高等数学B教学课件：反常积分

例3. 证明第一类 p 积分
当 p >1 时收敛 ; p≤1
时发散 . 证:当 p =1 时有
ln x
a
当 p ≠ 1 时有
x1 p 1 p
a
, a 1 p , p 1
p 1 p 1
因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 a 1 p ; p 1
当 p≤1 时, 反常积分发散 .
b
a
(
dx xa)q
当q1时
收敛；当q1时
发散。
3
例 9．计算广义积分： 2 1
2
dx . x x2
解：∵ lim
x1
∵
1
1
2
1 ， ∴ x1 是瑕点。
x x2
dx lim 11
x x2 10 1
2
d(x1) 2
(1)2 (x 1)2
2
2
lim arcsin(2x1)
10
11
1 2
, 2
c
b
lim f (x) dx lim f (x) dx
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在 , 就称
发散 .
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该反常积分发散 .
4
引入记号
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
1
1 1
x
lim arcsinx 1 lim [arcsin(1)0] arcsin1 .
0
0 0
2
它的几何解释是：由曲线 y 1 ，x 轴, y 轴及
1 x2
直线 x1 所 围成的开口曲边梯形的面积，如图所示。
例 7.讨论
1 1
1 x2
dx
的敛散性。
解：∵
lim
x0
1 x2
，∴
x0
是瑕点。
y
1 x2
A
1b
lim 1 b
1 b
1
2
定义1. 设 f (x)C[a, ), 取b a, 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
这时称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C (, b], 则定义
3
若 f (x) C (, ), 则定义
被积函数无界
2. 两个重要的反常积分
3 dx
3
dx
2
lim 2
1 x2 x 20 12 ( x 1 )2 ( 1 )2
22
3
lim ln[x 1
2 0
2
x2 x ] 2 ln(2
12
3 ).
3
∴2 1
2
dx
1
xx2 1
2
dx
3
2
xx2 1
dx ln( 2 3 ). xx2 2
内容小结
积分区间无限 1. 反常积分
原积分发散 !
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误 .
6
例
2.计算
e
1 xln
x
dx
。
解：
1 dx e xlnx
1 d(lnx) e lnx
ln lnx
e
,
故原广义积分发散。
广义积分和常义积分计算方法相同，广义积分 代限有三句话：“能代则代之，代不了则取极限， 极限不存在则积分发散。”
为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
间断点, 则本质上是常义积分, 而不是反常积分.
例如,
13
例
6．计算
1 0
1 dx 。 1 x2
y
y 1 1 x2
解：∵ lim 1 ， x1 1 x2
(0, 1)
o ∴ 1
1
1
dx lim
1
dx
0 1 x2 0 0 1 x2
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a f (x) dx F(x)
F() F(a)
b
f (x) dx F(x)
f (x) dx F(x)
F(b) F() F() F()
5
例1. 计算反常积分
解:
[arctan x ]
( )
22
思考:
y
y
1 1 x2
o
x
分析:
8
例 5．计算
0
(1
1 x2
)2
dx
。
解法 1：
0
(1
1 x
2
)2
dx
0
1 x (1
2 x2 x 2 )2
dx
[
1
0 1 x
2
x2 (1 x2
)2
]dx
1 0 1 x
2
dx
1 2
0
xd
(
1 1 x
2
)
2
1[ x 2 1 x
2
0
0
1 1 x
2
dx]
2
1 2
2
4
.
解法 2： xtan t ，dxsec2tdt ，
3.5 反常积分
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分
1
一、无穷限的反常积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
A lim b
b 1Biblioteka dx x2lim b
1 x
b 1
0
(1
1 x
2
)2
dx
2
0
s s
ec2 ec4
t t
dt
2 cos
2
tdt
.
0
4
通过换元把广义积分化为常义积分。
收敛的广义积分的计算有与定积分 完全类似的换元法和分部积分法。
二、无界函数的反常积分
引例:曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积可记作
y
所围成的
其含义可理解为
A lim 0
∵
01
1 x 2 dx
lim
0
0 1
1 x2
dx
lim ( 1 ) lim (1 1), 0 x 1 0
∴广义积分
1 1
1 x2
dx
发散。
错解:
1 1
1 x2
dx
1 x
1 2.
1
例 8．讨论广义积分
b
a(
dx xa)q
(ba
)
的敛散性。( x a是瑕点.)
解：当 q1时 ，
1 dx
lim 2 x 0
x
1
lim 2(1 ) 2
0
y 1 x
A
0
x
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定义2. 设 f (x) C (a, b], 而在点 a 的右邻域内无界,
若极限
存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作
这时称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分
b
a(
dx xa)q
lim
0
b dx a xa
lim ln xa b lim [ln(ba)ln],
0
a 0
当 q 1时，
b a
(
dx xa)q
lim
0
b dx a( xa)q
, q1
lim 1 ( xa)1q 0 1q
b
a
(ba)1q , q1 1q
故广义积分
(q 积分)
发散 .
类似地 , 若 f (x) C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
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而在点 c 的
邻域内无界 , 则定义
c
b
a f (x) dx c f (x) dx
lim c1 f (x) dx lim b f (x) dx
10 a
2 0 c2
无界函数的积分又称作第二类反常积分, 无界点常称