利用导数求函数的极值
用导数求函数的最大值与最小值-2023年学习资料
观察下面函数y=fc在区间[a,b]上的图象，回答：-1在哪一点处函数y=fx有极大值和极小值？-极大：x x1x=X3x=x5-极小：x=x2x=x4-2函数y=fx在[a,b]上有最大值和最小值吗？如果有，-最 值和最小值分别是什么？-ymnx =fx3-y=fo-ymin =fx-:-1x29x3-xsb
练习：-如果函数fx=ax5-bx3+ca≠0在-x=±1时有极值，极大值为4，极小值为0，-试求a,b, 的值-提示：y'=5ax4-3bx2由y'=0.得-x25ax2-3b=0-.x=±1是极值点，∴.5ab=0-又x2=0-∴.x=0,x=土1可能是极值点。
练习：-如果函数fx=x5-bx3+ca≠0在x=士1-时有极值，极大值为4，极小值为0，试求a,b,c值-若a>0,y'=5ax2x2-1.由x,y,y'的变化得-X--00,-1--1,0-0,1-1,+∞ f'x-无极值--a+b+c=4-a-b+c=0-b=5-5a=3b-c=2
练习：-如果函数fx=ax5-bx3+ca≠0在x=士1-时有极值，极大值为4，极小值为0，试求a,b,c 的值-若a<0,y'=5ax2x2-1.由x,y,y'的变化得-a=-3-b=-5-c=2
练习3：-求函数y=x3-3ax+2a>0的极值，并问方程-x3-3ax+2=0何时有三个不同的实根？-何 有连个根？有唯一的实根？-,a>0,y'=3x2-3a.由x,y,y'的变化得-X--w,-a-a,a-√ ,+-f'x-fx-极大-极小
一般地，在闭区间[α，b]上的连续函数fx必有最大值与最小值-在开区间a,b内的连续函数fx不一定有最大值 最小值.-=x-y=f-若函数x在所给的区间I内有唯一的极值，则它是函数的-最值
导数极值点
导数极值点极值点，也称为极大值点或极小值点，是指函数f(x)在定义域内某个点处的导数f(x)为0，或在极限计算中导数存在于该点处但不等于0的点。
极值点可以分为极大值点和极小值点，当某点x的函数值大于任意更接近该点的其他点时，此点称为极大值点；而当某点x 的函数值小于接近该点的任何其他点时，此点称为极小值点。
从函数的角度来看，对于极值点的求解，可以考虑函数的导数。
在高等数学中，函数的导数是一种测量函数变化速度的量，其实质是表示某函数在某指定点处的“斜率”，它是描述函数变化情况的量，即当函数增加时，对应点的斜率增加，当函数减少时，对应点的斜率减少。
当导数为零时，意味着此处斜率等于零，也就是此处函数不再变化，此点即为极值点。
利用求导法求解极值点的方法，一般可以总结如下：（1）求出函数f(x)的导数f(x)；（2）令f(x)=0，求解得出x的值；（3）代入到f(x)中，得到极值的值。
对于一元函数来说，求极值点的关键步骤即为求导数，需要利用求导数公式及一些极值性质，如直线函数、二次函数、三次函数、反比例函数、对数函数及指数函数等各类函数的求导数公式都有所不同。
另外，在求极值点的过程中，需要注意两个特性：单调性和连续性。
单调性是指函数在任意点处的导数是函数单调递增或单调递减的，这也是求极值点的关键。
连续性是指函数在任一处都可以获得某种定义，否则函数极值将无效。
以上所述，可以总结出求极值点的基本思路：（1）首先，根据函数形式，求出函数的导数；（2）然后，令导数等于零，求解出极值点；（3）最后，代入函数，求出极值的值。
求解极值点的方法，是高等数学中较为重要的知识点之一，它不仅可以帮助我们求解实际问题，而且在理解函数特性及求解运动轨迹等问题中也有不可替代的作用。
例如，在计算内爆炸和内摩擦力时，可考虑函数的极值点作为定值；在运动的抛物线轨迹计算中，可根据函数的极值点，求出物体的最大高度和最大运动距离，等等，都离不开极值点的概念。
2020版数学(理)人教A版新设计大一轮课件：第三章 第2节 第2课时 利用导数研究函数的极值、最值
(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a＝1－xax(x>0). 当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当 a>0 时，当 x∈0，1a时，f′(x)>0， 当 x∈1a，＋∞时，f′(x)<0，故函数在 x＝1a处有极大值. 综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点， 当 a>0 时，函数 y＝f(x)有一个极大值点，且为 x＝1a.
解 (1)当 a＝12时，f(x)＝ln x－12x，函数的定义域为(0，＋∞)且 f′(x)＝1x－12＝2
令f′(x)＝0，得x＝2， 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
x
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
ln 2－1
故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值.
当 0<v<103 2时，y′<0，函数单调递减；
当 v>103 2时，y′>0，函数单调递增.
若 c<103 2 ，函数在(c，103 2)上单调递减，在(103 2，15)上单调递增， ∴当 v＝103 2时，总用氧量最少. 若 c≥103 2，则 y 在[c，15]上单调递增， ∴当v＝c时，这时总用氧量最少.
综上可知，a 的取值范围是12，＋∞.
考点二 利用导数求函数的最值 【例2】 (2019·广东五校联考)已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数.
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值. 解 (1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当 a＝－1 时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋1x＝1－x x， 令f′(x)＝0，得x＝1. 当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0. ∴f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数. ∴f(x)max＝f(1)＝－1.∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
导数与极值题型总结(含答案)
导数与极值一．知识梳理知识点一函数的极值点和极值思考观察函数y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．梳理(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．知识点二函数极值的求法与步骤(1)求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数f(x)的极值的步骤①确定函数的定义区间，求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③列表；④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．知识点三1．极小值点与极小值(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，并且f′(a)＝0.(2)符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.(3)结论：点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值． 2．极大值点与极大值(1)特征：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，并且f ′(b )＝0.(2)符号：在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0.(3)结论：点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值． 3．用导数求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )；(3)求出方程f ′(x )＝0在定义域内的所有实根，并将定义域分成若干个子区间；(4)以表格形式检查f ′(x )＝0的所有实根两侧的f ′(x )是否异号，若异号则是极值点，否则不是极值点.二．题型探究类型一 求函数的极值点和极值 命题角度1 不含参数的函数求极值 例1 求下列函数的极值． (1)f (x )＝2x x 2＋1－2；(2)f (x )＝ln xx .考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 解 (1)函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. (2)函数f (x )＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗因此，x ＝e 是函数的极大值点，极大值为f (e)＝1e ，没有极小值．跟踪训练1 求下列函数的极值点和极值． (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝x 2e －x .考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 解 (1)f ′(x )＝x 2－2x －3. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极大值，且极大值f (－1)＝143，当x ＝3时，函数有极小值，且极小值f (3)＝－6. (2)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x . 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝2时，函数有极大值，且极大值为f (2)＝4e －2. 命题角度2 含参数的函数求极值例2 已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，当实数a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值．考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 含参数求极值问题解 f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2， 由a ≠23知－2a ≠a －2.分以下两种情况讨论： ①若a >23，则－2a <a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，－2a )，(a －2，＋∞)上是增函数，在(－2a ，a －2)上是减函数，函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a，函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a－2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2. ②若a <23，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，a －2)，(－2a ，＋∞)上是增函数，在(a －2，－2a )上是减函数，函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2，函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e－2a.跟踪训练2 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 含参数求极值问题解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1.所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0，知①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值． 类型二 利用函数的极值求参数例3 (1)已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)D ．(－1,0)(2)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a ＝________，b ＝________. 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值点求参数 答案 (1)D (2)2 9解析 (1)若a <－1，因为f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，－1)上单调递增， 所以f (x )在x ＝a 处取得极小值，与题意不符；若－1<a <0，则f (x )在(－1，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减，从而在x ＝a 处取得极大值．