利用导数求函数的极值
利用导数求函数的极值
求极值是微积分中一个重要而复杂的问题，导数是一种有效的方法来求解极值。导数可以通过表示函数变化的快慢和方向，为求解极值提供强有力的理论支持。
求函数的极值，可以先得到函数的导数，然后求函数的导数的零点，它们就是极值点。
求函数的导数，可以根据求导公式，逐项对函数中的每项均求导数，然后根据导数的定义，将求得的分式或分部均化为一个有理式，得到函数的导数。
求函数的导数的零点，也就是求函数的极值点的方法有很多，其中最常用的是图解法、二分法和牛顿法。
图解法是通过函数的前后变化情况来求得函数的极值点。二分法是它的原理是，取一个函数的的前后的若干点，根据导数的定义，将求得的分式或分部均化为一个有理式，经过不断的二分，得到函数的极值点。牛顿法是一种采用泰勒展开式，取相邻两个点来线性近似拟合函数，然后反复重复，直至精确求得函数的极值点。
由于极值是特定范围内函数的取值极大或极小的点，所以导数的形变的状态，也是求函数的极值的依据，根据导数的取值来判断函数的取值大小，而且，所有函数极值点都等于零点，可以通过求导数的零点来得到函数极值点。
用导数求函数的极值是一种可行的方法，它可以正确准确的得到函数极值点。总而言之，用导数求函数的极值，不仅可以准确求解函数极值点，而且还能依据函数的变化形态来判断函数的局部最值，是使用频繁的方法之一。
用导数求函数的极值..
用导数来求函数的极值 例 求下列函数的极值： 1．x x x f 12)(3-=；2．x e x x f -=2)(；3．.21 2)(2-+= x x x f 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值． 解：1．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f 令0)(='x f ，得2±=x ． 当2>x 或2-
令0)(='x f ，得1±=x ． 当1- 函数专题（导数内容为主） 彬县范公中学 张登峰 一、利用导数定义的求解 例1．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限： （1）h h a f h a f h 2) ()3(lim 0--+→?； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→? 解：（1）h h a f a f a f h a f h h a f h a f h h 2) ()()()3(lim 2)()3(lim 00 --+-+=--+→→ b a f a f h a f h a f h a f h a f h h a f a f h a f h a f h h h h 2)('21 )('23)()(lim 213)()3(lim 232)()(lim 2)()3(lim 0000=+=---+-+=--+-+=→→→→ （2）?? ????-+=-+→→h h a f h a f h a f h a f h h 22020)()(lim ) ()(lim 00)('lim ) ()(lim 0220=?=?-+=→→a f h h a f h a f h h 二、利用导数求函数的极值 例 求下列函数的极值： 1． x e x x f -=2)(；2． .6)(2--=x x x f 3. 1ln 2+=x y 解：函数定义域为R ．x x x e x x e x xe x f ----=-=')2(2)(2 令0)(='x f ，得0=x 或2=x ． 当0 利用导数求解函数的极值与最值函数的极值与最值是高中数学中的重要概念之一。在数学中，我们通过求函数的导数来研究函数的极值与最值。本文将详细讨论如何利用导数求解函数的极值与最值的方法。 一、函数的极值 当函数在某一点处的导数等于零或者不存在时，该点可能为函数的极值点。具体而言，我们可根据导数的符号变化来判断函数的极值。 1. 当导数的符号从正变负时，函数在该点处取得极大值； 2. 当导数的符号从负变正时，函数在该点处取得极小值； 3. 当导数的符号不变，或者导数不存在时，函数在该点处可能为极值点，需通过其他方法进行判断。 二、求解函数的极值的步骤 下面我们将通过一个具体的例子来介绍如何求解函数的极值。 例：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的极值。 步骤一：求导数 首先，对函数f(x)求导数，得到f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。 步骤二：解方程f'(x) = 0，得到导数等于零的解 对f'(x) = 0进行因式分解，得到(3x - 3)(x - 3) = 0。解得x = 1或x = 3。 步骤三：求解极值 将求得的解代入原函数f(x)，计算函数值。 