2023届山东省高考模拟练习(三)数学试题
2023年高考数学全真模拟热身测试卷03卷(新高考专用)原卷及解析
2023届高考数学·备战热身卷3一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，有一项符合题目要求。
）1．（2022·河北·模拟预测）已知集合A ={}{}|4|342y y B x x x A B ≥-=≤-⋂=，，则（ ）A ．4|45x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．4|45x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．{|4x x ≤-或45x ⎫≥⎬⎭D ．R2．（2022·河北·模拟预测）已知复数i z a b =+（a ，b ∈R ），若20212i i ab +=+，则z =（ ）A ．12i -+B ．12i +C ．12i --D ．12i -3．（2022·河北·模拟预测）一质点在单位圆上作匀速圆周运动，其位移满足的方程为sin2h t =，其中h 表示位移（单位：m ），t 表示时间（单位：s ），则质点在1t =时的瞬时速度为（ ）A ．sin2 m/sB ．cos2 m/sC ．2sin2 m/sD ．2cos2 m/s4．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列{}n a 中，m a n =，n a m =，则m na+=（ ）A ．0B ．mC ．nD ．m n +5．（2022·河北·模拟预测）函数cos 1()(3lg5lg 64)2x f x x =⋅+（[],x ππ∈-）的图象大致是A ．B ．C ．D ．6．（2022·河北·模拟预测）已知向量a 与b 的夹角为120°，且2a b ⋅=-，向量c 满足()()101c a b λλλ=+-<<，且a c b c ⋅=⋅，记向量c 在向量a 与b 方向上的投影分别为x 、y ．22x y xy ++的最大值为（ ）A ．14B ．2C ．34D ．547．（重庆市西南大学附属中学校2021-2022学年高二下学期第三次月考数学试题）已知数列{}n a 满足112a =-，21220n n n a a a ++-=，则下列结论错误的是（ ）A ．{}n a 是单调递增数列B ．存在*n N ∈，使得0n a >C ．12111112222n n a a a a +++⋅⋅⋅+=--+++D ．339128a =-8．（2022·河北·模拟预测）已知0x 是方程()e 2xf x x =+-的零点（其中e 2.71828=为自然对数的底数），下列说法错误的是（ ）A ．()00,1x ∈B ．()00ln 2x x -=C ．020e xx -> D ．00e 0xx --<二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东师范大学附属中学2023届高三下学期6月模拟数学试题(含答案解析)
山东师范大学附属中学2023届高三下学期6月模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．．C ．．4．李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为，如果这几天内邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3，假设李老师对邻居不了解，即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为（）A ．311B ．12811D ．15．已知(31)(1)n x x -+的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含4x 为（）二、多选题三、填空题四、双空题15．在对附属中学高三年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样．已知抽取了男生20人，其平均数和方差分别为175和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为165和38．则抽取的50位学生的平均数为______，方差为______．五、填空题16．已知实数1x ，2x 满足131x x e e =，()522ln 2x x e -=，则12x x =______.六、解答题(1)求平面BDE 与平面ABCD (2)线段AF 上任意一点到平面理由．(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的数学期望；(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩()2,N μσ，其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值区间的中点值代替），且2362σ=，已知小明的预赛成绩为91计小明是否有资格参加复赛?(3)复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n ，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，时“花”掉的分数为0.2k （1k =，2，…，n ）；③每答对一题加减分；④答完n 题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩，已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n 应为多少?附：若()2,Z N μσ~，则()0.6827P Z μσμσ-<<+≈，(P μ-()330.9973P Z μσμσ-<<+≈；36219≈．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，且经过点(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()4,0B 的直线与C 交于M ，N 两点，直线,AM AN 分别与直线参考答案：2【详解】M 作MD OP ⊥于D ，则由题意可得：OMP 中，12OMP S MD OP =⋅ cos sin 1x OM PM OP == 1)sin 2(0π)2x x =≤≤，其图象即为选项在12F PF △中,根据余弦定理可得：221212||||||F F PF PF =+整理得2221243c a a =+，即设221122,,t e t e ==则有0所以121143134t t t t -=-=，即有所以2212e e +=12t t +=1t +设2423(),434x x f x x x -=<-则2'216246()(43)x x f x x -+=-令'()0f x =，得13x -=所以'()0f x <在3(,1)4x ∈所以()f x 在3(,1)4x ∈上单调递减，当x 趋于34时，()f x 趋于()2f x >故选：ABD．【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明般性证明；（2）“一般推理，特殊求解或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点(00,x y若AM MN +最小，则A 、M 所以42424MC AC DN AD ===+即1222122MC CC -==-，故对于B ，当点M 与点1C 重合时，连接在正方体1111ABCD A B C D -中，又因为BD AC ⊥，且AC CC 又1AC ⊂平面1ACC ，所以BD 因为1A D BD D ⋂=，1,A D BD 易知1A BD 是边长为42的等边三角形，其面积为423122⨯=；则()4,0,0A ，()4,4,0B ，设因为AM ⊥平面α，所以AM 故216cos ,432AM AB a =+所以直线AB 与平面α所成角的正弦值的取值范围为的余弦值的取值范围为22⎡⎢⎣对于D ，当点M 与点C 重合时，四面体由正四面体的性质可得，其内切球半径所以表面积为216π4π3r =，故故选：ACD ．13．2【分析】由题意可得0q <<15．1692585/50.8【分析】根据平均数和方差的计算公式，直接代入计算，即可求解【详解】根据题意，抽取的50抽取的50位学生的方差为：2s=故答案为：169，258 5.16．5e设),,(4)(4,P t Q s ，由题意知即11332213y t x --=-，将114x my -=代入化简可得同理可求得223323y my s my +=+故111223323|||||||3323y my my tPB QB m sy my y ++==++()()((1211122133322|||33322y y y y y y y y -++==-++当直线MN 斜率为0时，此时不妨设(2,0),(2,0)M N -，则直线令4,3x y =∴=-，故(4,P 直线AN 的方程为3212y =+令4,3x y =∴=，故(4,Q。
2023届山东省泰安市高考一模数学试题
高三一轮检测数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合M,N,P均为R的非空真子集，且M∪N=R,M∩N=P,则M∩(∁R P)=A.MB.NC.∁R MD.∁R N2.若复数z满足z(1-i)=1+3i，则-z=A.-1+2iB.1+2iC.-1-2iD.1-2i3.若(x-a x)8的展开式中x6的系数是-16，则实数a的值是A.-2B.-1C.1D.24.已知m,n是两条不重合的直线，α是一个平面，n⊂α，则“m⊥α”是“m⊥n”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,则a4=A.274B.94C.278D.986.已知α∈(-π2,π2),12sin2α-5cosα=9,则cos2α=A.13B.-79C.-34D.181高三数学试题第页（共4页）高三数学试题第页（共4页）7.青少年是国家的未来和民族的希望，青少年身体素质事关个人成长、家庭幸福、民族未来，促进青少年健康是建设体育强国、健康中国的重要内容。
党中央历来高度重视青少年体质与健康管理工作，亲切关怀青少年和儿童的健康成长，不断出台相关政策法规，引导广大青少年积极参与体育健身，强健体魄、砥砺意志，凝聚和焕发青春力量。
近年来，随着政策措施牵引带动，学生体质与健康水平不断迈上新台阶。
某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是A.样本的众数为67.5B.样本的80%分位数为72.5C.样本的平均值为66D.该校男生中低于60公斤的学生大约为300人8.已知直线l 与圆x 2+y 2=8相切，与抛物线y 2=4x 相交于A ,B 两点，以A,B 为直径的圆过坐标原点，则直线l 的方程为A.x +y -4=0或x -y +4=0B.x -y -4=0或x +y -4=0C.x +2y +4=0或x -2y -4=0D.x -2y +4=0或x +2y +4=0二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省临沂市2023届高考模拟考试(一模)数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题1. 若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x 既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是（ ）A ．(－∞，－)B ．(－∞，－)∪ (，＋∞)C ．(－，)D ．(，＋∞)2. 已知集合，，则等于（ ）A．B．C．D．3. 如图所示，正方形的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥的侧面积取值范围为（）A．B ．[1，2]C ．[0，2]D．4.某企业举办职工技能大赛，经过层层选拔，最终进入决赛.假设这3名职工的水平相当，则没有获得这次职工技能大赛第一名的概率是（ ）A．B．C．D．5. 若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程是（ ）A．B．C．D．6. 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则为A．B．C．D．7. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.某地8月1日到10日的PM2.5日均值（单位：）分别为36，32，38，34，32，88，42，36，30，32，则关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是（ ）.A ．众数为32B ．第80百分位数是38C ．平均数是40D ．前4天的方差比后4天的方差小8.已知为坐标原点，点，，，，则下列结论正确的是（ ）A．B．C ．记是的最大值，则D ．记取得最大值，，则中有且只有4个元素9.椭圆的右焦点为，为坐标原点，直线与C 相交于A ､B 两点.若在线段OF 上存在点M ，使得，则椭圆C 离心率的取值范围是___________.10. 已知（i 为虚数单位），则的虚部为_________．山东省临沂市2023届高考模拟考试（一模）数学试题(高频考点版)山东省临沂市2023届高考模拟考试（一模）数学试题(高频考点版)四、解答题11. 如图，隔河看两目标A 与B，但不能到达，在岸边先选取相距km 的C ，D 两点，同时，测得∠ACB =75°，∠BCD =45°，∠ADC =30°，∠ADB =45°（A ，B ，C ，D 在同一平面内），则AB=______km..12. 在的展开式中，含的项的系数是___________.13.如图，在正方体中，，，分别是，，的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.14.在数列中，，，其中为给定的正整数.（1）若为等比数列，，求；（2）若为等差数列，其前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.15. 求证：三角形的三条高线交于一点．16. 在等比数列中，已知，且，，成等差数列.（I）求数列的通项公式；（II）设，求数列的前n 项和为；（Ⅲ）记，求证：数列的前n 项和.。
2023届山东省滨州市高三第一次模拟考试数学模拟试题(PDF版)
