高数练习题 第一章 函数与极限

‰高等数学(Ⅰ)练习 第一章 函数、极限与连续

________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______

习题一 函数

一．选择题 1.函数216ln 1

x x

x y -+-=

的定义域为 [ D ] （A ）（0，1） （B ）(0,1)⋃(1,4) （C ）(0,4) （D ）4,1()1,0(⋃] 2.3

arcsin 2lg

x

x x y +-=的定义域为 [ C ] （A ）)2,3(]3,(-⋃-∞ （B ）(0,3) （C ）]3,2()0,3[⋃- （D ）),3(+∞- 3．函数)1ln(2++

=x x y 是 [ A ]

（A ）奇函数 （B ）非奇非偶函数 （C ）偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 4．下列函数中为偶函数且在)0,(-∞上是减函数的是 [ D ]

（A ）222

-+=x x y （B ）)1(2

x y -= （C ）|

|)2

1(x y = （D ）.||log 2x y =

二．填空题

1. 已知),569(log )3(2

2+-=x x x f 则=)1(f 2

2. 已知,1)1(2

++=+x x x f 则=)(x f

3. 已知x

x f 1

)(=,x x g -=1)(, 则()=][x g f

4. 求函数)2lg(1-+=x y 的反函数

5. 下列函数可以看成由哪些基本初等函数复合而成 (1) x y ln tan 2

=：

(2) 3

2arcsin lg x y =

：__________ _____________________

三.计算题

1．设)(x f 的定义域为]1,0[, 求)(sin ),(2

x f x f 的定义域

2

1x x -+1102()

x y x R -=+∈1

1x -2,tan ,ln ,y u u v v w w ====23

,lg ,arcsin ,y v v w w t t x =====2()[11]

(sin )[2,2]()

f x f x k k k Z πππ-+∈的定义域为，的定义域为

2.设⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=2||11

1

||1)(2x x x x x ϕ , 求)23(),21(),1(ϕϕϕ-, 并作出函数)(x y ϕ=的图形.

4.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角ο

40=ϕ（图1-22）。当过水断面ABCD 的面积为定值时

0s ，求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h 之间的函数关系，并指明其定义域。

5.收音机每台售价为90元，成本为60元。厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是定购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元.

（1） 将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数 （2） 将厂方所获的利润L 表示成订购量x 的函数 （3） 某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？ 解：

答:厂方获利润21000元.

A D

B

C ϕ

h 图1-22

b 2290,0100,(1)()910.01,1001600,75,1600.30,0100,(2)()(()60)310.01,1001600,15,1600.(3)(1000)3110000.01100021000.x P x x x x x x L x x P x x x x x x L ≤≤⎧

⎪

=-<≤⎨⎪>⎩≤≤⎧

⎪

=-=-<≤⎨⎪>⎩=⨯-⨯

=131

(1)0,()()2222ϕϕϕ=-=

=0002,,

tan sin 12(2)0,02tan tan 2,0sin tan h h AD b AB s h h s h b b h h s h h L h h ϕϕϕϕϕϕ

=+==+⇒=->∴<<∴=+-<<

高等数学(Ⅰ)练习 第一章 函数、极限与连续

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习题二 数列的极限

一、填空题

1. 写出下列数列的前五项：

(1) 11+-=n n x n ：_______ _____ (2)n

x n

n 1)1(-= ：____ ________ (3)21

2n

x n +=：_________ _ _ (4) n

n x 31= ：____ __________ 2．写出下列数列的通项： (5) Λ,119,97,75,53,31--- =n x ______________ (6) K ,8

1

,0,61,0,41,0,21,0 =n y ________________

(7) 99.0, 999.0, Λ,9999.0 =n z _________________ 二、选择题：

1．下列数列}{n x 中收敛的是 [ B ] （A ）n n x n

n 1)

1(+-= （B ）n n 1)1(1+- （C ）2

sin πn x n = （D ）n n x 3=

三、证明题

1．根据数列极限的定义证明 (1)2

3

1213lim =++∞→n n n

11320,,,,325311111,,,,2345

---11111,,,,39278124391933513,,,,4916251(1)2n

n +-21

(1)21n

n n --+1

1110

n +-313

0,|

|,212

111

,,

4242

11313

[]1,,||42212

313lim 212n n n n n n N n N n n n εεεεεε→∞+∀>-<+<>-++=-+>-<++=+证明：要使只要 所以故只要取则当时恒成立.

即