简谐振动的能量 合成
第6章 振动2(振动合成、其它振动)
A0e
−β⋅t
A0e-β t o 阻尼振动曲线
T=
t
2π
ω
=
2π
2 ω0 − β 2
> T0
阻尼振动周期
19
时间常量与品质因数： 时间常量与品质因数： 在欠阻尼情况下， 在欠阻尼情况下， 振幅 振动能量E： 振动能量 ： E = E0e−2β⋅t 时间常量
A = A0e
−βt
(QE ∝ A2 )
1 τ= 2β
1
旋转矢量法处理谐振动的合成 1. 分振动 x1 = A cos(ω t +ϕ1) 1 x2 = A2 cos(ω t +ϕ2 ) 2. 合振动
O
ω
A2
ϕ2
x2
ϕ
A ϕ −ϕ 2 1 A1
x = x1 + x2 = Acos(ω t +ϕ)
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(ϕ2 −ϕ1) 1 1
(5)ϕ2 −ϕ1 = 其 值 它
15
二、李萨如图： 李萨如图：
如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比， 如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比，则合成运 动具有稳定的封闭的运动轨迹。 动具有稳定的封闭的运动轨迹。
Tx : Ty =1: 2
Tx : Ty = 2 : 3
Tx : Ty = 3: 4
ω2 −ω1
2
)t
x
ω=
ω2 +ω 1
2
t
拍的现象： ３.拍的现象：
合振动忽强忽弱的现象． 合振动忽强忽弱的现象．
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数
ν =|ν2-ν1|
ω拍 = ω2 −ω1 或： = T
简谐振动演示09
2 A2
2 A1 A2 cos( 2 1 )
o
2 2 2
60
0
A
x
A A A 5 10 (m)
平衡位置 x = 0
55
关于谐振动的合成的计算
教材
下册书 P38 9-5 9-28 9-30
56
(二)、 同一直线上两个不同频率谐振动的合成
当 2 1时 2 1 2 1 x1
9-6
9-7
基训:P93 例1 习题:A卷:一 1. 2. B卷:一 1.
17
9-2、旋转矢量
1.设一矢量 OM 逆时针方向 匀速转动，角速为
OM A
y
y
M
A
t 0
2. t 时刻矢端 M 点的位
o
t 0 x
置（坐标） x A cos(t 0 ) y A sin( t 0 )
由此可见： 旋转矢量的端点在坐标轴上投影点的运 动为谐振动 旋转矢量旋转一周 投影点全振动一次
19
X
例1
一谐振动的相位为
3 3 3 画旋转矢量，指出其投影点 的位置
, 2
,
60
x
o
60
例2
质点在平衡位置向 x 轴正向运动，
画对应的旋矢，指出其相位是多 少？ 3 ( )
t=0时与x轴
正方向夹角 t时刻与x轴
x
正方向夹角
t=0时 刻 与t时 夹角
相位 t +
平衡位置 x=0 t
简谐振动的解题方法：
1. 解析法 2. 图示法
x A cos(t )
3。旋转矢量法（几何法） x x
简谐振动的能量变化
简谐振动的能量变化简谐振动是物理学中一个重要的概念，几乎存在于各个领域的物理现象中。
它描述了一个物体在一个恒定的振幅范围内进行周期性的振动运动。
在简谐振动中，物体的能量会不断变化。
本文将探讨简谐振动的能量变化规律及其背后的原理。
一、简谐振动的特点简谐振动的特点是具有周期性和恒定振幅。
在一个周期内，物体会从原点出发，向正方向振动到最大偏离量，然后返回原点，并向负方向振动到最大偏离量，最后再次返回原点。
这个周期性的运动形式被称为正弦曲线。
二、简谐振动的能量转换简谐振动的能量转换是一个循环过程，由动能和势能交替转化。
当物体偏离平衡位置时，存在势能。
随着物体向最大偏离量移动，势能达到最大值。
当物体通过平衡位置时，速度最大，动能也最大。
当物体移动回原点时，势能再次为零，并在反向运动时达到最大值，动能减小为零。
因此，简谐振动的能量变化由势能和动能的周期性转换组成。
三、简谐振动的能量守恒在简谐振动中，动能和势能的和始终保持不变。
即使在振动过程中，能量的总和也保持不变。
这是因为质点在简谐振动的过程中没有受到摩擦或其他能量损耗的作用。
四、简谐振动的公式推导我们可以通过公式推导简谐振动的能量变化规律。
假设简谐振动的位置函数为x(t)，其中t表示时间。
那么动能可表示为：K = 0.5 * m * v^2 = 0.5 * m * (dx/dt)^2，其中m为质量，v为速度，x为位移。
而势能可表示为：U = 0.5 * k * x^2，其中k为劲度系数。
