y2
p2,
y1
y2
2p k
性质 1： AB x1 x2 p
AB
AF
BF
(x1
p 2
)
(
x2
p) 2
x1 x2
p
性质 2：若直线 L 的倾斜角为 ，
则弦长
AB
2p
sin 2
证明: (1)若 时,直线 L 的斜率不存在，此时 AB 为抛物线的通径,
2 AB 2p结论得证
(2)若 时, k tan k 0
2
设直线 L 的方程为： y k(x p ) 即 x y p
2
k2
代入抛物线方程得 y2 2 p y p2 0 k
由韦达定理
y1 y2
p2, y1
y2
2p k
,
y1
y2
2p
1 1 k2
由弦长公式得 AB
1
抛物线焦点弦性质总结30条
基础回顾1. 以AB2. 2124p x x =g ; 3. 212y y p =-g ;4. '90AC B ∠=o; 5. ''90A FB ∠=o; 6.123222()2sin p p AB x x p x α=++=+=; 7. 112AF BF P +=; 8. A 、O 、'B 三点共线；9. B 、O 、'A 三点共线； 10. 22sin AOB P S α=V ； 11. 23()2AOB S P AB =V （定值）； 12. 1cos P AF α=-；1cos P BF α=+； 13. 'BC 垂直平分'B F ；14. 'AC 垂直平分'A F ； 15. 'C F AB ⊥；16. 2AB P ≥；17. 11'('')22CC AB AA BB ==+； 18. AB 3P K =y ； 19. 2p 22y tan =x -α; 20. 2A'B'4AF BF =⋅;21. 1C'F A'B'2=. 22. 切线方程 ()x x m y y +=00性质深究一)焦点弦与切线1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论1：交点在准线上先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p 在准线上． 证明: 从略结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．2、上述命题的逆命题是否成立？结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．3、AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6PA ⊥PB ．结论7PF ⊥AB ．结论8 M 平分PQ ．结论9 PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论2PF FB FA =结论11PABS ∆2min p =二)非焦点弦与切线思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，也有与上述结论类似结果：结论12 ①p y y x p 221=，221y y y p += 结论13 PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14 PFB PFA ∠=∠结论15 点M 平分PQ结论16 2PF FB FA =相关考题1、已知抛物线y x 42=的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且FB AF λ=（λ＞0），过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，（1）证明：AB FM ⋅的值；（2）设ABM ∆的面积为S ，写出()λf S =的表达式，并求S 的最小值．2、已知抛物线C 的方程为y x 42=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A ，B ； （1）过点A 的抛物线C 的切线与y 轴交于点D ，求证：DF AF =；（2）若直线m 过焦点F ，分别过点A ，B 的两条切线相交于点M ，求证：AM ⊥BM ，且点M 在直线l 上．3、对每个正整数n ，()n n n y x A ,是抛物线y x 42=上的点，过焦点F 的直线FA n 交抛物线于另一点()n n n t s B ,， （1）试证：4-=⋅n n s x （n ≥1）（2）取n n x 2=，并C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点，求证：122121+-=++++-n n n FC FC FC Λ（n ≥1）THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
过抛物线的焦点的弦的一般性质
过抛物线的焦点的弦的一般性质
不妨设抛物线方程为)0(22>=p px y ，则焦点)0,2(p F ，准线l 的方程：2p x -=. 过焦点F 的直线交抛物线于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，又作AA 1⊥l ,BB 1⊥l ，垂足分别为A 1、B 1. 基本概念:
1.若AB 垂直于抛物线的对称轴，则称线段AB 为抛物线的通径。
|AB|=.
2.设P(x 0,y 0)是抛物线y 2=2px(p>0)上的一点，则P 到抛物线焦点F 的距离|PF|称为P 点的焦半径。
|PF|=；直线AB 经过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)（AB 则为抛物线的焦点弦）. 结论1：4221p x x =⋅(定值)，22212k
p p k x x +=+. 结论2：221p y y -=⋅(定值)，k p y y 221=
+.
结论3：(1)弦长p x x p x p x BB AA BF AF AB ++=+++=+=+=2121112
2||||||||||. (2)若AB 所在的直线的倾斜角为α，则α
2sin 2||p AB =.
结论4：若此焦点弦AB 被焦点F 分成n m ,两部分，则p
n m 211=+． 结论5：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦中通径最小．
结论6：以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切．
结论7：以抛物线焦半径||AF 为直径的圆与y 轴相切．
结论8：F B F A 11⊥.
