数学建模---数学的规划模型

白菜需要的份数 ans = 20.0000 甜菜需要的份数 ans = 0 土豆需要的份数 ans = 40 最小费用 ans = 560.0000
• 背景：0-1规划是数学规划的组成部分， 起始20世纪30年代末，七八十年代是数 学规划飞速发展时期，无论是从理论上还 是算法方面都得到了进一步完善。时至今 日数学规划仍然是运筹学领域中热点研究 问题，从国内外的数学建模竞赛的试题中 看，有近1/2的问题可用数学规划进行求 解。其中利用0-1 规划及0-1型变量的数学 建模问题也为数不少，如98年的《投资的 收益和风险 》，2004年的《DVD在线租 赁》等问题，下面我们就来学习0-1规划, 0-1型变量在数学建模中的应用。
disp('胡罗卜需要的份数 ') x(2) disp('菜花需要的份数 ') x(3) disp('白菜需要的份数 ') x(4) disp('甜菜需要的份数 ') x(5) disp('土豆需要的份数') x(6)
执行后输出 青豆需要的份数 ans = 40 胡罗卜需要的份数 ans = 40.0000 菜花需要的份数 ans = 0
S7 0.5721 0.4980 0.3112 0.1017 0.2130 0.0706 0.0583
R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7
2、0-1型变量在数学建模中的应用 1、空洞探测问题 1.1 问题的提出 这是2000年全国大学生数学建模竞赛的D题。 山体、隧洞、坝体等的某些内部结构可用 弹性波测量来确定。一个简化问题可描述为， 一块均匀介质构成的矩形平板内有一些充满空 气的空洞，在平板的两个邻边分别等距地设置 若干波源，在它们的对边对等地安放同样多的 接收器，记录弹性波由每个波源到达对边上每 个接收器的时间，根据弹性波在介质中和空气 中不同的传播速度，来确定板内空洞的位置。 现考察如下的具体问题：
§2.2
•
0-1规划, 0-1型变量 在数学建模中的应用
1、 0-1规划 数学规划模型的一般表达式：
min max f x ,
s.t.g x 0
其中x ( x , x , ..., x ) 1 2 n
整数规划中决策变量只取0或1的特殊情况是0-1规 划。下面通过几个例子说明0-1规划在实际问题中的 应用。 例2.1 背包问题 有几件物品，编号为 1，2，…，n。 第 i 件重为 a kg，价值为pi 元。今有一位装包者欲 i 将这些物品装入一包，其质量不能超过 kg，问应 装入哪几件价值最大？
其中：x0是算法迭代的初始点；nEq表示等式约束的个 数。 A1 b1
A A ,b b 2 2
三、建模举例
营养配餐问题
• 每种蔬菜含有的营养素成份是不同的，从医学上 知道，每人每周对每种营养成分的最低需求量。 某医院营养室在制定下一周菜单时，需要确定表 6-1中所列六种蔬菜的供应量，以便使费用最小而 又能满足营养素等其它方面的要求。规定白菜的 供应一周内不多于20千克，其它蔬菜的供应在一 周内不多于40千克，每周共需供应140千克蔬菜， 为了使费用最小又满足营养素等其它方面的要求， 问在下一周内应当供应每种蔬菜各多少千克？
s.t
（1）目标函数是决策变量的线性函数。 （2）约束条件都是决策变量的线性等式或 不等式。
• MATLAB命令 命令输入格式及线性规划模型如下：
X lp(c, A, b, xLB, xUB, x0, nEq)
min f c' x s.t A1 x b1 A2 x b2
xLB x xUB
8,3,53,27,5,8; 0.30,0.35,0.60,0.15,0.25,0.80]; b=(-1)*[140;6;25;17500;245;5]; xLB=zeros(6,1); xUB=[40;40;40;20;40;40]; nEq=1; x0=0*ones(6,1); x=lp(c,A,b,xLB,xUB,x0,nEq); disp('青豆需要的份数') x(1)
试给该公司设计一种投资组合方案即用给定的资金 M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净 收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 （2）试就一般情况对以上问题进行讨论，利用 以下数据进行计算。
在AD边等距地设置7个波源Ri（i=1，…，7）， BC边对等地安放7个接收器S j（j=1，…，7）， 记录由Ri发出的弹性波到达Sj的时间τij秒），见 表2-3。
1 7 8
解
引入变量 xi
于是以上问题的数学模型为：
1 xi 0
i i
选择 si 不选择 si
min
s.t .
i 1 10 xi 5 i 1 x1 x8 1 x7 x8 1 x3 x5 1 x x 1 5 4 x5 x6 x7 x8 2 1 xi 0
a
解
引入变量 xi ,
1 xi 0
max s.t.