当x = 1时，f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 4； 当x = 3时，f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 0。 根据我们上文对导数符号变化的判断方法，我们可得出以下结论：当x = 1时，函数取得极小值； 当x = 3时，函数取得极大值。 三、函数的最值 函数的最值可以通过求解函数的极值来得到。通常情况下，我们还需要考虑函数在定义域的端点处的取值。 例：求函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1在区间[0, 2]上的最大值和最小值。 步骤一：求导数 对函数f(x)求导数，得到f'(x) = 4x - 4。 步骤二：求解极值 将导数f'(x) = 0，解得x = 1。 步骤三：求解函数在区间端点处的取值 将x = 0和x = 2代入原函数f(x)，计算函数值。 当x = 0时，f(0) = 1； 求极值的方法 求极值是数学中的一个重要概念，是一种求函数取得最大值或最 小值的方法。在实际生活中，求极值是广泛应用于经济学、物理学、 工程学等领域的数学方法。本文将介绍求极值的几种常用方法，包括 导数法、二次函数法和拉格朗日乘数法。 一、导数法 导数法是求解函数极值的常用方法之一。对于一个连续可导的函数， 极值点的判断可以通过求导来实现。极大值和极小值的判定条件是函 数的导数为0或者不存在。 例如，对于函数f(x)，如果在某个点x0的导数f'(x0)等于0， 或者导数不存在，那么x0即为函数的极值点。然后我们可以通过二阶 导数的符号来判断该极值点是极大值还是极小值。若f''(x0)大于0， 那么x0为极小值点；若f''(x0)小于0，那么x0为极大值点。 二、二次函数法 对于一元二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，求 极值的方法可以使用二次函数的顶点公式。二次函数的顶点坐标可以 通过以下公式计算： x = -b / (2a) y = f(x) = -(b^2 - 4ac) / (4a) 通过计算得到的顶点坐标，可以判断二次函数的极值是极大值还 是极小值。当a大于0时，顶点即为极小值点；当a小于0时，顶点 即为极大值点。 三、拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法是一种用于求解带有约束条件的多元函数的极值的方法。在实际问题中，往往会有一些限制条件，如总成本不超过某个值、总产量达到某个目标等。这时候，不能简单地对变量进行求导，因为 约束条件将使得函数的自变量存在依赖关系。 拉格朗日乘数法的基本思想是通过引入一个拉格朗日乘子，将带 有限制条件的多元函数转化为一个无约束条件的函数。具体步骤如下：1. 建立带有约束条件的函数： F(x1, x2, ..., xn, λ) = f(x1, x2, ..., xn) + λ(g(x1, x2, ..., xn) - c) 其中，f(x1, x2, ..., xn)为目标函数，g(x1, x2, ..., xn)为约 束条件，λ为拉格朗日乘子，c为常数。 2. 对F(x1, x2, ..., xn, λ)分别对x1, x2, ..., xn求偏导数，并令其为0。 ∂F / ∂x1 = 0, ∂F / ∂x2 = 0, ..., ∂F / ∂xn = 0 3. 对约束条件进行求导，并令其为0。 ∂F / ∂λ = 0 4. 联立以上方程组，求解得到极值点。 拉格朗日乘数法可以有效地解决带有约束条件的多元函数的极值 问题，广泛应用于经济学、工程学等领域中的优化问题。 综上所述，求极值的方法包括导数法、二次函数法和拉格朗日乘 数法。导数法适用于一元函数的极值求解，通过求导和二阶导数的符 号可以判断极值类型；二次函数法适用于二次函数的极值求解，通过 计算顶点坐标可以判断极值类型；拉格朗日乘数法适用于带有约束条 件的多元函数的极值求解，通过引入拉格朗日乘子将约束条件转化为 无约束条件。这些方法在实际问题中都有广泛的应用，能够有效地求 解极值问题。 利用导数求函数极值 函数极值是数学中的一个重要概念，它描述了函数在其定义域内的 最大值和最小值。为了确定函数的极值点，我们可以使用导数的概念 和求导的方法。本文将介绍如何利用导数求函数极值。 一、导数的定义 在开始讲解之前，我们先来回顾一下导数的定义。对于函数y = f(x)，在某一点x处的导数可以表示为f'(x)，它的定义如下： f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)] / h 其中，lim表示极限，h表示一个无穷小的增量。这个极限表示的是函数在点x处的切线斜率。当导数为正时，函数呈现上升趋势；当导 数为负时，函数呈现下降趋势。而极值点就是在导数变号的地方。 二、求解极值的步骤 为了求解函数的极值，我们可以遵循以下步骤： 1. 求解导函数 首先，我们需要求解原函数的导函数。导函数是通过求原函数的导 数得到的，即将原函数中的自变量进行求导。 2. 