基于熵检测的图像噪声方差小波域估计

文章编号：基于熵检测的图像噪声方差小波域估计李天翼1,2, 王明辉1, 常化文1, 陈淑清1(1． 四川大学 计算机学院, 成都 610065; 2． 四川大学 制造学院, 成都 610065)摘要：提出一种在小波域中基于熵值检测的图像噪声方差估计算法．利用小波变换能显著降低图像信号的熵而并不改变高斯噪声熵的特性，以及噪声熵值与噪声方差之间呈对数关系变化的规律，定量地分析了含噪图像在小波高频对角子带中系数的熵值随噪声幅值的变化规律，揭示这种变化关系对图像具有较强的鲁棒性，从而利用这种变化关系，通过对含噪图像小波域熵值的检测对高斯噪声进行估计．仿真结果表明，提出算法能够有效估计出图像中噪声的方差，并且受图像细节影响较小，性能优于现有许多其他算法． 关 键 词：小波变换；熵；高斯噪声；方差估计 中图分类号：TN929．53 文献标识码：AAn Entropy-based Estimation of Noise Variancein Wavelet DomainLI Tian-yi 1,2, WANG Ming-hui 2, CHANG Hua-wen 1, CHEN Shu-qing 1(1． College of Computer Science, Sichuan University, Chengdu 610065, China;2． School of Manufacturing Science and Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, China)Abstract ：A new approach with entropy inspection in wavelet domain is proposed for estimation of the variance of Gaussian noise in images. With advantage of wavelet transform, the entropy of image signal degrades notably with the Gaussian noise entropy unchanging. It denotes that the noise entropy value varies with the noise levels in manner of logarithm. The relation between the entropy values of the noisy image wavelet coefficients and the noise levels is traversed in quantitative form. A formula is given to depict this functional relation. Experiment indicates that such a relation is robust to images. A noise estimation is thus made with the entropy inspection of the noisy image in wavelet domain and the established formula as apriori knowledge. Meanwhile, a simulation shows that the proposed approach can achieve more exact value while little influenced by image details.Key words ：wavelet transform; entropy; Gaussian noise; variance estimation高斯噪声的滤除是图像处理中一个重要的预处理步骤，而图像降噪中一个基础性的工作是对噪声参数的估计．对于零均值高斯白噪声，这一问题就是对噪声方差的估计．目前已有许多学者提出了对这一问题的解决方案[1-6]，其中由Donoho 提出的基于小波系数的算法[5](以下简称传统方法)，由于具有可靠的数学论证和较准确的结果而得到广泛采用，但该方法易受到图像信号的干扰而使得估计值偏大． 为此，本文提出一种在小波域中基于熵值检测的估计算法．该方法详细分析了含噪图像在小波子带中的熵值与噪声方差之间的统计变化规律，从而年 月 北 京 邮 电 大 学 学 报 第 卷第 期 Journal of Beijing University of Posts and Telecommunications Vol ． No ． 收稿日期: 2010-12-22基金项目: 国家自然科学基金项目（61071162）作者简介: 李天翼（1970—），男，博士生，E-mail: scu_lty@eyou ．com ；王明辉（1971—），男，教授，博士生导师，E-mail ：wang_mh@tsinghua ．edu ．cn , 研究方向：信息融合．DOI ：CNKI:11-3570/TN.20110930.0943.010 网络出版时间：2011-09-30 09:43网络出版地址：/kcms/detail/11.3570.TN.20110930.0943.010.html利用这种关系对噪声进行估计．仿真结果表明，提出算法能够有效估计出图像中的噪声方差，受图像细节影响较小，性能优于传统方法．1 含噪图像小波子带熵值与噪声水平的关系分析1.1 噪声熵值与噪声方差的关系熵是对信号中所含平均信息量的一种度量指标．按照Shannon 的定义[7]，一个随机变量的取值,,1(i x X i 增加而减少，其中，)(i x P 为I N I H 由于)(i x P 越大，式(3)H 对于方差为2nx P G )()lg(21)πe 2lg(21d )(2)e lg()π2lg(21d )e lg()(d )π21lg()(d )](lg[)(222222# # ∀∀∀∀ x x P x xx P x x P xx P x P H G x G G G G G (6) 式(6)表明高斯噪声熵值随方差增大作对数增长，中间只是相差一个常数项而已．