八年级数学互逆命题1
逆命题
八 年级 上 册 数学（科）导学案 班级 姓名 授课教师 课题 逆命题与逆定理（1） 课型 学习展示课 主备 尹超 审核人 编制时间 编号 个人 007 总 040 学习目标： 1．理解互逆命题、互逆定理的概念，通过比较，提高学生的辨析能力． 2．掌握角平分线定理及逆命题，并会熟练运用定理和逆定理．
学习过程 学法指导 整理导学案 （归纳总结）
内容： 任务一：旧知回顾 我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线的这条性质是怎样得到的呢？ 如图19．4．4，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．当时是在半透明纸上描出了这个图，然后沿着射线OC对折，通过观察，线段PD和PE完全重合．于是得到PD＝PE． 与等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用逻辑推理的方法加以证明.图中有两个直角三角形△PDO和△PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD＝PE．
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 任务二：新知探索 上述定理的逆命题是： “----------------------------------------”， 这个命题是否是真命题呢？即到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？我们可以通过“证明”来解答这个问题．
独立思考，温习旧知完成练习，把重要的内容用双色笔标记； 与同桌进行交流自己的想法； 小组内交流本组疑难问题，用自己的语言归纳此命题及逆命题。 要证明两个直角三角形全等有几种办法请你分别写下来
分析： 为了证明点Q在∠AOB的平分线上，可以作射线OQ，然后证明Rt△DOQ≌Rt△EOQ，从而得
图19.4.4 1． 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等． （第1题） 2． 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证： 点F在∠DAE的平分线上． 课堂小结：总结一下你所学过的知识
人教版八年级下册数学《原(逆)命题、原(逆)定理》
规律方法总结： 每一个命题都有逆命题，而一个定理 不一定有逆定理。定理和逆定理都是 真命题，而命题和逆命题却不一定是 真命题。
小结：本节课你学到了什么？
逆命题: 如果三角形三边a,b,c满足关系 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形
原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段 两端的距离相等。
逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上。
原命题：角平分线上的点，到这个角的两边 距离相等。
逆命题： 到角两边距离相等的点，在这个 角的平分线上。
课堂练习
1、说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题 （1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角 互余 （2）等边三角形的每个角都等于60°
(3)矩形的对角线相等
(4)两直线平行，同旁内角互补
2、举例说明下列命题的逆命题是假 命题：
（1）如果一个整数的个位数字是5， 那么这个整数能被5整除；
请同学们举出一些互逆命题，并思 考：是否原命题正确，它的逆命题 也正确呢？
说出下列命题的逆命题，ຫໍສະໝຸດ 些命题的 逆命题成立吗？ 1、两条直线平行，内错角相等。
内错角相等，两直线平行
2、如果两个实数相等，那么它们的绝对 值相等。
如果两个实数的绝对值相等，那么这两 个实数也相等
3、对顶角相等。 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
17.2.1 原（逆）命题，原（逆）定理
学习目标
1.理解原命题、逆命题、逆定理 的概念。 2.理解定理、逆定理、互逆定理 的关系。
探究一：命题与逆命题
1、什么叫做命题？
可以判断真假的语句叫做命题。 2、什么叫做逆命题？ 命题的题设和结论正好是相反的， 像这样的两个命题称为互逆命题。 如果把其中一个叫做原命题，那么 另一个叫做它的逆命题。
人教版八年级下册数学：勾股定理及其逆定理的综合应用
直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
既
a2+ b2=c2
是 互
Ｒt△ 直角边a、b，斜边c
逆
a2+b2=c2
命
题
形
数
也
Ｒt△
逆定理:
a2+b2=c2
是
互
三边a、b、c 逆
定
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形 理
是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
D
B
10 x6
A
x 8-x C
E
折叠四边形
折叠四边形
例7：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在
BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM, 求 (1) CF的长 ；(2)EC的长.