若a >0，则f (x )在(－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D. (2)因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数， 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1处取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.跟踪训练3 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值点求参数 解 (1)∵f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ， ∴f ′(x )＝ax＋2bx ＋1，∴f ′(1)＝f ′(2)＝0，∴a ＋2b ＋1＝0且a2＋4b ＋1＝0，解得a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)可知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x ，且定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1＝－(x －1)(x －2)3x.当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0.故x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点. 类型三 由极值的存在性求参数的范围例1 (1)若函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，则实数a 的取值范围为________．(2)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0,1)D ．(0，＋∞)考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题答案 (1)(－∞，1) (2)B解析 (1)f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意，得方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a >0，解得a <1. (2)∵f (x )＝x (ln x －ax )，∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，且f (x )有两个极值点， ∴f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点， 令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x ，设g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln xx2，∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0， 而g (x )max ＝g (1)＝1， ∴只需0<2a <1，即0<a <12.跟踪训练1 已知函数f (x )＝1＋ln x x，若函数在区间⎝⎛⎭⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值，求实数a 的取值范围．考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 解 ∵f (x )＝1＋ln xx ，x >0，则f ′(x )＝－ln xx2.当0<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0. ∴f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴函数f (x )在x ＝1处取得极大值．∵函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ＋12>1，解得12<a <1.即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.类型四 利用函数极值解决函数零点问题例2 (1)函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象与直线y ＝a 恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是________．考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 答案 ⎝⎛⎭⎫－43，283 解析 ∵f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝－2时，函数取得极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，函数取得极小值f (2)＝－43.且f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示， 结合图象知－43<a <283.(2)已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13 f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围． 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，13 f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m .则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m的图象与x 轴有三个不同的交点． ∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)， 令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：则函数g (x )的极大值为g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m .由y ＝f (x )的图象与y ＝13 f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同交点， 得⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m >0，g (4)＝－16－m <0，解得－16<m <6827.即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－16，6827. 反思与感悟 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．跟踪训练2 若2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 解 令g (x )＝2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ，则g ′(x )＝2x ＋2－2x －1＝－2x ⎝⎛⎭⎫x ＋52x ＋2(x >－2)．当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：由上表可知，函数在x ＝0处取得极大值，极大值为g (0)＝2ln 2＋b .结合图象(图略)可知，要使g (x )＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，只需⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≤0，g (0)>0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0，2ln 2＋b >0，2ln 3－2＋b ≤0，所以－2ln 2<b ≤2－2ln 3.故实数b 的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]．达标测试1．下列四个函数中，能在x ＝0处取得极值的函数是( ) ①y ＝x 3； ②y ＝x 2＋1； ③y ＝|x |； ④y ＝2x . A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①③考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 B解析 ①④为单调函数，无极值．2．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3D ．－1，－3考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值求参数 答案 A解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3. 3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．(－1,2)B ．(－3,6)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 D解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6.因为函数f (x )既有极大值又有极小值，所以Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)>0，解得a >6或a <－3.4．已知曲线f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23是y ＝f (x )的极值点，则a ＋b ＝________.考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值(点)求参数答案 －2解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3，f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝3，43＋43a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，则a ＋b ＝－2. 5．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋4，讨论方程f (x )＝m 的解的个数． 考点 函数极值的综合应用题点 函数零点与方程的根解 由题意知，f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )极小值＝f (2)＝－12，f (x )极大值＝f (－2)＝20.又因为f (x )的定义域是R ，画出函数图象(图略)，所以当m >20或m <－12时，方程f (x )＝m 有一个解；当m ＝20或m ＝－12时，方程f (x )＝m 有两个解；当－12<m <20时，方程f (x )＝m 有三个解．。
用导数求函数的极值 (2)