为直观地显示它们之间的数值变化关系，生成标准差n 为60~5的噪声矩阵(512512&维)，采用式(3)分别计算它们的熵值G H (这里对数以e 为底进行计算，本文以下结果均是按此方式计算，不再重复说明)，计算结果列于表1，按表中数据绘制的变化关系曲线如图1所示．由表1中数据和图1中曲线可以看出，通过实验得出的数值结果与式(6)结论是一致的，并且即使噪声水平很低(如标准差n 为5)，其熵值也呈现较大的值(大于3)．表1 噪声熵值随噪声标准差的变化关系数据(7)(方差为记j G 为第j 尺度上的小波系数．由小波变换的线性，可得),(),(),(v u N v u F v u G j j j # (8)其中，j F 和j N 分别为原始图像和噪声在第j 尺度上的小波系数．也就是说，小波子带中含噪图像的系数就是原始图像和噪声系数的简单叠加．对于j N ，其仍然是零均值的高斯白噪声，并且方差仍然为2n，这可以通过下面的推导得出[8]． 令)(i N 和)(j N 分别表示处于第i 和第j 位置的噪声系数，于是∋()∗ +,ji ji j i m n l n E m l m n m l n l E j N i N E n nj i nl mj i mj li ,0,)(,)]}()([)()({)]}()([)]()([{)]()([222 (9)由于小波变换对高斯白噪声不作任何更改，这数．低(通常小于(3.0272)还低．(a) (b) (c)(d) (e) (f)图2 实验图像表2 图2中各图像在空域和小波子带的熵值数据熵值(b)图 (c)图 (d)图 (e)图 (f)图 4.768 4.505 5.254 4.890 5.2932.443 0.974 1.478 1.472 2.3741.3 含噪图像小波子带熵值与噪声方差的统计关系由1.2节的分析可知，小波分解极大降低了图 像信号的熵，使其值比标准差为5的噪声熵值还低．这说明在小波子带中，信号的影响力有限，只要子带总的熵值大于3，就可断定有噪声存在．并且由于减弱了信号的影响，小波子带总的熵值随噪声方差基本呈对数关系增长．这意味着有可能通过统计的方式，找到含噪图像小波子带的熵值与噪声方差之间的变化关系，从而利用这种关系通过熵值的测定来估计噪声，并且有可能获得比传统方法更好的结果．图3 按表3数据绘制的变化关系曲线由表3中数据和图3中曲线可以看出，熵值linH 随噪声方差的增大近似均匀线性地递增，并且重要的是，其值几乎唯一地由噪声方差决定，与具体图像几乎无关，这从图中几乎吻合的6条曲线可以看出．对其他图像执行同样的实验，得出的结果也符合这样的数据分布特征．这表明，含噪图像在小波子带中的熵值适合用于对噪声方差的估计．为使这种变化关系更具鲁棒性，对大量图像进行实验，将各个噪声标准差下对应不同原始图像获得的子带熵值平均，部分噪声标准差下的统计结果和绘出的曲线如表4和图4所示．将统计数据按照最小均方误差准则进行多项式拟合，可得如下拟合公式：2lin lin lin 0073.06778.28183.2)(H H H n # (11)图4 按表4数据绘制的变化关系曲线2 噪声方差的估计上节分析揭示了含噪图像小波子带的熵值随噪声标准差的变化规律，并将这种关系以式(11)形式化地表达．通过实验论证了这种变化关系对图像具有较强的鲁棒性，这说明利用式(11)通过熵值去估计噪声方差能够获得稳健的结果．本文正是利用这样的关系，将式(11)作为先验知识用于噪声的估计，获得了比传统方法更优的结果．对一幅含噪图像的噪声估计过程描述如下： 1) 对含噪图像执行正交小波分解．2) 在分解所得高频对角子带中，采用式(3)计算 其熵值log H ，对所得log H 值，采用式(10)计算lin H ．3) 将所得lin H 值代入式(11)，计算所得即为含噪图像中噪声标准差的估计值．这里要注意的是，估计时所采用的小波基与先前获得先验知识所采用的小波基应相同，本文统一采用sym4作为小波基．3 仿真实验为验证本算法的有效性，本文在Matlab7.0中进行仿真实验．随机地选取800幅原始图像(包括许多标准测试图)作为实验对象，分别施加标准差为15、20、25、30和35的高斯白噪声，然后分别采用传统方法和本文方法进行估计，估计结果列于表5． 表幅图5 部分实验图像通过表5的分析可以看出，本文算法性能优于传统方法．在所有噪声水平上，估计均值比传统方法更接近真值．传统方法估值随噪声水平降低越来越偏离真值，这说明其受图像细节影响较大，而本文算法并没有这样的特点，在所有噪声水平上，估计均值与真值的偏差较为恒定，这表明本文算法对图像细节具有更强的鲁棒性．就估计标准差而言，本文算法略略偏大，这只是说明本文算法估计比传统方法估计波动稍大一点而已，其意义远不如估计均值那么重要．比较而言，人们更愿意选择一个虽然波动稍大但更接近真值的结果，而不会接受一个即使波动稍小却远离真值的结果．为更清楚地表明本文算法受图像细节影响较小，以图5中细节丰富的Baboon 图为例，重复实验100次，获得2种方法的估计结果，数据列于表6．通过表中数据可以看出，对大多数噪声水平，2种方法估计均值的差距，表6比表5更大，这表明了本文算法的相对性能在图像细节丰富的情况下更好．表6 对Baboon 图的估计结果4 [1] [2] Gindele E B, Serrano N ．Estimating noise for a digital image utilizing updated statistics ：US, 7054501[P]．2006． [3] Jolion J M, Meer P, Rosenfeld A ．A fast parallel algorithm for blind estimation of noise variance[J]．IEEE Trans. PAMI, 1990, 12(2)：．IEEE ：613-627． ：．Estimating coefficients 2010 challenges in computer Society, theory of Tech. Journal, tour of signal ：Academic press, signal ．IEEE ．。