10
D
A
8-X
8 10
E
8-X X
B
6
F4 C
折叠四边形
例8：折叠矩形纸片，先折出折痕 对角线BD，再绕点D折叠，使点A 落在BD的E处，折痕DG，若AB=4， BC=3，求AG的长。
2O
蛋糕 B
C
６
B
8
８
A
A
展开思想
例12：如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别 为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点， A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿 着台阶面爬到B点最短路程是多少？
Ａ
２０
Ｃ
A
20
3
23
２
3
2
B
3
∵ AB2=AC2+BC2=625,
勾股数
数学北师大版八年级下册互逆命题
√
互逆定理：
如果一个定理的逆命题经 过证明是真命题，那么它 也是一个定理。这两个定 理叫做互逆定理。其中一 个叫做另一个的逆定理。
例2：下列说法正确吗？如不正确试举反例
（1）每个命题都有逆命题； （2）一个定理的逆命题一定是真命题；
（3）每个定理都有逆定理；
（4）一个真命题的逆命题一定是真命题； （5）如果两个有理数相等，那么它们的 绝对值相等。此命题的逆命题为假命题
小结：
1、理解原命题和逆命题之间的关 系。会写出一个命题的逆命题。 2、理解一对互逆命题的真假性 不一定一致。
课堂小测 课本1课本习题1.6
互 逆 命 题
结论 条件
定理2：
如果三角形两边的平方和等于第三边 的平方， 那么三角形是直角三角形。
结论
互逆命题
在两个命题中，如果第1个命题 的条件是第2个命题的结论，而第1 个命题的结论又是第2个命题的题设 条件，那么这两个命题叫互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题， 那么另一个叫做它的逆命题。
例1：说出下列命题的逆命题
原命题
① 两直线平行，同位角相等 ② 对顶角相等
逆命题
两直线平行，同位角相等
√
√
如果两个角相等，那么它们 是对顶角
③ 全等三角形的对应边相等 有三组对应边相等的三角形 是全等三角形
④ 如果两个角都是直角，那 如果两个角相等，那么这两 么它们相等 个角都是直角
⑤ 在角的平分线上的点到这 到角的两边的距离相等的点， 个角的两边的距离相等 在这个角的平分线上
说出下列命题的逆命题原命题逆命题如果两个角都是直角那么它们相等在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等两直线平行同位角相等如果两个角相等那么它们是对顶角有三组对应边相等的三角形是全等三角形如果两个角相等那么这两个角都是直角到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上如果一个定理的逆命题经过证明是真命题那么它也是一个定理
2.5 逆命题和逆定理(4大题型提分练)(原卷版)_1
（4）如果ab＜0，那么a＞0，b＜0．
6．下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果…那么…”的形式，并写出它的逆命题，同时判断原命题和逆命题的真假．
（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？
（2）垂线段最短，对吗？
（3）等角的补角相等．
（4）两条直线相交只有一个交点．
（5）同旁内角互补．
（6）邻补角的角平分线互相垂直．
A．若点P是线段AB的垂直平分线上的点，则PA＝PB
B．若PA＝PB，QA＝QB，则直线PQ是线段AB的垂直平分线
C．若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上
D．若PA＝PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
4．已知直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且AP＝PB，下列结论，①OA＝OB；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上，其中正确的有．
（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．
已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC
求证：AB∥CD
证明：如图2，过点E，作EF∥AB
∴∠B＝∠
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）
∴∠＝∠（等式性质）
∴EF∥
∵EF∥AB
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．
互逆命题与互逆定理
互逆命题与互逆定理 知识点复习 1、了解互逆命题的概念：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。
注意：一个命题为真命题，不能保证它的逆命题为真命题。
2、了解互逆定理的意义：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理称为互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
注意：每个命题都有逆命题，但并非所有的定理都有逆定理。
分层递进A 层练习1、下列说法中，正确的是（ ）A 、每一个命题都有逆命题B 、每一个定理都有逆定理C 、假命题的逆命题一定是假命题D 、真命题的逆命题一定是真命题2、下列定理中，没有逆定理的是（ ）A 、两直线平行，内错角相等B 、直角三角形的两个锐角互余C 、全等三角形的周长相等D 、如果两个三角形全等，那么它们的对应边都相等3、命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是 ， 它是 （填“真”或“假”）命题。
4、如图，AB 、CD 相交于点E ，现给出下列三个论断：①∠A=∠C ；②AD=CB ；③AE=CE 。
请你选择其中两个论断作为条件，另外一个论断作为结论，构造一个命题。
（1）在构成的所有命题中，真命题有 个；（2）在构成的真命题中，请选择一个加以证明。
B 层练习5、下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（ ）A 、若a=b ，则22a b =B 、若22ma na >，则m>nC 、全等三角形的面积相等D 、全等三角形的对应边相等6、写出命题“等腰三角形两条腰上的高相等”的逆命题，并判断逆命题的真假。
如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，请举反例说明。
C层练习7、甲、乙、丙、丁四位老师分别教数学、物理、化学、英语，甲老师可以教物理、化学；乙老师可以教数学、英语；丙老师可以教数学、物理、化学；丁老师只能教化学。
为了使每人都能胜任工作，那么教数学的是老师。
专题15-逆命题及逆定理(知识点串讲)(解析版)