根据能量守恒定律，总能量E为常数，即K + U = E。
将上述动能和势能的表达式代入，得到：0.5 * m * (dx/dt)^2 + 0.5 * k * x^2 = E。
这是简谐振动的能量守恒方程，描述了简谐振动过程中能量的变化规律。
五、简谐振动的应用简谐振动广泛应用于各个领域。
在物理学中，它被用于描述原子和分子的振动，以及声波和光波的传播。
在工程学中，它被用于设计和优化机械结构的振动模式。
简谐振动 平面简谐波
答：初相是指 t = 0 时刻的位相，
初始时刻选择不同，初相值就不同； 另外，单摆作简谐振动是角位移。
因此，把一个单摆位开一个小角度 0
自由摆动，此 0 并不是初位相。
单摆绕悬点转动的角速度等于 d
dt
而简谐振动的圆频率
g
l
，然后放开让其
可见，单摆绕悬点转动的角速度是不是简谐振动的圆频率。
4.3 简谐振动的能量
E=Ek
+Ep
=1k 2
A2
（4.15）
w wj E k= T 10 TE kdt= T 10 T 1 2m2 A 2s2 i(n t+)d t= 1 4 k2A
wj E p= T 10 T E pd t= T 10 T 1 2 kA 2c2 o (ts+)d t= 1 4 k2A
(1/2)kA2
kx0 =mg
化简上式得
d2x dt 2
+
k m+
I
x=0
R2
可知：物体做简谐振动．且振动圆频率为
w=
k
m+ I
R2
另解： 静平衡时 物体 ( x 处 )
滑轮
mgT2 =mdd2t2x
T 2T 1R=I
d2 x dt2
=
R
T1=kxo+x
联立以上各式可得
dd2t2x+mkR2R2+I x=0
w =
o
v0
=
m m+M
u0
X
>0
A=
mu0 k(m+
M)
,
j
0
=
3
2
,
x= m0u cowst(+3)
简谐振动的叠加(课堂PPT)
出该振动的位移与时间的关系。
x/cm
解 由图知 A = 4.0×102 m
4.0
P
当t =0 时，
A x0 = 2,v0 >0
2.0 O
1
t/s
{ 由式 x0 = A cos v0 = A sin
-2.0 -4.0
解得
所以
3 x4.01
02c
π
o(st )
两个分振动的频率相差 较大，但有简单的整数比 关系，这样的合振动曲线 称为利萨如图形。
不同频率的垂直振动运动的合成。
§7-3 阻尼振动、受迫振动和共振
一、阻尼振动(damped vibration)
振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。
以物体受流体阻力作用下的振动为例：
阻力为 F v dx
dt
物体的振动方程 md2x dxkx0
AB
以sin乘以(3)式，sin乘以(4)式后两式相减得
xsin ysin co tssi n () （6）
AB
(5)式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程
A x2 2B y2 22 A xcy B o s) (si2(n )
此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐
振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的
一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成
设有两个同频率的谐振动
x1A 1co ts (1) x2A 2co ts (2)
合振动 x x 1 x 2 A 1 co t 1 ) s A 2 c ( o t 2 ) s(
由矢量图得 xAcots()（仍为同频率谐振动）
而
A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s (1) arctanA A 1 1c so in s 1 1 A A2 2scio ns 2 2
振动、波动部分答案(新)
大学物理学——振动和波振 动班级 学号 姓名 成绩内容提要1、简谐振动的三个判据（1）；（2）；（3）2、描述简谐振动的特征量： A 、T 、γ；T1=γ，πγπω22==T3、简谐振动的描述：（1）公式法 ；（2）图像法；（3）旋转矢量法4、简谐振动的速度和加速度：)2cos()sin(v00πϕωϕωω++=+-==t v t A dt dx m ； a=）（）（πϕωϕωω±+=+=0m 0222t a t cos -dtxd A 5、振动的相位随时间变化的关系：6、简谐振动实例弹簧振子：，单摆小角度振动：，复摆：0mgh dt d 22=+θθJ ,T=2mghJπ 7、简谐振动的能量：222m 21k 21A A Eω==系统的动能为：）（ϕωω+==t sin m 21mv 212222A E K ；系统的势能为：）ϕω+==t (cos k 21kx 21222A E P8、两个简谐振动的合成（1）两个同方向同频率的简谐振动的合成合振动方程为：）（ϕω+=t cos x A其中，其中；。
