小波去噪中噪声估计失真判别方法

小波去噪中噪声估计失真判别方法王新;王建顺【摘要】研究小波阈值去噪时存在的噪声估计失真问题。

当采用常见的阈值确定方法对含有较强高频分量的信号进行小波去噪时，小波分析的频带能量泄漏现象会导致噪声估计失真，从而使小波阈值去噪出现较大的偏差。

从小波分解的d1细节层和d2细节层的相关性角度，揭示d2细节层频带能量泄漏对噪声估计影响的规律，提出根据d1、d2细节层的最大相关系数判别噪声估计失真的方法。

最后，给出解决噪声估计失真的方法。

实验表明，该方法可以很好地判别小波去噪中是否出现噪声估计失真，可以避免出现去噪后信号有用信息损失严重的问题。

%When the signals containing some high frequency components are denoised by using the wavelet denoising with conventional threshold selection methods, the frequency-band energy leakage in wavelet analysis will lead to the distortion of the noise estimation, so that the wavelet threshold denoising may contain large errors. In this paper, the noise estimation distortion in the wavelet threshold denoising was studied. In view of the relevance between the d1 detail level and the d2 detail level, the influence of the frequency-band energy leakage of the d2 detail level on the noise estimation was analyzed. The identification method for noise estimation distortion was proposed by using the maximum correlation coefficient of the d1 detail level and the d2 detail level. Finally, the method of restraining the noise estimation distortion was given. The results of test show that the noise estimation distortion can be distinguished by using this method, andthe trouble of the useful information missing in the wavelet denoising process can be avoided.【期刊名称】《噪声与振动控制》【年(卷),期】2015(000)005【总页数】6页(P145-149,171)【关键词】声学;小波去噪;噪声估计失真;阈值方法;频带能量泄漏【作者】王新;王建顺【作者单位】河南理工大学电气工程与自动化学院，河南焦作 454000;河南理工大学电气工程与自动化学院，河南焦作 454000【正文语种】中文【中图分类】TN911.7小波去噪是一种先进的去噪方法。

小波阈值去噪法是小波去噪方法中应用较广泛的一种方法，其去噪过程包括小波分解、去噪处理和小波重建三大步骤，其中去噪处理过程中的阈值确定方法是小波去噪的关键。

常见的阈值确定方法有如下四种：长度对数阈值法（即sqtwolog）、基于Stein的无偏似然估计（SURE）阈值法（即rigrsure）、启发式SURE阈值法（即heursure）和极小极大方差阈值法（即minimaxi）［1，2］。

由于阈值确定方法与噪声估计有着紧密地联系，所以噪声估计的准确性是小波去噪的关键。

由于噪声估计一般是以小波分解的最高频率频带（即d1细节层，以下简称d1层）的小波系数进行估计的［3］，所以当信号本身存在一定程度的高频分量时（这些高频分量不是噪声信号），将会对噪声估计产生影响。