山东省滨州市2023届高三第一次模拟考试数学模拟试题2023.3一、单选题1．已知集合{|(2)(5)0},M x x x =+-≤{}|2xN y y ==，则M N ⋂=（ ）A ．(0,5]B ．(0,2]C ．[2,5]D ．[2,)+∞2．已知复数i2iz =+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为（ ） A ．12i 55+B ．12i 55-C ．21i 55+ D ．21i 55-3．在平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 上靠近B 的三等分点，N 为线段AD 上靠近D 的三等分点，AB a =，AD b =，则向量NM =（ ）A ．13a b -B ．13a b -C ．13b a -r rD ．13b a -4．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为112V =⨯(底面圆的周长的平方⨯高)，则由此可推得圆周率π的取值为 A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.25．从11名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ） A ．49B ．56C ．64D ．846．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，直线24x π=为()f x 的图象的一条对称轴，且()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则下列结论正确的是A ．()f x 的最小正周期为πB ．12x π=为()f x 的一个零点C ．()f x 在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-D ．()f x 的单调递增区间为5,()242242k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦7．已知34452018120181,2018120181a b ++==++则,a b 之间的大小关系是A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．无法比较8．已知3()32(0)f x x x m m =-++>，在区间[0,2]上存在三个不同的实数,,a b c ，使得以(),(),()f a f b f c 为边长的三角形是直角三角形，则m 的取值范围是（ ）A ．4m >+B ．02m <<+C ．44m -<+D ．04m <<+二、多选题9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）A ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为π4 B ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于π4C ．点D 到面1ACDD ．三棱柱1111AA D BB C -10．已知曲线()e (2)x f x x a =+在点(0,2)处的切线为l ，且l 与曲线2()4g x x x b =++也相切．则（ ） A ．a b =B ．存在l 的平行线与曲线()y f x =相切C ．任意(2,)x ∈-+∞，()()f x g x ≥恒成立D ．存在实数c ，使得()()g x c f x +≥任意[)0,x ∈+∞恒成立11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上一点P 作的垂线，垂足为Q ，则下列说法正确的是（ ） A ．准线l 的方程为=1x -B ．若过焦点F 的直线交抛物线C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，且126x x +=，则||7AB = C ．若(2,1)E ，则||||PE PF +的最小值为3D ．延长PF 交抛物线C 于点M ，若4||3PF =，则16||3PM =12．定义在(1,1)-上的函数()f x 满足()()()1x yf x f y f xy--=-，且当(1,0)x ∈-时，()0f x <，则有( )A ．()f x 为奇函数B ．存在非零实数a ，b ，使得1()()2f a f b f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．()f x 为增函数D ．115236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、填空题13．若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数之和为32，则()()2n x y x y +-的展开式中24x y 的系数为_________．14．两圆x 2+y 2+6x-4y+9=0和x 2+y 2-6x+12y-19=0的位置关系是___________________.15．已知函数()21x f x x +=，则其在3x =处的切线方程为（填写一般式方程）____________；16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，ADE V 的周长是13，则DE =_____．四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足36a =，642S =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若211=-n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且25π4cos 4cos 502A A ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭．(1)求A ；(2)2=，求sin C ． 19．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 交于点O ，平面外一点P 在平面ABCD 内的射影为O ，PB 与平面ABCD 所成角为30°.（1）求证：BD PA ⊥；（2）点N 在线段PB 上，且N PCD V -=，求PN PB 的值.20．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日开幕，观众可以通过中央电视台综合频道观看比赛实况．某机构对某社区群众每天观看比赛的情况进行调查，将每天观看比赛时间超过3小时的人称为“冬奥迷”，否则称为“非冬奥迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如表所示：(1)补全22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为是否为“冬奥迷”与性别有关？ (2)现从抽取的“冬奥迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，记这2人中男“冬奥迷”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．21．如图,O 为坐标原点,椭圆1:C ()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知12e e =,且241F F =.(1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.22．已知函数()()233e xf x x x =-+⋅.(1)试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]2,t -（2t >-）上为单调函数；(2)若t 为自然数，则当t 取哪些值时，方程()()0R f x z x -=∈在[]2,t -上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数z 的取值范围.第7页山东省滨州市2023届高三第一次模拟考试数学模拟试题2023.3一、单选题1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 2．已知复数，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B3．在平行四边形中，设为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B4．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为(底面圆的周长的平方高)，则由此可推得圆周率的取值为 A ． B ． C ． D ．【答案】A5．从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入{|(2)(5)0},M x x x =+-≤{}|2xN y y ==M N ⋂=(0,5](0,2][2,5][2,)+∞i2iz =+12i 55+12i 55-21i 55+21i 55-ABCD M BC B N AD D AB a =AD b =NM =13a b -13a b -13b a -r r 13b a -112V =⨯⨯π3 3.1 3.14 3.211318选的不同选法的种数为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C6．已知函数，直线为的图象的一条对称轴，且在上单调，则下列结论正确的是A ．的最小正周期为B ．为的一个零点C ．在上的最小值为D ．的单调递增区间为 【答案】D7．已知则之间的大小关系是 A ． B ．C ．D ．无法比较【答案】A8．已知，在区间上存在三个不同的实数，使得以为边长的三角形是直角三角形，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 二、多选题9．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）49566484()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭24x π=()f x ()f x ,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭()f x π12x π=()f x ()f x 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-()f x 5,()242242k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦34452018120181,2018120181a b ++==++,a b a b >a b <a b =3()32(0)f x x x m m =-++>[0,2],,a b c (),(),()f a f b f c m 4m >+02m <<+44m -<+04m <<+1111ABCD A B C D -第9页A ．两条异面直线和所成的角为B ．直线与平面所成的角等于C ．点D 到面的距离为D ．三棱柱【答案】BCD10．已知曲线在点处的切线为，且与曲线也相切．则（ ） A ．B ．存在的平行线与曲线相切C ．任意，恒成立D ．存在实数，使得任意恒成立 【答案】AC11．已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上一点P 作的垂线，垂足为Q ，则下列说法正确的是（ ） A ．准线l 的方程为B ．若过焦点F 的直线交抛物线C 于两点，且，则 C ．若，则的最小值为31D C 1BC π4BC 11ABC D π41ACD 1111AA D BB C -()e (2)x f x x a =+(0,2)l l 2()4g x x x b =++a b =l ()y f x =(2,)x ∈-+∞()()f x g x ≥c ()()g x c f x +≥[)0,x ∈+∞2:4C y x ==1x -()()1122,,,A x y B x y 126x x +=||7AB =(2,1)E ||||PE PF +10D ．延长交抛物线C 于点M ，若，则 【答案】ACD12．定义在上的函数满足，且当时，，则有( )A ．为奇函数B ．存在非零实数a ，b ，使得C ．为增函数D ． 【答案】ABC 三、填空题13．若的展开式中二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为_________．【答案】距离与半径相加相减的大小比较得到圆与圆的位置关系．15．已知函数，则其在处的切线方程为（填写一般式方程）____________； 【答案】16．已知椭圆，的上顶点为A ，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则_____． 【答案】6PF 4||3PF =16||3PM =(1,1)-()f x ()()()1x yf x f y f xy --=-(1,0)x ∈-()0f x <()f x 1()()2f a f b f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x 115236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2n x y x y +-24x y 15-()21x f x x +=3x =8960x y -+=2222:1(0)x y C a b a b +=>>C 1F 2F 121F 2AF C D E ADE V DE =第11页四、解答题17．已知等差数列的前项和为，且满足，． （1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和． 18．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．(1)求A ； (2)，求．{}n a n n S 36a =642S ={}n a 211=-n n b a {}n b n n T 121n ⎛++ -⎝ABC 25π4cos 4cos 502A A ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭2=sin C1219．已知菱形的边长为2，，对角线、交于点O ，平面外一点P 在平面内的射影为O ，与平面所成角为30°.（1）求证：；（2）点N 在线段上，且的值.ABCD 60ABC ∠=︒AC BD ABCD PB ABCD BD PA ⊥PB N PCD V -=PN PB第13页，则20．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日开幕，观众可以通过中央电视台综PO AC O =合频道观看比赛实况．某机构对某社区群众每天观看比赛的情况进行调查，将每天观看比赛时间超过3小时的人称为“冬奥迷”，否则称为“非冬奥迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如表所示：(1)补全列联表，并判断是否有99%的把握认为是否为“冬奥迷”与性别有关？ (2)现从抽取的“冬奥迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，记这2人中男“冬奥迷”的人数为，求的分布列和数学期望．