用导数来求函数的极值例 求下列函数的极值:1.x x x f 12)(3-=；2.x e x x f -=2)(;3．.212)(2-+=x x x f 分析:按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点,然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．解：1.函数定义域为Ｒ.).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f令0)(='x f ，得2±=x .当2>x 或2-<x 时,0)(>'x f ，∴函数在()2,-∞-和()+∞,2上是增函数；当22<<-x 时，0)(<'x f ,∴函数在(-２,2）上是减函数．∴当2-=x 时,函数有极大值16)2(=-f ,当2=x 时,函数有极小值.16)2(-=f２.函数定义域为Ｒ．x x x e x x e x xex f ----=-=')2(2)(2令0)(='x f ,得0=x 或2=x .当0<x 或2>x 时,0)(<'x f ,∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是减函数；当20<<x 时，0)(>'x f ,∴函数)(x f 在(０,2）上是增函数．∴当0=x 时，函数取得极小值0)0(=f ,当2=x 时，函数取得极大值24)2(-=e f ．3．函数的定义域为R ． .)1()1)(1(2)1(22)1(2)(22222++-=+⋅-+='x x x x x x x x f令0)(='x f ,得1±=x .当1-<x 或1>x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是减函数；当11<<-x 时，0)(>'x f ,∴函数)(x f 在(－1，1)上是增函数.∴当1-=x 时,函数取得极小值3)1(-=-f ，当1=x 时，函数取得极大值.1)1(-=f说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性.解答本题时应注意0)(0='x f 只是函数)(x f 在0x 处有极值的必要条件,如果再加之0x 附近导数的符号相反，才能断定函数在0x 处取得极值.反映在解题上,错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．复杂函数的极值例 求下列函数的极值: 1.)5()(32-=x x x f ；2..6)(2--=x x x f分析:利用求导的方法,先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数)(x f 的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外,还必须确定函数定义域内所有不可导的点.这两类点就是函数)(x f 在定义内可能取到极值的全部“可疑点"．解:1..3)2(533)5(2)5(32)(33323xx x x x x x x x f -=+-=+-=' 令0)(='x f ,解得2=x ,但0=x 也可能是极值点.当0<x 或2>x 时，0)(>'x f ,∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是增函数；当20<<x 时,0)(<'x f ,∴函数)(x f 在(0,2)上是减函数．∴当0=x 时，函数取得极大值0)0(=f ,当2=x 时,函数取得极小值343)2(-=f .2．⎪⎩⎪⎨⎧<<-++-≥-≤--),32(,6),32(,6)(22x x x x x x x x f 或 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=<<-+->-<-').32(,),32(,12),32(,12)(x x x x x x x x f 或不存在或令0)(='x f ,得21=x . 当2-<x 或321<<x 时,0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在()2,-∞-和⎪⎭⎫⎝⎛3,21上是减函数;当3>x 或212<<-x 时，0)(>'x f , ∴函数)(x f 在()+∞,3和⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,2上是增函数.∴当2-=x 和3=x 时，函数)(x f 有极小值0， 当21=x 时,函数有极大值425． 说明:在确定极值时,只讨论满足0)(0='x f 的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的．在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值．本题1中0=x 处,2中2-=x 及3=x 处函数都不可导，但)(x f '在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法,函数)(x f 在这些点处仍取得极值.从定义分析,极值与可导无关.根据函数的极值确定参数的值例 已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ．1．试求常数a 、b 、c 的值;2.试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由．分析:考察函数)(x f 是实数域上的可导函数,可先求导确定可能的极值点,再通过极值点与导数的关系，即极值点必为0)(='x f 的根建立起由极值点1±=x 所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数a 、b 、ｃ的值.解：1．解法一:c bx ax x f ++='23)(2.1±=x 是函数)(x f 的极值点,∴1±=x 是方程0)(='x f ，即0232=++c bx ax 的两根，由根与系数的关系，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-）（）（2 ,131 ,032ac a b 又1)1(-=f ，∴1-=++c b a , (３)由（1）、（２)、(3)解得23,0,21-===c b a . 解法二:由0)1()1(='=-'f f 得023=++c b a ， (１)023=+-c b a （2)又1)1(-=f ，∴1-=++c b a , （3）解（1）、(２)、(3)得23,0,21-===c b a ． 2．x x x f 2321)(3-=,∴).1)(1(232323)(2+-=-='x x x x f 当1-<x 或1>x 时,0)(>'x f ，当11<<-x 时，.0)(<'x f∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是增函数,在(-１,１)上是减函数．∴当1-=x 时，函数取得极大值1)1(=-f ,当1=x 时,函数取得极小值1)1(-=f .说明:解题的成功要靠正确思路的选择.本题从逆向思维的角度出发,根据题设结构进行逆向联想,合理地实现了问题的转化,使抽象的问题具体化,在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向．可见出路在于“思想认识".在求导之后，不会应用0)1(=±'f 的隐含条件,因而造成了解决问题的最大思维障碍．利用导数求函数的极值例 求下列函数的极值：1.x x x f 12)(3-=；２.x e x x f -=2)(;3．.212)(2-+=x x x f 分析:按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.解：1．函数定义域为R.).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f令0)(='x f ，得2±=x ．当2>x 或2-<x 时,0)(>'x f ,∴函数在()2,-∞-和()+∞,2上是增函数；当22<<-x 时,0)(<'x f ,∴函数在(－2，2）上是减函数．∴当2-=x 时，函数有极大值16)2(=-f ，当2=x 时，函数有极小值.16)2(-=f2.函数定义域为Ｒ．x x x e x x e x xe x f ----=-=')2(2)(2令0)(='x f ，得0=x 或2=x .当0<x 或2>x 时,0)(<'x f ，∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是减函数；当20<<x 时,0)(>'x f ,∴函数)(x f 在（0，２）上是增函数.∴当0=x 时,函数取得极小值0)0(=f ，当2=x 时,函数取得极大值24)2(-=e f .３.函数的定义域为R ． .)1()1)(1(2)1(22)1(2)(22222++-=+⋅-+='x x x x x x x x f 令0)(='x f ,得1±=x ．当1-<x 或1>x 时,0)(<'x f ,∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是减函数;当11<<-x 时，0)(>'x f ,∴函数)(x f 在（-１，1）上是增函数.∴当1-=x 时，函数取得极小值3)1(-=-f ,当1=x 时,函数取得极大值.1)1(-=f说明:思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中,要全面、系统地考虑问题,注意各种条件 综合运用,方可实现解题的正确性.解答本题时应注意0)(0='x f 只是函数)(x f 在0x 处有极值的必要条件，如果再加之0x 附近导数的符号相反,才能断定函数在0x 处取得极值.反映在解题上,错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．复杂函数的极值例 求下列函数的极值：1．)5()(32-=x x x f ；2..6)(2--=x x x f分析:利用求导的方法，先确定可能取到极值的点,然后依据极值的定义判定．在函数)(x f 的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”,除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点.这两类点就是函数)(x f 在定义内可能取到极值的全部“可疑点＂．解:１．.3)2(533)5(2)5(32)(33323xx x x x x x x x f -=+-=+-=' 令0)(='x f ,解得2=x ，但0=x 也可能是极值点.当0<x 或2>x 时，0)(>'x f ,∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是增函数；当20<<x 时，0)(<'x f ,∴函数)(x f 在（０,2)上是减函数.∴当0=x 时,函数取得极大值0)0(=f ,当2=x 时,函数取得极小值343)2(-=f ．2．⎪⎩⎪⎨⎧<<-++-≥-≤--),32(,6),32(,6)(22x x x x x x x x f 或 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=<<-+->-<-').32(,),32(,12),32(,12)(x x x x x x x x f 或不存在或令0)(='x f ,得21=x . 当2-<x 或321<<x 时,0)(<'x f , ∴函数)(x f 在()2,-∞-和⎪⎭⎫⎝⎛3,21上是减函数;当3>x 或212<<-x 时，0)(>'x f ， ∴函数)(x f 在()+∞,3和⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,2上是增函数.∴当2-=x 和3=x 时，函数)(x f 有极小值０, 当21=x 时，函数有极大值425． 说明:在确定极值时,只讨论满足0)(0='x f 的点附近的导数的符号变化情况,确定极值是不全面的．在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值.本题１中0=x 处,２中2-=x 及3=x 处函数都不可导，但)(x f '在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法,函数)(x f 在这些点处仍取得极值.从定义分析,极值与可导无关.根据函数的极值确定参数的值例 已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ．1．试求常数ａ、b 、c 的值;2.试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值,并说明理由．分析:考察函数)(x f 是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为0)(='x f 的根建立起由极值点1±=x 所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数a 、b 、c 的值.解：1．解法一：c bx ax x f ++='23)(2.1±=x 是函数)(x f 的极值点,∴1±=x 是方程0)(='x f ,即0232=++c bx ax 的两根,由根与系数的关系，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-）（）（2 ,131 ,032ac a b 又1)1(-=f ,∴1-=++c b a ， （3）由(１)、(2)、(3）解得23,0,21-===c b a . 解法二:由0)1()1(='=-'f f 得023=++c b a , （1)023=+-c b a (2）又1)1(-=f ，∴1-=++c b a ， (３)解(1）、（２）、(3)得23,0,21-===c b a . 2．x x x f 2321)(3-=,∴).1)(1(232323)(2+-=-='x x x x f 当1-<x 或1>x 时,0)(>'x f ，当11<<-x 时，.0)(<'x f∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是增函数,在(-1，1)上是减函数．∴当1-=x 时，函数取得极大值1)1(=-f ，当1=x 时，函数取得极小值1)1(-=f .说明:解题的成功要靠正确思路的选择.本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想,合理地实现了问题的转化,使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向．