有理数章节复习
有理数章节复习
概念性质层面
作为初中数学的第一课，本章涉及的概念较多，主要包括：正负数，有理数，数轴，相反数，绝对值，乘方，科学记数法等.在学习过程中，要注意对各个概念的把握，要能理解、计算和应用.
一、负数：引入负数，主要是应对记数的需要.负数都小于0.
例1、某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：+10，－5，0，+8，－3，又知道记为0的成绩表示90分，正数表示超过90分，则五名同学的平均成绩为多少分？
例2、我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家.在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算)4(3-+的过程.按照这种方法，图
2表示的过程应是在计算（ ） A ．)2()5(-+-
B ．)2(5-+
C ．2)5(+-
D ．25+
练习1、桌上摆着四杯水，分别是440毫升、365毫升、415毫升、372毫升．为杯子里的水设定一个基准，超过的毫升数记为正数，不足的毫升数记为负数．记录如下：40，－35，+15，－28，则这个基准数是______．
二、有理数：引入有理数，主要是对数的扩充，扩大了研究范围.要着重掌握有理数的分类，以及由此带来的概念性题目的分析判断. 例3、下列说法正确的是（ ） A ．整数就是正整数和负整数 B ．分数包括正分数、负分数
C ．正有理数和负有理数组成全体有理数
D ．一个数不是正数就是负数
例4、下面是四名同学对“0”的描述，其中正确的是（ ） ①“0”可表示特定的意义，如0℃等； ②“0”只表示什么也没有；
③因为0＋0＝0＝－0，所以“0”既是正数也是负数； ④0是正数和负数的分界. A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
练习2、下列说法：①所有的整数都是正数；②所有的正数都是整数；③分数是有理数；④有理数分为正有理数和负有理数；⑤有理数包括整数和分数.其中正确的有（ ） A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
三、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.引入数轴，主要是将数字对应到图形上，这种“数形结合”思想，是初中数学的典型思想方法，目的是便于研究和解决相关问题.在学习数轴时，要本着应用为先的原则去体会其便利.
例5、数轴上一动点A 向左移动2个单位长度到达点B ，再向右移动6个单位长度到达点C ，若点C 表示的数为1，则点A 表示的数为（ ） A ．7
B ．3
C ．－3
D ．－2
四、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.特别地，0的相反数是0.要注意的是，相反数是两个数的关系，即两数相加和为0，不存在单个数是相反数的说法.对相反数，一者要注意其概念的应用，二者要能化简计算. 例6、一个有理数和它的相反数之积（ ） A ．一定为正数
B ．一定为负数
C ．一定为非负数
D ．一定为非正数
例7、化简： （1）)4(+-；
（2）??
????---)5
23(；
（3）[]{})(π----，
化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“-”号的个数有什么关系吗？
例8、数轴上，点A 与点B 分别表示互为相反数的两个数，且点A 在点B 的左边，A ，B 之间的距离为7个单位长度，则点A 代表的数是________.
五、绝对值：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值.绝对值的直接应用一般有求绝对值和根据绝对值求原数，尤其以后者容易忽略多个值而出错.绝对值表示距离和非负性也是出题的常考点，要引起重视. 例9、若5=x ，则=x ______． 变式、若5-=x ，则=x ______．
例10、绝对值不大于5的所有整数有____________．
六、乘方与科学记数法：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫幂.对于乘方，要记住其中的几个概念，理解其乘法运算的本质，然后能熟练计算.
科学记数法是指，把一个数表示成n a 10?的形式（其中a 的绝对值大于或等于1且小于10，
n 是正整数）.使用科学记数法主要是使书写简短，便于读数.
例11、据媒体报道，我国最新研制的“察打一体”无人机的速度极快，经测试最高速度可达204000米/分，这个数用科学记数法表示，正确的是（ ） A ．204×103
B ．20.4×104
C ．2.04×105
D ．2.04×106
例12、用科学记数法表示下列各数：
（1）10000； （2）80万； （3）-56000000； （4）20.3亿.
例13、用四舍五入法按括号里的要求，对下列各数取近似值： （1）78 . 6（精确到个位）；
（2）0 . 853（精确到十分位）；
（3）27 . 5644（精确到0 . 001）； （4）12345678（精确到万位）．
应用层面
作为初中的基础，本章主要是对数进行学习，所以最多的应用就是计算.除常规计算外，我们还要掌握数字规律问题、新定义计算问题等.另外，数轴作为一个新的工具，可以帮我们很好地解决问题，所以关于数轴的应用也是一个重点.
有理数的混合运算：学习有理数的混合运算，可类比小学所学混合运算，只是要注意符号和新的运算方式.同样的，以前所学各种运算律，也适用于有理数范围，熟练运用它们，可以简化计算. 例1、计算： （1）)18
7
436592(36-+-?-； （2）)4
1()59(65)3(-?-??-；
（3）25.36625.118)3
2
6597(?+?-?+-； （4）3)4
11()213(53÷-÷-?-；
（5）)115(3)511(13)511(5-÷--?+-?-；（6）56)65121197(452÷??