附：，其中．22⨯X X ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++第15页布写分布列和计算数学期望 (1)解：（1）补全的列联表如下：，（关键：根据“是否有99%的把握”，在临界值表中查找对应的值与观测值进行比较）所以没有99%的把握认为是否为“冬奥迷”与性别有关． (2)由（1）知抽取的“冬奥迷”有30人，其中男“冬奥迷”有20人，女“冬奥迷”有10人，由分层抽样的知识知抽取的6人中，男“冬奥迷”有4人，女“冬奥迷”有2人，则的所有可能取值为0，1，2，，，， 所以的分布列为22⨯()22502014610 6.464 6.63530202426K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯X ()2226C 10C 15P X ===()114226C C 81C 15P X ===()2426C 22C 5P X ===X16（提示：注意利用分布列中的各个概率之和为1检验所得分布列是否正确） 所以． 21．如图,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知且.(1)求的方程;(2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=O 1:C ()222210x y a b a b+=>>12,F F 1e 2:C 22221x y a b -=34,F F 2e 12e e =241F F =12,C C 1F 1C y AB M AB OM 2C ,P Q APBQ第17页则四边形面积,因为,所以当时,四边形面积的最小值为.22．已知函数.APBQ 222221322122n n n ⋅+==⋅-+--2022n <-≤20n =APBQ 2()()233e xf x x x =-+⋅18(1)试确定的取值范围，使得函数在（）上为单调函数； (2)若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析【分析】（1）根据导数判断函数的单调区间，再根据为某个单调区间的子集得的取值范围；（2）根据函数的单调性与极值最值情况可确定实数的取值范围，再结合函数图象确定的取值范围. （1）由，得，令，解得或，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 又函数在上为单调函数，所以； （2）由（1）得函数在，上单调递增，在上单调递减，，，t ()f x []2,t -2t >-t t ()()0R f x z x -=∈[]2,t -z 20t -<≤[]2,t -t t z ()()233e x f x x x =-+⋅()()()()223e 33e 1e x x xf x x x x x x '=-⋅+-+⋅=-()0f x '=0x =1x =0x <()0f x ¢>()f x 01x <<()0f x '<()f x 1x >()0f x ¢>()f x ()f x (),0∞-()1,+∞()0,1()f x []2,t -20t -<≤()f x (),0∞-()1,+∞()0,1()03f =()1e f =第19页20。
2023年山东省齐鲁名校大联考(聊城市等)高考数学第三次质检试卷+答案解析(附后)
2023年山东省齐鲁名校大联考（聊城市等）高考数学第三次质检试卷1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 若在复数范围内分解为，，则在复数平面内，复数对应的点位于( )A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限3. 已知a，b均为不等于0的实数，则“”是“，”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知等差数列的前n项和为，且，，则是中的( )A. 第30项B. 第36项C. 第48项D. 第60项5. 我国古代数学家赵爽所使用的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.如图①，是一个“勾股圆方图”，设，，；在正方形EFGH中再作四个全等的直角三角形和一个小正方形IJKL，且，如图②.若，且，则( )A. B. C. D.6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为C上位于第一象限的一点，与y轴交于点若，则C的离心率为( )A. B. C. D.7. 已知是R上的偶函数，且当时，若，则( )A. B.C. D.8. 在三棱锥中，，，，二面角的大小为若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，则当三棱锥的体积最大时，球O的体积为( )A. B. C. D.9. 已知a，b，c是两两异面的三条直线，，，直线d满足，，，，则c与d的位置关系可以是( )A. 相交B. 异面C. 平行D. 垂直10. 某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设“该家庭中有男孩、又有女孩”，“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的是( )A. 若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥B. 若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立C. 若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥D. 若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立11. 已知函数在区间上有四个零点，分别为，，，，且，则( )A. B. C. D.12. 对于两个均不等于1的正数m和n，定义：，则下列结论正确的是( )A. 若，且，则B. 若，且，则C. 若，则D. 若，，则13. 若是函数图象上的任意一点，则是函数图象上的相应的点，那么______ . 14. 某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格.现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值…，，经计算，若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为______ 用百分数作答，精确到参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，15. 若曲线上恰有四个不同的点到直线及点的距离都相等，则实数a的一个值可以是______ .16. 已知函数，则的最小值是______ ；若关于x的方程有3个实数解，则实数a的取值范围是______ .17. 已知在数列中，，，且对任意的，，，成公比为的等比数列.在中是否存在连续的三项成等差数列？若存在，请找出来；若不存在，请说明理由；令，求数列的前n项和18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求A；设，D为边BC上一点，且，求参考数据：，19. 如图，在三棱柱中，D是的中点，E是CD的中点，点F在上，且证明：平面ABC；若平面ABC，，，求平面DEF与平面夹角的余弦值.20. 某药厂研制了治疗某种疾病的新药，该药的治愈率为p，现用该药给10位病人治疗，记被治愈的人数为若，从这10人中随机选2人进行用药访谈，求被选中的治愈人数Y的分布列；已知，集合概率最大，且A中仅有两个元素，求21. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点.求C的方程；不垂直于坐标轴的直线l交C于M，N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若，证明：直线l过四个定点，，，中的一个.22. 已知函数证明：当时，；当时，；若关于x的方程有两解，，证明：①；②答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题意得集合所以，，，故选：根据具体函数的定义域解得A，根据正切函数性质得，然后判断选项即可．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由，得，当，时，，，所以；当，时，，综上，复数对应的点位于虚轴上．故选：先求出复数，，再根据共轭复数的定义结合复数的减法运算及乘法求出复数，再根据复数的几何意义即可得解．本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由，得，于是，则，或，，所以充分性不成立；反之，当，时，当且仅当时，取等号，则必要性成立，所以“”是“，”的必要不充分条件．故选：判断“”和“，”之间的逻辑推理关系，可得答案．本题主要考查了基本不等式的应用，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：设等差数列的公差为d，由，得①；由，得，即②．由①②解得，，所以，于是，而，故是中的第30项．故选：根据等差数列的通项公式列式，求得首项和公差，可得其通项公式，求出，即可求得答案．本题主要考查等差数列的前n项和公式，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为，，所以，所以，故选：根据向量的加减法运算法则，，，化简得到本题考查平面向量的加减法，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：如图，由，得为等边三角形，结合对称性及椭圆的定义，得，又，，则B为的中点，从而OB为的中位线，，，，即，则，故选：结合对称性及椭圆的定义，得到，然后根据B为的中点，推导出，求得，，找到c，a的关系，从而求得离心率．本题主要考查了椭圆的定义和性质，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由是R上的偶函数，得，即，所以的图象关于直线对称，当时，，由，仅在，时取等号，得在区间上为减函数，则在区间上为增函数，根据图象的对称性，由得，则C正确、D错误，当，异号时，则或，即或，即选项A，B的结果不能确定，故选：根据函数为偶函数可得出的图象关于直线对称，结合导数判断时函数的单调性，由此结合函数的性质和，可得出，即可判断C，D；脱掉绝对值符号化简，可判断A，本题主要考查了函数的对称性和单调性，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：设点P在平面ABC内的射影为H，连接AH，考虑到二面角的大小为，则点H与点C在直线AB的两侧，因为平面ABC，平面ABC，所以，又，，PA，平面PAH，所以平面PAH，平面PAH，所以为二面角的平面角的补角，所以，又，所以，从而三棱锥的高为又的面积，所以当时，的面积最大，最大值为1，所以当时，三棱锥的体积最大，因此点C和点P在图中两全等长方体构成的大长方体的体对角线的顶点上．以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz：因为球O的球心O与的外接圆的圆心的连线垂直平面ABC，为AC为斜边的直角三角形，所以其外接圆的圆心为AC的中点，所以球O的球心O在底面ABC内的射影为线段AC的中点，于是设又，，由，得，解得，则球O的半径，所以球O的体积故选：作二面角的平面角，确定三棱锥的高，根据条件证明，建立坐标系，根据条件确定球心位置，求出球的半径，由此可得球O的体积．本题主要考查了与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：如图，在正方体中，E是上一点异于，AB，，所在直线分别为a，b，d，当所在直线为c时，符合题中条件，此时c与d平行，C正确；当所在直线为c时，符合题中条件，此时c与d异面，B正确；若c与d相交，则a垂直于c，d确定的平面，又a垂直于b，d确定的平面，则b，c，d在同一个平面内，即b与c共面，与已知矛盾，A错误；若c与d垂直，则c垂直于a，d确定的平面，而b垂直于a，d确定的平面，推出b与c平行或重合，与已知矛盾，D错误，故选：作出正方体模型，确定AB，，所在直线分别为a，b，d，符合题意，然后考虑直线c的位置情况，根据空间的线面位置关系，一一判断各选项，即可得答案．本题主要考查了空间中两直线位置关系的判断，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：若该家庭中有两个小孩，样本空间为男，男，男，女，女，男，女，女，男，女，女，男，男，男，男，女，女，男，男，女，女，男，则M与N不互斥，，，，于是，所以M与N不相互独立，则A错误、B正确；若该家庭中有三个小孩，样本空间为男，男，男，男，男，女，男，女，男，女，男，男，男，女，女，女，男，女，女，女，男，女，女，女，男，男，女，男，女，男，女，男，男，男，女，女，女，男，女，女，女，男，男，男，男，男，男，女，男，女，男，女，男，男，男，男，女，男，女，男，女，男，男，则M与N不互斥，，，，于是，所以M与N相互独立，则C和D均正确．故选：若该家庭中有两个小孩，写出对应的样本空间即可判断A和B；若该家庭中有三个小孩，写出对应的样本空间，即可判断C和本题考查互斥事件与对立事件的相关知识，属于中档题．11.【答案】AC【解析】解：由，得，由题意知，当时，直线与函数的图象有四个交点，且交点的横坐标分别为，，，，如图，设直线与曲线相切时k的值为a，于是斜率k的取值范围为，根据的图象知，，得，又，，所以由在上单调递增可得，从而，则A正确；由，得，又，，所以，由在上单调递减可得，从而，则B错误；由，得，又，，所以，由在上单调递减可得，从而，则C正确；因为，，当k接近0时，离比离近，所以，当k接近a时，离比离近，所以，所以与的大小关系是不确定的，则D错误．故选：由，得，则当时，直线与函数的图象有四个交点，画出函数，的图象，结合图像分析判断即可得解．本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：选项A：当时，，即，即；当时，，即，即综上，当时，或，则A错误；选项B：由及，得，即，即，即或，即或由，得，从而可得，则B正确；选项C：若，则，而由，得，所以成立，则C正确；选项D：由指数函数是减函数，且，可得；由幂函数是增函数，且，可得，于是，所以，同理，，所以，则D错误．故选：根据函数新定义，比较，大小，然后结合题目条件，逐个判断．选项A：当时，；当时，；解得：或；选项B：将转化为；选项C：结合范围，化简，，然后进行对数运算．选项D：结合范围判断，，，然后进行对数运算．本题主要考查对数运算的性质，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】0【解析】解：因为点在的图象上，则在的图象上，所以，，所以，由已知恒成立，又，，所以，，即恒成立，所以，又，所以所以，于是故答案为：由条件求出A，，，由此确定函数的解析式，再求本题主要考查余弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．