求解导函数的零点 接下来，我们需要求解导函数的零点，即令导函数等于零，解出自 变量的值。这些零点就是可能的极值点。 3. 判断极值类型 通过对导函数的零点进行二阶导数的正负性判断，可以确定每个零点处的极值的类型。当二阶导数大于零时，表示该点为极小值；当二阶导数小于零时，表示该点为极大值。 三、举例说明 为了更好地理解如何利用导数求函数极值，我们举一个具体的例子来说明。 例题：求函数y = x^2 - 4x + 3的极值点及极值类型。 解答： 1. 求解导函数： 首先，我们需要求解原函数的导函数。对函数y = x^2 - 4x + 3求导得到导函数y' = 2x - 4。 2. 求解导函数的零点： 令导函数等于零，解方程2x - 4 = 0得到x = 2。所以x = 2是一个可能的极值点。 3. 判断极值类型： 对导函数y' = 2x - 4求二阶导数得到y'' = 2。由于二阶导数大于零，即y'' > 0，所以x = 2处为极小值。 综上所述，函数y = x^2 - 4x + 3的极值点为x = 2，为一个极小值。 专题4 利用导数研究函数的极值和最值 专题知识梳理 1.函数的极值 （1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y 极大值 =,是极大值点。如果对附近的所有的点，都 有.就说是函数的一个极小值，记作y 极小值 =，是极小值点。极大值与极 小值统称为极值. (2)判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值. (3)求可导函数f (x )的极值的步骤: ①确定函数的定义区间，求导数 ; ①求出方程的定义域内的所有实数根； ①用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值。 ①根据表格下结论并求出需要的极值。 2. 函数的最值 （1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有 ,则称为函数的最小值，记作; （2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值． （3）求函数在上的最大值与最小值的步骤： ①求在内的极值； ①将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数 在上的最值。 考点探究 )(x f x 0x 0f (x ) 求导函数的极值点 引言： 求导函数的极值点在数学中是一个重要的概念。通过求导可以 找到函数的最大值和最小值，这对于解决实际问题和优化函数具有 重要意义。本文将探讨如何求导函数的极值点。 1. 求导函数的方法： 求导是找到函数的极值点的关键步骤。常用的求导方法有以下 几种： - 使用导数定义公式 - 使用导数的基本性质和规则 - 使用微分法 2. 寻找极值点的步骤： 根据求导得到函数的导数，我们可以通过以下步骤找到极值点：- 找到导数等于零的点，这些点可能是函数的极值点。 - 对上一步中找到的点，使用二阶导数来判断是极大值点还是极小值点。 - 对二阶导数小于零的点是极大值点，二阶导数大于零的点是极小值点。 - 判断极值点的准确性可以使用求导函数的图像或者二阶导数的性质进行验证。 3. 实例应用： 下面以一个简单的实例来说明如何求导函数的极值点： 假设有一个函数 f(x) = x^2 - 4x + 3。我们的目标是找到这个函数的极值点。 - 求导数：f'(x) = 2x - 4 - 将导数等于零，解方程得到 x = 2 - 对二阶导数，f''(x) = 2，二阶导数大于零，所以 x = 2 是极小值点。 - 验证：绘制函数的图像可以看出 f(x) 在 x = 2 处有一个极小值点。 结论： 通过求导函数的方法，我们可以找到函数的极值点。这对于优化函数和解决实际问题非常有用。在实际应用中，我们可以通过二阶导数的性质来判断极值点的准确性。是一个重要的概念，要深入研究和理解。希望本文对您有所帮助！ 参考文献： [1] 高等数学教程 [2] 极值点的求法 求极值的方法与技巧 求极值（即最大值或最小值）是数学中的一个重要问题，对于实际问 题的解决非常有帮助。在解决求极值问题时，有几种方法和技巧可以帮助 我们找到最优解。 一、导数法 导数法是求取函数极值的一种重要方法。它的基本思想是通过求取函 数的导数来研究函数的增减性，从而得到函数的最值。 1.确定函数的定义域：首先需要确定函数的自变量范围，即函数是定 义在哪个区间上的。 2.求导数：对于给定的函数，求取其导函数。 3.找到导数为零的点：求解导函数等于零的方程，在这些点处函数的 导数为零，也就是函数的极值点。 4.检查极值：计算极值点的函数值，比较得出最大值或最小值。 例如，对于函数f(x)=x^2-4x+3，我们可以通过求导数的方法来求取 极值。 首先求导函数f'(x)=2x-4，然后将导函数等于零，得到方程2x-4=0，解出x=2 接下来，将x=2代入原函数中，得到f(2)=(2)^2-4(2)+3=-1 所以，函数f(x)的极小值为-1，当且仅当x=2时。 