?????+--；
（7）)4
3(25)23(41
2)3(223-?-+-?÷-； （8）13)2(11
4
)215()1(232019+-÷-+?
---；
例2、如果4=x ，3=y ，则y x +的值是（ ） A ．7±
B ．1±
C ．7±或1±
D ．7或1
例3、李明的练习册上有这样一道题：计算|（-3）+▉|，其中“▉”是被墨水污染而看不到的一个数，他翻看了后边的答案得知该题的计算结果为6，那么“▉”表示的数是_______.
例4、请你只在“加、减、乘、除和括号”中选择使用，可以重复，将四个数－2，4，－6，8组成算式（四个数都用且每个数只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是_______________（只写一种）.
例5、将-8，-6，-4，-2，0，2，4，6，8这9个数分别填入下图（1）的9个空格中，使得横、竖、斜对角的3个数相加的和为0，应该怎么填？若改用-2，-1，0，1，2，3，4，5，6这9个数分别填入下图（2）的9个空格中，使得横、竖、斜对角的3个数相加的和都相等，又怎么填？
新定义：解决新定义问题，关键是搞清新运算是怎么计算的，将新运算转化成常规运算后，再进行计算就没有问题了.
例6、数学活动课上，徐老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“※”，对于任意有理数a，b，有a※b=a-b+2.请你根据新运算，计算(3※4)※3的值是_______.
例7、大家都知道，八点五十五可以说成九点差五分，有时这样表达更清楚．这启发人们设计一种新的加减计数法．
比如：9写成11，11=10-1；
198写成202，202=200-2；
7683写成12323，12323=10000-2320+3
总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算5231-3241=（）
A．1990 B．2068 C．2134 D．3024
练习1、在一个秘密俱乐部中，有一种特殊的算账方式：a?b=3a－4b，比如对于2?(－4)是这样计算的：“解：2?(－4)=3×2－4×(－4)=22”，假设规定：a?b=2a－3b－1，那么请你求2?（－3）的值.
数字规律问题：数字规律问题，往往比较灵活，这类问题包括两种类型，一种是符号和数字的变化，要学会从不同的角度去解读数字，找到规律；另一种是周期循环，要注意找到循环周期，确定位置.
例8、观察下面一列数，探究其规律：
21-
，32，43-，54
，65-，7
6，……
（1）写出第7，8，9项的三个数； （2）第2018个数是什么？
（3）如果这一列数无限排列下去，与哪两个整数越来越接近？
例9、观察下列算式：
21 ＝2，22 ＝4，23 ＝8，24 ＝16，25 ＝32，26 ＝64，27 ＝128，28 ＝256，… 用你发现的规律，确定22018 的个位数字是_______.
变式、计算：21 -1＝1，22 -1＝3，23 -1＝7，24 -1＝15，25 -1＝31，…，归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22019 -1的个位数字是（ ） A ．1
B ．3
C ．7
D ．5
例10、观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有点的个数为_____（用含n 的代数式表示）.
练习2、1118×1311×1410的积的末位数字是_______. 练习3、观察下列三行数并按规律填空： －1，2，－3，4，－5，______，______，… 1，4，9，16，25，______，______，… 0，3，8，15，24，______，______，… （1）第一行数按什么规律排列？
（2）第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系？ （3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和.
数轴、绝对值的应用：抓住数轴上的点能表示数的特点，将数字对应表示在数轴上，则可利用数轴解决相关问题.另外，数轴上常考查点的移动、运动问题，计算时要把握好运算规律. 绝对值的性质和意义也常结合数轴一起考查，可涉及非负性应用，化简等.
-、例11、已知a、b分别表示两个有理数，它们在数轴上的位置如图所示，试比较a、a -之间的大小．
b、b
例12、北京时间2012年3月3日15时，全国政协十一届五次会议在人民大会堂举行开幕会．5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么开幕时间应是（）
A．伦敦时间2012年3月3日23时B．巴黎时间2012年3月3日08时
C．纽约时间2012年3月4日04时D．汉城时间2012年3月3日14时
例13、小明做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点A，其表示的数是－3，由于粗心，把数轴的原点标错了位置，使点A正好落在了－3的相反数的位置，想想，要把数轴画正确，原点要向哪个方向移动几个单位长度？（）
A．向右移6个B．向右移3个C．向左移6个D．向左移3个
例14、如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 t（ t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是_______，点P表示的数是_______（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
例15、如果014=++-b a ，那么=-b a ________．
例16、有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则=+++--++b a a b c a 2)(_________．
例17、数轴上A ，B ，C 三点所代表的数分别是a 、1、c ，且c a a c -=---11．若下列选项中，有一个表示A ，B ，C 三点在数轴上的位置关系，则下列选项正确的是 A ． B ．C ．
D ．
练习4
比较大小问题：有理数大小比较，是一种比较常见的问题，要注意一般的比较方法，先看符号，有必要再看绝对值，必须熟练掌握. 例18、比较下列各对数的大小： （1）)3(--和2-绝对值；
（2）)4(--和4的绝对值；
（3）54
-和3
2-； （4）)7(--和1-.