14.【答案】【解析】解：因为100个数据，，，…，的平均值，方差，所以的估计值为，的估计值为设该市高中生的身体素质指标值为X，由，得，，所以故答案为：计算样本的平均数和方差，由此估计，，再结合参考数据求本题考查平均数与方差的定义以及正态分布相关知识，属于中档题．15.【答案】填写区间内的任一实数均可【解析】解：到直线及点的距离都相等的点的轨迹为以为准线，以为焦点的抛物线，设其方程为，则，所以由，得或，由已知曲线与曲线有四个交点，因为与关于x轴对称，抛物线关于x轴对称，所以曲线与射线有两个位于x轴上方的交点，由得，所以有两个正根，所以，且故满足题意的实数a的取值范围是故答案为：填写区间内的任一实数均可先求到直线和点的距离相等的点的轨迹方程，再由其与曲线有四个交点求出a的范围，由此可得结论．本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：根据与大小关系比较与大小的推理见后附，可知，设，注意到曲线与曲线恰好交于点，显然，，作出的大致图象如图，可得的最小值是1，从而的最小值是由，得设直线与曲线切于点，，直线过定点，则，解得，从而由图象可知，若关于x的方程有3个实数解，则直线与曲线有3个交点，则，即所求实数a的取值范围是故答案为：2；附：当时，设，则，所以在区间上单调递减，从而，此时；当时，设，在区间上单调递减，所以当时，，即；当时，，即；当时，，即第一空，由题意可知，故设，作出其图象，数形结合，可得的最小值；第二空，利用导数的几何意义求出直线与曲线相切时的a的值，将关于x的方程有3个实数解问题转化为直线与曲线的交点问题，数形结合，可得答案．本题主要考查利用导数研究函数的最值，函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：存在，，，成等差数列，理由如下：，，成公比为的等比数列，则，，从而；，，成公比为的等比数列，则，从而，于是，故，，成等差数列．由题意，对任意的，得，即当时，得；当时，，适合上式，所以，，所以，所以，所以【解析】由条件可知，，成公比为的等比数列，由此可用表示，，再由，，成公比为的等比数列，可表示，再证明，，都成等差数列，即可得到结论；由条件证明，利用累乘法求，再由裂项相消法求本题主要考查等差数列的判断，数列的求和，裂项求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：因为，所以，所以由正弦定理得，又，所以，因为，所以，所以，即，又，所以；由题意，得，结合，，解得，在中，由正弦定理得，则，，从而【解析】利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理将C用A，B表示，结合两角和的正弦公式化简即可得解；先利用等面积法将AD用b，c表示，再在中，由正弦定理求得b，c，代入化简即可得解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．19.【答案】证明：如图，取AD的中点G，连接GE，G F，由D是的中点，得，因为，则，从而，又平面ABC，平面ABC，即有平面ABC，因为G，E分别为AD，CD的中点，则，又平面ABC，平面ABC，即有平面ABC，又，GE，平面GEF，因此平面平面ABC，因为平面GEF，所以平面解：如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，从而，，，设平面DEF的法向量为，则，即，取，则；设平面的法向量为，则，取，则，则，故平面DEF与平面夹角的余弦值为【解析】取AD的中点G，连接GE，GF，利用线面平行的判定，面面平行的判定、性质推理作答．以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答．本题主要考查直线与平面平行的证明，平面与平面夹角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：由题意知，1，2，又，，，的分布列为：Y012P由题意知，则，由且，得，解得，因为A为双元素集合且元素为正整数，且，所以，且11p需为正整数，因为，所以因为11p为正整数，所以，即由题意，，因此【解析】根据超几何分布的概率计算，可求得概率，即得分布列；根据二项分布的概率公式列出不等式组，求得满足集合A的k的范围，结合条件确定p的值，继而根据二项分布的均值求得答案．本题考查离散型随机变量的分布列，二项分布的概率的最值的求解，二项分布的期望的求解，不等式思想，属中档题．21.【答案】解：设C的焦距为2c，则，即，，，由双曲线的定义，得，即，所以，故C的方程为；证明：设，，，直线l的方程为，联立，整理得，由题意，得且，则且，则，，，设MN的中点为，则，，所以线段MN的垂直平分线的方程为，令，得，即，所以，由题意，得，即，从而，当，即时，解得或；当，即时，解得或，所以直线l的方程为，或，或，或，故直线l过四个定点，，，中的一个．【解析】根据题意求出a，b，即可得解；设，，，直线l的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，，再根据，求出t，s的关系，即可得出结论．本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的综合，圆锥曲线中直线过定点问题，考查运算求解能力，属于难题．22.【答案】证明：设，则，仅当时取等号，所以是增函数，且，当时，，即；当时，，即综上，当时，；当时，证明：①由题意，得，，则，令，则，因为时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以是的极小值点，也是最小值点，且，要有两个不同的零点，首先必须，即，而当时，，所以需满足，则当时，在区间内有一个零点；又，则在区间内又有一个零点综上，若关于x的方程有两解，，则②由①可知，由，得，即，即因为，所以由，得，即，整理得①，因为，所以同理可得②，由①②，同构函数，则，因为，，，所以方程有两个不等正实根，设，则且，则有，，所以，即【解析】求出函数的导数，根据其正负判断函数的单调性，从而证明结论；①根据有两解可得有两零点，利用其导数求得其最小值，根据条件列出相应不等式，求得参数范围，即证明结论；②由，推出，结合和的结论，得，即，同理可得，从而同构函数，结合一元二次方程根的分布求得其根的范围，即可证明结论．本题主要考查了利用导数判断函数的单调性和解决零点问题以及证明不等式，综合性加强，难度较大，解答的难点在于证明，要结合方程两解情况，同构函数，进而判断其根的分布范围，进而证明结论．。
2023年山东省春季高考模拟考试数学试题
2023年山东省春季高考第二次模拟考试数学试题一、选择题1.若全集U ={−1,0,1,2},P ={x ∈Z |x 2<2}，则集合P 关于全集U 的补集是A.{2}B.{0,2}C.{−1,2}D.{−1,0,2}2.若a,b,c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是A.a +c >b −cB.(a −b )c 2≥0C.ac >bcD.c 2a−b >03.函数y =√log 0.5(3x −2)的定义域是A.[23,1)B.(23,+∞)C.(0,1]D.(23,1]4.设m ∈R ，命题存在m >0，使方程x 2+x −m =0有实根的否定是A.任意m >0，使方程x 2+x −m =0无实根B. 任意m ≤0，使方程x 2+x −m =0有实根C. 存在m >0，使方程x 2+x −m =0无实根D. 存在m ≤0，使方程x 2+x −m =0有实根5.设函数f (x )=(x +1)(x +a )为偶函数，则a =A.1B.−1C.−2D.26.在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，化简AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A.BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗7.南北时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”·其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1,V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1,S2,则S1,S2总相等”是V1,V2相等”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.某种动物繁殖量y（只）与时间x（年）的关系为y=a log3(x+1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到A.200只B.300只C.400只D.500只9.下列关于(a−b)11的说法中错误的是A.展开式中的二项式系数之和为2048B.展开式各项系数之和为0C.展开式中只有第6项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小10.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了？”根据此规律，求后3天一共走多少里A.156里B.66里C.42里D.36里⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值为11.已知点A(1,1),B(4,2)和向量a=(2,λ)，若a ‖ABA.−32B.32C.−23D.2312.已知点P(1,2)在角α的终边上，那么sin2α的值是A.−45B.45C.−35D.3513.已知正四棱锥S−ABCD的直观图和正试图，如图所示，则该四棱锥的侧面积为A.√5B.4√5C.√6D.4√614.在北京冬奥会期间，共有1.8万多名赛会志愿者和20余万人次城市志愿者参与服务.据统计某高校共有本科生1600人，硕士生600人，博士生200人申请报名做志愿者，现用分层抽样方法从中抽取博士生30人，则该高校抽取的志愿者总人数为A.300B.320C.340D.36015.我校将对语、数、英、理、化、生六门学科进行期末考试，其中数学不能安排在第一场考，且语文不能安排在最后一场考，那么不同的考试安排方法有()种.A.600B.504C.480D.38416.甲乙两位射击运动员在一次射击中各射靶6次，每次命中的环数如下表：则下列说法正B.乙比甲射击的平均成绩高，乙比甲射击的成绩稳定C.甲比乙射击的平均成绩高，甲比乙射击的成绩稳定D.甲比乙射击的平均成绩高，乙比甲射击的成绩稳定17.已知直线平面，直线平面，给出下列命题，其中正确的是（1）α‖β⇒l⊥m（2）α⊥β⇒l‖m（3）l‖m⇒α⊥β（4）l⊥m⇒α‖βA.（1）（3）B.（2）（3）（4）C.（2）（4）D.（1）（2）（3）18.在ΔABC 中，若cos A cos B =b a =43，则ΔABC 是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.钝角三角形19.函数f (x )=A sin (wx +φ)(A >0,w >0,−π<φ<0)的部分图像如图所示，为了得到g (x )=A sin wx 的图像，只需将函数y =f (x )的图像A.向左平移π3个单位长度B. 向左平移π12个单位长度 C. 向右平移π3个单位长度D. 向右平移π12个单位长度20.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点F 重合，抛物线的准线与双曲线交于A,B 两点，且ΔOAB 的面积为6（O 为原点），则双曲线的方程为A.x 23−y 212=1B.x 236−y 232=1C.x 23−y 2=1D.x 2−y 23=1二、填空题21.已知函数f (x )={x +2,x >0x 2,x ≤0，则f [f (−2)]= 22.已知函数y =f (x )是定义在[−4,4]上的减函数，且f (a +1)>f (2a )，则a 的取值范围是23.已知A (−1,4),B (3,−2)，以AB 为直径的圆的标准方程为24.从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个不重复的数组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率是25.已知x,y满足{x−y≤0 2x+y≥0x+y−1≤0，则目标函数z=−x+y的最大值是三、解答题26.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),f(x+1)−f(x)=2x，且f(0)=1（1）求函数f(x)的解析式（2）求函数f(x)在区间[−1,1]上的值域27.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=−1（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式（2）若T3=21，求S328.已知ΔABC的周长为4(√2+1)，且sin B+sin C=√2sin A（1）求边长a的值（2）若SΔABC=3sin A，求cos A的值29.在四棱锥P−ABCD中，AD⊥平面PDC，AD‖BC，PD⊥PB，AD=1,BC=2,E为PB中点（1）求证：AE‖平面PCD（2）求证：PD⊥平面PBC30.已知椭圆c:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2，以点F1为圆心，以3为半径的圆与以点F2为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上，设点A(0,b)，在ΔAF1F2中，∠F1AF2=2π3（1）求椭圆C的方程（2）设过点P(2,−1)的直线l不经过点A，且与椭圆C相交于M,N两点，若直线AM与AN的斜率分别是k1,k2，求k1+k2的值。
2023届新高考金榜押题卷猜题卷数学试题含解析(第3套)