若有高频分量处于d1层频带，则肯定会对该层的小波系数以及噪声估计产生显著的影响。

因此，小波去噪时一般都会尽量避免高频分量处于d1层频带。

但是，往往会忽视处于最高频率频带的相邻频带（即d2细节层，以下简称d2层）的高频分量对噪声估计的影响。

在实际系统中，因测量条件及其它因素所限，采样频率不宜过高，信号可能存在处于d2层的高频分量的现象。

关键是处于d2层的高频分量是否会引起噪声估计的失真。

由于噪声估计失真通常使噪声估计远大于真实值，从而导致信号小波去噪后有用信息损失严重，对小波去噪效果有恶劣影响，所以判别噪声估计是否失真非常重要。

小波分析存在频带能量泄漏现象，该问题在许多文献中已有探讨［4-6］。

但是，频带能量泄漏现象对小波去噪影响的研究还不够成熟，缺乏频带能量泄漏对噪声估计的影响定量分析，尤其缺乏判别噪声估计是否出现失真的方法。

为此，本文重点研究d2层中高频分量的频带能量泄漏对噪声估计和小波去噪效果的影响。

主要成果在于从d1层和d2层小波系数的相关性角度，分析频带能量泄漏对噪声估计影响的程度，提出噪声估计失真的判别方法，并提出噪声估计失真情况下的解决方法。

在小波阈值去噪过程中，去噪处理环节包括两个步骤：一是根据阈值的确定方法计算阈值，二是根据该阈值采用作用阈值方法进行处理。

1.1阈值的确定方法阈值的确定方法是小波去噪效果好坏的关键之一。

常见的阈值确定方法有如下四种：sqtwolog、rigrsure、heursure和minimaxi，上述方法在MATLAB中也有介绍。

其中sqtwolog方法和minimaxi方法与噪声估计的关系最为直观。

例如，sqtwolog法的阈值计算公式为式中为噪声估计，N为d1层小波系数的个数。

λ作为小波分析的各细节层的阈值［7-10］。

本文以sqtwolog法为例进行分析。

1.2作用阈值方法作用阈值方法主要有硬阈值法和软阈值法，此外还有一些改进方法。

由于软阈值法去噪后信号的小波系数在阈值λ处的连续性好于硬阈值法，所以软阈值法更为常用。

在作用阈值处理过程中，采用软阈值法对小波系数进行处理后，得到的小波系数为式中λ为阈值。

以下分析采用的作用阈值方法均为软阈值法［7-10］。

1.3基于小波系数的噪声估计一维含噪信号的模型可表示为式中s（x）为观测得到的含噪信号，f（x）为有用信号，n（x）噪声信号，假定n（x）是服从的高斯白噪声。

白噪声n（x）的小波变换为式中ψa（x）是尺度为a的小波函数。

因为由此可见，白噪声信号的||Wa（a，x）2的均值与尺度a成反比。

随着尺度的增大，白噪声的小波变换系数是逐渐减小的。

因此，通常情况下认为信号主要集中在小波变换的低频频带，而噪声主要集中在小波变换的高频频带，并且可以由此来估计噪声的方差。

利用小波系数进行噪声估计的常见方法为所以式中为第J层（即d1层）的小波系数，N为该层小波系数的个数［3］。

1.4噪声估计失真的影响由式（1）可知，当d1层小波系数的个数N一定时，sqtwolog法的阈值只与噪声估计σ^有关，一旦出现噪声估计失真，必然影响去噪效果。

由式（8）可知，噪声估计取决于d1层的小波系数，噪声估计的前提条件是该层的小波系数只含噪声信息。

如果按照采样定理来确定采样频率时，使d1层频带只含噪声信息，而不包含有用高频分量，那么理论上可以满足噪声估计的前提条件。

但是，在实际情况下，d1层的小波系数还可能包含来自d2层高频分量的频带能量泄漏。

通常情况下，d2层频带能量泄漏会导致噪声估计失真，σ^会比实际值大，从而导致去噪阈值偏大，去噪后信号中有用信息出现损失。

下面定量分析频带能量泄漏对噪声估计的影响，判断是否达到噪声估计失真的程度。

2.1实验方法为了定量分析频带能量泄漏对噪声估计的影响，构造信号如下式中n（t）为白噪声信号均为3依次为10 Hz、50 Hz和70 Hz，的变化范围为130～245 Hz。

为了分析方便，下面设，则）进行离散化处理，得到，这里采样频率为 1 000 Hz。

在下面的小波去噪分析中，信号的采样点个数为2 048，选择Daubechies 3小波，小波分析的层数为4层，其各个细节层按照由高频到低频的顺序依次为d1—d4层，以及a4近似层。

这样，频率为f4的分量处于d2层中。

2.2频带能量泄漏对噪声估计的影响由前面的分析和式（8）可以看出，N一定时噪声估计只与d1层的小波系数紧密相关。

由于信号）的f1、f2、f3分量和分量都不处于d1层。

所以，在理想情况下，可以认为其噪声估计与这四个频率分量无关，信号）的噪声估计是相同的。

但是，实际情况下却不是这样。

由于小波分析存在频带能量泄漏，x2（k）相对x1（k）而言，d1层的小波系数包含该层噪声和f4分量在该层的能量泄漏两种信息，前者是固有计算噪声估计的依据，而后者对噪声估计有一定的影响，是不希望有的因素。

为了定量观察f4分量对噪声估计的影响，假定表示x2（k）的噪声估计与的噪声估计之比。

这样，可以观察不同信噪比下变化对的影响，与的关系曲线如图1所示。

可见，f4分量在d1层的能量泄漏信息会使噪声估计增大，出现噪声估计失真，并且基本上噪声估计失真程度随f4频率值的增大而增大。

对于同样频率的f4分量，信噪比SNR越大，f4分量对噪声估计的影响越大。

噪声估计失真会使信号去噪后的有用信息损失严重，对小波去噪有恶劣影响。

因此，在小波去噪过程中，判断噪声估计是否失真是小波去噪的关键。

在考虑频带能量泄漏情况下，噪声估计不再只是与d1层有关，而是与d1、d2层有关。

由于白噪声进行小波分解后，对各细节层都有影响，且随着尺度的增大，小波变换系数是逐渐减小的。

所以，信号x2（k）小波分解后，d1层所含的信息主要是该层噪声和f4分量在d1层的能量泄漏；d2层所含的信息主要是该层噪声和f4分量。

由于白噪声在d1、d2层的信息没有相关性，而f4分量在d1层的信息是由其能量泄漏造成的，其d1、d2层的信息具有相关性。

所以下面从相关性的角度，确定频带能量泄漏对噪声估计的影响程度。

3.1最大相关系数计算方法首先将信号做归一化处理，然后进行小波分解并单支重构，得到重构后的d1、d2层小波系数，分别为Wf（J，k）和Wf（J-1，k），这里J为小波分解的层数，为单支重构后d1、d2层的点的个数）。