二、二次型矩阵法 对于二次型矩阵，我们可以通过计算其特征值和特征向量来求取极值。 1.构造二次型矩阵：将函数转化为一个二次型矩阵，即通过展开函数，并将其写成矩阵的形式。 2.求取特征值和特征向量：计算二次型矩阵的特征值和特征向量。 3.判断极值：根据特征值的正负情况来判断函数的极值。 如果特征值都大于零，那么函数有一个极小值。如果特征值都小于零，那么函数有一个极大值。如果特征值既有正数又有负数，那么函数没有极值。 三、拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法是一种求解约束问题的极值方法，可用于求解带有约 束条件的极值问题。 1.确定函数和约束条件：首先需要将函数和约束条件写出来。 2.构造拉格朗日函数：将约束条件乘以一个拉格朗日乘子，并与原函 数相加，形成一个新的函数。 3.求取梯度：对构造的拉格朗日函数求取梯度，得到等于零的方程组。 4.解方程组：求解方程组，得到自变量的值。 5.检查极值：将求得的自变量代入原函数中，求取函数的极值。 这种方法常常应用于有约束条件的最优化问题，例如求解最大面积、 最小周长等问题。 在实际问题中，还可以利用图像的性质和变化趋势来判断函数的极值。此外，还有一些其他的数学工具和技巧，如泰勒展开、微分方程方法等， 考点：利用导数求函数的单调性、极值、最值 知识点 1.求函数单调区间的步骤： ①确定f(x)的定义域；②求导数y ′；③令y ′>0(y ′<0),解出相应的x 的范围。当y ′>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y ′<0时，f(x)在相应区间上是减函数 2.求极值常按如下步骤： ① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程/y =0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。 3.设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b ）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下： ①求f(x)在(a,b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 4.最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。 5.求函数f (x )的极值的步骤: ①确定函数的定义区间，求导数f ′(x )；②求方程f ′(x )=0的根 ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列表.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，若左正右负，则f (x )在这个根处取得极大值；若左负右正，则f (x )在这个根处取得极小值；若左右不改变符号即都正或都负，则f (x )在这个根处无极值 例题 1. 函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间为_______________． 2. 讨论下列函数的单调性： （1）x x a a x f --=)(（0>a 且1≠a ）； （2）)253(log )(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）； 3.求下列函数的极值： （1）x x x f 12)(3-=；（2）x e x x f -=2)(；（3）.21 2)(2-+=x x x f 练习 1.下列说法正确的是（ ） A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值 B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值 C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值 D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 求极值的方法和步骤 求极值是高等数学中的一个重要概念。它是指在一个函数或者一组数据中，寻找出最大值或最小值的过程。求极值的方法有很多种，下面将为大家介绍一下求极值的常见方法和步骤。 1. 寻找导数为0的点 对于一个单变量函数，函数最大值和最小值一定在导数为0的点处出现。因此，我们可以通过求导数来找到函数的最大值和最小值。 具体的做法是，先对函数进行求导，然后令导数等于0，解出方程的根，即可找到函数的极值点。不过需要注意的是，只有在导数的定义域中导数为0的点才是函数的极值点。 2. 利用函数的性质 对于一些特殊的函数，我们可以利用它们的性质来求其极值。