2023届新高考数学金榜押题卷（3）【满分：150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{1,2}A =-，{}2|430B x x x =-+=，则()U A B =ð( ) A.{1,3}B.{0,3}C.{2,1}-D.{2,0}-2.若复数z 满足()42i (3i)z +=-=( )==+=b4.设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm 规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为120，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为( )A.15B.110C.115D.1205.圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是( ) A.8B. C.D.6.已知的图象关于点(1,0)对称，且对任意x ∈R ，都有(1)(3)f x f x -=-成立，当[1,0)∈-时，，则(2021)f =(). A.-8B.-2C.0D.27.《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著.《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了43(1)y f x =-2()2f x x =完整的体系.其中卷第五《商功》中记载了如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何?”其意思为“现在有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，无宽，上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少?”(1丈为10尺).该问题中涉及的几何体如图所示，在多面体中，//EF 平面的中点G 在底面ABCD 上的射影为矩形的中心,4,3,2,1O AB BC EF OG ====，则异面直线与CF 所成角的余弦值为( )A.C.8.已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若12AF AF ⊥，122AF F S =V ，则椭圆C 的方程为( )A.22162x y += B.22184x y += C.22182x y +=D.2212016x y += 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是( ) A.222a b ab +≥B.a b +≥1b +>2a b≥10.已知函数()sin(2)f x x ωϕ=+（ω为正整数，π||2ϕ<）的最小正周期3π3π,42T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数()f x 的说法正确的是( ) A.6π-是函数()f x 的一个零点 B.函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称 C.方程1()2f x =在[0,π]上有三个解 ABCDEF,ABCD EF ABCDBDD.函数()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减11.已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c =+++∈R ，则下列说法正确的是( ) A.若实数1x ，2x 是()f x 的两个不同的极值点，且满足1212x x x x +=，则0a >或6a <-B.函数()f x 的图象过坐标原点的充要条件是0c =C.若函数()f x 在R 上单调，则23b a ≤D.若函数()f x 的图象关于点(1,(1))f 中心对称，则3a =-12.正四面体PABC 中，点,M N 分别满足1,2PM PA PN PB λ==uuu ruu r uuur uu r，其中[0,1]λ∈，则下列说法正确的有( ) A.当12λ=时，//MN 平面ABC B.不存在λ使得MN PC ⊥C.异面直线BM 与PCD.若正四面体的棱长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n a n S -=，则2023a =________.14.()82112x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为_________.（用数字作答）15.已知双曲线2222:1(0,x y C a b a b-=>>交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，O 为坐标原点.若点M 的横坐标为1，则OM 16.已知函数e ()xf x x=，，当21x x >时，不等式恒成立，则实数a 的取值范围为____________.四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(0,)x ∈+∞()()112221f x ax f x ax x x --<17.（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为. （1）若12S =，，证明：12n n S a +=-；（2）在（1）的条件下，若，数列{}n b 的前n 项和为，求证12311112nT T T T ++++<. 18.（12分）已知菱形ABCD 的边长为2，，E 是边BC 上一点，线段DE 交AC 于点F .(1)若CDE △，求DE 的长. (2)4DF =，求.19.（12分）某工厂统计了某产品的原材料投人x (万元)与利润y (万元)间的几组数据如下： (1)根据经验可知原材料投人x (万元)与利润y (万元)间具有线性相关关系，求利润y (万元)关于原材料投人x (万元)的线性回归方程.(2)当原材料投人为100万元时，预估该产品的利润为多少万元?附：ˆb=y bx =-.20.（12分）如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，，AB AC ⊥，E 是PB 的中点.n S 122n n S S +=+2log n n b a =n T 60DAB ∠=︒sin DFC ∠PA PB =（1）求证：平面PAC ；（2）若30ABO CBO ∠=∠=︒，，5PA =，求二面角正余弦值. 21.（12分）已知O 是平面直角坐标系的原点，F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且OAB △的重心G 在曲线29620x y -+=上.(1)求抛物线C 的方程；(2)记曲线29620x y -+=与y 轴的交点为D ，且直线AB 与x 轴相交于点E ，弦AB 的中点为M ，求四边形DEMG 面积的最小值.22.（12分）已知函数e (1)()ea axx f x -=(其中e 为自然对数的底数，a ∈R ). (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；(2)若，方程()10f x a +-=有两个不同的实数根，求证：22122e x x +>.//OE 3PO =C AE B --0a >12,x x答案以及解析1.答案：D解析：集合，所以{1,1,2,3}A B =-，所以.故选D. 2.答案：D解析：由()()()()286i 42i (3i)3216i 24i 12142i 42i42i 20z ------====-++-=3.答案：B解析：由222||27+=++⋅=a b a b a b ，解得，所以4.答案：B解析：设1A ，2A 分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B 表示取得的芯片为次品，甲厂生产该芯片的次品率为p ， 则()1123205P A ==，()225P A =，()1P B A p =∣，()2120P B A =∣， 则由全概率公式得：()()()()()11223210.085520P B P A P B A P A P B A p =+=⨯+⨯=∣∣，解得110p =，故选：B. 5.答案：A解析：本题考查圆锥的侧面积、底面积、截面面积的求解.设圆锥底面半径为r ，母线为l ，轴截面顶角为(0π)θθ<<，则24ππ3rl r =，得43l r =，所以3πsinsin 244r l θ==>=，因为为锐角，所以π24θ>，即，则θ为纯角，所以当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为22114822l =⨯=.故选A.6.答案：B解析：因为的图象关于点(1,0)对称，所以函数的图象关于点(0,0)对称，即函数为奇函数，所以()()f x f x -=-，{1,3}B =(){2,0}U A B =-ð1⋅=a b cos<,>⋅==a b a b a b 2θπ2θ>(1)y f x =-()f x ()f x又对任意，都有(1)(3)f x f x-=-成立，所以，所以(4)(2)[()]()f x f x f x f x+=-+=--=，即函数是周期为4的周期函数，因为当[1,0)x∈-时，，所以2(2021)(1)(1)2(1)2f f f==--=-⨯-=-，故选B.7.答案：D解析：本题考查数学文化、异面直线所成角.如图，分别取的中点,,P Q R，连接，则,////ER CF QR BD，所以(或其补角)为异面直线BD与所成角.1522QR BD===.由题意知四边形为等腰梯形，则由等腰梯形的性质知EQFQ==ER CF==，所以在EQRV中，由余弦定理，得222cos2ER QR EQQREER QR+-∠==⋅D.8.答案：A解析：因为点A在椭圆上，所以122AF AF a+=，把该等式两边同时平方，得222121224AF AF AF AF a++=.又12AF AF⊥，所以222124AF AF c+=，则222122444AF AF a c b=-=，即，所以12212122AF FS AF AF b===△.因为x∈R(2)()()f x f x f x+=-=-()f x2()2f x x=,,AD BC CD,,,,,EP PQ QF QR RE EQ QRE∠CFPQFE2122AF AF b=是直角三角形，1290F AF ∠=︒，且O 为的中点，所以121||2OA F F c ==.不妨设点A 在第一象限，则230AOF ∠=︒，所以1,2A c ⎫⎪⎪⎝⎭，所以122121112222AF F S F F c c =⋅==△，即24c =，故2226a b c =+=，所以椭圆C 的方程为22162x y +=，故选A. 9.答案：AD解析：对于A ，因为220,0,0a b ab ≥≥>，所以222a b ab +≥，因此A 项正确；对于B ，取1a b ==-，此时22a b +=-<=，因此B 项不正确；对于C ，取1a b ==-，122b +=-<=，因此C 项不正确；对于D ，因为0,0ba >>，，因此D 正确. 10.答案：ABD解析：由题意得，2π3π3π,242T ω⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，解得23<43ω<，又ω为正整数，所以1ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+.函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数()sin 2sin 23π6ππ6g x f x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由题意，函数()g x 的图象关于原点对称，故ππ()3k k ϕ-=∈Z ，即π()3πk k ϕ=+∈Z .又π||2ϕ<，所以0k =，π3ϕ=，所以()s 23πin f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.A 选项πππsin 2sin 00663f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；B 选项：5π5πsin 2sin 1121ππ232f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以B 正确；C 选项：令3π2t x =+，因为[0,π]x ∈，所以7π,33πt ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，显然1sin 2t =在π7π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦12AF F △12F F ab >2a b +≥=内只有5π6，13π6两个解，故C 错误； D 选项：当,62ππx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2π4π3π2,,3332π2πx ⎛⎫⎛⎫+∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，故函数()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 11.答案：ABD解析：A 选项2()32f x x ax b '=++，由题意知实数1x ，2x 是方程2320x ax b ++=的两个不等实根，所以24120a b ∆=->，且1223a x x +=-，123bx x =，由1212x x xx +=，得2b a =-，所以260a a +>，解得0a >或6a <-，所以A 正确.B 选项：若函数()f x 的图象过坐标原点，则(0)0f c ==，故充分性成立；反之，若0c =，则(0)0f c ==，故函数()f x 的图象过坐标原点，必要性成立.故B 正确. C 选项：若函数()f x 在R 上单调，则2()320f x x ax b '=++≥恒成立，所以24120a b -≤，即23b a ≥，故C 不正确.D 选项：因为函数()f x 的图象关于点(1,(1))f 中心对称，所以(1)(1)2(1)f x f x f ++-=，即3(1)x ++232(1)(1)(1)(1)(1)2(1)a x b x c x a x b x c a b c +++++-+-+-+=+++，整理得2(3)0a x +=，所以3a =-，所以D 正确. 12.答案：AD解析：对于A ，如图1，当12λ=时，点,M N 分别是,PA PB 的中点，//MN AB .又AB ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC ，故选项A 正确；对于B ，如图2，将正四面体PABC 放在正方体内，由正方体的结构特征可知AB PC ⊥，所以当,M N 分别是,PA PB 的中点时，MN PC ⊥，即存在λ使得MN PC ⊥，故选项B 错误；对于C ，如图1，取AC 的中点E ，连接,,ME BM BE ，则//PC ME ，异面直线BM与PC 所成角即为BME ∠.在BME △中，设1ME =，则BE BM ==由余弦定理得cos BME∠==C错误；对于D，如图2，把正四面体放入正方体中，由正四面体的棱长为2，所以正方体的外接球的直径为，故选项D正确，故选AD.13.答案：202321-解析：因为2n na n S-=，所以当1n=时，由11121a S a==-，得11a=；当2n≥时，()11221n n n n na S S a n a n--=-=--+-，化简得121n na a-=+，即()1121n na a-+=+，所以数列{}1na+是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12nna+=，所以21nna=-，所以2023202321a=-.14.