不等式综合

不等式综合题解答问题1：不等式与函数的综合题不等式与函数的综合题，是高考的常考题型，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围，与函数有关的不等式证明等，解决此类综合题，要充分运用函数的单调性，注意函数的定义域，并结合函数的奇偶性、周期性一起讨论.例1：已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－1，1］，m +n ≠0时nm n f m f ++)()(＞0(1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式 f (x +21)＜f (11-x )； (3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围演变1：已知)1(log )(+=x x f a ，点P 是函数y=f(x)图象上任意一点，点P 关于原点的对称点Q 的轨迹是函数y=g(x)的图象.（1）当0<a <1时，解不等式：2f(x)+g(x)≥0；（2）当a >1，x ∈[)1,0时，总有2f(x)+g(x)≥m 恒成立，求m 的范围.问题2：不等式与数列的综合题不等式与数列的综合题，一般来说多是证明题，要熟悉不等式的常用证明方法，特别是比较法、综合法、分析法、数学归纳法等，也可利用函数的思想. 例2：数列{x n }由下列条件确定：.),(21,011N n x ax x a x nn n ∈+=>=+（Ⅰ）证明：对n ≥2，总有a x n ≥；Ⅱ）证明：对n ≥2，总有1+≥n n x x ；演变2：数列｛a n ｝满足a 1=1且a n +1=nn a n n 21)11(2+++（n ≥1）．（1）用数学归纳法证明：a n ≥2（n ≥2）；（2）已知不等式ln （1+x ）＜x 对x ＞0成立，证明：a n ＜e 2（n ≥1），其中无理数e =2.71828…．问题3：含有参数的不等式问题含有参数的不等式问题是高考常考题型，求解过程中要利用不等式的性质将不等式进行变形转化，化为一元二次不等式等问题去解决，注意参数在转化过程中对问题的影响. 例3：已知是参数）t R t t x x g x x f ,)(2lg(2)(),1lg()(∈+=+=. （1）当t=－1时，解不等式：f(x)≤g(x)；（2）如果当x ∈[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数t 的取值范围.演变3：解关于x 的不等式：)1,0(2|log ||)(log |2≠>+<a a x ax a a 且问题4：不等式的实际应用问题对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题例4、为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC 长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多少米？且当AC 最短时，BC 长度为多少米？演变4．如图，一载着重危病人的火车从O 地出发，沿射线OA 行驶，其中,31tan =α在距离O 地5a （a 为正数）公里北偏东β角的N 处住有一位医学专家，其中 sin β= ,53现有110指挥部紧急征调离O 地正东p 公里的B 处的救护车赶往N 处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C 处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB 围成的三角形OBC 面积S 最小时，抢救最及时.（1）求S 关于p 的函数关系；（2）当p 为何值时，抢救最及时.一、选择题：1、不等式x x x <-24解集是（ ）A(0,2) B(2,+∞) C (]4,2 D(－∞,0)∪(2,+∞) 2．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为（ ）A ．（1，2）∪（2，3）B ．),3()1,(+∞⋃-∞C ．（1，3）D ．[1，3]3、已知x,y ∈R ，M=x 2+y 2+1，N=x+y+xy ，则M 与N 的大小关系是（ ） A 、M ≥NB 、M ≤NC 、M=ND 、不能确定4．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得 x x f 的0)(<的取值范围是 （ ）A ．)2,(-∞B ．),2(+∞C ．),2()2,(+∞⋃--∞D ．（－2，2）5、（06年江苏）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa a a 1122+≥+ （C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 6、在∆ABC 中三边长为a ，b ，c ，若cb a 1,1,1成等差数列，则b 所对的角（ ） A 、是锐角B 、是直角C 、是钝角D 、不能确定7、若不等式|x-1|<a 成立的充分条件是0<x<4，则实数a 的取值范围是（ ） A 、a ≥1B 、a ≥3C 、a ≤1D 、a ≤38．集合A ＝｛x |11+-x x ＜0＝，B ＝｛x || x -b|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ”的充分条件， 则b 的取值范围是（ ）A ．－2≤b ＜0B ．0＜b ≤2C ．－3＜b ＜－1D ．－1≤b ＜29．