，将ຫໍສະໝຸດ i物品装包， 不将
i 物品装包
于是得问题的模型为
px
xi ,
n
i 1
i i
a1 x1 an xn a
取0或1，i=1，2，…，n 背包问题看似简单，但应用很广，例如某些投资问 题即可归入背包问题模型。此类问题可以描述为：
S4 0.3516 0.4341 0.4093 0.1007 0.3256 0.3016 0.0786
S5 0.3867 0.3491 0.4240 0.3249 0.0904 0.2058 0.0709
S6 0.4314 0.4800 0.4540 0.2134 0.1874 0.0841 0.0914
第二章 数学规划模型
• 数学规划论起始20世纪30年代末，50年代与60 年代发展成为一个完整的分支并受到数学界和社 会各界的重视。七八十年代是数学规划飞速发展 时期，无论是从理论上还是算法方面都得到
了进一步完善。时至今日数学规划仍然是 运筹学领域中热点研究问题。从国内外的 数学建模竞赛的试题中看，有近1/2的问题 可用数学规划进行求解。
c x
10
投资的收益和风险
这是1998年全国大学生数学建模竞赛的A题 问题如下：市场上有n种资产（股票、债券、…） Si（i=1，…，n）供投资者选择，某公司有数额为 M的一笔相当大的资金可用作一个时间的投资。 公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估 算出在这一时期内购买Si有平均收益率为ri，并预 测出购买Si的风险损失率为qi。考虑到投资越分散 总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若
第一节
线性规划模型
min
f c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 xi 0 (i 1,2,, n )
min f 5 x1 5 x2 8 x3 2 x4 6 x5 3x6 x1 x2 x3 x4 x5 x6 140 0.45 x 0.45 x 1.05 x 0.40 x 0.50 x 0.50 x 6 1 2 3 4 5 6 10 x1 28 x2 59 x3 25 x4 22 x5 75 x6 25 s.t 415 x1 9065 x2 2550 x3 75 x4 15 x5 235 x6 17500 8 x1 3x2 53x3 27 x4 5 x5 8 x6 245 0.30 x1 0.35 x2 0.60 x3 0.15 x4 0.25 x5 0.80 x6 5
xi
投资问题：设有总额为 a 元的资金，投资几项事 业，第 i 项事业需投资ai 元，利润为 bi 元，问应选 择哪些项投资总利润为最大？ 例2.2 某钻井队要从以下10个可供选择的井位中 确 定5个钻井探油，使总的钻探费用为最小。若10个 井位的代号为 s1 , s2 ,, s10 ，相应的钻探费用为 c1 , c2 ,, c10 ，并且井位选择要满足下列限制条件： s s s （1）或选 和 ，或选 ； s 5 s （2）选择了 或 就不能选 ，反之亦然； 4 s5 , s63,s s , s 7 8 （3）在 中最多只能选两个。 试建立其数学模型：
τ
ij
S1 0.0645 0.0753 0.3456 0.3655 0.3165 0.2749 0.4434
S2 0.0602 0.0700 0.3205 0.3289 0.2409 0.3891 0.4919
S3 0.0813 0.2852 0.0974 0.4247 0.3214 0.5895 0.3904
表2-3
序 号 蔬 菜 铁 0.45 0.45 1.05 0.40 0.50 0.50 6.00 每份所含营养素单位数 磷 10 28 59 25 22 75 25 维生素 A 415 9065 2550 75 15 235 17500 维生素 C 8 3 53 27 5 8 245 烟酸 0.30 0.35 0.60 0.15 0.25 0.80 5.00 每千克 费 用 5 5 8 2 6 3
维生素C的需求量至少245个单位：
8x1 3x2 53x3 27 x4 5x5 8x6 245
烟酸的需求量至少5个单位数：
0.30x1 0.35x2 0.60x3 0.15x4 0.25x5 0.80x6 5
每周需供应140千克蔬菜，即
x1 x2 x3 x4 x5 x6 140
干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一 个风险来度量。购买Si要付交易费，费率为pi，并且 当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算 （不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款 利率是r0，且既无交易费又无风险（r0=5%）。 （1）已知n=4时的相关数据如下：