＊(2) 两个同方向不同频率简谐振动的合成拍：当频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动合成时，其合振动的振幅表现为时而加强时而减弱的现象，拍频：12-γγγ=＊（3）两个相互垂直简谐振动的合成合振动方程：）（1221221222212-sin )(cos xy 2y x ϕϕϕϕ=--+A A A A ，为椭圆方程。
练习一一、 填空题1．一劲度系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为T 1。
若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统的周期T 2等于 。
2．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为：A ＝ ；=ω ;=ϕ 。
3．如图，一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，做成一复摆。
已知细棒绕过其一端的轴的转动惯量J ＝3/2ml ，此摆作微小振动的周期为 。
简谐运动的能量转化、受迫振动和共振
雾气
雾气
雾气
雾气
雾气
雾气
能力思维 方法 能力 思维方法 思维 5．下列关于共振在技术上的意义的说法中正 ． 确的是 （ BCD ） A．共振现象总是有害的，所以应尽量防止共 ．共振现象总是有害的， 振的发生 B．队伍过桥慢行是为了不产生周期性变化的 ． 驱动力， 驱动力，从而避免发生共振 C．共振筛是通过调整筛的固有频率跟做受迫 ． 振动物体的固有频率接近或相等 D．应用共振时，设法使驱动力频率与做受迫 ．应用共振时， 振动物体的固有频率接近或相等；防止共振时， 振动物体的固有频率接近或相等；防止共振时， 应设法使驱动力频率跟固有频率相差很大
简谐运动中，通过回复力做功， 简谐运动中，通过回复力做功，动能和势能间 相互转化，总机械能保持不变． 相互转化，总机械能保持不变． （l）在振动的一个周期内，动能和势能间完 ）在振动的一个周期内， 成 两 次周期性的转化 （2）振动势能可以为重力势能（例如单摆），可 ），可 ）振动势能可以为重力势能（例如单摆）， 以是弹性势能（例如水平方向振动的弹簧振子）， 以是弹性势能（例如水平方向振动的弹簧振子）， 也可以是重力势能和弹性势能之和（ 也可以是重力势能和弹性势能之和（例如沿竖直 方向振动的弹簧振子）， ），我们约定振动势能是以 方向振动的弹簧振子），我们约定振动势能是以 平衡位置为零势能位置． 平衡位置为零势能位置． （3）振动能量是振动的动能和振动势能的总和，对 ）振动能量是振动的动能和振动势能的总和， 简谐运动在振动过程中保持不变． 简谐运动在振动过程中保持不变．
阻尼振动最终要停下来， 阻尼振动最终要停下来，那么怎样才能得到持 续的周期性振动呢？ 续的周期性振动呢？ 最简单的办法是用周期性的外力作用于振 动系统，外力对系统做功， 动系统，外力对系统做功，补偿系统的能量损 耗，使系统持续地振动下去．这种周期性的外 使系统持续地振动下去． 力叫做驱动力， 力叫做驱动力，物体在外界驱动力作用下的振 动叫做受迫振动。 动叫做受迫振动。 受迫振动的频率跟什么有关 ？ 物体做受迫振动时， 物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于 驱动力的频率，跟物体的固有频率没有关系． 驱动力的频率，跟物体的固有频率没有关系．
简谐振动方程弹簧振子的振动理性化模型
1
常见的振动现象
合成
分解
复杂振动
若有两个同方向、同频率的简谐振动
x1 A t 1 ) 1 cos( x2 A2 cos(t 2 )
两个振动的合位移
x A cos(t )
合振动的振幅
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
x A cos(t )
2
x, v
简谐运动能量图
o
能量
x t
T
0 t x Acost v t v A sin t
1 E kA2 2 1 2 2 Ep kA cos t 2
o
T
T
3T
4
2
4
T
1 t Ek m 2 A2 sin 2 t 2
二、两个友 诉说了内心的忧虑.正在说话时，寺 院里的钟声响了，说来奇怪，磬也发 出了嗡嗡的响声.