若函数2()log (2)(0,1)a f x x x a a =+>≠在区间1(0,)2，内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间为 （ ） A 1(,)4-∞- B 1(,)4-+∞ C (0,)+∞ D 1(,)2-∞-. 10．若动点（y x ,）在曲线)0(14222>=+b b y x 上变化，则y x 22+的最大值为（ ） A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2),40(442b b b b B ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2),20(442b b b b C ．442+b D ．2b 二、填空题：11．不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为＿＿＿＿＿＿ 12．（06年江苏卷）不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为＿＿＿＿＿＿ 13、已知点（x 0，y 0）在直线ax+by=0，(a ，b 为常数)上，则2020)()(b y a x -+-的最小值为.14、设a ，b ∈R ＋，且a+b =1，则1212+++b a 的最大值是_____.三、解答题：15、已知函数b kx x f +=)(的图象与y x ,轴分别相交于点A 、B ，j i AB 22+=（j i ,分别是与y x ,轴正半轴同方向的单位向量），函数6)(2--=x x x g . （1）求b k ,的值；（2）当x 满足)()(x g x f >时，求函数)(1)(x f x g +的最小值.16、已知正项数列{a n }满足a 1=P(0<P<1)，且nnn a a a +=+11 (I)求数列的通项a n ； (II)求证：11432321<++⋅⋅⋅+++n a a a a n .17．已知函数bax x x f +=2)(（a ，b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.（1）求函数f (x )的解析式；（2）设k>1，解关于x 的不等式；xkx k x f --+<2)1()(.18．已知不等式n n n 其中],[log 21131212>+++ 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足,4,3,2,),0(111=+≤>=--n a n na a b b a n n n（Ⅰ）证明.....,.........5,4,3,][log 222=+<n n b ba n ;（Ⅱ）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意b >0，都有.51<n a参考答案：1．C 提示：原不等式转化为⎪⎩⎪⎨⎧<-≥->2224040x x x x x x ，解此不等式组可得x 的范围.2．A 提示：由题意可知，222log (43)0213430x x x x x x ⎧-+-≠≠⎧⎪⇒⎨⎨<<-+->⎪⎩⎩. 3、A 提示：2M －2N ＝（x －y ）2+(x －1)2+(y －1)2≥04．D 提示：∵函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ,∴f(－2)=0, 在]0,(-∞上0)(<x f 的x 的取值范围是(2,0]-,又由对称性[0,)+∞,∴在R 上f(x)<0，得x 的取值范围为(-2,2)5．C 提示：因为()()||||||a b a c b c a c b c -=---≤-+-，所以（A ）恒成立；在（B ）两侧同时乘以2,a 得()()()()()()2434332*********a a a a a a a a a a a a +≥+⇐-+-≥⇐---≥⇐-++≥所以（B ）恒成立；（C ）中，当a>b 时，恒成立，a<b 时，不成立； （D≤C ）. 6．A 提示：依题意有c a ac b +=2，222222)(222cos c a acac c a ac b c a B +-+=-+= ＝01212142241)(22)(22>--=--≥-+-+ac ac ac ac c a ac ac c a ，角B 是锐角. 7．B 提示：t=|x －1|在x ∈[0,4]的最大值为3，故a ≥3.8．D 提示：由题意得：A ：－1<x<1,B:b －a<x<a+b 由”a=1”是“≠⋂B A ￠”的充分条件.则A ：－1<x<1与B: b －1<x<1+b 交集不为空.所以－2<b<2，检验知:21<≤-b 能使≠⋂B A ￠.9．D 提示：函数的定义域为1{|0}2x x x ><-或，在区间1(0,)2上，2021x x <+<，又()0f x >，则01a <<，因此log a y t =是减函数，函数()f x 的单调递增区间为函数22y x x =+的递减区间，考虑对数函数的定义域，得所求的单调递增区间为1(,)2-∞-10．A 提示：设x=2cos α,y=bsin α,则x 2+2y=4cos 2α+2bsin α=-4sin 2α+2bsin α+4=－2(sin 2α－bsin α－2)=-2(sin α－2b )2+4+22b ,∴22x y +的最大值为2404424b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩. 二、填空题：11.)4,3( 提示：∵|x-2|<2的解集为(0,4),log 2(x 2-1)>1的解集为)(,+∞⋃-∞,∴不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集)4,3(. 12．