例19、在－0.3168中，用数字4替换其中的一个非0数字后，使所得的数最大，则被替换的数字是（ ） A ．1
B ．3
C ．6
D ．8
例20、在如图1－3的数轴上，O 为原点，数轴上的点P ，Q ，R ，S 所表示的数分别为a ，b ，c ，d ，请问下列哪一个大小关系式是不正确的（ ）
A ．b a <
B ．c b =
C ．b a >
D ．b <0
思想方法层面
学习初中数学，除学习基本的知识外，思想方法的提炼和运用也是要重点学习的.本章主要涉及三种思想方法，分别是：数形结合，分类讨论和特殊值法.下面通过相关例题一一讲解. 数形结合：这是数轴这一工具带来的一种新的解决问题的方法，主要是将代数问题结合到图形上，用一种比较直观的方式去分析和解决问题.
例1、有理数a 、b 在数轴上的位置如下图所示，则（ ） A ．0>ab B ．0>+b a
C ．0<-b a
D ．0>÷b a
例2、如图，半径为1的圆在数轴上滚动，开始在数轴上点A （称圆与数轴的切点）处，向左滚动一周至点B 处，若点A 对应的数是3，则点B 对应的数是（ ） A ．π-3
B ．32-π
C ．3-π
D ．π23-
例3、已知0>a ，0
例4、如图，已知点A 在数轴上，从点A 出发，沿数轴向右移动3个单位长度到达点C ，点B 所表示的有理数是5的相反数，按要求完成下列各小题. （1）请在数轴上标出点B 和点C ；
（2）求点B 所表示的有理数与点C 所表示的有理数的乘积；
（3）若将该数轴进行折叠，使得点A 和点B 重合，则点C 和数______所表示的点重合.
分类讨论：分类讨论的原因是情况不确定，而不同的情况会导致不同结果，所以要分类.本章涉及分类讨论的地方包括绝对值逆运算，数轴上点运动的方向性等. 例5、在数轴上到表示－2的点的距离为4的点所表示的数是______．
例6、甲、乙两人的住处与学校同在一条街道上，甲住处在离学校8千米的地方，乙住处在离学校5千米的地方，则甲、乙两人的住处相距______千米．
例7、如果有理数a 、b 、c 满足：0=++c b a ，0>abc ，那么a 、b 、c 中负数的个数是______．
例8、若b a b a ?
B ．0>a ，0 C ．0b D ．0 例9、互不相等的四个整数的积等于4，则这四个数的绝对值的和是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 特殊值法：特殊值法是一种技巧性比较强的方法，运用得当，可以为解决问题带来极大便利，但要注意取值须合理，有代表性才行. 例10、若c a <，2c a b += ，a b 2<，c b a S -=1，a c b S -=2，b c a S -=3，则S 1、S 2、S 3的大小关系是（ ） A ．321S S S << B ．123S S S << C ．231S S S << D ．132S S S << 有理数知识点总结 0的数叫做正数。 1. 0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，一、正数和负数自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） 2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 有理数：整数和分数统称有理数。 概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。 分数：正分数、负分数统称分数。 （有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非 负整数，负整数和零统称为非正整数。 ⑵按整数、分数分类： 正有理数正整数正整数 正分数整数0 零有理数负整数 负有理数负整数分数正分数 负分数负分数 1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 三、数轴 比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 3.应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 （注意不带“+”“—”号） 1.概念：求n 个相同因数的积得运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。一个数可以 看做这个数本身的一次方。 2.法则：先确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。 十、乘方 正数的任何次幂都是正数 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 0的任何正整数次幂都是0 3.混合运算法则： ⑴先乘方，再乘除，最后加减。 ⑵同级运算，从左到右的顺序进行。 ⑶如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进 行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 10的数表示成a ×10n 的形式（其中 a 是整数数位只有一位的数，n 为正整数）。这种记数的方法叫做科 学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n 为数用科学记数法表示为a ×10n －1 ⑴精确到某位或精确到小数点后某位。 ⑵保留几个有效数字 十一、科学记数法 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示。 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 0数字起，到末尾数字止，所有的 数字都是这个数的有效数字。 注：⑴用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数 字。例如：3.0×104的有效数字是3，0 。 ⑵带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 1、有理数的分类 2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。 1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 3）正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切负数； 3、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零 1）数a 的相反数是-a （a 是任意一个有理数） 2）0的相反数是0. 有理数 整数 分数 正整数（自然数） 零 负整数 正分数 负分数 正数 零 负数 正整数 正分数 负整数 负分数 有理数 3）若a、b互为相反数，则a+b=0. 4、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。数a 的绝对值记作︱a︱ 1) 对任何有理数a,总有︱a︱≥0. 2）零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。 