共振的现象
和尚的朋友明白了原由，悄悄 用钢锉在磬上锉了几处. 从此之后， 磬再也不会无故发声了. 和尚以为 妖怪已被赶走，心事顿消，病也不 治而愈.
共振的原因
磬为什么会不敲自鸣呢？这是共振 引起的一种现象. 当一物体的振动频率 与另一物体的固有频率一致时，前者的 振动能引发后者的振动. 磬的频率偶然 地和钟的频率一样，因此每当钟响时, 磬也因共振而发出嗡嗡之声.
显然，和尚的朋友深通物理知识， 他不仅知道这是一种共振现象，而且知 道如何消除这种现象.他巧妙地在磬上锉 了几下，这就改变了磬的固有频率，使 磬与钟的频率不再一样，也就引 不起共鸣了.
4《振动》选择题解答与分析
4振动4.1旋转矢量1. 一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为A 21，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为答案：(B)参考解答：简谐振动可以用一个旋转矢量的投影来表示。
这一描述简谐振动的几何方法称为旋转矢量法。
以坐标原点o 为始端作一矢量A，该矢量以角速度ω绕o 点逆时针匀速转动。
0=t 时，旋转矢量与x 轴正向的夹角等于ϕ，则在转动过程中的任意时刻t ，矢量A与x 轴正向的夹角为)(ϕω+t ，其端点M 在坐标轴上的投影P 的坐标为)cos(ϕω+=t A x ,P 所代表的运动正是简谐振动。
本题(B)图中，旋转矢量端点在坐标轴上投影点的坐标与运动方向符合题设的要求，即为答案。
对所有选择，均给出参考解答，直接进入下一题。
2. 一质点作简谐振动，周期为T ．当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4． 答案：(C) 参考解答：根据旋转矢量法，以坐标原点o 为始端作一矢量A ，该矢量以角速度ω绕o 点逆时针匀速转动。
0=t 时，旋转矢量与x 轴正向的夹角等于ϕ，则在转动过程中的任意时刻t ，矢量A与x 轴正向的夹角为)(ϕω+t ，其端点在坐标轴上的投影的坐标为)cos(ϕω+=t A x 所代表的运动正是简谐振动。
本题按题意画旋转矢量图，由,3πωθ==t πω2=T 两式联立，解出.6Tt =对所有选择，均给出参考解答，直接进入下一题。
4.2振动曲线、初相1. 一质点作简谐振动．其运动速度与时间的曲线如图所示．若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为(A) π/6． (B) 5π/6． (C) -5π/6．(D) -π/6． (E) -2π/3．答案：(C)参考解答：令简谐振动的表达式：)cos(ϕω+=t A x ，)(ϕω+t 称为振动系统在t 时刻的位相。
大学物理AII_振动
x
0 A
t
T 2 /
例8：
根据下列振动方程求振动物体的振幅、角频率及初相位。
（A）
x A cos(t ) 振幅： A 角频率： x A sin(t ) 振幅： A 角频率：
（ ） 初相位：
（B）
初相位：（ ）
2
（C）
x A cos （t ） 振幅： A 角频率：
x1 Acos1t
该质点实际的运动情况：
x2 Acos2t
x x1 x2
2 A cos(
2 1
2
t ) cos(
2 1
2
t)
振幅
相互垂直的同频率简谐振动的合成：
设一质点同时参与两个简谐振动：
x A1 cos( t 10 )
合振动的轨迹方程：
2 t ) T
振动方程。
y
y ( A1 A2 ) cos(A 1源自A2y1 (t )o
y2 (t )
T
t
A1
0
A2
y
例14：
已知两个简谐运动的振动表达式分别为
x1 2 cos(10t / 2) x2 2 sin(10t / 2)
( SI )