答案：182解析：因为()88822111122x x x x xx x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝+⋅⎭⎭=，其中81xx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式的通项为8821881C Crr r r rrT x xx--+⎛⎫==⎪⎝⎭，令4r=得81xx⎛⎫+⎪⎝⎭的常数项为48C70=，令822r-=-，即5r=得81xx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式中2x-的系数为58C56=.34π3=所以()82112x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的常数项为70256182+⨯=.故答案为：182. 15.答案：)+∞解析：由题知24,a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩解得2222,2,,ab bc a =⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以双曲线22:144x y C -=.设直线l 的方程为y kx m =+，联立22,1,44y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理得()2221240k x kmx m ----=，所以()()222Δ(2)4140km k m =----->，所以22440m k -+>，16.答案：e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦解析：由题可知，当21x x >时，不等式()()22111222x f x ax x f x ax -<-恒成立，设22()()e x g x xf x ax ax =-=-，则()g x 在(0,)x ∈+∞上是增函数，则()e 20x g x ax '=-≥在(0,)+∞上恒成立，即e 2x a x ≤在(0,)+∞上恒成立.令e ()x m x x =，则2(1)e ()x x m x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0m x '<，()m x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0m x '>，()m x 单调递增.所以min 2()(1)e a m x m ≤==，所以e2a ≤. 17.答案：（1）见解析 （2）见解析解析：（1）因为12S =，122n n S S +=+， 所以()1222n n S S ++=+，124S +=，所以数列{}2n S +是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以122n n S ++=，122n n S +∴=-，当2n ≥时，122n n S -=-，12n n n n S S a --==， 当1n =时，112a S ==满足上式， 所以2n n a =，所以12n n S a +=-成立. （2）由（1）知2n n a =，2log n n b a n ==，所以(1)2n n n T +=， 则12112(1)1n T n n n n ⎛⎫==⨯- ⎪++⎝⎭， 所以1231111n T T T T ++++=11111111212122233411n n n ⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-++-=⨯-< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以12311112nT T T T ++++<成立. 18.答案：解析：(1)依题意，得60BCD DAB∠=∠=︒. 因为CDE △的面积1sin 2S CD CE BCD=⋅⋅∠=所以122CE ⨯=1CE =. 在CDE △中，由余弦定理得DE ===(2)方法一：连接BD .依题意，得30,60ACD BDC ∠=︒∠=︒， 设CDE θ∠=，则060θ︒<<︒，在CDF △中，由正弦定理得sin sin CF DFACD θ=∠，4DF =，所以sin 2CF DF θ==，所以cos θ()1sin sin 30+2DFC θ∠=︒==方法二：连接BD .依题意，得30ACD ∠=︒，60BDC ∠=︒， 设CDE θ∠=，则0060︒<<︒，设4CF x =4DF =，则DF =，在CDF △中，由余弦定理，得2222cos DF CD CF CD CF ACD =+-⋅∠，即227416x x =+-，解得x =x =.又因为12CF AC ≤=x ≤，所以所以9DF=， 在中，由正弦定理得sin sin CD DFDFC ACD=∠∠， 所以. 19.答案：(1)221040y x =- (2)1160万元()18284858688855=⨯++++=，()1770800830850900830,5y =⨯++++= 所以()()()51521ˆii i ii xx y y bxx ==--=-∑∑()()()()2222360130012037022(3)(1)013-⨯-+-⨯-++⨯+⨯==-+-+++所以83022851040a y bx =-=-⨯=-， 所以线性回归方程为221040y x =-.x =CDF △sin DFC ∠=(2)当100y=⨯-=(万元)，x=时，2210010401160即当原材料投人为100万元时，预估该产品的利润为1160万元20.答案：（1）证明见解析（2）1113解析：（1）如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.因为AP PB⊥.=，所以PD AB因为PO为三棱锥P ABC-的高，所以PO⊥平面ABC，因为AB⊂平面ABC，所以PO AB⊥.又,=，所以AB⊥平面POD.PO PD⊂平面POD，且PO PD P因为OD⊂平面POD，所以AB OD⊥，又AB ACOD AC，因为OD⊂/平面PAC，AC⊂平面PAC，所以//OD平⊥，所以//面PAC.因为D，E分别为BA，BP的中点，所以//DE PA，因为DE⊂/平面PAC，PA⊂平面PAC，所以//DE平面PAC.又,=，OD DE⊂平面ODE，OD DE D所以平面//ODE平面PAC.又OE⊂平面ODE，所以//OE平面PAC.（2）连接OA，因为PO⊥平面ABC，,OA OB⊂平面ABC，所以PO OA⊥，⊥，PO OB所以4=.OA OB易得在AOB △中，30OAB ABO ∠=∠=︒，所以1sin30422OD OA =︒=⨯=，322cos3024432AB AD OA ==︒=⨯⨯=， 又60ABC ABO CBO ∠=∠+∠=︒，所以在Rt ABC △中，tan 6043312AC AB =︒=⨯=.以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x ，y 轴，以过A 且垂直于平面ABC的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0)A ，(43,0,0)B ，(0,12,0)C ，(23,2,3)P ，333,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面AEC 的法向量为(,,)x y z =n ，则00AE AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即33302120x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩， 令23z =，则(1,0,23)=-n .设平面AEB 的法向量为()111,,x y z =m ，则00AE AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即111133302430x y z x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，令12z =，则(0,3,2)=-m . 所以43|cos ,|||||13⋅〈〉==⋅n m n m n m .设二面角C AE B --的大小为θ，则24311sin 11313θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭.21.答案：(1)22x y =0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，显然直线AB 的斜率存在，设:AB y kx =+22x py =联立，消去y 得2220x pkx p --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,G x y ，则212122,x x pk x x p +==-，所以()212122y y k x x p pk p +=++=+，所以022,32,3pk x pk p y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且20032x y =22341293p k =⋅+即222221pk p p k +=+，整理得()2211pk p p -=-对任意的k 恒成立，故1p =，所求抛物线C 的方程为22x y =.(2)由题知10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,02E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0k ≠，M x k =，G x =23=.又弦AB 的中点为M ，△=OG OM ==//ME .点D 到直线AB 的距离1d =DG =1122k k k ⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以四边形DEMG 的面积25111132123212k k S k k k ⎛⎫⎛⎫=++=+≥⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==22.答案：(1)1ey = (2)见解析解析：(1)当1a =时，e(1)()e xx f x -=， 则121(),(2)e ex x f x f --=='， 因此()'20f =，故曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为1ey =. (2)由题意知方程e 0ax x a --=有两个不同的实数根12,x x . 对于函数e (0),e (1)ax ax y x a a y ax --=>=-'-，令e (1)0ax y ax -=->'，解得1x a <，令e (1)0ax y ax -=-<'，解得1x a >，则函数e ax y x a -=-在区间1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以11e 0a a -->，得21ea <.又当0x <时，e 0ax x a --<，所以方程e 0ax x a --=的两个不同的实数根12,x x 均大于0.当0x >时，方程e 0ax x a --=即方程ln ln e e x ax a -=，则原问题等价于ln ln x ax a -=有两个不同的正实数根12,x x . 令()ln ln (0)g x x ax a x =-->， 则1()(0)g x a x x->'=，所以()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，不妨设12x x <，则1210x x a<<<.令21()(),0,G x g x g x x a a⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则22()2201(2)G x a a x ax a =->-'=-，因此()G x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 从而当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0G x <，所以()()1212g x g x g x a⎛⎫=<- ⎪⎝⎭， 因为2121,,x x aa⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，函数()g x 在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以212x x a >-，即122x x a+>， 则()2122212222e 2x x x x a ++>>>， 故原命题得证.。
2023年山东省济宁市高考数学一模试卷+答案解析(附后)