比如，对于一个凸函数，其极小值出现在函数的两个端点处；对于一个连续函数，其极值只可能出现在其定义域的端点处或者导数为0的点处。 此外，对于一些函数，我们还可以通过对函数图像的观察来判断其极值点的位置，这需要我们具备一定的直觉和分析能力。 3. 利用拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法是一种常用的优化方法，可以用来求解带有约束 条件的优化问题。在求极值问题中，我们可以用拉格朗日乘数法来解 决导数为0但不满足约束条件的问题。 具体的做法是，将约束条件转化为一个方程，然后构造拉格朗日 函数，利用导数为0的条件来确定极值点的位置，最后再将这些极值 点和约束条件代入原函数中，求出最终的极值点。需要注意的是，拉 格朗日乘数法只适用于带有等式约束的优化问题。 通过以上三种方法，我们可以较为全面、准确地找到函数的极值点。在具体应用中，我们需要根据具体问题的特点来选择合适的方法，同时还需要注意对计算过程中可能出现的误差进行调整和处理，保证 结果的可靠性。 利用导数解决函数极值问题的技巧在数学中，函数极值问题是一个重要的概念，它可以帮助我们找到函数在某个区间内的最大值或最小值。导数的应用使这一过程变得更加简单和高效。本文将介绍一些利用导数解决函数极值问题的技巧。 1. 极值点的定义 在深入讨论如何利用导数解决函数极值问题之前，我们首先来了解一下什么是极值点。对于一个函数f(x)，如果在某一点a处，它的函数值f(a)是在函数的邻域内最大值或最小值，那么我们称a为函数f(x)的极值点。极大值点指函数在该点处取得最大值，而极小值点指函数在该点处取得最小值。 2. 导数与极值点之间的关系 在解决函数的极值问题时，导数是非常重要的工具。导数能够告诉我们函数在某一点处的斜率，也就是函数值的变化速率。在函数的极值点，导数的值为零或不存在。 3. 利用导数求取极值点的步骤 3.1 求取函数的导数 首先，我们需要求取给定函数的导数。导数代表了函数的变化趋势，通过求导，我们可以得到函数的斜率函数。 3.2 导数的根与极值点 导数函数的零点或不存在的点是我们寻找极值点的关键。当导 数为零时，函数的斜率为零，这意味着函数在该点的增长或减少的速 度变为了0。因此，导数为零的点有可能是函数的极值点。 此外，当导数不存在时，也需要进一步研究该点是否是极值点。导数不存在意味着函数在该点处的切线斜率无限大或无限小，也可能 代表极值点的存在。 3.3 寻找极值点 找到导数为零或不存在的点后，我们需要通过进一步的计算来 判断其是否为极值点。一种简单的方法是求取二阶导数，即求取一阶 导数的导数。如果二阶导数大于0，那么此点为极小值点；如果二阶导数小于0，那么此点为极大值点；如果二阶导数等于0，那么无法得出 明确的结论。 此外，我们还可以通过绘制函数的图像来验证求得的极值点， 并进一步分析函数在其他区间的变化情况。 4. 实例演示 以函数f(x) = x^3-3x为例来演示如何利用导数解决函数极值问题。 4.1 求取函数的导数 f'(x) = 3x^2-3 4.2 导数的根与极值点 令3x^2-3=0，解得x=±1。 导数极值求解技巧 导数是微积分中的基本概念，它描述了函数在特定点上的变化率。在求解极值问题时，导数是非常有用的工具。本文将介绍一些求解导数极值的技巧。 一、确定定义域 在求解极值问题时，首先需要确定函数的定义域。定义域是函数取值有效的范围，只有在定义域内的点才能进行求导和求解极值。 二、求导数 对于给定的函数，我们首先需要求其导数。求导的过程可以使用以下几种方法： 1. 利用基本导数公式 对于基本的函数，有一些常用的导数公式可以用来求导。例如，对于常数函数f(x) = c，导数f'(x) = 0；对于幂函数f(x) = x^n，导数f'(x) = nx^(n-1)。 2. 利用求导法则 求导法则是一些规则，它们描述了如何对给定函数进行求导。例如，对于和、差、乘积、商的函数，可以使用和差法则、乘积法则和商法则来求导。 3. 利用链式法则 链式法则是一个复合函数求导的方法。对于复合函数f(g(x))，它的导数可以通过求外函数f(x)和内函数g(x)的导数，并进行相应的运算得到。 4. 利用隐函数求导 对于含有隐含变量的方程，可以使用隐函数求导的方法来求导。该方法利用了导数的定义和隐函数的关联关系来求导。 三、找到导数为零的点 极值点处的导数为零。因此，在求解极值问题时，我们需要找到导数为零或不存在的点，这些点被称为临界点。 1. 求解导数的零点 找出导数为零的点是求解极值问题的关键。这些点被称为临界点或关键点。在求解导数的零点时，可以使用微积分中的求根方法，如二分法、牛顿法等。 2. 检查导数的不存在点 除了导数为零的点外，还需要检查导数不存在的点。在求解极值问题时，导数不存在的地方往往也是极值点。导数不存在的原因可能是由于函数有间断点、驻点、奇异点等。 四、应用极值点的二阶导数来判断 在已找到极值点的情况下，可以使用二阶导数来判断极值点的类型。