专题15 逆命题及逆定理知识框架重难突破一、互逆命题与互逆定理1.互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.备注：所有的命题都有逆命题. 原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.2.互逆定理如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.备注：（1）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理；(2)一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理.二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．备注：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理的题设是已知线段相等，结论是确定线段被垂直平分，一定要注意两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、角平分线性质定理及其逆定理角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.备注：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.例1．（2019·四川南充市·八年级期末）下列命题的逆命题成立的是（ ）A ．对顶角相等B ．等边三角形是锐角三角形C ．正方形的对角线互相垂直D ．平行四边形的对角线互相平分【答案】D【解析】解：A 、逆命题为相等的角是对顶角，不成立；B 、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立；C 、逆命题为：对角线互相垂直的四边形是正方形，不成立；D 、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立，故选：D ．练习1．（2019·山东德州市·）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a ＞2，那么a 2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．如果|a |＝1，那么a ＝1C ．全等三角形的对应角相等D ．如果x ＞y ，那么mx ＞my 【答案】C解：A 、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B 、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a ＝1，那么|a |＝1，正确，是真命题，不符合题意；C 、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D 、当m ＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C ．练习2．（2020·山西临汾市·八年级期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．若22a b >，则a b >B ．两个全等三角形的对应角相等C ．若0a =，0b =，则0ab =D ．全等三角形的对应边相等解:A ：逆命题：若a b >，则22a b >，当a=1，b=-2时，错误；B ：逆命题：对应角相等的两个三角形全等，错误；C ：逆命题：若0ab =，则0a =，0b =，也可能a=0，b≠0，错误；D ：逆命题：对应边相等的两个三角形全等，根据SSS 可以判定，正确，故选D.例2．（2020·四川巴中市·八年级期末）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.练习1．（2018·富顺县赵化中学校八年级期末）命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是 ___________________ .它是 ________ 命题（填“真”或“假”）.【答案】如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 真【解析】分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半，故其逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．详解：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．它是真命题.故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；真.例3．（2020·四川绵阳市·八年级期末）如图，有A 、B 、C 三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A ．∠A 、∠B 两内角的平分线的交点处B ．AC 、AB 两边高线的交点处C ．AC 、AB 两边中线的交点处D ．AC 、AB 两边垂直平分线的交点处解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，故选：D．练习1．（2019·四川成都市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是_____．【答案】8 5【解析】分析：连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；详解：连接AD．∵PQ垂直平分线段AB，∴DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，∴x2=32+（5﹣x）2，解得x=175，∴CD=BC﹣DB=5﹣175=85，故答案为85． 例4．（2020·四川广元市·八年级期末）如图，在ABC 中，已知AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交AC 于点M ，连接MB .（1）若70ABC ∠=︒，则NMA ∠的度数是 ；（2）若8AB cm =，MBC △的周长是14cm .①求BC 的长度；②若点P 为直线MN 上一点，请你直接写出PBC 周长的最小值.【答案】（1）50︒；（2）①6；②14 cm ．解：解：（1）如图，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=70°，∴∠A=40°，∵AB 的垂直平分线交AB 于点N ，∴∠ANM=90°，∴∠NMA=50°，故答案为：50；（2）①∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AM=BM ，∴△MBC 的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC ，∵AB=8，∴AC=8，∵△MBC 的周长是14，∴BC=14-8=6；②∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴当点P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14．练习1．（2020·四川成都市·七年级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．