2023年山东省济宁市高考数学一模试卷1. 已知集合，，则( )A. B.C. D. 2. 若，则( )A.B. 2iC.D. 23. 已知等差数列的前5项和，且满足，则等差数列的公差为( )A. B. C. 1 D. 34. 从1至6的6个整数中随机取3个不同的整数，其中恰有两个是偶数的概率( )A. B.C. D.5. 若过点的直线l 与圆有公共点，则直线l 的倾斜角的最大值( )A. B.C.D.6. 已知，则( )A. B. C.D.7. 若函数且在区间内单调递增，则a 的取值范围是( )A.B. C.D.8. 已知直三棱柱，D 为线段的中点，E 为线段的中点，过的内切圆圆心，且，则三棱一的外接球表面积为( )A. B. C. D.9. 某中学为了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，从本校所有学生中随机调查了50名男生和50名女生，得到如下列联表：经常锻炼不经常锻炼男4010女3020aXa经计算，则可以推断出( )A. 该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为B. 该学校男生比女生更经常锻炼C. 有的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异D. 有的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异10. 已知函数，且，，则下列说法中正确的是( )A. B. 在上单调递增C. 为偶函数D.11. 已知函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则下列结论中一定正确的是( )A. B. C. D.12. 已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是与的离心率，且P是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是( )A. B.C. 的最大值为D. 的最大值为13. 已知平面向量，，若与共线，则______ .14. 的展开式中的系数为______ 用数字作答15. 已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是______ .16. 已知函数，若在上有解，则的最小值______ .17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求角A的大小；若，，求边BC上的高18. 某市航空公司为了解每年航班正点率对每年顾客投诉次数单位：次的影响，对近8年年年每年航班正点率和每年顾客投诉次数y的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.600592求y关于x的经验回归方程；该市航空公司预计2024年航班正点率为，利用中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数；根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为X，求X的分布列和数学期望.附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：19. 已知数列的前n项和为，且满足：，求证：数列为常数列；设，求20. 如图，在四棱台中，底面ABCD为平行四边形，平面平面ABCD，证明：平面；若，求直线与平面所成角的正弦值.21. 已知直线与抛物线C：相切于点A，动直线l与抛物线C交于不同两点M，异于点，且以MN为直径的圆过点求抛物线C的方程及点A的坐标；当点A到直线l的距离最大时，求直线l的方程.22. 已知函数当时，求函数的单调区间；当时，讨论函数的零点个数.答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合，，则故选：用列举法表示集合M，利用交集定义能求出结果．本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：，则，故选：计算，再计算得到答案．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由题意得，，解得，故选：根据题意得到，，解得答案．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：从1至6的6个整数中随机取3个不同的整数，其中恰有两个是偶数的概率故选：根据题意概率，计算得到答案．本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：直线的倾斜角最大时，直线与圆相切，此时斜率存在，如图所示：圆的圆心为，半径，设直线方程，即，直线到圆心的距离为，解得或，当时，倾斜角最大为，故选：直线的倾斜角最大时，直线与圆相切，设直线方程，根据圆心到直线的距离等于半径得到或，即可得出答案．本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：故选：，代入数据计算得到答案．本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：令，则，当或时，，当时，，所以在和上递减，在上递增，当时，为增函数，且函数在区间内单调递增，所以，解得，此时在上递增，则恒成立，当时，为减函数，且函数在区间内单调递增，所以，无解，综上所述，a的取值范围是故选：令，利用导数求出函数的单调区间，再分和两种情况讨论，结合复合函数的单调性即可得解．本题主要考查复合函数的单调性，对数函数的性质，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：如图，D为线段的中点，，平面，平面，故，，AD，平面，故平面，平面，故，故，因为E为线段的中点且过的内切圆圆心，故，即，所以，取AB的中点F，连接CF、DF，分别在CF、DF上取、的外接圆圆心、，过，分别作平面CAB，平面DAB的垂线，两垂线交于点O，则点O为三棱锥的外接球球心，在中由余弦定理得：，所以，设、的外接圆半径分别为、，三棱锥的外接球半径为R，，解得，同理，所以，所以三棱锥的外接球表面积为故选：计算，过，分别作平面CAB，平面DAB的垂线，两垂线交于点O，点O为三棱锥的外接球球心，计算，再利用勾股定理得到，计算表面积得到答案．本题考查了三棱锥外接球的表面积计算，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：对于A，该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为，故A错误；对于B，经常体育锻炼的概率的估计值男生为，女生为，故B正确；对于C，，故有的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，故C正确；对于D，，故没有的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，故D错误．故选：利用频率估计概率得到A错误B正确，确定，得到C正确D错误，得到答案．本题主要考查独立性检验的应用，属于基础题．10.【答案】AB【解析】解：函数，且，，，故A正确．，，，，令，可得，当时，，故在上单调递增，故B正确；由于为非奇非偶函数，故C错误；，，故D错误，故选：由题意，先求出和值，可得的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：为奇函数，，令得，，即，故A正确；的图象关于y轴对称，为偶函数，，令时，，故B正确，由可得，，两边同时求导可得，，令得，，故C错误；令得，，即，故D正确，故选：由为奇函数可得，令可判断A，由为偶函数可得，令可判断B，由可得，，两边同时求导可得，，分别令和可判断本题主要考查了抽象函数的应用，考查了奇函数和偶函数的定义，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：，又，所以A正确；又，，令，，，满足，，可得，所以B正确；，当且仅当时取等号，这是不可能的．所以C不正确；，当且仅当时取等号，所以D正确；故选：利用椭圆、双曲线焦点相同，结合勾股定理，推出，然后利用基本不等式转化求解判断选项即可．本题主要考查椭圆，双曲线的性质，圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：，，则，，故，解得故答案为：确定，根据平行得到，解得答案．本题主要考查平面向量共线的性质，属于基础题．14.【答案】10【解析】解：，展开式的通项为，取得到；取得到；取得到；故的系数为故答案为：确定，展开式的通项为，取，，计算得到答案．本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：函数且的图象过定点，则，所以，由，得，则令，，则，则，当且仅当，即，即时，取等号，所以的最小值是故答案为：求出函数所过的定点，则有，则，则，化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可．本题主要考查了指数函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．16.【答案】【解析】解：设函数在上的零点为m，则，所以点在直线上．设O为坐标原点，则，其最小值就是O到直线l的距离的平方，所以，设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以，，所以的最小值为故答案为：确定点在直线上，，设，求导得到导函数，确定单调区间计算最值得到答案．本题考查了利用导数求最值，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将转化为点到直线的距离的平方，再利用导数求最值是解题的关键．17.【答案】解：，故，整理得，故，又，故，即，解得或舍去，由，解得【解析】根据正弦定理，得，再结合余弦定理求解即可；根据条件求出c，再利用等面积法求解即可．本题考查正余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．18.【答案】解：，则，所以，所以；当时，，所以2024年顾客对该市航空公司投诉的次数为20次；可取0，1，2，3，4，，，，所以X的分布列为：X 0 1 2 3 4P所以【解析】根据题中数据利用最小二乘法求出，即可得解；将代入回归方程即可得解；先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可．本题考查了回归方程和离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．19.【答案】解：证明：，，，两式相减得：，，，，，又，，上式也成立，数列为常数列；由得，，，，两式相减得，【解析】根据题意转化可得，从而即可证明；先求出数列的通项，再利用错位相减法，即可求解．本题考查错位相减法求和，化归转化思想，属中档题．20.【答案】证明：连接BD交AC于点O，连接，，由题意得：且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；解：因为，，所以，又平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD ，又，所以平面ABCD ，又在中，，，，所以，，所以DA ，DB ，两两垂直．以，，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标．则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，即：，令，则，，所以，设与平面所成角为，则，，故直线与平面所成角的正弦值为【解析】连接BD 交AC 于点O ，则，可得线面平行；可得DA ，DB ，两两垂直，由此建立空间直角坐标，求平面的法向量，代入向量夹角公式即可求．本题考查线面位置关系，考查线面所成的角，属于中档题．21.【答案】解：直线与抛物线C ：相切，联立，整理得，，解得或不合题意，舍去，当时，，解得，，故抛物线C 的方程为，点A 的坐标为；显然直线l的斜率存在，可设直线l的方程为，，，联立，整理得，则，，，，且以MN为直径的圆过点A，，即，整理得，，即，，即或，或，当时，直线l的方程为，即，故直线l过定点不符合题意，舍去，当时，直线l的方程为，满足，即，故直线l过定点，当直线l与AQ垂直时，点A到直线l的距离最大，又，，故直线l的方程为【解析】联立，根据，求出p，即可得出答案；由题意可设直线l的方程为，，，联立方程，利用韦达定理求得，，再根据以MN为直径的圆过点A，可得，从而可求得k，b的关系，从而可求得直线l所过的定点Q，再由直线l与AQ垂直时，点A到直线l的距离最大，即可得出答案．本题考查直线与抛物线的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：当时，，当时，；当时，；当时，，所以函数的单调增区间为和，单调减区间为，令，得或，由于，当时，；当时，，当时，所以函数的单调增区间为和，单调减区间为，令，得，当时，，又，所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点；当时，，又，所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和a ；令，得，现说明，即，即显然成立．因为，故，当时，，又，所以存在唯一，唯一，唯一，使得，此时函数有3个零点，，，当时，，又所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和当时，，又所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点综上所述，当时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有1个零点．【解析】求导得到，根据导函数的正负得到单调区间．求导得到，确定函数的单调区间，计算和，得到和，考虑，，，，几种情况，计算零点得到答案．本题考查了函数的单调性问题，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中确定函数的单调区间，根据函数值分类讨论确定零点个数是解题的关键，分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握．。
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(新高考)数学试题及答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（新高考）数学试题及答案一、单选题（20分）请从每题的选项中选择一个最符合题意的答案，并在答题卡上将相应的字母涂黑。
1.若函数f(x)在区间[-1,3]上连续，则其必定是 A. 递减函数 B. 倒U型函数 C. 奇函数 D. 偶函数2.已知三角形ABC，AB=AC，角A=40°，则角B的度数等于 A. 40° B. 70° C. 80° D. 100°3.设a,b都是正数，且logₐ1/3=log₃b/2，则a/b的值等于 A. 1/4 B. 1/3 C. 1/2 D. 24.若a,b>0，且a+b=1，则a²+b²的最小值是 A. 1/2 B.1/√2 C. 1/4 D. 15.若直线y=mx+2与曲线y=4x²-3x-1有两个公共点，则m的取值范围是 A. (-∞,1/8) B. (-∞,0)∪(0,1/8) C. (-∞,1/8]∪[0,+∞) D. (-∞,0)二、多选题（20分）请从每题的选项中选择一个或多个最符合题意的答案，并在答题卡上将相应的字母涂黑。
6.设实数x满足条件|x-3| < 2，下列等式成立的是 A.x > 5 B. x < 1 C. x ≠ 3 D. x > 17.在直角坐标系中，下列函数中具有对称中心为(2,-1)的是 A. y=x-1 B. y=-(x-2)²-1 C. y=√(x²-4x+4) D. y=1/x-38.设集合A={a, a², a³}，则以下命题成立的是 A. 若a>1，则a>1/a² B. 若a<0，则a³<0 C. 若a=1, 则A={1} D. 若a=0，则A={0}9.已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c，若它与y=x+3有恰有一个交点，并且这个交点横纵坐标都是正数，则以下命题成立的是 A. a+b = -1 B. a+c = -3 C. a+c > 0 D. a+b+c > 010.设集合A={x | x=x²-2x-3, x∈R}，B={x | x²+x-6=0,x∈R}，则以下命题成立的是A. A⊂B B. A∩B=∅ C. B⊆A D.B∪A=∅三、填空题（20分）请根据题目要求填写空缺，并在答题卡上写出完整的答案。
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2023届山东省高考模拟练习（三）数学试题
一、单选题：本题共8小题 每小题5分 共40分。
在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的.