{}331x x x --<-+= 提示211log (6)3068x x x x++≤⇔<++≤ ()2220168101816033x x x x x x x x x ><++≤⇒-≤⇒=<≤++<⇒--<<-+当x 0时,当x 0时,综上：{}331x x x --<<-+= 13．22b a + 提示：最小值为2222||b a b a b b a a +=+⋅+⋅14．22 提示：2)12()12(2121222+++≤+++b a b a ＝222)(2=++b a ，当且仅当a=b=c 时等号成立.15、解 (1)由已知得A(kb -,0),B(0,b),则AB ={k b ,b},于是k b=2,b=2. ∴k =1,b =2.(2)由f(x)> g(x),得x+2>x 2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4,)(1)(x f x g +=252+--x x x =x+2+21+x -5，由于x+2>0,则)(1)(x f x g +≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立 ∴)(1)(x f x g +的最小值是-3. 16、解：(1)由已知得a n+1a n =a n －a n+1111)1(11,11111-+=⇒-+===-∴+pn a n pa p a a a n n nn 得由 (2)证明：01110>-∴<<pp 111111141313121211)1(134123112114321111321<+-=+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯<++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++<-+=⇒n n n nn n a a a a n pn a n n 17：（1）将0124,3221=+-+==x bax x x x 分别代入方程得 ).2(2)(,21,84169392≠-=⎩⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+x x x x f b a ba ba 所以解得 （2）不等式即为02)1(,2)1(222<-++---+<-xkx k x x k x k x x 可化为 即.0))(1)(2(>---k x x x①当).,2(),1(,21+∞⋃∈<<k x k 解集为②当);,2()2,1(0)1()2(,22+∞⋃∈>--=x x x k 解集为不等式为时 ③),()2,1(,2+∞⋃∈>k x k 解集为时当.18．解：（Ⅰ）证法1：∵当,111,0,211111na na a n a a n na a n n n n n n n n +=+≥∴+≤<≥-----时即,1111na a n n ≥-- 于是有 .111,,3111,211112312n a a a a a a n n ≥-≥-≥--所有不等式两边相加可得.13121111na a n +++≥-由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log 211121n a a n >- ∵.][log 22.2][log 2][log 2111,2221n b ba bn b n b a b a n n +<+=+>∴=证法2：设n n f 13121)(+++=，首先证不等式.,5,4,3,)(1 =+≤n bn f b a n （i ）当n=3时，由 .)3(11223313333112223b f ba a a a a a +=++⋅≤+=+≤知不等式成立. （ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1bk f ba k +≤则1)(1)1(11)1(1)1()1(1++⋅++≤+++=+++≤+bb k f k k a k k a k a k a k k k k,)1(1)11)((1)()1()1()1(bk f bb k k f bbb k f k k bk ++=+++=+++++=即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1 =+≤n bn f ba n又由已知不等式得 .,5,4,3,][l o g 22][l o g 21122 =+=+<n n b bb n b a n（Ⅱ）∵,51][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令则有,10242,10][log log 1022=>⇒>≥n n n故取N=1024，可使当n>N 时，都有.51<n a 【挑战自我】设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且对任意a ,b ∈[-1,1]，当a+b ≠0时，都有0)()(>++ba b f a f .（1）若a>b ，试比较f(a)与f(b)的大小；（2）解不等式：)41()21(-<-x f x f ；（3）证明：若－1≤c ≤2，则函数g(x)=f(x-c)和h(x)=f(x-c 2) 存在公共定义域，并求出这个公共定义域.解：（1）任取x 1,x 2∈[-1,1]，当x 1＜x 2时，由奇函数的定义和题设不等式，得0)()()()()()()()(1212122121>--+-+=-+=-x x x x x f x f x f x f x f x f∴ f(x)是增函数，a ,b ∈[-1,1] ，且a>b ，∴f(a)＞f(b) （2）因为f(x)是[-1,1]上的增函数∴)41()21(-<-x f x f 等价于：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<-≤-≤-≤-≤-412114111211x x x x 4521≤≤-⇔x ；（3）设函数g(x)与h(x)的定义域分别为P 和Q ，则P ＝[c-1,c+1],Q=[c 2-1,c 2+1],∵－1≤c ≤2,∴(c 2-1)-(c +1)=(c +2)(c +1) ≤0,即c 2-1≤c ＋1.