代数综合问题-不等式与方程

代数综合问题(基础)

【方法点拨】

(１)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础;(2)认识综合题的结构是解综合题的前提； (3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键;(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．

＊ 审题(读题、断句、找关键);＊ 先宏观（题型、知识块、方法)； 后微观(具体条件,具体定理、公式)* 由已知,想可知(联想知识)； 由未知,想须知(应具备的条件),注意知识的结合；

＊ 观察——挖掘题目结构特征; 联想——联系相关知识网络； 突破——抓往关键实现突破； 寻求——学会寻求解题思路. (5)准确计算,严密推理是解综合题的保证. 【典型例题】

类型一、方程与不等式综合例1．已知方程组2323,342 1.x y a x y a -=-⎧⎨-=+⎩的解满足0,

0.

x y >⎧⎨<⎩ 求a 的取值范围.

例２．m 为何值时,2

2

2(2)21x m x m m --+++是完全平方式？

类型二、方程与函数综合

例3.请你根据下图中图象所提供的信息，解答下面问题:

(１)分别写出1l ，2l 中变量y 随ｘ变化而变化的情况；(2)写出一个二元一次方程组,使它满足图象中的条件．

【变式】已知：如图,平行于x 轴的直线ｙ＝a(a ≠0)与函数y ＝x 和函数x

y 1

=的图象分别交于点A 和点B,又有定点Ｐ(２,0)．

(1)若a>0，且9

1

tan =

∠POB ，求线段ＡB 的长； (2）在过Ａ，B 两点且顶点在直线y ＝x 上的抛物线中,已知线段3

8

=AB ,且在它的对称轴左边时,ｙ随着x 的增大而增大,求满足条件的抛物线的解析式；

(3)已知经过A ，B ，P 三点的抛物线,平移后能得到2

5

9x y =的图象,求点P 到直线ＡB 的距离.

例4. 已知关于x 的方程 03)13(2=+++x m mx . (1)求证: 不论m 为任何实数, 此方程总有实数根;

(2)若抛物线()2313y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数,试确定此抛物线的解析式; （３)若点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在（2）中抛物线上 (点P 、Q 不重合), 且ｙ1=y 2, 求代数式81651242121++++n n n x x 的值.

【变式】已知关于ｘ的一元二次方程x ２

+(ｍ+3)x ＋m+１=0．

(１）求证:无论m 取何值,原方程总有两个不相等的实数根；

(2）若ｘ1、x ２是原方程的两根，且|ｘ1-x 2|=2，求m 的值和此时方程的两根.

类型三、以代数为主的综合题

例5.如图所示，已知二次函数图象的顶点坐标为C(１，０），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A，B两点,其中A点的坐标为(３,4),B点在y轴上．

(1)求m的值及这个二次函数的解析式;

(2)P为线段ＡＢ上的一个动点（点Ｐ与A，B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点,设线段PＥ的长为ｈ，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(3)Ｄ为直线AＢ与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形？若存在,请求出此时Ｐ点的坐标;若不存在,请说明理由.

【变式】如图，已知二次函数24

y ax x c

=-+的图象与坐标轴交于点A（-1， 0)和点B(０,－5).

(1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小.请求出点P的坐标

.

【巩固练习】

1. 如图所示，已知函数(0)y ax b a =+≠和y=kx （k ≠０)的图象交于点P,则根据图象可得，关于,

.y ax b y kx =+⎧⎨=⎩

的

二元一次方程组的解是( )A ．42x y =⎧⎨=⎩ B.42x y =-⎧⎨=⎩ Ｃ．42x y =-⎧⎨=-⎩ D ．4

2

x y =⎧⎨=-⎩

２． 如图，双曲线ｙ=x

m

与直线y ＝kx +b 交于点M 、Ｎ，并且点Ｍ的坐标为(1，３）,点N 的纵坐标为-1.根据图象信息可得关于x 的方程

x

m

=kx ＋b 的解为( ) A ．-３，1 ﻩB.-3,3 C ．-1,１ ﻩD.-１,3

3．下列说法中 ①若式子1x -有意义，则ｘ＞１.②已知∠α＝27°,则∠α的补角是１5３°.③已知x=2 是方程ｘ2

-6x+c=0 的一个实数根，则c 的值为8.④在反比例函数2

k y x

-=

中,若x>0 时,y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是k>2． 其中正确的命题有（ )Ａ. 1 个 B. 2 个 Ｃ． 3 个 Ｄ． ４ 个

第1题图 第2题图 第4题图 第7题图

4．如图所示,是二次函数2

1y ax bx c =++(a ≠0）和一次函数2y mx n =+（ｎ≠0)的图象,观察图象写出y 2≥y 1

时,x 的取值范围___＿ __＿_．

5.已知二次函数2

2(1)2(1)y x m x m =-++-．若此函数图象的顶点在直线ｙ＝-４上，则此函数解析式为 ．

6. 已知二次函数2

y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，

、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方.下列结论:①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>.其中正确结论的是

(填序号) ． 7.如图所示,抛物线232

333

y x x =+交ｘ轴于A,B 两点,交y 轴于点C,顶点为D.