二阶导数可以告诉我们极值点是局部最大、局部最小还是拐点。 1. 当二阶导数大于零时，极值点为局部最小。 用导数来求函数的极值 例 求下列函数的极值： 1．x x x f 12)(3-=；2．x e x x f -=2)(；3．.21 2)(2-+=x x x f 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值． 解：1．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f 令0)(='x f ，得2±=x ． 当2>x 或2- ∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是减函数； 当11<<-x 时，0)(>'x f ， ∴函数)(x f 在（－1，1）上是增函数． ∴当1-=x 时，函数取得极小值3)1(-=-f ， 当1=x 时，函数取得极大值.1)1(-=f 说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意0)(0='x f 只是函数 )(x f 在0x 处有极值的必要条件， 如果再加之0x 附近导数的符号相反，才能断定函数在0x 处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误． 复杂函数的极值 例 求下列函数的极值： 1．)5()(32-=x x x f ；2．.6)(2--=x x x f 分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数)(x f 的定义域内寻求可能取到极值的"可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点就是函数)(x f 在定义内可能取到极值的全部"可疑点”． 解：1．.3)2(533)5(2)5(32 )(33323x x x x x x x x x f -=+-=+-=' 令0)(='x f ，解得2=x ，但0=x 也可能是极值点． 当0 利用导数求函数的极值 课程目标 知识提要 利用导数求函数的极值 ∙函数的极值定义 已知函数，设是定义域内任一点，如果对附近的所有点，都有成立，则称函数在点处取得极大值，记作 极大 并把称为函数的一个极大值点．如果在附近都有成立，则称函数在点处取得极小值，记作 极小 并把称为函数的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值（extreme value）．极大值点与极小值点统称为极值点．注：可导函数在点取得极值的充分必要条件是，且在左侧与右侧，的符号不同． ∙函数极值的判定 设函数在处连续，判别是极大（小）值的方法是： （1）如果在两侧符号相同，则不是的极值点． （2）如果在附近的左侧，右侧，那么，是极大值． （3）如果在附近左侧，右侧，那么，是极小值． 求可导函数极值的步骤 （1）求导数； （2）求方程的根； （3）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值． 精选例题 利用导数求函数的极值 1. 函数取得极小值时，的值是． 【答案】 【分析】， 令，得． 令，得或． 所以函数在，上递减，在上递增． 所以当时，函数取得极小值． 2. 若时，函数有极值，则值的为．【答案】 3. 已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是．【答案】 【分析】，由题意可知有两个不等的根， 所以． 4. 已知函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围是． 【答案】 5. 已知函数在处取得极值，若，则的最小值为． 【答案】 【分析】求导得，由在处取得极值知，即 ，故． 由此可得，． 由此可得在上单调递减，在上单调递增， 所以对时，． 6. 设，若在处取得极值，则的值为．【答案】 【分析】由题意知，的定义域为， 且， 又由题意得，则，得． 7. 若函数的图象与直线有个交点，则的取值范围是． 【答案】 8. 已知函数在处取得极值，则的值 为． 【答案】 【分析】由即可求出和． 9. 已知函数的导数，若在处取到极大值，则的取值范围是． 【答案】 【分析】由已知得：当时，；当时，． 当时，结合导数图象可知，在处取到极小值，不符合题意； 当时，若在处取到极大值，则需，的取值范围是． 10. 若函数的极大值是，则． 【答案】利用导数求函数的极值
利用导数求解函数的极值与最值
求极值的方法
利用导数求函数极值
中学数学 利用导数研究函数的极值和最值(含答案)
求导函数的极值点
求极值的方法与技巧
考点 利用导数求函数的单调性、极值、最值
求极值的方法和步骤
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导数极值求解技巧
用导数求函数的极值
高中数学教案-利用导数求函数的极值