又c 2＋1＞c -1，所以g (x )定义域与h (x )定义域交集非空.当－1≤c ＜0，或1＜c ≤2时，c (c -1)>0,这时公共定义域为[c 2-1,c +1]当0≤c ≤1时，c (c -1) ≤0，这时公共定义域为[c -1,c 2+1]【答案及点拨】演变1：设点Q 的坐标为（x ,y ），由点P 、Q 关于原点对称，得P 点坐标为（－x ,－y ）.又点P 在函数y=f(x)的图象上，∴－y=)1(log x a -，即y=－)1(log x a -得g(x)= －)1(log x a -.（1） 由2f(x)+g(x)≥0得)1(log )1(log 2x x a a -≥+，∵0＜a<1，∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤+>->+xx x x 1)1(01012010311≤<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<->⇒x x x x 故不等式的解集为(]0,1-（2） 由2f(x)+g(x)≥m ，得xx m a -+≤1)1(log 2，在a>1，且x ∈(]0,1-时恒成立.记[))1,0(1)1(log )(2∈-+=x xx x F a ，则问题等价于min )(x F m ≤而xx x x x x x -+--=-+---=-+144)1(14)1(4)1(1)1(22令t ＝（1－x ），t ∈(]1,0，可证得H （x ）＝(]1,044∈-+t tt 在上单调递减. ∴H(t)的最小值为H （1）＝1，又a>1，∴F （x ）的最小值为0， 故m 的取值范围为m ≤0演变2：（1）①当n =2时，a 2=2≥2，不等式成立． ②假设当n =k （k ≥2）时不等式成立，即a k ≥2（k ≥2）， 那么a k +1=kk a k k 21))1(11(++++≥2．这就是说，当n =k +1时不等式成立．根据①、②可知：a k ≥2对所有n ≥2成立． （2）证法一：由递推公式及（1）的结论有 a n +1=nn a nn 21)11(2+++≤n na nn )2111(2+++，（n≥1）两边取对数并利用已知不等式得 ln a n +1≤ln )2111(2nnn ++++ln a n ≤ln a n +nnn 2112++．故ln a n +1－ln a n ≤n n n 21)1(1++，（n≥1）．上式从1到n －1求和可得 ln a n －ln a 1≤211⨯+321⨯+…+n n )1(1-+21+221+…+121-n=1－21+)3121(-+ (2)11211211111--⋅+---n n n =1－n 1+1121--n ＜2，即ln a n ＜2，故a n ＜e 2（n≥1）．（2）证法二：由数学归纳法易证2n ＞n （n －1）对n ≥2成立， 故a n +1=nn a nn 21)11(2+++＜)1(1))1(11(-+-+n n a n n n （n≥2） 令b n =a n +1 （n ≥2），则b n +1≤n b n n ))1(11(-+ （n≥2）取对数并利用已知不等式得 ln b n +1≤ln n b n n ))1(11(-++ln b n ≤ln b n +)1(1-n n （n≥2）． 上式从2到n 求和得 ln b n +1－ln b 2≤211⨯+321⨯…+)1(1-n n =1－21+21－31+…+n n 111--＜1． 因b 2=a 2+1=3．故ln b n +1＜1+ln 3，b n +1＜3ln 1+e =3e （n ≥2） 故a n +1＜3e －1＜e 2，n≥2，又显然a 1＜e 2，a 2＜e 2，故a n ＜e 2对一切n ≥1成立． 演变3：设t x a =log ，原不等式化为 ｜1＋2t ｜－｜t ｜<2（1）当21-<t 时，－1－2t ＋t<2，∴t>－3，∴213-<<-t （2）当021<≤-t 时，1+2t+t<2，∴31<t ，∴021<≤-t（3）当t ≥0时，1+2t －t<2，∴t <1, ∴0≤t ＜1 综上可知：－3＜t ＜1，即－3＜x a log ＜1当a ＞1时，a x a <<31，当0＜a ＜1时，31a x a << 所以当a ＞1时，原不等式的解集为｛x|a x a<<31｝, 当0＜a ＜1时，原不等式的解集为｛x ｜31ax a <<｝演变4 解：（1）以O 为原点，正北方向为y 轴建立直角坐标系，则x y l O A 3:=设N （x 0，y 0），05sin 3x a aβ∴== 05cos 4(3,4)y a aN a a β==∴又B （p ，0），∴直线BC 的方程为：)(34p x pa ay --=由⎪⎩⎪⎨⎧--==)(343p x p a a y x y 得C 的纵坐标)35(5312a p a p ap y c >-=，∴)35(,536||||212a p a p ap y OB S c >-=⋅=∆（2）由（1）得)0(35,35253622>-=-=-=t a p t ap ap a p ap S 令 ∴22340]310925[2a a t a t a S ≥++=，∴当且仅当,9252t a t =310,35a p a t ==此时即时，上式取等号，∴当a p 310=公里时，抢救最及时.。