可见出路在于“思想认识".在求导之后,不会应用0)1(=±'f 的隐含条件,因而造成了解决问题的最大思维障碍．利用导数求函数的单调性例 讨论下列函数的单调性:１.x x a a x f --=)((0>a 且1≠a )；２．)253(log )(2-+=x x x f a (0>a 且1≠a )；３．)0,11(1)(2≠<<--=b x x bx x f . 分析:利用导数可以研究函数的单调性,一般应先确定函数的定义域,再求导数)(x f ',通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内)(x f '的符号,来确定函数)(x f 在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时,分类讨论难于避免,不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性．解： 1．函数定义域为R ．).(ln )(ln ln )(x x x x a a a x a a a a x f --+='-⋅⋅-='当1>a 时，.0)(,0,0ln >'∴>+>-x f a a a x x∴函数)(x f 在),(+∞-∞上是增函数．当10<<a 时，.0)(,0,0ln <'∴>+<-x f a a a x x∴函数)(x f 在),(+∞-∞上是减函数.２.函数的定义域是31>x 或.2-<x )2)(13(log )56()253(253log )(22+-+='-+⋅-+='x x e x x x x x e x f a a ①若1>a ,则当31>x 时，0)2)(13(,056,0log >+->+>x x x e a , ∴0)(>x f ,∴函数)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31上是增函数； 当2-<x 时,0)(<'x f ,∴函数)(x f 在()2,-∞-上是减函数②若10<<a ，则当31>x 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31上是减函数; 当2-<x 时，0)(>'x f ,∴函数)(x f 在()2,-∞-上是增函数３．函数)(x f 是奇函数，只需讨论函数在(0,1）上的单调性 当10<<x 时，2222)1()1()1()(-'-⋅--⋅'⋅='x x x x x b x f222)1()1(-+-=x x b 若0>b ，则0)(<'x f ,函数)(x f 在(０,1)上是减函数；若0<b ，则0)(>'x f ，函数)(x f 在（０，1)上是增函数．又函数)(x f 是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性.所以当0>b 时,函数)(x f 在(-1，１)上是减函数,当0<b 时，函数)(x f 在(－１，１）上是增函数.说明：分类讨论是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部问题,在每一个局部问题中,原先的“不确定因素”不再影响问题的解决,当这些局部问题都解决完时,整个问题也就解决了.在判断含参数函数的单调性时,不仅要考虑到参数的取值范围,而且要结合函数的定义域来确定)(x f '的符号,否则会产生错误判断．分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力．利用导数求函数的单调区间例 求下列函数的单调区间：1.32)(24+-=x x x f ;2.22)(x x x f -=；3．).0()(>+=b x b x x f 分析:为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时,也必须先求出函数的定义域,然后再求导判断符号,以避免不该出现的失误．解:1.函数)(x f 的定义域为Ｒ,x x x x x x f )1)(1(44)(4+-=-='令0)(>'x f ,得01<<-x 或1>x ．∴函数)(x f 的单调递增区间为(－1,0）和),1(+∞；令0)(<'x f ，得1-<x 或10<<x ，∴函数)(x f 的单调递减区间为)1,(--∞和（0，1).２．函数定义域为.20≤≤x .2122)2()(222x x x x x x x x f --=-'-='令0)(>'x f ,得10<<x ．∴函数)(x f 的递增区间为(0,1）;令0)(<'x f ,得21<<x ,∴函数)(x f 的单调递减区间为(１,２).3．函数定义域为).)((11)(,022b x b x x x b x f x +-=-='≠ 令0)(>'x f ,得b x >或b x -<．∴函数)(x f 的单调递增区间为),(b --∞和),(+∞b ;令0)(<'x f ,得b x b <<-且0≠x ,∴函数)(x f 的单调递减区间是)0,(b -和),0(b ．说明:依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题,如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐,区间难以找准.学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增(或递减)区间写成并集的形式,如将例1函数)(x f 的单调递增区间和递减区间分别写成),1()0,1(+∞- 和)1,0()1,( --∞ 的错误结果．这里我们可以看出,除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用.求解析式并根据单调性确定参数例 已知c x x f +=2)(，且).1()]([2+=x f x f f1.设)]([)(x f f x g =,求)(x g 的解析式；2．设)()()(x f x g x λϕ-=，试问：是否存在实数λ,使)(x ϕ在()1,-∞-内为减函数，且在(－1，0)内是增函数．分析:根据题设条件可以求出)(x ϕ的表达式，对于探索性问题,一般先对结论做肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证,由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程,由于函数)(x ϕ是可导函数,因此选择好解题的突破口,要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数λ的取值范围,使问题获解．解：1.由题意得c c x c x f x f f ++=+=222)()()]([,)1()]([.)1()1(2222+=++=+x f x f f c x x f ，∴.1,1,)1()(222222=∴+=+∴++=++c x c x c x c c x∴.1)1()1()]([)(,1)(2222++=+==+=x x f x f f x g x x f2．)2()2()()()(24λλλϕ-+-+=-=x x x f x g x .若满足条件的λ存在,则.)2(24)(3x x x λϕ-+='∵函数)(x ϕ在()1,-∞-内是减函数，∴当1-<x 时,0)(<'x ϕ,即0)2(243<-+x x λ对于)1,(--∞∈x 恒成立.∴.44,1,4)2(222-<-∴-<∴->-x x x λ∴4)2(2-≥-λ，解得4≤λ.又函数)(x ϕ在(-１，0）上是增函数,∴当01<<-x 时,0)(>'x ϕ即0)2(243>-+x x λ对于)0,1(-∈x 恒成立，∴.044,01,4)2(222<<-∴<<--<-x x x λ∴4)2(2-≤-λ，解得4≥λ．故当4=λ时,)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数,在（－1,0)上是增函数,即满足条件的λ存在．说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式,它包含着运动、变化,也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系.因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程,学生很大的思维障碍是迷失方向,不知从何处入手去沟通已知与未知的关系,使分散的条件相对集中,促成问题的解决．不善于应用a x f <)(恒成立a x f <⇔max )]([和a x f >)(恒成立a x f >⇔min )]([,究其原因是对函数的思想方法理解不深.利用导数比较大小例 已知ａ、b 为实数，且e a b >>,其中e 为自然对数的底，求证：a b b a >.分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法.根据题目自身的特点,适当的构造函数关系,在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地,证明),(),()(b a x x g x f ∈>，可以等价转化为证明0)()()(>-=x g x f x F ，如果0)(>'x F ,则函数)(x F 在),(b a 上是增函数,如果0)(≥a F ,由增函数的定义可知，当),(b a x ∈时,有0)(>x F ,即)()(x g x f >．解:证法一:e a b >> ,∴要证a b b a >，只要证b a a b ln ln >，设)(ln ln )(e b b a a b b f >-=,则ba ab f -='ln )(． e a b >> ,∴1ln >a ,且1<ba ，∴.0)(>'b f ∴函数b a a b b f ln ln )(-⋅=在),(+∞e 上是增函数．∴0ln ln )()(=-=>a a a a a f b f ，即0ln ln >-b a a b ，∴.,ln ln a b b a b a a b >∴>证法二：要证a b b a >,只要证)(ln ln b a e b a a b <<>⋅， 即证b b a a ln ln >,设)(ln )(e x x x x f >=,则0ln 1)(2<-='x x x f ， ∴函数)(x f 在),(+∞e 上是减函数．又)()(,b f a f b a e >∴<< ,即.,ln ln a b b a bb a a >∴> 说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式,应用好构造思想解题的关键是:一要有明确的方向,即为什么目的而构造;二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出)()()()(x g x f x g x f >⇒'>'的错误结论.判断函数在给定区间上的单调性例 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y 11log 21在区间),0(+∞上是（ ） A ．增函数,且0>y Ｂ.减函数,且0>yC ．增函数，且0<y Ｄ.减函数,且0<y分析:此题要解决两个问题：一是要判断函数值y 的大小;二是要判断此函数的单调性．解:解法一:令xu 11+=，且1),,0(>∴+∞∈u x , 则0log 21<=u y ，排除A 、B ．由复合函数的性质可知，u 在 ),0(+∞上为减函数. 又u y 21log =亦为减函数，故⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y 11log 21在 ),0(+∞ 上为增函数,排除D ，选C.解法二：利用导数法0log )1(11log 1112221>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅+='e x x x e x y (),0(+∞∈x )，故y 在),0(+∞上是增函数.由解法一知0<y ．所以选C.说明:求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等(包括初等方法和导数法)．对于复合函数的单调性问题,简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．利用公式２求函数的导数例 求下列函数的导数:1．12x y =;2.41xy =;3．53x y =． 分析:根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构施行调整．函数41xy =和53x y =的形式，这样,在形式上它们都满足幂函数的结构特征，可直接应用幂函数的导数公式求导． 解:1..1212)(1111212x xx y =='='- 2..44)4()(55144x x xx y -=-=-='='---- 3．.535353)()(52521535353xx x x x y ==='='='-- 说明：对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式,以免求导过程中出现指数或系数的运算失误.