3）若a＞0，则︱a︱= a ;若a＜0，则︱a︱= -a ;若a =0，则︱a︱= 0 ; 6、有理数比较大小：1）正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数； 2）数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大； 3）两个负数，绝对值大的反而小。 7、有理数的运算： （1）五种运算：加、减、乘、除、乘方 （2）有理数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的，对只含乘除，或只含加减的运算，应从左往右运算。 （3）运算法则 1)有理数加法法则 ①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加； ②异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得0； 2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 即a-b=a+(-b) 3）有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0. ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当因数有偶数个时，积为正. ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0. 4)有理数除法法则①除以一个数 2、下面有四种说法，其中正确的是 （ ） A.一个有理数奇次幂为负，偶次幂为正 B.三数之积为正，则三数一定都是正数 C.两个有理数的加、减、乘、除（除数不为零）、乘方结果仍是有理数 D.一个数倒数的相反数，与它相反数的倒数不相等 3、下列判断错误的是 （ ） （A ）任何数的绝对值一定是正数； （B ）一个负数的绝对值一定是正数； （C ）一个正数的绝对值一定是正数； （D ）任何数的绝对值都不是负数； 4、下列四个命题：（1）任何有理数都有相反数；（2）一个有理数和它的相反数之间至少还有一个有理数；（3）任何有理数都有倒数；（4）一个有理数如果有倒数，则它们之间至少还有一个有理数；（5）数轴上点都表示有理数；（6）任何一个有理数的平方必是正数。上述命题中，说确的是； 5、a 是最小的正整数，b 是最大的负整数的相反数，c 是到数轴上距原点的距离最小的数，求2a b c ++的值 6、下列各数对中，数值相等的是（ ） A 、+32 与+23 B 、—23 与（—2）3 C 、—32 与（—3）2 D 、3×22 与（3×2）2 7、按照下面所示的操作步骤，若输入x 的值为－2，则输出的值为___________ 8、已知 123112113114 ,,,..., 1232323438345415 a a a = +==+==+=??????依据上述规律，则99a =． 9、定义2 *a b a b =-，则(12)3**=______． 10、规定()()a b b a b a --+=?，求)5(3-?的值。 11、用“”定义新运算：对于任意实数a ，b ， 都有a b=b 2+1。例如，74=42 +1=17，求53的值及当m 为有理数时，m （m 2）的值。 12、现规定一种运算“*”，对于a 、b 两数有： ab a b a b 2*-=,试计算2*)3(-的值。 13、用“”、“”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a b=a 和a b=b ，例如32=3，32=2。则（20062005）（20042003）=__________。 二、数的分类 1、 把下列各数填在相应的括号：-16，26，-12， -0.92， 0， 0.1008，-4.95 正数集合{ }； 负数集合{ }； 整数集合{ }； 正分数集合{ }； 负分数集合{ }； 2、 下列各数中：7，－9.25，10 9- ，-301，274 ， 31.25，15 7 ，-3.5，0，221 5，－7，1.25，－ 37，－3，4 3-。 正整数是{ } 正分数是{ } 负整数是{ } 负分数是{ } 正数是{ } 负数是{ } 三、非负性 ()2 输入x 平方 乘以3 减去5 输出 第一章 有理数 1、 正数：省略“+”号，如：1,2,3，0.5，31 . . . . . . 加“+”号，如：+1,+2,+3，+0.5，+31 . . . . . . 负数：在正数前面加上“-”号的数，如：-1,-2,-3，-0.5，-31 . . . . . . 一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号。 0既不是正数，也不是负数。 归纳：如果一个问题中出现 的量，我们可以用正数和负数表示它们。 练习：1．如果向东为正，那么 -50m 表示的意义是（ ） A ．向东行进50m B ．向西行进50m 2. 下列结论中正确的是 （ ） A ．0既是正数，又是负数 B ．O 是最小的正数 C ．0是最大的负数 D ．0既不是正数，也不是负数 3. 给出下列各数：-3，0，+5，213，+3.1，-2，2004，+2014．其中是负数的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 4. 冷库Ａ的温度是－5℃，冷库Ｂ的温度是－15℃，则温度高的是冷库 5.一种零件的直径在图纸上是 10+0.05（单位：㎜），表示这种零件的标准尺寸是 ㎜，加工要求最大不能超过 ㎜，最小不能超过 ㎜。 2、有理数 正整数、_______和_______统称为整数。 和 统称为分数。 _______和_______统称为有理数。零和正数统称为_______ ，零和负数统称为________。 有理数的分类 有理数? ?? ?? 整数??? 零 负整数 分数??? 正分数 有理数? ???? ?? ? 正整数正分数 零 ?? ? 负整数 练习：1、下列各数中， 整数有（ ），正整数有（ ）， 负整数有（ ），分数有（ ），正分数有（ ）, 负分数有（ ），正数有（ ）， 负数有（ ），有理数（ ). -7，9.2，-30，31.25，0.227，-18，3.14，2015，35，-2.236，67% 2．若a 是负数，则－a 是____数，若－a 是负数，则a 是____数。 文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 有理数基础知识 正数和负数 ⒈正数和负数的概念 负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a 是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如： 有理数 1.有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数， -1,-3,-5…也是奇数。 2.