1．设
1i
2i 1i z -=
++ 则||z =
A ．0
B ．1
2 C ．1 D 2
2．已知全集为R 集合A ＝{x|x ≥0} B ＝{x|x2－6x ＋8≤0} 则A ∩(∁RB)＝( )
A ．{x|x ≤0}
B ．{x|2≤x ≤4}
C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}
D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4} 3．（2020·全国高三月考（文））已知向量()2,1m =-
()
,2n λ= 若()2m n m -⊥ 则λ=
（ ）
A ．9
4 B ．94-
C ．7-
D ．7
4．（2020·河南郑州市·高二期中（理））如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME -7）的会徽图案 会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的 其中
11223781OA A A A A A A ===⋯== 如果把图2中的直角三角形继续作下去 记
12,
,,,
n OA OA OA 的长度构成数列
{}n a 则此数列的通项公式为（ ）
A ．
n a n = *
n N ∈ B ．1n a n =+*n N ∈
C ．n a n = *n N ∈
D ．2n a n = *n N ∈
5．（2020·全国高三月考（理））已知正实数a b 满足1a b += 则1231⎛
⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭a b 的最小值为（ ） A ．146+B ．25
C ．24
D ．123
6．（2020·河南高二月考（理））在ABC 中 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 已
知
()2sin 232B
A C +=.2a = 3c = 则sin 2A 的值为（ ） A ．277-
B ．3314
C ．37
D ．4321
-
7．（2020·全国高三月考（理））已知a 、b 满足0a b e <<< 则ln +
b a a a 与ln +a b
b b 的
大小关系为（ ）
A ．
ln ln +>+a b a b a b a b B ．ln ln +=+a b a b
a b a b C ．
ln ln +
<+a b a b a b a b D ．不能确定
8．（2020·小店区·山西大附中高二月考）在正方体
1
AC 中 E 是棱1CC 的中点 F 是侧面
11
BCC B 内的动点 且
1A F
与平面
1D AE
的垂线垂直 如图所示 下列说法不正确的是（ ）
A ．点F 的轨迹是一条线段
B ．1A F
与BE 是异面直线
C ．
1A F
与
1D E
不可能平行 D ．三棱锥
1
F ABD -的体积为定值
多项选择题(本大题共4小题 每小题5分 共20分．全部选对的得5分 部分选对的得3分 有选错的得0分)
9．（2020·重庆市万州第二高级中学高一期中）德国数学家狄里克雷
()18051859-在
1837
年时提出：“如果对于x 的每一个值 y 总有一个完全确定的值与之对应 那么y 是x 的函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵 只要有一个法则 使得取值范围内的每一个x 都有一个确定的y 和它对应就行了 不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数
()
D x 即：当自变量x 取有理数时 函数值为1 当自变量x 取无理数时 函
数值为0.狄里克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识 也使数学家们更加认可函数的对应说定义 下列关于狄里克雷函数()
D x 的性质表述正确的是（ ）
A ．()0
D π= B ．
()
D x 是奇函数
C ．
()
D x 的值域是
{}0,1
D ．
()()
1D x D x +=
10．（2020·江苏海安市·高三期中）若
2n
x x ⎛
⎝的展开式中第6项的二项式系数最大 则n 的可能值为（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
11．（2020·烟台市福山区教育局高三期中）已知函数()sin x
f x x =
(]0,x π∈ 则下列结论
正确的有（ ） A ．
()
f x 在区间
(]0,π上单调递减
B ．若120x x π
<<≤ 则
1221
sin sin x x x x ⋅>⋅
C ．
()
f x 在区间
(]0,π上的值域为
[)0,1
D ．若函数()()cos g x xg x x
'=+ 且
()1g π=-
()
g x 在
(]0,π上单调递减
12．（2021·福建省福州第一中学高三期中）如图 正方体1111
ABCD A B C D -的棱长为3 线
段
11
B D 上有两个动点,E F 且1EF = 以下结论正确的有（ ）
A ．AC BE ⊥
B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值
C ．点A 到平面BEF 的距离为定值
D ．三棱锥A BEF -的体积是定值
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本题共4小题 每小题5分 共20分． 13．二项式
(
)
n
x x 2+的二项式系数之和为64 则展开式中的6x 的系数是 （填数字）
14．己知βα，为锐角 211)tan(-
=+βα 5
4
cos =β 则=αsin 15．已知点P 是椭圆14
:22
=+y x C 上一点 椭圆C 在点P 处的切线l 与圆4:22=+y x O
交于A B 两点 当三角形AOB 的面积取最大值时 切线l 的斜率等于 16．已知四边形ABCD 为平行四边形 4=AB 3=AD 3
π
=
∠BAD 现将ABD ∆沿直线
BD 翻折 得到三棱锥BCD A -' 若13='C A 则三棱锥BCD A -'的内切球与外接球表面积的比值为 .
四、解答题：本题共6小题 共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）在锐角△ABC 中 角A B C 的对边分别为a b c 且222cos cos 3sin sin C A A B B -=-．
(1)求C 的大小；
(2)若1c = 求22b a -的取值范围．
18.（本小题满分12分）已知数列{a n }满足11a = 且11
n
n n a a a +=+. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）令24
4n n
b a =
- 求数列{b n }的前n 项和S n . 19.（本小题满分12分）如图 在四棱锥P ﹣ABCD 中 底面ABCD 为正方形 ∠PAB ＝90° PB ＝PD PA ＝AB E 为线段PB 的中点 F 为线段BC 上的动点． （1）求证：AE ⊥平面PBC ；
（2）是否存在点F 使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°？若存在 试确定点F 的
位置；若不存在 请说明理由．
20.（本小题满分12分）端午假期即将到来 某超市举办“高考高粽”有奖促销活动 凡持高考准考证考生及家长在端午节期间消费每超过600元（含600元） 均可抽奖一次 抽奖箱里有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球有3个 黑球有7个） 抽奖方案设置两种 顾客自行选择其中的一种方案．
方案一：从抽奖箱中 一次性摸出3个球 其中奖规则为：若摸到3个红球 享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折 若摸出1个红球 则打7折；若没摸出红球 则不打折． 方案二：从抽奖箱中 有放回每次摸取1球 连摸3次 每摸到1次红球 立减200元． （1）若小清、小北均分别消费了600元 且均选择抽奖方案一 试求他们至多一人享受免单优惠的概率；
（2）若小杰消费恰好满1000元 试比较说明小杰选择哪一种抽奖方案更合算？
21.（本小题满分12分）已知点N 为圆C 1：（x +1）2+y 2＝16上一动点 圆心C 1关于y 轴的对称点为C 2 点M P 分别是线段C 1N C 2N 上的点 且MP •N C 2＝0 N C 2＝2P C 2． （1）求点M 的轨迹方程；
（2）过点A （﹣2 0）且斜率为k （k ＞0）的直线与点M 的轨迹交于A G 两点 点H 在点M 的轨迹上 GA ⊥HA 当2|AG |＝|AH |时 证明：3＜k ＜2．
22.（本小题满分12分）设函数()e x ax
f x =
a ≠0 a ∈R ．
（1）讨论f （x ）的单调性；
（2）当a ＝1且m ∈（0 ln2）时 函数()()
1ln x m x x F x f x ⎛
⎫++ ⎪
⎝
⎭
=（x ＞0） 证明：F （x ）存在极
小值点x 0 且m ＋ln x 0＜0．。