运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识,养成思维严谨,步骤完整的解题习惯,要形成不仅会求，而且求对、求好的解题标准．根据斜率求对应曲线的切线方程例 求曲线122-=x y 的斜率等于４的切线方程.分析:导数反映了函数在某点处的变化率，它的几何意义就是相应曲线在该点处切线的斜率,由于切线的斜率已知,只要确定切点的坐标，先利用导数求出切点的横坐标，再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标，从而可求出切线方程.解：设切点为),(00y x P ，则 x x y 4)12(2='-=',∴40='=x x y ，即440=x ,∴10=x当10=x 时,10=y ,故切点P 的坐标为（1，1）.∴所求切线方程为)1(41-=-x y即.034=--y x说明：数学问题的解决,要充分考虑题设条件，捕捉隐含的各种因素,确定条件与结论的相应关系,解答这类问题常见的错误是忽略切点既在曲线上也在切线上这一关键条件，或受思维定势的消极影响，先设出切线方程，再利用直线和抛物线相切的条件，使得解题的运算量变大．求直线方程例 求过曲线x y cos =上点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3πP 且与过这点的切线垂直的直线方程. 分析：要求与切线垂直的直线方程,关键是确定切线的斜率,从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径,可先通过求导确定曲线在点P 处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程．解：x y cos = ，∴.sin x y -=' 曲线在点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3πP 处的切线斜率是.233sin 3-=-='=ππx y ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为32,∴所求的直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-33221πx y , 即0233232=+--πy x ． 说明：已知曲线上某点的切线这一条件具有双重含义．在确定与切线垂直的直线方程时,应注意考察函数在切点处的导数y '是否为零,当0='y 时，切线平行于x 轴，过切点P 垂直于切线的直线斜率不存在.求曲线方程的交点处切线的夹角例 设曲线21x y =和曲线xy 1=在它们的交点处的两切线的夹角为α，求αtan 的值． 分析：要求两切线的夹角，关键是确定在两曲线交点处的切线的斜率．根据导数的几何意义,只需先求出两曲线在交点处的导数,再应用两直线夹角公式求出夹角即可.解：联立两曲线方程⎪⎩⎪⎨⎧==--12xy x y 解得两曲线交点为(1,1). 设两曲线在交点处的切线斜率分别为21k k 、，则.111,221121213121-=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=====x x x x x x k x x k 由两直线夹角公式.31)1()2(1)1(21tan 2121=-⋅-+---=⋅+-=k k k k α 说明:探求正确结论的过程需要灵巧的构思和严谨的推理运算.两曲线交点是一个关键条件,函数在交点处是否要导也是一个不能忽视的问题,而准确理解题设要求则是正确作出结论的前提．求常函数的导数例 设2π=y ，则y '等于（ ）Ａ.π2 B.2π C.0 D.以上都不是分析：本题是对函数的求导问题,直接利用公式即可解:因为π是常数,常数的导数为零,所以选C ．根据条件确定函数的参数是否存在例 已知函数1log )(223++++=cx x b ax x x f ，是否存在实数ａ、ｂ、c ,使)(x f 同时满足下列三个条件:（1)定义域为Ｒ的奇函数；(2）在[)+∞,1上是增函数；(３)最大值是1．若存在,求出a 、ｂ、c ；若不存在，说明理由．分析:本题是解决存在性的问题,首先假设三个参数ａ、b 、c 存在,然后用三个已给条件逐一确定a 、ｂ、ｃ的值.解：)(x f 是奇函数.1,0log 0)0(3=∴=⇒=⇒b b f又)()(x f x f -=- ，即11log 11log 223223++++-=+-+-cx x ax x cx x ax x , ∴222222222222)1()1(1111x c x x a x axx cx x cx x ax x -+=-+⇔++++=-+-+． ∴c a c a =⇒=22或c a -=,但c a =时，0)(=x f ，不合题意;故c a -=．这时11log )(223+++-=cx x cx x x f 在[)+∞,1上是增函数，且最大值是1. 设11)(22+++-=cx x cx x x u 在[)+∞,1上是增函数,且最大值是3． 222222222)1()1)(1(2)1()1(2)1()1)(2()1)(2()(++-+=++-=+++-+-++-='cx x x x c cx x x c cx x cx x c x cx x c x x u ,当1>x 时0)(012>'⇒>-x u x ，故0>c ;又当1-<x 时,0)(>'x u ;当)1,1(-∈x 时,0)(<'x u ；故0>c ,又当1-<x 时,0)(>'x u ,当)1,1(-∈x 时,0)(<'x u ．所以)(x u 在),1()1,(+∞--∞ 是增函数，在（-１,１）上是减函数.又1>x 时，1,1)(,1122-=∴<++<+-x x u cx x cx x 时)(x u 最大值为3.∴.1,1,31111-===+-++a c c c 经验证:1,1,1==-=c b a 时,)(x f 符合题设条件，所以存在满足条件的a 、b 、c ,即.1,1,1==-=c b a说明：此题是综合性较强的存在性问题，对于拓宽思路，开阔视野很有指导意义. 此题若用相等方法解决是十分繁杂的,甚至无技可施.若用求导数的方法解决就迎刃而解.因此用导数法解决有关单调性和最值问题是很重要的数学方法.切不可忘记．供水站建在何处使水管费最少例 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边Ａ处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸４０km 的B 处,乙厂到河岸的垂足Ｄ与A 相距５0km,两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5ａ元，问供水站Ｃ建在岸边何处才能使水管费用最省?分析：根据题设条件作出图形,分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征,合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元,构造相应的函数关系,通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C 的位置．解:解法一：根据题意知，只有点C 在线段A Ｄ上某一适当位置，才能使总运费最省,设C 点距D 点x km ，则222240,50,40+=+=∴-==x CD BD BC x AC BD 又设总的水管费用为y 元，依题意有).500(405)50(322<<++-=x x a x a y224053++-='x axa y ．令0='y ，解得.30=x在(0，5０)上，ｙ只有一个极值点，根据实际问题的意义,函数在30=x （km ）处取得最小值,此时2050=-=x AC （ｋm ）.∴供水站建在A 、Ｄ之间距甲厂２０km 处，可使水管费用最省．解法二：设θ=∠BCD ，则).20(,cot 40,sin 40πθθθ<<⋅==CD BC ∴θcot 4050⋅-=AC ．设总的水管费用为)(θf ,依题意，有θθθθθsin cos 3540150sin 405)cot 4050(3)(-⋅+=⋅+⋅-=a a a a f ∴θθθθθθ2sin )(sin )cos 35(sin )cos 35(40)('⋅--⋅'-⋅='a f θθ2sin cos 5340-⋅=a 令0)(='θf ，得53cos =θ. 根据问题的实际意义,当53cos =θ时，函数取得最小值,此时20cot 4050,43cot ,54sin =-=∴=∴=θθθAC (ｋm),即供水站建在A 、D 之间距甲厂20ｋm 处,可使水管费用最省.说明:解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数．把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题，再划归为常规问题,选择合适的数学方法求解．对于这类问题,学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换,从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．运算不过关,得不到正确的答案,对数学思想方法不理解或理解不透彻,则找不到正确的解题思路，在此正需要我们依据问题本身提供的信息,利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法,并从中进行一番选择.利用导数求函数的最值例 求下列函数的最值：1．)33(,3)(3≤≤--=x x x x f ；2．)22(,2sin )(ππ≤≤--=x x x x f ;3．)0,0,10(,1)(22>><<-+=b a x xb x a x f ４．21)(x x x f -+=．分析:函数)(x f 在给定区间上连续可导,必有最大值和最小值,因此，在求闭区间[]b a ,上函数的最值时,只需求出函数)(x f 在开区间),(b a 内的极值,然后与端点处函数值进行比较即可.解:1．233)(x x f -='，令0)(='x f ，得1±=x ,∴2)1(,2)1(-=-=f f .又.18)3(,0)3(-==-f f∴.18)]([,2)]([min max -==x f x f2．12cos 2)(-='x x f ，令0)(='x f ，得6π±=x ， ∴6236,6236ππππ+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f , 又22,22ππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f . ∴.2)]([,2)]([min max ππ-==x f x f 3．2222222222)1()1()1()(x x x a x b x b x a x f ---=-+-='. 令0)(='x f ,即0)1(2222=--x a x b ，解得.ba a x += 当b a a x +<<0时,0)(<'x f ,当1<<+x ba a 时，0)(>'x f . ∴函数)(x f 在点b a a x +=处取得极小值，也是最小值为 .)(2b a b a a f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+即2min )()]([b a x f +=． 4．函数定义域为11≤≤-x ，当)1,1(-∈x 时,.11)(2x xx f --='令0)(='x f ,解得22=x ,∴222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,又1)1(,1)1(=-=-f f ,∴.1)]([,2)]([min max -==x f x f说明：对于闭区间[]b a ,上的连续函数,如果在相应开区间),(b a 内可导，求[]b a ,上最值可简化过程,即直接将极值点与端点的函数值比较，即可判定最大(或最小）的函数值，就是最大（或最小)值.解决这类问题,运算欠准确是普遍存在的一个突出问题,反映出运算能力上的差距.运算的准确要依靠运算方法的合理与简捷,需要有效的检验手段,只有全方位的“综合治理”才能在坚实的基础上形成运算能力，解决运算不准确的弊病.求两变量乘积的最大值例 已知y x 、为正实数,且满足关系式04222=+-y x x ，求y x ⋅的最大值．分析：题中有两个变量x 和y ,首先应选择一个主要变量，将y x 、表示为某一变量(x 或y 或其它变量）的函数关系,实现问题的转化,同时根据题设条件确定变量的取值范围，再利用导数(或均值不等式等)求函数的最大值．解:解法一：222221,0,24x x y y x x y -=∴>-= ， ∴2221x x x y x -=⋅. 由⎩⎨⎧≥->0202x x x 解得20≤<x . 设).20(221)(2≤<-==x x x x xy x f 当20<<x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-='222)1(221)(x x x x x x x f 222)23(x x x x --=．令0)(='x f ，得23=x 或0=x （舍）． ∴83323=⎪⎭⎫⎝⎛f ,又0)2(=f ,∴函数)(x f 的最大值为833. 