有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分 正整数正整数整数 0 正有理数 负整数正分数 有理数有理数 0 （0不能忽视） 正分数负整数 分数负有理数 负分数负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 北师大版七年级数学上册第二章知识点整 理 七年级上册第二章有理数及其运算 有理数: 有理数=整数+分数 整数=正整数+0+负整数分数=正分数+负分数 有理数=正有理数+0+负有理数 正有理数=正整数+正分数负有理数=负整数+负分数 l正数的概念：数轴上0右边的数即比0大的数叫正数，形如+1，+0.5，+10.1，0.001… l负数的概念：数轴上0左边的数，形如-3，-0.2，-100…. l0既不是正数也不是负数，0是整数也是偶数. ①正负数的表示方法： 盈利，亏损；足球比赛胜，负；收入，支出；提高，降低；上升，下降； ②不投入不支出，不盈也不亏，海平面的海拔，某一个标准或基准….用0表示； 数轴：概念：规定了原点，正方向和单位长度的直线 数轴是一条可以向两端无限延伸的直线，数轴有三要素：原点，正方向，单位长度； 画法：首先画一条直线；在这条直线上任取一点，作为原点；再确定正方向，一般规定向右为正，画上箭头，反方向为负方向；最后选取适应的长度作为单位长度； 数轴上的点与有理数的关系：任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示。 有理数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大，正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 相反数： 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0； a,b互为相反数a+b=0; 求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即得原数的相反数，当原数是多个数的和差时，要用括号括起来再添“-”；下面的a,b即可以是数字，字母，也可以是代数式； 一般地，数a的相反数是-a,这里的a表示任意一个数，可以是正数、负数、0. 绝对值： 几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值； 代数定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是 实验中学 马贵荣编 一、【正负数】 有理数的分类：★☆▲ _____________统称整数，试举例说明。 _____________统称分数，试举例说明。 ____________统称有理数。 [基础练习] 1☆把下列各数填在相应额大括号内： 1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，6/7 ·正整数集｛ …｝；·正有理数集｛ …｝；·负有理数集｛ …｝ ·负整数集｛ …｝；·自然数集｛ …｝；·正分数集｛ …｝ ·负分数集｛ …｝ 2☆ 某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义 是 ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 。 二、【数轴】 规定了 、 、 的直线，叫数轴 [基础练习] 1☆如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ） 2☆在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。 4，-|-2|， -4.5， 1， 0 3下列语句中正确的是（ ） Ａ数轴上的点只能表示整数 Ｂ数轴上的点只能表示分数 Ｃ数轴上的点只能表示有理数 Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 4、★ ①比－3大的负整数是_______； ②已知ｍ是整数且-4 七年级数学上册第二章有理数知识点总结 1.1 正数和负数 ⒈正数和负数的概念 负数：比0小的数。 正数：比0大的数。 0既不是正数，也不是负数。 注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。 （3）0表示一个确切的量。如：0℃以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0米就表示海平面。 1.2 有理数 1.有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数 注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。 2.有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分 正整数正整数 整数 0 正有理数 负整数正分数 有理数有理数 0 （0不能忽视）正分数负整数 分数负有理数 负分数负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 3.数轴 ⒈数轴的概念 一、【正负数】有理数的分类：★☆▲_____________统称整数，试举例说明。 _____________统称分数，试举例说明。 ____________统称有理数。 [基础练习] 1☆把下列各数填在相应额大括号内： 1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，6/7 ·正整数集｛…｝；·正有理数集｛…｝；·负有理数集｛…｝·负整数集｛…｝；·自然数集｛…｝；·正分数集｛…｝·负分数集｛…｝ 2☆某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义 是；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是。 二、【数轴】规定了、、的直线，叫数轴 [基础练习] 1☆如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（） 2☆在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。 4，-|-2|，-4.5，1，0 3下列语句中正确的是（） Ａ数轴上的点只能表示整数Ｂ数轴上的点只能表示分数 Ｃ数轴上的点只能表示有理数Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 4、★①比－3大的负整数是_______；②已知ｍ是整数且-4 第二章有理数 一、有理数的意义 复习内容：有理数的意义、数轴、相反数、绝对值等概念，有理数的大小比较． (一)用正、负数表示具有相反意义的量 １、如果用正数表示某种意义的量，那么负数就表示其相反意义的量． ２、常用的一些符号和数学语言的含义： ⑴a>0，表明a是正数．⑵a<0，表明a是负数． ⑶a≥0，表明a是非负数，即a是正数或a为0． ⑷a≤0，表明a是非正数，即a是负数或a为0． (二)数轴 １、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． ２、在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． ３、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数． (三)相反数 １、只有符号不同的两个数称互为相反数． ２、零的相反数是零． ３、数a的相反数是-a． 