求：（1） 合振动的表达式；x 2 2 cos(10 t 3 / 4)
t
o
x
A
同频率简谐振动的相位差比较：
设两个简谐运动的表达式分别为：
x1 A1 cos(t 1 )
相位差：
x2 A2 cos(t 2 )
（t 2 ) （t 1）＝2 1
1、2同相
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《大学物理》练习题 No.10 简谐振动的能量 合成
班级 ___________ 学号 __________ 姓名 _________ 成绩
________
一、选择题
1. 一质点作简谐振动，已知振动周期为T，则其振动动能变化的周期是
[ B ](A) T/4.
(B) T/2.
(C) T.
(D) 2T.
2. 一弹簧振子作简谐振动,当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时,其动能为振动总
能量的
[ D ](A) 7/16.
(B) 9/16.
(C) 11/16.
(D) 15/16.
3. 有两个振动:x1 = A1cos t, x2 = A2sin t,且A2< A1.则合成振动的振幅为
[ C ](A) A1 + A2 .
(B) A1－A2 .
(C) (A12 + A22)1/2 .
(D) (A12－A22)1/2.
4. 一弹簧振子作简谐振动，总能量为1E，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质
量增加为原来的四倍，则它的总能量E变为
[ D ] (A) 1E/4 (B) 1E/2 (C) 21E (D) 41E
二.填空题
1. 一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动：
x1 = 0.03cos ( 4 t + /3 ) (SI) 与 x2 = 0.05cos ( 4 t－2/3 ) (SI)
合成振动的振动方程为 x = 0.02cos ( 4 t－2/3 ) .
2. 质量为m的物体和一个轻弹簧组成弹簧振子,其固有振动周期为T,当它作振幅为A的自由
简谐振动时,其振动能量E = 2222TmA .
三.计算题
已知两谐振动的运动方程：
)4/310cos(10521tx
)4/10cos(10622tx
式中各物理量都用SI制。求：
（1）合成振动的振幅和初位相；
（2）如另有第三个谐振动)10cos(10723tx，则α应为何值，才能使
12
xx
的合振动振幅最大?又α应为何值，才能使32xx的合振动振幅最小?
解（1
)cos(212212221AAAAA
代入有关数据计算得：
)(1081.72mA
合振动的初位相φ满足
2211
2211
coscossinsinAAAAtg
代入有关数据计算得：
11tg
因为
4/34/
所以
φ＝８４．８°
（2）要使31xx的合振动振幅最大，两分振动31,xx
n24/3
,2,1,0n
所以 4/32n
要使32xx的合振动幅最小，两分振动32,xx
)12(4/n
,2,1,0n
所以 4/1)12(n
2.一物体质量为0.25kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k = 25Nm-1。如果该
系统起始振动时具有势能0.06J和动能0.02J，求
(1) 振幅A；
(2) 动能恰等于势能时的位移；
(3) 经过平衡位置时物体的速度。
解：
能量守恒得到，221kAEEkp
即， 25.1208.0A
所以，振幅mA08.0
当动能恰等于势能时的位移
有， 212104.0kA， 所以，物体的位移，cmA66.51
当经过平衡位置时物体的速度
有， 221mvEEkp， 得到 smv/8.0