即y x ⋅的最大值为833. 解法二:由04222=+-y x x 得)0,0(14)1(22>>=+-y x y x , 设)0(sin 21,cos 1πααα<<==-y x , ∴)cos 1(sin 21αα+=⋅y x ,设)cos 1(sin 21)(ααα+=f ， 则[]ααααcos )cos 1(sin 21)(2⋅++-='f .21cos )1(cos )1cos cos 2(212⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=αααα 令0)(='αf ，得1cos -=α或21cos =α． 3,0παπα=∴<< ，此时.43,23==y x ∴.8333,8333max=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππf f即当43,23==y x 时,[].833max =⋅y x 说明:进行一题多解训练，是一种打开思路,激发思维，巩固基础,沟通联系的重要途径，但要明确解决问题的策略、指向和思考方法,需要抓住问题的本质，领悟真谛,巧施转化,方可快捷地与熟悉的问题接轨,在实现转化的过程中,关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件，以免解题陷于困境,功亏一篑.直接利用导数的运算法则求导例 求下列函数的导数:1.65324+--=x x x y ;2.x x y tan ⋅=3．)3)(2)(1(+++=x x x y ； ４．.11+-=x x y 分析：仔细观察和分析各函数的结构规律,紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式,不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形,步步为营,使解决问题水到渠成.解:１.)653(24'+--='x x x y.564)6(5)(3)(324--='+'-'-'=x x x x x 2．x x x x x x x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )sin (cos sin )tan ('⋅-⋅'='⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅='⋅=' xx x x x x x x x x x x x 22222cos )sin (cos cos sin cos sin cos )cos (sin ⋅+⋅=+⋅+= .cos 222sin cos sin cos 2sin 212222xx x x x x x x x +=++= 3．解法一：)3)(2)(1()3(])2)(1[('+++++'++='x x x x x x y)2)(1()3]()2)(1()2()1[(++++'++++'+=x x x x x x x)2)(1()3)(12(+++++++=x x x x x)2)(1()3)(32(+++++=x x x x.111232++=x x解法二：611623+++=x x x y ,∴ .111232++='x x y４.解法一：2)1()1)(1()1()1(11+'+--+'-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='x x x x x x x y .)1(2)1()1()1(22+=+--+=x x x x 解法二:121+-=x y ， 2)1()1(2)1()2()12(121+'+-+'-='+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='x x x x x y .)1(22+=x 说明：理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件，运算过程出现失误,原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法同.求导过程中符号判断不清,也是导致错误的因素.从本题可以看出，深刻理解和掌握导数运算法则,再结合给定函数本身的特点,才能准确有效地进行求导运算,才能充分调动思维的积极性，在解决新问题时举一反三，触类旁通,得心应手．化简函数解析式在求解例 求下列函数的导数．１.xx x x y 975++=;2．4cos 4sin 44x x y +=; ３.x x x x y +-+-+=1111;4.).4cos 21(2sin 2x x y --= 分析：对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使问题求解过程繁琐冗长,且易出错．可先对函数解析式进行合理的恒等变换,转化为易求导的结构形式再求导数．解:1．432975x x x xx x x y ++=++=, ∴.43232x x x y ++='2．4cos 4sin 24cos 4sin 22222x x x x y ⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+= x x x cos 41432cos 12112sin212+=-⋅-=-= ∴ .sin 41cos 4143x x y -=⎪⎭⎫⎝⎛+='。
第22讲 利用导数研究函数的极值和最值(解析版)
第22讲利用导数研究函数的极值和最值【基础知识回顾】1、函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x ＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x ＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2、函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3、常用结论1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．1、已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.2、已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于()A.－4B.－2C.4D.2【答案】D【解析】由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2.3、.函数f (x )＝e xx 2－3在[2，＋∞)上的最小值为( )A.e 36B.e2C.e 34D.2e【答案】 A【解析】 依题意f ′(x )＝e x（x 2－3）2(x 2－2x －3) ＝e x（x 2－3）2(x －3)(x ＋1)，故函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增，故函数在x ＝3处取得极小值也即是最小值，且最小值为f (3)＝e 332－3＝e 36.4、函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点 【答案】C【解析】 设f ′(x )的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x 1，x 2，x 3，x 4. 当x <x 1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数， 则x ＝x 1为极大值点，同理，x ＝x 3为极大值点，x ＝x 2，x ＝x 4为极小值点，故选C. 5、设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 【答案】D【解析】 因为f (x )＝2x ＋ln x ，所以f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2，x >0.当x >2时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，所以x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.考向一 利用导数研究函数的极值例1、已知函数()32331(R,0)f x ax x a a a=-+-∈≠，求函数()f x 的极大值与极小值．【解析】：由题设知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax 2x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令f ′(x )＝0得x ＝0或2a.当a >0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↗↗↗↗f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝2f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1.当a <0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↗↗↗↗f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1. 综上，f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝2f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1. 变式1、已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．【解析】(1)因为f (x )＝x －1＋ae x ，所以f ′(x )＝1－aex ，又因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝0， 即1－ae1＝0，所以a ＝e.(2)由(1)知f ′(x )＝1－ae x ，当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增， 因此f (x )无极大值与极小值； 当a >0时，令f ′(x )>0，则x >ln a ， 所以f (x )在(ln a ，＋∞)上单调递增， 令f ′(x )<0，则x <ln a ，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减， 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值， 且f (ln a )＝ln a ，但是无极大值，综上，当a ≤0时，f (x )无极大值与极小值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，但是无极大值．变式2、 (1)若函数f (x )＝(x 2－ax －1)e x 的极小值点是x ＝1，则f (x )的极大值为( ) A ．－e B ．－2e 2 C ．5e －2 D ．－2【答案】 C【解析】 由题意，函数f (x )＝(x 2－ax －1)e x ， 可得f ′(x )＝e x [x 2＋(2－a )x －1－a ]， 所以f ′(1)＝(2－2a )e ＝0， 解得a ＝1，故f (x )＝(x 2－x －1)e x ， 可得f ′(x )＝e x (x ＋2)(x －1)，则f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的极大值为f (－2)＝5e －2.(2)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫52，103 B.⎣⎡⎭⎫52，103 C.⎝⎛⎦⎤52，103 D.⎣⎡⎦⎤2，103 【答案】 B【解析】 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)，∴f ′(x )＝1x＋x －a ，∴y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点．令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x ＋x .设g (x )＝1x＋x ，则g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增， ∴g (x )min ＝g (1)＝2， 又g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (3)＝103， ∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点． ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，103.方法总结：(1)求函数()f x 极值的步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数()f x '；③解方程()0f x '=，求出函数定义域内的所有根；④列表检验在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值．