说明：要表示一个数的相反数，只在这个数的前面添上一个“—”号就行了． (四)绝对值 １、 a (a>0) |a|＝ 0 (a＝0) -a (a<0) 说明：求一个数的绝对值，就是想办法去掉绝对值符号．因此，在具体求一个数的绝对值时，首先要判断它的正负，然后利用法则求出它的绝对值． 二、有理数的运算 重点复习有理数的混合运算，并复习近似数和有效数字，并掌握科学记数法． (一)有理数的加法 １、法则： ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． ⑵绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去 较小的绝对值． ⑶互为相反数的两个数相加得零． ⑷一个数与零相加，仍得这个数． (二)有理数的减法 １、法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． (三)有理数的加减混合运算 １、方法和步骤： ⑴将有理数加减法统一成加法，然后省略括号和加号． ⑵运用加法法则、加法运算律进行简便运算． (四)有理数的乘法 １、法则： ⑴两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． ⑵任何数与零相乘，都得零． 七年级数学（上）知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章、有理数 知识概念 1.有理数： (1)凡能写成 )0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ? ? ????????负分数 负整数负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数 分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0) 0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： 新浙教版七年级上册数学第一章《有理数》知识点及典型例题 知识框图 将考点与相应习题联系起来 考点一、关于“……说法正确的是……”的题型（只可能是选择题） 1、下列语句：① 带“-”号的数是负数；② 如果a 为正数，则-a 一定是负数；③ 不存在既不是正数又不是负数的数；④ 00 C 表示没有温度，正确的有（ ）个 2、下列说法不正确的是（ ） A.数轴是一条直线； B.表示-1的点，离原点1个单位长度； C.数轴上表示-3的点与表示- 1的点相距2个单位长度； D.距原点3个单位长度的点表示—3或3。 3、下列说法中不正确的是（ ） A.－5表示的点到原点的距离是5； B. 一个有理数的绝对值一定是正数； C. 一个有理数的绝对值一定不是负数； D. 互为相反数的两个数的绝对值一定相等. 4、如图：下列说法正确的是（ ） 比b 大 比a 大 、b 一样大 、b 的大小无法确定 5、若｜a ＋b|＝－（a ＋b ）,下列结论正确的是（ ） ＋b ≤0 ＋b<0 ＋b=0 ＋b>0 6、下列说法：① 一个数的绝对值的相反数一定是负数；② 只有负数的绝对值是它的相反数；③ 正数和零的绝对值都等于它本身；④互为相反数的两个数的绝对值相等，错误的个数是( ) 个 个 个 个 7、如果a 表示有理数，那么下列说法中正确的是（ ） A.+a 与-(-a)互为相反数 B. +a 与-a 一定不相等 一定是负数 D. -(+a)与+(-a)一定相等 8、已知字母a 、b 表示有理数，如果a +b =0，则下列说法正确的是（ ） A.a 、b 中一定有一个是负数 B.a 、b 都为0 C.a 与b 不可能相等 D.a 与b 的绝对值相等 9、下列说法正确的是（ ） A. -|a|一定是负数 B. 只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C. 若|a|=|b|，则a 与b 互为相反数 D. 若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 10、给出下面说法：① 互为相反数的两个数绝对值相等；② 一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数； ③ 若|m|>m ，则m<0；④ 若|a|>|b|，则a>b ，其中正确的有（ ） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 考点二、具有相反意义的量、相反数、数轴、绝对值、有理数的分类等概念的直接考题 1、某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如9：15记为-1，10：45记为1等等，以此类推，上午7：45应记为 2、在时钟上，把时针从钟面数字“12”按顺时针方向拨到“6”，计做拨了“+1 2 ”周，那么，把时针从“12”开始，拨了“1 4 ”周后，该时针所指的钟面数字是 3、若a 与b 互为相反数，则下列式子：①a+b=0；②a=-b ；③|a|=|-b|；④a=b ，其中一定成立的序号为 4、数轴上到数-1所表示的点的距离为5的点所表示的数是 5、绝对值最小的有理数是 ；绝对值最小的整数是 ；| －π|= _________ 6、写出所有不小于-4并且小于的整数： 第一章有理数 思维路径： 有理数 数轴 运算 （数） （形） 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. ▲注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)自然数? 0和正整数； a ＞0 ? a 是正数； a ＜0 ? a 是负数； a ≥0 ? a 是正数或0 ? a 是非负数；▲ a ≤ 0 ? a 是负数或0 ? a 是非正数. 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c 的相反数是-(a-b+c)= -a+b-c ； a-b 的相反数是b-a ； a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. (4)相反数的商为-1. （5）相反数的绝对值相等 4.绝对值： (1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或 ???≤-≥=)0()0(a a a a a ； (3) 0a 1a a >?= ； 0a 1a a 第二章：有理数及其运算 一、有理数 知识点一：具有相反意义的量（用正数和负数表示，负数的来源） 如“零上”和“零下”、“收入”和“支出”、“增加”和“减少”、“升高”和“降低”。 由具有相反意义的词表示的两个量，就是具有相反意义的量。 我们可以把其中一个量规定为正的，用正“+” 数表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负“-”数表示。 如：零上20°C 记作+20°C ，零下17°C 就记作 -17°C 如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈记作-12圈 因为是量，表示时需要带着单位名称，如圈、元。 