【答案】（1）100°；（2）20°，推导见解析；（3）20解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）∵△DAF的周长为20，∴DA+DF+FA＝20，由（2）可知，DA＝DB，FA＝FC，∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20．练习2．（2020·四川成都市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（点A、C分布对应A1、C1）；（2）请在y轴上找出一点P，满足线段AP+B1P的值最小．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．（1）如图所示：（2）如图所示：点P 即为所求．例5．（2020·四川泸州市·）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是角平分线，若BC 10cm =，:3:2BD CD =，则点D 到AB 的距离是（ ）A ．6cmB ．5cmC ．4cmD ．3cm【答案】C过点D 作DE ⊥AB ，∵90C ∠=︒，∴DC ⊥AC,∵AD 平分∠BAC ，∴DE=DC,∵BC 10cm =，:3:2BD CD =，∴DE=DC=4cm ，故选：C.练习1．（2020·四川成都市·七年级期末）如图，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，在边AB 、AC 上分别截取AD ，AE ，使AD AE =，分别以D 、E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠内交于点M ，作射线AM 交BC 边于点F ．若2FB =，则点F 到AC 的距离为______．【答案】2根据作图过程可知：AF 平分∠BAC ，过点F 作FG ⊥AC ，∵∠B ＝90°，∴FB ⊥AB ，∴FG ＝FB ＝2．∴点F 到AC 的距离为2．故答案为：2．练习2．（2020·四川广元市·八年级期末）如图，OC 平分∠MON ，P 为OC 上一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，垂足分别为A 、B ，连接AB ，得到以下结论：（1）PA =PB ；（2）OA =OB ；（3）OP 与AB 互相垂直平分；（4）OP 平分∠APB ，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解：∵OP 平分∠AOB ，P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∴P A =PB ，故（1）正确；在Rt △APO 和Rt △BPO 中，OP OP PA PB =⎧⎨=⎩，∴Rt △APO ≌Rt △BPO （HL ），∴∠APO =∠BPO ，OA =OB ，故（2）正确，∴PO 平分∠APB ，故（4）正确，OP 垂直平分AB ，但AB 不一定垂直平分OP ，故（3）错误，故选：C ．例6．（2020·四川绵阳市·八年级期末）如图，D 为ABC ∆内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若1BD =，3BC =，则AC 的长为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A解：延长BD,与AC 交于点F,∵BD CD ⊥∴∠BDC ＝∠FDC=90°∵CD 平分ACB ∠，∴∠BCD ＝∠FCD在△BDC 和△FDC 中90BDC FDC BCD FCDCD CD ∠∠=︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝ ∴△BDC ≌△FDC∴BD=FD =1 BC=FC=3∵A ABD ∠=∠∴AF=BF∵1BD =，3BC =，∴AC=AF+FC=BF+BC=2BD+BC=2+3=5故选：A例7．（2020·四川巴中市·七年级期末）如图，DE 是ABC 中AB 边的垂直平分线，分别交AB ，BC 于点D ，E ，AE 平分BAC ∠，若30B ∠=︒．求C ∠的度数．【答案】∠C 的度数为90°．∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∠B=30°，∴AE= BE ，∴∠BAE=∠B=30°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC=∠BAE=30°，即∠BAC=60°，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-30°=90°．∴∠C 的度数为90°．练习1．（2018·四川南充市·）如图，已知：∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，AB ＝6，AC ＝3，则BE ＝_______．【答案】32解：如图所示，连接CD 、BD ，∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF=DE ，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE ，∴AE=AF ，∵DG 是BC 的垂直平分线，∴CD=BD ，在Rt △CDF 和Rt △BDE 中CD BDDF DE =⎧⎨=⎩∴Rt △CDF ≌Rt △BDE∴BE=CF ，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE ，∵AB=6，AC=3，∴BE=32．故答案为：32练习2．（2020·四川眉山市·八年级期末）已知120MAN ∠=︒，AC 平分MAN ∠，点,B D 分别在,AN AM 上．（1）如图1，若CD AM ⊥于点D ，CB AN ⊥于点B ．①利用等腰三角形“三线合一”，将ADC ∆补成一个等边三角形，可得,AC AD 的数量关系为________． ②请问：AC 是否等于AB AD +呢？如果是，请予以证明．（2）如图2，若180ABC ADC ∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）①12AD AC =（或2AC AD =），理由见解析；②AD AB AC +=，理由见解析；（2）仍成立，理由见解析解：（1）①12AD AC =（或2AC AD =） AC 平分,120MAN MAN ∠∠=︒，60CAD ∴∠=︒，又90ADC ∠=︒，30ACD ∴∠=︒利用等腰三角形“三线合一”，将ADC ∆补成一个等边三角形，可知12AD AC = ②AD AB AC += 证明：由①知，12AD AC = 同理，AC 平分,120MAN MAN ∠∠=︒，60CAB ∴∠=︒，又90ABC ∠=︒，30ACB ∴∠=︒,12AB AC = AD AB AC ∴+=（2）仍成立证明：过点C 分别作,AM AN 的垂线，垂足分别为,E FAC 平分,MAN ∠CE CF ∴=，180,180ABC ADC ADC CDE ∠+∠=︒∠+∠=︒ CDE ABC ∴∠=∠又90CED CFB ∠=∠=︒()CED CFB AAS ∴∆≅∆ED FB ∴=AD AB AE ED AF FB AE AF ∴+=-++=+ 由（1）中②知AE AF AC +=AD AB AC ∴+=．。