(2)若函数()y f x =在区间内有极值，那么()y f x =在(),a b 内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．考向二 利用导数研究函数的最值例2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）当时，，， 所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即.（2）因为，因为函数处有极小值，所以，()32112f x x x ax =-++2a =()y f x =()()0,0f ()1f x x =在()f x 32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦210x y -+=49272a =321()212f x x x x =-++2()32f x x x '=-+(0)2f '=(0)1f =()y f x =()()0,0f 12y x -=210x y -+=2()3f x x x a '=-+()1f x x =在(1)202f a a '=+=⇒=-所以 由，得或， 当或时，， 当时，， 所以在，上是增函数，在上是减函数， 因为，， 所以的最大值为. 变式1、已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a.(1)若a ＝0，求y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，求f (x )的单调区间，以及最大值和最小值. 【解析】(1)当a ＝0时，f (x )＝3－2xx 2，则f ′(x )＝x 2·（－2）－（3－2x ）·2xx 4＝2x －6x 3. 当x ＝1时，f (1)＝1，f ′(1)＝－4， 故y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－4(x －1)， 整理得4x ＋y －5＝0. (2)已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a，则f ′(x )＝（x 2＋a ）·（－2）－（3－2x ）·2x（x 2＋a ）2＝2（x 2－3x －a ）（x 2＋a ）2.若函数f (x )在x ＝－1处取得极值， 则f ′(－1)＝0，即2（4－a ）（a ＋1）2＝0，解得a ＝4.经检验，当a ＝4时，x ＝－1为函数f (x )的极大值，符合题意.2()32f x x x '=--()0f x '=23x =-1x =23x <-1x >()0f x '>213x -<<()0f x '<()f x 22,3⎛⎫--⎪⎝⎭31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 249327f ⎛⎫-=⎪⎝⎭此时f (x )＝3－2x x 2＋4，其定义域为R ，f ′(x )＝2（x －4）（x ＋1）（x 2＋4）2，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4. f (x )，f ′(x )随x 的变化趋势如下表：故函数f (x )极大值为f (－1)＝1，极小值为f (4)＝－14.又因为x <32时，f (x )>0；x >32时，f (x )<0，所以函数f (x )的最大值为f (－1)＝1， 最小值为f (4)＝－14.变式2、 已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值. 【解析】 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ， f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ，令f ′(x )＝0，得x ＝1. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0； 当x ＞1时，f ′(x )＜0.∴f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x∈⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞. ①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不符合题意.②若a ＜－1e ，令f ′(x )＞0得a ＋1x ＞0，结合x ∈(0，e]，解得0＜x ＜－1a ；令f ′(x )＜0得a ＋1x ＜0，结合x ∈(0，e]，解得－1a＜x ≤e.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增， 在⎝⎛⎦⎤－1a ，e 上单调递减， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a . 令－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－3，得ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－2， 即a ＝－e 2.∵－e 2＜－1e ，∴a ＝－e 2为所求.故实数a 的值为－e 2.方法总结：1.利用导数求函数f(x)在[a ，b]上的最值的一般步骤： (1)求函数在(a ，b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.考向三 极值（最值）的综合性问题例3、已知函数()323(,)f x ax bx x a b R =+-∈在1x =-处取得极大值为2. (1) 求函数()f x 的解析式；(2) 若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值． 【解析】 ：(1)f′(x)＝3ax 2＋2bx －3.由题意得()12(1)0f f ⎧-=⎪⎨'-=⎪⎩，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＋3＝23a －2b －3＝0)， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0)，经检验成立，所以f(x)＝x 3－3x.(2) 令f′(x)＝0，即3x 2－3＝0.得x ＝±1. 列表如下：因为max min 间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |＝4，所以c≥4.所以c 的最小值为4.变式1、设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4等于( ) A.m －1m ＋1 B.m ＋1m －1 C.1－m m ＋1 D.m ＋11－m【答案】 B 【解析】由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0， 得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m，故tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 变式2、已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( ) A ．1≤b <a B ．b <a ≤1 C ．a <1≤b D ．a <b ≤1【答案】 B 【解析】令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0， 得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析． 对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意； 对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意．方法总结： 1. 当面对不等式恒成立(有解)问题时，往往是转化成函数利用导数求最值；2. 当面对多次求导时，一定要清楚每次求导的目的是什么．1、若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e -- C ．35e - D ．1【答案】A【解析】由题可得12121()(2)e (1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)ex f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减， 所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-.故选A ．2、已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． 【答案】−3√32【解析】f′(x)=2cosx +2cos2x =4cos 2x +2cosx −2=4(cosx +1)(cosx −12)，所以当cosx <12时函数单调递减，当cosx >12时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ， 函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数f (x )取得最小值， 此时sinx =−√32,sin2x =−√32， 所以f (x )min =2×(−√32)−√32=−3√32， 故答案是−3√32. 3、（2021·广东高三月考）已知函数()322f x x ax b =-+，若()f x 区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1，则a 的值可以是（ ）A ．0B ．4C ．D ．【答案】AB【解析】()26263a f x x ax x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，令()603a f x x x '⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得0x =或3a .①当0a ≤时，可知()f x 在[]0,1上单调递增，所以()f x 在区间[]0,1的最小值为()0f b =，最大值为()12f a b =-+. 此时a ，b 满足题设条件当且仅当1x =-，21a b -+=， 即0a =，1b =-.故A 正确.②当3a ≥时，可知()f x 在[]0,1上单调递减，所以()f x 在区间[]0,1的最大值为()0f b =，最小值为()12f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，1b =，即4a =，1b =.故B 正确.③当0<<3a 时，可知()f x 在[]0,1的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 最大值为b 或2a b -+或3127a b -+=-，1b =，则a =，与0<<3a 矛盾. 若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-0a =，与0<<3a 矛盾.故C ､D 错误.故选：AB4、（2021·广东宝安·高三月考）（多选题）已知函数()e e x x f x -=-，()e e x x g x -=+，则以下结论错误的是（ ）A ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<- B ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<- C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值【答案】ABC【解析】对A, ()e e x x f x -=-中e x y =为增函数,e x y -=为减函数.故()e e x x f x -=-为增函数.故任意的1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-.故A 错误.对B,易得反例11(1)e e g -=+,11(1)(1)e e g g --=+=.故()()12120g x g x x x -<-不成立.故B 错误. 对C, 当因为()e e x x f x -=-为增函数,且当x →-∞时()f x →-∞,当x →+∞时()f x →+∞.故()f x 无最小值,无最大值.故C 错误.对D, ()e e 2x x g x -=+≥=,当且仅当e e =x x -即0x =时等号成立. 当x →+∞时()g x →+∞.故()g x 有最小值,无最大值.故选：ABC5、（2020全国Ⅰ理21）已知函数()2e xf x ax x =+-． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，()2x x x e f x =+-，()'21x f x e x =+-，由于()''20x f x e =+>，故()'f x 单调递增，注意到()'00f =，故：当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减；当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增．(2)由()3112f x x ≥+得，23112x e ax x x +-+，其中0x ≥， ①．当x=0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②．当0x >时，分离参数a 得，32112x e x x a x ----， 记()32112xe x x g x x ---=-，()()231212'x x e x x g x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭=-， 令()()21102x e x x h x x ---≥=，则()'1x h x e x =--，()''10x h x e =-≥， 故()'h x 单调递增，()()''00h x h ≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21102x e x x ---恒成立，故当()0,2x ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，()'0g x <，()g x 单调递减；因此，()()2max 724e g x g -⎡⎤==⎣⎦．综上可得，实数a 的取值范围是27,4e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 6、（2020全国Ⅱ文21）已知函数()2ln 1f x x =+．（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围；（2）设0a >，讨论函数()()()f x f ag x x a -=-的单调性．【解析】（1）函数()f x 的定义域为：(0,)+∞，()2()202ln 120()f x x c f x x c x x c ≤+⇒--≤⇒+--≤*，设()2ln 12(0)h x x x c x =+-->，则有22(1)()2x h x x x -'=-=， 当1x >时，()0,()h x h x '<单调递减；当01x <<时，()0,()h x h x '>单调递增，∴当1x =时，函数()h x 有最大值，即max ()(1)2ln11211h x h c c ==+-⨯-=--，要想不等式()*在(0,)+∞上恒成立，只需max ()0101h x c c ≤⇒--≤⇒≥-．（2）2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a+---==>--且)x a ≠，因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a --+'=-，设()2(ln ln )m x x a x x x a =--+，则有()2(ln ln )m x a x '=-，当x a >时，ln ln x a >，∴()0m x '<，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a <=，即 ()0g x '<，∴()g x 单调递减；当0x a <<时，ln ln x a <，∴()0m x '>，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a <=，即()0g x '<，∴()g x 单调递减，∴函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a +∞上单调递减，没有递增区间．。
求极值的三种方法
求极值的三种方法一、直接法。
先判断函数的单调性，若函数在定义域内为单调函数，则最大值为极大值，最小值为极小值二、导数法（1）、求导数f'(x)；（2）、求方程f'(x)=0的根；（3）、检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。
举例如下图：该函数在f'(x)大于0，f'(x)小于0，在f'(x)=0时，取极大值。
同理f'(x)小于0，f'(x)大于0时，在f'(x)=0时取极小值。
扩展资料：寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。
如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。
此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。
因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。
1、求极大极小值步骤：求导数f'(x)；求方程f'(x)=0的根；检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。
f'(x)无意义的点也要讨论。
即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。
2、求极值点步骤：求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。
上述所有点的集合即为极值点集合。
扩展资料：定义：若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。
高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结
高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结在高中数学中，根据导数求函数的最值是一个常见的考点。
这类问题要求我们通过求函数的导数，找到函数的极大值或极小值点，从而确定函数的最值。
下面我将总结一些解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地应对这类问题。
一、寻找函数的极值点在解决根据导数求函数最值问题时，首先需要找到函数的极值点。
一般来说，函数的极值点就是函数的导数等于零的点，即函数的驻点。
我们可以通过以下步骤来找到函数的极值点：1. 求函数的导数。
根据问题给出的函数，我们可以先对其求导数。
例如，对于函数f(x)，我们可以求得它的导函数f'(x)。
2. 解方程f'(x) = 0。
将求得的导函数f'(x)置零，解方程求得函数的驻点。
这些驻点就是函数的极值点。
需要注意的是，有时候函数的极值点可能还存在于函数的定义域的边界处，所以我们还需要将边界处的点也考虑进去。
二、判断极值点的性质找到函数的极值点后，我们需要进一步判断这些点的性质，即确定它们是极大值点还是极小值点。
这里有两种常见的方法：1. 使用导数的符号表。
我们可以通过绘制导数的符号表来判断极值点的性质。
具体做法是，在函数的定义域上选择几个代表性的点，代入导数f'(x)的值，然后根据导数的正负确定函数在这些点附近的增减性。
如果导数从正变负，那么这个点就是极大值点；如果导数从负变正，那么这个点就是极小值点。
2. 使用二阶导数。
二阶导数可以帮助我们更准确地判断极值点的性质。
具体做法是，求得函数的二阶导数f''(x)，然后将极值点代入二阶导数。
如果二阶导数大于零，那么这个点就是极小值点；如果二阶导数小于零，那么这个点就是极大值点。
三、举一反三根据导数求函数的最值问题不仅仅局限于求解极值点，还可以应用到其他类型的函数中。
下面举一个例子来说明。
例题：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的最大值和最小值。
高考数学一轮总复习课件：导数的应用(二) ——极值与最值
(2)(2020·河北冀州中学摸底)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x ＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是 __(_－_1_，__0)_．
【解析】 若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝ －1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a>0，当 x∈(－1，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数 f(x)在x＝a处取得极小值；若－1<a<0，当x∈(－1，a)时，f′ (x)>0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝a处取得极 大值；若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，－1)时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．综上所述，a∈(－1， 0)．
第3课时 导数的应用(二) ——极值与最值
[复习要求] 1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和 充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数 不超过三次).3.会求闭区间上的最大值、最小值(其中多项式函 数不超过三次)．
课前自助餐
函数的极值 (1)设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点， 都有 f(x)___<___f(x0)，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)__>____f(x0)， 那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)．极大值与 极小值统称为极值．
导数求极值的方法
导数求极值的方法宝子们，今天咱们来唠唠导数求极值这个超酷的数学方法。
导数呢，就像是一个函数的小跟班，能告诉我们函数的好多小秘密。
那怎么用导数求极值呢？咱先得求出函数的导数。
这就好比是要找到函数变化的小线索。
比如说，有个函数f(x)，求出它的导数f'(x)。
这个导数啊，它反映了函数的斜率变化情况。
当导数f'(x) = 0的时候，这可是个关键的点哦。
这个点就像是函数的一个小站台，函数在这里可能会有极值。
为啥这么说呢？你想啊，导数是斜率嘛，如果斜率为0，那就说明函数在这个地方可能是到了“山顶”或者“山谷”，也就是极大值或者极小值的地方。
不过呢，这里面也有小陷阱。
当f'(x) = 0的点找出来后，咱还得看看这个点周围导数的情况。
如果在这个点的左边，导数是正的，右边是负的，那这个点就是极大值点。
就好像你爬山，爬到一个地方，左边是在往上爬（导数正），右边是在往下走（导数负），那这个地方就是山顶，是极大值啦。
反过来，如果左边导数是负的，右边是正的，这个点就是极小值点，就像到了山谷底部一样。
咱再举个小例子哈。
比如说函数f(x)=x^2，它的导数f'(x)=2x。
当f'(x)=0的时候呢，2x = 0，解得x = 0。
那我们再看x = 0周围，当x<0的时候，f'(x)<0，当x>0的时候，f'(x)>0，所以x = 0这个点就是极小值点，函数在这个点的值f(0)=0就是极小值。
宝子们，导数求极值其实也没有那么难啦，只要掌握了这个小窍门，就像拿到了打开函数极值大门的小钥匙。
多做几道题，你就会发现其中的乐趣啦，加油哦。
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利用导数求函数的极值
求极值是微积分中一个重要而复杂的问题，导数是一种有效的方法来求解极值。
导数可以通过表示函数变化的快慢和方向，为求解极值提供强有力的理论支持。
求函数的极值，可以先得到函数的导数，然后求函数的导数的零点，它们就是极值点。
求函数的导数，可以根据求导公式，逐项对函数中的每项均求导数，然后根据导数的定义，将求得的分式或分部均化为一个有理式，得到函数的导数。
求函数的导数的零点，也就是求函数的极值点的方法有很多，其中最常用的是图解法、二分法和牛顿法。
图解法是通过函数的前后变化情况来求得函数的极值点。
二分法是它的原理是，取一个函数的的前后的若干点，根据导数的定义，将求得的分式或分部均化为一个有理式，经过不断的二分，得到函数的极值点。
牛顿法是一种采用泰勒展开式，取相邻两个点来线性近似拟合函数，然后反复重复，直至精确求得函数的极值点。
由于极值是特定范围内函数的取值极大或极小的点，所以导数的形变的状态，也是求函数的极值的依据，根据导数的取值来判断函数的取值大小，而且，所有函数极值点都等于零点，可以通过求导数的零点来得到函数极值点。
用导数求函数的极值是一种可行的方法，它可以正确准确的得到函数极值点。
总而言之，用导数求函数的极值，不仅可以准确求解函数极值点，而且还能依据函数的变化形态来判断函数的局部最值，是使用频繁的方法之一。