知识点二：正数和负数的概念 正数：像1、2.5、14 3、23这样大于0的数叫做正数；为了突出数的符号，可以在正数前加“+” 号。如：+3、+5.6 ，有时也可省略“+”号 如：1、2.5、14 3 负数：像-5、-10、-2.3等在正数前面加上“－”号的数叫做负数，负数前面的“-”号不能省略。由此看出，比0小的是负数，负数比0小。 0即不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界点。 正数比0大，负数比0小。 复习小学内容： 质数：一个数只有1和它本身两个因数时，这个数是质数也称为素数。 如2、3、5、7、11、13、17、19等 合数：一个数除了1和它本身两个因数外还有其他的因数，这个数就是合数。 如4、6、8、9、10、12、14、15等 质数和合数都是指一个大于1的自然数中的数，所以，0和1既不是质数也不是合数。 除了2 其余的质数都是奇数 再复习一下奇数和偶数 偶数：整数中能够被2整除的数，叫做偶数， 奇数：整数中不能被2整除的数，叫做奇数。 知识点三：有理数 有理数概念：整数和分数统称为有理数。 整数：正整数、零、负整数统称为整数 分数：正分数和负分数统称为分数，有限小数和无限循环小数也是分数 。 0.5=21 ；0.875=8 7 。。。这些都是有限小数，化成了分数。0..3=31 ；0..12.3=999123 ；0.1.2.3=99991123-- ；0.12.3=99 99912123-- 上述都是无限循环的小数，也化成了分数。 小学学过的圆周率π，其值是3.141592653589793238462643383279502884197169399375…它是无限不循环的小数，它不是有理数，是八上实数中我们学到的无理数 1、 规定了 __________ _____________ 的直线叫数轴。 第一章 有理数全章复习 考点一：用正负数表示相反意义的量 1、 七年级一班某次数学测验的平均成绩为 80 分，数学老师以平均成绩为基准，记作 0 ，把小龙、小聪、 小梅、小莉、小刚这五位同学的成绩简记为 +10 ，– 15 ， 0 ，+20 ，– 2．问这五位同学的实际成绩分 别是多少分 2 、如果规定收入为正，支出为负．收入 500 元记作 500 元，那么支出 237 元应记作 ( ) A ．－500 元 B ．－237 元 C ．237 元 D ． 500 元 3. 有4 包真空小包装火腿，每包以标准克数( 450 克)为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负 数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的 ( ) A ．+2 B ．－3 C ．+3 D ． +4 4. 某商店出售三种不同品牌的大米，米袋上分别标有质量如下表：现从中任意拿出两袋不同品牌的大米， 这 两袋大米的质量最多相差 ( ) A ．0.8kg B ． 0.6kg C ． 0.4kg D ． 0.5kg 考点二：有理数的分类 1 、 _____ 、 ____ 和 _________ 成为整数， __________ 和 __________ 统称为分数。 ____________ 和 ________ 统称为有理数。 练习巩固： 2 1、在– 2，+3.5 ，0， ，– 0.7 ，11 中．负分数有???????? 3 1 1 6、比 3 21大而比 21 3小的所有整数的和为 考点三：数轴 B 、2个 C 、3 个 D 、4 个 2 、不超过 ( 33 23 ) 的最大整数是 A 、–4 B –3 C 、3 D 、4 3．在数 8.3 、－4、0 、－(－ 5)、 4、下列说法中正确的个数有 +6 、 －|－10|、1 中,正数有 ) 个； ① 一个有理数不是整数就是分数 ② 一个有理数不是正数就是负数 ③ 一个整数不是正的，就是负的 ④ 一个分数不是正的，就是负的 5 、在数＋ 8.3 ，－ 4 ，－ 0.8 ， 0 ， 90 ，－ － 24 ｜中， 是正数， 不是整数。 北师大版数学七年级上册第二章有理数及其运算练习题(有答案) 2．1 有理数 基础题 知识点1 认识正数与负数 1．(连云港中考)下列各数中;为正数的是(A) A．3 B．－ 1 2 C．－2 D．0 2．(临沂中考)四个数－3;0;1;2;其中负数是(A) A．－3 B．0 C．1 D．2 3．在－1;0;1;2这四个数中;既不是正数也不是负数的是(B) A．－1 B．0 C．1 D．2 4．下列各数：－101.2;＋18;0.002;－60;0;－ 4 5 ;＋3.2;属于正数的有＋18;0.002;＋3.2；属于负数的有－101.2;－60;－ 4 5 ． 知识点2 用正、负数表示具有相反意义的量 5．(咸宁中考)冰箱冷藏室的温度零上5 ℃;记作＋5 ℃;保鲜室的温度零下7 ℃;记作(B) A．7 ℃B．－7 ℃C．2 ℃D．－12 ℃ 6．下列不具有相反意义的是(C) A．前进5 m和后退5 m B．节约3 t和浪费3 t C．身高增加2 cm和体重减少2 kg D．超过5 g和不足5 g 7．若火箭发射点火前5秒记作－5秒;则火箭发射点火后10秒应记作(D) A．－10秒B．－5秒 C．＋5秒D．＋10秒 8．如果＋80 m表示向东走80 m;那么－60 m表示向西走60__m． 知识点3 有理数的概念及分类 9．在0;1;－2;－3.5这四个数中;为负整数的是(C) A．0 B．1 C．－2 D．－3.5 10．有理数可按正、负性质分类;也可按整数、分数分类： ①按正、负性质分类：②按整数、分数分类： 有理数 ?? ? ??正有理数?????正整数 正分数 负有理数 ?? ? ??负整数 负分数 有理数 ?? ? ??整数 ?? ? ?? 正整数 负整数 分数 ?? ? ??正分数 负分数 11．下列各数：3;－5;－ 1 2 ;0;2;0.97;－0.21;－6;9; 2 3 ;85;1;其中正数有7个;负数有4个;正分数有2个;负分数有2个． 12．如图是数学果园里的一棵“有理数”知识树;请仔细辨别分类;把各类数填在它所属的相应横线上． 初一数学第1章有理数知识点总结 ⒈正数和负数的概念 负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数; 当a表示负数时，-a是正数;当a表示0时，-a仍是0。(如果出判 断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断) ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃;零下8℃表示为：-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人; ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。 1.有理数的概念 ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数 都可化成分数，都是有理数。 注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。 2.