勾股定理及其逆定理复习典型例题

勾股定理及其逆定理复习典型例题
1.
勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2=c 2） 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

2.
勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

3.
如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如：C ，但不要认为最大边一定是C ）
（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2=a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形。

（若c 2>a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为钝角的三角形，若c 2<a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为锐角三角形）
二、例题分析
例1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

解：设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x ，根据题意得： （3x ）2+（4x ）2=202 化简得x 2=16；
∴直角三角形的面积=2
1×3x ×4x =6x 2=96
注：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。

例2、等边三角形的边长为2，求它的面积。

解：如图，等边△ABC ，作AD ⊥BC 于D
则：BD=2
1BC （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）
∵AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等） ∴BD=1
在直角三角形ABD 中AB 2=AD 2+BD 2，即：AD 2=AB 2－BD 2=4－1=3 ∴AD=3
S △ABC =2
1BC·AD=3
A
B
C
D
注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a ，则其面积为
4
3a 例3、直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积。

解：设此直角三角形两直角边分别是x ，y ，根据题意得：
⎩⎨⎧=+=++)
2(5
)1(125222y x y x
由（1）得：x +y =7，
（x +y ）2=49，x 2+2xy +y 2=49 (3) (3)－(2)，得：xy =12
∴直角三角形的面积是21xy =2
1×12=6（cm 2）
例4、在锐角△ABC 中，已知其两边a =1，b =3，求第三边的变化范围。

分析：显然第三边b －a <c <b +a ，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求△ABC 为直角三角形时第三边的值。

解：设第三边为c ，并设△ABC 是直角三角形 ① 当第三边是斜边时，c 2=b 2+a 2，∴c =10 ② 当第三边不是斜边时，则斜边一定是b ，b 2=a 2+c 2，∴c =2
2
（即8）
∵△ABC 为锐角三角形
所以点A 应当绕着点B 旋转，使∠ABC 成为锐角（如图），但当移动到点A 2位置时∠ACB 成为直角。

故点A 应当在A 1和A 2间移动，此时2
2<AC<10
注：此题易忽视①或②中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角边，所以有两种情况要考虑。

例5、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A 、8，15，17
B 、4，5，6
C 、5，8，10
D 、8，39，40
此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c 2=a 2+b 2的变形：b 2=c 2－a 2=（c －a ）（c +a ）来判断。

例如：对于选择支D ，∵82≠（40+39）×（40－39），∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。

答案：A
例6、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD
3
A
B
C
31
A'
的面积。

解：连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4 ∴AC 2=AB 2+BC 2=25（勾股定理） ∴AC=5
∵AC 2+CD 2=169，AD 2=169 ∴AC 2+CD 2=AD 2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =21AB·
BC+2
1AC·CD=36 本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。

例7、若直角三角形的三边长分别是n +1，n +2，n +3，求n 。

分析：首先要确定斜边（最长的边）长n +3，然后利用勾股定理列方程求解。

解：此直角三角形的斜边长为n +3，由勾股定理可得：
（n +1）2+（n +2）2=（n +3）2 化简得：n 2=4
∴n =±
2，但当n =－2时，n +1=－1<0，∴n =2 三、练习题
1、等腰三角形的两边长为4和2，则底边上的高是________，面积是_________。

2、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为________。

3、一个直角三角形一条直角边为16cm ，它所对的角为60°，则斜边上的高为_______。

4、四个三角形的边长分别是①3，4，5 ②4，7，821③7,24,25④321,421,52
1其中是直角
三角形的是（ ）
A 、①②
B 、①③
C 、①④
D 、①②③
5、如果线段a 、b 、c 能组成直角三角形，则它们的比可以是（ ）
A 、1：2：4
B 、！：3：5
C 、3：4：7
D 、5：12：13
6、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°， 求证：∠A+∠C=180°。

A
B
C
D
A
B
C
D
7、已知直角三角形中，两边的长为3、4，求第三边长。

8、△ABC 中，∠C=90°，a =5，c －b =1，求b ，c 的长。

9、如图：△ABC 中，AD 是角平分线，AD=BD ，AB=2AC 。

求证：△ACB 是直角三角形。

三、练习题解答 1、15，15 2、6，8，10 3、8cm 4、D 5、D
6、本题类似于例6，需连结AC 证出△ACD 也是直角三角形， 从而∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∴∠DAB+∠DCB=180°
A
B
C
D
A
B
C D
7、解：设第三边长为x ,
① 当第三边是斜边时：x 2=32+42=25，即x =5
② 当第三边不是斜边时，则斜边长为4：x 2=42－32，即x =7
8、此题类似于例3
解：根据题意得：⎩
⎨⎧=-=-+=-=125))((222b c b c b c b c a ∴⎩⎨⎧=-=+125b c b c ∴⎩⎨
⎧==1213b c 9、证明：作DE ⊥AB 于E ∵AD=BD,DE ⊥AB
∴2AE=AB （等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合） ∠DEA=90°（垂直的定义） 又∵AB=2AC ∴AE=AC ∵AD 是角平分线 ∴∠1=∠2
在△ACD 和△AED 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=AD AD AE
AC 21 ∴△ACD ≌△AED （SAS ）
∴∠C=∠AED=90（全等三角形对应角相等） ∴△ACB 是直角三角形
A
B
C
D
E。