结论9：若M 为11B A 的中点，则AB MF ⊥.
结论10：在梯形AA 1B 1B 中，两对角线AB 1与BA 1相交于点抛物线顶点O .。
抛物线焦点弦的性质
抛物线焦点弦的性质
抛物线焦点弦的性质是指抛物线的一条曲线，它的焦点和弦与直线形成的一个特殊类型。
弦上的点到两个焦点的距离相等，抛物线的形状是由弦上任意两点之间的斜率、焦点以及抛物线的类型决定的。
如果弦上两点P(x,y)和Q (x_1, y_1)的斜率相等，即P，Q在抛物线上，且Q为抛物线的外切线，那么这条线段的中点R也在抛物线上，也就是说，抛物线是封闭的曲线，也称为“密闭曲线”。
抛物线焦点弦的特殊性理解，可以结合图像的把握，及它的定义特性，比如弦是关于焦点，以及弦上所有点到焦点的距离是相等的。
证明抛物线焦点弦的18个结论
证明抛物线焦点弦的18个结论1. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线的焦点重合。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以，焦点到直线的距离与直线到焦点的距离相等，因此两个焦点与焦点弦重合。
2. 抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
证明：由于抛物线的准线与直线平行，所以准线到焦点的距离与焦点到直线的距离相等。
因此，抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
3. 抛物线焦点弦与抛物线的法线平行。
证明：由于抛物线的定义，法线通过焦点并垂直于准线。
而抛物线焦点弦是抛物线的切线，与法线平行。
4. 抛物线焦点弦的中点位于抛物线的准线上。
证明：由于抛物线的准线与抛物线的焦点重合，所以抛物线焦点弦的中点与抛物线准线的焦点重合。
5. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
6. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行。
证明：抛物线焦点弦是抛物线的切线，而抛物线的切线与准线平行。
7. 抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
证明：由于抛物线的对称轴与准线重合，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
8. 抛物线焦点弦是抛物线的一个特殊弦，它经过焦点，并且与抛物线的对称轴垂直。
证明：由抛物线的定义可知，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以抛物线焦点弦经过焦点。
另外，抛物线的对称轴与准线垂直，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的对称轴垂直。
9. 抛物线焦点弦是抛物线的一条切线，且与抛物线的直径垂直。
证明：由抛物线的定义可知，抛物线的焦点到直线和焦点到定点的距离相等，所以抛物线焦点弦是抛物线的切线。
另外，根据抛物线的性质可知，直径与对称轴垂直，而抛物线焦点弦与对称轴重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的直径垂直。
10. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行，并且经过抛物线的焦点。
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抛物线焦点弦性质总结 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
抛物线焦点弦性质总结
基本性质
已知抛物线22y px =的图像如图所示，
则有以下基本结论：
1、以AB 为直径的圆与准线L 相切；
2、2124p x x ⋅=且212y y p ⋅=-；
3、90AC B '∠=︒，90A FB ''∠=︒；
4、
123222()2sin p p AB x x p x α=++=+=； 5、112AF BF P +=； 6A 、O 、B '三点共线，B 、O 、A '三点共线；
7、22sin AOB p S α=△，322AOB S p AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△(定值)； 8、1cos p AF α=-，1cos p BF α=+； 9、BC '垂直平分B F '，AC '垂直平分A F '， C F AB '⊥；
10、2AB p ≥；
11、11()22
CC AB AA BB '''==+；
12、3AB p k y =，22tan 2y p x α=-； 13、24A B AF BF ''=⋅，12
C F A B '''=. 14、切线方程：()x x m y y +=00
性质深究
一、焦点弦与切线
结论1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，
两切线交点在准线上．
特别地，当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为
,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 结论2、切线交点与弦中点连线平行于对称轴
结论3、弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
结论4、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点． 特别地，过准线与x 轴的交点作抛物线的切
线，则过两切点AB 的弦必过焦点．
结论5、过准线上任一点作抛物线的切线，过两
切点的弦最短时，即为通径．
AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB
的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有
结论6、PA ⊥PB ．
结论7、PF ⊥AB ． 结论8、M 平分PQ ．
结论9、PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ． 结论102PF FB FA =
结论11、PAB S ∆2min p =
二、非焦点弦与切线
当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，也有与上述结论类似结果：
结论12、①p y y x p 221=，221y y y p += 结论13、PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ． 结论14、PFB PFA ∠=∠ 结论15、点M 平分PQ
结论162
PF =。