有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数 整数正有理数正分数 有理数有理数(0不能忽视)负整数 分数负有理数负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数) ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 ⒈数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、 单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度 要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如，数轴上的点π不是有理数) 3.利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大; ⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数; ⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 苏科版七上第二章有理数知识点总结 0的数叫做正数。 1. 0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 一、正数和负数（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） 2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 有理数：整数和分数统称有理数。 概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。 分数：正分数、负分数统称分数。（有限小数、百分数与无限循环小数都是有理数。） 零统称为非正整数。 ⑵按整数、分数分类： 正有理数正整数正整数自然数 正分数整数0 零有理数负整数 负有理数负整数分数正分数 负分数负分数 任何有理数都可以表示成分数形式。 1.无限不循环小数叫无理数。 a ；人造无限不循环的，如0.1010010001…… 三、无理数 2.三种基本形式的无理数：带π的；22 1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素：原点、正方向、单位长度 2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 三、数轴有理数和无理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的任意一点都表示一个 有理数或无理数。 比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 3.应用求两点之间的距离：用右边的点的表示的数减去左边的点表示的数。 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0） 1.概念几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。 四、相反数两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。 3.多重符号的化简多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数，当“—”号的 个数是偶数个时，结果取正号；当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号 1.概念：乘积为1的两个数互为倒数。（倒数是它本身的数是±1；0没有倒数） 五、倒数 2.性质若a与b互为倒数，则a·b=1；反之，若a·b=1，则a与b互为倒数。 若a与b互为负倒数，则a·b=-1；反之，若a·b= -1则a与b互为负倒数。 1.几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） 六、绝对值 2.代数意义一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0 代数意义的符号语言 a = 0，|a|=0 |a|＝﹣a，则a≦0 a＜0，|a|=‐a 【精选】人教版七年级上册数学 第一章《有理数》知识点总结 1.大于0的数叫做正数。 2.在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。 3.整数和分数统称为有理数。 4.人们通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。 5.在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。 6.一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 7. 由绝对值的定义可知： 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。 8.正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 9.两个负数，绝对值大的反而小。 10.有理数加法法则： (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 (2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。 (3)一个数同0相加，仍得这个数。 11.有理数的加法中，两个数相加，交换交换加数的位置，和不变。 12.有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 13.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 14.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值向乘。任何数同0相乘，都得0。 15.有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。 16.一般的，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 17. 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 18. 一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 19.有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 20.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 21. 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an 中，a 叫做底数，n叫做指数。 22.根据有理数的乘法法则可以得出： 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。七年级第一章有理数知识点总结
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